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Experiences in the development and Application of Mathematical Models in Hydrology and Water Resources in Latin America (Proceedings of the Tegucigalpa Hydromath Symposium, September 1983) IAHSPubl.No. 152.
MODELOS HIDROLOGICOS SENCILLOS
George H. Hargreaves y Kenneth John Vogler
Centro International de Riegos, Departamento de Ingenien'a de Agricultura y Riegos, Utah State University, Logan, Utah 84322.
RESUMEN
Varios modelos sencillos son examinados para estimar la précipita ciôn, la evapotranspiraciôn y el flujo de arroyos en una base limita-da de datos. Se calcula la lluvia mensual de una probabilidad de 75 por ciento de la lluvia promedio mensual. Las frecuencias de profundi dad-duraciôn de lluvia estân relacionadas'a la raïz cuarta de la dura-ciôn y la raîz cuarta del perîodo de retorno para duraciones de 30 minutes a 7 dîas y perïodos de retorno de 2 a 200 aiïos. La lluvia de 10 anos y 24 horas se puede correlacionar con la lluvia mensual de 5 por ciento de probabilidad. La evapotranspiraciôn es estimada precisamen_ te de la temperatura y la radiaciôn extraterrestre. Relaciones entre araa-descarga y la examinaciôn de grâficos de lluvia totalizada y des-carga totalizada pueden iluminar caracterïsticas del comportamiento del flujo de arroyos.
La zonificaciôn hidrolôgica de regiones y païses utilizando los mo delos sencillos es una herramienta util en la planificaciôn y diseno de proyectos. Sin embargo las consideraciones hidrolôgicas no son comple tas ellas mismas y deben ser integradas con los factores de energîa y suelo para proporcionar un vehîculo entero para la transferencia de te j nologîa. Estos très factores determinan en gran parte la potencial pa ra la producciôn del cultive
ABSTRACT
Several simple models for estimating precipitation, évapotranspiration and streamflow from a limited data base are discussed. The 75 percent probability monthly rainfall may be calculated from mean month ly rainfall. Rainfall depth-duration-frequencies are related to the fourth root of the duration and the fourth root of the return period for durations of 30 minutes to 7 days and return periods of 2 to 200 years. The 10 year, 24 hour rainfall may be correlated to the 5 percent probability of monthly rainfall occurrence. Evapotranspiration may be accurately estimated from temperature and extraterrestrial radiation. Area-discharge relationships and examination of mass rainfall and mass discharge plottings can illuminate characteristics of stream flow behavior. Hydrologie zoning of regions and countries us-
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ing these simple models is a useful tool in planning and designing pro_ jects. Nevertheless hydrologie considerations are incomplete in them selves and should be integrated with energy and soils factors to provide a whole vehicle for technology transfer. These three factors lar_ gely determine the potential for crop production.
INTRODUCCION
Muchas relaciones utiles y modelos hidrolôgicos son relativamente sencillos y faciles de entender. La utilidad de un modelo dépende de su aplicabilidad a la situaciôn o condiciones y tambiën de la frecueri cia y extension de su uso para la soluciôn de problemas relacionados a la planificaciôn, disefio y desarrollo. Un modelo sencillo de regre-siôn que requière un nivel bajo de informacion téenica en su aplica-ciôn puede proveer, bajo condiciones apropiadas, tanta o mas informacion sobre los recursos hidrâulicos como un modelo estocâstico o de si_ mulaciôn, lo que requière mas datos y costo. Muchas soluciones prâcti_ cas son posibles sin el uso de mëtodos muy sofisticados y producidos a la frontera avanzada de desarrollo tecnologico.
En los paîses en desarrollo la disponibilidad y confiabilidad de datos frecuentemente imponen unas limitaciones sérias para el uso de modelos. La preferencia de los métodos analïticos debe considerar el grado de precision de informacion disponible y su utilidad al anâlisis requerido. Por ejemplo, la lluvia varia con el tiempo y el espacio. Los registros disponibles muchas veces son de muy corto tiempo y no existen registros para areas extensas, Por general se registran datos de precipitaciôn donde vive la gente. Si la poblacion de las areas montaiïosas no son abundantes entonces la mayorïa de los registros se van a encontrar en los yalles. En este caso los datos disponibles pa_ ra areas montaiïosas limitan severamente el modelo de precipitaciôn y muchas veces el ûnico modelo puede que sea una "Caja negra" sencilla o sea una ecuaciôn de regresiôn.
El présente informe describe varios modelos sencillos y disponibles para estimar la precipitaciôn, evapotranspiraciôn y flujo de arro yo con una base de datos limitados. Se refiere a investigaciones co-rrientes y anteriores con respecto a la validez de los modelos. Tambiën se considéra su papel en la transferencia de tecnologîa.
LA LLUVIA CONFIABLE, PD
La lluvia promedio no es un indice confiable de utilidad o de riesgo. Se debe utilizar un tipo de distribuciôn de probabilidad. Pa_ ra los propositus de planificaciôn de riego y desarrollo agrïcola se ha empleado extensivamente la probabilidad de 75 porciento de exceden_ te (la cantidad alcanzada o en exceso el 75 porciento del tiempo). Hardee (7) demostrô que para el nivel de 75 porciento las varias dis-tribuciones de probabilidad por lo general producen valores similares. La distribuciôn de gamma incompleta muchas veces se prefiere para anâ lisis de computadora. Sin embargo la distribuciôn de ordenar los datos produce buenos resultados, en lo particular para registros con 20 afios de datos o mas, y se emplea fâcilmente sin el uso de computadora.
Modelos Hidrologicos Sencillos 165
Uns vez gue se establezca la probabilidad de 75 porciento, PD,pa ra un numéro significante de lugares en un régimen dado de precipita-ciôn entonces una ecuaciôn de regression para precipitaciôn confiable, PD, puede ser desarrollada de la lluvia promedio, PM. La ecuaciôn se escribe ;
PD = a + b x PM (1)
Para la India, con 109 grados de libertad, la ecuaciôn es: PD = -19 + 0.71 PM con un valor de R2 igual a 98 porciento. Para los Estados U-nidos con 306 grados de libertad la ecuaciôn es: PD = -16 + 0.75 PM con R2 igual a 95 porciento.
Las ecuaciones de regresiôn se desarrollaron de los mes es con un indice de humedad disponible, MAI, de 0.33 o mas. La ecuaciôn para la MAI es:
MAI = *2-E T P (2)
en donde ETP es la evapotranspiraciôn potencial o la evapotranspira -ciôn del cultivo de referenda siendo una especie de grama (Festuca arundinace.a, Lolium perenne o_ Poa pratensis) .
Valores de MAI son usados extensamente en la transferencia de tecnologîa agrîcola para determinar requerimientos para riegos suple mental y en la planificaciôn para el desarrollo de agricultura sin riego. A menudo se calcula la MAI para perîodos de 5, 10 y 15 dîas asî como para perîodos mensuales. Se prefieren yalores de 10 dîas para muchos tipos de investigaciones de selecciôn de cultivos y de plani ficaciôn agrîcola.
PROFUNDIDAD-FRECUENCIA DE LLUVIA
La cantidad de lluvia que se puede anticipar durante una duraciôn o tiempo aumenta en relaciôn con el perîodo de retorno en afios, T. Adamson y Zucchini (2) hicieron una comparaciôn entre ocho distribucio_ nés probabilxsticas usando valores de T de 2 a 200 afios. Las ocho dis_ tribuciones produjeron valores similares para T igual a 10 afios. Sin embargo hubo una variaciôn amplia para valores ambos altos.y bajos de T.
Hargreaves (8) y Vogler (13) analizaron perîodos de retorno de llu_ via para varios lugares y concluyeron que la distribuciôn de probabili_ dad Gumbel puede ser aproximada por el T 1/6. Powell (10) propuso el uso de T'/4 para estimar profundidad-frecuencia en la cantidad de lluvia.
Adamson (1) preparô un anâlisis de probabilidad log normal censu-rada del série parcial de lluvias de 1, 2, 3 y 7 dîas y para perîodos de retorno de 2, 5, 10, 20, 5Q, 100 y 200 afios. Se seleccionaron de
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la investigaciôn de Adamson, 22 estaciones con registros de 98 afïos o mas. El promedio de los registros fue 100.6 afios. La distribuciôn log normal censurada se ajusta a los datos muy bien.
Bell (3) desarrollô relaciones para lluvîa de una hora y perïodo de retorno de 10 afïos con otras duraciones para perîodos de retorno de 10 afios (T-10) utilizando la distribuciôn de probabilidad Gumbel. Usando làs relaciones graduadas entre las distribuciones Gumbel y log normal censurado encontrados en Adamson y Zucchini (2), se convirtiô las relaciones de Bell para la distribuciôn Gumbel y se encontraron a ser comparable a la distribuciôn log normal censurada. El cuadro 1 muestra comparaciones de relaciones de profundidad frecuencia para la distribuciôn log normal censurada de Adamson (1) para varios perîodos de retorno y para duraciones de 1, 2, 3 y 7 dïas. La desviaciôn stand ar de las relaciones en porciento de la relaciôn promedio variaba de 2.8 a 10.4 porciento, siendo lo mas grande para T = 200. Las relaciones de profundidad frecuencia para una hora basada en la distribuciôn Gumbel y corregida a la distribuciôn log normal censurada asî como las relaciones de T1/4 tambiên se presentan.
El cuadro 1 indica que las relaciones de profundidad-frecuencia para varios perîodos de retorno son independientes del tiempo o dura-ciôn de la lluvia para duraciones que varîan de una hora a siete dîas. Los valores de T1/4 reproducen precisamente las relaciones salvo que para T = 2 hay una sobre estimaciôn de 18.4 porciento. No se considéra una diferencia séria debido a que muchos errores de disefïo son me-nospreciados.
CUADRO 1.- Comparaciones para relaciones de profundidad-frecuencia para varios perîodos de retorno utilizando las distribuciones log normal censurada, T J/4yla Gumbel Corregida para una hora.
Perîodo de Retorno T, en
Relaciôn de un dïa
Relaciôn de dos dïas
Relaciôn de très dîas
Relaciôn de siete dïas
Desviaciôn Standard %
Relaciôn T1/4
afk>£
1 hora Gumbel corregida a la
2
0.58
0.56
0.55
0.54
8.00
0.67
log
5
0.81
0.80
0,80
0.80
3.10
0.84
10
1.00
1.00
1.00
1.00
1.00
20
1.20
1 .22
1.22
1.22
2.80
1.19
50
1.51
1.54
1.55
1.54
6.00
1.50
100
1.77
1.83
1.84
1 .82
8.20
1 .78
200
2.07
2.12
2.16
2.13
10.40
2.11
normal censurada 0.60 0.80 1.00 * 1.45 1.68 *
Relaciones para estos perîodos de retorno no se presentaban en Bell (3).
Modelas Hidrolôgicos Sencillos. 167
CUADRO 2.- Comparaciones de relaciones profundidad duration, utilizando las distribuciones log normal censura-dasyT lj4
Perïodo de Retorno T en arios 2 5 10 20 50 100 200 t1/4 Desv.
Stand. Relaciôn de 1 dîa 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00
Relaciôn de 2 dîas 1.27 1.31 1.32 1.34 1.35 1.36 1.37 1.19 6.8%
Relaciôn de 3 dîas 1.39 1.44 1.47 1.49 1.51 1.53 1.54 1.32 8.7%
Relaciôn de 7 dîas 1.69 1.77 1.80 1.82 1.85 1.85 1.87 1.63 15.5%
PROFUNDIAD-DURACION DE LLUVIA
Bernard (4), Powell (dû), Vogler (13) y Hargreayes (8) han con-cluîdo que la cantidad de lluvia varia con el tiempo, t, o duraciôn aproximadamente por t''4. Parece vâlido para perîodos desde 30 minu-tos hasta un dîa o mas. En el Cuadro 2 comparan relaciones de profun_ didad-duraciôn basados en los valores de la log normal censurada de Adamson para perîodos de 1, 2, 3 y 7 dîas y perîodos de retorno de 2, 5, 10, 20, 50, 100 y 200 afios con valores de las relaciones T1/4 . El uso de la distribuciôn log normal censurada indica que puede que sea deseable el aumento del valor del exponente,
Una Ecuaciôn General
Powell (10) propuso una ecuaciôn para la profundidad de lluvia, D, con tiempo, t, y perïodo de retorno, T, que se escribe:
1/4 D = K (t x T) (3)
K es una constante que dépende de localidad.
Los valores de probabilidad log normal para T = 10 y t = 1 dîa fueron obtenidos para los 22 registros largos presentados en Adamson (1). Los 27 otros valores del matriz (para varias duraciones y fre-cuencias) fueron estimadas utilizando la ecuaciôn 3 y comparado con los valores promedios de probabilidad log normal. El rango de dife-rencia varia de +15.5 porciento a -15.7 porciento con una diferencia promedio de 8.7 porciento.
Se eliminô uno de los métodos comparados por Adamson (1) porque se considerô no realxstico. La Log Pearson III da los valores de los siete métodos extremos mâs altos en el rango de perxodos de retorno de
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10 afios hasta casi 200 anos. La ediciôn de 20 porciento a la ecua -ciôn 3 envuelve aproximadamente la distribuciôn probabilxstica Log Pearson Type III para los datos analizados.
Hay opinion creciente entre expertos en el campo de investiga-ciones de probabilidades de precipitaciôn que, por lo menos para datos limitados, el tipo de distribuciôn probabilïstica para anâlisis no es importante. La ecuaciôn sencilla de Powell probablemente es tan buena como cualquier otro mëtodo empleado hoy en d£a y ademâs no requière muchos datos.
LLUVIA DE DIEZ ANOS, 24 HORAS
La lluvia de 10 anos, 24 horas (P 5 0 24) es una referenda conve_ niente para estimar otras cantidades de profundidad-duraciôn y profuri didad-frecuencia. Si se sabe la cantidad de lluvia para P10, 24 para un ârea determinada entonces la K puede ser despejada de la ecuaciôn 3. Asî se puede determinar profundidades de lluvia para otras dura-ciones y perîodos de retorno. Esta en camino una investigaciôn en el Centro Internacional de Riegos en Logan, Utah que calcula las varias probabilidades de lluvia mensual de los datos mensuales para 3000 si-tios globales.
Con 48 sitios Estadounidenses fue desarrollada una ecuaciôn;
P10, 24 = 22 + 0.33 X P05 (4)
en la cual P05 es la probabilidad de 5 porciento (T = 20) de la ocu-rrencia de lluvia mensual y P10,24 y P05 son registrados en mm. Se u-tiliza el mes con el mas alto valor de P05. Se derivaron ecuaciones similares y casi équivalentes usando datos diarios y mensuales de lluvia en El Salvador y Nicaragua. En cada caso se encontraron altos los Valores de R2 (el coeficiente de determinaciôn).
Se prétende hacer inyestigaciones adicionales para determinar la universalidad de las ecuaciones 3 y 4 en su aplicaciôn a datos globales. Parece razonable que estas investigaciones producirïan estima-ciones aceptables de cantidades de lluvia extrema para el uso en la planificaciôn de drenaje agrîcola, drenaje alcantarilla y prâcticas de conservaciôn de suelos en los 3000 sitios.
ESTIMACION DE EVAPOTRANSPI RACION POTENCIAL
Modèles hidrolôgicos integran varios procesos para simular se-cuencias de tiempo de escurrimiento superficial, recarga de aguas sub terrâneas, almacenamiento de humedad en el suelo y otras consideracio
Modelos Hidrolôgicos Sencillos. 169
nés hidrolôgicas. La evapotranspiracion es uno de los procesos impojr tantes. McVicker (12) evaluô y ordenô 12 métodos para estimar la eva potranspiraciôn potencial, ETP. El cultivo de referenda fue zacate "Alta Fescue" (Festuca arundinacea.) Después de una calibraciôn para su uso con este cultivo de referenda cualquiera de los ocho de los mëtodos produjeron resultados satisfactorios. La ecuaciôn de Hargrea ves fue la que, de los ocho métodos, diô el error mas pequeno de la raïz cuadrada promedio y fue recomendada para uso general en modelos de cuencas hidrogrâficos.
Los ingenieros y agrônomos han desarrollado ecuaciones de la tem peratura promedio en grados Celsius, T °C, radiaciôn solar incidente a la superficie, RS, y evapotranspiracion medida con lisimetro, ET.
Muchas veces el primer paso en el desarrollo de una ecuaciôn fue de suponer que la ET del lisimetro fue la medida apropiada para ser usada como ETP. Se hicieron anâlisis de regresiôn para desarrollar e-cuaciones como:
ET — = a + b x T °C (5) Ko
Los valores de a y b varîan significativamente dependiendo del cultivo de referenda.
La ecuaciôn de Hargreaves es :
ETP = 0.0075 x RS x T °F (6)
en la cual ETP y RS tienen las mismas unidades y T F es la temperatura en grados Fahrenheit. Cuando valores medidos de RS no son disponibles o son de precision dudosa entonces pueden ser estimados confiablemente de la ecuaciôn:
] /2 RS = KT x RA X TD / (7)
en la cual RA es la radiaciôn extraterrestre, TD es el promedio de la temperatura maxima menos el promedio de la temperatura minima, y KT es un coeficiente y puede que necesite una calibraciôn para la localidad. KT es usualmente alrededor de 0.16 para temperatura en grados Celsius pero puede que sea menos para elevaciones altas y mas para sitios cer-ca de oceanos. Una vez que se équilibra bien la ecuaciôn 7 entonces la ETP puede ser estimada confiablemente de la temperatura maxima y minima.
La ecuaciôn 6 es recomendada para uso con coeficientes de cultivo dado por Doorenbos y Pruitt (6) o por Doorenbos y Kassam (5). La ecua
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ciôn 6 fue derivada de evapotranspiracion de zacate Festuca arundina-cea utilizando los datos de Pruitt en Davis, California. También pro-porciona buenos resultados cuando se évalua con Loli'um perenne o Poa pratensis. No se la recomienda para uso con coeficientes de cultivos derivados de otros cultivos de referenda a menos que sean calibrados.
FLUJO DE ARROYOS
La descarga del flujo en arroyos puede ser estimado de datos limi_ tados utilizando una relacion entre ârea y descarga. La relacion es bien conocida y tiene la siguiente forma:
Q = bAm (8)
en la cual Q es la descarga como por ejemplo la inundaciôn promedio a-nual y A es el area de la cuenta. Los valores de b y m se ajustan para una area determinada.
Con los registros de descarga para cuencas de varios tamanos en un pais o region, se puede hacer un anâlisis de probabilidad de la des carga mensual maxima, la minima o promedio en litros/segundo/Km2. Se puede usar una funciôn sencilla de orden. Entonces se détermina la 75% de probabilidad de la descarga, Q, en litros/segundo/Km2. ge piQ-tea el logarîtmo de A y se encuentra una lïnea de mejor ajuste con la siguiente forma:
log Q = b + m log A (9)
Se determinan los valores de b y m de la lînea.
Si existen registros adecuados de descarga entonces los valores de b y m pueden ser identificados para diferentes regiones, por ejemplo montafias altas y llanuras litorales.
Otro procedimiento que emplea registros de precipitaciôn y descar_ ga puede ser utilizado para predecir el flujo de arroyo total. Bajo ciertas condiciones geolôgicas la base de flujo se demorarâ de la precipitaciôn. Grâficos de lluvia totalizada y flujo totalizado de los registros disponibles pueden indicar cuando y cuanto demora el flujo de la precipitaciôn. Si se identifica un patron entonces se puede re_ lacionar el flujo con probabilidades de precipitaciôn.
ZONAS HIDROLOGICAS
Modelos hidrolôgicos no son muy utiles a menos que se puedan a-
Modelos Hidrolôgicos Sencillos. 171
plicar como herramienta para solucionar problemas de investigaciôn o en la aplicaciôn prâctica como planificacion, diseno y desarrollo. Las Tecnicas anteriormente mencionadas son herramientas valiosas en el ca-so ultimo. Con estos métodos se puede zonificar regiones grandes o paîses enteros segûn sus caracterîstîcas hidrolôgicas y en base a los datos existentes. Se ha hecho para la India, (Prasad, Samani y Har-greaves, (11) y Haiti (Hargreaves y Samani, 9).
Un mëtodo para hacer zonas utilizan los valores de MAI para deli-near areas las cuales no son adecuadas, requieren riegos, o son adecua dos para el desarrollo agrîcola en base a los recursos hîdricos. Por ejemplo, un pais puede ser zonificado como lo siguiente:
MAI<0.33 no adecuado para agricultura
0.34 < MAI<0.80 adecuado para la agricultura con riegos y en cierto nivel para agricultura economi-ca sin riego.
0.81 < MAI<1.33 Adecuado para agricultura sin riego con la mayorïa de cultivos, salvo el arroz.
MAI>1.34 Agua excesiva, no adecuado para agricultura sin buen drenaje natural o hecho por hombre.
Cuando se considéra cualquier transferencia de tecnologîa en la agricultura, es muy importante considerar todos los factores que afec tan el crecimiento de la planta, en especial el agua, energîa y sue -lo. Séria un error serio considerar las zonas hidrolôgicas como un indicador de areas potenciales para mejorar la producciôn de plantas sin considerar la temperatura, el suelo y factores relacionados como plagas. Dependiendo del clima cualquiera de los factores anteriores pueden invalidar los demâs y ser la fuerza principal que limita la pro_ ducciôn del cultive
RESUMEN Y CONCLUSIONES
Se han discutido varios métodos los cuales son utiles para cuanti_ ficar la precipitaciôn, evapotranspiraciôn y flujo de arroyos para un area particular. Estos métodos son faciles de usar y son especialmen-te valiosos para situaciones con bases de datos limitados. La precipitaciôn confiable (PD), la precipitaciôn de 75 por ciento de probabi-lidad, puede ser estimada de la precipitaciôn promedio mensual y ade-mâs la evapotranspiraciôn potencial (ETP) es bien modelada usando datos de temperatura y radiaciôn extraterrestre. El indice de humedad disponible (MAI) se détermina de la PD y la ETP y es util para dividir un pais segûn zonas agrîcolas con riego y sin riego. Las investigacio_
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nés demuestran que valores de profundidad-duracion y profundidad-fre -cuencia de lluvia pueden ser satisfactoriamente aproximados con la re-laciôn de raîz cuarta. La lluvia de 10 anos, 24 horas (p10,24) tam -bien ha sido bien correlacionada con la lluvia mensual ce cinco por-ciento de probabilidad. Con estos dos hechos las profundidades-dura-ciones-frecuencias de lluvia pueden ser determinadas con las distribu ciones probabilîsticas de lluvia mensual. El flujo en arroyos fre-cuentemente ha sido estimado utilizando relaciones de ârea-descarga. Grâficos de lluvia totalizada y flujo totalizado pueden ser manipula-dos para determinar la respuesta de la base futura a la precipitacion. Las zonas hidrologicas de païses son utiles para caracterizar las â-reas que requieren riegos, que son adecuados para la agricultura sin riego o que necesitan el drenaje extensivo.
El primer paso en el manejo de los recursos planta, agua y suelo para optimizar la producciôn de alimentes y fibras es de describir la distribuciôn de estos recursos con el tiempo y en el espacio. Existe la tecnologîa para hacer esto con los datos que hay. Las técnicas s£ fisticadas de modelos hidrolôgicos son muy importantes para mejor en-tender el movimiento y la distribuciôn de agua, sin embargo cabe de-cir que los modelos sencillos hidrolôgicos todavia son efectivos para caracterizar la hidrologîa de un area con propôsitos de planificacion y disefio. Existen datos en muchos païses que son prâcticamente inta£ tos y sin publicar. El anslisis de estos datos con las técnicas ante_ riores puede asistir a un mejor entendimiento de la hidrologîa de un area particular y talvez con estos mismos datos en diferentes formas se puede descubrir nuevas y utiles relaciones.
Cualquier transferencia de tecnologîa en la agricultura siempre debe considerar el anâlisis de los recursos hîdricos en combinaciôn con las caracterîsticas de energîa y suelos. Al comprender la intera cion del agua, la energîa y los suelos con el crecimiento de la planta se aumentarâ significativamente la probabilidad de alcanzar éxitos en el desarrollo de la agricultura.
REFERENCIAS
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