Embed Size (px)
Citation preview
Tutoriál 3 –prednáška 3
Modelovanie fyzikálnych systémov popísaných
lineárnymi diferenciálnymi rovnicami v prostredí
MATLAB
- Aplikácie na lineárnych dynamických systémoch
- Nabíjanie kondenzátora
- Vybíjanie kondenzátora
- Vozík s tlmičom a pružinou
1. Lineárne diferenciálne rovnice
Lineárne diferenciálne rovnice je možno riešiť niekoľkými spôsobmi napríklad v čase alebo
pomocou Laplaceovej transformácie.
Pre numerické riešenie systému DR pomocou metódy Runge – Kutta 2. rádu rieši funkcia
, metódu Runge – Kutta 4.rádu využíva funkcia .
PRÍKLAD 1
Vypočítajte a znázornite prúd a napätie RLC obvodu s parametrami ,
po pripojení na napätie .
Systém je popísaný rovnicou:
(1)
Počiatočné podmienky riešenia:
(2)
prúd pretekajúci obvodom je vyjadrený rovnicou:
(3)
Úprava integrálu v rovnici (1), pričom získame výslednú diferenciálnu rovnicu popisujúcu nabíjanie
kondenzátora:
V prípade, že RLC obvod je pripojený na jednosmerné napätie pri nulových počiatočných
podmienkach, potom stavové veličiny volíme
Substitúcia
Systém dvoch DR 1.rádu:
(4)
Poznámka
UDC
i(t)
R
C
L
Obr 1. Navíjanie kondenzátora cez technickú cievku
Tutoriál 3 –prednáška 3
Riešenie v programovom prostredí MATLAB:
(5)
Tutoriál 3 –prednáška 3
Ak uvádzame tol a trace potom bude mať funkcie ode45 nasledovný zápis:
PRÍKLAD 2
Vypočítajte a znázornite prúd a napätia RLC obvodu s parametrami ,
ak na kondenzátore bolo v čase napätie .
Diferenciálna rovnica 2. rádu:
Počiatočná podmienka:
stavová premenná:
Prepis do substitučného kanonického tvaru:
Riešenie v programovom prostredí MATLAB:
UDC
i(t) R
C
L
Obr 2. Vybíjanie kondenzátora cez technickú cievku
Tutoriál 3 –prednáška 3
Vykresliť ‘xprim’ → xprim
[t,x]=ode23(‘xprim’,[t0,tf],x0)
PRÍKLAD 3
Mechanický systém s tlmičom a pružinou
- budiaca sila
– direktívna sila pružiny
– sila viskózneho trenia
- sila zotrvačnosti
– poloha vozíka
Zákon rovnováhy síl:
→
Substitúcia: ;
Prepis do kanonického tvaru:
Hodnoty pre výpočet:
m=30kg
po dosadení LDR 2.rádu s konštantnými
koeficientmi
Ft
kp Fp
kt
Fz
m y(t)
u(t)
Tutoriál 3 –prednáška 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7vozík s tlmičom a pružinou
y
dy/dt
Riešenie v programovom prostredí MATLAB:
Každá funkcia v simulačnom jazyku Matlab definovaná ako m-file má svoje vlastné lokálne
premenné, ktoré sú oddelené od ostatných funkcií.
Pre počiatočné
podmienky y´(0) = 0
a y(0) = 0
Tutoriál 3 –prednáška 3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2
-1
0
1
2
3
4
5vozík s tlmičom a pružinou
poloha
rýchlosť
Ak chceme, aby premenné bola dostupná (známa) aj mimo funkcie, musíme ju deklarovať ako
Dva vozíky v interakcií
Vozová súprava → model dynamického správania sa vozovej súpravy patrí medzi rozšírenú aplikáciu
TLMIČA A PRUŽINY PRI SPOJENÍ DVOCH HMOTNÝCH TELIES
1. Vstup do systému:
– sila pôsobiaca na vozík s hmotnosťou
Výstup zo systému:
- vzdialenosť medzi vozíkmi:
Prvá popisuje sily pôsobiace na vozík s hmotnosťou :
Druhá popisuje pôsobenie síl na vozík s hmotnosťou :
Pre počiatočné
podmienky y´(0) = 2
a y(0) = 0
y2(t)
y1(t)
m2 m1
k
b
Fext(t)
Tutoriál 3 –prednáška 3
Prepis do substitučného kanonického tvaru:
Výstup je popísaný ako rozdiel vzdialenosti jednotlivých vozíkov od zvislej osi:
→ rovnica pre výstup
function xder=voziky(t,x) global m1 b k F m2
xder=[x(2); (-k/m1)*x(1)+(k/m1)*x(3)(b/m1)*x(2)+(b/m1)*x(4)+(1/m1)*F;
x(4); (k/m2)*x(1)-(k/m2)*x(3)+(b/m2)*x(2)-(b/m2)*x(4)]
return
global m1 b k F m2
m1=1000; m2=1000; b=5000; k=25000; F=1;
[t,y]=ode45('voziky',[0 2],[0 0])
plot(t,y(:,1)) grid on; title('dva vozíky v interakcii') legend('m1=1000, m2=1000, k=25000, b=5000, Fext=1')
Tutoriál 3 –prednáška 3
Hydraulika – dve spojené nádoby
Uvažujeme hydraulický systém pozostávajúci z dvoch vodorovne prepojených nádob
s prítokom aj odtokom v dvojrozmernom súradnicovom systéme.
Hydrostaticky tlak v jednotlivých nádobách a potrubí je popísaný rovnicou [Pa].
Linearizovaná závislosť prietoku v prietokovej trubici z nádrže 1. do nádrže 2. Je popísaná:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
-5 dva vozíky v interakcii
m1=1000, m2=1000, k=25000, b=5000, Fext=1
p2(t)
q2(t)
F2
h2(t)
p3(t)
R2
q3(t)
p4(t)=0
q1(t)
F1
p1(t)
h1(t)
R1
h(t)
Tutoriál 3 –prednáška 3
a linearizovaná závislosť prietoku v odtokovej trubici z nádrže 2. Je popísaná rovnicou:
Diferenciálne rovnice opisujúce dynamiku, t. j. zmenu objemu kvapaliny v každej nádobe v
závislosti od vstupného a výstupného prietoku z konkrétnej nádoby majú tvar:
Úpravou týchto rovníc získame výslednú diferenciálnu rovnicu:
Pre jej jednoduchší zápis použijeme substitúciu:
Lineárna diferenciálna rovnica popisujúca odtok z druhej nádoby:
Prepis do substitučného kanonického tvaru:
Hodnoty pre výpočet:
Počiatočné podmienky:
Tutoriál 3 –prednáška 3
0 1 2 3 4 5 6 7 8
x 10-3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1hydraulika - dve spojené nadoby
čas(t)
odto
k z
dru
hej nádoby
ro= 998, g=9.81, R1=R2=20, F1=0.25, F2=0.2
Riešenie modelu hydrauliky v prostredí MATLAB:
function xdot=hydraulika(t,x) global T1 T2 T3 q1;
xdot=[x(2); (q1-x(1)-(T1+T2+T3)*x(2))/(T1*T2)];
T1=(F1*R1)/(ro*g); T2=(F2*R2)/(ro*g); T3=(F1*R2)/(ro*g);
[t,y]=ode45('hydraulika',[t0 tfin],[pp1 pp2]);
