UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL

Evaluación de Impacto Ambiental[Tema Nº 6: Modelos teóricos y matemática del transporte de

contaminantes]

MG. ALEXIS DUEÑAS DAVILA

No siempre es posible hacer predicciones exactas, más aún cuando setratan de escenarios temporales extremadamente largos.

Pueden hacerse estimaciones sencillas lo suficientemente fiables comopara que las soluciones que aportan sean ciertamente válidas.

Puede utilizarse modelos matemáticos simples para desarrollarescenarios muy útiles de tipo “que pasaría si”, entonces podría simularseuna predicción que podría ser válida.

Se revisan modelos matemáticos sencillos, tales como:

Crecimiento exponencial;Consumo de recursos;Crecimiento de población.

“Predecir es muy difícil, especialmente si se trata del futuro”Niels Bohr

El crecimiento exponencial se da en cualquier situación que indique unincremento de alguna cantidad en proporción de la cantidad presente.Este tipo de crecimiento es bastante común y la matemática pararepresentarlo es simple y se expresa del siguiente modo:

Si:N0: cantidad inicial del procesoNt: cantidad después de t añosr: tasa de crecimiento (fracción por año)

Entonces,Nt+1= Nt + rNt= Nt (1+r) (1)

Así,N1=N0(1+r); N2= N1(1+r)=N0(1+r)2 (2)

Y en general,Nt= N0(1+r)t (3)

Crecimiento exponencial simple

En muchas situaciones se asume, sobre todo en aspectos ambientales, que la curva de crecimiento es una función suave y continua, sin los saltos anuales en que se basa la formula (3).

Utilizando el cálculo infinitesimal, la curva de crecimiento se convierte en una función exponencial de uso ampliamente difundido.

Un supuesto básico del modelo es que el crecimiento exponencial ocurre como consecuencia que éste ocurre en la misma proporción, lo cual supone afirmar que la velocidad de cambio de N es proporcional a N.

La proporcionalidad constante de r se denomina velocidad de crecimiento y tiene unidades de tiempo (-1).

Crecimiento exponencial: continuo

Esto es esencialmente lo mismo que,

N= N0ert (5)

N=N0ert

N0

N

Una cantidad que crece exponencialmente requiere de un tiempo fijo para duplicarsu tamaño, independientemente del punto de inicio.Esto supone que hay el mismo tiempo para crecer de N0 a 2N0 del que hay para 2N0

a 4N0 y así sucesivamente.

Tiempo de duplicación

El tiempo de duplicación (td) de una cantidad que crece a una tasa exponencial r se expresa por:

2N0=N0ertd (6)

De donde;

ln2=rtd O,

td (7)

Si la tasa de crecimiento r se expresa como un porcentaje en lugar de cómo una fracción se obtendrá lo siguiente:

td= (8)

Con la consecuencia siguiente: El periodo de tiempo requerido para duplicar una cantidad que crece en r por ciento es

aproximadamente igual a 70 divido por r por ciento.

Tiempo de duplicación

Cuando la tasa de disminución de unacantidad es proporcional a la cantidadpresente, el crecimiento exponencial seconvierte en un decrecimiento exponencial.

El decrecimiento exponencial puededescribirse por medio del coeficiente develocidad de reacción (k) o el concepto devida media (t1/2).

El decrecimiento exponencial se expresacomo:

N=N0e-kt

Donde:K: coeficiente de la tasa de reacción

(tiempo -1)N0: cantidad inicialN: la cantidad a cabo del tiempo t.

Vida mediaSi se linealiza la ecuación, se tiene que:

(9)

Para eliminar N0, se aplica logaritmos neperianos y se obtiene la siguiente transformación:

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Evaluación de Impacto Ambiental[Tema Nº 7: Tratamiento de unidades, balance de masas y reactores

ideales]

MG. ALEXIS DUEÑAS DAVILA

Tratamiento de unidades…

Una premisa fundamental del Balance de Masa es la conversión a unidades homogéneas. Se

distinguen:

Líquidos

Gases

Líquidos.-

En este caso, la concentración está expresada en términos de masa o número de

unidad de volumen de la mezcla.

Las unidades utilizadas son miligramos (mg), microgramos (µg) o moles (mol) de

sustancia por litro (L).

Si interviene el tiempo (t) se expresa en gramos por metro cubico (g/m3).

Las concentraciones de líquidos se expresan en unidades de masa por masa de

mezcla, es decir en partes por millón (ppm) o en partes del mil millones (ppmm).

Por tanto, se tiene que:

1mg/L=1g/m3=1ppm(peso)

1µg/L=1mg/m3=1ppb(peso)

Tratamiento de unidades…

Gases.-

• La mayoría de las concentraciones se expresan términos volumétricos.

• Por ejemplo, la concentración de un contaminante gaseoso se expresa en parte por

millón (ppm), que supone un millón de volúmenes de mezcla de aire.

1 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑔𝑎𝑠𝑒𝑜𝑠

106 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑖𝑟𝑒= 1 ppm volumen = 1 ppmv

• Frecuentemente la concentraciones se expresan como masa por unidad de volumen,

ejemplo: µg/m3 o mg/m3.

• La relación entre ppmv y mg/m3 depende la presión, temperatura y peso molecular.

• Por tanto, debe tomarse en consideración que:

PV=nRT

R- concentración del gas ideal=0.082056 L*atm*K-1*mol-1

T- Temperatura real en K°, entonces K=°C+ 273.15

Tipos de contaminantes:

Sustancias conservativas

Las que aparecen con mayor frecuencia son :

Sodio

Potasio

Las que usualmente se observan son :

Calcio, el cual puede precipitar con pH

altos.

Magnesio, el cual puede precipitar con pH

altos.

Sulfatos ( SO4-- ) los cuales pueden

reducirse a S-- bajo condiciones aeróbicas.

Tricarbonato ( HCO3- )

Tipos de contaminantes:

sustancias no conservativas

ORGÁNICAS(Biodegradables): Se descomponen

por sedimentación.

NITROGENADAS : NH4+, NO2

-, NO3-

AUTOTROFICAS: Favorecen el crecimiento de

plantas y algas

FOSFORADAS: PO4---, HPO4

--,H2PO4-,H3PO4

MICRO ORGANISMOS: nacen, crecen y mueren.

El mantillo o humus es el resultado de un proceso continuado de degradación o transformación bioquímica de restos animales y vegetales

Una materia manufacturada

como el papel, depositada

en un medio acuoso tarda

entre 3 y 4 semanas en

degradarse; para un vaso

de vidrio el tiempo es

indefinido

Balance de masa en sistemas ambientales:

Introducción a los rectores ideales

Acumulación

Reacciones:

Descomposición

Generación

Entradas Salidas

Frontera del

Volumen de Control

Diagrama de equilibrio de masas

Una sustancia en el volumen de control tiene cuatro destinos posibles:

Una parte de ella puede salir de la región de control al igual que entro.

Una parte de ella puede acumularse dentro de la frontera de control.

Una parte de ella puede convertirse en otra sustancia.

Una parte de ella se transforma en otras sustancias

En el modelamiento de estos procesos, se introduce como concepto, acumulación,

descomposición o producción, las reacciones como una categoría de agrupamiento.

Una forma generalizada para cada uno de estos casos se puede expresar en la

siguiente ecuación:

Tasa de acumulación= Tasa de entrada- Tasa de salida + Tasa de reacción

En el modelamiento de estos procesos, se introduce como concepto, acumulación,

descomposición o producción, las reacciones como una categoría de agrupamiento.

La tasa de reacción puede ser positiva o negativa.

Positiva si => T. generación es más rápida que la T. descomposición.

Negativa si => T. generación es más lenta que la T. descomposición.

La tasa de acumulación también puede ser positiva o negativa.

Aquí cabe dos supuestos:

Supuesto 1°.- Condiciones de estabilidad o equilibrio.

Esto supone que no hay acumulación (T.ac.=0) en el tiempo.

El sistema ha tenido entradas y salidas.

No hay alteración o cambio (reacción) de sus componentes.

Supuesto 2°.- El caso de las sustancias conservativas.

Una sustancia que entra se conserva dentro de la región de control.

No hay reacción (ni descomposición ni producción)

Tasa de reacción nula (T.rec=0).

En ocasiones, para estimar sin problemas, se suelen reducir a este último

supuesto algunas sustancias no conservativas, que tienen tasas de reacción

muy pequeñas, cercanas a cero.

Corriente

Cs, Qs

Contaminante

Cw, Qw

Cm, QmCorriente

Q= tasa de flujo

C= Concentración del

contaminante

Acumulación=0

Reacción=0

El sistema más simple es aquel donde se puede asumir un estado estable (T.ac=0).

Además las sustancias ingresantes se conservan (T.rec=0), entonces:

Tasa de entrada= Tasa de Salida

Siguiendo el ejemplo anterior, se tiene que:

CsQs + CwQw = CmQm

Despejando la concentración de la mezcla:

Cm=𝐶𝑠𝑄𝑠+𝐶𝑤𝑄𝑤

𝑄𝑚

Pero el caudal de la mezcla es resultado de los caudales parciales (Qs+Qw), entonces:

Cm=𝐶𝑠𝑄𝑠+𝐶𝑤𝑄𝑤

𝑄𝑠+𝑄𝑤

Estado Estable de conservación:

Supuesto ideal

Es un sistema simple no hay entradas ni salidas.

Los componentes del sistema experimentan cambios (reacciones)

Se asume una distribución homogénea. Entonces se tiene que:

Tasa de acumulación= Tasa de reacción

La tasa de reacción es la integral de las tasas de descomposición (negativa) y

tasas de generación (positivas).

Estas reacciones pueden ser de diverso orden (0, 1ro, y 2do orden).

Sistemas Batch con contaminantes no conservativos

(reactor CMBR-reactor batch completamente mezclado).

Las reacciones de orden 0, la tasa de reacción

[r(C)] no depende de la cantidad de la sustancia

y se expresa como:

r(C)=k(generación) o r(C)=-k(descomposición)

Usando esta expresión en condiciones de

equilibrio de masas para una reacción de orden

cero en un reactor batch, se tiene:

V 𝑑𝐶

𝑑𝑡=-Vk

Integrando, se tiene que:

C-Co=-kt

Por tanto, la concentración final es:

C=Co-kt

Clases de reacciones (orden 0, 1er y 2do)

Las reacciones de orden 1, la tasa de reacción

[r(C)] depende de la concentración de la

sustancia y se expresa como:

r(C)=kC(generación) o r(C)=-kC(descomposición)

Usando esta expresión, la masa que se

descompone por unidad de tiempo es

directamente proporcional a la masa original:

V 𝑑𝐶

𝑑𝑡=-VkC

Integrando, se tiene que:

𝐶 = 𝐶𝑜𝑒−𝑘𝑡

Clases de reacciones (orden 0, 1er y 2do)

Las reacciones de orden 2, la tasa de

reacción [r(C)] depende del numero de

reactantes obtenidos y se expresa como:

r(C)=kC2(generación) o r(C)=-

kC2(descomposición)

Usando esta expresión, se obtiene una

ecuación diferencia de segundo orden:

V 𝑑𝐶

𝑑𝑡=-VkC2

Integrando, se tiene que:

C=𝐶𝑜

1+𝐶𝑜𝑘𝑡

Clases de reacciones (orden 0, 1er y 2do)

Si se asume condiciones estables y son sustancias que no se conservan, entonces

tenemos:

0= Tasa de entrada-Tasa de Salida +Tasa de reacción

El modelo batch no es útil, porque este sistema tiene entradas y salidas.

Normalmente se utilizan dos tipos de reactores:

Reactores de mezcla homogénea (CSTR-reactor continuamente batido batch)

Reactores de flujo (PFR-reactor tapón de flujo)

Sistemas en estado estable con sustancias no

conservativas

El supuesto básico es que la concentración (C) dentro del reactor es uniforme.

La Tasa de reacción puede ser: descomposición o generación, dependiendo si es (+/-)

La tasa, para tales efectos, se puede considerar de orden 0, 1 ó 2.

Al igual que el modelo batch, se asume que C está distribuido uniformemente en un volumen (V) y la

cantidad total es CV.

La Tasa de reacción entonces es:𝑑𝐶𝑉

𝑑𝑡= V

𝑑𝐶

𝑑𝑡=Vr(C)

Tomando en cuenta las ecuaciones reacción, se obtiene una ecuación sencilla para este tipo de

reactor:

Tasa de entrada= Tasa de salida +KC2V

La expresión anterior es válida si se trata de una sustancia que se descompone con una tasa de

segundo orden.

Recuérdese que las tasas de reacción para este modelo son:

Tasa de Descomposición, de orden cero= -Vk

Tasa de generación, de orden cero= Vk

Tasa de Descomposición, de primer orden= -VkC

Tasa de generación, de primer orden= VkC

Tasa de Descomposición, de segundo orden= -VkC2

Tasa de generación, de segundo orden= VkC2

Reactor del tipo CSTR

El supuesto básico es que la sustancia fluye a través del reactor.

Un PFR puede ser visto como un canal o tubería.

En este modelo no hay mezcla de las sustancias, entre la entrada y la salida.

Este es el caso de un contaminante arrastrado por un río.

La Tasa de descomposición puede ser:

C-Co=-kt [orden cero]

C=Co𝑒−𝑘𝑡 [primer orden]

C=𝐶𝑜

1+𝐶𝑜𝑘𝑡[segundo orden]

Si se considera que t, en todas las ecuaciones, es la permanencia del líquido en el

volumen control y se da por:

t=𝑙

𝑣=

𝑉

𝑄

V es el volumen de control del PFR y Q la tasa de flujo del liquido.

Reactor del tipo PFR

Este modelo se conoce como función de respuesta en etapas, y se idealiza en función

del siguiente diagrama:

Flujo de

entradaFlujo de salida

Volumen de control V

Concentración C

Coeficiente de descomposición Kd

Coeficiente de generación Kg

Q, CiQ, C

Modelo de Caja para el análisis transitorio

Consideraciones al estado no estable

Se asume que en la caja las sustancias están

completamente mezcladas (situación

semejante a un CSTR).

La concentración (C) en la caja es la misma

que aquella que sale.

La masa del contaminante es VC y la tasa de

acumulación V 𝑑𝐶

𝑑𝑡

Tasa de acumulación=tasa de entrada-tasa de

salida + Tasa de reacción

V𝑑𝐶

𝑑𝑇= 𝑄𝐶𝑖 − 𝑄𝐶 − 𝑉𝑘𝑑𝐶 + 𝑘𝑔𝑉

En condiciones estables, la anterior ecuación

supone:

C∞=𝑄𝐶

𝑖+𝐾𝑔𝑉

𝑄+𝑘𝑑𝑉

Finalmente, la concentración de la caja se

estima por:

C- C∞ = (Co- C∞)𝑒− 𝑘

𝑑+𝑄

𝑣𝑡

C∞=𝑄𝐶𝑖+𝐾𝑔𝑉

𝑄+𝑘𝑑𝑉