Modelos matematicos para el estudio de laactivacion de la corteza cerebral

Juan Alberto Escamilla Reyna

1999

Introduccion

La modelacion matematica, en el area de las neurociencias, ha tenidoexito en los distintos niveles de organizacion del cerebro, baste recordar unode los exitos mas famosos, el logrado por los neurofisiologos A. Hodgkin y A.Huxley (H-H), que en el ano 1952 [57], construyeron un modelo matematicopara explicar la dinamica del potencial de membrana de una neurona, enfuncion de las corrientes ionicas subyacentes. El modelo se toma todavıacomo ejemplo para la elaboracion de modelos “realistas” de neuronas [21],[99], [100].

El modelo de H-H consta de cuatro ecuaciones diferenciales no lineales–otros modelos constan de mas ecuaciones–. El estudio matematico de estosmodelos es muy complejo y se ha abordado usando diversas herramientasmatematicas : metodos numericos, teorıa cualitativa de ecuaciones diferen-ciales, teorıa de bifurcaciones, metodos de pequeno parametro, etc. [16], [21],[28], [97], [100].

Otros exitos famosos, son los logrados en el area de las redes neuronales,desde el trabajo pionero de Mc Culloch-Pitts [80], en el cual se construyeuna red neuronal, con neuronas artificiales muy simplificadas, pero basadaen algunas propiedades de las neuronas reales, hasta los trabajos de Hopfield[59], [60]. Los trabajos de Hopfield han sido muy importantes para el estudiode la memoria asociativa.

Actualmente, el area de las redes neuronales es muy fructıfera, se de-sarrolla fundamentalmente en dos lıneas de investigacion: la primera, tienecomo objetivo construir redes neuronales que resuelvan problemas en diver-sas areas, computacion, matematicas, etc., independientemente de que silas propiedades de las neuronas y los parametros que intervienen en la redtienen alguna relacion significativa con las neuronas reales. La segunda, in-tenta construir redes neuronales “realistas”, que ayuden a explicar fenomenosfisiologicos reales. Para la primera lınea de investigacion se pueden ver lostrabajos [10], [12], [43], para la segunda [24], [40], [41], [75].

En esta area de investigacion tambien se presentan problemasmatematicos complejos que se han abordado con metodos numericos, ecua-ciones diferenciales, teorıa de bifurcaciones y tecnicas de pequeno parametro.

En el area de la electroencefalografıa, se han elaborado modelos con-siderando al cerebro como un medio conductor de la electricidad, y conuna aproximacion cuasi-estatica, para tratar el problema de localizacion de

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fuentes, para una distribucion de potencial en el cuero cabelludo. Este pro-blema no tiene solucion unica y usualmente se agregan hipotesis, sugeridaspor la anatomıa y fisiologıa del cerebro, a las posibles fuentes que originanla distribucion de potencial dada sobre el cuero cabelludo. Estos modelosplantean problemas matematicos que se ubican en el area matematica de losproblemas inversos. Tambien se auxilian con los metodos matematicos de lateorıa del potencial.

La principal limitante de los modelos de medio conductor cuasi-estaticoses que no pueden informar sobre el origen fisiologico de los patrones tempo-rales rıtmicos observados en el electroencefalograma.

En cuanto al estudio dinamico de la actividad cortical y su relacion con ladinamica de los electroencefalogramas (EEG), se han elaborado diversos mo-delos. Estos se pueden clasificar, grosso modo, en modelos locales, modelosglobales y modelos locales-globales.

En los modelos locales se trata de explicar la dinamica de la actividadcortical en funcion de lo que ocurre a nivel sinaptico [33], [34], [75], [76], [77],[95]. En los modelos globales, se considera que la dinamica de la actividadcortical se puede explicar usando propiedades macroscopicas de la propiacorteza [87], [88], [89], [90], [92] y en los modelos locales-globales, se mezclanambos niveles [64], [66], [68], [104], [105].

Entre los modelos globales, se encuentra el elaborado por Nunez [89],[92]. Es un modelo global lineal de interaccion neuronal que describe lapropagacion de ondas de frecuencias bajas en la corteza cerebral, sus resulta-dos coinciden –cualitativamente– con datos experimentales relacionados conel ritmo alfa y con algunos otros fenomenos electroencelograficos [89], [92].Sin embargo, su modelo no incluye otros fenomenos fisiologicos, como loscorrespondientes a los diversos estados del sueno.

El modelo relaciona la actividad sinaptica –excitatoria e inhibitoria– encada elemento de corteza x en el tiempo t, con el numero de potencialesde accion que se “generan” en los demas elementos de corteza en tiemposanteriores, teniendo en cuenta las conexiones sinapticas y las velocidades depropagacion de los potenciales de accion.

El objetivo de esta tesis es elaborar y estudiar modelos que describen ladinamica de la actividad cortical, utilizando variables y parametros que sepuedan medir y ası poder correlacionarlos con las mediciones reales de dichaactividad. Los modelos que elaboramos desarrollan las ideas de Nunez en al

II

menos dos direcciones: se introducen nuevos parametros y se toma en cuentala no homogeneidad de la corteza cerebral.

Ademas, el enfoque matematico usado –ecuaciones diferenciales parcialesordinarias, tecnicas de pequeno parametro, etc.– nos permitio estudiar mo-delos no lineales de una manera menos complicada. Ver capıtulos 2 y 3 deesta tesis.

La tesis fue dividida en tres capıtulos. En el capıtulo 1, se hace un re-cuento breve sobre la estructura y funcionamiento del cerebro en sus distintosniveles, los diversos metodos y tecnicas para obtener informacion y comen-tarios sobre los diversos modelos matematicos que existen a nivel neurona,redes y estructuras completas. En el capıtulo 2, describimos los fundamen-tos anatomicos y fisiologicos de los modelos matematicos que construimos.Analizamos dichos modelos y los comparamos con el modelo de Nunez. Enel tercer capıtulo describimos los resultados fundamentales que obtuvimos.

III

Contenido

Capıtulo 1

El cerebro : su estructura, funciones y diferentesformas de medir y modelar su actividad

1.1 El cerebro : un sistema complejo....................................................... 11.2 Algunas estructuras importantes del cerebro..................................... 21.3 La neurona y su fisiologıa.................................................................. 41.4 Bases fısicas del potencial de reposo de la membrana y del potencial

de accion............................................................................................ 81.5 Tecnicas para obtener informacion del cerebro.................................. 121.6 Algunos modelos de estructuras del cerebro...................................... 191.7 Redes neuronales................................................................................ 221.8 Modelos de medio conductor.............................................................. 301.9 Conclusiones....................................................................................... 34

Capıtulo 2

Modelacion global de la actividad sinapticade la corteza cerebral2.1 Introduccion......................................................................................... 352.2 Bases fisiologicas para la modelacion de la actividad sinaptica en la

corteza cerebral.................................................................................... 362.3 Descripcion y simplificaciones en el modelo global de actividad

sinaptica en una banda de corteza....................................................... 442.4 Algunos modelos alternativos al modelo de Nunez.............................. 512.5 Desarrollo y estudio de un modelo de la actividad sinaptica de la

corteza cerebral.................................................................................... 562.6 Transformacion del sistema de ecuaciones integrales en un sistema de

ecuaciones diferenciales parciales......................................................... 602.7 La ecuacion de activacion para la corteza cerebral.............................. 652.8 Construccion de un modelo compartimentado de activacion de la

corteza cerebral.................................................................................... 68

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Capıtulo 3

Analisis matematico del modelo de activacionde la corteza cerebral3.1 Un modelo matematico para una rebanada de corteza cerebral.......... 823.2 Controlabilidad de los estados fisiologicos de la corteza cerebral........ 893.3 Existencia de ondas viajeras en la corteza cerebral............................. 1063.4 Ondas estacionarias en la corteza cerebral.......................................... 126

Conclusiones .............................................................................................. 129Bibliografıa ................................................................................................ 131

V

Capıtulo 1

EL CEREBRO: SU ESTRUCTURA, FUN-CIONES Y DIFERENTES FORMAS DEMEDIR Y MODELAR SU ACTIVIDAD

1.1 EL CEREBRO: UN SISTEMA COMPLEJO

El cerebro es un sistema extremadamente complejo. Esta compuestode aproximadamente 1011 neuronas densamente interconectadas. Existenalrededor de 1015 conexiones entre las neuronas. Cada neurona se conectacon alrededor de 104 neuronas y recibe conexiones de aproximadamente 104

neuronas. Ademas las neuronas estan rodeadas por un numero igual o mayorde celulas, llamadas celulas gliales.

Estudiar el diagrama de conexiones del cerebro es una tarea enorme, apesar de que en muchas areas del cerebro se ha logrado establecer que lasinterconexiones entre las neuronas no se hacen al azar, sino que “siguenleyes” bastante definidas. Pero aunque lograramos establecer perfectamenteel diagrama de conexiones del cerebro, este serıa extremadamente difıcil demanejar.

Tarea igual de compleja o mas es determinar como funcionan las distintasestructuras del cerebro y como se acoplan entre ellas. El cerebro procesa lainformacion en diferentes escalas espacio-temporales. Se dan interacciones anivel sinaptico, entre grupos de neuronas de diversos tamanos, entre areascerebrales, etc. de las cuales surgen fenomenos que no se pueden explicar en

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una sola escala espacio-temporal y que requieren un tratamiento cuidadosoen varias de estas escalas.

1.2 ALGUNAS ESTRUCTURAS IMPORTANTES DELCEREBRO

La informacion que se presenta en esta seccion, fue obtenida de los libros[17], [71], [106]. Para una informacion mas detallada sobre las distintasestructuras del cerebro y sus funciones recurrir a ellos.

Se ha logrado establecer que el cerebro se encuentra dividido en muchasestructuras que interactuan entre sı. De algunas de ellas se conoce aproxima-damente su estructura anatomica y las funciones cerebrales en las que estaninvolucradas.

La corteza cerebral, la parte exterior del cerebro y, desde el punto de vistaevolutivo, la parte mas reciente del cerebro, es un organo muy complejo deaproximadamente dos centımetros de espesor y una superficie aproximadade 1600 cm2. En la cavidad craneana, la corteza se encuentra densamenteplegada, formando giros y surcos. Se divide en cuatro regiones, los lobulosfrontal, parietal, occipital y temporal. Cada uno de ellos cumple con fun-ciones distintas. Se considera que la corteza se encuentra involucrada enlas siguientes actividades : percepcion sensorial, actividades motoras volun-tarias, almacenamiento de distintos tipos de memoria, actividad conciente,etc.

A pesar de su complejidad – gran cantidad de circunvoluciones y aproxi-madamente 1010 neuronas densamente interconectadas– la corteza tiene unconjunto de caracterısticas anatomicas y funcionales que facilitan la elabo-racion de modelos que nos permiten estudiarla teoricamente.

Algunas de estas caracterısticas son:

1. Es un organo estratificado que consta de seis capas horizontales dedistintas densidades, ademas la corteza es bastante uniforme en el planodeterminado por cada capa.

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2. Tiene una organizacion columnar, es decir las neuronas se agrupanpor columnas de diversos tamanos - minicolumnas, columnas y macro-columnas corticales - que se traslapan y se orientan perpendicularmentea la superficie cortical.

3. La corteza cerebral esta mucho mas densamente interconectada consigomisma que con otras estructuras del cerebro. La estructura que tienemas conexiones con la corteza es el talamo y este contribuye con el 1%de las conexiones que tiene la corteza.

En el siguiente capıtulo presentaremos mayor informacion cualitativa ycuantitativa que justifique los modelos teoricos que estudiaremos. Por ahoraterminaremos diciendo que en la corteza cerebral humana se procesa la infor-macion en multiples escalas espacio temporales. Se dan interacciones entreneuronas, entre minicolumnas, entre columnas corticales, entre macrocolum-nas, entre areas corticales e interacciones que involucran todas estas escalas.

El talamo es una estacion de relevo y centro integrador de las entradassensoriales a la corteza. Se cree que tambien regula el nivel de conciencia ylos aspectos emocionales de las sensaciones.

El hipotalamo se considera como la interfaz cerebral con los sistemashormonal y autonomo que controlan la homeostasis interna del cuerpo.

El talamo y el hipotalamo constituyen conjuntamente el diencefalo o cere-bro intermedio.

El sistema lımbico ocupa una porcion cortical y una porcion subcortical.Se encarga de las funciones relacionadas con la emocion, la motivacion yciertos tipos de memoria. Dos subestructuras del sistema lımbico son elhipocampo y la amıgdala. El hipocampo juega un papel importante en lamemoria. La amıgdala coordina las acciones de los sistemas autonomo yendocrino.

El cerebelo tiene una estructura muy sistematizada y homogenea en todoel organo. La funcion mas importante del cerebelo es la coordinacion de laactividad motora y de la “postura”.

Los ganglios basales son cinco nucleos altamente interconectados: cau-dado, putamen, globo palido, nucleo subtalamico y sustancia nigra. Los

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ganglios basales se considera que estan implicados en aspectos cognitivossuperiores del control motor y en otras muchas funciones.

Por ultimo, los hemisferios cerebrales estan formados por la corteza ytres estructuras profundas: los ganglios basales, el hipocampo y el nucleoamigdalino. Aunque cada hemisferio tiene funciones especializadas, ambostrabajan en asocacion en lo que se refiere a funciones perceptivas, cognitivasy motoras superiores.

Existen muchas otras estructuras que no mencionamos en esta seccion.Tampoco mencionamos las distintas interrelaciones que existen entre las di-versas estructuras. Para mayor informacion se puede recurrir a los librosmencionados al inicio de esta seccion.

1.3 LA NEURONA Y SU FISIOLOGIA

Una exposicion detallada de los temas expuestos en esta seccion y lasiguiente se puede encontrar en [17], [20], [71], [106], [116], [117].

Las neuronas del cerebro presentan una gran variedad de formas ytamanos, (Fig. #1) , pero en todas ellas se pueden identificar cuatro partes(Fig. #2):

1. El cuerpo celular o soma.

2. Las dendritas.

3. El axon.

4. Los terminales axonicas o sinapticas.

En el funcionamiento de la neurona, cada una de estas partes tiene unpapel especıfico:

1. El cuerpo celular es el centro metabolico de la neurona y el lugar dondese procesa la informacion. Su diametro varıa de 5 a 100µ.

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2. Las dendritas son el centro receptor de la informacion de la neurona.Por lo general, la neurona recibe la informacion (en su mayor parte detipo electrico) a traves de las dendritas, aunque algunas veces la recibedirectamente a traves del cuerpo celular.

3. El axon es una fibra nerviosa que nace del cuerpo celular y es el en-cargado de transportar las senales que genera la neurona, en ocasionestransportando la senal a distancias considerables. El diametro de losaxones en humano, varıa de 0.1µ a 20µ. Frecuentemente los axonesestan envueltos en una vaina grasa, denominada mielina. La vaina estadividida por espacios regulares sin mielina, llamados nodos de Ran-vier. La mision de la vaina de mielina es aumentar la velocidad depropagacion de las senales generadas por la neurona.

4. Los terminales axonicos o sinapticos constituyen los elementos de trans-mision de la neurona. A traves de ellos una neurona contacta y trans-mite la informacion a la zona receptora de otra neurona. La zonade contacto se llama sinapsis y por lo general la zona postsinaptica seubica en las dendritas, aunque tambien ocurren contactos sinapticos enel cuerpo celular de la neurona y algunas veces en el axon de la neurona.Existen aproximadamente 104 contactos sinapticos por neurona.

En condiciones de reposo, toda la neurona (cuerpo celular, soma, den-dritas) esta polarizada de manera tal que el interior tiene un potencial de-70 mV , considerando que la superficie externa de la membrana es el nivelde referencia, es decir, tiene potencial cero. Este potencial de la neurona esllamado potencial de reposo de la membrana. El potencial de reposo puedevariar, dependiendo del tipo de neurona, pero el interior de la membrana dela neurona queda siempre cargado negativamente, con respecto al exteriorde la misma. Ademas este potencial puede cambiar en respuesta a diversosestımulos como temperatura, PH, concentraciones extracelulares de iones,corrientes electricas, etc.

Como ya mencionamos anteriormente la neurona recibe la informacion(de otras neuronas o informacion producida por medios artificiales) a travesde las dendritas. Esta informacion se presenta como un cambio en el po-tencial electrico en las dendritas; que llamaremos potenciales postsinapticos.Estos potenciales, tienen una magnitud entre 0.1−10 mV , son de naturaleza

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local, pasivos y disminuyen en intensidad progresivamente y no se detectanmas alla de 1 o 2 mm del sitio de origen. El cuerpo celular los suma espacialy temporalmente y cuando se alcanza un cierto umbral, la neurona “genera”una senal, llamada potencial de accion. Esta senal es un impulso electricoque se propaga por el axon hasta los terminales axonicos, donde la despolar-izacion produce la liberacion de neurotransmisores que se propagan a travesdel espacio sinaptico y afectan a la membrana postsinaptica. Esta afectacionmodifica el estado electrico de la membrana y puede ser de tipo excitatoriodespolarizandola y ası ayudar a la neurona receptora a que “genere” masfacilmente un potencial de accion, o de tipo inhibitorio que tiene el efectocontrario. Estos potenciales postsinapticos seran llamados potenciales excita-torios postsinapticos (PEPS) si excitan a la neurona y potenciales inhibitoriospostsinapticos (PIPS) si la inhiben.

La senal que genera una neurona, es decir, el potencial de accion tiene lassiguientes propiedades :

1. Se propaga activamente a lo largo del axon.

2. No disminuye su intensidad en funcion de la distancia.

3. Es de naturaleza todo o nada.

4. Es semejante en todas las neuronas. La amplitud del potencial deaccion es de unos 100 mV y dura de 0.5 a 2 milisegundos. Su velocidadde propagacion depende del diametro del axon y de su mielinizacion.

5. La mayorıa de las neuronas generan un potencial de accion cuando elestımulo aplicado es despolarizante. La magnitud del estımulo debeser mayor que un cierto valor crıtico, llamado el umbral de disparo dela neurona. Este umbral depende de la neurona y aun en la mismaneurona puede cambiar.

Tambien existen neuronas que generan un potencial de accion cuandoel estımulo aplicado es hiperpolarizante y de cierta duracion.

6. Si el mismo estımulo aplicado a la neurona, se mantiene durante uncierto tiempo, el umbral de disparo de la neurona disminuye.

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7. Una vez que se genera un potencial de accion, la neurona es incapaz,durante cierto tiempo, de generar un nuevo potencial de accion, inde-pendientemente de la magnitud del estımulo que se le aplique, en estecaso se dice que la neurona esta en estado refractario. Al tiempo quedura la neurona en estado refractario se le llama perıodo refractarioabsoluto. Existe un intervalo de tiempo, llamado perıodo refractariorelativo, durante el cual el umbral de disparo de la neurona aumenta ycon esto dificultar la generacion de nuevos potenciales de accion.

El perıodo refractario absoluto de una neurona determina la frecuenciade generacion de potenciales de accion.

8. Un potencial de accion se puede generar mediante estımulos de corrienteque varıen linealmente con el tiempo, con tal que la pendiente sea mayorque un cierto valor crıtico. Si la pendiente es menor que este valorcrıtico, no se genera ningun potencial de accion, sin importar que tangrande sea la despolarizacion de la membrana. A esta propiedad de lamembrana se le llama acomodacion.

El mecanismo de propagacion del potencial de accion se puede describiresquematicamente de la siguiente manera: el estımulo inicial en un puntodel axon (una despolarizacion de la neurona de cierta magnitud) provocacorrientes locales que fluyen de manera pasiva a traves de la membrana,causando una variacion en el potencial de reposo en zonas cercanas al puntoestimulado.

Esta despolarizacion en las zonas cercanas “genera” un mecanismo en lamembrana que genera un voltaje muchas veces mayor que el inicial, el cuala su vez produce corrientes locales que causan un cambio en el potencial enlas zonas adyacentes y ası sucesivamente.

Esta claramente demostrado que el potencial de accion no se puede propa-gar por el axon como si este fuera un cable (en forma pasiva) ya que en estecaso el potencial decrecerıa en forma exponencial y la rapidez de decreci-miento estarıa en funcion de la resistencia de la membrana axonica y de laresistencia a las corrientes que fluyen longitudinalmente a traves del axon

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1.4 BASES FISICAS DEL POTENCIAL DE REPOSO DE LAMEMBRANA Y DEL POTENCIAL DE ACCION

Toda neurona contiene en su interior varios tipos de iones, entre los quese encuentra el sodio (Na+), el potasio (K+) y el cloro (Cl−) en distintasconcentraciones, ademas de algunas otras moleculas como aminoacidos, pro-teinas, etc. La membrana de una neurona tiene distintas permeabilidades conrespecto a cada tipo de ion. La difusion de los iones a traves de la membranacelular se realiza a traves de zonas especiales restringidas de la membrana,llamados “poros” o “canales” y existe selectividad de estos canales para losdistintos tipos de iones. La membrana tiene tambien mecanismos activospara “bombear” algunos de los tipos de iones (principalmente el potasio y elsodio) del interior al exterior de la membrana y recıprocamente.

En el exterior de la neurona tambien se encuentran distintos tipos deiones, principalmente sodio, potasio y cloro, en distintas concentraciones.

Para el caso de la membrana neuronal en reposo del axon gigante delcalamar, (ver Tabla 1). Los tipos de iones y las concentraciones de estos,pueden variar, dependiendo del tipo de neurona que se considere.

Tabla 1

Lıquido Potencial deEspecie Citoplasma extracelular equilibrio∗

ionica (mM) (mM) (mV)K+ 400 20 −75Na+ 50 440 +55Cl− 52 560 −60A− (iones 385 – –organicos)

La distribucion de los principales iones a traves de la membrananeuronal en reposo del axon gigante del calamar.∗Se denomina ası al potencial de membrana en el que no hay flujo neto de iones a travesde la membrana

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Actualmente se considera que el potencial de reposo de la membrana selogra cuando los flujos pasivos y activos de Na+, K+, Cl− estan balanceados(Fig. #3), lo cual se logra cuando las fuerzas de difusion, provocadas por lasdistintas concentraciones de los iones, en el interior y exterior de la membranase equilibran con las fuerzas electricas, producidas por el hecho de que losiones son partıculas cargadas electricamente.

El potencial de accion se logra cuando la neurona se despolariza hastaun nivel crıtico; en ese momento tiene lugar un cambio subito, donde lasbarreras normales que se oponen al flujo de sodio y potasio desaparecenmomentaaneamente, estableciendose un flujo local de iones, de suficientemagnitud como para invertir el potencial de membrana, que alcanza unos50 mV (positivo en el interior) y despues se invierte de nuevo para establecerel potencial de reposo. Pero la primera inversion (hacia el interior positivo)ha producido una senal potente que se extiende y lleva la region adyacente dela membrana a un nivel crıtico, repitiendose entonces el proceso (Fig. #3).En la siguiente seccion explicaremos mas detalladamente esto y describiremoslos diversos modelos que existen al respecto.

Una ecuacion importante en la fisiologıa es la ecuacion de Nernst, obtenidaen 1888 por W. Nernst. Esta ecuacion relaciona el potencial de una mem-brana permeable a un ion con las concentraciones del ion en el interior y elexterior de la membrana. La ecuacion se aplica con la condicion de que lacorriente total ionica sea igual a cero, es decir, cuando la corriente ionicaproducida por el potencial es igual a la corriente producida por la diferenciade concentraciones en el interior y el exterior de la neurona.

Supongamos que tenemos dos compartimientos A y B, donde se tiene unasolucion que contiene un ion I, a diferentes concentraciones CA y CB y quelos compartimientos estan separados por una membrana permeable al ion I(Fig. #4)

Figura 4

A ion I ion I BCA+ −CB

V

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Como el ion I se encuentra a diferentes concentraciones en A y B, entoncesse empezara a difundir del compartimiento de mayor concentracion al demenor concentracion pero como el ion lleva una carga, el compartimientohacia el cual se esta difundiendo empieza a aumentar su carga ası aumenta suvoltaje frenando la difusion del ion. El equilibrio dinamico se lograra cuandoel voltaje en el compartimiento que recibe los iones difundidos se equilibracon la fuerza de difusion que surge debido a las distintas concentraciones delion. Es decir, cuando:

V =RT

ZFln

(CB

CA

)(1.1)

donde V es el voltaje entre el compartimiento A y el compartimiento B, Res la constante de los gases ideales, T la temperatura (en grados Kelvin), Zla valencia del ion y F la constante de Faraday (la carga de una mole departıculas univalentes), aproximadamente 9.65 × 104C/mol. Esta ecuacionnos permite calcular el voltaje entre A y B en terminos de las concentracionesdel ion en los compartimientos A y B, cuando el flujo neto de iones entre loscompartimientos es cero. Este voltaje entre A y B es llamado el potencialde equilibrio del ion. En la Tabla 1 estan los valores de los potenciales deequilibrio de algunos iones.

En el caso que los compartimientos contengan mas de un ion, con dis-tintas concentraciones y que la membrana contenga canales independientespara el paso de los iones, se puede calcular el potencial de equilibrio de unsolo ion, usando (1.1), con la condicion de que la membrana tenga abierto,unicamente, el canal de ese ion. Si todos los canales de la membrana estanabiertos simultaneamente, entonces el voltaje dependera de las permeabili-dades (facilidad con que un ion atraviesa la membrana (cm/seg)) relativasde los iones y de las concentraciones de los iones. Goldman (1943) calculo elpotencial final promedio:

V =RT

ZiFln

( ∑P+

i [I+i ]A +

∑P−

i [I−i ]B∑P+

i [I+i ]B +

∑P−

i [C−i ]A

)(1.2)

donde P+i , P−

i representan las permeabilidades de las especies ionicas positi-vas y negativas respectivamente y [I+

i ]∗, [I−i ]∗ son las concentraciones de estosiones en el compartimiento ∗.

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En el caso de la membrana de una neurona sabemos que en el interiory el exterior de la misma se encuentran varios tipos de iones con distintasconcentraciones y permeabilidades. Entre los principales se encuentran elsodio (Na+), el potasio (K+) y el cloro (Cl−). Aplicando (1.2) para estostres iones obtenemos:

V =KT

Fln

[Pk+ [K+]e + PNa+ [Na+]e + PCla− [Cl−]iPk+ [K+]i + PNa+ [Na+]i + PCla− [Cl−]e

](1.3)

En la ecuacion de Goldman se supone que el campo electrico que existea traves de la membrana varıa uniformemente, por lo que tambien se suponeque los movimientos de los iones a traves de la membrana son independientesunos de otros.

La importancia de este resultado es que nos permite hacer prediccionescuantitativas del potencial de membrana cuando se tienen variaciones de lasconcentraciones de los iones y de las permeabilidades de la membrana a losdistintos iones.

Usando la ecuacion de Nernst y con ciertos experimentos de tipo electricose ha logrado demostrar que la membrana de una neurona en estado de reposono es permeable unicamente al potasio sino que tambien es permeable alsodio, aunque la permeabilidad del sodio es muy pequena con respecto a ladel potasio. Se considera que la permeabilidad con respecto a los iones desodio es aproximadamente el 1% de la correspondiente a los iones de potasioy por ello debe de haber una “bomba” en la membrana que bombea ionesde sodio hacia el exterior de la membrana e iones de potasio al interior de lamisma.

Tambien se logro establecer lo que ocurre cuando una neurona generaun potencial de accion. El potencial de accion se genera cuando se lograuna despolarizacion de la membrana de aproximadamente 15 mV y en esemomento ocurre que la permeabilidad de la membrana al sodio aumenta, porla apertura de canales de Na+ (que dependen del voltaje), lo que hace queel potencial se eleve. Esto a su vez permite que aumente la permeabilidadde la membrana, por un nuevo aumento de los “canales” de sodio, lo quehace que el potencial se eleve y ası sucesivamente, hasta que el potencial casialcanza el potencial de equilibrio del sodio (se establece en la membrana un

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mecanismo de retroalimentacion positiva entre el potencial de membrana yla permeabilidad de esta al sodio). Este potencial de equilibrio no se alcanzaya que cuando se inicia el aumento de la permeabilidad de la membrana alsodio, un corto tiempo despues empieza a aumentar la permeabilidad de lamembrana al potasio y una entrada de cloro a la membrana. Ademas loscanales de sodio empiezan un proceso de inexcitabilidad y tambien se tieneun flujo pasivo de iones de potasio.

En resumen, el potencial de accion se origina cuando la estimulacionelectrica alcanza un cierto umbral. Su dinamica se encuentra determinadapor la relacion que existe entre las distintas corrientes ionicas que se estable-cen en la membrana, tanto corrientes pasivas como activas.

En la seccion 1.6 se mostraran algunos modelos que describen este procesode manera cuantitativa.

Una manera equivalente de estudiar el potencial de membrana de unaneurona consiste en construir un circuito electrico que incorpore las trespropiedades basicas que utiliza la membrana para generar senales electricas- los canales ionicos, los gradientes de concentracion de los iones, la capaci-dad de la membrana para almacenar carga electrica. Cada canal ionico sepuede representar como una resistencia (o como una conductancia que esla inversa de la resistencia). La conductancia para un canal ionico serıa encierta medida, equivalente a la permeabilidad de la membrana a ese ion. Lacapacidad de la membrana para almacenar carga se puede representar comouna capacitancia y los gradientes de concentracion como una baterıa (Figs.#5,6)

El modelo de circuito equivalente es muy importante desde el punto devista experimental ya que permite el uso de tecnicas electrofisiologicas parael estudio de las senales neurales, en lugar del uso de isotopos radiactivos quese usan para medir los cambios de permeabilidad y difusion de iones.

1.5 TECNICAS PARA OBTENER INFORMACION DELCEREBRO

En el proceso de obtener informacion sobre la estructura anatomica yfuncional del cerebro en sus diversos niveles –neurona, poblaciones de neu-

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ronas y todo el cerebro– se han elaborado, con la ayuda de la tecnologıa yotras ciencias, un conjunto de tecnicas e instrumentos que se han ido mejo-rando con el transcurso del tiempo y que han sido de gran utilidad para eldiagnostico clınico, para los neuroanatomistas y los neurofisiologos.

Para el estudio anatomico se han usado instrumentos como el microscopiooptico, el microscopio electronico, etc. y algunos metodos de tincion selectivacomo el metodo de Golgi, Nissl, Nauta, etc. El metodo de Golgi, inventadopor Camilo Golgi alrededor de 1875, es un metodo de tincion selectiva quetiene la propiedad de que al tenir un grupo de neuronas, solo algunas deellas, aproximadamente una de cada cien se tinen por completo (dendritas,cuerpo celular, axon) y las demas quedan intactas. Con este metodo, San-tiago Ramon y Cajal logro establecer que el cerebro esta constituido porcelulas separadas, que las interconexiones entre ellas no eran al azar, ademasde describir la arquitectura de una gran cantidad de estructuras del cerebro.Con el metodo de Nissl se logra destacar los cuerpos celulares de las neuronas,pero no sus dendritas y axones. Por mucho tiempo los neuroanatomistas us-aron estos dos metodos de tincion para estudiar anatomicamente el cerebro.Alrededor de 1952 W. Nauta invento un metodo de tincion selectiva, queactualmente lleva su nombre. Segun D. H. Hubel, este metodo es el primerinstrumento eficaz para cartografiar las conexiones entre las distintas estruc-turas del cerebro. El metodo de Nauta aprovecha el hecho de que, cuandose destruye una neurona, la fibra nerviosa que procede de ella degenera y,antes de desaparecer por completo, puede ser tenida de manera diferente desus vecinos normales.

Los avances tecnologicos y una mayor comprension del funcionamientode las neuronas han permitido crear tecnicas con las cuales, no solo se lograobtener informacion mas precisa sobre las conexiones entre regiones cere-brales, identificar neuronas, sino tambien sobre las zonas activas del cerebro.

Existen tecnicas que aprovechan el hecho de que las neuronas absorbeny sintetizan varias sustancias – proteınas, enzimas, etc. –. Algunas de estassustancias son transportadas, a traves del axon, desde el soma hasta los ter-minales axonicos (transporte anterogrado). Tambien existe un transportede sustancias desde los terminales axonicos al cuerpo celular (transporteretrogrado).

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La autorradiografıa de Cowan (1972) es una tecnica que aprovecha eltransporte axonico anterogrado para determinar los terminales axonicos deuna neurona. Esta tecnica consiste en inyectar, en alguna estructura cere-bral, aminoacidos marcados radiactivamente, estos penetran en el soma dela neurona y se incorporan en las sustancias que son transportadas hasta losterminales axonicos, donde se les puede detectar por un proceso de autorra-diografıa.

Tambien se cuenta con tecnicas que aprovechan el transporte axonicoretrogrado. Entre las mas conocidas esta la tecnica de la peroxidasa derabano, se inyecta en el sistema nervioso, la enzima peroxidasa de rabano,esta es absorbida por los terminales axonicos y transportada retrogradamentehacia el cuerpo celular, donde puede ser detectada por diversas tecnicas, yası conocer el origen del axon.

Para mayor informacion de otras sustancias que se usan para el estudio delas conexiones entre regiones cerebrales, otros metodos para detectar sustan-cias (la inmunohistoquımica se basa en la deteccion de sustancias tisularespor medio de anticuerpos), la hibridacion in situ, etc. recurrir a [51] y [107].En este ultimo se hace una revision detallada de la organizacion neuronal ysinaptica de la corteza cerebral.

Basandose en el hecho de que la glucosa es el combustible de las neuronas,y estas consumen mas glucosa cuando estan activas que cuando se encuentranen reposo, Louis Sokoloff (1977) invento una tecnica que le permitio medirel metabolismo de las neuronas.

La tecnica consiste en inyectar en el torrente sanguıneo un analogoquımico de la glucosa (la 2–desoxiglucosa), que es absorbida por las neuronas,mediante el mismo sistema que la glucosa, aunque una vez en el interior dela neurona, ya no puede ser metabolizada. Si la 2–desoxiglucosa es marcadaradiactivamente e inyectada en el torrente sanguıneo, la velocidad con quese acumula en el interior de las neuronas, nos proporciona un ındice de laactividad metabolica de las neuronas.

Las tecnicas que hemos mencionado hasta ahora requieren en algun mo-mento de la destruccion del sujeto de estudio. Con el desarrollo de la tec-nologıa se crearon nuevas tecnicas menos invasivas, que permitıan obtenerinformacion sobre la actividad del cerebro humano en vivo, por ejemplo la to-

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mografıa axial computarizada (TAC), la tomografıa por emision de positrones(TEP) y la formacion de imagenes por resonancia magnetica (IRM), entreotras. Las herramientas teoricas fundamentales para el analisis de los dife-rentes tipos de tomografıas estan vinculadas a la transformada de Radon ylos metodos matematicos y computacionales de reconstruccion por proyec-ciones. Existe una vasta bibliografıa de estos temas entre los que vale citara [53], [54] y [85].

La tomografıa axial computarizada se aprovecha del hecho que los distin-tos tejidos absorben diferentes cantidades de energıa de rayos X; mientrasmas denso es el tejido, tanto mas absorbe. Por ello un haz de rayos X muyconcentrado que atraviese el cuerpo emergera del mismo a un nivel reducidode intensidad que dependera de los tejidos y organos encontrados a su paso.Si se dirigen a traves del cuerpo haces planos de rayos X con diferentesangulos de inclinacion, se recogera informacion suficiente para reconstruiruna imagen de la seccion del cuerpo, la cual debidamente procesada permitereconstruir una imagen tridimensional de la intensidad de radiacion absorbiday por ende de la estructura interna del objeto estudiado. La tomografıa poremision de positrones, permite cartografiar las estructuras cerebrales activasya que permite la medicion de diversas actividades del cerebro, tales comoel metabolismo de la glucosa, el consumo de oxıgeno, el riego sanguıneo y lainteraccion con los farmacos. De todas estas variables, el flujo sanguıneo hademostrado ser el indicador mas fiable de la funcion cerebral en cada mo-mento. Con la TEP se pueden localizar cambios de actividad con precisionmilimetrica.

La formacion de imagenes por resonancia magnetica (IRM) es un ins-trumento bastante comun para diagnosticar lesiones en tejidos. Tuvo suorigen en una tecnica de laboratorio denominada resonancia magnetica nu-clear (RMN), disenada con el fin de explorar las caracterısticas quımicas delas moleculas. La (RMN) se basa en que muchos atomos se comportan comodiminutas agujas imantadas en presencia de un campo magnetico. En es-tas condiciones, la aplicacion de impulsos de una onda radioelectrica a unamuestra, perturba los atomos de una manera muy precisa, y estos en con-secuencia emiten senales de radio detectables que identifican el numero yel estado de los atomos pertenecientes a la muestra. El ajuste del campomagnetico y de los impulsos de onda radioelectrica proporciona informacion

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sobre la muestra de estudio. En el caso del cerebro P. C. Lauterbur descubrioque podıan formarse imagenes por RMN mediante la deteccion de protones.La utilidad de estas partıculas, abundantes en el cuerpo humano, reside ensu gran sensibilidad a los campos magneticos que los hace comportarse comominusculas agujas imantadas. De esta forma se obtuvieron excelentes ima-genes anatomicas con detalle muy superior a las conseguidas mediante TAC.

El interes por aplicar la IRM a la obtencion de imagenes cerebrales sedebe a que esta tecnica es capaz de detectar una senal inaccesible a las ex-ploraciones mediante TEP como por ejemplo, el aumento en la concentracionde oxıgeno que se produce en una zona donde se ha intensificado la actividadneuronal. Otras ventajas sobre la TAC y otras tecnicas son:

1. La senal procede directamente de cambios inducidos por causas fun-cionales en el tejido cerebral (el cambio en la concentracion de oxıgenovenenoso).

2. Para obtener una senal no hay que inyectar ninguna substancia, radi-activa o de otro tipo.

3. La IRM proporciona informacion anatomica y funcional sobre cadasujeto, lo cual permite una identificacion estructural exacta de las zonasactivas.

4. Adecuadamente equipada, puede observar en tiempo real el ritmo decambio de la senal de oxıgeno inducida en el flujo sanguıneo.

Sin embargo a pesar de las ventajas que proporciona la combinacion deestas tecnicas, ninguna de ellas puede determinar la evolucion temporal delintercambio de informacion en diferentes zonas del cerebro, lo cual es funda-mental para estudiar como se coordinan en red diferentes zonas del cerebropara la realizacion de una actividad dada. El obstaculo que enfrentan laIRM y TEP para este objetivo es la gran diferencia de velocidades entre laactividad neuronal y el ritmo de variacion de los niveles de oxigenacion en lasneuronas. Las senales viajan de una parte a otra del cerebro en 0.01 segundoso menos, pero los cambios de flujo sanguıneo y oxigenacion de la sangre sonmucho mas lentos y ocurren desde decimas de segundo hasta varios segun-dos mas tarde. La IRM no puede seguir las “conversaciones” entre regiones

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cerebrales. Los unicos metodos que responden con rapidez suficiente son lastecnicas de registro electrico, es decir, la electroencefalografıa (EEG) quedetecta la actividad electrica del cerebro a partir de mediciones efectuadassobre el cuero cabelludo y la magnetoencefalografıa (MEG), la cual mide elcomportamiento electromagnetico que genera la actividad electrica en el in-terior del cerebro. El defecto de estas tecnicas es que su resolucion espaciales menor que la de otras tecnicas y la localizacion precisa de las fuentes deactividad cerebral sigue siendo un problema muy complejo.

En 1929 el psiquiatra aleman Hans Berg demostro que era posible medir–usando electrodos colocados en el cuero cabelludo– la actividad electricadel cerebro humano. Demostro que bajo ciertas condiciones en el sujeto deestudio (ojos cerrados, sin estımulos exteriores, relajado) el registro de laactividad electrica seguıa un patron temporal rıtmico al que llamo ritmo α.Este patron temporal tenıa una frecuencia entre 9 y 10 c/s. Los orıgenes fi-siologicos del ritmo α, siguen siendo motivo de controversia, algunos fisiologosconsideran que el ritmo α se origina en el talamo y que el talamo le imponeeste ritmo a la corteza, a traves de las conexiones que existen entre am-bos, mientras que otros consideran que este ritmo es una manifestacion de laactividad masiva de la corteza cerebral.

Posteriormente se han descubierto otros patrones temporales rıtmicos quese producen bajo ciertas condiciones corporales especiales. Por ejemplo, elritmo δ (0 a 5 Hz) se produce bajo sueno profundo, el ritmo β (15 a 30 Hz)se produce bajo intensa actividad mental y otros mas.

El EEG (medido en el cuero cabelludo o en otras regiones del cerebro)se ha convertido en una herramienta clınica importante para el estudio deciertas patologıas del cerebro, como la epilepsia, tumores cerebrales, etc.Estas patologıas aparecen en el EEG como patrones anormales de la actividadelectrica espontanea del cerebro. Los potenciales evocados (los potencialesque se producen como repuesta a un estımulo) se han usado en gran medidapara el diagnostico clınico de las afecciones sensoriales (auditivos, visuales,etc.) y en la deteccion de problemas cognitivos [14], [92], [105].

Uno de los problemas fundamentales de la electroencefalografıa consisteen correlacionar los patrones espacio-temporales obtenidos mediante el EEGcon la actividad electrica del cerebro y con conductas observables. Si se quiere

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elaborar modelos que describan la dinamica de la actividad electrica del cere-bro y que se correlacionen con los patrones espacio-temporales obtenidos conel EEG; se requiere tomar en cuenta las escalas espacio-temporales en queestan promediando las mediciones efectuadas ya que los datos electroence-falograficos son obtenidos promediando la actividad neuronal en distintasescalas espacio-temporales. Existen EEG’s con distintas resoluciones tantoespaciales como temporales. Por ello las variables a considerar en nuestrosmodelos deben estar en congruencia con las escalas espacio-temporales usa-das en el EEG. En el siguiente capıtulo detallaremos los problemas que sepresentan en esta area de estudio.

Los modelos que mas han sido estudiados son los que utilizan los princi-pios de la teorıa del campo electromagnetico considerando al cerebro comoun medio continuo conductor, con una cierta geometrıa (que depende de lashipotesis del modelo) y cierta conductividad variable.

En el problema directo, se considera dada la ubicacion de las fuentesde corrientes impresas (zonas activas), su configuracion, la geometrıa de lacabeza y las conductividades de los distintos comportamientos (cuero cabe-lludo, craneo, corteza, lıquido extracraneal, etc.) y se calcula la distribuciondel potencial generado en estas condiciones, comparandose los resultadosteoricos con los obtenidos con tecnicas electroencefalograficas. Mediante elaporte de ambos datos se puede encontrar alguna informacion sobre la res-puesta electrica de una zona activa dada.

El problema inverso consiste en obtener informacion sobre la ubicacion delas fuentes de corrientes impresas y las conductividades en diferentes partesdel cerebro usando los datos discretos que se obtienen con el EEG. Esteproblema no tiene solucion unica, es decir, existe una multitud de distribu-ciones de fuentes de corriente en el cerebro que pueden producir la mismadistribucion de potencial en el cuero cabelludo. Al no tener solucion unicael problema inverso, usualmente se agregan restricciones, sugeridas por laanatomıa y fisiologıa del cerebro, a las posibles fuentes que originan la dis-tribucion de potencial dada sobre el cuero cabelludo.

Usualmente estos modelos se restringen a la aproximacion electrostaticapor lo que son utiles para estudiar la distribucion espacial de generadores delos EEG pero no ası sus propiedades temporales [9], [105].

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Para estudiar la dinamica espacio-temporal de la actividad electrica sepueden construir ecuaciones plausibles, a partir de datos anatomicos y fi-siologicos que involucren variables que sean congruentes con las escalasespacio-temporales usadas en los distintos EEG, para estudiar sus solucionesy su relacion con las mediciones obtenidas a traves del EEG.

Finalmente, otro metodo usado consiste en elaborar una jerarquıa deescalas espacio-temporales. En cada escala espacio-temporal se deducen lasecuaciones que gobiernan las variables que se consideran idoneas en ese nively se estudia la relacion que existe entre un nivel y el nivel superior inmediato.

En la seccion siguiente desarrollaremos con mayor detalle algunos de estosmodelos.

1.6 ALGUNOS MODELOS DE ESTRUCTURAS DELCEREBRO

En el estudio del cerebro se han elaborado diversos modelos para losdistintos niveles del mismo. Se cuenta con modelos a nivel de neurona, gruposde neuronas, de subestructuras del cerebro y del cerebro completo. Cada unode estos modelos toma en cuenta ciertos aspectos del cerebro dependiendode los problemas que se quieren estudiar. Es importante recalcar que loselementos y las relaciones que se toman en cuenta para la elaboracion delmodelo estan intimamente relacionados con el nivel del cerebro que se esteconsiderando y con los fenomenos que se quieren explicar.

Uno de los primeros exitos importantes en la modelacion matematica enel estudio del cerebro fue el logrado por A. Hodking y A. Huxley (H.H) en1952 [57].

El modelo por ellos propuesto describe, por medio de un sistema de ecua-ciones diferenciales no lineales, como varıa temporalmente el potencial demembrana en funcion de las corrientes ionicas, que fluyen a traves de la mem-brana en el axon de un calamar. El modelo toma en cuenta tres corrientesionicas, la de potasio (IK), la de sodio (INa) y una corriente de filtraje (IL).Considera que las corrientes de sodio y potasio fluyen a traves de canalescuya conductancia depende del potencial de membrana y del tiempo.

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De acuerdo con las leyes de Kirchhoff, se tiene que:

CmdV

dt= INa + IK + IL , (1.4)

donde Cm es la capacitancia de la membrana. Tambien se tiene:

INa = gNa(V − VNa) , (1.5)

IK = gK(V − VK) , (1.6)

IL = gL(V − VL) , (1.7)

donde g∗ es la conductancia del ion ∗ y V∗ el potencial de equilibrio de dichoion. Luego se tiene que

CmdV

dt= gNa(V − VNa) + gK(V − VK) + gL(V − VL) . (1.8)

En este modelo se considera que gNa y gK son dependientes del potencialV y gL es constante, es decir:

CmdV

dt= m3hgNa(V − VNa) + n4gK(V − VK) + gL(V − VL) , (1.9)

donde gNa, gK son las conductancias maximas del sodio y el potasio y 0 <m,n, h < 1 donde m y n son variables de activacion y h una variable deinactivacion que obedecen las ecuaciones:

dm

dt= αm(1−m)− βmm , (1.10)

dn

dt= αn(1− n)− βnn , (1.11)

dh

dt= αh(1− h)− βhh , (1.12)

con coeficientes αm, βm, αn, βn, αh, βh que son funciones obtenidas empirıcamentey que dependen del potencial V .

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Hodking y Huxley describen un gran numero de experimentos controla-dos que involucran corrientes, conductancias y potenciales, cuyos resultados“coinciden” con las predicciones del modelo. El modelo (1.9), (1.10), (1.11)y (1.12) se construyo bajo la hipotesis de que el potencial de membrana seauniforme a lo largo del axon, o se considere unicamente un pedazo pequenode membrana. Para estudiar situaciones en las que el potencial de membranavarıa temporal y espacialmente a lo largo del axon, este modelo no se puedeaplicar. Usando resultados de la teorıa del cable se puede construir un sis-tema de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que tomen en cuenta ladependencia espacial y generalicen el sistema (1.9), (1.10), (1.11), (1.12).

En este caso el sistema de ecuaciones que se obtiene es

1

R

∂2V

∂x2= C

∂V

∂t+ gNam

3h(V − VNa)2πr

+gkn4(V − Vk) + ge(V − Ve)2πr , (1.13)

∂m

∂t= αm(1−m)− βmm , (1.14)

∂h

∂t= αh(1− h)− βhh , (1.15)

∂n

∂t= αn(1− n)− βnn , (1.16)

donde r es el radio del axon, R es la resistencia por unidad de longitud en elinterior del axon y C la capacitancia de la membrana por unidad de longitud.

Para un resumen de los experimentos realizados por Hodking y Huxley yde los resultados obtenidos consultar [21]. Tambien se puede consultar [40].

El modelo es importante ya que describe la evolucion temporal del po-tencial de membrana en funcion de las corrientes ionicas subyacentes. Sinembargo, no toma en cuenta los eventos moleculares y quımicos subyacentesal proceso, y por lo tanto no es posible predecir como influyen en el procesolos cambios en el nivel quımico y molecular. Ademas no es un modelo univer-sal, es decir, se aplica unicamente al potencial de membrana de una neuronadel calamar gigante.

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El modelo de H-H incorpora unicamente tres corrientes ionicas, sodio,potasio y una corriente de filtracion, y debido a esto, el modelo consiste de unsistema de 4 ecuaciones diferenciales ordinarias. Existen otros modelos dondese incorporan mas corrientes ionicas, por ejemplo, Bucholtz, [16] elabora unmodelo de la L. P. neurona en el ganglio estomatogastrico del cangrejo. Estemodelo consiste de un sistema de 14 ecuaciones diferenciales ordinarias.

Otros neurofisiologos elaboran modelos de neuronas que siguen esencial-mente los principios del modelo de H-H, los cuales incorporan mas corrientesionicas o toman en cuenta las variaciones de las concentraciones de ciertosiones en el interior de la membrana. En [21] se presentan otros modelos deneuronas, tambien se pueden ver otros modelos en [99], [100].

El estudio matematico de estos modelos es bastante complejo debido alnumero de ecuaciones diferenciales que aparecen. Por lo general son “in-tratables” analıticamente y a veces solo se pueden encontrar soluciones porintegracion numerica. Se han realizado algunos estudios cualitativos de al-gunos de estos modelos [58], [111].

Una tecnica que se usa frecuentemente es reducir, mediante algun me-canismo, el numero de dimensiones del modelo manteniendo las principalescaracterısticas del mismo. Por ejemplo, Fitzhugh [28], [29], propone un mo-delo bidimensional para el modelo de H-H Abbot, Kepler [2] proponen unmetodo de reduccion mas sistematico que el de Fitzhugh, ya que reducen elmodelo de H-H a dos dimensiones, y Golomb, Guckenheimer, Gueron [39],aplican este metodo para reducir el modelo de Buchholtz a 7 dimensiones.Doya, Selverston [26] elaboran un metodo de reduccion de variables usandoredes neuronales artificiales.

1.7 REDES NEURONALES

El estudio de la estructura y funcionamiento de una neurona es un pasoimportante en el estudio del cerebro, pero el cerebro esta compuesto deaproximadamente 1011 neuronas densamente interconectadas, organizadas engrupos de diversos tamanos. Las neuronas de un mismo grupo pueden inter-actuar entre sı y tambien pueden interactuar los grupos entre sı y frecuente-mente se dan estos tipos de interaccion de manera simultanea. La estructura

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de estos grupos y sus mecanismos de interaccion no son muy conocidos. Losestudios experimentales de estos grupos de neuronas son difıciles de realizar.

Los modelos de redes neuronales (un conjunto de unidades elementalesinterconectadas) son una herramienta importante para resolver muchos pro-blemas en el area de la ingenierıa de la computacion, matematicas, neurofi-siologıa, etc. En cada una de estas areas se interesan en diferentes aspectos delas redes neuronales, dependiendo de los problemas que se quieran resolver.

A los neurofisiologos les interesa estudiar redes neuronales con la finalidadde estudiar el cerebro humano. Ellos desean construir redes neuronales “rea-listas” que imiten ciertas capacidades del cerebro como las sensoriales, las deaprendizaje y las relacionadas con la memoria. Tambien desean construir re-des que describan los mecanismos subyacentes a los patrones rıtmicos que sedetectan en el cerebro. Para los ingenieros, computologos y matematicos, in-teresa construir redes neuronales con fines computacionales. A estas ultimasse les conoce como redes neuronales artificiales y frecuentemente tienen pocarelacion con lo que ocurre en el cerebro.

Las redes neuronales se construyen siguiendo ciertas propiedades que tieneel cerebro. Estan constituidas por un conjunto de n unidades elementalesllamadas neuronas artificiales, unidades de procesamiento o nodos que estanconectados entre sı.

Las propiedades de las redes dependen del numero de neuronas de queconsta la red y de la forma en que se interconectan.

Cada nodo se modela considerando algunas caracterısticas de las neu-ronas reales. Como mencionamos anteriormente una neurona real recibe lainformacion por las dendritas, la procesa en el cuerpo celular y bajo ciertascondiciones emite potenciales de accion.

Si la red tiene n nodos, a cada nodo i se le asignan tres cantidades:la entrada neta Si al nodo i, Ui = Ui(t), el estado interno del nodo en elinstante t (potencial de membrana de una neurona real), la senal de salidayi del nodo i (numero de potenciales de accion que dispara la neurona porunidad de tiempo) que es funcion del estado interno, es decir

yi = fi(Ui) ,

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donde fi transforma el estado interno Ui en una senal de salida yi.

La entrada Si al nodo i, usualmente se considera de la forma

Si =n∑

j=1

Wijyi ,

donde Wij es el tercer tipo de magnitud asociada a un nodo y se llama pesosinaptico. Esta cantidad nos indica el grado de conexion entre el nodo i y elnodo j. El peso Wij puede ser constante o dependiente del tiempo y puede serpositivo o negativo segun corresponda a una conexion excitatoria o inhibitoriarespectivamente. Se considera que el conocimiento se encuentra representadoen los pesos sinapticos y que los procesos de aprendizaje implican cambiosen los pesos sinapticos.

Los modelos de redes neuronales que se obtienen, dependen de como serelacionan las cantidades asignadas a cada nodo.

El primer modelo que se construyo fue el modelo de Mc Culloch-Pitts [80]que tiene las siguientes caracterısticas.

1. Wij constantes.

2. yi = fi(Ui) =

1 , sin∑

i=1Wijyi ≥ θi (la neurona “dispara”), θi umbral de la neurona i

0 , en el otro caso .

En este caso se dice que el nodo o neurona artificial es binario, es deciresta activado o esta desactivado dependiendo de si la magnitud Si rebasa unumbral o no.

En otros modelos lo que se construye es una ecuacion diferencial en Ui

que describe la evolucion temporal de Ui:

dUi

dt= Gi(Ui, Si), i = 1, 2, ..., n .

Por ejemplo en el modelo de Hopfield [59], [60]:

τidUi

dt= −αiUi + (Si + θi) ,

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Si =n∑

j=1

Wijgj(Uj) con g, una funcion sigmoide .

En el modelo de Grossberg [43]:

τidUi

dt= −αUi + (γi − βiUi)

n∑

j=1

Wijgi(Uj) + θj

.

Cuando se quiere estudiar redes neuronales que aprendan, es decir quesean capaces de modificar sus pesos sinapticos, se debe agregar un sistemade ecuaciones diferenciales que describan la evolucion temporal de los pesossinapticos.

Las redes neuronales se forman con un conjunto de neuronas interconec-tadas. Dependiendo de como se agrupan las neuronas, las redes se clasificanen:

1. Redes neuronales monocapa (1 capa). Una capa o nivel es un conjuntode neuronas cuyas entradas provienen de la misma fuente (que puedeser otra capa de neuronas) y cuyas salidas se dirigen al mismo destino.

2. Redes neuronales multicapa.

Con respecto a las conexiones en la red, si ninguna salida de las neuronases entrada de la misma capa o capas precedentes, se dice que la red es depropagacion hacia adelante. Cuando las salidas pueden ser conectadas comoentradas de neuronas de niveles previos o del mismo nivel, incluyendose ellasmismas ademas de conexiones con neuronas de las capas posteriores, se diceque la red es de propagacion hacia atras.

Con respecto al aprendizaje de las redes neuronales, modificacion de lospesos sinapticos, las redes neuronales se pueden clasificar como: redes neu-ronales con aprendizaje supervisado y redes neuronales con aprendizaje nosupervisado. En las primeras se precisa de un agente externo (supervisor)que controle el proceso de aprendizaje de la red, y que determina la respuestade la red a partir de una entrada determinada, en las segundas la propia redcontrola su propio proceso de aprendizaje.

En ambos tipos de redes se requiere conocer las reglas de aprendizaje–criterios que se siguen para modificar los pesos sinapticos–. El aprendizaje

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supervisado se puede llevar a cabo de tres maneras: aprendizaje por co-rreccion de error, por esfuerzo y estocastico. En el aprendizaje no supervisadose puede llevar a cabo, entre otras maneras, el aprendizaje Hebbiano y elaprendizaje competitivo y cooperativo. Para mayor informacion sobre estetema recurrir a [11], [12], [31] y [55].

El primer modelo de red neuronal artificial, llamada Perceptron, fue de-sarrollado por Rosenblatt [98]. El Perceptron es una red neuronal con apren-dizaje supervisado, con regla de aprendizaje de correccion de error, de propa-gacion hacia adelante que consiste de dos capas, una de entrada - que tienen neuronas lineales - y la otra capa, que consta de una sola neurona, es lacapa de salida. El Perceptron es capaz de decidir cuando una entrada pre-sentada a la red pertenece a una de las dos clases que es capaz de reconocer.La unica neurona de salida del Perceptron realiza la suma ponderada de lasentradas, resta el umbral y pasa el resultado a una funcion de transferenciade tipo escalon. La regla de decision es responder +1 si el patron presentadopertenece a la clase A, o −1 si patron pertenece a la clase B; A y B son lasdos clase que el Perceptron es capaz de reconocer, previo entrenamiento. ElPerceptron funciona cuando el conjunto de n−adas, cuyas componentes sonlas entradas a las n−neuronas de la capa de entrada, pueden ser separadaspor un hiperplano n−dimensional - el correspondiente a

∑Ni=1 WiXi−Θ = 0;

donde Wi es el peso correspondiente a la entrada Xi y Θ el umbral. En generalesto no siempre se puede hacer. Posteriormente se desarrolla el Perceptronmulticapa [11], [31].

El Adaline y el Madaline son redes neuronales desarrolladas por Widrowy Hoff [118] en 1960.

La arquitectura del Adaline y del Madaline son esencialmente la mismaque la del Perceptron. Lo que cambia es la regla de aprendizaje ya queAdaline y Madaline usan la llamada regla delta de Widrow - Hoff o regla delmınimo error cuadrado (LMS), basada en la busqueda de una expresion delerror entre la salida deseada y la salida lineal obtenida antes de aplicarle lafuncion de activacion escalon (a diferencia de la salida binaria utilizada enel caso del Perceptron). Sus principales aplicaciones estan en el campo delprocesamiento de senales.

Tambien existen redes con aprendizaje supervisado del tipo estocastico,

26

la maquina de Boltzman [56], etc., del tipo aprendizaje con refuerzo, LinearReward-Penalty o LR−P .

Con respecto a las redes con aprendizaje no supervisado se tienen: lared de Hopfield, Learning Matrix, etc. que utilizan el aprendizaje Hebbiano(ajuste de los pesos de las conexiones de acuerdo con la correlacion de losvalores de activacion de las dos neuronas conectadas).

Para las que utilizan el aprendizaje competitivo - cooperativo (las neu-ronas compiten o cooperan unas con otras con el fin de llevar a cabo unatarea) ver [5], [7].

Para mayor informacion sobre la arquitectura, reglas de aprendizaje, apli-cacion y limitaciones de las redes que hemos mencionado y a otras mas re-currir a: [31], [55].

Cuando se intenta construir modelos de redes neuronales para el estu-dio del cerebro, los nodos de las redes se pueden interpretar como una solaneurona o como un grupo de neuronas.

Matematicamente no existe ninguna distincion entre estos dos casos, perosi se desea construir redes neuronales que describan ciertos fenomenos queocurren en el cerebro y que los resultados se correlacionen con medicionesexperimentales, la distincion sı es importante.

Se ha detectado actividad rıtmica en algunas estructuras del cerebro:oscilaciones en el talamo, oscilaciones en el sistema bulbo olfativo, corteza,etc. Algunos modelos de redes neuronales se elaboran tomando en cuentadatos anatomicos y fisiologicos con la finalidad de describir estos fenomenostemporales rıtmicos. Por ejemplo:

Lopes da Silva [76], [77] elabora un modelo de red neuronal que intentaexplicar los orıgenes del ritmo α en el perro con redes neuronales creadas conneuronas de la corteza y del talamo.

Destexhe, Contreras, Sejnowski, y Steriade [24] elaboran un modelo de redneuronal para neuronas del nucleo reticular talamico y obtienen resultadosteoricos de tipo oscilatorio con frecuencias de 7 a 14 Hz y otros en el rangode 0.5 - 1 Hz dependiendo de los parametros que se consideran.

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Freeman [33], [34], [35], elabora un modelo que describe el modo en quela informacion sensorial puede ser procesada en un modo distribuido parauna de las formas mas simples de corteza. El modelo se elabora con base enestudios anatomicos y fisiologicos sobre las interconexiones neuronales entreel bulbo olfativo y la corteza en gatos y conejos e intenta relacionar los re-sultados teoricos con datos electroencefalograficos obtenidos en experimentoscon estos animales.

Menon [81], estudia el fenomeno de las oscilaciones temporales en el cere-bro, considerando que estas se deben a la interaccion de neuronas inhibitoriasy neuronas excitatorias. Elabora un modelo en el cual considera dos gruposde neuronas, una que tiene unicamente conexiones inhibitorias y el otro grupoque tiene unicamente conexiones excitatorias. Estudia la dinamica de estosdos grupos de neuronas interconectados elaborando un modelo de dos ecua-ciones integro-diferenciales acopladas.

Nunez comenta en [89], [92] que la mayorıa de los modelos de redes neu-ronales no surgen para estudiar las bases fisiologicas de los EEG en el cuerocabelludo sino para estudiar algunas funciones cerebrales, como por ejemplola memoria de corto plazo. Tambien menciona que si se quiere “explicar”por medio de redes neuronales los patrones rıtmicos temporales que se mi-den con electrodos en el cuero cabelludo (EEG), no basta que se construyanredes (aun basados en datos anatomicos y fisiologicos) que produzcan solu-ciones oscilatorias con la misma frecuencia que se obtienen en los EEG. Porlo tanto, es necesario considerar la estructura espacial de la red para consid-erar los potenciales correspondientes y compararlos con los que se obtienenen los EEG, ya que la magnitud de un potencial depende de la configuraciongeometrica de sus fuentes.

Nunez elabora un modelo de interaccion neuronal en la corteza a la cualconsidera como un medio continuo, donde la columna de corteza es la unidadfundamental. El modelo consiste en un par de ecuaciones integrales acopladasque relacionan la actividad sinaptica excitatoria e inhibitoria en una columnade corteza en un tiempo t con los potenciales de accion que se “disparan”en las otras columnas en tiempos anteriores, tomando en cuenta las conexio-nes que existen entre las columnas y las velocidades de propagacion de lospotenciales de accion, ver [87], [88], [89] y [92].

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Nunez elabora el modelo con la finalidad de estudiar las bases fisiologicasde los patrones espacio temporales medidos con electrodos ubicados en elcuero cabelludo. Considera que para el estudio de estos patrones espacio-temporales la columna de corteza es la unidad a considerar, ya que los EEG seobtienen con electrodos que captan la actividad electrica promedio de varioscentımetros cuadrados de corteza, ademas de la homogenidad que ofrece lacorteza a nivel de cada capa.

En el siguiente capıtulo analizaremos con mas detalle este modelo.

29

1.8 MODELOS DE MEDIO CONDUCTOR

En el funcionamiento del cerebro, la actividad electrica es un elementofundamental; la comunicacion entre las neuronas y entre estructuras delcerebro se realiza a traves de ella. Otro elemento fundamental en el fun-cionamiento del cerebro es la actividad neuroquımica. Se conoce muy pocode como interactuan ambos elementos en el funcionamiento del cerebro.

La actividad electrica del cerebro puede ser medida en muchas escalasespacio-temporales y con diversos grados de resolucion se puede medir laactividad electrica de una sola neurona, de grupos de neuronas, y usandoelectrodos colocados en el cuero cabelludo, la del cerebro en su totalidad.

Se conocen diversos patrones espacio-temporales de la actividad electricaen distintos niveles, y se desea estudiar las bases fisiologicas subyacentes aellos.

Se han usado diversos modelos: redes neuronales y sistemas cooperativos-competitivos de interaccion neuronal, para describir los posibles mecanismosque originan estos patrones espacio-temporales. Pero estos modelos, debenir acompanados de otros modelos que toman en cuenta otras caracterısticasdel cerebro como son las propiedades electromagneticas derivadas de la acti-vacion de fuentes de corrientes impresas en el cerebro y por ello es necesarioestudiar como se propagan las corrientes electricas a traves de los distintostejidos del cerebro.

No basta con determinar que ciertas redes neuronales correspondientes aciertas estructuras del cerebro producen oscilaciones teoricas que coincidencon las oscilaciones detectadas con los EEG medidos en diversas partes delcerebro. Los potenciales dependen de la distribucion de las fuentes y de laspropiedades electricas del medio en que ellos se propagan.

En el estudio del cerebro, como medio conductor, una herramienta im-portante es la teorıa del campo electromagnetico que en el nivel microscopiconos describe la relacion entre cargas, corrientes electricas, campos electricosy magneticos y en el nivel macroscopico debe incluir ciertas relaciones ex-perimentales para la permitividad (para aislantes), la conductividad (paraconductores) y la permeabilidad (para materiales magneticos). Pero nueva-mente, si se quieren elaborar modelos cuyos resultados se puedan relacionar

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con datos experimentales, es necesario determinar en que escala espacio tem-poral se esta trabajando.

En cualquier escala espacio temporal que se use, las mediciones elec-troencefalograficas se obtienen como promedio de la actividad electrica deun cierto volumen de tejido y en cierto perıodo de tiempo y por tanto, lasconductividades, las permitividades y las permeabilidades magneticas de lostejidos deben considerarse en la misma escala. Ademas las variables de nues-tro modelo deben estar en la misma escala espacio-temporal que la de lasmediciones.

El problema que se requiere estudiar es determinar la ubicacion ypropiedades de las fuentes de corriente generadas por la actividad del cere-bro a partir de las mediciones electricas y magneticas efectuadas en el cuerocabelludo o en otras estructuras del cerebro. Este problema no tiene solucionunica; en el sentido de que la misma medicion de potencial o campo magneticopuede ser generada por diferentes distribuciones de fuentes de corriente con-centradas en la masa cerebral.

El problema inverso no tiene solucion unica, aunque se conozca la dis-tribucion de potencial (o campo magnetico) en todos los puntos del cuerocabelludo. Pero la situacion real es todavıa peor ya que las mediciones delpotencial se obtienen unicamente en un conjunto finito de puntos del cuerocabelludo donde estan ubicados los electrodos.

El problema es sumamente complejo ya que es necesario considerar lageometrıa y propiedades electromagneticas de las distintas regiones que in-tervienen –corteza, craneo, cuero cabelludo, etc.– con el objetivo de relacionarlos datos obtenidos en el cuero cabelludo con sus posibles fuentes.

Aun el problema directo, es decir, dada la distribucion de fuentes de co-rriente, la conductividad de los diversos tejidos y la permeabilidad magnetica,determinar el campo electromagnetico en cualquier punto, ya es bastantecomplejo.

Usualmente lo que se hace, en ambos problemas, es introducir simpli-ficaciones con base en informacion conocida sobre el cerebro y resolver elproblema con esas simplificaciones. Estas simplificaciones dependen muchode la escala en que se esta trabajando.

31

La primera simplificacion importante que se introduce es el considerarque se puede aplicar al cerebro la teorıa electromagnetica cuasi-estatica [92].

Es conocido que en un medio conductor con conductividad σ las cargas sedistribuyen muy rapidamente, es decir, la densidad ρ de carga decrece como

ρ ∼ e−σεo

t ,

donde εo es la constante dielectrica. Para la conductividad del hueso σεo

es

del orden de 1200

y para la piel y la masa cerebral es mucho menor.Por este motivo se tiene que

∣∣∣∣∣∂ρ

∂t

∣∣∣∣∣ ∼σ

εo

e−σεo

t

y como se conoce experimentalmente que el intervalo de tiempo en que ladensidad de corriente ~J en el cerebro varıa apreciablemente, es mucho mayorque σ

εo, entonces en la ecuacion de continuidad

∇ · ~J +∂ρ

∂t= 0

se puede despreciar ∂ρ∂t

y queda

∇ · ~J = 0 .

Ademas se considera que las corrientes que circulan en el cerebro son dedos tipos: Ohmicas, es decir, generadas por cargas en movimiento a travesdel fluido extracelular y corrientes primarias o impresas, ~Jp, que se mueven atraves de las membranas celulares y aparecen en las zonas activas. Entoncesse tiene

~J = ~Jp − σ ~E ,

donde ~E es el campo electrico.

Del desacoplamiento entre el campo electrico y magnetico se tiene querot ~E = 0 y, por lo tanto, ~E = ∇u, donde u es el potencial del campoelectrostatico.

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De la ecuacion de continuidad simplificada se obtiene que en la masa delcerebro se cumple la ecuacion

∇u =1

σ∇ · ~Jp .

Si ademas se considera un sistema de varias capas donde la region Ω1

ocupada por el cerebro esta cubierta por otras regiones disjuntas Ωi (i ≥ 2)que representan el fuido intracraneal, el craneo, la piel, etc., entonces encada frontera de separacion entre dos regiones Ωi y Ωi+1, se deben satisfacercondiciones del tipo

σi

(∂u

∂ni

)−= σi+1

(∂u

∂ni

)+

+ ~fi ,

u− = u+ ,

donde σi es la conductividad en cada Ωi, ni es el vector unitario normalexterior a Ωi en la parte comun de las fronteras de Ωi y Ωi+1. El supraındice− o + indica que el valor lımite a la frontera de la cantidad indicada se tomadesde Ωi o desde Ωi+1 respectivamente.

Mediante ~fi se denota la componente normal de la densidad de corrientesuperficial, la cual en este modelo puede estar presente unicamente en lafrontera del cerebro, es decir, en la corteza cerebral.

Si se denota por Ωe la region cuya frontera exterior Se coincide con elcuero cabelludo, entonces el problema unico consiste en determinar ~Jp y ~f1

a partir de las mediciones de u sobre Se.

Este problema esta mal planteado y por ello se necesita introducir algo-ritmos de regularizacion en su solucion.

Una de las simplificaciones mas importantes en el estudio del problemainverso consiste en representar ~f1 y ~Jp en forma de un numero finito dedipolos puntuales y, en este caso, el problema se reduce a la localizacion desus posiciones y momentos, es decir, a encontrar 6N parametros donde N esel numero de dipolos propuestos para la fuente activa [103].

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1.9 CONCLUSIONES

Como hemos podido ver, existe un gran numero de tecnicas y metodospara determinar anomalıas de caracter anatomico o funcional en el cerebro,ası como para el estudio de los patrones temporales ritmicos de la actividadelectrica del mismo. Sin embargo, ninguno de estos metodos puede describirla interaccion neuronal entre diferentes regiones del cerebro ni puede ex-plicar el origen fisiologico de los patrones temporales rıtmicos de la actividadelectrica.

El objetivo de este trabajo es estudiar modelos que son una generalizacionde los introducidos por Paul Nunez en [89], [92] que, en conjunto con losmodelos de medio conductor, permitan describir la evolucion temporal dela interaccion neuronal masiva en la corteza cerebral y tambien dar algunaexplicacion matematicamente fundamentada de los orıgenes fisiologicos delos patrones temporales rıtmicos de la actividad electrica.

Esperamos ademas que este tipo de trabajo sirva como fundamento parael desarrollo de software mas apropiado para el analisis clınico de los EEG.

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Capıtulo 2

MODELACION GLOBAL DE LA ACTIVI-DAD SINAPTICA DE LA CORTEZA CERE-BRAL

2.1 INTRODUCCION

Para el estudio de las correlaciones existentes entre ciertos estados fi-siologicos y las mediciones electroencefalograficas –a nivel de cuero cabelludoo de corteza– se han elaborado diversos modelos de interaccion neuronal anivel de corteza-talamo. Estos modelos se pueden dividir, grosso modo, enmodelos locales, modelos globales y modelos mixtos.

En los modelos locales [33], [34], [75], [76], [77], [95], se tratan de explicarlas propiedades espacio-temporales de los EEG con base en propiedades anivel de neurona, redes neuronales discretas o redes neuronales distribuidasen el rango de milımetros; las propiedades temporales de los EEG son deter-minadas por los retrasos sinapticos como son los tiempos de respuesta y dedecrecimiento de los potenciales postsinapticos.

En los modelos globales [87], [88], [89], [90], [92], se toman como ele-mento importante los sistemas de fibras corticorticales (cuyas longitudes seencuentran en el rango de centımetros) y el hecho de que la corteza es unaestructura cerrada. En estos modelos se considera que el EEG medido so-bre el cuero cabelludo es fundamentalmente el resultado de la interaccion deneuronas corticales a traves de los potenciales de accion. Se considera que

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ciertos patrones espacio-temporales de los EEG se pueden explicar tomandoen cuenta los retrasos debido a la velocidad finita de propagacion de los po-tenciales de accion que viajan por las fibras corticorticales y por el hecho deque la corteza es una estructura cerrada.

Nunez considera [92] que los modelos locales pueden ser importantes enciertos estados fisiologicos del cerebro y que en otros casos, como en aquellosque interviene un mınimo de actividad cognitiva (sueno, coma, anestesia) sepueden explicar con los modelos globales; pero que dada la extrema com-plejidad de los interacciones neuronales se requieren modelos que toman encuenta la interaccion neuronal en las diversas escalas espacio-temporales [64],[65], [66], [67], [68].

En este capıtulo analizaremos el modelo global elaborado por Nunez. Estemodelo sera el punto de partida para la elaboracion de nuestro modelo. Elmodelo describe la evolucion de la actividad sinaptica en la corteza y consisteen un par de ecuaciones integrales que relacionan la actividad sinaptica encada columna de corteza en un instante de tiempo t con los potenciales deaccion que se generan en tiempos anteriores en las demas columnas de corteza,tomando en cuenta las conexiones que existen entre las columnas de cortezay las velocidades de propagacion de los potenciales de accion. Tambien sepueden tomar en cuenta los retrasos sinapticos o incluir circuitos locales,convirtiendolo en un modelo local-global mas completo.

Con el modelo global, sin tomar en cuenta los retrasos locales, se estudiabajo que condiciones se tienen soluciones de tipo ondulatorio y se comparanestas soluciones con los datos obtenidos a traves del EEG. Sus resultadosteoricos “coinciden” con los obtenidos experimentalmente para el ritmo αpero no incluye otros estados fisiologicos.

2.2 BASES FISIOLOGICAS PARA LA MODELACION DELA ACTIVIDAD SINAPTICA EN LA CORTEZACEREBRAL

La corteza cerebral es un sistema muy complejo que presenta interaccionesen distintos niveles: neurona, grupos de neuronas y entre grupos de neuronas.Aun ası la corteza presenta ciertas caracterısticas anatomicas y fisiologicas

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que permiten elaborar modelos de interaccion neuronal cuyas variables yparametros se pueden correlacionar con las medidas electroencefalograficasobtenidas en el cuero cabelludo.

El modelo que presentaremos toma como unidad fundamental la columnade corteza y pretende describir las interacciones entre las columnas de corteza,a traves de sus interconexiones y la interaccion de la corteza con otras estruc-turas del cerebro (principalmente el talamo); mas precisamente se describirala evolucion espacio-temporal de la actividad sinaptica de las columnas decorteza.

Los elementos del modelo son:

a) h±(x, t) − La densidad de sinapsis activas o de actividad sinaptica (+para las sinapsis de tipo excitatorio, − para las de tipo inhibitorio), enla columna x en el tiempo t. h±(x, t) representa el numero de sinapsisactivas por cm3 en la columna x en el tiempo t (1/cm3)

b) g(x′, t) − La fraccion del total de neuronas de la columna x′ que gene-ran potenciales de accion en el tiempo t (adimensional)

c) R±(x′, x, v) − El numero de conexiones sinapticas por cm3 en la columnax por unidad de area en x′ y por unidad de velocidad, es decir,R±(x′, x, v)dx′dv representa el numero de conexiones sinapticas por cm3

en la columna x producidas por las neuronas que se encuentran en lascolumnas de x′ a x′ + dx′ y por cuyos axones los potenciales de accion“viajan” con velocidad entre v y v + dv (+ para las conexiones de tipoexcitatorio, − para las de tipo inhibitorio).

d) S±(x) − La densidad de sinapsis en la columna x (+, para las sinapsisexcitatorias, − para las inhibitorias) (1/cm3). Se tiene que:

∫ ∞

0

∫

SR±(x′, x, v)dx′dv = S±(x) ,

donde S es la superficie de la corteza.

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e) F±(v) − La fraccion del total de neuronas de la corteza por unidad develocidad (seg/cm), es decir, F±(v)dv representa la fraccion del total deneuronas de la corteza que generan su potencial de accion con velocidadentre v y v +dv, (+ para las conexiones sinapticas excitatorias, − paralas inhibitorias).

f) h0±(x, t) − La densidad de sinapsis activas o de actividad sinaptica ( +para las sinapsis de tipo excitatorio, − para las de tipo inhibitorio),en la columna x en el tiempo t. Actividad sinaptica producida por lospotenciales de accion que se generan en otras estructuras del cerebro,fundamentalmente el talamo y que “llegan” a la columna x en el tiempot. h0

±(x, t) representa el efecto producido en la columna x en el tiempot por las estructuras internas del cerebro que tienen conexiones en lacolumna x.

Con estas definiciones es facil ver que si S es la superficie de la cortezacerebral, entonces se tienen las ecuaciones:

h+(x, t) = ho+(x, t) +

∫ ∞

0

∫

SR+(x′, x, v)g(x′, t− d(x, x′)

v) dx′dv , (2.1)

h−(x, t) = ho−(x, t) +

∫ ∞

0

∫

SR−(x′, x, v)g(x′, t− d(x, x′)

v) dx′dv , (2.2)

donde d(x, x′) es la distancia geodesica entre dos puntos de la corteza S.

Este sistema de ecuaciones integrales nos dice que la densidad de actividadsinaptica tiene dos componentes. La primera de ellas es debida al “input”que reciben la corteza y las fibras corticorticales proveniente de estructurasinteriores durante un estado fisiologico fijo. La componente integral expresala idea de que los potenciales de accion que se disparan en la columna x′ setrasladan a traves de las fibras corticorticales causando actividad sinapticaen la columna x en un tiempo posterior que depende de la distancia quesepara x de x′ y de la velocidad de propagacion de los potenciales de accion.

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En general esta distancia no tiene que coincidir con la euclideana aunquepuede ser considerada como tal para el analisis cualitativo.

A continuacion enumeraremos las hipotesis de trabajo y las principalesconsideraciones anatomicas para el trabajo con este modelo.

1. No estan considerados los retrasos debidos a la transmision sinaptica–retrasos locales– sino, unicamente el debido a la velocidad finita depropagacion de los potenciales de accion a lo largo de los axones (fibrascorticorticales).

2. En el modelo (2.1), (2.2) se desprecia la existencia de circuitos deretroalimentacion entre la corteza y el talamo ya que el numero de fi-bras corticorticales es mucho mayor que las fibras talamocorticales. Enefecto las primeras representan el 99% del total [72]. No resulta dıficilincluir en este modelo global la presencia de estos circuitos de retro-alimentacion. Un ejemplo importante de estos circuitos es el circuitocortico-estriato-nigro-talamocortical asociado a la actividad motora.

3. Las neuronas corticales estan colocadas en columnas que presentan unagran homogeneidad en su distribucion espacial con respecto a la pro-fundidad. Esto quiere decir que es imposible distinguir entre dos cortesperpendiculares realizados en dos secciones diferentes de la corteza cere-bral. Por este motivo podemos considerar que la corteza tiene una es-tructura estratificada uniforme compuesta por seis capas debido a lasdiferencias en las densidades relativas de diferentes tipos de neuronaslocalizadas a distintas profundidades corticales y que en una primeraaproximacion las conexiones en el plano de la corteza son del mismotipo en todas las direcciones y por ello solo dependen de la distanciaentre las columnas consideradas es decir:

R±(x′, x, v) = R±(d(x, x′), v) . (2.3)

Las neuronas corticales se pueden clasificar de acuerdo con la formadel cuerpo celular, por la longitud de su axon y por la extension y dis-tribucion espacial del arbol dendrıtico. Ademas del tipo de transmisor

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que libera, el blanco axonal, el tipo de sinapsis, etc. Para un estudiomas detallado sobre esta tema recurrir a [82].

En primera aproximacion, las neuronas corticales las dividiremos endos grandes tipos: excitatorias (neuronas piramidales y estrelladas es-pinosas) e inhibitorias (todas las interneuronas). Las interneuronasinhibitorias se dividen en varios tipos y se consideran que pueden tenervarias escalas espacio–temporales. Pero en nuestro caso tomaremos quela inhibicion ocurre rapidamente.

Las piramidales tienden a ocupar volumenes cilındricos con axones ydendritas alineadas perpendicularmente a la superficie cortical y aproxi-madamente de 2/3 a 3/4 de las neuronas corticales son de este tipo.Las neuronas estrelladas ocupan volumenes mas esfericos.

El cuerpo celular de las neuronas ocupa alrededor de un 10% de lasuperficie neuronal. La mayor parte del area superficial de la neuronaesta compuesta por sus ramificaciones dendrıticas. El numero de ramasdendrıticas que parten de una neurona y que intersectan a una super-ficie esferica concentrica, centrada en el cuerpo celular de la neurona,decrece exponencialmente segun una ley del tipo:

Numero de ramas ≈ exp(−λ· distancia radial) donde λ−1(cm) es laescala caracterıstica de longitud que determina el decrecimiento en e−1

veces del numero total de conexiones corticales a partir de una neurona.Por ejemplo, para las celulas estrelladas y las dendritas basales de lascelulas piramidales en las cortezas visual y motora del gato y el ratonse ha comprobado experimentalmente que λ = 350 cm−1.

La relacion para el decrecimiento de las ramas generadas a partir deuna dendrita es de orden polinomial en lugar de exponencial.

4. Las interconexiones entre neuronas corticales pueden ser divididas endos grandes grupos: las conexiones intracorticales que son de rangocorto y que tienen una longitud promedio de menos de 1 mm en hu-manos y las conexiones corticorticales que tienen una longitud promediode hasta varios centımetros en humanos.

La materia blanca subcortical esta compuesta por las fibras de aso-ciacion corticorticales que estan ubicadas paralelamente a la superficie

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cortical (Fig. #7).

Mientras que las conexiones intracorticales pueden ser tanto excitato-rias como inhibitorias, las fibras de asociacion (axones de las celulaspiramidales) que constituyen la mayor parte de la materia blanca sonsolamente conexiones de tipo excitatorio. Las neuronas piramidales queenvıan axones a otras regiones interiores del cerebro como el talamo,terminan unicamente en sinapsis excitatorias.

En las neuronas piramidales existen otro tipo de neuronas intracorti-cales que tambien terminan en sinapsis excitatorias. Sin embargo lacantidad de sinapsis excitatorias en humanos realizadas por las fibrasde asociacion (corticorticales) es mucho mayor que las que son pro-ducidas por axones intracorticales, aproximadamente el 80% del totalde las sinapsis excitatorias son por las fibras de asociacion. Aunque enratones es del orden del 50%.

Para mayor informacion sobre las fibras de asociacion se puede consul-tar [72].

5. La mayorıa de las fibras de asociacion mielinadas tienen diametros entre1 y 2 µ y en ellas las velocidades de los potenciales de accion sonproporcionales al diametro y fluctuan entre 6 y 12 m/seg.

6. El area de la superficie total de ambas mitades del cerebro, las cualesestan separadas por el cuerpo calloso es del orden de 1600 cm2. Las 2/3partes de esta superficie estan en las fisuras incluyendo la fisura sagitalque separa las dos mitades del cerebro. De estas dos terceras partesla mitad del area esta contenida en las pequenas fisuras incluyendo lafisura sagital. Esto nos dice que el area efectiva del medio donde sepropagan las ondas es diferente de la superficie cortical.

Un problema importante en los modelos globales del EEG consiste ensaber cuando ambas mitades del cerebro deben ser consideradas porseparado. La materia blanca esta formada por fibras de aferentes yeferentes que van y vienen del interior del cerebro y la medula espinal,junto con fibras de asociacion que conectan diferentes areas corticales

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y fibras comisurales que conectan las dos mitades del cerebro funda-mentalmente a traves del cuerpo calloso.

En humanos el numero total de fibras comisurales que van de un he-misferio a otro del cerebro a traves del cuerpo calloso es del orden de2× 108, la cual es significativamente menor que el numero de fibras deasociacion que entran a la corteza, que es del orden de 1010. Esto hacepensar que las fibras comisurales permiten una conexion muy debil en-tre los dos hemisferios cerebrales, por lo cual parece ser que el analisisde los fenomenos ondulatorios debidos a la actividad cerebral debe res-tringirse a un solo hemisferio que puede identificarse con la cuarta partede un elipsoide de revolucion.

El cerebro humano tiene 45cm de circunferencia (sin contar las fisuras)de la superficie: del polo occipital al polo frontal, a lo largo de la lıneamedia. Esta idea resulta consistente con los resultados experimentalesobtenidos en pacientes a quienes se les ha medido la frecuencia del ritmoα con los dos hemisferios acoplados y con cuerpo calloso cortado. Silos dos hemisferios acoplados se comportaran como un sistema unicose esperarıa que al efectuar el corte en el cuerpo calloso hubiera unsignificativo incremento de la frecuencia del ritmo α, lo cual no ocurre.

7. Los potenciales del EEG medidos en el cuero cabelludo se deben a unaactividad sincronica de neuronas corticales que cubren un area de almenos varios centımetros cuadrados de corteza. Por este motivo lamedicion del EEG corresponde a un nivel jerarquico macroscopico demodelacion donde la homogeneidad e isotropıa son dos consideracionesimportantes. En cambio, del hecho que las conexiones corticorticalesson inhomogeneas a niveles jerarquicos pequenos se concluye que losmodelos de actividad medida con microelectrodos requiere la inclusionde parametros de conexion preferencial.

Como las neuronas piramidales generan grandes momentos dipolares yestan orientadas perpendicularmente a la superficie de la corteza, ellasson capaces de producir corrientes sincronizadas de suficiente magnitudpara ser medidas sobre el cuero cabelludo. Debido a esto y a la superio-ridad numerica de las neuronas piramidales junto con el hecho de que

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son ellas las que producen la mayor parte de sinapsis excitatorias en lacorteza a traves de sus axones (fibras corticorticales), es que son estasneuronas las principales responsables de la medicion del EEG sobre elcuero cabelludo.

De aquı concluimos que para una primera modelacion de la contribucionglobal de la corteza al EEG se debe considerar la actividad sinaptica ex-citatoria producida por las neuronas piramidales ası como la actividadsinaptica inhibitoria producida sobre ellas por las neuronas estrelladas.

Como mencionamos al inicio de este capıtulo, en esta tesis nos dedi-caremos al estudio de modelos teoricos de la actividad global de lacorteza cerebral que dan lugar al EEG. Estos modelos tienen en cuentalas consideraciones anatomicas que hemos descrito en los puntos 1-7anteriores.

A diferencia de ellos, los modelos de circuitos locales deben incluirparametros de conexion preferenciales, en lugar de la homogeneidadque se considera en los modelos de actividad global, lo cual se ponede manifiesto en la seleccion de las funciones R±(x′, x, v) para cadavıa del circuito. Si los circuitos son pequenos puede considerarse quela velocidad de propagacion v es infinita no siendo ası en los circuitosen que aparecen interacciones de largo alcance, en los cuales el tiempoque se demora al viajar un potencial de accion de un lugar a otro delcircuito puede ser del orden de las constantes de tiempo de las neuronaspiramidales.

Por otra parte, como ya mencionamos en el punto 1, los modelos lo-cales deben considerar los retrasos temporales debido a la transmisionsinaptica, que son mas pequenos que los retrasos debidos a la veloci-dad finita de propagacion de los potenciales de accion a traves de losaxones, y por ello no se consideran en los modelos globales.

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2.3 DESCRIPCION Y SIMPLIFICACIONES EN ELMODELO GLOBAL DE ACTIVIDAD SINAPTICA ENUNA BANDA DE CORTEZA.

Para evitar repeticiones innecesarias, en este capıtulo el subındice + siem-pre se referira a las sinapsis de tipo excitatorio y el subındice − a las de tipoinhibitorio

Aplicaremos el modelo general (2.1), (2.2) al estudio de la actividad delEEG producida por una banda infinitamente delgada de la corteza que porconveniencia, supondremos infinitamente larga.

Para el analisis cualitativo obviaremos la geometrıa de la corteza y supon-dremos que la banda coincide con una recta.

En este caso, que llamaremos el caso unidimensional, los elementos delmodelo son los mismos, solo cambian las unidades con que se trabajara. Ası,h±(x, t) representara el numero de sinapsis activas por cm2 en la columnax en el tiempo t (1/cm2). R±(x′, x, v) representara el numero de sinapsis,por cm2 en la columna x en el tiempo t por unidad de longitud en x′ y porunidad de velocidad (seg/cm4). Es decir, R±(x′, x, v)dx′dv representara elnumero de sinapsis, por cm2 en la columna x en el tiempo t producidas porlas neuronas que estan ubicadas desde la columna x′ hasta la columna x′+dx′

y por cuyos axones, los potenciales de accion “viajan” con velocidad entre vy v + dv, h0

±(x, t) representara el numero de sinapsis activas en la columnax por cm2, esta actividad sinaptica es la producida por los potenciales deaccion que se generan en estructuras internas del cerebro, principalmente eltalamo y que llegan en el tiempo t a la columna x, g(x′, t) seguira siendo unacantidad sin dimensiones.

Todas las complicaciones del sistema de conexiones intracorticales e in-tercorticales estan “escondidas” en la representacion de las funciones R+ yR−.

Introduciremos algunas hipotesis adicionales que nos permitiran obteneruna expresion para estas funciones que al menos cualitativamente reune lascaracterısticas principales de este sistema de conexiones.

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Hipotesis 1

Comenzaremos suponiendo que cada columna esta constituida por unacantidad finita N (que no depende de la columna) de sistemas de fibras quese superponen.

En primera aproximacion se podrıa considerar que N = 6 corresponde ala distribucion de las neuronas en las 6 capas en que usualmente se divide lacorteza.

Hipotesis 2

Como las sinapsis inhibitorias se producen solo a nivel local, considera-remos que la densidad de actividad sinaptica inhibitoria en una columna decorteza x en un tiempo t se produce por los potenciales de accion que se ge-neran en las columnas “cercanas” a la columna x en tiempos “anteriores”, esdecir, las columnas ubicadas fuera de una vecindad de la columna de cortezax no contribuyen a la actividad sinaptica inhibitoria en la columna x.

Es pertinente mencionar que Nunez enfoca esta cuestion de manera dife-rente: considera que la velocidad de propagacion de los potenciales de accionque “viajan” por las fibras que tienen conexion sinaptica de tipo inhibitorioes “infinita”. Esta hipotesis la justifica por el hecho de que la distancia querecorren los potenciales de accion por estas fibras es muy pequena. Nosotrosconsideramos que esta hipotesis no refleja que las sinapsis inhibitorias se pro-ducen solo a nivel local, lo que refleja es que el “efecto” de los potencialesde accion que “viajan” por las fibras que tienen conexion sinaptica de tipoinhibitorio es “sentida” instantaneamente en las columnas donde se tienenestas sinapsis inhibitorias. En realidad, para tener en cuenta el hecho deque las sinapsis inhibitorias se producen solo a nivel local, debemos con-siderar que los potenciales de accion que “viajan” por las fibras que tienenconexion sinaptica de tipo inhibitorio, recorren esas distancias en tiemposmas pequenos que los usados por los potenciales de accion que “viajan” porlas fibras de largo alcance. Mas adelante estudiaremos un modelo que tomeen cuenta esta hipotesis.

Desde el punto de vista matematico, nuestra hipotesis (el suponer quela actividad sinaptica inhibitoria en una columna de corteza es afectada

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unicamente por los potenciales de accion que se generan en columnas cer-canas) nos conducira a estudiar, en el caso lımite, un proceso global depropagacion de ondas de actividad sinaptica inhibitoria modulada por unproceso local de propagacion de ondas de actividad sinaptica inhibitoria;mientras que en el caso de Nunez, lo que se estudia es un proceso globalde propagacion de ondas de actividad sinaptica excitatoria acoplada con unproceso estacionario de actividad sinaptica inhibitoria.

De esta forma definiremos, para cada n = 1, ..., N :

F n±(v) - La fraccion del total de neuronas de la corteza por unidad de ve-

locidad (seg/cm) cuyos potenciales “viajan” por las fibras del sisteman-esimo. Es decir, F n

±(v)dv representara la fraccion del total de neu-ronas de la corteza cuyos potenciales “viajan” por las fibras del n-esimosistema con velocidad entre v y v+dv. Supondremos que esta cantidadno depende de en cual columna se ubiquen las neuronas.

Ahora la funcion R±(x′, x, v) se puede representar en la forma

R±(x′, x, v) =N∑

n=1

Rn±(x′, x, v) . (2.4)

Rn±(x′, x, v) (seg/cm2) representa la densidad de conexiones sinapticas en

la columna x por unidad de longitud en x′ y por unidad de velocidad aso-ciadas con las fibras del n-esimo sistema. Ası Rn

±(x′, x, v)dx′dv representarael numero de sinapsis por cm2 en la columna x producidas por las neuronasque estan ubicadas desde la columna x′ hasta la columna x′ + dx′ y cuyospotenciales de accion “viajan” por el n-esimo sistema de fibras con velocidadentre v y v + dv.

Supondremos que Rn± se representa en la forma

Rn±(x′, x, v) = rn

±(x′, x)F n±(v) , (2.5)

donde rn±(x′, x) (1/cm3) sera la densidad de conexiones sinapticas en la

columna x, asociadas al n-esimo sistema de fibras, por unidad de longitud enx′, ası rn(x′, x)dx′ representara el numero de sinapsis por cm2 en la columnax producidas por neuronas que estan ubicadas desde la columna x′ hasta lacolumna x′ + dx′ y cuyos axones estan ubicados en el n-esimo sistema defibras.

46

Ahora rn±(x′, x) se puede escribir como el producto de dos factores

rn±(x′, x) = tn±(x′, x)Sn

±(x) , (2.6)

donde tn(x′, x) (1/cm) representa el numero de neuronas por unidad de lon-gitud en x′, cuyos axones establecen conexion sinaptica en la columna x ydichos axones se encuentran en el n-esimo sistema de fibras, Sn

±(x) representala densidad de sinapsis (1/cm2) en la columna x, producida por neuronascuyos axones se encuentran en el n-esimo sistema de fibras. De (2.6) se tieneque Rn

± se puede escribir como el producto de tres factores

Rn±(x′, x, v) = tn±(x′, x)Sn

±(x)F n±(v) . (2.7)

Ahora, haremos la siguiente suposicion

Hipotesis 3

La densidad de fibras representadas por la funcion tn± y que conectanneuronas de la columna x′ con la columna x es igual a la densidad de fibrasque conectan neuronas de la columna x con x′. Esta hipotesis es fundamentalpara la simplificacion del modelo (2.1), (2.2) y significa que

tn±(x′, x) = tn±(x, x′) . (2.8)

Ya hemos comentado que la funcion tn±(x′, x) decrece exponencialmentecon la distancia entre x′, y x. Para que se cumpla la propiedad (2.8) supon-dremos ademas que:

Hipotesis 4

La funcion tn±(x′, x) depende unicamente de la distancia entre los puntosx′ y x en la forma:

tn±(x′, x) =λn±2

e−λn±|x′−x| , (2.9)

donde (λn±)−1(cm) es la escala longitudinal que determina el decrecimiento

de conexiones entre dos puntos de la corteza.

47

De (2.4) a (2.9) obtenemos

R±(x′, x, v) =1

2

N∑

n=1

Sn±(x)λn

±F n±(v)e−λn

±|x′−x| . (2.10)

Hipotesis 5

En primera aproximacion supondremos que cada sistema de fibras estacaracterizado por una velocidad vn

± de propagacion de potenciales de accion.En este caso:

F n±(v) = δ(v − vn

±) . (2.11)

Finalmente obtenemos

R±(x′, x, v) =1

2

N∑

n=1

Sn±(x)λn

±δ(v − vn±)e−λn

±|x′−x| . (2.12)

Pasemos ahora a imponer las restricciones que exigiremos a la funciong(x′, t).

Hipotesis 6

Los potenciales de accion que se generan en la columna x′ en el instantet dependen de la densidad de actividad sinaptica - potenciales postsinapti-cos - y de la intensidad de la actividad neuroquımica (concentraciones deneurotransmisores) que se realice en dicha columna en ese instante.

En este trabajo solo consideraremos la dependencia de g con respecto ah+ y h−, es decir

g(x′, t) = G(h+(x′, t), h−(x′, t)) , (2.13)

donde la funcion G es suave y tiene un comportamiento sigmoidal cuya formaexacta es muy dıficil de predecir aunque esto no es importante para el analisiscualitativo que llevaremos a cabo posteriormente.

48

Es decir, la funcion G(h+, h−) es creciente con respecto a h+ para cadah− fijo y decreciente con respecto a h− para cada h+ fijo.

Ademas existen curvas de nivel

γ(h+, h−) = α, γ(h+, h−) = β , (2.14)

tales que

G(h+, h−) =

0 , si γ(h+, h−) < α ,

0 < G < 1 , si α < γ(h+, h−) < β ,

1 , si γ(h+, h−) > β .

(2.15)

Para cada h− fijo (respectivamente h+ fijo) las funciones G(·, h−) (resp.G(h+, ·)) deben tener un comportamiento sigmoidal usual.

Mas adelante propondremos una expresion explıcita para las curvas denivel (2.14).

Las relaciones sigmoidales son muy frecuentes en los modelos del sistemanervioso. Por ejemplo, tambien existe una relacion de este tipo entre lasconcentraciones de neurotransmisores y las frecuencias de disparo de las neu-ronas o tambien la frecuencia de actividad sinaptica.

Todas las hipotesis anteriores nos conducen a una simplificacion del mo-delo determinado por las ecuaciones (2.1) y (2.2)

h+(x, t) = ho+(x, t)

+12

∑Nn=1 Sn

+(x)λn+

∫∞−∞ e−λn

+|x′−x|G(h+(x′, t− |x′−x|vn±

), h−(x′, t− |x′−x|vn± ))dx′ ,

(2.16)

h−(x, t) = ho−(x, t)

+12

∑Nn=1 Sn

−(x)λn−

∫ x+εx−ε e−λn

−|x′−x|G(h+(x′, t− |x−x′|vn−

), h−(x′, t− |x′−x|vn−

))dx′ ,

(2.17)

49

donde le parametro ε > 0 corresponde al caracter local de la actividad inhi-bitoria.

Sustituyendo (2.13) en (2.16) y (2.17) obtenemos

h+(x, t) = ho+(x, t)

+ 12

∑Nn=1 Sn

+(x)λn+

∫∞−∞ e−λn

+|x′−x|g(x′, t− |x′−x|vn+

)dx′ ,(2.18)

h−(x, t) = ho−(x, t)

+ 12

∑Nn=1 Sn

−(x)λn−

∫ x+εx−ε e−λn

−|x′−x|g(x′, t− |x−x′|vn−

)dx′ .(2.19)

En el sistema (2.18), (2.19), existen un conjunto de simplificaciones nomencionadas explıcitamente con anterioridad. Consideramos que es impor-tante explicar estas simplificaciones, ya que ademas de provocarnos algunasconfusiones, el considerarlas nos permitira la construccion de un modelo masdetallado, el cual tambien consistira de un sistema de ecuaciones integrales.Este sistema se podra transformar en un sistema de ecuaciones diferencialesparciales de tipo hiperbolico en donde podremos analizar con mayor detallelas distintas “fuerzas” que actuan en el medio cortical. Es pertinente men-cionar que al intentar transformar el sistema (2.18), (2.19), en un sistema deecuaciones diferenciales hiperbolicas nos surgieron algunas complicacionesque no permitieron dicha transformacion.

Algunas de las simplificaciones introducidas en el sistema (2.18), (2.19) yno mencionadas por Nunez son:

No distingue por capas la densidad de actividad sinaptica ni la generacionde los potenciales de accion; este hecho nos obliga a considerar que el efectoproducido en la actividad sinaptica en una columna x en un instante t, pro-ducido por los potenciales de accion que se generan en tiempos anteriores enlas demas columnas, se distribuye de manera uniforme sobre cada capa dela columna x (en cada capa el efecto total se dividira por N , donde N esel numero de capas). A nivel de columna tampoco distingue la contribucionde la actividad sinaptica de cada capa en la columna x a la generacion de

50

los potenciales de accion en esa columna. Otro problema de estos modeloses que tampoco distinguen la actividad sinaptica producida por neuronas dediferente clase.

En la seccion siguiente presentaremos otros modelos que subsanan algunasde estas simplificaciones.

2.4 ALGUNOS MODELOS ALTERNATIVOS AL MODELODE NUNEZ

En esta seccion analizaremos algunos modelos alternativos al modelo deNunez. Estos modelos subsanan algunas de las simplificaciones mencionadasen la seccion anterior. Tambien analizaremos brevemente la relacion de estosmodelos con el modelo de Nunez y las relaciones que tienen entre sı.

1. El modelo mas general de capas serıa considerar todas las interaccionesque se pueden establecer entre todas las capas de cada par de columnas,ası obtendrıamos el sistema de 2N2 ecuaciones integrales siguiente paraun modelo de N capas.

hij±(x, t) = h0j

± (x, t)

+∫∞0

∫∞−∞ Rij

±(x′, x, v)gij(x′, t− |x−x′|vij

)dx′dv ,(2.20)

donde:

hij±(x, t) − La densidad de actividad sinaptica en la j-esima capa de

la columna x en el tiempo t producida por potenciales de accionque se generan en las otras columnas en tiempos anteriores y queviajan por el i-esimo sistema de fibras, junto con la provocada porlos potenciales de accion que se disparan en tiempos anteriores enestructuras interiores del cerebro.

h0j± (x, t) − La densidad de actividad sinaptica en la j-esima capa de

la columna x producida por potenciales de accion que se generan

51

en estructuras internas del cerebro y que tienen conexion sinapticacon la capa j-esima de la columna x.

Rij±(x′, x, v) − El numero de conexiones sinapticas/cm2 en la j-esima

capa de la columna x por unidad de longitud en la capa i-esimade la columna x′ y por unidad de velocidad.

gij(x′, t) − La fraccion del total de neuronas de la capa i-esima dela columna x′ que generan potenciales de accion en el tiempo t yque tienen contacto sinaptico con neuronas de la capa j-esima delas otras columnas.

Con respecto al modelo de Nunez se tienen las siguientes relaciones

R±(x, t) =N∑

i=1

N∑

j=1

Rij±(x, t) , (2.21)

gij(x, t) = αij(x)g(x, t) , (2.22)

h±(x, t) =N∑

i=1

N∑

j=1

hij±(x, t) , (2.23)

donde αij(x) es un coeficiente entre 0 y 1 que indica la parte de g(x, t)que se disparan en la capa i-esima de la columna x y que llegan a lacapa j-esima de las otras columnas.

2. Otra alternativa serıa considerar

hj±(x, t) = h0j

± (x, t)

+ 1N

∫∞0

∫∞−∞ Rj

±(x′, x, v)∑N

i=1 αijgi(x′, t− |x′−x|

vi±

)dx′dv ,

(2.24)

donde:

52

hj±(x, t) − La densidad total de actividad sinaptica en la j-esima

capa de la columna x en el tiempo t.

gj(x′, t) − La fraccion del total de neuronas de la capa j-esima de lacolumna x′ que generan potenciales de accion en el tiempo t.

h0j± (x, t) − La densidad de actividad sinaptica en la capa j-esima de

la columna x producida por potenciales de accion que se generanen tiempos anteriores en estructuras internas del cerebro.

Rj±(x′, x, v) − El numero de conexiones sinapticas/cm2 en la columna

x que llegan a la capa j-esima de la columna x, por unidad de lon-gitud en la columna x′ y por unidad de velocidad.

αij − Los pesos que corresponden a la contribucion de la capa i-esima de la columna x′ a la actividad sinaptica en la capa j-esimade la columna x. Obviamente 0 ≤ αij ≤ 1 y podrıa considerarseαij = αij(x, x′, t). Tambien se tiene que

∑Nj=1 αij ≤ 1.

Con respecto al modelo 1 se esta eliminando la contribucion particularde cada capa de la columna x′ a la actividad sinaptica en la capa

j-esima de la columna x, ademas de que se tiene un problema similarque en el sistema (2.18) (2.19) ya que no se distingue tampoco el efectode gi(x′, t) en cada capa de la columna x, asumiendo que se distribuyeuniformemente sobre cada capa de x (la contribucion a la actividad

sinaptica en la capa j-esima de la columna x serıa g′(x′,t)N

). La ventajaque se tiene en este modelo es que gj(x′, t) depende unicamente dehj

+(x′, t) y hj−(x′, t); es decir de la actividad sinaptica en esa capa y no

de la actividad sinaptica en todas las capas de esa columna.

Se puede considerar que se cumple la relacion

h±(x, t) =∑N

i=1 βi(x)hi±(x, t) , (2.25)

donde

βi(x) son ciertos pesos positivos tales que∑N

i=1 βi(x) = 1.

3. Tambien se puede considerar el siguiente sistema

53

hj±(x, t) = h0

±(x, t)

+∫∞0

∫∞−∞ Rj

±(x′, x, v)gj(x′, t− |x−x′|v

)dx′dv ,

(2.26)

donde

hj±(x, t) − La densidad de actividad sinaptica en la columna x en el

tiempo t producida por potenciales de accion que se generan en lacapa j-esima de las otras columnas en tiempos anteriores mas laactividad sinaptica en la columna x producida por potenciales deaccion que se generan en tiempos anteriores en otras estructurasinteriores del cerebro. En este caso no se distingue, como en elcaso 2, la actividad sinaptica en la columna por capas, sino porlos potenciales de accion que provienen de cada capa en otrascolumnas.

gj(x′, t) − La fraccion del total de neuronas de la columna x′ quegeneran potenciales de accion en el tiempo t y que viajan por lasfibras del j-esimo sistema.

h0±(x, t) − La densidad de actividad sinaptica en la columna x en el

tiempo t producida por los potenciales de accion que se generanen tiempos anteriores en otras estructuras interiores del cerebro.

Rj±(x′, x, v) − El numero de conexiones sinapticas por cm2 en la

columna x por unidad de longitud en la capa j-esima de la columnax′ y por unidad de velocidad.

El problema que se presenta en este modelo es que gj(x, t) dependede toda la actividad sinaptica que ocurre en la columna x, es decir deh1±(x, t), . . . , hN

± (x, t)(x, t).

Estos tres modelos y el modelo de Nunez son las posibilidades mas impor-tantes que se pueden encontrar en un modelo de N capas. Estos 4 modelosestan relacionados. El modelo 1 es el modelo mas detallado de los cuatro,pero es el que incluye mas ecuaciones y parametros que nos dificultarıan el

54

estudio del mismo. Estos modelos estan relacionados entre sı de la siguientemanera:

En el modelo 2 se esta considerando la densidad de actividad sinapticapor capas en cada columna pero sin distinguir la contribucion a esta actividadde las distintas capas de las otras columnas, ademas tampoco se distingueel efecto de una capa de una columna (gj(x, t)) sobre cada capa de las otrascolumnas, se considera que el efecto (gj(x, t)) se distribuye de manera uni-forme sobre las capas de cada columna afectada. La relacion entre el modelo2 y el 1 se da a traves de considerar que

gij

(x′, t− |x− x′|

vij

)= αijg

i

(x′, t− |x− x′|

vi

), (2.27)

i.e. el efecto de la i-esima capa de la columna x sobre la j-esima capa de lascolumnas afectadas es independiente de la capa que afecta y se distribuye demanera “uniforme” sobre cada capa. Tambien se cumple que

1

NRi±(x′, x, v) =

N∑

j=1

Rij±(x′, x, v) (2.28)

y por ultimo

hi±(x, t) =

N∑

j=1

hij±(x, t) . (2.29)

En el modelo 3 se tiene obviamente que

h±(x, t) =N∑

i=1

hi±(x, t) , (2.30)

donde h+(x, t) es la densidad total de actividad sinaptica que aparece enel modelo de Nunez. Notese, ademas que gj(x′, t) = gj(x′, t), pero gj solodepende de hj

+ y h− con respecto a las variables hi+, h− se tiene que gj;

depende de h1±, . . . , hN

± . Con mas exactitud

gj = Gj(h+, h−) = Gj

(N∑

i=1

hi+, h−

N∑

i=1

hi−

)(2.31)

55

y como el modelo de Nunez se relaciona con el modelo 2 a traves de

h±(x, t) =N∑

j=1

hj±(x, t) , (2.32)

gj(x, t) =g(x, t)

N. (2.33)

Entonces tambien el modelo (2.18) (2.19) se relaciona con el modelo 1.

El modelo que eligiremos para estudiar sera el modelo 3 ya que es un pocomas detallado que el de Nunez y resulta un modelo con menos ecuaciones yparametros que los otros dos modelos restantes.

En la siguiente seccion desarrollaremos el modelo 3.

2.5 DESARROLLO Y ESTUDIO DE UN MODELO DE LAACTIVIDAD SINAPTICA DE LA CORTEZACEREBRAL

En esta seccion desarrollaremos el modelo 3, que como mencionamos enla seccion anterior es un poco mas preciso que el del sistema (2.18), (2.19),ademas este sistema se puede transformar en un sistema de ecuaciones dife-renciales parciales. El modelo tiene tambien una conexion muy clara en elsistema (2.18), (2.19). En este modelo distinguiremos la contribucion de cadacapa de cada columna a la actividad sinaptica de una columna de cortezadada en un instante de tiempo y lo que estudiaremos es la evolucion espacio-temporal de esa actividad sinaptica tomando en cuenta la distribucion deconexiones sinapticas, las velocidades de propagacion de los potenciales deaccion de las neuronas de la capa correspondiente. Para ser mas precisosintroduciremos los elementos de que consiste el modelo.

Sean:

hj±(x, t) − La densidad de actividad sinaptica (potenciales postsinapticos)

en la columna x en el tiempo t, numero de sinapsis activas/cm2, pro-ducida por potenciales de accion que se generan en las otras columnas yque viajan por las fibras del sistema j-esimo, mas la actividad sinaptica

56

en la columna x producida por potenciales de accion que se generan entiempos anteriores en otras estructuras interiores del cerebro.

gj(x, t) − La fraccion del total de neuronas de la columna x′ que generanpotenciales de accion en el tiempo t y que viajan por las fibras delj-esimo sistema.

h0±(x, t) − La densidad de actividad sinaptica en la columna x en el tiempo

t producida por los potenciales de accion que se generan en estruc-turas interiores del cerebro en tiempos anteriores y que tienen conexionsinaptica en la columna x.

Rj±(x′, x, v) − El numero de conexiones sinapticas/cm2, del j-esimo sis-

tema en la columna x por unidad de longitud en x′ y por unidad develocidad.

La relacion entre hj±(x, t), gj(x, t) y h±(x, t), g(x, t) es la siguiente

h±(x, t) =N∑

j=1

hj±(x, t) . (2.34)

La misma idea que se uso para obtener la ecuacion (2.18) se puede aplicarpara obtener un sistema de ecuaciones integrales para hj

±(x, t). Ası que paraj = 1, . . . , N

hj+(x, t) = h0

+(x, t)

+ 12λj

+Sj+(x)

∫∞−∞ e−λj

+|x−x′|gj(x′, t− |x′−x|vj+

)dx′ .(2.35)

Para hj−(x, t) se tiene

hj−(x, t) = h0

−(x, t)+1

2Sj−(x)λj

−∫ x+ε

x−εe−λj

−|x−x′|gj(x′, t− |x− x′|vj−

)dx′ . (2.36)

57

Ahora, sabemos que los potenciales de accion que se generan en cada capade cada columna (gj(x, t)) dependen de la actividad sinaptica que existe enesa columna (no depende unicamente de la actividad sinaptica en esa capapor la forma en que se definio hj

±(x, t)) y de la actividad neuroquımica en lamisma columna.

En este trabajo solo consideraremos la dependencia de gj(x, t) con res-pecto a (hj

±(x, t), j = 1, . . . , N) es decir consideraremos

gj(x, t) = Gj(N∑

i=1

hi+(x, t),

N∑

i=1

hi−(x, t)) . (2.37)

La forma exacta de esta dependencia es dıficil de predecir, pero cualita-tivamente consideramos que debe ser de tipo sigmoide en cada variable. Asıpara cada k = 1, . . . , N y para cada hi

+(x, t), i 6= k y hj−(x, t) fijo debemos

tener que Gj(h1+, ..., hk−1

+ , hk+, . . . , hN

+ , h1−, . . . , hN

− ) es una funcion creciente detipo sigmoide.

Para cada 1 ≤ k ≤ N y para cada h1+, . . . , hN

+ fijo debemos tener queGj(h1

+, . . . , hN+ , ·) es una funcion decreciente de tipo sigmoide.

Ademas existen curvas de nivel

γj(h1+, ..., hj

+, . . . , hN+ , h−) = αj y γj(h

1+, ..., hj

+, . . . , hN+ , h−) = βj , (2.38)

tales que

Gj(h1+, hj

+ . . . hN+ , h−) =

0 , si γj(h1+, hj

+ . . . hN+ , h−) < αj ,

0 < Gj < 1 , si αj < γj(h1+, hj

+ . . . hN+ , h−) < βj ,

1 , si γj(h1+, hj

+ . . . hN+ , h−) > βj .

(2.39)

Mas adelante propondremos una expresion explıcita para las curvas de nivel(2.38).

Con estas condiciones el sistema (2.35), (2.36) se transforma en

58

hj+(x, t) = h0

+(x, t)

+12λj

+Sj+(x)

∫∞−∞ e−λj

+|x′−x|Gj(∑N

i=1 hi+(x′, t− |x′−x|

vj+

),∑N

i=1 hi−(x′, t− |x′−x|

vi+

)dx′ ,

(2.40)

hj−(x, t) = h0

−(x, t)

+12λj−Sj

−(x)∫ x+εx−ε e−λj

−|x′−x|Gj(∑N

i=1 hi+(x′, t− |x′−x|

vj−

),∑N

i=1 hi−(x′, t− |x′−x|

vi−

)dx′) .

(2.41)

Como ya hemos mencionado anteriormente consideramos mas adecuadopara el analisis del modelo, transformar el sistema (2.35), (2.36) en un sistemade ecuaciones diferenciales parciales para hj

+(x, t), hj−(x, t). Esto ultimo lo

haremos en la siguiente seccion.

59

2.6 TRANSFORMACION DEL SISTEMA DE ECUACIONESINTEGRALES EN UN SISTEMA DE ECUACIONESDIFERENCIALES PARCIALES

Usando la regla de Leibnitz para derivar bajo el signo de la integral,

podemos obtener∂hj±

∂x,

∂2hj±

∂x2 ,∂hj±

∂t,

∂2hj±

∂t2, no escribiremos estas derivadas ya que

ademas de constar de muchos terminos, no son necesarias para los siguientesdesarrollos. Escribiremos solamente el sistema de ecuaciones diferencialesparciales resultante, tanto para hj

+ como para hj−.

Para hj+ se obtiene

∂2hj+

∂t2+ 2λj

+vj+

∂hj+

∂t+ (λj

+vj+)2hj

+ =

(vj+)2

[∂2hj

+

∂x2 − 2(Sj+)′(x)

Sj+(x)

∂hj+

∂x+

(2((Sj

+)′(x))2−Sj+(x)(Sj

+)′′(x)

(Sj+)2(x)

)hj

+

]

+λj+vj

+Sj+(x)

[λj

+vj+gj(x, t) + ∂gj

∂t(x, t)

]+ F j

+(x, t) .

(2.42)

Para hj− se obtiene

∂2hj−

∂t2+ 2λj

−vj−

∂hj−

∂t+ (λj

−vj−)2hj

− =

(vj−)2

[∂2hj

−∂x2 − 2(Sj

−)′(x)

Sj−(x)

∂hj−

∂x+

(2((Sj

−)′(x))2−Sj−(x)(Sj

−)′′(x)

(Sj−)2(x)

)hj−

]

+λj−vj

−Sj−(x)

[λj

+vj−gj(x, t) + ∂gj

∂t(x, t)

]+ F j

−(x, t) + F j(x, t, ε) ,

(2.43)

donde

F j+(x, t) =

[∂2h0

+

∂t2+ 2λj

+vj+

∂h0+

∂t+ (λj

+vj+)2h0

+

]

− (vj+)2

[∂2h0

+

∂x2 − 2(Sj+)′(x)

Sj+(x)

∂h0+

∂x+

(2((Sj

+)′(x))2−Sj+(x)(Sj

+)′′(x)

(Sj+)2(x)

)h0

+

],

(2.44)

60

F j−(x, t) =

[∂2h0

−∂t2

+ 2λj−vj

−∂h0−

∂t+ (λj

−vj−)2h0

−

]

− (vj−)2

[∂2h0

−∂x2 − 2(Sj

−)′(x)

Sj−(x)

∂h0−

∂x+

(2((Sj

−)′(x))2−Sj−(x)(Sj

−)′′(x)

(Sj−)2(x)

)h0−

],

(2.45)

F j(x, t, ε) = −12λj−vj

−Sj−(x)

[vj−λj

−e−λj−εgj(x− ε, t− ε

vj−)

+ e−λj−ε ∂gj

∂t(x− ε, t− ε

vj−)− vj

−e−λj−ε ∂gj

∂x(x− ε, t− ε

vj−)

+ λj−vj

−e−λj−εgj(x + ε, t− ε

vj−)

+ e−λj−ε ∂gj

∂t(x + ε, t− ε

vj−) + vj

− e−λj−ε ∂gj

∂x(x + ε, t− ε

vj−)]

.

(2.46)Con la finalidad de presentar concisamente y mas adecuadamente para

nuestros calculos el sistema (2.42), (2.43), definiremos 4N operadores diferen-ciales parciales, actuando sobre las funciones de dos variables con derivadasparciales hasta de segundo orden continuas. Denotaremos estos operadorescon los sımbolos Li,j

± , 1 ≤ i ≤ 2, 1 ≤ j ≤ N y estaran definidos como sigue

L1,j± [u] = ∂2u

∂t2+ 2λj

±vj±

∂u∂t

+ (λ±v±)2u , (2.47)

L2,j± [u] = (vj

±)2

[∂2u∂x2 − 2(Sj

±)′(x)

Sj±(x)

∂u∂x

+(

2((Sj±)′(x))2−Sj

±(x)(Sj±)′′(x)

(Sj±)2(x)

)u

],

(2.48)donde u = u(x, t) es una funcion con derivadas parciales hasta de segundoorden continuas.

61

Con esta nueva notacion, el sistema (2.42), (2.43) se convierte en el sis-tema

L1,j+ [hj

+] = L2,j+ [hj

+]

+ λj+vj

+Sj+(x)

[λj

+vj+gj(x, t) + ∂gj

∂t(x, t)

]

+ F j+(x, t) ,

(2.49)

L1,j− [hj

−] = L2,j− [hj

−]

+ λj−vj

−Sj−(x)

[λj−vj

−gj(x, t) + ∂gj

∂t(x, t)

]

+ F j−(x, t) + F (x, t, ε) .

(2.50)

Para reducir el sistema a un sistema equivalente mas sencillo de estudiarharemos uso de los siguientes resultados los cuales son muy faciles de probar

Lema 1 Sean Li,j± los operadores diferenciales definidos en (2.48) y sean Lj

±los operadores diferenciales parciales definidos por

Lj±[u] = ∂2u

∂t2+ 2λj

±vj±

∂u∂t

+ (λj±vj

±)2u− vj±

∂2u∂x2 . (2.51)

Entonces

Lj±[uj

±] = 1

Sj±(x)

[L1,j± [uj

±]− L2,j± [uj

±]]

, (2.52)

donde

uj±(x, t) =

uj±(x, t)

Sj±(x)

.

Lema 2 Sea Lj± como en el Lema 1, entonces

eλj+vj

+tLj+[uj

+] = ∂2,j+ [uj

+] , (2.53)

eλj−vj−tLj

−[uj−] = ∂2,j

− [uj−] , (2.54)

62

donde

uj±(x, t) = eλj

±vj±tuj

±(x, t)

y

∂2,j+ [u] =

∂2u

∂t2− (vj

+)2∂2u

∂x2, (2.55)

∂2,j− [u] =

∂2u

∂t2− (vj

−)2∂2u

∂x2. (2.56)

Aplicando el Lema 1 al sistema (2.49), (2.50) ese sistema es equivalenteal sistema

Lj+[Hj

+] =1

Sj+(x)

F j+(x, t) + λj

+vj+

[λj

+vj+gj(x, t) +

∂gj

∂t(x, t)

], (2.57)

Lj−[Hj

−] =1

Sj−(x)

F j−(x, t)+λj

−vj−

[λj−vj

−gj(x, t) +∂gj

∂t(x, t)

]+F j(x, t, ε)

1

Sj−(x)

,

(2.58)donde

Hj+(x, t) =

hj±(x, t)

Sj±(x)

y aplicando el Lema 2 al sistema (2.57), (2.58), este sistema es equivalente a

∂2,j+ [Hj

+] = eλj+vj

+t

[F j

+(x, t)

Sj+(x)

+ λj+vj

+

[λj

+vj+gj(x, t) +

∂gj

∂t(x, t)

]], (2.59)

∂2,j− [Hj

−] = eλj−vj−t

[F j−(x, t)

Sj−(x)

+ λj−vj

−

[λj−vj

−gj(x, t) +∂gj

∂t(x, t)

]+

F j(x, t, ε)

Sj−(x)

],

(2.60)

63

donde

Hj±(x, t) = eλj

±vj±tHj

±(x, t) .

El sistema (2.57), (2.58) es un sistema de 4N ecuaciones diferenciales par-ciales no lineales acopladas (recordemos que gj(x, t) = Gj(

∑Ni=1 hi

+,∑N

i=1 hi−),

donde lo unico que le hemos pedido hasta ahora a Gj es que sea una funcionsigmoide de cada una de las variables hi

±), ademas, la ecuacion (2.59) de-pende de un pequeno parametro ε > 0. Este sistema es sumamente complejode estudiar, ası que para hacer mas tratable el sistema, estudiaremos primeroel caso N = 1, esto significa que se tiene unicamente una sola capa en cadacolumna. En este caso el sistema a estudiar es

L+[H+] =1

S+(x)F+(x, t) + λ+v+

[λ+v+g(x, t) +

∂g

∂t(x, t)

], (2.61)

L−[H−] =1

S−(x)F−(x, t) + λ−v−

[λ−v−g(x, t) +

∂g

∂t(x, t)

]+ F (x, t, ε)

1

S−(x).

(2.62)

Es decir, tenemos dos ecuaciones diferenciales parciales con la ecuacion(2.62) dependiendo de un parametro pequeno ε > 0, la funcion g dependeunicamente de h±, de manera sigmoide en cada una de ellas

g(x, t) = G(h+, h−) . (2.63)

En la siguiente seccion estudiaremos el sistema (2.61), (2.62) usandotecnicas de parametro pequeno, es decir, estudiaremos primeramente el sis-tema degenerado, − el sistema (2.61), (2.62) con ε = 0 − , para despues, conbase en este estudio, obtener informacion sobre el sistema no degenerado.Ademas introduciremos una expresion para G, que dependera de una solavariable, la cual es una combinacion lineal de h+, y h−, a esta nueva variablela llamaremos variable de activacion, ya que el hecho de que se generen o nopotenciales de accion en una columna dependen de esta nueva variable.

64

2.7 LA ECUACION DE ACTIVACION PARA LA CORTEZACEREBRAL

Sabemos que g(x, t) depende de una manera muy compleja de la actividadsinaptica excitatoria h+, y de la actividad sinaptica inhibitoria h−, i.e. g(x, t)es igual a G(h+, h−), cualitativamente consideramos que G(., h−) debe seruna funcion sigmoide creciente de h+, para cada h− fijo y que debe ser unafuncion sigmoide decreciente de h− para cada h+ fijo. Este planteamientoes sumamente general y difıcil de estudiar, ası que estudiaremos un casoparticular de la dependencia de g con respecto a h+ y h−. El caso queestudiaremos esta basado en lo siguiente:

1. Si V± representa el valor del potencial postsinaptico en una sinapsis,entonces V±h±(x, t) representara la densidad de potencial postsinapticoen la columna x en el tiempo t.

2. Habra activacion en la columna x (generacion de potenciales de accion)cuando V+H+(x, t) − V−H−(x, t) ≥ V0, donde V0 es un cierto umbralpromediado de disparo de la columna x, en caso contrario no habraactivacion.

3. Si V+H+(x, t) − V−H−(x, t) es muy grande, habra saturacion de lacolumna x en el tiempo t y entonces, no aumentara significativamentela actividad de la columna en ese tiempo.

Basados en estos tres puntos consideramos que:

g(x, t) = G(V+H+(x, t)− V−H−(x, t)) , (2.64)

donde G es una funcion sigmoide de una sola variable. G es una funcionsigmoide de la densidad de potencial postsinaptico de la columna.

En realidad, como veremos despues, se pueden elegir varias expresionescuantitativas para G.

Llamaremos a la variable u(x, t) = V+H+(x, t) − V−H−(x, t) variable deactivacion de la columna x.

65

La dinamica espacio-temporal de u(x, t) nos permitira estudiar las zonasde la corteza que estan activas en un tiempo determinado. Para cada t, laszonas activas de la corteza estaran caracterizadas por el conjunto

E(t) = x en la corteza|u(x, t) ≥ V0 .

Para obtener la ecuacion diferencial parcial que determina la dinamicade la variable de activacion u(x, t) multiplicamos la ecuacion L+[H+] =

1S+(x)

F+(x, t) + λ+v+[λ+v+g(x, t) + ∂g∂t

(x, t)] por V+ y le restamos V−L+[H−]en ambos lados de la ecuacion, ası se obtiene

L+[u] = V+λ+v+

[λ+v+g(x, t) +

∂g

∂t(x, t)

]+V+

F+(x, t)

S+(x)−V−L+[H−] . (2.65)

Ademas tenemos la ecuacion para las inhibiciones

L−[H−] = λ−v−

[λ−v−g(x, t) +

∂g

∂t(x, t)

]+

F−(x, t)

S−(x)+

F (x, t, ε)

S−(x). (2.66)

Como mencionamos en la seccion anterior, primeramente estudiaremos elcaso degenerado (ε = 0) del sistema (2.65), (2.66)

L+[u] = V+λ+v+

[λ+v+g(x, t) +

∂g

∂t(x, t)

]+V+

F+(x, t)

S+(x)−V−L+[H−] . (2.67)

Ademas tenemos la ecuacion para las inhibiciones

L−[H−] =F−(x, t)

S−(x). (2.68)

Usando el lema 2, se puede reducir el sistema (2.67), (2.68) al estudio delsistema equivalente

L+[u] = V+λ+v+

[λ+v+g(u) +

∂g

∂u(u)

∂u

∂t

]+V+

F+(x, t)

S+(x)−V−L+[H−] , (2.69)

66

∂2−(H−) = e−λ−v−t F−(x, t)

S−(x), (2.70)

donde

H(x, t) = eλ−v−tH−(x, t) .

Utilizando la definicion de L, ∂2− y calculando L+[e−λ−v−tH−(x, t)] y re-

ordenando los terminos, obtenemos el sistema

∂2u∂t2

+ 2λ+v+∂u∂t

+ (λ+v+)2u− v2+

∂2u∂x2 = V+λ+v+

[λ+v+g(u) + g′(u)∂u

∂t

]

−V−e−λ−v−t

[(1− v2

+

v2−)∂2H−

∂t2+ 2(λ+v+ − λ−v−)∂H−

∂t+ (λ+v+ − λ−v−)2H−

]

+ V+

S+(x)F+(x, t) + 1

v2−

F−(x,t)S−(x)

e−λ−v−t ,

(2.71)

∂2H−∂t2

= v2−

∂2H−∂x2

+e−λ−v−t

S−(x)F−(x, t) . (2.72)

Notese que la ecuacion (2.72) es independiente de g, ası que este sistemase puede interpretar como un proceso global de propagacion de ondas de lavariable de activacion, modulado por un proceso de propagacion de ondas delas inhibiciones.

67

2.8 CONSTRUCCION DE UN MODELOCOMPARTIMENTADO DE ACTIVACION DE LACORTEZA CEREBRAL.

En el modelo que hemos analizado en las secciones anteriores –con lasdiversas formas propuestas para la distribucion de conexiones– se eliminanlos efectos producidos en cada columna por columnas lejanas a ella. La eli-minacion de los “efectos lejanos”, se debe a la eleccion de una distribucionde conexiones que decrece exponencialmente con las distancias entre colum-nas con la misma escala de decrecimiento, en todas las direcciones sobre lacorteza. Una manera de tomar en cuenta estos “efectos lejanos”, es considerara la corteza cerebral dividida en n compartimentos disjuntos interconectados,considerando la distribucion de conexiones para cada par de compartimentosde decrecimiento exponencial, pero con una escala de decrecimiento que de-pende del par de compartimentos considerados. Ası, “los efectos” producidosen una columna de cierto compartimento estaran clasificados dependiendo delos compartimentos con que interactua. En nuestro modelo consideramos quelas velocidades de propagacion de los potenciales de accion no dependen delos compartimentos que se estan considerando. La division de la cortezaen n compartimentos, ademas de ser una mejor aproximacion de la cortezareal que la propuesta en las secciones anteriores, nos permite correlacionarnuestros resultados teoricos con las mediciones reales de actividad cortical.Ademas nos permitira estudiar el diagrama de conexiones funcional que seestablece en un estado fisiologico dado. Se podrıa estudiar, tambien la inter-relacion que existe entre las distintas areas de la corteza, siguiendo la divisionpropuesta por el anatomista K. Brodmann (Fig. # 9).

A continuacion describiremos mas detalladamente este modelo.

Como ya hemos mencionado, en el presente modelo consideramos a lacorteza cerebral dividida en n compartimentos ajenos Ωi, i = 1, . . . , n. Porsimplicidad y siguiendo las ideas de las secciones anteriores, consideraremosuna banda de corteza en la cual, las ondas que se propagan por ella, tienenlongitud de onda muy pequena con respecto a la longitud de la misma. Conestas simplificaciones puede pensarse en la corteza como una recta divididaen n intervalos disjuntos, identificando los dos intervalos infinitos como unosolo (considerando que los “efectos ” de los dos intervalos infinitos provocan

68

el mismo efecto sobre los otros intervalos).Lo que deseamos es relacionar la densidad de actividad sinaptica – excita-

toria e inhibitoria – en una columna de corteza con los potenciales de accionque se generan en las otras columnas en tiempos anteriores, pero como te-nemos dividida a la corteza en n compartimentos, aumentara el numero deecuaciones a considerar.

A continuacion procederemos a definir las variables y parametros queintervienen en el modelo, deduciremos las ecuaciones en forma integral y aligual que en las secciones anteriores transformaremos estas en un sistema deecuaciones diferenciales parciales.

Como en las secciones anteriores, el subındice + se referira a las sinapsisexcitatorias y el − a las sinapsis inhibitorias.

Sean :

a) hij±(x, t) − La densidad de sinapsis activas o de actividad sinaptica porcm2 en la columna x ∈ Ωj, en el tiempo t, producidos por los potencialesde accion que se generan en el compartimento Ωi en tiempos anterioreshij±(x, t) representa el efecto de Ωi en la columna x ∈ Ωj en el instante

t (1/cm2).

b) f j±(x, t) − La densidad de sinapsis activas por cm2 en la columna x ∈ Ωj

en el instante t, producidas por los potenciales de accion que se generanen tiempos “anteriores” en las estructuras internas del cerebro, prin-cipalmente el talamo, y que tienen conexion sinaptica con la columnax ∈ Ωj. Supondremos que f j

−(x, t) ≡ 0 para cada j.

c)

hj±(x, t) =

n∑

i=1

hij±(x, t) + f j

±(x, t) . (2.73)

Representara la densidad de actividad sinaptica total en la columna x ∈Ωj en el instante t, producida por los potenciales de accion generadosen todas las regiones de la corteza y las estructuras internas del cerebro,principalmente el talamo.

d) Rij±(x′, x, v) − El numero de conexiones sinapticas por cm2 en la columnax ∈ Ωj por unidad de longitud en x′ ∈ Ωi y por unidad de velocidad, esdecir, Rij

±(x′, x, v)dx′dv representa el numero de conexiones sinapticas

69

por cm2 en la columna x ∈ Ωj que provienen de las neuronas queestan ubicadas desde la columna x′ hasta la columna x′ + dx′ y porcuyos axones los potenciales de accion “viajan” con velocidad entre vy v + dv.

e) g(x, t) − La fraccion del total de neuronas en la columna x que generanpotenciales de accion en el instante t.

f) gj(x, t) − La fraccion del total de neuronas en la columna x ∈ Ωj quegeneran potenciales de accion en el tiempo t. Obviamente

g(x, t) = gj(x, t) para x ∈ Ωj . (2.74)

Lo que queremos conocer es la evolucion espacio-temporal de la densidadde actividad sinaptica total en cada columna de cada compartimento de lacorteza (hij

±(x, t), x ∈ Ωj, j = 1, . . . , n). Para lograr esto, primero obten-dremos la evolucion espacio-temporal de la densidad de actividad sinapticaen cada columna de un compartimento dado de la corteza producida porla interaccion con otro compartimento de la misma (hij

±(x, t), x ∈ Ωj, i, j =1, . . . , n) y le anadiremos la producida por las estructuras internas del cerebro(f j

+(x, t), j = 1, . . . , n).Consideraremos que por cada par de compartimentos Ωi, Ωj se cumplen

las siguientes hipotesis :

1. Existe una unica velocidad de propagacion, v±, de los potenciales deaccion que viajan de Ωi a Ωj y que no depende de Ωi ni de Ωj.

2. La densidad de conexiones (Rij±(x′, x, v)) depende unicamente de la dis-

tancia entre las columnas y tienen su decrecimiento exponencial, concada escala de decrecimiento (λij

±) que solo depende de las regionesΩi, Ωj.

R±(x′, x, v) =n∑

i=1

Rij±(x′, x, v), x ∈ Ωj , (2.75)

donde

70

Rij±(x′, x, v) =

αij±(x′)e−λij

± |x−x′|Sj(x)δ(v − v±) , si x ∈ Ωj, x′ ∈ Ωi

0 , en otro caso(2.76)

R±(x′, x, v) representara el numero de conexiones sinapticas por cm2 enx, por unidad de longitud en x′ y por unidad de velocidad. Sj(x) es ladensidad de conexiones sinapticas en x ∈ Ωj (1/cm2) y αij

±(x′) (1/cm)es un factor de normalizacion, sujeto a la condicion

n∑

i=1

∫

Rαij±(x′)e−λij

± |x−x′|dx′ = 1, para cada x ∈ Ωj . (2.77)

En lo que sigue, identificaremos Ωi (i = 1, . . . , n) con el conjunto delos numeros reales y si suponemos αij

±(x′) constante; αij±(x′) = αij

±,entonces de (2.77) obtenemos :

2n∑

i=1

αij±

λij±

= 1 . (2.78)

Debido al caracter local de las inhibiciones, podemos suponer que

αij− = 0 si i 6= j.

Ası, en lo que sigue consideraremos que :

αij+ =

λij+

2n, αjj

− =λjj−2

. (2.79)

3. Los potenciales de accion que se generan en la columna x ∈ Ωj en elinstante t, dependen de la actividad sinaptica total en x ∈ Ωi en el in-stante t y de la densidad de la actividad neuroquımica (concentracionde neurotransmisores) que se realice en dicha columna en ese instante.Nosotros solo consideraremos la dependencia de gi con respecto a la ac-tividad total en la columna x en el instante t. Ademas, de la suposicionde que la actividad inhibitoria en la corteza solo tiene un caracter local,se concluye que hki

− (x, t) ≡ 0 si k 6= i.

71

Finalmente como las conexiones aferentes a la corteza son solo excitato-rias, tenemos que f j

−(x, t) ≡ 0 y ası obtenemos

gi(x, t) = gi(n∑

k=1

hki+ (x, t) + f i

+(x, t), hii−(x, t)) . (2.80)

Siguiendo el mismo razonamiento expuesto en las secciones anteriores,tenemos que :

hij−(x, t) =

λij+

2nSj(x)

∫ ∞

−∞e−λjj

+ |x−x′|g(x′, t− |x− x′|v+

)dx′ , (2.81)

hjj− (x, t) =

λjj−2

Sj(x)∫ x+ε

x−εe−λjj

+ |x−x′|g(x′, t− |x− x′|v−

)dx′ , (2.82)

donde el parametro ε > 0 corresponde a la localidad de la actividad inhibito-ria. De nuevo, debido al caracter local del proceso inhibitorio, consideraremosque hij

−(x, t) ≡ 0 si i 6= j.Introduciendo las nuevas funciones incognitas

H ij+ (x, t) =

nhij+(x, t)

Sj(x), Hjj

− (x, t) =hjj− (x, t)

Sj(x)(2.83)

y realizando el mismo proceso de aplicar el operador ∂2

∂x2 a cada lado de

(2.81), (2.82) y despues pasar al lımite cuando ε → 0, se obtiene, debido a(2.74)

∂2H ij+

∂t2+ 2λij

+v+∂H ij

+

∂t+ (λij

+)2v2+H ij

+ − v2+

∂2H ij+

∂x2

= λij+v+

[λij

+v+gij(x, t) +∂gij

∂t(x, t)

], x ∈ Ωj , (2.84)

∂2Hjj−

∂t2+ 2λjj

−v−∂Hjj

−∂t

+ (λjj− )2v2

−Hjj− − v2

−∂2Hjj

−∂x2

= 0, x ∈ Ωj , (2.85)

72

donde gij(x, t) es la fraccion del total de neuronas que generan potencialesde accion en x ∈ Ωj debido a las sinapsis que provienen de neuronas en Ωi.

En lo que sigue supondremos que

gij(x, t) = µij(x)gj(x, t) , (2.86)

donde gj(x, t) esta definida en (2.74) y 0 ≤ µij(x) ≤ 1 es tal que

n∑

i=1

µi,j(x) = 1, para toda x ∈ Ωj .

Las funciones µij(x); i, j = 1, . . . , n determinan el diagrama de conexionfuncional en la corteza, correspondiente a un estado fisiologico, caracterizadopor una funcion de activacion de neuronas gj(x, t) para cada compartimentoΩj; j = 1, . . . , n. El hecho de que µij(x) pueda ser diferente de µkj parai 6= k nos permite considerar una distribucion no homogenea de activacionen x ∈ Ωj correspondiente a los compartimentos Ωk y Ωi que no podıamosconsiderar en el modelo estudiado en las secciones anteriores.

Sea V± el valor absoluto del potencial postsinaptico producido por unasinapsis (+ excitatoria, − inhibitoria). Introduciremos las nuevas variables

uij(x, t) =V+(n− 1)

[H ij

+ (x, t) + fj(x,t)Sj(x)

]− V−Hjj

− (x, t)

(V+ + V−), (2.87)

i, j = 1, . . . , n , que llamaremos variable de activacion parcial en x ∈ Ωj, enel instante t, provocada por la accion de Ωi sobre Ωj.

De (2.84), (2.85), (2.86), (2.87) se obtiene el siguiente sistema de ecua-ciones para las variables de activacion :

∂2uij

∂t2+ 2λij

+v+∂uij

∂t+ (λij

+v+)2uij − v2+

∂2uij

∂x2=

λij+v+V+(n− 1)

(V+ + V−)µij(x)

[λij

+v+gj(x, t) +∂gj

∂t(x, t)

](2.88)

+ Fij(x, t)− Iij(x, t), x ∈ Ωj; i, j = 1, . . . , n ,

73

donde

Fij(x, t) =V+(n− 1)

(V+ + V−)

∂2

(fj(x,t)Sj(x)

)

∂t2+ 2λij

+v+

∂(

fj(x,t)Sj(x)

)

∂t

+(λij+)2v2

+

f j(x, t)

Sj(x)− v2

+

∂2(

fj(x,t)Sj(x)

)

∂x2

, (2.89)

Iij(x, t) =V−

V+ + V−

[∂2H ij

−∂t2

+ 2λij+v+

∂H ij−

∂t+ (λij

+v+)2Hjj− − v2

+

∂2Hjj−

∂x2

].

(2.90)Notese que, en (2.90), Hjj

− (x, t) solo depende de las condiciones inicialesde inhibicion, debido a que satisface la ecuacion (2.85).Teniendo en cuenta (2.80) podemos suponer que en (2.88) se tiene

gj(x, t) = gj(uj) , (2.91)

donde

uj(x, t) =n∑

i=1

uij(x, t)

es la llamada variable de activacion total en x ∈ Ωj.De

0 ≤n∑

i=1

H ij+ (x, t) +

(f j(x, t)

Sj(x)

)≤ 1, para cada x ∈ Ωj

y 0 ≤ Hjj− (x, t) ≤ 1, para cada x ∈ Ωj ,

se tiene que−1 ≤ uj(x, t) ≤ 1, para cada x ∈ Ωj .

Entonces de (2.91) y el comportamiento cualitativo que, a partir delconocimiento fisiologico, debe tener la funcion de activacion gj, podemossuponer que gj(uj) es una funcion creciente continuamente diferenciable dela variable uj, definida en todo R y tal que

74

gj =

0 , si uj ≤ −1 ,creciente , si − 1 ≤ uj ≤ 1 ,

1 , si uj ≥ 1 .(2.92)

Para tener mas arbitrariedad en la seleccion de gj, podemos suponer quees una funcion sigmoide de la variable uj que esta muy cercana al valor 0 enuj = −1 y muy cercana al valor 1 en uj = 1.

Haremos ahora la suposicion de que las conexiones excitatorias entre com-partimentos diferentes son pocas en comparacion con las que hay dentro decada compartimento, es decir,

λjj+

λij+

¿ 1, si i 6= j; i, j = 1, . . . , n . (2.93)

Entonces, si ponemos

λjj+v+

λjj−v−

= βj,λjj

+

λij+

= ε, i 6= j (2.94)

y pasamos a las nuevas coordenadas

λjj+v+t = τ, λjj

+x = y (2.95)

en (2.88) para todo i, j = 1, . . . , n, obtenemos un sistema con parametropequeno ε para las variables de activacion parcial en coordenadas adimensio-nales

ε2∂2uij

∂τ 2+ 2ε

∂uij

∂τ+ uij − ε2∂2uij

∂y2=

V+(n− 1)

(V+ + V−)µij(y)

[gj(y, τ) + ε

∂gj

∂τ(y, τ)

]+

(2.96)

+1

(λij+v+)2

[Fij(y, τ)− Iij(y, τ)

];

75

1

λjj+

y ∈ Ωj, i, j = 1, . . . , n, i 6= j ,

donde

uij(y, τ) = uij(x, t), µij(y) = µij(x),

gj(y, τ) = gj(x, t), Fij(y, τ) = Fij(x, τ),

Iij(y, τ) = Iij(x, t).

Ademas se tiene

∂2ujj

∂τ 2+ 2

∂ujj

∂τ+ ujj − ∂2ujj

∂y2=

V+(n− 1)

(V+ + V−)µjj(y)

[gj(y, τ) +

∂g

∂τ(y, τ)

]+

(2.97)

1

(λ+v+)2

[Fjj(y, τ)− Ijj(y, τ)

],

1

λjj+

y ∈ Ωj .

De (2.91) tenemos que

gj(y, τ) = gj(uj) ,

donde

uj(y, τ) =n∑

i=1

uij(y, τ)

es la variable de activacion total de la region Ωj en coordenadas adimensio-nales.

76

En lo que sigue consideraremos que las variables de activacion se obtienenen forma de promedios espaciales en cada compartimento Ωj, es decir

uij(y, τ) = uij(τ), uij(y) = uij ,

gj(y, τ) = gj(τ), Fij(y, τ) = Fij(τ) ,

Iij(y, τ) = Iij(τ) .

De esta forma, el sistema (2.96), (2.97) se reduce al sistema

ε2d2uij

dτ 2+ 2ε

duij

dτ+ uij =

µijV+(n− 1)

(V+ + V−)

[gj(τ) + ε

dgj

dτ(τ)

]+

1

(λij+v+)2

[Fij(τ)− Iij(τ)

], (2.98)

i, j = 1, . . . , n, i 6= j ,

d2ujj

dτ 2+ 2

dujj

dτ+ ujj = µij

V+(n− 1)

(V+ + V−)

[gj(τ) +

∂gj

∂τ(τ)

]

(2.99)

+1

(λjj+v+)2

[Fjj(τ)− Ijj(τ)

].

Por simplicidad supondremos que la entrada aferente Fij(τ) a la regionΩj proveniente de estructuras internas del cerebro es pequena, es decir :

Fij(τ) = (λjj+v+)Gij(τ), i 6= j , (2.100)

donde Gij(τ) esta acotada.

77

Por otra parte, de (2.90) se tiene que

1

(λij+v+)2

Iij(τ) =V−

(V+ + V−)

[ε2d2Hjj

− (τ)

dτ 2+ 2ε

dHjj− (τ)

dτ+ Hjj

− (τ)

], (2.101)

donde Hjj− (τ) = Hjj

− (τ) es, segun (2.85), solucion de la ecuacion

β2j

d2Hjj−

dτ 2+ 2βj

dHjj−

dτ+ Hjj

− = 0 , (2.102)

donde βj viene definido en (2.94). De (2.102) se tiene que

Hjj− (τ) = (aτ + b)e−τ/βj ,

donde a y b son parametros que dependen de las condiciones iniciales deinhibicion.

Finalmente, la ecuacion (2.98) se transforma en

ε2d2uij

dτ 2+ 2ε

duij

dτ+ uij =

V+(n− 1)

(V+ + V−)µij

[gj(τ) + ε

dgj

dτ(τ)

]+ ε2Gij(τ) (2.103)

− V−(V+ + V−)

Hjj− (τ) para cada i, j = 1, . . . , n, i 6= j .

En la aproximacion de orden cero, para valores de τ no cercanos a 0, lasolucion u0

ij(τ) de (2.103) satisface la ecuacion

u0ij =

V+(n− 1)

(V+ + V−)µij gj(u

0j)−

V−(V+ + V−)

Hjj− (τ), i, j = 1, . . . , n, i 6= j ,

(2.104)donde

u0j(τ) =

n∑

i=1

u0ij(τ),

78

de (2.104) se concluye que

u0j =

n∑

i=1

u0ij(τ) =

V+(n− 1)

(V+ + V−)gj(u

0j)

n∑

i=1,i6=j

µij + u0jj −

(n− 1)V−(V+ + V−)

Hjj− (τ) ,

(2.105)de donde se tiene :

u0j =

V+(n− 1)

(V+ + V−)(1− µjj)g(u0

j)− u0jj +

(n− 1)V−(V+ + V−)

Hjj− (τ) . (2.106)

Si suponemos que gj es una funcion sigmoide con un solo punto de in-flexion, entonces la ecuacion (2.106) admite una solucion unica u0

j , paracualquier u0

jj, si se cumple la condicion

V+(n− 1)

(V+ + V−)(1− µjj)g

′j(u) < 1, para cada j = 1, . . . , n . (2.107)

En este caso, aplicando al sistema (2.99), (2.103) los resultados de lateorıa de perturbaciones singulares para sistemas con parametro pequeno yde la ecuacion (2.106), tendremos que para cualquier compacto contenido enτ > 0 la aproximacion de orden cero de la variable de activacion total,satisface la ecuacion

d2u0j

dτ 2+ 2

du0j

dτ+ u0

j =

V+(n− 1)

(V+ + V−)µjj

[gj(u

0j) + g

′j(u

0j)

du0j

dτ

]+

V+(n− 1)

(V+ + V−)(1− µjj)

[d2gj

dτ 2(u0

j) + 2dgj

dτ(u0

j) + gj(u0j)

]

− (n− 1)V−(V+ + V−)

[d2Hjj

−dτ 2

+ 2dHjj

−dτ

+ Hjj−

]

79

+1

(λjj+v+)2

[Fjj(τ)− Ijj(τ)

].

Teniendo en cuenta la expresion de Hjj− y que

1

(λjj+v+)2

Ijj(τ) =V−

(V+ + V−)

(d2Hjj

−dτ

+ 2dHjj

−dτ

+ Hjj−

)

=V−

(V+ + V−)β2j

e−τ/βj(βj − 1) [2aβj + (βj − 1)(aτ + b)] .

Obtenemos finalmente la ecuacion[1− V+(n− 1)

(V+ + V−)(1− µjj)g

′j(u

0j)

]d2u0

j

dτ 2+

[2− V+(n− 1)

(V+ + V−)(2− µjj)g

′j(u

0j)

]du0

j

dτ+

−V+(n− 1)

(V+ + V−)(1− µjj)g

′′j (u0

j)

(du0

j

dτ

)2

+ (2.108)

[u0

j −V+(n− 1)

(V+ + V−)gj(u

0j)

]=

1

(λjj+v+)2

Fjj(τ)− nV−(V+ + V−)β2

j

(βj − 1)e−τ/βj [2aβj + (βj − 1)(aτ + b)] ,

donde el primer sumando del miembro derecho esta asociado a la entradaaferente a la region Ωj proveniente de estructuras interiores del cerebro y elsegundo sumando corresponde al control inhibitorio en Ωj.

La ecuacion (2.108) describe, en la aproximacion de orden cero con res-pecto a las potencias de ε, la evolucion temporal de la variable de activaciontotal en cada compartimento Ωj.

80

Notese que el coeficiente (1 − µjj) corresponde a la contribucion de loscompartimentos Ωj con i 6= j a la activacion de Ωj.

Notese ademas que bajo las suposiciones efectuadas se obtienen ecua-ciones desacopladas para la variable de activacion total en cada Ωj, aunquecomo senalamos en el parrafo anterior el efecto de los restantes comparti-mentos esta encerrado en el coeficiente (1− µjj).

Finalmente hemos obtenido el teorema siguiente.

Teorema 1 Supongamos que la corteza cerebral esta dividida en n compar-timentos mutuamente ajenos Ωj, j = 1, . . . , n y que se cumplen las siguienteshipotesis:

1. La funcion de distribucion de densidad de conexiones entre dos locali-zaciones de la corteza esta descrita por (2.75), (2.76), (2.79).

2. La funcion que describe la fraccion del total de neuronas en una locali-zacion determinada que generan potenciales de accion debido a lassinapsis que provienen de neuronas ubicadas en otros compartimentosviene dada por las expresiones (2.86), (2.91) y (2.92).

3. Las conexiones excitatorias entre compartimentos diferentes son pocosen comparacion con los que hay dentro de cada compartimento, segunse expresa en (2.93).

4. Las entradas sinapticas aferentes a la corteza son pequenas en el sentidode (2.100).

5. Entonces para la aproximacion de orden cero de los promedios espa-ciales en cada Ωj de la variable de activacion total

u0j(τ) =

n∑

i=1

u0ij(τ) (ver 2.87),

se tiene la ecuacion (2.108), si se cumple la condicion (2.107).

81

Capıtulo 3

ANALISIS MATEMATICO DEL MODELODE ACTIVACION DE LA CORTEZA CERE-BRAL.

3.1 UN MODELO MATEMATICO PARA UNA REBANADADE CORTEZA CEREBRAL

Un problema importante en fisiologıa es determinar bajo que estımulosexternos se puede lograr que una pequena rebanada de corteza cerebral os-cile en frecuencias determinadas de antemano. Con el modelo que hemosobtenido es posible estudiar este problema. Como estarıamos considerandounicamente una pequena rebanada de corteza cerebral, lo que tendrıamos quehacer en nuestro modelo, es considerar que no se tiene variacion espacial; eneste caso, nuestro modelo serıa un sistema de dos ecuaciones diferencialesordinarias no lineales. Lo que nos proponemos estudiar, es las condicionesque debe cumplir el estımulo externo para que nuestro sistema de ecuacionestenga soluciones periodicas.

Ası que, el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias a estudiar es

82

d2udt2

+ 2λ+v+dudt

+ (λ+v+)2u = V+λ+v+

[λ+v+g(u) + g′(u)du

dt

]

−V−e−λ−v−t

[(1− v2

+

v2−)d2H−

dt2+ 2(λ+v+ − λ−v−)dH−

dt+ (λ+v+ − λ−v−)2H−

]

+f+(t) ,(3.1)

d2H−dt2

= f−(t) , (3.2)

donde f+(t), f−(t) son funciones que estan relacionadas con los estımulosexternos a la pequena rebanada de corteza.

La ecuacion (3.2) es muy facil de resolver, sus soluciones son de la forma

H−(t) = R(t) + at + b , (3.3)

donde a, b son constantes y

R(t) =∫ t

0

(∫ s

0f−(z)dz

)ds . (3.4)

Sustituyendo (3.3) en (3.1), obtenemos la ecuacion diferencial ordinariano lineal que necesitamos estudiar

d2udt2

+ 2λ+v+dudt

+ (λ+v+)2u = V+λ+v+

[λ+v+g(u) + g′(u)du

dt

]

−V−e−λ−v−t

[(1− v2

+

v2−)d2R

dt2

+2(λ+v+ − λ−v−)(dRdt

+ a) + (λ+v+ − λ−v−)2(R(t) + at + b)]

+f+(t) .

(3.5)

A continuacion realizaremos un cambio de variable que nos permitirareducir la ecuacion a una ecuacion diferencial equivalente mas sencilla deestudiar.

83

Lema 3 Sea τ = λ+v+t, entonces la ecuacion (3.5) es equivalente a laecuacion diferencial

d2udτ2 + 2du

dτ+ u = V+

[g(u) + g′(u)du

dτ

]

−V−e−λ−v−τ

λ+v+

[(1− v2

+

v2−)d2R

dτ2 + 2(λ+v+ − λ−v−)( 1(λ+v+)2

dRdτ

+ a(λ+v+)2

)

+(λ+v+ − λ−v−)2( R(τ)(λ+v+)2

+ aτ(λ+v+)3

+ b(λ+v+)2

)]

+f+(τ) .

(3.6)

Demostracion.

Dividimos la ecuacion (3.5) por (λ+v+)2 y usamos la regla de la cadenapara obtener las derivadas necesarias de las funciones que aparecen en laecuacion con respecto a τ .

En el siguiente resultado construiremos, a partir de la ecuacion (3.6),una familia de ecuaciones diferenciales de primer orden dependiente de unparametro. Esta familia de ecuaciones diferenciales de primer orden es equi-valente a la ecuacion diferencial de segundo orden (3.6), en el sentido que seenuncia en la siguiente proposicion.

Proposicion 1 Si u es una solucion de la ecuacion diferencial (3.6) concondiciones iniciales u(0) = u0 y u′(0) = u′0, entonces u es solucion de laecuacion diferencial de primer orden

du

dτ+ u = V+g(u) + e−τ (F+(τ) + K) , (3.7)

84

donde

F+(τ) =∫ τ0

(−V−e

−λ−v−ν

λ+v+

[(1− v2

+

v2−)d2R

dν2

+ 2(λ+v+ − λ−v−)( 1(λ+v+)2

dRdν

+ a(λ+v+)2

)

+ (λ+v+ − λ−v−)2( R(ν)(λ+v+)2

+ aν(λ+v+)3

+ b(λ+v+)2

)]+ f+(ν)

)eνdν

(3.8)y

K = u′0 + u0 − V+g(u0) .

Recıprocamente, si u es una solucion de (3.7) con u(0) = u0, entonces, u esuna solucion de (3.6) con condiciones iniciales u(0) = u0 y u′(0) = u′0.

Demostracion.

Si multiplicamos la ecuacion (3.6) por eτ , obtenemos

eτ[

d2udτ2 + 2du

dτ+ u

]= eτV+

[g(u) + g′(u)du

dτ

]+ dF+

dτ. (3.9)

Como

d

dτ

[eτ (

du

dτ+ u)

]= eτ

[d2u

dτ 2+ 2

du

dτ+ u

]

y

V+d

dτ[eτ g(u)] = V+[g(u) + g′(u)

du

dτ]

(3.6) se transforma en

d

dτ

[eτ (

du

dτ+ u)

]=

d

dτ[V+eτ g(u) + F+(τ)] .

Entonces

85

eτ (du

dτ+ u) = V+eτ g(u) + F+(τ) + K ,

donde

K = u′0 + u0 + V+g(u0) ,

entonces

du

dτ+ u = V+g(u) + e−τ (F+(τ) + K) .

Es decir, u es solucion de la ecuacion (3.7). El recıproco se demuestra demanera similar.

Ahora consideraremos que la entrada externa inhibitoria a la corteza cere-bral es cero, es decir, tomaremos f−(t) ≡ 0.

En este caso la ecuacion (3.6) se reduce a

d2u

dτ 2+ 2

du

dτ+ u = V+

[g(u) + g′(u)

du

dτ

]

−V−e−λ−v−τ

λ+v+

[2(λ+v+ − λ−v−)

a

(λ+v+)2+ (λ+v+ − λ−v−)2

(aτ

(λ+v+)3+

b

(λ+v+)2

)]

+f+(τ)y

F+(τ) =∫ τ0

(−V−e

−λ−v−ν

λ+v+

[2(λ+v+ − λ−v−)

a

(λ+v+)2

+(λ+v+ − λ−v−)2

(aν

(λ+v+)3+

b

(λ+v+)2

)]+ f+(ν)

)eνdν

En el siguiente resultado, probaremos que si escogemos el estımulo externode tal manera que e−τ (F+(τ)+K) sea una funcion periodica en τ de perıodo

86

T , se pueden proponer condiciones sobre g para que la ecuacion diferencial(3.7) tenga una unica solucion periodica, de perıodo T .

Observacion

Para lograr que e−τ (F+(τ) + K) sea una funcion periodica de perıodo T ,basta tomar

f+(τ) = p(τ) + q(τ)

donde p(τ) sea una funcion cotinua periodica de perıodo T y limτ→∞ q(τ) = 0.Ademas, en nuestro caso se puede demostrar que la funcion q(τ) decrece

a cero en forma exponencial cuando τ tiende a ∞.

En lo que sigue B = B[0,∞) = u : [0,∞) → R| u es continua y acotadaen [0,∞), para u ∈ B, ||u||∞ = supt∈[0 ∞] |u(t)| sabemos que B es un espaciode Banach con ||u||∞.

Sea M = u ∈ B : u(0) = u0, M es un subespacio cerrado de B.

Teorema 2 Si e−τ (F+(τ)+K) es una funcion continua en [0,∞) y periodicade perıodo T , g una funcion tal que V+ supu∈R |g′(u)| < 1, entonces laecuacion diferencial

du

dτ+ u = V+g(u) + e−τ (F+(τ) + K) (3.10)

tiene una unica solucion acotada en [0 ∞)

Demostracion.

Por el metodo de variacion de parametros, u es una solucion de (3.10) siy solo si

u(τ) = e−τu0 +∫ τ

0(e−τes[V+g(u) + e−s(F+(s) + K)])ds . (3.11)

Vamos a construir un operador T : M → M que tiene un unico punto fijoy este punto fijo sera una solucion de la ecuacion (3.11) y por lo tanto de laecuacion (3.10).

87

Definamos T : M → M por

Tu(τ) = e−τu0 +∫ τ

0(e−τes[V+g(u) + e−s(F+(s) + K)])ds . (3.12)

1. Vamos a demostrar que Tu es un elemento del espacio M

|Tu(τ)| ≤ |e−τu0|+∫ τ0 |e−τ+s|V+g(u(s))|ds +

∫ τ0 (|e−τ (F+(s) + K)|)ds

≤ |u0|+ V+e−τ∫ τ0 esds + e−τ

∫ τ0 |F+(s) + K|ds

≤ |u0|+ V+e−τ (eτ − e0) + ||F+(τ) + K||∞e−ττ ,

por lo tanto

|Tu(τ)| ≤ |u0|+ V+(1− e−τ ) + ||F+(τ) + K||∞eττ

≤ |u0|+ V+ + ||F+(τ) + K||∞e−ττ .

Como limτ→∞ τe−τ = 0 se tiene que |Tu(τ)| ≤ m para cada τ ∈ [0 ∞).

Ası si u ∈ M entonces, Tu ∈ M

2. Ahora vamos a probar que T es una contraccion. Sean u1, u2 ∈ M ,entonces

|Tu1(τ)− Tu2(τ)| ≤ ∫ τ0 |e−τ+s[V+(g(u1(s)))− (g(u2(s)))]|ds

≤ V+e−τ supu∈R |g′(u)|||u1 − u2||∞∫∞0 esds

= supu∈R |g′(u)|||u1 − u2||∞V+[1− e−τ ]

≤ Sup|g′(u)|u∈R||u1 − u2||∞V+ , por lo tanto

||Tu1 − Tu2||∞ ≤ k1||u− 1− u2||∞, con k1 = V+ supu∈R |g′(u)| < 1.

El operador T es una contraccion y por el teorema del punto fijo deBanach, T tiene un unico punto fijo u, el cual es una solucion de la ecuaciondiferencial (3.10)

En resumen hemos probado que si e−τ (F+(τ)+K) es una funcion periodica,de perıodo T , entonces la ecuacion (3.10) tiene una unica solucion acotada

88

en [0,∞). Por el Teorema 4.11 de la pagina 116 del libro [39], se tiene quela ecuacion diferencial (3.9) tiene una solucion periodica de perıodo T , porla proposicion 1, u es una solucion periodica de la ecuacion (3.6).

Para garantizar que la solucion periodica u cumpla con

| u(τ) |≤ maxV+, V− ,

es necesario considerar, en lugar del conjunto M , el conjunto cerrado M ′,donde M ′ es

M ′ = u ∈ B | u(0) = u0 y exista τ0 ≥ 0 tal que | u(τ) |≤ maxV+, V−para cada τ ≥ τ0 .

Se puede demostrar que el operador T definido en (3.12) tiene la propiedadde que

T (M ′) ⊂ M ′

y ası la prueba del teorema 2 se puede repetir.

3.2 CONTROLABILIDAD DE LOS ESTADOSFISIOLOGICOS DE LA CORTEZA CEREBRAL.

En esta seccion estudiaremos el problema del control de los estados fi-siologicos de la corteza cerebral. Utilizaremos como elemento de control alas inhibiciones. Se considera que el papel de las inhibiciones es controlar elproceso de excitacion. Esta hipotesis se refleja en el sistema (3.1), (3.2), yaque la funcion de densidad de actividad sinaptica inhibitoria (H−) apareceen la ecuacion para la funcion de activacion (u), pero no al reves.

En lo que sigue consideraremos que

1. No existen entradas inhibitorias a la corteza cerebral, esto se traduceen que f−(t) ≡ 0 en la ecuacion diferencial (3.1).

2. Los tiempos caracterısticos de las inhibiciones son mucho menores quelos de las excitaciones. Por esto consideraremos que

λ+v+

λ−v−¿ 1 . (3.13)

89

Ası, la ecuacion diferencial que estudiaremos es

d2udt2

+ 2λ+v+dudt

+ (λ+v+)2u = V+λ+v+

[λ+v+g(u) + g′(u)du

dt

]

−V−e−λ−v−t [2(λ+v+ − λ−v−)α + (λ+v+ − λ−v−)2(αt + β)]

+f+(t) .

(3.14)

ya que H− debe satisfacer la ecuacion (3.2) y por lo tanto, debe ser de laforma

H−(t) = αt + β .

Usando el cambio de variable τ = λ+v+t y el lema 3, la ecuacion diferen-cial (3.14) es equivalente a la ecuacion

d2udτ2 + 2du

dτ+ u = V+

[g(u) + g′(u)du

dτ

]

−V−e−λ−v−

λ+v+τ

[2(λ+v+ − λ−v−) a

(λ+v+)2+ (λ+v+ − λ−v−)2( a

(λ+v+)3τ + b

(λ+v+)2))]

+f+(τ) .(3.15)

Ası, el problema de control que queremos estudiar es el siguiente: dadosu0, u

′0, T, uT y u′T , lo que queremos demostrar es que existen a, b numeros

reales y u solucion de la ecuacion (3.15) tal que

u(0) = u0 , u(T ) = uT

yu′(0) = u′0 , u′(T ) = u′T .

Es decir queremos ver si el sistema dinamico determinado por la ecuacion(3.15) es controlable.

Para estudiar este problema, nos auxiliaremos de la proposicion 1, la cualnos garantiza que u es una solucion de (3.15) que satisface las condicionesiniciales u(0) = u0, u

′(0) = u′0 si, y solo si, u satisface la ecuacion diferencialde primer orden

90

du

dτ+ u− V+g(u) = (f0(τ) + ca,b(τ) + K)e−τ , (3.16)

donde

K = u′(0) + u(0)− V+g(u(0)) , (3.17)

f0(t) es una funcion relacionada con las entradas excitatorias a la cortezacerebral y ca,b(t) es la funcion

ca,b(t) = V−

[e

(1−λ−v−

λ+v+

)t[(

λ−v−λ+v+

− 1

)t

λ+v+

− 1

λ+v+

]+

1

λ+v+

]a

+

[e

(1−λ−v−

λ+v+

)t − 1

] (λ−v−λ+v+

− 1

)b

. (3.18)

Las constantes a y b estan relacionadas con las condiciones iniciales de lainhibicion.

El problema de control que estudiaremos es: dado u0, u′0, T > 0, uT , u′T

¿existiran a, b numeros reales y u solucion de la ecuacion (3.16) tal que

u(0) = u0 , u(T ) = uT ,

u′(0) = u′0 , u′(T ) = u′T .?

Este problema es equivalente a probar que la funcion U : R2 −→ R2

definida por

U

(a

b

)=

(u(T, a, b)

u′(T, a, b)

)

es sobreyectiva, donde u(t, a, b) es la solucion de la ecuacion diferencial (3.16)que cumple la condicion inicial u(0) = u0 .

Nota. Por la importancia que tienen las constantes a, b, es que ahoradenotaremos a las soluciones de (3.16) por u(t, a, b). La dependencia de lascondiciones iniciales se omitira, ya que estas condiciones estaran fijas.

91

Sabemos que U es una funcion diferenciable en R2.Para demostrar que U es suprayectiva, probaremos que U es un mapeo

abierto y tambien que U(R2) es un conjunto cerrado, y como R2 es conexo,se debe tener que U(R2) = R2.

Para simplificar la notacion, introduciremos las siguientes funciones

v(t) = u(t, a + ε, b)− u(t, a, b) , (3.19)

f1(t) = e

(1−λ−v−

λ+v+

)t[(

λ−v−λ+v+

− 1

)t

λ+v+

− 1

λ+v+

]+

1

λ+v+

, (3.20)

f2(t) =

(e

(1−λ−v−

λ+v+

)t − 1

) (λ−v−λ+v+

− 1

). (3.21)

Como λ+v+

λ−v−¿ 1 se tiene que f1(t) > 0 y f2(t) < 0 para cada t ≥ 0 .

Lema 4 Para cada 0 < τ ≤ T se cumple

f1(τ)f2(T )− f2(τ)f1(T ) < 0 . (3.22)

Demostracion.

Sea

f3(τ) =f1(τ)

−f2(τ). (3.23)

Probaremos primero que f3 es una funcion decreciente en (0, T ], de-mostrando que f ′3 ≤ 0 en (0, T ].

Multiplicando y dividiendo (3.23) por

e−(1−λ−v−

λ+v+)τ

y sustituyendo (3.20) y (3.21) en (3.23), se tiene

92

f3(τ) =1

λ+v+

τ

e(

λ−v−λ+v+

−1)τ − 1+

1λ−v−λ+v+

− 1

. (3.24)

Derivando (3.24), se tiene

f ′3(τ) =e

(λ−v−λ+v+

−1

)τ

(e

(λ−v−λ+v+

−1

)τ − 1

)2

[1− e

(1−λ−v−

λ+v+

)τ −

(λ−v−λ+v+

− 1

)τ

]. (3.25)

El primer factor de (3.25) es mayor que cero, ası que, para probar quef ′3 < 0 en (0, T ], necesitamos probar que el segundo factor de (3.25) es menorque cero; para esto, consideremos la funcion

f4(τ) = 1− e

(1−λ−v−

λ+v+

)τ −

(λ−v−λ+v+

− 1

)τ .

Como f4(0) = 0, entonces, si probamos que f4 es decreciente en (0, T ], setendrıa que f4 < 0 en (0, T ]. Pero

f ′4(τ) =

(λ−v−λ+v+

− 1

)e

(1−λ−v−

λ+v+

)τ −

(λ−v−λ+v+

− 1

)2 (e

(1−λ−v−

λ+v+

)τ − 1

)≤ 0 ,

por lo tanto, f4 es una funcion decreciente en (0, T ]. Ası, f4(τ) ≤ 0 paraτ ∈ (0, T ]. Esto ultimo implica que f ′3 ≤ 0 en (0, T ], que es lo que querıamosprobar.

Ahora, por ser f4 una funcion decreciente, para cada τ ∈ (0, T ],se tiene

f1(t)

−f2(t)≥ f1(T )

−f2(T )

y como f2(τ) < 0 para cada τ , se tiene

f1(τ)f2(T )− f2(τ)f1(T ) < 0 .

En lo que sigue, vamos a necesitar las siguientes derivadas

∂u

∂a(T, a, b), ∂u

∂b(T, a, b),

∂u′

∂a(T, a, b) y

∂u′

∂b(T, a, b) .

Ası que vamos a calcular estas derivadas.

93

1. ∂u∂a

(T, a, b) .

Como u(t, a, b), u(t, a + ε, b) son soluciones de (3.16) se cumple que

dudτ

(τ, a + ε, b) + u(τ, a + ε, b)− V+g(u(τ, a + ε, b)) =

(f0(τ) + ca+ε,b(τ) + K)e−τ ,(3.26)

dudτ

(τ, a, b) + u(τ, a, b)− V+g(u(τ, a, b)) =

(f0(τ) + ca,b(τ) + K)e−τ ,(3.27)

entonces, restando (3.27) a (3.26) y usando (3.19) se tiene

dv

dτ+ v − V+(g(u(τ, a + ε, b))− g(u(τ, a, b))) = (ca+ε,b(τ)− ca,b(τ))e−τ .

Ahora, tomando la parte lineal de g(u(τ, a, b)), se tiene

dv

dτ+ v − V+(g′(u(τ, a, b)))v = (ca+ε,b(τ)− ca,b(τ))e−τ ,

pero como

ca+ε,b(τ)− ca,b(τ) = V−εf1(τ)

y

v(T ) = V−ε∫ T

0e−te−

∫ T

t(1−V+g′(u(τ,a,b)))dτf1(t) dt , (3.28)

entonces, usando (3.19) y dividiendo (3.28) por ε, se tiene

u(T, a + ε, b)− u(T, a, b)

ε=

v(T )

ε

= V−∫ T

0e−te−

∫ T

t(1−V+g′(u(τ,a,b)))dτf1(t) dt .

94

Tomando el lımite cuando ε −→ 0, se obtiene

∂u

∂a(T, a, b) = V−

∫ T

0e−te−

∫ T

t(1−V+g′(u(τ,a,b)))dτf1(t) dt . (3.29)

De manera similar, se puede calcular ∂u∂b

(T, a, b) .

2. ∂u∂b

(T, a, b).

∂u

∂b(T, a, b) = V−

∫ T

0e−te−

∫ T

t(1−V+g′(u(τ,a,b)))dτf2(t) dt. (3.30)

3. ∂u′∂a

(T, a, b).

Como u(t, a, b), u(t, a + ε, b) son soluciones de (3.16) se cumple

u′(T, a, b) = V+g(u(T, a, b))−u(T, a, b)+(f(T )+c(T )+K)e−T (3.31)

y

u′(T, a+ε, b) = V+g(u(T, a+ε, b))−u(T, a+ε, b)+(f(T )+c(T )+K)e−T ,(3.32)

Restando (3.31) a (3.32), se obtiene

u′(T, a + ε, b)− u′(T, a, b) = V+ [g(u(T, a + ε, b))− g(u(T, a, b))]

− [u(T, a + ε, b)− u(T, a, b)] + [ca+ε,b(T )− ca,b(T )]

= [V+g′(u(T, a, b))− 1] [u(T, a + ε, b)− u(T, a, b)] + e−T εV−f1(T ) .

Entonces

u′(T, a + ε, b)− u′(T, a, b)

ε=

95

[V+g′(u(T, a, b))− 1]

[u(T, a + ε, b)− u(T, a, b)

ε

]+ e−T V−f1(T ) ,

Tomando el lımite cuando ε −→ 0, obtenemos

∂u′

∂a(T, a, b) = [V+g′(u(T, a, b))− 1]

∂u

∂a(T, a, b) + V−e−T f1(T ) . (3.33)

De la misma manera, se obtiene

4. ∂u′∂b

(T, a, b).

∂u′

∂b(T, a, b) = [V+g′(u(T, a, b))− 1]

∂u

∂b(T, a, b) + V−e−T f2(T ) . (3.34)

Proposicion 2 Sea U : R2 −→ R2 definida por

U

(a

b

)=

(u(T, a, b)

u′(T, a, b)

),

donde u(t, a, b) es la solucion de la ecuacion diferencial (3.16) que cumple lacondicion inicial u(0) = u0. Entonces U es un mapeo abierto.

Demostracion.

Basta probar que localmente U es un mapeo abierto. Para probar que Ues localmente un mapeo abierto, demostraremos que

DU(a, b) = det

∂u∂a

(T, a, b) ∂u∂b

(T, a, b)

∂u′∂a

(T, a, b) ∂u′∂b

(T, a, b)

6= 0 (3.35)

para cada a, b elementos de R.

96

DU(a, b) =∂u

∂a(T, a, b)

∂u′

∂b(T, a, b)− ∂u′

∂a(T, a, b)

∂u

∂b(T, a, b) . (3.36)

Sustituyendo (3.33) y (3.34) en (3.36) se obtiene

DU(a, b) =∂u

∂a(T, a, b)

[∂u

∂b(T, a, b) [V+g′(u(T, a, b))− 1] + V−e−T f2(T )

]

−∂u

∂b(T, a, b)

[∂u

∂a(T, a, b) [V+g′(u(T, a, b))− 1]− V−

∂u

∂b(T, a, b)f1(T )

],

entonces

DU(a, b) = V−e−T

∂u

∂a(T, a, b)f2(T )− ∂u

∂b(T, a, b)f1(T )

. (3.37)

Sustituyendo (3.29) y (3.30) en (3.37) se obtiene

DU(a, b) = V 2−e−T

[∫ T

0e−se−

∫ T

s(1−V+g

′(u))dθ f1(s)f2(T )− f2(s)f1(T ) ds

].

(3.38)Por el lema 4, se tiene

f1(t)f2(T )− f2(t)f1(T ) < 0 para 0 < t ≤ T

y por lo tanto el integrando en (3.38) es estrictamente menor que 0 en elintervalo [0, T ], y por lo tanto

DU(a, b) < 0 para cada a, b ∈ R .

Ası, hemos probado que U es localmente un mapeo abierto y por lo tantoque U es un mapeo abierto en R2.

Ahora demostraremos que U(R2) es un conjunto cerrado en R2 .Primeramente probaremos el siguiente lema.

97

Lema 5 Para cada T > 0 sea BT = (u(T, a, b), u′(T, a, b)) : (a, b) ∈ A. SiBT es un conjunto acotado, entonces A es un conjunto acotado.

Demostracion.

Primero demostraremos que los conjuntos

α(T, a, b) = e−T

∫ T

0ca,b(s)ds : (a, b) ∈ A

(3.39)

yβ(T, a, b) = ca,b(T ) : (a, b) ∈ A (3.40)

son acotados.Como u es solucion de la ecuacion (3.16), es decir satisface la ecuacion

du

dτ+ u− V+g(u) = (f0(τ) + ca,b(τ) + K)e−τ ,

entonces, por el metodo de variacion de parametros, u debe satisfacer

u(τ) = e−τu(0)+e−τV+

∫ τ

0g(u(s))esds+e−τ

∫ τ

0(f(s)+ca,b(s)+K)ds . (3.41)

Evaluando (3.41) en T se tiene

u(T, a, b) = u(0)e−T + V+

∫ T

0g(u(s))es−T ds + e−T

∫ T

0(f(s) + ca,b(s) + K)ds .

(3.42)Despejando α(T, a, b) de (3.42) se tiene

α(T, a, b) = u(T, a, b)−u(0)e−T−V+

∫ T

0g(u(s))es−T ds−e−T

∫ T

0(f0(s)+K)ds ,

(3.43)entonces

| α(T, a, b) |≤| u(T, a, b) | + | u(0)e−T | +

| V+

∫ T0 g(u(s))es−T ds | + | e−T

∫ T0 (f0(s) + K)ds | .

(3.44)

98

Ahora, por hipotesis existe N1(T ) tal que

| u(T, a, b) |≤ N1(T ) para cada (a, b) ∈ A . (3.45)

Ademas, como g es acotada por 1 en R y e−τ ≤ 1 para τ ≤ 0, se tiene∣∣∣∣∣ V+

∫ T

0g(u(s))es−T ds

∣∣∣∣∣ ≤ V+T (3.46)

y como f0(τ) es continua en el intervalo [0, T ], se tiene que, existe M(T ) talque

∣∣∣∣∣∫ T

0(f0(s) + K)ds

∣∣∣∣∣ ≤ M(T ) . (3.47)

Usando (3.45), (3.46), (3.47) en (3.44) se prueba que

| α(T, a, b) |≤ N1(T ) + u0 + V+(T ) + M(T ) para cada (a, b) ∈ A (3.48)

que es lo que querıamos probar.Por (3.41) se tiene

u′(T, a, b) + u(T, a, b)− V+g(u(T, a, b)) = (f(T ) + ca,b(T ) + K)e−T . (3.49)

Despejando β(T, a, b) de (3.49) se tiene que

β(T, a, b) = u′(T, a, b)+u(T, a, b)−V+g(u(T, a, b))− (f(T )+K)e−T , (3.50)

entonces,| β(T, a, b) |≤| u′(T, a, b) | + | u(T, a, b) | +

| V+g(u(T, a, b)) | + | (f(T ) + K)e−T | .(3.51)

Por la hipotesis existe N2(T ) tal que

| u′(T, a, b) |≤ N2(T ), para cada (a, b) ∈ A . (3.52)

Usando (3.45) y (3.52) se tiene que

| β(T, a, b) |≤ N2(T ) + N1(T ) + V+ + M1(T ), para cada (a, b) ∈ A (3.53)

99

y por lo tanto se obtiene que

β(T, a, b) = ca,b(T ) : (a, b) ∈ A

es un conjunto acotado en R.Ahora, demostraremos que a y b deben satisfacer un par de ecuaciones.

α(T, a, b) =∫ T

0ca,b(s)ds =

−V−e

(1−λ−v−

λ+v+

)T 1

λ+v+

a + V−

(−1)e

−(

1−λ−v−λ+v+

)T

+ 1−(

λ−v−λ+v+

− 1

)T

b

= A(T )a + B(T )b ,

donde

A(T ) = −V−e

(1−λ−v−

λ+v+

)T 1

λ+v+

,

B(T ) = V−

(−1)e

−(

1−λ−v−λ+v+

)T

+ 1−(

λ−v−λ+v+

− 1

)T

yβ(T, a, b) = V−f1(T )a + f2(T )b .

Por lo tanto, tenemos que se cumple

A(T )a + B(T )b = α(T, a, b) ,

V−f1(T )a + V−f2(T )b = β(T, a, b) .(3.54)

Si probamos que

A(T ) B(T )

V−f1(T ) V−f2(T )

100

es invertible, se tendrıa que

a

b

=

A(T ) B(T )

V−f1(T ) V−f2(T )

−1 (α(T, a, b)β(T, a, b)

)para cada (a, b) ∈ A.

Pero como hemos demostrado que α(T, a, b), β(T, a, b) son conjuntos aco-tados para cada T > 0, se concluye que A es un conjunto acotado.

Probaremos que

A(T )f2(T )−B(T )f1(T )

V 2−6= 0 . (3.55)

A(T )f2(T )−B(T )f1(T )

V 2−= e

(1−λ−v−

λ+v+

)T 1

λ+v+

f2(T )−

(−e

(1−λ−v−

λ+v+

)T

+ 1−(

λ−v−λ+v+

− 1

)t

)f1(T ) .

Como f2(T ) < 0,

e

(1−λ−v−

λ+v+

)T 1

λ+v+

f2(T ) < 0 .

Sabemos tambien que f1(T ) > 0, ası si probamos que

(e

(1−λ−v−

λ+v+

)T − 1 +

(λ−v−λ+v+

− 1

)T

)< 0 , (3.56)

demostrarıamos la desigualdad

A(T )V−f2(T )−B(T )V−f1(T )

V 2−< 0 .

Para probar (3.56), consideremos la funcion

f5(t) =

(e

(1−λ−v−

λ+v+

)t − 1 +

(λ−v−λ+v+

− 1

)T

).

101

Se tiene que

f5(0) = 0

y su derivada es

f ′5(t) =

(1− λ−v−

λ+v+

)t

(e

(1−λ−v−

λ+v+

)t − 1

).

Como λ−v−λ+v+

À 1, se concluye que

f ′5(t) < 0 para cada t ≥ 0 .

Por lo tanto f5 es un funcion decreciente en [0,∞) y como f5(0) = 0, setiene

f5(T ) ≤ f5(0) = 0 .

Con esto ultimo probamos (3.56).Por lo tanto hemos demostrado que

A(T ) B(T )

V−f1(T ) V−f2(T )

es invertible. Que es lo que querıamos demostrar.En la siguiente proposicion, probaremos que U(R2) es un conjunto cerrado

en R2 .

Proposicion 3 Si U : R2 −→ R2 definida por

U

a

b

=

u(T, a, b)

u′(T, a, b)

,

donde u(t, a, b) es una solucion de (3.16) con u(0) = u0. Entonces U(R2) esun conjunto cerrado en R2 .

102

Demostracion.

Sea (uT , u′T ) ∈ U(R2), existe una sucesion (an, bn) : n ∈ N tal que

limn→∞

U

an

bn

= lim

n→∞

u(T, an, bn)

u′(T, an, bn)

=

uT

u′T

.

Por demostrar que existen(ab

)en R2 y u solucion de (3.16) tal que

U

a

b

=

u(T, a, b)

u′(T, a, b)

=

uT

u′T

.

Como u(T, an, bn), u′(T, an, bn) : n ∈ N es un conjunto acotado en R2,por el lema 5 se tiene que

(an, bn) | n ∈ N

es un conjunto acotado en R2, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existeuna subsucesion convergente (anj

, bnj) | j ∈ N de (an, bn) | n ∈ N. Sea

(a, b) el lımite de esta subsucesion.Por la continuidad de las soluciones u(t, anj

, bnj) se tiene que

limj→∞

u(T, anj, bnj

) = u(T, a, b) ,

ası u(T, a, b) = uT .Ademas, como

u′(T, anj, bnj

) = −u(T, anj, bnj

) + V+g(u(T, anj, bnj

))

+(f(T ) + canj ,bnj(T ) + K)e−T ,

limj→∞

(−u(T, anj, bnj

)) = −u(T, a, b) ,

103

limj→∞

(V+g(u(T, anj, bnj

))) = V+g(u(T, a, b)) ,

y

limj→∞

((f(T ) + canj ,bnj(T ) + K)e−T ) = (f(T ) + ca,b(T ) + K)e−T

se tiene que

limj→∞

u′(T, anj, bnj

) = u′(T, a, b) .

por lo tanto hemos demostrado que U(R2) es un conjunto cerrado en R2.En resumen, hemos probado que el mapeo

U : R2 −→ R2

definido por

U

a

b

=

u(T, a, b)

u′(T, a, b)

,

donde u(T, a, b) es una solucion de (3.16) con condicion inicial u(0) = u0 esun mapeo sobreyectivo.

Teorema 3 El sistema dinamico

d2udτ2 + 2du

dτ+ u = V+

[g(u) + g′(u)du

dτ

]

−V−e−λ−v−

λ+v+τ

[2(λ+v+ − λ−v−) a

(λ+v+)2+ (λ+v+ − λ−v−)2( a

(λ+v+)3τ + b

(λ+v+)2))]

+f+(τ)(3.57)

es controlable en R2, es decir, dados u0, u′0 y T, uT y u′T , existen a, b numeros

reales y u solucion de la ecuacion (3.57) tal que

u(0) = u0 , u(T ) = uT

yu′(0) = u′0 , u′(T ) = u′T .

104

Demostracion.

Sean u0, u′0 y T, uT y u′T dados. Por la proposicion 2, U : R2 → R2

definido por

U

a

b

=

u(T, a, b)

u′(T, a, b)

,

donde u(t, a, b) es una solucion de

du

dτ+ u− V+g(u) = (f0(τ) + ca,b(τ) + K)e−τ ,

con

K = u′(0) + u(0)− V+g(u(0)),

es un mapeo abierto en R2. Por la proposicion 3, U es un mapeo cerrado enR2, por lo tanto como R2 es conexo, se tiene que U es suprayectiva, es decir,existen a, b ∈ R y u solucion de

du

dτ+ u− V+g(u) = (f0(τ) + ca,b(τ) + K)e−τ ,

con

u(0) = u0 , u(T ) = uT ,

u′(0) = u′0 , u′(T ) = u′T

y

K = u′(0) + u(0)− V+g(u(0)) .

Pero por la proposicion 1, u tambien es solucion de (3.57), y ası hemosdemostrado el teorema.

105

3.3 EXISTENCIA DE ONDAS VIAJERAS EN LA CORTEZACEREBRAL

En esta seccion estudiaremos la existencia de estados fisiologicos que secorresponden con la existencia de ondas viajeras (ondas que se propagan porel medio cortical sin perder su forma) en la ecuacion (2.71).

En el caso de modelos matematicos de neuronas se ha demostrado laexistencia de ondas viajeras [30], [48], [101]. Tambien se ha estudiado esteproblema en otro tipo de procesos de reaccion difusion [102].

Buscaremos bajo que condiciones la ecuacion diferencial parcial

∂2u

∂t2+ 2λ+v+

∂u

∂t+ (λ+v+)2u− v2

+

∂2u

∂x2= V+λ+v+

[λ+v+g(u) + g′(u)

∂u

∂t

]

(3.58)tenga soluciones de la forma: u(x, t) = φ(x − ct) para algunos valores de laconstante c.

Como en la seccion anterior, haremos algunos cambios de variable, que noalteran el resultado buscado, pero que nos permitiran construir una ecuaciondiferencial parcial equivalente a (3.58) mas sencilla de estudiar.

Si hacemos el cambio de variable τ = λ+v+t y y = λ+x, la ecuacion (3.58)es equivalente a la ecuacion

∂2u

∂τ 2+ 2

∂u

∂τ+ u− ∂2u

∂y2= V+

[g(u) + g′(u)

∂u

∂t

]. (3.59)

Para esta ecuacion buscaremos soluciones de la formau(y, τ) = φ(y− cτ) = φ(s) con s = y− cτ y tal que φ(−∞) = s0 = φ(∞)

donde s0 es constante.Antes de estudiar este tema, enunciaremos algunos resultados impor-

tantes que usaremos mas adelante en esta seccion. Estos resultados no serandemostrados. Para ver la demostracion de los Teoremas 4 y 5, recurrir a [23].

Teorema 4 Sea A una matriz n × n y f : R → Rn una funcion continuaacotada Consideremos la ecuacion diferencial

106

du

dt= Au + f(t) . (3.60)

La condicion necesaria y suficiente para que la ecuacion (3.60) tenga unaunica solucion acotada en R, es que σ(A) no intersecte al eje imaginario.En este caso la solucion acotada se expresa en la forma.

u(t) =∫ ∞

−∞G(t− τ)f(τ)dτ , (3.61)

donde G(t) es la funcion de Green principal de A, la cual se define como

G(t) =

eAtP− , t > 0−eAtP+ , t < 0 ,

(3.62)

donde P−, P+ son, respectivamente los proyectores sobre los subespacios pro-pios con parte real positiva, negativa.

Teorema 5 Consideremos la ecuacion

du

dt= Au + f(t, u) . (3.63)

Supongamos que se cumplen las condiciones siguientes

1. A es una matriz n× n, tal que

σ(A) ∩ (0 ×R) = ∅ . (3.64)

2. Sea ρ > 0. Existe M > 0 tal que

| f(t, u) |≤ M para t ∈ R y | u |≤ ρ . (3.65)

3. Existe q > 0 tal que

| f(t, u1)− f(t, u2 |≤ q | u1 − u2 | para | u1 |≤ ρ y | u2 |≤ ρ . (3.66)

107

4. Existe N > 0 y r > 0 tal que

| G(t) |≤ Ne−rt para cada t ∈ R . (3.67)

5. M y q cumplen con

M ≤ ρr

2Ny q <

r

2N. (3.68)

Entonces, la ecuacion (3.63) tiene una unica solucion acotada en R, talque

| u(t) |≤ ρ para cada t ∈ R . (3.69)

Ahora, demostraremos un lema, que usaremos posteriormente.

Lema 6 Sea f : R2 → R2 continua. Supongamos que la ecuacion diferencial

dx

dt= f(x), x ∈ R2 (3.70)

tiene un unico punto estacionario x0, el cual es un punto silla. Entoncesla condicion necesaria y suficiente para que la ecuacion (3.70) tenga unasolucion homoclınica es que tenga una solucion no trivial acotada en R.

Demostracion.

La suficiencia es evidente.Sea φ una solucion no trivial acotada de (3.70). Como x0 es el unico

punto estacionario de la ecuacion (3.70), y como ademas es un punto silla, elteorema de Poincare-Bendixon, nos asegura que

1. limt→±∞ φ(t) = x0

o

2. ω(φ) = x0 = α(φ), donde ω(φ) y α(φ) son, respectivamente losconjuntos ω-lımite y α-lımite de la orbita generada por la solucion φ .

108

En ambos casos, φ serıa la solucion homoclınica no trivial buscada.

En lo que sigue, retomaremos el problema de la existencia de las ondasviajeras para la ecuacion (3.59)

∂2u

∂τ 2+ 2

∂u

∂τ+ u− ∂2u

∂y2= V+

(g′(u)

∂u

∂τ+ g(u)

).

Es decir, buscaremos soluciones de la forma

u(y, τ) = φ(y − cτ) , (3.71)

donde φ es una funcion de una variable que cumple que el

lims→±∞φ(s) = φ0 , (3.72)

donde φ0 es una constante.

Ahora veremos que la existencia de soluciones de la ecuacion (3.59) queson de la forma (3.71) y que cumplen con la condicion (3.72), es equivalentea la existencia de soluciones de una ecuacion diferencial ordinaria de segundoorden, que cumplen con la condicion (3.72).

Si u es una solucion de la ecuacion (3.59) de la forma (3.71), que cumplecon la condicion (3.70), entonces usando la regla de la cadena, obtenemos

∂u∂τ = −cdφ

ds , ∂2u∂τ 2 = c2d2φ

ds2 ,

∂u∂y = dφ

ds , ∂2u∂y2 = d2φ

ds2 .

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacion (3.59) y reordenando la ecuacion,obtenemos que φ debe ser solucion de la ecuacion

(c2 − 1)d2φ

ds2+ c(V+g′(φ)− 2)

dφ

ds+ (φ− V+g(φ)) = 0 . (3.73)

Recıprocamente, si φ es solucion de (3.73) que cumple con la condicion(3.72) entonces la funcion

u(y, τ) = φ(y − cτ)

es una solucion de la ecuacion (3.59).

109

Observacion.

En lo que sigue supondremos que 0 < c < 1, ya que esto corresponde auna velocidad real de propagacion, cV+, la cual no puede ser superior a lavelocidad de propagacion de los potenciales de accion.

Tambien tenemos que la ecuacion (3.73) es equivalente al sistema de ecua-ciones de primer orden.

d

dt

(φ

ψ

)=

0 1

11−c2

−2c1−c2

(φ

ψ

)+

V+

1− c2

(0

cg′(φ)ψ − g(φ)

), (3.74)

donde ψ(s) = dφds

La existencia de ondas viajeras para la ecuacion (3.59) es equivalente ala existencia de soluciones homoclınicas para la ecuacion (3.74) para algunvalor de c ∈ (0, 1).

De (3.73) es evidente que para c = 1 no puede haber soluciones ho-moclınicas para esta ecuacion.

En lo que sigue supondremos que

g′(φ) <1

V+

para cada φ ∈ R . (3.75)

Con esta condicion veremos que el sistema (3.74) tiene un unico puntoestacionario para cualquier valor de la constante c que cumple 0 < c < 1.

Ademas, este punto estacionario es independiente de c y es un puntosilla del sistema. Con este resultado, el problema de encontrar solucioneshomoclınicas para el sistema (3.74) se reduce al de buscar soluciones acotadasen R, diferentes de la trivial de este sistema.

Como las soluciones estacionarias de (3.74) son de la forma(φ0

0

)donde

φ0 es raız de la ecuacion

φ− V+g(φ) = 0 .

De la condicion V+g′(φ) < 1V+

, se concluye que esta ecuacion tiene unaunica solucion φ0, que corresponde a una unica solucion estacionaria de(3.74).

110

Para determinar si el punto estacionario es un punto silla, estudiaremosla “parte lineal” del sistema en un entorno del punto estacionario.

Calculando la derivada del lado derecho de (3.74) en el punto estacionarioy haciendo algunos calculos obtenemos que la “parte lineal” del sistema enun entorno del punto estacionario es

d

dt

(φ

ψ

)=

0 1

1c2−1

(V+g′(φ0)− 1) cc2−1

(2− V+g′(φ0))

(φ

ψ

). (3.76)

Su ecuacion caracterıstica es :

λ[λ +

c

c2 − 1(V+g′(φ0)− 2)

]+

1

c2 − 1(V+g′(φ0)− 1) = 0 . (3.77)

Las raıces de (3.77) son

λ± =

cc2−1

(2− V+g′(φ0))±√

( cc2−1

(2− V+g′(φ0))2 + 1c2−1

(V+g′(φ0)− 1))

2.

(3.78)Ahora, como V+g′(φ0) < 1 y 0 < c < 1, obtenemos 0 < λ+ y λ− < 0.

Por lo tanto(φ0

0

)es un punto silla de (3.76) para cualquier valor de

0 < c < 1.Segun el lema 6, la existencia de soluciones homoclınicas de (3.74) es

equivalente a la existencia de soluciones acotadas diferentes de la trivial(φ0

0

).

Por el teorema 4, si se denota por

Ac =

0 1

11−c2

−2c1−c2

(3.79)

y G(t, c) la correspondiente funcion de Green principal, entonces las solu-ciones acotadas en R de (3.74) coinciden con las soluciones acotadas de laecuacion integral

(φ

ψ

)=

V+

1− c2

∫ ∞

−∞G(t− τ, c)

(0

cg′(φ(τ)ψ(τ)− g(τ)

)dτ . (3.80)

111

Ahora estudiaremos bajo que condiciones la ecuacion integral (3.80) tienesoluciones acotadas.

Lema 7 La funcion de Green principal de Ac es

G(t, c) =

12e

tc−1

1− c c2 − 1

−1 1 + c

, si t > 0

−12e

tc+1

1 + c 1− c2

1 1− c

, si t < 0 .

(3.81)

Demostracion.

Segun (3.62), requerimos calcular eAct y los proyectores P+, P−.Los valores propios de Ac son

1

1 + c,

1

c− 1. (3.82)

Usando la forma canonica de Jordan de Ac, y realizando algunos calculos,que no escribiremos aquı, obtenemos

eAct =1

2e

t1+c

1 + c 1− c2

1 1− c

+

1

2e

tc−1

1− c c2 − 1

−1 1 + c

. (3.83)

Los proyectores son

P+c

(x

y

)=

1

2

1 + c 1− c2

1 1− c

(x

y

), (3.84)

P−c

(x

y

)=

1

2

1− c c2 − 1

−1 1 + c

(x

y

). (3.85)

112

Sustituyendo (3.83), (3.84) y (3.85) en (3.62), se obtiene

G(t, c) =

12e

tc−1

1− c c2 − 1

−1 1 + c

, si t > 0

−12e

tc+1

1 + c 1− c2

1 1− c

, si t < 0 .

(3.86)

Lema 8| G(t) |≤ (1 + c)e

−|t|1+c . (3.87)

Demostracion.

Se concluye del lema 7 y del hecho que la norma del operador

M(x, y) =

a11 a12

a21 a22

(x

y

)

cumple| M |≤ 2K ,

dondeK = max

1≤i≤2, 1≤j≤2| aij | .

Para obtener estimados mas simples –sin perder generalidad– del inte-grando en la ecuacion integral, supondremos

g(u) =1

1 + e−αu+βcon α > 0, β > 0 . (3.88)

Obteniendo la primera y segunda derivada de g, definida por (3.88) setiene

g′(u) = αg(1− g) , (3.89)

113

g′′(u) = αg′(1− 2g) , (3.90)

| g′ |≤ α , (3.91)

| g′′ |≤ 2α2 . (3.92)

Lema 9 Sea ρ > 0. Si| φ |2 + | ψ |2≤ ρ2 ,

| φi |2 + | ψi |2≤ ρ2 para 1 ≤ i ≤ 2 .

Entonces, se tienen las siguientes desigualdades

| cg′(φ)ψ − g(φ) |≤ cαρ + 1 , (3.93)

| (cg′(φ1)ψ1 − g(φ1))− (cg′(φ2)ψ2 − g(φ2)) |≤ 2α(αρc + 1) . (3.94)

Demostracion.

Se sigue inmediatamente de (3.91) y (3.92).

Proposicion 4 Supongamos que en el sistema (3.74) la funcion g tiene laforma

g(φ) =1

1 + e−αφ+β, α > 0, y β > 0 .

Supongamos ademas que V+α < 14. Entonces para cada ρ > maxφ0,

12α

existe 0 < c(ρ) < 1 tal que para cada 0 < c < c(ρ), la unica solucion acotada

de este sistema contenida en la bola cerrada (φψ

)∈ R2 :| φ |2 + | ψ |2≤ ρ2,

es la solucion estacionaria(φ0

0

). Ademas c(ρ) viene dada por

c(ρ) =

(1 + 1

αρ+ 1

4α2ρV+

)+

√(1 + 1

αρ+ 1

4α2ρV+

)2 − 4(

1αρ− 1

4α2ρV+

)

2. (3.95)

114

Observacion.

La condicion V+α < 14

garantiza que(φ0

0

)es el unico punto estacionario

del sistema (3.74), donde φ0 es la unica solucion de la ecuacion

φ− V+g(φ) = 0 .

Demostracion.

Demostraremos que bajo las condiciones de esta proposicion, el sistema(3.74) cumple con las condiciones del teorema 4, y que por lo tanto estesistema debe tener una unica solucion acotada u contenida en la bola cerrada

(φψ

)∈ R2 :| φ |2 + | ψ |2≤ ρ2, pero como

(φ0

0

)es tambien una solucion

acotada del sistema contenida en la misma bola cerrada, se debe tener que(φ0

0

)es la unica solucion del sistema (3.74) en esta bola cerrada.

Pasemos a demostrar que el sistema (3.74) cumple con las hipotesis delteorema 5.

Los valores propios de la matriz Ac son

1

1 + c,

1

c− 1,

por lo tanto Ac cumple con la condicion (3.64).

Por el lema 9 se tiene

V+

1− c2

∣∣∣∣∣

(0

cg′(φ)ψ − g(φ)

)∣∣∣∣∣ ≤V+

1− c2(cαρ + 1) para

∣∣∣∣∣

(φ

ψ

)∣∣∣∣∣2

≤ ρ ,

V+

1− c2

∣∣∣∣∣

(0

cg′(φ1)− g(φ1)− (cg′(φ2)ψ2 − g(φ2))

)∣∣∣∣∣2

≤ V+

1− c22α(αρc + 1)

∣∣∣∣∣

(φ1

ψ1

)−

(φ2

ψ2

)∣∣∣∣∣2

para ∣∣∣∣∣

(φ1

ψ1

)∣∣∣∣∣2

≤ ρ y

∣∣∣∣∣

(φ2

ψ2

)∣∣∣∣∣2

≤ ρ .

115

Ası, tambien se cumplen las condiciones (3.66), (3.67), con

M = (cαρ + 1)V+

1− c2, q = 2α(αρc + 1)

V+

1− c2.

Por los lemas 7 y 8, se tiene que la funcion de Green principal, G(t, c),de Ac cumple

| G(t, c) |≤ (1 + c)e−|t|1+c ,

por lo tanto, tambien se cumple (3.67) con

N = 1 + c y r =1

1 + c.

Solo nos falta probar la condicion (3.68), es decir, nos falta probar quebajo las condiciones de la proposicion 4 se cumple

(cαρ + 1)V+

1− c2≤ ρ

2(1 + c)2, (3.96)

2α(αρc + 1)V+

1− c2<

1

2(1 + c)2. (3.97)

Multiplicando (3.96), (3.97) por 1−c2 y simplificando obtenemos que estesistema de desigualdades es equivalente a

(cαρ + 1)V+ ≤ ρ(1− c)

2(1 + c), (3.98)

2α(αρc + 1)V+ <1− c

2(1 + c). (3.99)

Realizando algunas operaciones y reordenando obtenemos que el sistema(3.98), (3.99) es equivalente al sistema

P1(c) = c2 +

(1 +

1

αρ+

1

2V+α

)c +

1

αρ− 1

2V+α≤ 0 , (3.100)

P2(c) = c2 +

(1 +

1

αρ+

1

4α2ρV+

)c +

(1

αρ− 1

4α2ρV+

)< 0 . (3.101)

116

Ası que necesitamos probar que

P1(c) ≤ 0 , (3.102)

P2(c) < 0 . (3.103)

Para probar esto, obtengamos las raıces de los polinomios cuadraticosP1(c), P2(c).

Las raıces de P1 son

λ1±(ρ) =

−(1 + 1

αρ+ 1

2V+α

)±

√(1 + 1

αρ+ 1

2V+α

)2 − 4(

1αρ− 1

2V+α

)

2.

(3.104)Las raıces de P2 son

λ2±(ρ) =

−(1 + 1

αρ+ 1

2V+α

)±

√(1 + 1

αρ+ 1

4ρV+α2

)2 − 4(

1αρ− 1

4α2ρV+

)

2.

(3.105)Como por hipotesis V+α < 1

4y ρ > 1

2αse tiene

1

αρ− 1

4α2ρV+

< 0 ,

por lo tanto las raıces de P1(c) son reales, una negativa, λ1−(ρ), y la otra

positiva λ1+(ρ). Lo mismo ocurre con P2(c), tiene una raız negativa, λ2

−(ρ) yotra raız positiva, λ2

+(ρ).

Entonces

P1(c) ≤ 0 para λ1−(ρ) ≤ c ≤ λ1

+(ρ) , (3.106)

P2(c) < 0 para λ1−(ρ) < c < λ2

+(ρ) . (3.107)

Ademas

λ2+(ρ) < λ1

+(ρ) , (3.108)

117

esto ultimo se sigue de la expresion para cada uno de ellos y del hecho que

4α2ρV+ = 2αρ(2V+α) > (2V+α) ya que ρ >1

2α.

Tambien es facil probar que λ1+(ρ) < 1. Ası, si tomamos 0 < c(ρ) =

λ1+(ρ) < 1 se tiene que, para cualquier 0 < c < c(ρ)

P1(c) ≤ 0 ,

P2(c) < 0 ,

que es lo que deseabamos demostrar.Resumiendo, con las condiciones de la proposicion 4, el sistema (3.74)

cumple con las condiciones del teorema 5, para cualquier 0 < c < c(ρ). Estoes lo que querıamos demostrar.

Con la proposicion 4, hemos demostrado que si V+α < 14 , ρ > maxφ0,

12α,

entonces el sistema (3.74) no puede tener soluciones homoclınicas para 0 <c < c(ρ), por lo tanto, la no existencia de ondas viajeras para la ecuacion(3.59), cuando tomamos 0 < c < c(ρ).

Ahora pasaremos a analizar que sucede cuando tomamos ρ > maxφ0,12α

y c(ρ) < c < 1.

Para esto, consideremos, para ρ > maxφ0,12α el espacio βρ,

βρ =

(φ

ψ

): R −→ R2 :

(φ

ψ

)es continua, ‖ φ ‖2

∞ + ‖ ψ ‖2∞≤ ρ2

.

Sabemos que βρ es un espacio de Banach. Consideremos la familia de

operadores integrales F((

φψ

), c

)definida por

F

((φ

ψ

), c

)=

(φ

ψ

)− F1

((φ

ψ

), c

), (3.109)

donde

F1

((φ

ψ

), c

)=

V+

1− c2

∫ ∞

−∞G(t− τ, c)

(0

cg′(φ(τ))ψ(τ)− g(φ(τ))

)dτ .

(3.110)

118

Para que F((

φψ

), c

)actue de βρ a βρ, c debe cumplir con la condicion

(3.100). De aquı concluımos que aquellos valores de c para los cuales es posi-ble encontrar soluciones homoclınicas del sistema (3.74), son los que cumplen

λ2+(ρ) < c < λ1

+(ρ) .

Ası consideremos

F : βρ × (λ2+(ρ), λ1

+(ρ)) −→ βρ definido por (3.109) .

Como(φ0

0

)es un punto estacionario del sistema (3.74) para cada 0 < c <

1, tenemos que

F

((φ

0

), c

)= 0 para cada λ2

+(ρ) < c < λ1+(ρ) .

Entonces, si lograramos probar que DF((

φ0

0

), c

)es invertible, y que se

cumplen las otras condiciones del teorema de la funcion implıcita en un en-

torno de((

φ0

0

), c

), se concluirıa que existen U, V vecindades de

(φ0

0

)y c res-

pectivamente, tal que para cada c∗ ∈ V , existe una unica L (c∗) =(

φψ

)∈ U

tal que

F

((φ

ψ

), c∗

)= 0 ,

pero entonces,(φψ

)serıa una solucion acotada en R, no trivial del sistema

(3.74) y por lo tanto una solucion homoclınica del mismo sistema, a la cualle corresponderıa una onda viajera de la ecuacion (3.59) con velocidad c∗.

Ası que, en lo que sigue probaremos que el operador integral F conλ1

+(ρ) < c < λ2+(ρ), cumple con las condiciones del teorema de la funcion

implıcita.Vamos ahora a calcular la derivada de Frechet de F en

((φψ

), c

)con

λ1+(ρ) < c < λ2

+(ρ). Por la forma que tiene F, basta calcular la derivadade Frechet de la funcion F1. Ademas se tendrıa que

DF

((φ

ψ

), c

)= I −DF1

((φ

ψ

), c

). (3.111)

119

Para hacer esto, calcularemos las derivadas de Gato de F1 en(φψ

)con res-

pecto a φ y ψ respectivamente. Denotaremos estas derivadas por δφF1

((φψ

), c

),

δψF2

((φψ

), c

)respectivamente.

Lema 10 Bajo las condiciones de la proposicion 4, el operador integral Fdefinido en (3.110), es de clase C1 en un entorno de

((φ0

0

), c

). Ademas la

derivada parcial de Frechet de F con respecto a(

φψ

), la cual denotamos por

DF((

φψ

), c

), viene dada por

DF

((φ

ψ

), c

)= I −DF1

((φ

ψ

), c

),

con

DF1

((φ

ψ

), 0

)= δφF1

((φ

ψ

), c

)+ δψF1

((φ

ψ

), c

)(3.112)

y

δφF1

((φ

ψ

), c

), δψF1

((φ

ψ

), c

)

son las derivadas de Gato, con respecto a φ y ψ, respectivamente, las cualesvienen dadas por

δφF1

((φψ

), c

)(h) =

−V+

2

et

c+1

1 + c

∫ ∞

t

[e−τc+1

(c + 1

1

)[ cg′′(φ(τ))ψ(τ)− g′(φ(τ) ]h(τ)

]dτ

+e

tc−1

c + 1

∫ t

−∞

[e−τc−1

(c− 1

1

)[ cg′′(φ(τ))ψ(τ)− g′(φ(τ)) ]h(τ)

]dτ

, (3.113)

δψF1

((φ

ψ

), c

)(k) =

−V+c

2

et

c+1

1 + c

∫ ∞

te−τc+1

(c + 1

1

)g′(φ(τ))k(τ) dτ

+e

tc−1

1 + c

∫ t

−∞e−τc−1

(c− 1

1

)g′(φ(τ))k(τ) dτ

. (3.114)

120

Demostracion.

Observemos que

F1

((φψ

), c

)=

−V+

2

et

c+1

1 + c

∫ ∞

t

[e−τc+1

(c + 1

1

)cg′(φ(τ))ψ(τ)− g(φ(τ))

]dτ

+e

tc−1

c + 1

∫ t

−∞

[e−τc−1

(c− 1

1

)(cg′(φ(τ))ψ(τ)− g(φ(τ))

]dτ

. (3.115)

Calculemos la derivada de Gato de F1 en el punto((

φψ

), c

)con respecto

a φ

δφF1

((φ

ψ

), c

)(h) = lim

ε→0

F1

((φ+εh

ψ

), c

)− F1

((φψ

), c

)

ε

= −V+

2

lim

ε→0

e

tc+1

1 + c

∫ ∞

te−τc+1

(c + 1

1

) [c

((g′(φ(τ) + εh(τ))− g′(φ(τ)))ψ(τ)

ε

)

−(

g(φ(τ) + εh(τ)− g(φ(τ))

ε

)]dτ

+e

tc+1

c + 1

∫ t

−∞e−τc+1

(c− 1

1

) [c

((g′(φ(τ) + εh(τ))− g(φ(τ)))ψ(τ)

ε

)

−(

g(φ(τ)) + εh(τ)− g(φ(τ))

ε

)]dτ

].

Entonces

δφF1

((φψ

), c

)(h) =

121

−V+

2

et

c+1

1 + c

∫ ∞

t

[e−τc+1

(c + 1

1

)[cg′′(φ(τ))ψ(τ)h(τ)− g′(φ(τ))h(τ)]

]dτ

+e

t1+c

1 + c

∫ t

−∞

[e−τc−1

(c− 1

1

)[cg′′(φ(τ)ψ(τ)h(τ)− g′(φ(τ))h(τ)]

]dτ

.

De manera similar, se obtiene la derivada de Gato de F1 en((

φψ

), c

)con

respecto a ψ

δψF1

((φ

ψ

), c

)(k) =

V+c

2

et

c+1

c + 1

∫ ∞

te−τc+1

(c + 1

1

)g′(φ(τ))k(τ)dτ

+e

tc−1

1 + c

∫ t

−∞e−τc−1

(c− 1

1

)g′(φ(τ))k(τ)dτ

.

Ademas, δφF1

((φφ

), c

), δψF1

((φφ

), c

)son lineales como funcion de h y k

respectivamente y continuas como funcion de(φψ

), se tiene que la derivada de

Frechet de F1 con respecto a(φψ

)existe y se puede calcular con la expresion

(3.112).

Tambien es facil probar que DF((

φψ

), c

)es continua en un entorno de

((φψ

), c ).

Lema 11 Bajo las condiciones de la proposicion 4, DF((

φ0

0

), c

)es un op-

erador invertible.

Demostracion.

Como

DF

((φ0

0

), c

)= I −DF1

((φ0

0

), c

),

122

basta probar que ∥∥∥∥∥DF1

((φ0

0

), c

)∥∥∥∥∥ < 1 .

Evaluando (3.112) en((

φ0

0

), c

)obtenemos

DF1

((φ0

0

), c

) (h

k

)= δφF1

((φ0

0

), 0

)(h) + δψF1

((φ0

0

), c

)(k) , (3.116)

entonces

∥∥∥∥∥DF1

((φ0

0

), c

) (h

k

)∥∥∥∥∥∞≤

∥∥∥∥∥δφF1

((φ0

0

), c

)(h)

∥∥∥∥∥∞+

∥∥∥∥∥δψF1

((φ0

0

), c

)(k)

∥∥∥∥∥∞.

(3.117)Obtengamos estimados para

∥∥∥∥∥δφF1

((φ0

0

), c

)∥∥∥∥∥∞,

∥∥∥∥∥δψF1

((φ0

0

), c

)∥∥∥∥∥∞.

Evaluando (3.113) en((

φ0

0

), c

)obtenemos

δφF1

((φ0

0

), c

)(h) =

−V+g(φ0)

2

et

c+1

c + 1

∫ ∞

te−τc+1

(c + 1

1

)h(τ)dτ +

et

c−1

1 + c

∫ t

−∞e−τc−1

(c− 1

1

)h(τ)dτ

+V+cg′(φ0)

2

et

c+1

c + 1

∫ ∞

te−τc+1

(c + 1

1

)k(τ)dτ − e

tc−1

c + 1

∫ t

−∞e−τc−1

(c− 1

1

)k(τ)d(τ)

,

entonces∥∥∥∥∥δφF1

((φ

0

), c

)(h)

∥∥∥∥∥∞≤ V+g′(φ0)

2

√

c2 + 2c + 2e

tc+1

c + 1

∫ ∞

te−τc+1 dτ ‖ h ‖∞

+√

c2 − 2c + 2e

tc−1

1 + c

∫ t

−∞e

τc−1 dτ ‖ h ‖∞

.

123

Calculando las integrales impropias y simplificando

∥∥∥∥∥δφF1

((φ0

0

), c

)(h)

∥∥∥∥∥∞≤ V+g(φ0)

2

(√c2 + 2c + 2 +

√c2 − 2c + 2

)‖ h ‖∞ .

Para 0 < c < 1 se tiene que

√c2 + 2c + 2 es creciente,

√c2 + 2c− 2 es decreciente.

Ası se tiene que

∥∥∥∥∥δφF1

((φ0

0

), c

)(h)

∥∥∥∥∥∞≤ V+g′(φ0)

2

(√5 +

√2)‖ h ‖∞ . (3.118)

De manera similar se obtiene

∥∥∥∥∥δψF1

((φ0

0

), c

)(k)

∥∥∥∥∥∞≤ V+g′(φ0)c

2

(√5 +

√2)‖ k ‖∞ . (3.119)

Sustituyendo (3.118), (3.119) en (3.117), obtenemos

∥∥∥∥∥DF1

((φ0

0

), c

) (h

k

)∥∥∥∥∥ ≤V+g′(φ0)

2(1 + c)

(√5 +

√2) (√

‖ h ‖2∞ + ‖ k ‖2∞

).

Como 0 < c < 1 y V+α < 14

obtenemos

∥∥∥∥∥DF

((φ0

0

), c

) (h

k

)∥∥∥∥∥ < 1,

que es lo que querıamos probar.Finalmente, tenemos el siguiente teorema.

124

Teorema 6 Supongamos que en el sistema (3.74), la funcion g tiene laforma

g(φ) =1

1 + e−αφ+β, α, β > 0

y que αV+ < 14. Entonces para cada ρ > maxφ0,

12α, existen c1(ρ), c2(ρ)

con 0 < c1(ρ) < c2(ρ) < 1, tales que, para cada c, que cumpla 0 < c < c1(ρ),la unica solucion acotada de este sistema, contenida en la bola cerrada β[0, ρ],

es la solucion estacionaria(φ0

0

). Mientras que, para cada c, con c1(ρ) ≤ c ≤

c2(ρ), existe una solucion acotada, no trivial, del sistema, la cual tambien esuna solucion homoclınica, y a la que le corresponde una onda viajera de laecuacion (3.59) con velocidad v. La velocidad real de traslacion de esta ondaviajera es cV+. Ademas c1(ρ), c2(ρ) son las raıces positivas de los polinomioscuadraticos definidos en (3.100), (3.101).

Demostracion.

La existencia de c1(ρ), fue demostrada en la proposicion 4. Por los lemas10 y 11 el operador integral F definido en (3.101) cumple con las condi-

ciones del teorema de la funcion implıcita en un entorno de((

φ0

0

), c

), es

decir, F((

φψ

), c

)es de clase C ′ en un entorno de

((φ0

0

), 0

), F

((φ0

0

), c

)= 0 y

DF((

φ0

0

), c

)es invertible. Entonces existen entornos U y V de

(φ0

0

)y c res-

pectivamente tales que, para cada c∗ ∈ V , existe un unico elemento(φψ

) ∈ Uno trivial tal que

F

((φ

ψ

), c∗

)= 0 .

Entonces(φψ

)es una solucion no trivial, acotada de (3.80) y por el teorema

3,(φψ

)es una solucion acotada, no trivial del sistema (3.74), la cual, por el

lema 6, es una solucion homoclınica del sistema (3.74).

3.4 ONDAS ESTACIONARIAS EN LA CORTEZACEREBRAL.

125

En esta seccion estudiaremos las oscilaciones pequenas –con la mismafrecuencia angular w para cada x ∈ R– de la ecuacion

∂2u∂t2

+ 2λ+v+∂u∂t

+ (λ+v+)2u− v2+

∂2u∂x2 =

V+λ+v+

[λ+v+g(u) + g′(u)∂u

∂t

] (3.120)

alrededor de un estado de reposo de la misma (una solucion u(x, t) ≡ u0).

Este problema corresponde a considerar una banda circular de anchoinfinitamente pequeno de corteza cerebral. Lo que queremos saber es sien nuestro modelo existen ondas estacionarias que se correspondan con losritmos basicos del cerebro.

Para estudiar este problema consideraremos una solucion u(x, t) ≡ u0 dela ecuacion (3.120). Tomaremos la parte lineal de esta ecuacion alrededor deu0 y en la ecuacion lineal buscaremos soluciones de la forma

u(x, t) = u0 + L(x)eiwt , (3.121)

con L(x) una funcion periodica real, de periodo 2π y L(x) pequeno.

126

Observacion.

En realidad, lo que buscamos son soluciones de la ecuacion lineal de laforma

u(x, t) = u0 + A(x) cos wt

donde A(x) es una funcion periodica real, de periodo 2π. Pero como se tieneuna ecuacion lineal, basta encontrar soluciones de la forma (3.121) y despuestomar la parte real de estas soluciones.

Ahora, si u(x, t) ≡ u0 es una solucion de (3.120) la “parte lineal” de estaecuacion alrededor de u0 es

∂2u

∂t2+ λ+v+(2− V+g′(uo))

∂u

∂t+ [(λ+v+)2 (1− V+g′(u0))]u− v2

+

∂2u

∂x2= 0

(3.122)donde

u = u− u0

Teorema 7 Sea u0 ∈ (0, V+) tal que, g′(u0) = 2V+

, supongamos ademas que

1− λ2+ > 0. Entonces la ecuacion (3.122) tiene soluciones de la forma

u(x, t) = L(x)eiwt ,

con L(x) una funcion periodica real, de periodo 2π. Mas concretamente, si

w = v+

(√1− λ2

+

), (3.123)

entoncesu(x, t) = A1 cos xeiwt (3.124)

con A1 constante, es una solucion de (3.122).

127

Observacion

Como g′(u0) = 2v+

, esto nos garantiza que

u(x, t) ≡ u0 es solucion de la ecuacion (3.120).

Demostracion.

Sea w como en (3.123). Obtengamos las derivadas de (3.124)

∂u∂t

= (iw)A1 cos xeiwt , ∂u∂x

= −A1sen xeiwt ,

∂2u∂t2

= −w2A1 cos xeiwt , ∂2u∂x2 = −A1 cos xeiwt .

Sustituyendo estas derivadas en la ecuacion (3.122) obtenemos

−w2A1 cos xeiwt + λ+v+(2− V+g′(u0))iwA1 cos xeiwt

+[(λ+v+)2(1− V+g′(u0)]A1 cos xeiwt + v2+A1 cos xeiwt =

(λ2+ − 1)v2

+A1 cos xeiwt + (λ+v+)2A1 cos xeiwt + v2+A1 cos xeiwt = 0 ,

ya que g′(u0) = 2V+

y w = v+

√1− λ2

+ .

128

CONCLUSIONES.

El principal modelo que hemos estudiado, a pesar de ser un modelo quetiene algunas simplificaciones importantes : modelo unidimensional sin cur-vatura, considerar una distribucion de conexiones que depende unicamente dela distancia entre columnas y con escalas de decrecimiento que no dependende las regiones corticales consideradas, las complicaciones intra e intercorti-cales estan incluidas en las funciones R±, no tomar en cuenta explıcitamentela actividad neuroquımica, etc., nos ha permitido obtener un conjunto deresultados que pueden ser sujetos a ser estudiados experimentalmente y queen principio coinciden cualitativamente con algunos datos experimentales yaconocidos. Se debe destacar la relativa simplicidad del modelo obtenido yla posibilidad inmediata de incluir, aunque sea parcialmente, algunos ele-mentos no considerados en el modelo principal como por ejemplo, escalas dedecrecimiento que dependan de las regiones de corteza considerada, que lafuncion de generacion de potenciales de accion g dependa de la columna yde la funcion de activacion (ver el modelo de la seccion 2.8) ademas de laposibilidad de construir un modelo matematico bidimensional de la cortezacerebral que ademas incluya, aunque sea parcialmente, la geometrıa real de lacorteza cerebral. Obviamente el estudio matematico de este problema resultamucho mas complejo. Consideramos que todo lo anteriormente enunciado,son los elementos mas valiosos de la tesis.

La inclusion en el modelo de la actividad neuroquımica nos parece quees un problema sumamente complejo pero en primera aproximacion, con-siderando que la liberacion de neurotransmisores es proporcional a la activi-dad sinaptica, podrıa ser incluida en el mismo.

A continuacion enlistamos las principales conclusiones de nuestro trabajo.

1. En este trabajo se han continuado desarrollando las ideas de Nunez,[86], [87], [89], [92], en al menos dos direcciones : se han introducidomodificaciones y agregado nuevos elementos al modelo. Ademas eltratamiento matematico del modelo ha sido diferente y mas completoque el que le dio Nunez.

2. En cuanto a resultados, se ha demostrado, que bajo ciertas condi-ciones,(teorema 6) existen ondas viajeras de actividad cortical que sepropagan por la corteza cerebral con una velocidad de propagacionmenor que la velocidad de propagacion de la actividad excitatoria.

129

Tambien se ha demostrado,(teorema 2) que la actividad cortical de unarebanada de corteza se puede acoplar con la de una entrada aferenteperiodica sostenida. Esto ha sido demostrado experimentalmente [25],[78]. Ademas en estos trabajos tambien se concluye, experimental-mente, el papel controlador de la actividad inhibitoria en la corteza.Lo cual probamos en el teorema 3.

3. Los resultados obtenidos,(teorema 2, 6, 7) corresponden a estados fi-siologicos muy especiales, esto ultimo se refleja en las restriccionesimpuestas a la funcion de activacion neuronal. Consideramos que esnecesario estudiar, posteriormente, la significacion fisiologica de estasrestricciones.

4. Hemos obtenido un modelo (seccion 2.8), que en conjunto con estudiosdel problema inverso electroencefalografico, nos permitira estudiar, pos-teriormente, el diagrama de conexiones funcionales y de la funcion deactivacion neuronal en un estado fisiologico determinado.

5. El modelo compartimentado (2.8) puede ser usado para el estudio deotros sistemas del cerebro, como el sistema de los ganglios basales y elsistema lımbico.

6. Posteriormente sera necesario realizar simulaciones computacionales delas soluciones del modelo con diversos valores de los parametros involu-crados y compararlos con mediciones experimentales.

130

Bibliografıa

[1] Abbott, L. F. [1990] : A network of oscillators, J. Phys. A. Math.Gen. 23 : 3835-3859.

[2] Abbot, L. F., F., Kepler, T. B. [1990] : Model neurons fromHodgkin-Huxley to Hopfield In : Garrido (ed) Statistical mechan-ics of neural networks. Springer, Berlin, Heidelberg, New York.

[3] Abeles, M. [1982] : Local Cortical Circuits in Studies in BrainFunction 6, Springer Verlag, New York.

[4] Amick, C, J, [1991] : A problem in neural networks. Proceedingsof the Royal Society of Edinburgh. 118 : 225-236.

[5] Amari, S. [1972] : Competitive and cooperative aspects in dy-namics of neural excitation and self-organization, IEEE Trans oncomputers.

[6] Amari, S. [1982] : A mathematical theory of self-organizing nervesytems. In Proceedings of Biomathematics : Current Status andPerspectives. Ricciardi, L. M., Scott, A., ed.

[7] Amari, S., Arbib, M. A (eds) [1982] : Competition and Coopera-tion in Neural Networks, Springer Verlag, New York.

[8] Amari, S., Takeuchi, A. [1978] : Mathematical theory on formationof category detecting nerve cells. Biol. Cybernetics 29. 127-136.

[9] Amir, A. [1994] : Uniqueness of the generators of brain evokedpotential maps, IEEE Trans. on Biomedical-Engineering. Vol.41,no.1-11.

131

[10] Andersen, P., Andersson, S.A. [1968] : Physiological basis of thealpha rhytm. Appleton-Century-Crofts, New York.

[11] Anderson, J. A., Rosenfeld, E. [1988] : Neurocomputing Founda-tion of Research. Cambridge. The M.I.T. Press.

[12] Beale, R.,Jackson, T. [1994] : Neural Computing : An Introduc-tion, Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia.

[13] Baumgartel, H. [1985] : Analytic Perturbation Theory for Matricesand Operators. Birkhauser Verlag Basel. Boston-Stuttgart.

[14] Bogacz, J. y colaboradores. [1985] : Los potenciales evocados enel hombre. Ateneo, Buenos Aires.

[15] Bower, J. M. [1992] : Modeling the nervous system. Trends inNeuroscience 15 : 411-412.

[16] Buchholtz, F., Golowasch, J., Epstein, I. R., Marder, E. [1992]: Mathematical model of an identified stomatogastric neuron.J.Neurophysiol. 67 : 332-340.

[17] Cardinali, D. P. [1992] Manual de Neurofisiologıa. Ediciones Dıazde Santos, S.A. Madrid, Espana.

[18] Chauvet, G. A. [1993a] : Non-locality in biological systems resultsfrom hierarchy. Application to nervous system. Journal Math. Biol.31. 475-486.

[19] Cichocki, A., Unbehauen, R. [1993] : Neural Networks for Opti-mazation and Signal Processing, John Wiley, New York.

[20] Coro, F. [1996] : Fisiologıa Celular, Un enfoque biofısico, Textos

Cientıficos , BUAP, Puebla.

[21] Cronin, J. [1987] : Mathematical aspects of Hodgkin-Huxley neuraltheory, Cambridge University Press.

[22] Cuffin, B.N. [1987] : The role of model and computacional exper-iments in the biomagnetic inverse problem.Phys.Med.Biol.

132

[23] Daleckii, Ju. L., Krein, M. G. [1974] : Stability of Solutions ofDifferential Equations in Banach Space. American MathematicalSociety, Providence, Rhode Island.

[24] Destexhe, A., Contreras, D., Sejnowski, T. J., Steriade, M. [1994]: A model of spindle rhytmicity in the isolated thalamic reticularnucleus. Journal of Neurophysiology. Vol. 72, No. 2. 803-1818.

[25] Dickson, C. T., Alonso, A [1997] : Muscarinic induction of Syn-chronous population activity in the entorhinal cortex. Journal ofNeuroscience. 17 (17:6729-6744).

[26] Doya, K., Selverston, A.I. [1993] : Dimension reduction of biologi-cal neuron models by artificial neural networks, Neural Comp. Vol.6 no. 4 : 697-717.

[27] Farkas, Miklos. [1994] : Periodics Motions, Springer Verlag, NewYork.

[28] Fitzhugh, R. [1961] : Impulses and physiological stages in theoret-ical models of nerve membrane. Biophys, J. 1 : 445-466.

[29] Fitzhugh, R. [1969] : Mathematical models of excitation and prop-agation in nerve. In Biological Engineering H.P. Schwann.Mc GrawHill Publications, New York.

[30] Flores, G. [1991] : Stability Analysis for the Slow Traveling Pulseof the Fitzhugh-Nagumo System, Siam J. Math. Anal. Vol. 22, no.2, 392-399.

[31] Freeman J. A., Skapura, D.M. [1993] : Redes Neuronales. Algo-ritmos, aplicaciones y tecnicas de programacion. Addison-WesleyIberoamericana Wilmington, Delaware. U.S.A.

[32] Freeman, W.J.[1975] : Mass Action in the Nervous System, Aca-demic Press, New York.

[33] Freeman, W.J. [1979] : Nonlinear dynamics of paleocortex mani-fested in olfactory EEG, Biological Cybernetics. 35 : 21-37.

133

[34] Freeman, W. J. [1992] : Predictions on neocortical dynamics de-rived from studies in paleocortex. In : Induced rhythms of thebrain, ed. E.Basar, T. H. Bullock. Birkhauser Boston Inc. 183-201.

[35] Freeman, W. J. [1994] : Neural mechanisms underlying destabi-lization of cortex by sensory input. Physica D 75 : 151 - 64.

[36] Fukushima, K. [1975] : Cognitron : a self organizing multilayeredneural network, Biolog. Cybernetics. Vol. 20 : 121-136.

[37] Fukushima, K. [1980] : Neocognitron : a self organizing neuralnetwork model for a mechanism of pattern recognition unaffectedby shift in position, Biolog. Cybernetics. Vol. 36,193-202.

[38] Galusinski, C. [1998] : Existence and Continuity of Uniform Ex-ponential Attractors of the Singularity Perturbed Hodgkin-HuxleySystem. Journal of Differential Equations. 144 : 99-169.

[39] Golomb, D., Guckenheimer, J., Gueron, S. [1993] : Reduction of aChannel Based Model for a Stomatogastric Ganglion LP Neuron.Biol. Cybern. 68 : 129-137.

[40] Golomb, D., Rinzel, J. [1993] : Dynamics of globallly coupledinhibitory neurons with heterogeneity., Physical Review. E. Vol.48,no. 6.

[41] Golomb, D., Rinzel, J. [1994] : Clustering in globally coupled in-hibitary neurons. Physics D. 72 : 259-282.

[42] Golomb, D., Wang, X. J., Rinzel, J. [1994] : SynchronizationProperties of Spindle Oscillations in a Thalamic Reticular NucleusModel. J. Neurophysiology. Vol. 72, no.3, 1109-1126.

[43] Grossberg, S. [1976] : Adaptative pattern classification and uni-versal recording. Biolog. Cybernetics. Vol. 23 : 121-134 y 187-202.

[44] Guckenheimer, J., Holmes, P. [1983] : Nonlinear oscillations dy-namical systems, and bifurcations of vector fields. Springer, Berlin,Heidelberg, New York.

134

[45] Hale, J. K. [1963] : Oscillations in Nonlinear Systems. Dover, NewYork.

[46] Hale, J. K. [1969] : Ordinary Differential Equations. Wiley Inter-science. New York, London, Sydney, Toronto.

[47] Hale, J. ; Kocak, H. [1991] : Dynamics and Bifurcations, SpringerVerlag, New York.

[48] Hastings, S. [1975/1976] : On traveling wave solutions of theHodgkin-Huxley equations, Arch. Rational Mech. Anal. 60 : 229-257.

[49] Hastings, S. [1976] : On existence of homoclinic and periodic orbitsfor the Fitzhugh-Nagumo equations,Quart J. Math.27 : 123-134.

[50] Hebb, D. O. [1949] : The organization of behavior. Wiley, NewYork.

[51] Heiner, L. ; Zaborszky, L. [1989] : Neuroanatomical Tract–TracingMethods 2. Plenum Press. New York and London.

[52] Heller, L. [1990] : Return Current in encephalography VariationalsPrinciples, Biophysical Journal. Vol. 57 : 601-606.

[53] Herman G. T. [1980] : Image reconstruction from projections. Thefundamental of computerized tomography. Academic Press.

[54] Herman G. T., Tuy H. K., Langenberg K. J., Sabatier P.C. [1985]: Basic methods of tomography and inverse problems. MalvernPhysics Series.

[55] Hilera, J. R., Martınez, V. J. [1995] : Redes neuronales artificiales.Fundamentos, modelos y aplicaciones. Addison-Wesley Iberoamer-icana. Madrid, Espana.

[56] Hinton, G. Ackley, D. Sejnowski, T. [1984] : Boltzman machines: Constraint satisfaction networks than learn. Carnegie-MellonUniversity, Departament of Computer Science Technical Report.(CMU-CS-84-119).

135

[57] Hodgkin, A. L. ; Huxley, A.F. [1952] : A quantitative description ofmembrane current an its application to conductance and excitationin nerve, J. Physiol. Lond.117 : 500-544

[58] Holden, A. V., Hyde, J., and Muhamad, M. A. [1991] : Equilibria,Periodicity, Bursting and Chaos in Neural Activity, in Pasemann,F., and Doebner, H. D. (eds), World Scientific Pub., Singapore :97-187.

[59] Hopfield, J. J. [1982] : Neural networks and physical systems withemergent collective computational abilities, Proc. Natl.Acad.Sci.79 : 2554-58.

[60] Hopfield, J. J [1984] : Neurones with graded response have collec-tive computational propierties like those of two states neurones.Proccedings of National Academy of Science. 81 : 3088-92

[61] Hoppensteadt, F. [1986] : An Introduction to the Mathematics ofNeurons, Cambridge University Press.

[62] Hoppensteadt, F.C. [1993] : Analysis and Simulation of ChaoticSystems, Springer Verlag, New York.

[63] Hoppensteadt, F., Izhikevich, E. M. [1997] : Weakly ConnectedNeural Networks. Springer Verlag. New York, Inc.

[64] Ingber, L. ; Nunez P. [1990] : Multiple scales of statistical physicsof Neocortex. Aplication to the Electroencephalography. Mathe-matical and Computer Modelling.

[65] Ingber, L. [1991] : Statistical mechanics of neurocortical inter-actions : A scaling paradigm applied to electroencephalography.,Physical Review. A 44 : 4017-60.

[66] Ingber, L. [1994] : Statistical Mechanics of Multiple Scales of Neo-cortical Interactions.

[67] Ingber, L. [1994] : Statistical Mechanics of Neocortical Interac-tions. : Path-integral evolution of Short-term memory. PhysicalReview E 49 : 4652-64.

136

[68] Ingber, L. [1995] : Statistical mechanics of multiple scales of neo-cortical interactions. In : Neocortical dynamics and human EEG.rhythms, ed. P.L. Nunez. Oxford University Press.

[69] Jahnsen, H. ; Llinas, R. [1984a] : Electrophysiological propertiesof guinea-pig thalamic neurons : An in vitro studio. J. Physiol.(London). 349 : 205-226.

[70] Jahnsen, H. ; Llinas, R. [1984b] : Ionic basis for the electrorespon-siveness and oscillatory properties of guinea-pig thalamic neuronsin vitro. J. Physiol. (London) 349 : 227-2447.

[71] Kandel, E. R., Schwartz, J. H. ; Jessell, T. M. [1997] : Neurocienciay conducta. Prentice Hall. Madrid.

[72] Katznelson, R. D. [1981] : Normal modes of the brain : Neu-roanatomical basis and a physiological theoretical model. In : Elec-tric fields of the brain : The Neurophysics of EEG. P.L. Nunez.Oxford University Press. New York.

[73] Kepler, T. B., Abbot, L. F., Marder, E. [1992] : Reduction ofconductance based neuron models. Biol. Cybern. 66 : 381-387.

[74] Kevorkian, J., Cole, J. D. [1996] : Multiple Scale and SingularPerturbation Methods, Springer-Verlag, New York, Inc.

[75] Lopes da Silva, F. H. [1991] : Neural mechanisms underlying brainwaves : From neural membranes to networks electroencephagr.Clin. Neurophysiol. 79 : 81-93.

[76] Lopes da Silva, F. H., van Rotterdam, A., Barts, P., van Heusden,E., Burr, B. [1976] : Models of neurones populations the basicmechanism of rhytmicity. Progress in Brain Research. 45 : 282-308.

[77] Lopes da Silva, F. A. ; Hoeks, A., Smiths, H. and Zettergerg L. H.[1974] : Model of Brain Rhytmic Activity, Kybernetik. 15 : 27-37.

[78] Lukatch, H. S.; Mac Iver, B. [1997] : Physiology, Pharmacol-ogy and Topography of cholinergic neocortical oscillations in vitro.Journal of Neuroscience. 2427-2444.

137

[79] Mac. Gregor, R. J. [1987] : Neural and Brain Modeling. AcademicPress, Inc. San Diego. Cal.

[80] Mc Culloch, W. S. ; Pitts, W. H. [1943] : A logical calculus of ideasimmanent in nervous activity, Bull. Math. Biophys. 5 : 115-33.

[81] Menon, V. [1991] : Population oscillations in neuronal groups.International Journal of Neural Systems. Vol. 2, no. 3, 237-62.

[82] Mischenko, E. F.; Rozov, N. Kh. [1980] : Differential Equationswith Small Parameters and Relaxation Oscillations, Plenum, NewYork.

[83] Mountcastle, V. B. [1978] : An organizing principle for cerebralfunction : the unit module and the distributed system. In : TheMindful Brain : Cortical Organization and the Group Selectivetheory of Higher Function, ed. G. M. Edelman and V. B. Mount-castle. MIT Press, Cambridge.

[84] Mountcastle, V. B. [1998] : Perceptual Neuroscience the CerebralCortex. Harvard University Press. Cambridge, Massachusetts, andLondon, England.

[85] Natterer, F. [1986] : The mathematics of Computerized Tomogra-phy. Teubner, Stuttgart.

[86] Nunez, P. L. [1981] : A study of origins of the time dependenciesof scalp EEG : I. Theoretical basis, IEEE Trans. Bio-Med Eng. 28: 271-280, 1981b.

[87] Nunez, P. L. [1981] : A study of origins of the time dependencies ofscalp EEG: II. Experimental support of theory,IEEE Trans. Bio-Med Eng. 28 : 281-288, 1981c.

[88] Nunez, P. L. [1988] : Global Contribution to cortical dynamics :theoretical and experimental evidence for standing waves phenom-ena. In : Dynamics of Sensory and Cognitive Processing by theBrain. (E. Baser, Ed.). Springer Verlag. New York.

138

[89] Nunez, Paul L; Katznelson, R. D. [1981] : Electric Fields on theBrain, the Neurophysics of EEG, Oxford University Press, NewYork.

[90] Nunez, P. [1989] : Generation of Human EEG by a combination oflong and short range neurocortical interactions, Brain topography.1 : 199-215.

[91] Nunez, P., Srinivasan, R. [1993] : Implications of recordingstrategy for estimates of neurocortical dynamics with electroen-cephalography chaos. 3 : 257-66.

[92] Nunez, P. L. [1995] : Neocortical Dynamics and Human EEG Ry-thms, Oxford University Press.

[93] Plonsey, R. [1969] : Bioelectric Phenomena, Mc Graw Hill, NewYork.

[94] Petsche, H., Sterc, J. [1968] : The significance of the cortex forthe traveling phenomenon of brain waves. Electroencephalographyand Clinical Neurophysiology. 25 : 1222.

[95] Rall, W., Shepherd, G. M. [1968] : Theoretical reconstruction offield potentials and dendrodendritic synaptic interactions in olfac-tory bulb. J. Neurophysiol. 31 : 884-915.

[96] Ramacher, U. [1993] : Hamiltonian Dynamics of Neural Networks.Neural Networks. 6 : 547-557.

[97] Rinzel, J. ; Ermentrout, G. B. [1989] : Analysis of neural ex-citability and oscillations. In Methods of neural Modelling : FromSynapses to networks (C. Koch and I. Segev. Eds), Cambridge,MA : MIT Press.

[98] Rosenblatt, F. [1957] : The perception a perceiving and recognizingautomation, , Cornell Aeronautical Laboratory Report.

[99] Rose, R. M. ; Hindmarsh, J. L. [1985] : A model of a thalamicneuron, Proc. R. Soc. Lond.

139

[100] Rush, M. E., Rinzel, J. [1994] : Analysis of bursting in a thalamicneuron model. Biol. Cybern. 71, 281-291.

[101] Sanchez, F., Maini, P. K. [1997] : Travelling wave phenomenain non-linear diffusion degenerate Nagumo equations. Journal ofmathematical biology, 35 : 713-728.

[102] Sanchez, F., Maini, P. K. [1997] : Travelling wave phenomena insome degenerate reaction diffusion equations. Journal of differen-tial equations. Vol. 117, no. 2 : 281-319.

[103] Sarvas, J. [1987] : Basic Mathematical and Electromagnetic Con-cepts of the Biomagnetic Inverse Problem. Phys. Med. Biol. Vol.32,no.1 : 11-22.

[104] Silberstein, R. B. [1994] : Neuromodulation of neocortical dynam-ics. In : Neocortical dynamics and human EEG rhythms. ed. P. L.Nunez. Oxford University Press.

[105] Silberstein, R. B. [1994] : Steady-State Visually Evoked Poten-tials, Brain Resonances, and Cognitive Processes In : Neocorticaldynamics and human EEG rhythms. ed. P. L. Nunez. Oxford Uni-versity Press.

[106] Smith, C. U. M. [1982] : El cerebro. Sexta ed. Alianza UniversidadMadrid.

[107] Somogyi, P. ; Tamas, G. ; Lujan, R., Buhl, E. [1998] : Salient fea-tures of synaptic organisation in the cerebral cortex. Brain researchreviews, 26 : 113-135.

[108] Temam, R. [1998] : Infinite-Dimensional Dynamical Systems. 2 ed.Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg.

[109] Tijonov A.N., Goncharsky A.V. [1987] : Problemas mal planteadosde las ciencias naturales. (Editorial de la Universidad Estatal deMoscu).

[110] Tikhonov, V. S. [1985] : Differential Equations. Springer Verlag.

Berlin , Heidelberg.

140

[111] Troy, W. C. [1978] : The bifurcation of periodic solutions in the

Hodgkin-Huxley equations. Quart. Appl. Math., Vol. 36, 73-83.

[112] Tyson, J. J. ; Keener, J. P. [1988] : Singular Perturbation Theoryof Traveling Waves in Excitable Medic (a review). Physica.D 32 :327-361.

[113] van Rotterdam, A., Lopes da Silva, F. H., van den Ende, J.,Viergeuer, M. A., Hermans, A. J. [1982] : A model of the spatical-temporal characteristics of the alpha rhytm. Bull. Math. Biol. 4e :283-305.

[114] Wang, X. J. ; Rinzel, J.[1993] : Spindle rhythmicity in the reticu-laris thalami nucleus : synchronization among mutually inhibitoryneurons. Neuroscience. 53 : 899-904.

[115] Wang, X. J. [1994] : Multiple dynamical modes of thalamic re-lay neurons : Rhythmic bursting and intermittent phase-locking.Neuroscience. Vol. 59, no.1, 21-31.

[116] Weiss, T. F. [1996] : Celular biophysics, Vol. 1, Transport. MITPress, Cambridge, MA.

[117] Weiss, T. F. [1996] : Celular biophysics, Vol. 2, Electrical proper-ties. MIT Press, Cambridge, MA.

[118] Widrow, B., Hoff, M. [1960] : Adaptative Switching CircuitsIREWESCON Convention Record, Part 4, 96-104.

[119] Wilson, H. R., Cowan, J. D. [1972] : Excitatory and inhibitoryinteraction in localized populations of model neurons. Biophys.Journal 12. 1-24.

[120] Wilson, H. R., Cowan, J. D. [1973] : A mathematical theory ofthe functional dynamics of cortical and thalamic nervous tissue.Kybernetik 13. 13-80.

[121] Wright, J.J. ; Liley, T. J. [1996] : Dynamics of the Brain at Globaland Microscopic scales : Neural Networks and the EEG, Behav-ioral and the brain sciences. 19 : 285-320.

141