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MODELOS DISCRETOS DE
PROBABILIDAD
M. en C. Juan Carlos Gutierrez Matus
Instituto Politecnico Nacional
2004
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus
Variables Aleatorias Discretas Modelo Uniforme Discreto
Modelo Uniforme Discreto
Sea X una VAD finita, la cual posee n valores especıficos
x1, x2, . . . , xn, cada valor con una probabilidad de 1/n. Esto es,
que su funcion de probabilidad esta definida por:
f(x) =1
n, x = x1, x2, . . . , xn
La media y la varianza de la distribucion uniforme discreta:
E[X] =1
n
n∑
i=1
xi, Var(X) =1
n
n∑
i=1
(xi − E[X])2
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 1
Variables Aleatorias Discretas Modelo Uniforme Discreto
Modelo Uniforme Discreto
Ejemplo: Si seleccionamos aleatoriamente un foco de una caja que
contiene cinco focos, de 40, 60, 75, 100 y 150 watts. Sea X los watts
del foco seleccionado, entonces es una variable aleatoria discreta con:
f(x) =1
5, x = 40, 60, 75, 100, 150
Representacion grafica con un histograma:
f(x)
1/5
1/10
40 60 75 100 150 X
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 2
Variables Aleatorias Discretas Bernoulli
Bernoulli
Definicion: En muchas ocasiones, un experimento aleatorio se
desarrolla al repetir n veces un ensayo. Dicho ensayo tiene dos
resultados que se pueden calificar ya sea como un “exito” o como un
“fracaso”. Ya que las repeticiones son independientes una de la otra,
las probabilidades de exito (p) o fracaso (q = 1 − p) se mantienen
constantes.
A todo el experimento antes descrito se le denomina “Proceso de
Bernoulli” y a cada repeticion se le llama “Ensayo de Bernoulli”,
notacion:
Bern(p)
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 3
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial (n, p)
Distribucion Binomial (n, p)
Definicion: Si X denota el numero de exitos en n ensayos de
Bernoulli con P(exito) = p, entonces X es una Variable Aleatoria
de Binomial, X ∼ Bin(n, p).
La distribucion de esta variable aleatoria discreta es una
Distribucion Binomial con parametros n y p.
f(x) = b(x;n, p) =
(
n
x
)
pxqn−x, x = 0, 1, 2, . . . , n
E[X] = np, Var(X) = npq
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 4
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial (n = 14, p = 0.35)
Distribucion Binomial (n = 14, p = 0.35)
f(x)
X0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
f(x) =
(
14
x
)
pxq14−x
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 5
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial
Distribucion Binomial
Ejemplo: Al seleccionar cinco productos terminados al azar de un
proceso de ensamble, se inspeccionan y se clasifican como defectuosos
y no defectuosos. El hallar un defectuoso se designa como un exito.
La probabilidad de encontrar un defectuoso es del 25% . Encuentre la
probabilidad de encontrar exactamente 3 defectuosos.
No. de Ensayos = 5; No. de Exitos = 3
Probabilidad de Exito = 1/4
b(3; 5, 1/4) =
(
5
3
)(
1
4
)3 (
3
4
)2
= 10 ×9
1024=
45
512
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 6
Variables Aleatorias Discretas Areas de Aplicacion2
Areas de Aplicacion1
“El ingeniero industrial esta muy interesado en la proporcion de
defectuosos en un proceso industrial. A menudo, las mediciones
de control de calidad y los esquemas de muestreo para procesos
se basan en la distribucion binomial. Esta se aplica en cualquier
situacion industrial donde el resultado de un proceso es dicotomico
y los resultados del proceso son independientes, y la probabilidad de
exito o fracaso es importante.”
1Walpone & Myers, “Probabilidad y Estadıstica”, p.119
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Variables Aleatorias Discretas Distribucion Geometrica (p)
Distribucion Geometrica (p)
Suponga que consideramos secuencia infinita de ensayos de Bernoulli
Bern(p).Sea la variable aleatoria X el numero de ensayos hasta que
el primer exito es obtenido.
Entonces, X es una Variable Aleatoria Geometrica,
X ∼ Geom(p). Cuando X = x corresponde a x − 1 fracasos y un
exito. La distribucion de probabilidad de X es una Distribucion
Geometrica:
f(x) = g(x; p) = pqx−1, x = 1, 2, 3, . . .
E[X] = 1p, Var(X) = 1−p
p2
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Variables Aleatorias Discretas Distribucion Geometrica (p = 0.4)
Distribucion Geometrica (p = 0.4)
f(x)
X0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x) = (0.4)(0.6)x−1
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Variables Aleatorias Discretas ¡La Distribucion Geometrica no tiene memoria!
¡La Distribucion Geometrica no tiene memoria!
Suponga que Z ∼ Geom(p). Entonces para los numeros enteros s y
t, tenemos:
P(Z > s + t|Z > s) = P(Z > t)
¿Por que de esta propiedad de no tener memoria?
Si un evento no ha ocurrido para el tiempo s, la probabilidad de
que este ocurrira despues de un tiempo adicional t es la misma la
probabilidad (a priori) que este ocurrira despues de tiempo t. Estos es
que olvido lo que hizo en el tiempo pasado s.
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 10
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Geometrica
Distribucion Geometrica
Ejemplo: En un proceso de fabricacion, se sabe que, en promedio,
uno de cada 50 artıculos esta defectuoso. ¿Cual es la probabilidad
de que el cuarto artıculo que se inspecciona sea el primer artıculo
defectuoso que se encuentra?
Si usamos la distribucion geometrica con x = 4 y p = 1/50.
g(4; 1/50) =
(
1
50
)(
49
50
)3
=
(
117649
6250000
)
≈ 0.019
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 11
Variables Aleatorias Discretas Aplicaciones de la Distribucion Geometrica4
Aplicaciones de la Distribucion Geometrica3
Situaciones en que los ingenieros o administradores intentan determinar
cuan ineficiente es un sistema durante el periodo de tiempo utilizado.
Claramente, las pruebas se realizarıan antes de que estas representen
un costo. Si hay una alta probabilidad de que el sistema falle, entonces
se deben hacer planes para redisenar el sistema.
3Walpone & Myers, “Probabilidad y Estadıstica”, p.135
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 12
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial Negativa (p) o Distribucion Pascal
Distribucion Binomial Negativa (p) o Distribucion Pascal
Suponga que consideramos secuencia infinita de ensayos de Bernoulli
Bern(p). Sea la variable aleatoria X el numero de ensayos hasta
obtener el k − esimo exito.
Entonces, X es una Variable Aleatoria Binomial Negativa,
X ∼ NegBin(k, p). La distribucion de probabilidad de X es una
Distribucion Binomial Negativa:
f(x) = b∗(x; k, p) =(
x−1k−1
)
pkqx−k, x = k, k + 1, k + 2, . . .
E[X] = kp, Var(X) = k(1−p)
p2
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Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial Negativa (k = 3, p = 0.35)
Distribucion Binomial Negativa (k = 3, p = 0.35)
f(x)
X0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
f(x) =(
x−12
)
p3qx−3
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 14
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Binomial Negativa
Distribucion Binomial Negativa
Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza
tres monedas obtenga solo aguilas o solo soles por segunda vez en el
quinto lanzamiento.
x = 5, k = 2, p =1
4
b∗(5; 2, 1/4) =
(
4
1
) (
1
4
)2 (
3
4
)3
=4!
1!3!·33
45=
27
256
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 15
Variables Aleatorias Discretas Aplicaciones de la Distribucion Binomial Negativa6
Aplicaciones de la Distribucion Binomial Negativa5
Las aplicaciones son muy similares en naturaleza a las de la distribucion
geometrica. Los intentos son costos en algun sentido y ocurren en
sucesion. Una alta probabilidad de que se requiera un numero grande
de intentos para experimentar un numero fijo de exitos no es benefica
para el ingeniero.
5Walpone & Myers, “Probabilidad y Estadıstica”, p.135
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 16
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Hipergeometrica
Distribucion Hipergeometrica
¿La recuerdan? Esta vez, la variable aleatoria hipergeometrica X
representa el numero de exitos de una muestra aleatoria de tamano n
que se selecciona de N artıculos, de los que k se denominan “exitos”
y N − k “fracasos”.
f(x) =
(
k
x
)(
N − k
n − x
)
(
N
n
) , x = 0, 1, 2, . . . , n
E[X] =nk
N, Var(X) =
N − n
N − 1· n ·
k
N
(
1 −k
N
)
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 17
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Hipergeometrica (N = 50, n = 12, k = 20)
Distribucion Hipergeometrica (N = 50, n = 12, k = 20)
f(x)
X0.00
0.02
0.04
0.06
0.09
0.11
0.13
0.15
0.17
0.19
0.21
0.24
0.26
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x) =
(
20
x
)(
30
12 − x
)
(
50
12
)
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 18
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Hipergeometrica
Distribucion Hipergeometrica
Ejemplo7: Lotes de 50 componentes cada uno se denomina aceptable
si no contiene mas de tres de defectuosos. El procedimiento para
muestrear el lote es la seleccion de 6 componentes al azar y rechazar
todo el lote si se encuentra algun componente defectuoso. ¿Cual es
la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la
muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?
7Walpone & Myers, “Probabilidad y Estadıstica”, p.127
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 19
Variables Aleatorias Discretas Relacion entre la Hipergeometrica y la Binomial
Relacion entre la Hipergeometrica y la Binomial
Cuando n es pequeno comparado con N , la naturaleza de los N
artıculos cambia muy poco, esto es N − n ≈ N . De esta forma,
la cantidad k/N se aproxima a ser constante y juega el mismo
papel que el parametro binomial p. Ası, la distribucion binomial se
puede ver como una version de poblacion grande de las distribuciones
hipergeometricas.
µ = np =nk
N, σ2 = npq = n ·
k
N
(
1 −k
N
)
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 20
Variables Aleatorias Discretas Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Sea N(t) un proceso de conteo. Esto es, N(t) es el numero de
ocurrencias (o arribos, o eventos) de algun proceso sobre el intervalo
de tiempo [0, t].
Sea λ > 0 el numero promedio de ocurrencias por unidad de tiempo
(o longitud o volumen).
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 21
Variables Aleatorias Discretas Proceso de Poisson
Proceso de Poisson
Un Proceso de Poisson es un proceso de conteo particular, que
cumple con lo siguiente:
(1) El numero de resultados en dos intervalos mutuamente
excluyentes, son independientes. Por lo que el proceso Poisson no
tiene memoria.
(2) Los resultados ocurren uno a la vez y a un ritmo de
λ/unidad de tiempo y este no cambia con el tiempo.
(3) La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un
intervalo muy pequeno es proporcional a la longitud del intervalo y no
depende de el numero de resultados que suceden fuera de este.
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 22
Variables Aleatorias Discretas Distribucion de Poisson
Distribucion de Poisson
Sea X el numero de resultados en un proceso Poisson(λ) en una
unidad del intervalo de tiempo. Entonces X tiene una Distribucion
de Poisson con parametro λ. Notacion: X ∼ Pois(λ).
p(x;λ) =e−λλx
x!, x = 0, 1, 2, . . . , λ > 0
E[X] = Var(X) = λ
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 23
Variables Aleatorias Discretas Distribucion Poisson (λ = 4.0)
Distribucion Poisson (λ = 4.0)
f(x)
X0.00
0.02
0.04
0.06
0.09
0.11
0.13
0.15
0.17
0.19
0.21
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x) =e−44x
x!
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 24
Variables Aleatorias Discretas Distribucion de Poisson
Distribucion de Poisson
Nota: El valor de λ puede ser cambiado simplemente al cambiar las
unidades de tiempo.
Ejemplo:
X = # de llegadas en 1 minuto. X ∼ Pois(3)
Y = # de llegadas en 5 minutos. Y ∼ Pois(15)
Z = # de llegadas en 10 segundos. Z ∼ Pois(0.5)
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 25
Variables Aleatorias Discretas Distribucion de Poisson
Distribucion de Poisson
Ejemplo: El numero de arribos a las instalaciones de servicio, siguen
una distribucion Poisson con media de 3 arribos/hr. ¿Cual es la
probabilidad de que arriben menos 4 durante un periodo de 40 minutos?
Sea X el numero arribos en 40 minutos.
Entonces X ∼ Pois(2).
E[X] = Var(X) = 2
P(X ≤ 3) =3
∑
x=0
p(x; 2) =3
∑
x=0
e−22x
x!
IPN – UPIICSA c©2004 Juan C. Gutierrez Matus 26