Modelos de Computación I Tema 2: Autómatas Finitosdecsai.ugr.es/~smc/docencia/mci/tr2.pdf · alumno por una asignatura, por ejemplo, Modelos de Computación I. El alfabeto de entrada

Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos

Serafín MoralDepartamento de Ciencias de la Computación

Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.1/88

Contenido

Autómata Finito Determinista

Autómata Finito No-Determinista

Autómata Finito con Transiciones Nulas

Expresiones Regulares

Gramáticas Regulares

Autómatas con Salida: Máquinas de Moore y de Mealy


Importancia de los autómatas finitos

Son importantes en las siguientes tareas:

Software para el diseño y verificación de circuitos digitales.

Construcción de analizadores léxicos de compiladores.

Software para analizar grandes conjuntos de textos parabuscar palabras, estructuras u otros patrones (p.e. páginasweb).

Software para comprobar la corrección de cualquier tipo desistemas que tengan un número finito de estados diferenes(p.e. protocolos de comunicación).


Ejemplo Introductorio

Vamos a diseñar un autómata que reconozca el paso de unalumno por una asignatura, por ejemplo, Modelos deComputación I.El alfabeto de entrada contendrá los siguientes elementos:

P: El alumno se presenta a un examen.

N: El alumno no se presenta a un examen.

A: El alumno aprueba un examen.

S: El alumno suspende un examen.



Inicio



Inicio Febr.

Dec2

P

N



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1P

NA

S



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1

Sept1.

P

NA

SP



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1

Sept1. Fin2

P

NA

SP

AS



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1

Sept1. Fin2

Sept2.

Dec3

P

NA

SP

N

AS

N

P



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1

Sept1. Fin2

Sept2.

Dec3

P

NA

SP

N

AS

N

P

A

S



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1

Sept1. Fin2

Sept2.

Dec3

Dic.

P

NA

SP

N

AS

N

P

A

S

P

N



Inicio Febr.

Dec2

Fin1

Dec1

Sept1. Fin2

Sept2.

Dec3

Dic.Fin3

P

NA

SP

N

AS

N

P

A

S

P

A

N

S


AUTOMATA FINITO DETERMINISTA

Un autómata finito es una quintupla M = (Q,A,δ,q0,F) donde

Q es un conjunto finito llamado conjunto de estados

A es un alfabeto llamado alfabeto de entrada

δ es una aplicación llamada función de transición

δ : Q×A → Q

q0 es un elemento de Q, llamado estado inicial

F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de estadosfinales.


Ejemplo

Sea el autómata M = (Q,A,q0,δ,F), donde

Q = {q0,q1,q2}

A = {a,b}

La función de transición viene dada por:

δ(q0,a) = q1, δ(q0,b) = q2,

δ(q1,a) = q1, δ(q1,b) = q2,

δ(q2,a) = q1, δ(q2,b) = q0

F = {q1}


Diagrama de Transición

Es un grafo en el que:

Hay un nodo por cada estado

Por cada transición δ(q,a) = p hay un arco de q a p con la etiqueta a.

El estado inicial está indicado con un ángulo entrante. Los estadosfinales están indicados con una doble circunferencia.

q0 q1

q2

a

b

bba

a


Cálculo Asociado. Traza

q0 q1

0

1

1 0

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1Estado finalSI



q0 q1

0

1

1 0

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1Estado finalSI



q0 q1

0

1

1 0

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1Estado finalSI



q0 q1

0

1

1 0

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1Estado finalSI



q0 q1

0

1

1 0

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

Estado finalSI


PROCESO DE CALCULOAutómata M = (Q,A,δ,q0,F)

Descripción Instantánea o Configuración:Un elemento de Q×A∗: (q,u).

Configuración Inicial para u ∈ A∗: (q0,u)

Relación paso de cálculo entre dos configuraciones:

((q,au) ` (p,u)) ⇔ δ(q,a) = p)

De una configuración sólo se puede pasar a lo máximo auna configuración en un paso de cálculo.


Proceso de Cálculo

Relación de cálculo entre dos configuraciones:

((q,u)∗

` (p,v)) si y solo si existe una sucesión deconfiguraciones C0, . . . ,Cn tales que C0 = (q,u),Cn = (p,v) y∀i ≤ n−1,Ci `Ci+1.

Lenguaje Aceptado por un Autómata Finito

L(M) = {u ∈ A∗ : (q0,u)∗

` (q,ε),q ∈ F}

Las palabras de L(M) se dicen aceptadas por el autómata.


Ejemplo. Cálculo Asociado

q0 q1

(100,q0) ` (00,q0) ` (0,q1) ` (ε,q1)

(100,q0)∗

` (ε,q1), 100 aceptada

0

1

1 0

1 0 0

q0 q1

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

�

1 0 0

q0 q1

Estado finalSI


Ejemplo

q0 q1

1

1

0 0

Acepta el conjunto de palabras con un número impar de 1.


Ejemplo

q0 q1

1

1

0 0

Acepta el conjunto de palabras con un número impar de 1.


Comunicaciones Correctas

R RF

E RD

S

B

HZB,D,Z,H

B,H,S

S,Z,D

B,D,Z,H,S D

R: Estado de espera RF: Estado de recepción de ficheros

RD: Recepción de datos E: Error

S: Comienza recepción B: Fin de recepciónH: Cabecera de fichero Z: Fin de ficheroD: Datos


Constantes Reales

Gramática G = (V,T,P,S), donde

T = {+,−,E,0,1, . . . .,9, .}

V = {< Signo >,< Digito >,< Natural >,< Entero >,< Real >}

S =< Real >

P contiene las siguientes producciones

< Signo >→ +|−

< Digito >→ 0|1|2|3|4|5|6|7|8|9

<Natural>→<Digito> | <Digito><Natural>

<Entero>→<Natural> | <Signo><Natural>

<Real>→<Entero> | <Entero>.

<Real>→<Entero> . <Natural>

<Real>→<Entero> . <Natural> E <Entero>


Autómata FinitoT es el conjunto de los símbolos terminales.

q0

q2

q1

q3

q8

q4

q5

q6

q7

+,−

0, . . . ,9

0, . . . ,9

. 0, . . . ,9E

0, . . . ,9

+,−

0, . . . ,9

E,+,−, .

E,+,−, .

0, . . . ,9 0, . . . ,9 0, . . . ,9

T

+,−, .E,+,−

E, .

E,+,−, .

E,+,−, .

E, .


Autómatas Finitos No Deterministas

Un autómata finito no determista es una quintuplaM = (Q,A,δ,q0,F) en la que




δ : Q×A →℘(Q)


F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de estadosfinales.


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

Se pueden usar también diagramas de transición.

Puede haber estados que para una entrada tenga dostransiciones. Por ejemplo, q0 cuando lee 0 puede quedarse en q0

o pasar a q1.

También puede haber estados que para una entrada no tenganninguna transición: desde q1 no se puede leer el 0.

Acepta el conjunto de las palabras que tienen a 010010 comosubcadena: palabras que se pueden leer pasando de q0 a unestado final.


EjemplosTambién es no-determinista:

r0 r1 r2a c

b

Acepta cadenas formadas por una a, una sucesión de b y una c.

Se puede transformar en uno determinista que acepte el mismolenguaje añadiéndole un estado de error donde vayan todas lastransiciones no definidas en el autómata anterior:

r0 r1 r2

r3

a c

b,ca

a,b,c

b

a,b,c


EjemplosTambién es no-determinista:

r0 r1 r2a c

b

Acepta cadenas formadas por una a, una sucesión de b y una c.Se puede transformar en uno determinista que acepte el mismolenguaje añadiéndole un estado de error donde vayan todas lastransiciones no definidas en el autómata anterior:

r0 r1 r2

r3

a c

b,ca

a,b,c

b

a,b,c Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.19/88

Ejemplo: Constantes realesAutómata determinista:

q0

q2

q1

q3

q8

q4

q5

q6

q7

+,−

0, . . . ,9

0, . . . ,9

. 0, . . . ,9E

0, . . . ,9

+,−

0, . . . ,9

E,+,−, .

E,+,−, .

0, . . . ,9 0, . . . ,9 0, . . . ,9

T

+,−, .E,+,−

E, .

E,+,−, .

E,+,−, .

E, .


Ejemplo: Constantes realesAutómata no determinista:

q0

q2

q1

q3

q8

q4

q5

q6

+,−

0, . . . ,9

0, . . . ,9

. 0, . . . ,9E

0, . . . ,9

+,−

0, . . . ,9

0, . . . ,9 0, . . . ,9 0, . . . ,9


PROCESO DE CALCULOAutómata no determinista M = (Q,A,δ,q0,F)



Relación paso de cálculo entre dos configuraciones:

((q,au) ` (p,v)) ⇔ p ∈ δ(q,a))

De una configuración se puede pasar a variasconfiguraciones distintas en un paso de cálculo, e incluso aninguna.


Proceso de Cálculo


((q,u)∗


Lenguaje Aceptado por un AF no-determinista

L(M) = {u ∈ A∗ : ∃q ∈ F,(q0,u)∗

` (q,ε)}



Definiciones

Dado un autómata M = (Q,A,δ,q0,F), definimos

Si B ⊆ Q,δ∗(B,a) =

⋃

q∈B

δ(q,a)

Si B ⊆ Q,

δ∗(B,ε) = B

δ∗(B,au) = δ∗(δ∗(B,a),u)

δ∗(q,u) = δ∗({q},u)

δ∗(B,u) es igual a todos los estados a los que se puede llegar desdecualquiera de los estados de B después de leer la palabra u.


Equivalencia Aut. Deterministas ↔ No-Determistas

Podemos considerar que todos los autómatasdeterministas son también autómatas no-deterministas, enlos que δ(q,a) tiene siempre un y sólo un estado.

Así, todo lenguaje L aceptado por un autómata deterministaes aceptado también por un autómata no-determinista (élmismo).

Con los autómatas no-deterministas no aceptamos máslenguajes que con los deterministas: todo lenguajeaceptado por un autómata no-determinista lo será tambiénpor uno determinista (lo veremos a continuación).

Con los autómatas no-deterministas no ampliamos lafamilia de lenguajes aceptados por los autómtasdeterministas. Simplemente, tenemos más opciones pararepresentar un lenguaje. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.25/88

Aut. No Determinista → Aut. Determinista

Dado un AFND M = (Q,A,δ,q0,F) se llama autómata deterministaasociado a M, al autómata M̄ = (Q̄,A, δ̄, q̄0, F̄) dado por

Q̄ =℘(Q)

q̄0 = {q0}

δ̄(B,a) = δ∗(B,a) =⋃

q∈B δ(q,a)

F̄ = {B ∈℘(Q) | B∩F 6= /0}

Dado un autómata no determinista se le hace corresponder unodeterminista que recorre todos los caminos al mismo tiempo.

Un autómata no-determinista y su determinista asociado aceptan elmismo lenguaje


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0}

{q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1}

{q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1}

{q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0

1 0


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2}

{q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1

1 0


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 01 0


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 01 0

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5}

{q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5}

{q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

01

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5}

{q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

001

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

01

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6}

{q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

01

0

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6}

{q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6}

{q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

0

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6}

{q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6}

{q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

10

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6}

{q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6}

{q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

10

10

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6}

{q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

10

1 01


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

10

1 01

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

10

1 0

0

1

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

10

1 0

0

1

1

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

1 00

1 0

0

1

1

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

1 0

1

0

1 0

0

1

1

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

1 0

1

00

1 0

0

1

1

1


Ejemplo

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q60 1 0 0 1 0

0,1 0,1

{q0} {q0,q1} {q0,q2} {q0,q1,q3}

{q0,q2,q5} {q0,q1,q4}

{q0,q1,q6} {q0,q1,q4,q6} {q0,q1,q3,q6}

{q0,q6} {q0,q2,q5,q6} {q0,q2,q6}

0 1 0

0

1

011

0

100

1 0

1

00

1 0

0

1

1

1

1


AF No Deterministas con Transiciones Nulas

Un autómata finito no determinista con transiciones nulas es una quintuplaM = (Q,A,δ,q0,F) en la que




δ : Q× (A∪{ε}) →℘(Q)


F es un subconjunto de Q, llamado conjunto de estados finales.


Opciones

q j qk qs

qi ql qm qn

qr qt qw

a

a

ε

ε

a

ε ε

ε

ε

Desde el estado qi se puede llegar a los estados:q j,qk,qs,qm,qn,qt ,qw después de leer una a.


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

El lenguaje aceptado es L = {0i1 j2k : i, j,k ≥ 0}.


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

El lenguaje aceptado es L = {0i1 j2k : i, j,k ≥ 0}.


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

El lenguaje generado es L = {aib2 jck : i,k = 0,1 y j ≥ 0}.


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

El lenguaje generado es L = {aib2 jck : i,k = 0,1 y j ≥ 0}.


Utilidad

Conjunto de palabras que tienen a 0110 o a 1000 como subcadena.

q0 q1 q2 q3 q4

r0

p0 p1 p2 p3 p4

0,1 0,1

0,1 0,1

0 1 1 0

1 0 0 0


Utilidad


q0 q1 q2 q3 q4

r0

p0 p1 p2 p3 p4

0,1 0,1

0,1 0,1

0 1 1 0

1 0 0 0


Utilidad


q0 q1 q2 q3 q4

r0

p0 p1 p2 p3 p4

0,1 0,1

0,1 0,1

0 1 1 0

1 0 0 0

ε

ε


PROCESO DE CALCULOPara un Autómata Finito con Transiciones NulasM = (Q,A,δ,q0,F)



Relación paso de cálculo entre dos configuraciones:((q,u) ` (p,v)) si y solo si se da una de las condiciones

((u = av)∧ p ∈ δ(q,a)) (caso: ((q,av) ` (p,v)))((u = v)∧ p ∈ δ(q,ε)) (caso: ((q,v) ` (p,v)))

De una configuración se puede pasar a variasconfiguraciones distintas en un paso de cálculo, e incluso aninguna.


Proceso de Cálculo


((q,u)∗


Lenguaje Aceptado por un ε-AF no-determinista

L(M) = {u ∈ A∗ : ∃q ∈ F,(q0,u)∗

` (q,ε)}



AFD ↔ ε-AFND

Dado un autómata finito determinista M existe un autómatano determinista con transiciones nulas M que acepta elmismo lenguaje: L(M) = L(M)Es inmediato: sería un autómata en el que para cadasímbolo del alfabeto de entrada hay siempre una opción ypara cada estado δ(q,ε) = /0.

Dado un autómata finito no determinista con transicionesnulas M existe un autómata finito determinista M queacepta el mismo lenguaje: L(M) = L(M)


AFD ↔ ε-AFND

Dado un autómata finito determinista M existe un autómatano determinista con transiciones nulas M que acepta elmismo lenguaje: L(M) = L(M)Es inmediato: sería un autómata en el que para cadasímbolo del alfabeto de entrada hay siempre una opción ypara cada estado δ(q,ε) = /0.

Dado un autómata finito no determinista con transicionesnulas M existe un autómata finito determinista M queacepta el mismo lenguaje: L(M) = L(M)


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2}

{q1,q2}

{q2} /0


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2}

{q1,q2}

{q2} /0

0


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

0


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2}

/0

1

2

0


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 0

0


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 0

0 1


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 02

0 1


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 020,1

0 1


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 020,1

0 1

2


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 020,1

0 1

2 0,1,2


Ejemplo

q0 q1 q2ε ε

0 1 2

{q0,q1,q2} {q1,q2}

{q2} /0

1

2 020,1

0 1

2 0,1,2


ε-AFND → autómata determinista

Dado M = (Q,A,δ,q0,F) se define:Clasura de un estado:

Cl(q)= {p : ∃p1, . . . , pn, p1 = q,qn = p, pi ∈ δ(pi−1,ε) (i = 2, . . . ,n)}

Clasura de un conjunto de estados: Cl(P) =⋃

q∈PCl(q)

Autómata Finito Determinista M = (Q,A,δ,q0,F)

Q =℘(Q)

δ(P,a) = Cl(⋃

q∈P δ(q,a))

q0 = Cl(q0)

F = {P : P∩F 6= /0}Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.37/88

Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2}

{q3}

{q1,q2} {q2} /0


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2}

{q3}

{q1,q2}

{q2} /0

a


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2}

{q2} /0

a

b


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2}

/0

a

b

c


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

a


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

a

b


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

c

a

b


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

c

a,c

a

b


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

c

a,c

a

bb


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

c

a,c

a,b,c

a

bb


Ejemplo

q0 q1 q2

q3

b b

a,ε c,ε

{q0,q1,q2} {q3}

{q1,q2} {q2} /0

a

b

c

c

a,c

a,b,c

a

bb

a,b,c


EXPRESIONES REGULARES

Si A es un alfabeto, una expresión regular sobre este alfabeto se define de lasiguiente forma:

/0 es una expresión regular que denota el lenguaje vacío.

ε es una expresión regular que denota el lenguaje {ε}.

Si a ∈ A, a es una expresión regular que denota el lenguaje {a}

Si r y s son expresiones regulares denotando los lenguajes R y Sentonces definimos las siguientes operaciones:

Unión: (r+ s) es una expresión regular que denota el lenguaje R∪S.

Concatenación: (rs) es una expresión regular que denota el lenguajeRS.

Clausura: r∗ es una expresión regular que denota el lenguaje R∗.


Ejemplos

A = {0,1}

00

El conjunto {00}

01∗ +0 Conjunto de palabras que empiezan por 0 y después tienen

una sucesión de unos.

(1+10)∗ Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidos

siempre por unos

(0+1)∗011 Conjunto de palabras que terminan en 011

0∗1∗ Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguida

de una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías

00∗11∗ Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros

seguida de una suceción de unos. Niguna de las sucesiones puede ser vacía

A r∗r se le denota como r+. La última expresión regular quedaría 0+1+


Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}

01∗ +0 Conjunto de palabras que empiezan por 0 y después tienenuna sucesión de unos.

(1+10)∗ Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidossiempre por unos


0∗1∗ Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguidade una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías





Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}

01∗ +0

Conjunto de palabras que empiezan por 0 y después tienenuna sucesión de unos.








Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}

01∗ +0 Conjunto de palabras que empiezan por 0 y después tienen unasucesión de unos.








Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}


(1+10)∗

Conjunto de palabras en las que los ceros están precedidossiempre por unos







Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}









Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}



(0+1)∗011

Conjunto de palabras que terminan en 011






Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}









Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}




0∗1∗

Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros seguidade una suceción de unos. Ambas sucesiones pueden ser vacías





Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}









Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}





00∗11∗

Conjunto de palabras formadas por una sucesión de ceros




Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}






de una suceción de unos. Niguna de las sucesiones puede ser vacía



Ejemplos

A = {0,1}00 El conjunto {00}






de una suceción de unos. Niguna de las sucesiones puede ser vacía



Ejemplos - Alfabeto {0,1}Construir una expresión regular para las palabras con un número par deceros.

1∗ (01∗01∗)∗

Construir una expresión regular para las palabras que contengan a 0110como subcadena.

(0+1)∗0110(0+1)∗

Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que empiezanpor 000 y después no aparece nunca más esta cadena.

(000)(1+10+100)∗

Construir una expresión regular para el conjunto de palabras que tienen a000 o a 101 como subcadena

(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗



1∗ (01∗01∗)∗


(0+1)∗0110(0+1)∗


(000)(1+10+100)∗


(0+1)∗(000+101)(0+1)∗


Propiedades de las Expresiones Regulares

1. r1 + r2 = r2 + r1

2. r1 +(r2 + r3) = (r1 + r2)+ r3

3. r1(r2r3) = (r1r2)r3

4. rε = r

5. r /0 = /0

6. r+ /0 = r

7. ε∗ = ε

8. r1(r2 + r3) = r1r2 + r1r3

9. (r1 + r2)r3 = r1r3 + r2r3

10. r+ + ε = r∗

11. r∗ + ε = r∗

12. (r+ ε)∗ = r∗

13. (r+ ε)+ = r∗

14. (r∗1 + r∗2)∗ = (r1 + r2)

∗

15. (r∗1r∗2)∗ = (r1 + r2)

∗


Equivalencia Autómatas - Expresiones Regulares

La familia de los lenguajes aceptados por los autómatasfinitos coincide con la familia de lenguajes que puedenrepresentarse mediante expresiones regulares.

Esto se demostrará comprobando:

Dada una expresión regular, existe un autómata queacepta el mismo lenguaje que el representado por laexpresión regular.Dado un autómata finito existe siempre una expresiónregular que representa el lenguaje aceptado por elautómata.

La primera transformación es más útil, ya que inicialmentelos lenguajes se representan mediante expresionesregulares y después necesitamos algoritmos (autómatas)que reconozcan estos lenguajes. Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.43/88

Expresión Regular → Autómata

Dada una expresión regular existe un audómata finito que acepta el lenguajeasociado a esta expresión regular.

Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él se

podría construir el autómata determinista asociado.

La construcción del autómata va a ser recursiva.

Para las expresiones regulares iniciales tenemos los siguiente autómatas:

/0 q0

ε q0

a q0 q1a




Vamos a demostrar que existe un AFND con transiciones nulas. A partir de él sepodría construir el autómata determinista asociado.



/0 q0

ε q0

a q0 q1a







/0

q0

ε q0

a q0 q1a







/0 q0

ε q0

a q0 q1a







/0 q0

ε

q0

a q0 q1a







/0 q0

ε q0

a q0 q1a







/0 q0

ε q0

a

q0 q1a







/0 q0

ε q0

a q0 q1a


Autómatas Compuestos: UniónSi M1 es el autómata que acepta el mismo lenguaje que elrepresentado por r1 y M2 el que acepta el mismo lenguaje que el der2, entonces

Unión (r1 + r2)

M1

M2

q01

q11

qi1

q02

q12

q j2



Unión (r1 + r2)

q0

M1

M2

q01

q11

qi1

q02

q12

q j2



Unión (r1 + r2)

q0

M1

M2

q01

q11

qi1

q02

q12

q j2

ε

ε


Unión: Expresión Matemática

En lenguaje matemático, la unión se puede expresar de lasiguiente forma. Si M1 = (Q1,A,δ1,q1

0,F1) y M2 = (Q2,A,δ2,q20,F2)

con Q1 ∩Q2 = /0, entonces el autómata que acepta la unión esM = (Q,A,δ,q0,F) donde

Q = Q1 ∪Q2 ∪{q0},donde q0 6∈ (Q1 ∪Q2) es un nuevo estado.

δ viene definida porδ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ Q1

δ(q,a) = δ2(q,a) si q ∈ Q2

δ(q0,a) = /0 si a ∈ Aδ(q0,ε) = {q1

0,q20}

F = F1 ∪F2


Unión: Expresión Matemática

En lenguaje matemático, la unión se puede expresar de lasiguiente forma. Si M1 = (Q1,A,δ1,q1

0,F1) y M2 = (Q2,A,δ2,q20,F2)

con Q1 ∩Q2 = /0, entonces el autómata que acepta la unión esM = (Q,A,δ,q0,F) donde

Q = Q1 ∪Q2 ∪{q0},donde q0 6∈ (Q1 ∪Q2) es un nuevo estado.

δ viene definida porδ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ Q1

δ(q,a) = δ2(q,a) si q ∈ Q2

δ(q0,a) = /0 si a ∈ Aδ(q0,ε) = {q1

0,q20}

F = F1 ∪F2Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.46/88

Autómatas Compuestos: Concatenación

Concatenación:El autómata para la expresión (r1r2) es

M1 M2

q01 q02

q11

qi1

q12

q j2




M1 M2

q01 q02

q11

qi1

q12

q j2




M1 M2

q01 q02

q11

qi1

q12

q j2

εε


Concatenación: Expresión Matemática

En lenguaje matemático, la concatenación se puede expresarde la siguiente forma. Si M1 = (Q1,A,δ1,q1

0,F1) yM2 = (Q2,A,δ2,q2

0,F2) con Q1 ∩Q2 = /0, entonces el autómata queacepta la concatenación es M = (Q,A,δ,q0,F) donde:

Q = Q1 ∪Q2.

δ viene definida porδ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ Q1 −F1

δ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ F1,a ∈ Aδ(q,ε) = δ1(q,ε)∪{q2

0} si q ∈ F1

δ(q,a) = δ2(q,a) si q ∈ Q2

q0 = q10

F = F2


Concatenación: Expresión Matemática

En lenguaje matemático, la concatenación se puede expresarde la siguiente forma. Si M1 = (Q1,A,δ1,q1

0,F1) yM2 = (Q2,A,δ2,q2

0,F2) con Q1 ∩Q2 = /0, entonces el autómata queacepta la concatenación es M = (Q,A,δ,q0,F) donde:

Q = Q1 ∪Q2.


δ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ F1,a ∈ Aδ(q,ε) = δ1(q,ε)∪{q2

0} si q ∈ F1

δ(q,a) = δ2(q,a) si q ∈ Q2

q0 = q10

F = F2 Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.49/88

Autómatas Compuestos: Clausura

Clausura: El autómata para r∗1 es

M1q01

q11

qi1




M1q01

q11

qi1

ε

ε




M1q01

q11

qi1

q0ε

ε

ε


Clausura: Expresión Matemática

En lenguaje matemático: si M1 = (Q1,A,δ1,q10,F1), entonces el

autómata que acepta la clausura es M = (Q,A,δ,q0,F) donde:

Q = Q1 ∪{q0}, donde q0 6∈ Q1.


δ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ F1,a ∈ Aδ(q,ε) = δ1(q,ε)∪{q0} si q ∈ F1

δ(q0,a) = /0 si a ∈ Aδ(q0,ε) = {q1

0}

q0

F = F1 ∪{q0}


Clausura: Expresión Matemática

En lenguaje matemático: si M1 = (Q1,A,δ1,q10,F1), entonces el

autómata que acepta la clausura es M = (Q,A,δ,q0,F) donde:

Q = Q1 ∪{q0}, donde q0 6∈ Q1.


δ(q,a) = δ1(q,a) si q ∈ F1,a ∈ Aδ(q,ε) = δ1(q,ε)∪{q0} si q ∈ F1

δ(q0,a) = /0 si a ∈ Aδ(q0,ε) = {q1

0}

q0

F = F1 ∪{q0}


Ejemplo

Encontrar un autómata que acepte el mismo lenguaje que elasociado a la expresión regular (0+10)∗011

q1 q2 q3 q4

q5 q6


Ejemplo


q1 q2

1

q3 q4

q5 q6

1


Ejemplo


q1 q2

1q3 q4

0

q5 q6

1 0


Ejemplo


q1

q2

q2 q3 q4

10

q5 q6

1 0ε


Ejemplo


q1

q2

q2 q3 q4

10

q5 q6

0

1 0ε

0


Ejemplo


q1

q2

q2 q3 q4

q5 q6

0+10

q7

1 0ε

0

ε

ε


Ejemplo


q1

q2

q2 q3 q4

q5 q6

(0+10)∗

q7q8

1 0ε

0

ε

ε

ε

ε

ε


Ejemplo


q1

q2

q2 q3 q4

q5 q6

(0+10)∗

q7q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14

0111 0ε

0

ε

ε

ε 0 ε 11 ε

ε

ε


Ejemplo


q1

q2

q2 q3 q4

q5 q6

q7q8 q9 q10 q11 q12 q13 q14

(0+10)∗011

Autómata Resultado

1 0ε

0

ε

ε

ε 0 ε 11 εε

ε

ε

εε


Autómata → Expresión RegularSi L es aceptado por un autómata finito determinista, entoncespuede venir expresado mediante una expresión regular.

Sea el autómata M = (Q,A,δ,q1,F), Q = {q1, . . . ,qn} y q1 es elestado inicial.Sea Rk

i j el conjunto de las cadenas de A∗ que premiten pasar delestado qi al estado q j y no pasa por ningún estado intermediode numeración mayor que k (qi y q j si pueden tener numeraciónmayor que k).Rk

i j se puede definir de forma recursiva:

R0i j =

{

{a : δ(qi,a) = q j} si i 6= j{a : δ(qi,a) = qi}∪{ε} si i = j


Demostración

Para k ≥ 1, tenemos que Rki j está compuesto de dos tipos de

palabras:

Palabras que para ir de qi a q j no pasan por qk: pertenecena Rk−1

i j

Palabras que para ir de qi a q j pasan por qk.Una palabra de este lenguaje está compuesta de trespartes:


Demostración


palabras:


i j


qi qk

x ∈ Rk−1ik


Demostración


palabras:


i j


qi qk

x ∈ Rk−1ik

. . .


Demostración


palabras:


i j


qi qk

x ∈ Rk−1ik

. . .y1 ∈ Rk−1

kk ym ∈ Rk−1kk


Demostración


palabras:


i j


qi qk

x ∈ Rk−1ik

. . .y1 ∈ Rk−1

kk ym ∈ Rk−1kk

q j

z ∈ Rk−1k j


Demostración

qi qk

x ∈ Rk−1ik

. . .y1 ∈ Rk−1

kk ym ∈ Rk−1kk

q j

z ∈ Rk−1k j

Como la palabra y1 . . .ym ∈(

Rk−1kk

)∗, entonces la palabra

completa está enRk−1

ik

(

Rk−1kk

)∗Rk−1

k j

Uniendo las dos partes, obtenemos:

Rki j = Rk−1

i j ∪Rk−1ik

(

Rk−1kk

)∗Rk−1

k j


Demostración

qi qk

x ∈ Rk−1ik

. . .y1 ∈ Rk−1

kk ym ∈ Rk−1kk

q j

z ∈ Rk−1k j


Rk−1kk



ik

(

Rk−1kk

)∗Rk−1

k j


Rki j = Rk−1

i j ∪Rk−1ik

(

Rk−1kk

)∗Rk−1

k j


Demostración

qi qk

x ∈ Rk−1ik

. . .y1 ∈ Rk−1

kk ym ∈ Rk−1kk

q j

z ∈ Rk−1k j


Rk−1kk



ik

(

Rk−1kk

)∗Rk−1

k j


Rki j = Rk−1

i j ∪Rk−1ik

(

Rk−1kk

)∗Rk−1

k j


DemostraciónExpresión regular asociada a Rk

i j −→ rkij

Para k = 0 es inmediato.

r0ij =

{

a1 + . . .+al si i 6= ja1 + . . .+al + ε si i = j

donde {a1, . . . ,al} es el conjunto {a : δ(qi,a) = q j}.Si este conjunto es vacío la expresión regular sería:

r0ij =

{

/0 si i 6= jε si i = j

Cálculo de las expresiones rki j, calculadas las rk−1

i j

Rki j = Rk−1

i j ∪Rk−1ik (Rk−1

kk )∗Rk−1k j −→ rk−1

ij + rk−1ik (rk−1

kk )∗rk−1kj


Demostración

Expresión Regular del lenguaje aceptado por el autómata

L(M) =⋃

q j∈F

Rn1 j

Por tanto, L(M) viene denotado por la expresión regular

rn1j1

+ . . .+ rn1jk

donde F = {q j1, . . . ,q jk}.


Ejemplo

q1 q2 q30 1

0 0,1

1

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε


Ejemplo

q1 q2 q30 1

0 0,1

1

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011

= ε+ ε(ε)∗ε = εr1

12 = r012 + r0

11(r011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε

= εr1

12 = r012 + r0

11(r011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012

= 0+ ε(ε)∗0 = 0r1

13 = r013 + r0

11(r011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0

= 0r1

13 = r013 + r0

11(r011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1

= 1r1

21 = r021 + r0

21(r011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε

= 0r1

22 = r022 + r0

21(r011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0

= ε+00r1

23 = r023 + r0

21(r011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1

= 1+01r1

31 = r031 + r0

31(r011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε

= /0r1

32 = r032 + r0

31(r011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0

= 0+1r1

33 = r033 + r0

31(r011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1

= ε


Ejemplo

r011 = ε

r012 = 0

r013 = 1

r021 = 0

r022 = ε

r023 = 1

r031 = /0

r032 = 0+1

r033 = ε

r111 = r0

11 + r011(r

011)

∗r011 = ε+ ε(ε)∗ε = ε

r112 = r0

12 + r011(r

011)

∗r012 = 0+ ε(ε)∗0 = 0

r113 = r0

13 + r011(r

011)

∗r013 = 1+ ε(ε)∗1 = 1

r121 = r0

21 + r021(r

011)

∗r011 = 0+0(ε)∗ε = 0

r122 = r0

22 + r021(r

011)

∗r012 = ε+0(ε)∗0 = ε+00

r123 = r0

23 + r021(r

011)

∗r013 = 1+0(ε)∗1 = 1+01

r131 = r0

31 + r031(r

011)

∗r011 = /0+ /0(ε)∗ε = /0

r132 = r0

32 + r031(r

011)

∗r012 = 0+1+ /0(ε)∗0 = 0+1

r133 = r0

33 + r031(r

011)

∗r013 = ε+ /0(ε)∗1 = ε


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0

= (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00)

= 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01)

= 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0

= (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00)

=

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01)

=

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0

=

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00)

=

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01)

=

ε+(0+1)0∗1


Ejemplo

r111 = ε

r112 = 0

r113 = 1

r121 = 0

r122 = ε+00

r123 = 1+01

r131 = /0

r132 = 0+1

r133 = ε

r211 = r1

11 + r112(r

122)

∗r121 = ε+0(ε+00)∗0 = (00)∗

r212 = r1

12 + r112(r

122)

∗r122 = 0+0(ε+00)∗(ε+00) = 0(00)∗

r213 = r1

13 + r112(r

122)

∗r123 = 1+0(ε+00)∗(1+01) = 0∗1

r221 = r1

21 + r122(r

122)

∗r121 = 0+(ε+00)(ε+00)∗0 = (00)∗0

r222 = r1

22 + r122(r

122)

∗r122 = ε+00+(ε+00)(ε+00)∗(ε+00) =

(00)∗

r223 = r1

23 + r122(r

122)

∗r123 = 1+01+(ε+00)(ε+00)∗(1+01) =

0∗1

r231 = r1

31 + r132(r

122)

∗r121 = /0+(0+1)(ε+00)∗0 =

(0+1)(00)∗0

r232 = r1

32 + r132(r

122)

∗r122 = 0+1+(0+1)(ε+00)∗(ε+00) =

(0+1)(00)∗

r233 = r1

33 + r132(r

122)

∗r123 = ε+(0+1)(ε+00)∗(1+01) =

ε+(0+1)0∗1Modelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.60/88

Ejemplo

r211 = (00)∗

r212 = 0(00)∗

r213 = 0∗1

r221 = (00)∗0

r222 = (00)∗

r223 = 0∗1

r231 = (0+1)(00)∗0

r232 = (0+1)(00)∗

r233 = ε+(0+1)0∗1

Finalmente la expresión regular para el lenguaje aceptado es:

r312 + r3

13 =

r212 + r2

13(r233)

∗r232 + r2

13 + r213(r

233)

∗r233 =

0(00)∗ +0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(ε+(0+1)0∗1) =

0(00)∗ +0∗1((0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1((0+1)0∗1)∗


Ejemplo

r211 = (00)∗

r212 = 0(00)∗

r213 = 0∗1

r221 = (00)∗0

r222 = (00)∗

r223 = 0∗1

r231 = (0+1)(00)∗0

r232 = (0+1)(00)∗

r233 = ε+(0+1)0∗1


r312 + r3

13 = r212 + r2

13(r233)

∗r232 + r2

13 + r213(r

233)

∗r233 =

0(00)∗ +0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(ε+(0+1)0∗1) =

0(00)∗ +0∗1((0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1((0+1)0∗1)∗


Ejemplo

r211 = (00)∗

r212 = 0(00)∗

r213 = 0∗1

r221 = (00)∗0

r222 = (00)∗

r223 = 0∗1

r231 = (0+1)(00)∗0

r232 = (0+1)(00)∗

r233 = ε+(0+1)0∗1


r312 + r3

13 = r212 + r2

13(r233)

∗r232 + r2

13 + r213(r

233)

∗r233 =

0(00)∗ +0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(ε+(0+1)0∗1) =

0(00)∗ +0∗1((0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1((0+1)0∗1)∗


Ejemplo

r211 = (00)∗

r212 = 0(00)∗

r213 = 0∗1

r221 = (00)∗0

r222 = (00)∗

r223 = 0∗1

r231 = (0+1)(00)∗0

r232 = (0+1)(00)∗

r233 = ε+(0+1)0∗1


r312 + r3

13 = r212 + r2

13(r233)

∗r232 + r2

13 + r213(r

233)

∗r233 =

0(00)∗ +0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1(ε+(0+1)0∗1)∗(ε+(0+1)0∗1) =

0(00)∗ +0∗1((0+1)0∗1)∗(0+1)(00)∗ +0∗1+0∗1((0+1)0∗1)∗


Expresiones Regulares en Unix

Expresión Regular SignificadoCaracteres Normales Ellos mismos+,∗ Superíndices +,*| La unión de los lenguajes[. . .] Cualquier símbolo entre corchetes[a−b] todos los caracteres entre a y b[^. . .] El complementario de [. . .]

? 0 ó 1 repetición de lo anterior{nombre} Se substituye la e.r. nombre{n} n repeticiones de la anterior e.r.{n,m} entre n y m repeticiones de la anterior e.r.∗ El carácter ∗". . ." Los caracteres entre comillas literalmente^,$ Principio, fin de línea


Estructura de un fichero lex

nombre1 er1nombre2 er2nombrei eri

declaglobal1declaglobal2

% %declalocal1declalocal2

er1 accion1;er2 accion2;er3 accion3;% %definiciones de funciones en C


Variables y Procedimientos

yylex() – Programa que reconoce las expresiones regulares y ejecutalas acciones.

main() – Programa principal. Por defecto sólo llama a yylex(). Sepuede redefinir después de los últimos % %

yywrap() – Función que se ejecuta cuando yylex() encuentra un fin defichero. Si devuelve 1 (lo único que hace la versión por defecto) yylex()termina. Si devuelve un 0, yylex() sigue leyendo de la entrada.

yyin – Fichero de entrada (stdin por defecto)

yyout – Fichero de salida (stdout por defecto)

yytext – Variable que contiene la cadena reconocida por yylex()

yyleng – Longitud de la cadena reconocida


Ejemplo

car [a-zA-Z]

digito [0-9]

signo (\-|\+)

suc ({digito}+)

enter ({signo}?{suc})

real1 ({enter}\.{digito}*)

real2 ({signo}?\.{suc})

int ent=0, real=0, ident=0, sumaent=0;

%%

int i;

{enter} {ent++; sscanf(yytext,"%d",&i); sumaent += i;

printf("Numero entero %s\n",yytext);}

({real1}|{real2}) {real++; printf("Num. real %s\n",yytext);}

{car}({car}|{digito})* {ident++; printf("identificador %s\n",yytext);}

.|\n {;}

%%

yywrap()

{printf("Numero de Enteros %d, reales %d, ident %d,

Suma de Enteros %d",ent,real,ident,sumaent); return 1;}


Procedimiento

1. Crear fichero ejemplo con el contenido anterior

2. Ejecutar lex con el fichero creado:lex ejemplo

3. Compilar el programa que crea lex:gcc lex.yy.c -o prog -ll

4. ejecutar el programa prog


Aplicaciones de las Expresiones Regulares

Para búsqueda de patrones (buscar direcciones, enlaces onúmeros de teléfono en páginas web).

Fueron centrales en el desarrollo de Unix:K. Thompson (1968) Regular expressions searchalgorithms. Comm. ACM. 11, 419–422.Existen intrucciones como grep: ’Global (Searh for) RegularExpressions and Print’

K. Thompson está desarrollando un sistema decomunicaciones para teléfonos basado en máquinas deestado finito, desarrollando un lenguaje para crear lasmáquinas. Ver entrevista en:http://www.computer.org/computer/thompson.htm


Aplicaciones de las Expresiones Regulares

Common Applications of Regular Expressions By Richard Lowe enhttp://www.4guysfromrolla.com/webtech/120400-1.shtmlcontiene 4 aplicaciones de expresiones regulares, desde verificación de direcciones de correoelectrónico a dividir un documento en secciones para incorporarlo en una base de datos.

En http://www.webreference.com/js/column5/ podeis ver el uso de expresiones regulares ennavegadores.

Podeis leer un artículo sobre expresiones regulares y Java en:http://developer.java.sun.com/developer/technicalArticles/releases/1.4regex/

En la direcciónhttp://www.mitchenall.com/resources/library/4d/regular_expressions/index.phtml?page=2

podeis ver un ejemplo de uso de expresiones regulares en bases de datos.


Gramáticas Regulares ó tipo 3

Lineales por la derecha.- Cuando todas las producciones tienenla forma

A → uB

A → u

Lineales por la izquierda.- Cuando todas las producciones tienenla forma

A → Bu

A → u


Gramáticas Regulares ó tipo 3

Lineales por la derecha.- Cuando todas las producciones tienenla forma

A → uB

A → u

Lineales por la izquierda.- Cuando todas las producciones tienenla forma

A → Bu

A → u


Ejemplo

Gramática Lineal por la Derecha:

S → 0A, A → 10A, A → ε

Expresión Regular

0(10)∗

Gramática Lineal por la Izquierda:

S → S10, S → 0


Ejemplo


S → 0A, A → 10A, A → ε

Expresión Regular

0(10)∗


S → S10, S → 0


Ejemplo


S → 0A, A → 10A, A → ε

Expresión Regular

0(10)∗


S → S10, S → 0


Gramática Regular → AutómataSi L es un lenguaje generado por una gramática regular, entonces existe unautómata finito determinista que lo reconoce.L es un lenguaje generado por la gramática G = (V,T,P,S) lineal por laderecha. AFND con movimientos nulos que acepta L: M = (Q,T,δ,q,F)

donde

Q = {[α] : (α = S)∨ (∃A ∈V,u ∈ T, tales que A → uα ∈ P)}

q0 = [S]

F = {[ε]}

δ viene definida por

Si A es una variable: δ([A],ε) = {[α] : (A → α) ∈ P}

Si a ∈ T y α ∈ (T ∗V ∪T ∗), entonces

δ([aα],a) = [α]


Ejemplo

Sea la gramática:

S → 0A, A → 10A, A → ε

El autómata que se obtiene es el siguiente:

[S] [0A] [A]

[10A] [ε]


Ejemplo

Sea la gramática:

S → 0A, A → 10A, A → ε


[S] [0A] [A]

[10A] [ε]


Ejemplo

Sea la gramática:

S → 0A, A → 10A, A → ε


[S] [0A] [A]

[10A] [ε]

ε

ε ε


Ejemplo

Sea la gramática:

S → 0A, A → 10A, A → ε


[S] [0A] [A]

[10A] [ε]

ε

ε ε

0

1


Gramáticas Lineales por la IzquierdaGramática lineal por la izquierda, G = (V,T,P,S)

1. Consideraremos la gramática G′ = (V,T,P′,S) donde

P′ = {A → α : A → α−1 ∈ P}

Es inmediato que L(G′) = L(G)−1.2. Sea M′ el autómata finito no-determinista que acepta el lenguaje L(G′).3. Calcular M a partir de M′ invirtiendo el autómata:

Dejar sólo un estado final (ocurre siempre en nuestro caso).

Invertir las transiciones

Intercambiar el estado inicial y el final.

El lenguaje aceptado por M es: L(M′)−1 = L(G′)−1 =(

L(G)−1)−1

= L(G)


Ejemplo

S → S10, S → 0Para construir un AFND con transiciones nulas que acepte estelenguaje se dan los siguientes pasos:

Invertir la parte derecha de las producciones:S → 01SS → 0

Construir el AFND con transiciones nulas asociado

[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1


Ejemplo




[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1


Ejemplo




[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1


Ejemplo Cont.

[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1

Invertimos el autómata

[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1


Ejemplo Cont.

[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1

Invertimos el autómata

[S] [0] [ε]

[1S] [01S]

ε 0

ε

0

1


Autómata → Gramática lineal

Si L es aceptado por un Autómata Finito Determinístico entonces Lpuede generarse mediante una gramática lineal por la derecha y poruna lineal por la izquierda.

Sea L = L(M) donde M = (Q,A,δ,q,F) es un autómata finitodeterminista.La gramática lineal por la derecha es G = (Q,A,P,q0) donde lasvariables son los estados, la variable inicial es q0 y P contiene lasproducciones, p → aq, si δ(p,a) = q

p → ε, si p ∈ F

Para el caso de una gramática lineal por la izquierda, invertimos elautómata, construímos la gramática lineal por la derecha asociada einvertimos la parte derecha de las producciones.



Si L es aceptado por un Autómata Finito Determinístico entonces Lpuede generarse mediante una gramática lineal por la derecha y poruna lineal por la izquierda.Sea L = L(M) donde M = (Q,A,δ,q,F) es un autómata finitodeterminista.La gramática lineal por la derecha es G = (Q,A,P,q0) donde lasvariables son los estados, la variable inicial es q0 y P contiene lasproducciones, p → aq, si δ(p,a) = q





Si L es aceptado por un Autómata Finito Determinístico entonces Lpuede generarse mediante una gramática lineal por la derecha y poruna lineal por la izquierda.Sea L = L(M) donde M = (Q,A,δ,q,F) es un autómata finitodeterminista.La gramática lineal por la derecha es G = (Q,A,P,q0) donde lasvariables son los estados, la variable inicial es q0 y P contiene lasproducciones, p → aq, si δ(p,a) = q




Ejemplo: Gramática Lineal por la Derecha

Consideremos el autómata:q0 q1

q2

0

1

0 0,11

La gramática es (variable inicial q0):

q0 → 0q1, q0 → 1q2, q1 → 0q2, q1 → 1q2

q2 → 0q0, q2 → 1q1, q2 → ε


Ejemplo: Gramática Lineal por la Derecha

Consideremos el autómata:q0 q1

q2

0

1

0 0,11

La gramática es (variable inicial q0):

q0 → 0q1, q0 → 1q2, q1 → 0q2, q1 → 1q2

q2 → 0q0, q2 → 1q1, q2 → ε


Ejemplo: Gramática Lineal por la IzquierdaAutómata de Partida:

Invertimos el autómata:

q0 q1

q2

0

1

0 0,11

q0 q1

q2

0

0

1

0,11

La gramática asociada a este autómata es (variable inicial q2):

q1 → 0q0, q2 → 1q0, q2 → 0q1, q2 → 1q1

q0 → 0q2, q1 → 1q2, q0 → ε

Invertimos la parte derecha de las producciones:

q1 → q00, q2 → q01, q2 → q10, q2 → q11

q0 → q20, q1 → q21, q0 → ε


Ejemplo: Gramática Lineal por la IzquierdaAutómata de Partida: Invertimos el autómata:

q0 q1

q2

0

1

0 0,11

q0 q1

q2

0

0

1

0,11


q1 → 0q0, q2 → 1q0, q2 → 0q1, q2 → 1q1

q0 → 0q2, q1 → 1q2, q0 → ε


q1 → q00, q2 → q01, q2 → q10, q2 → q11

q0 → q20, q1 → q21, q0 → ε



q0 q1

q2

0

1

0 0,11

q0 q1

q2

0

0

1

0,11


q1 → 0q0, q2 → 1q0, q2 → 0q1, q2 → 1q1

q0 → 0q2, q1 → 1q2, q0 → ε


q1 → q00, q2 → q01, q2 → q10, q2 → q11

q0 → q20, q1 → q21, q0 → ε



q0 q1

q2

0

1

0 0,11

q0 q1

q2

0

0

1

0,11


q1 → 0q0, q2 → 1q0, q2 → 0q1, q2 → 1q1

q0 → 0q2, q1 → 1q2, q0 → ε


q1 → q00, q2 → q01, q2 → q10, q2 → q11

q0 → q20, q1 → q21, q0 → εModelos de Computación ITema 2: Autómatas Finitos– p.78/88

Máquinas de Estado FinitoMáquinas de Moore: con salida asociada al estado

Máquinas de Mealy: con salida asociada a la transición

Máquinas de Moore

Una máquina de Moore es una sextupla{(Q,A,B,δ,λ,q0)} donde todo es igual en un AFD, excepto

B alfabeto de salida

λ : Q → B que es una aplicación que hace corresponder a cada estado susalida correspondiente.

Si el autómata lee la cadena u y pasa por los estados q0q1...qn entonces produce lasalida:

λ(q0)λ(q1) . . .λ(qn)

Para la cadena vacía: λ(q0).


Ejemplo

Control de semáforos en un cruce.

��

�1

��

� α2

��

� 3

� ��

4

β


Descripción

Hay cuatro semáforos: 1,2,3,4.

El tráfico más importante se realiza en la calle horizontal y, pordefecto, los semáforos 1 y 3 están abiertos.

Hay dos sensores que detectan si hay coches esperando: αpara el 2 y β para el 4.

Cuando se detectan coches en cualquiera de los dos semáforos,2 ó 4, se cierran los semáforos necesarios y se abre el semáforopara que pasen estos coches.

El alfabeto de entrada está formado por los pares (i, j), i, j = 0,1,donde i indica si α detecta coches y j lo mismo para β.

El alfabeto de salida estará formada por los vectores(C1,C2,C3,C4), donde Ci es el color del semáforo i. Los posiblescolores son: R (Rojo), A (Ámbar), V (Verde).


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,0)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1)

(0,0)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(0,0)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(0,0) (0,1),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

(0,0) (0,1),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0) (0,1),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0),(0,1)

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0),(0,1)

(1,0),(1,1)

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0),(0,1)

(1,0),(1,1)

(0,0)

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0),(0,1)

(1,0),(1,1)

(0,0)

A

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0),(0,1)

(1,0),(1,1)

(0,0)

(0,1)

A

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Moore

q0

(V,R,V,R)

q1

(A,R,A,R)

q2

(R,R,R,V )

q3

(V,R,A,R)

q5

(R,R,R,A)

q6

(V,A,R,R)

q4

(V,V,R,R)

q7

(A,A,R,R)

(0,1),(1,1) A

(1,0)

A

(0,0),(1,0)

(0,0),(0,1)

(1,0),(1,1)

(0,0)

(0,1)

AA

(0,0) (0,1),(1,1)

(1,0),(1,1)


Máquina de Mealy

Una Máquina de Mealy es una sextupla M = (Q,A,B,δ,λ,q0)donde todo es igual que en las máquinas de Moore, exceptoque λ es una aplicación de Q×A en B,

λ : Q×A → B

es decir, que la salida depende del estado en el que está elautómata y del símbolo leido.

Si la entrada es a1 . . .an y pasa por los estados q0,q1, . . . ,qn, lasalida es

λ(q0,a1)λ(q1,a2) . . .λ(qn−1,an)

Si se le suministra ε como entrada produce ε como salida.


Máquina de Mealy

Una Máquina de Mealy es una sextupla M = (Q,A,B,δ,λ,q0)donde todo es igual que en las máquinas de Moore, exceptoque λ es una aplicación de Q×A en B,

λ : Q×A → B

es decir, que la salida depende del estado en el que está elautómata y del símbolo leido.

Si la entrada es a1 . . .an y pasa por los estados q0,q1, . . . ,qn, lasalida es

λ(q0,a1)λ(q1,a2) . . .λ(qn−1,an)

Si se le suministra ε como entrada produce ε como salida.


Ejemplo

Máquina de Mealy que calcula la división entera por tres.

q0 q1

q2

1/0

1/1

0/00/1

0/0

1/1


Ejemplo: Máquina Codificadora

El alfabeto de entrada es {0,1} y el de salida {0,1}. La traducciónviene dada por las siguientes reglas,

Primer símbolo: 0 → 0 1 → 1

Siguientes símbolosSi el anterior es un 0: 0 → 0, 1 → 1Si el anterior es un 1: 0 → 1, 1 → 0

La máquina de Mealy que realiza esta codificación es la siguiente:

q0 q1

1/1

0/1

0/0 1/0

si lee 0101, la salida correspondiente es 0111.


Máquina de Moore → Máquina de Mealy

Una máquina de Moore, M, y una Máquina de Mealy, M′, sedicen equivalentes sii para todo u ∈ A∗, TM(u) = bTM′(u) donde bes la salida correspondiente al estado inicial de la máquina deMoore M.

Teorema: Dada una máquina de Moore M existe una máquinade Mealy M′ equivalente.

Teorema: Dada una máquina de Mealy M existe una máquinade Moore M′ equivalente.


Mealy −→ Moore

Sea M = (Q,A,B,δ,λ,q0) una máquina de Moore,La máquina de Mealy equivalente será M′ = (Q,A,B,δ,λ′,q0),donde

λ′(q,a) = λ(δ(q,a))

Ejemplo

q0/1 q1/0

q0 q1

1

0

0 1


Mealy −→ Moore

Sea M = (Q,A,B,δ,λ,q0) una máquina de Moore,La máquina de Mealy equivalente será M′ = (Q,A,B,δ,λ′,q0),donde

λ′(q,a) = λ(δ(q,a))

Ejemplo

q0/1 q1/0 q0 q1

1

0

1/0

0/1

0 1 0/1 1/0


Máquina de Mealy → Máquina de Moore

Sea M = (Q,A,B,δ,λ,q0) una máquina de Mealy.La máquina de Moore será: M = (Q′,A,B,δ′,λ′,q′

0) donde

Q′ = Q×B

δ′((q,b),a) = (δ(q,a),λ(q,a))

λ′(q,b) = b

q′0 = (q0,b), donde b ∈ B, cualquiera.


Ejemplo

q0 q1

q2

1/0

1/1

0/00/10/0

1/1


Ejemplo

q0 q1

q2

1/0

1/1

0/00/10/0

1/1

(q0,0)

0

(q1,0)

0

(q2,0)

0

(q0,1)

1

(q1,1)

1

(q2,1)

1


Ejemplo

q0 q1

q2

1/0

1/1

0/00/10/0

1/1

(q0,0)

0

(q1,0)

0

(q2,0)

0

(q0,1)

1

(q1,1)

1

(q2,1)

1

0


Ejemplo

q0 q1

q2

1/0

1/1

0/00/10/0

1/1

(q0,0)

0

(q1,0)

0

(q2,0)

0

(q0,1)

1

(q1,1)

1

(q2,1)

1

1

0


Ejemplo

q0 q1

q2

1/0

1/1

0/00/10/0

1/1

(q0,0)

0

(q1,0)

0

(q2,0)

0

(q0,1)

1

(q1,1)

1

(q2,1)

1

1 0

1 0

0 11

1

0

0

0

1


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Modelos de Computación I Tema 2: Autómatas Finitosdecsai.ugr.es/~smc/docencia/mci/tr2.pdf · alumno por una asignatura, por ejemplo, Modelos de Computación I. El alfabeto de entrada