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Ingeniería48 Vol.11 No.2
REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
48
Modelo de planeación de capacidadesutilizando programación fraccionallineal en un contexto de múltiplescriterios de decisión
Dusko KalenaticKalenaticKalenaticKalenaticKalenatic1
César AmilcarCésar AmilcarCésar AmilcarCésar AmilcarCésar AmilcarLópez BelloLópez BelloLópez BelloLópez BelloLópez Bello 2
Leonardo JoséLeonardo JoséLeonardo JoséLeonardo JoséLeonardo JoséGonzález RodríguezGonzález RodríguezGonzález RodríguezGonzález RodríguezGonzález Rodríguez 3
1 Investigador del CITAD,
Universidad de la Sabana.
2 Director grupo de investiga-
ción MMAI de la UniversidadDistrital, Investigador grupo
GIP Universidad Católica de
Colombia, Investigador
CITAD, Universidad de la
Sabana.
3 Director Grupo de Investiga-
ción en Sistemas Logísticos,
CITAD Universidad de la Sa-
bana, Investigador grupo deinvestigación MMAI de la Uni-
versidad Distrital, Investigador
grupo GIP Universidad Cató-
lica de Colombia.
Artículo recibido en Octubre de2006, aprobado para publicación
en Septiembre de 2007
RESUMEN
El presente artículo propone un modelo deplaneación de capacidades para las empresasmanufactureras con un enfoque multi-criterioutilizando programación fraccional. Con él, sepretende enriquecer el proceso de toma deci-siones para evaluar el comportamiento del sis-tema productivo bajo relaciones de producti-vidad parcial y total de los recursos críticos queintervienen en las actividades productivas.
Este modelo es resultado de la investigacióndesarrollada en el marco del proyecto ModelosIntegrales de Planeación de Capacidades. Elmodelo combina técnicas de programaciónmatemática fraccional lineal con técnicas de pro-gramación meta con un enfoque propuesto porlos autores. El modelo se formula bajo el su-puesto de fuerza laboral de carácter polivalente,conforme a las tendencias actuales en la forma-ción de personal, y considera la disponibilidaddel recurso máquina en el contexto de un pro-ceso de producción por etapas.
Con él se pretende generar un soporte teóri-co que se adecue a diferentes situaciones en lascuales una organización puede estar orientan-do su actividad para el aprovechamiento ra-cional de sus recursos, además de fijar unametodología para abordar el problema degestión de la capacidad en un entorno de múl-tiples criterios fraccionales.
La información obtenida con el modelo decriterios múltiples fraccionales, permite la identi-ficación de cuellos de botella además de facilitarel proceso de análisis, programación y planeaciónde la actividad productiva, la medición y evalua-ción de la eficiencia, y la formulación de estrate-gias para el mejoramiento de la productividad yrentabilidad de las organizaciones.
Palabras clave: Gestión de capacidades,Programación lineal, Programación fraccional,Programación multi-objetivo.
ABSTRACT
This paper presents a model of capacityplanning for the manufacturing companies withan approach on fractional multi-criterion. Thismodel tries to enrich decisions making pro-cess to evaluate the behavior of the produc-tive system through relations of partial andwhole productivity of the critical resources thatintervene in the productive activities.
The model combine linear fractional math-ematical programming techniques whit goalprogramming techniques by the way to giveoriginal treatment proposed by the authors. Themodel is formulated whit the assumption ofpolyvalent labor force, in conformity with thecurrent trends in the personnel training, fur-thermore consider the availability of the ma-chine resource in the context of productionprocess multi-stages.
With the related model its tried to give a theo-retical support to different situations in whichan organization can be orientating its activityfor the rational utilization of its resources, be-sides fixing a methodology to approach theproblem of management of the capacity in anenvironment of fractional criteria multiple.
With the fractional criteria multiple model, thegenerated information determine the respectivebottle necks, and facilitating the process of analy-sis, programming and planning of the produc-tive activity, measurements and evaluation of theefficiency, and also the formulation of strate-gies for the improvement of the productivityand profitability of the organizations.
Key words: Capacity management, linearprogramming, fractional programming, multi-objective programming
1. INTRODUCCIÓN
Cotidianamente en la actividad gerencial amediano y largo plazo es importante evaluar el
Ingeniería
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desempeño de la función de operaciones y pro-yectar el crecimiento y desarrollo de las orga-nizaciones, de esta actividad surgeninterrogantes como: ¿Que tan eficiente es laorganización? ¿Como se deben usar los recur-sos para que la empresa sea más productiva?,¿Como hacer que los recursos que intervienenen la producción sean más rentables?, ¿Comohacer que el dinero invertido en la producciónproduzca el mayor beneficio?, ¿será necesarioampliar la capacidad de la organización? , ¿Esnecesario comprar nuevas instalaciones?, ¿Espreponderante aumentar las operaciones?,¿comprar nuevas máquinas?, ¿apropiarse denuevas tecnologías? ¿Se deben construir o ha-bilitar varias instalaciones pequeñas o es mejorconstruir una instalación grande?, todos estoscuestionamientos los deben abordar los admi-nistradores a medida que se concibe una estra-tegia para desarrollar la capacidad y mejorar laproductividad de la empresa.
La actividad productiva se ve afectada porlas limitaciones impuestas por la capacidad dis-ponible de los recursos máquina y por la manode obra, es así como la formulación de laestrategia de ampliación de la capacidad, y losprocesos de planeación y programación delas capacidades productivas se muestran comouna de las temáticas más atractivas para lagestión de las operaciones, de otra parte lagama de objetivos que se presentan en losdiferentes escenarios, dependiendo de la si-tuación particular del sistema bajo estudio, einclusive los propósitos particulares que pre-sentan los subsistemas, orientados por dife-rentes planes, conllevan al desarrollo y for-mulación de un modelo fraccional integral deplaneación de capacidades.
La estrategia para desarrollar la capacidad esun plan de amplio alcance para satisfacer lademanda potencial de los productos y servi-cios que ofrece una organización. [1]
La inversión en la adecuación y adquisiciónde instalaciones, la formulación de alternativaspara el mejoramiento de la productividad, de-sarrollo de nuevos procesos de operación, au-mento en el nivel de la fuerza laboral, comprade maquinaria y equipo son estrategias que porsu importancia tienden a decidirse en los nive-les jerárquicos más altos de las empresas. Laadquisición de nuevas instalaciones y equiposson factores que afectan significativamente la
El término
capacidad se
relaciona a la
potencialidad
técnica y
económica que
posee un
sistema u
organización
productiva.
competitividad de la empresa, si se tiene insu-ficiencia de capacidad no se puede responderrápidamente a las fluctuaciones de la demanday por tanto la perdida de su nicho de merca-do, esto se debe a que la ampliación de la ca-pacidad es una decisión costosa e implica untiempo considerable para habilitar los nuevosequipos a la producción.
De otra parte, la planeación de la produc-ción a nivel táctico requiere de la planeación eidentificación de la disponibilidad de la capa-cidad a mediano plazo, además de la estima-ción de los requerimientos de capacidad pararealizar la provisión de los recursos necesariospara la actividad productiva.
La factibilidad técnica que tienen las máquinasy equipos para realizar determinados produc-tos, así como el ordenamiento secuencial, lostiempos de alistamiento y el grado tecnológicode las operaciones de producción afectan y re-ducen significativamente la disponibilidad de lacapacidad a corto plazo, en otras palabras en elintento de materializar los planes de produc-ción a largo y mediano plazo, en la programa-ción al detalle, existe una diferencia importanteque se debe tomar en cuenta para la planeaciónglobal de la capacidad.
2. ASPECTOS CONCEPTUALES
SOBRE PRODUCTIVIDAD Y
CAPACIDADES PRODUCTIVAS
La importancia que tiene la productividadcomo indicador de rendimiento en las or-ganizaciones, ha generado que las empresasfijen estrategias para su mejoramiento.
La productividad se puede definir como laproducción de bienes o servicios con el usoracional de los recursos que intervienen en laactividad productiva. Autores como Sumath [2]indican que el término productividad tiene tresformas básicas de definición.
Productividad parcial, es la razón entre lacantidad producida y un solo tipo de insumo.
Productividad de factor total, es la razónde la producción neta con la suma asociadacon los insumos de mano de obra y capital.Por producción neta se entiende produccióntotal menos servicios y bienes intermedioscomprados.
Ingeniería50 Vol.11 No.2
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50
Productividad total, es la razón entre laproducción total y la suma de todos los facto-res de insumo.
Normalmente el nivel de producción se tra-duce en cifras monetarias, que al ser evaluadafrente a los recursos o insumos que intervie-nen en la producción originan el concepto derentabilidad, de igual manera los insumos setraducen en términos monetarios lo que facili-ta el proceso de medición.
La capacidad productiva, su análisis,planeación, programación y control, constitu-yen actividades críticas para el mejoramientode la productividad, que se desarrollan parale-lamente con las actividades de programacióny planeación de materiales, siendo la capaci-dad la cantidad de productos o servicios des-tinados a satisfacer las necesidades del cliente ode la sociedad que puede ser obtenida por unaunidad productiva en un determinado perio-do de tiempo. [3]
Otros autores [4] la definen como el volumende producción que se puede alcanzar en un tiem-po determinado o como [5] la velocidad máxi-ma que un sistema puede realizar un trabajo.
Por otra parte, el concepto de capacidadpuede ser definido también a diferentes nive-les jerárquicos de la organización, de acuerdoa los objetivos que en cada caso se persigan, esdecir, a nivel global de todo el sistema pro-ductivo y de sus unidades estructurales, asícomo de las instalaciones, máquinas, equipos ypuestos de trabajo.
Capacidad es el potencial de un trabajador,una máquina, un centro de trabajo, un proce-so, una planta o una organización para fabricarproductos por unidad de tiempo.1
La capacidad de un proceso que genera unaamplia variedad de productos por lo generalse expresa como tasa de producción por uni-dad de tiempo.
Es complicado expresar la capacidad comotasa de producción cuando se produce diver-sidad de productos que requieren diferentesniveles de recursos; para tal situación la tasa deproducción depende de la mezcla de produc-
1Definición de la Sociedad Estadounidensede Control de Producción e Inventarios (APICS)
tos y del tamaño de los lotes, para tal efecto, lacapacidad puede medirse en unidades de re-curso disponible.
Cuando un proceso requiere de una serie deoperaciones, su capacidad se determina por laoperación que ocupa el nivel más bajo en la se-cuencia. La operación que limita la capacidad sedenomina operación cuello de botella.
Una forma de expresar la capacidad cuan-do se refiere a la disponibilidad de un recursorequerido para la producción de una mezclade productos en un espacio de tiempo, comola capacidad del recurso máquina en horas-máquina al año.
El término capacidad se relaciona a la poten-cialidad técnica y económica que posee un siste-ma u organización productiva, sus unidades es-tructurales, las componentes y elementos que locomponen para participar en la elaboración deproductos y/o prestación de servicios de unaforma técnica, racional y económicamente efi-ciente, en un tiempo determinado. De esta ma-nera se puede diferenciar:
Capacidad Técnica, Aquella determinadapor la potencialidad que tiene un sistema, uni-dad estructural, elemento, máquina o personapara realizar una determinada producción y/o servicio en un lapso de tiempo dado, es de-cir el máximo rendimiento posible que se pue-de obtener en su desempeño.
Capacidad Económica, definida en rela-ción a los costos asociados a la producción enun horizonte temporal definido; en otras pala-bras, cuando la organización en su conjuntoobtiene los menores costos por unidad de pro-ducción y/o servicio realizado, garantizándo-se así, el denominado “optimum” técnico –económico. [6]
La capacidad de los medios de producción,en general, puede también diferenciarse, enfunción de la disponibilidad, requerimiento yutilización temporal en:
Capacidad Instalada, es aquella que estápotencial y totalmente disponible para alcan-zar los resultados productivos máximos espe-cificados por un productor. La magnitud deesta capacidad se ve solo disminuida por ra-zones de mantenimiento de los medios de pro-
Para abordar el
problema de
planeación y
programación de
capacidades
productivas en un
contexto de
criterios múltiples
propone un
modelo
metodológico
integral.
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51
ducción, requeridos para garantizar su propiadisponibilidad y utilización en la actividad pro-ductiva. [6].
La capacidad instalada es la cantidad demáquinas y equipo que una organización pro-ductiva posee y el potencial de producción queestos permiten alcanzar. La capacidad instala-da representa la producción posible, si todaslas máquinas y equipos estuvieran trabajandoal 100 % del tiempo ininterrumpido [7]. A suvez, la capacidad instalada puede ser sostenidapor muy cortos periodos de tiempo, así comopocas horas al día o pocos días al mes [8]
Es habitual denominar la capacidad de es-pacio físico como capacidad instalada para elalmacenamiento de productos terminados,productos en proceso y materiales, así comopara la instalación de nuevos equipos y pues-tos de trabajo.
Capacidad Disponible, su magnitud es in-ferior a la de la capacidad instalada y dependede las condiciones de producción, administra-ción y organización, se calcula en función de losdías hábiles, el número de turnos programadosy su longitud, considera las pérdidas de tiempooriginadas por el ausentismo de los trabajado-res, las originadas por factores organizacionalesy por aquellos otros factores externos que deuna u otra forma hacen que se disminuya la ca-pacidad. Las máquinas no se pueden usar a todacapacidad a lo largo del periodo de produc-ción. Hay varias razones para que esto ocurra.
La necesidad de instalación, mantenimientopreventivo, afilado de herramientas, fallas yreparaciones imprevistas reduce el tiempo dis-ponible para la producción. Las máquinas contecnología más antigua son susceptibles de ave-riarse que las nuevas, ocasionando así una me-nor productividad.
Factores relacionados con la fuerza laboral,como el ausentismo, los tiempos de para, lasnecesidades personales, el tiempo de valora-ción de lo producido, los ajustes de las máqui-nas y preparación y alistamiento de las máqui-nas y del material reducen la disponibilidad delrecurso máquina.
Debido a los requerimientos de calidad enlos procesos de producción, tienen asociadoscierta perdida de capacidad inclusive cuando
el equipo este adecuadamente instalado y seopere correctamente. Además se pierde algu-na producción al desechar algunas unidades de-fectuosas cuando la máquina esta operandomal o se produce incorrectamente producién-dose piezas con la calidad no deseada.
En ciertas situaciones se les asigna más deuna máquina a un solo operario, lo cual se co-noce como acoplamiento de máquina. Estose determina dividiendo el tiempo de ciclo totalen dos partes, a saber el tiempo de la máquinay el tiempo del trabajador. El tiempo de má-
quina es aquel en que la máquina está funcio-nando sin asistencia del operario, y el tiempo
del operario es aquel en donde el trabajadorestá con la máquina inactiva, realizando porejemplo actividades de alimentación y carga delas máquinas. Cuando el tiempo de máquina esrelativamente más grande que el tiempo deltrabajador es usual que en este tiempo de ope-ración de la máquina el trabajador realice acti-vidades de carga de otras máquinas. Por lo tan-to es posible que a un operario se la asignevarias máquinas en su actividad productiva.
En el sistema de conversión, un problemade desperfecto en una máquina o una produc-ción defectuosa puede afectar la producciónde otras máquinas del proceso productivo. Asímismo, un operario ocupado en tratar de so-lucionar un problema, o corregir una produc-ción defectuosa pude descuidar las demás má-quinas que requieren de la manipulación deloperario para su funcionamiento.
El tiempo disponible para la producción nose incrementa en la misma proporción que elnúmero de turnos; la programación de otro tur-no de producción no añade otras 8 horas deproducción. La perdida de tiempo de produc-ción aumenta por que el tiempo libre disponi-ble para reparaciones disminuye. Por ejemplo sien algún momento una máquina se avería, usual-mente su reparación se realizaría en el segundoturno de trabajo, lo cual haría que se disminuye-ra el tiempo destinado para la producción deese segundo turno. De otra parte factores comola falta de material, la falta de ayuda técnica, elausentismo de los trabajadores afectan el rendi-miento y la capacidad en mayor grado en elsegundo turno que en el primero. En general elgrado de ausentismo es mayor en el segundoturno y aún más en el tercero.
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REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
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3. ASPECTOS CONCEPTUALES
SOBRE PROGRAMACIÓN
FRACCIONAL LINEAL Y
PROGRAMACIÓN META
La presencia de modelos con estructuras derelación para medir eficiencia conduce a la for-mulación y solución de problemas mediante laprogramación fraccional lineal.
Los modelos de programación fraccional li-neal, en general, tienen la estructura dada por (1)
n,,,jX
m,,,ibXa
:aS
dc
dd
cXc
j
ij
n
j
j,i
n
j
j
n
j
jj
L
L
210
21
0
1
00
1
0
1
0
=∀≥
=∀≤
≠Λ
+
+
=
∑
∑
∑
=
=
=FMax
Donde:
F : Es la función objetivo, compuesta por larelación de dos funciones una cóncava y la otraconvexa
X j : Vector de variables de decisión.
C j :Vector paramétrico que acompaña a las
variables de decisión en el numerador de lafunción objetivo.
d j :Vector paramétrico que acompaña a las
variables de decisión en el denominador de lafunción objetivo.
ai,j :Matriz de coeficientes tecnológicos
b i :Vector del lado derecho.
c0 :Termino independiente en el numerador de
la función objetivo.
d0 :Termino independiente en el denominador
de la función objetivo.
m,,,icadaparabXa ij
n
j
j,i L21
1
=≤∑=
Son las restric-
ciones del sistema
n,,,jcadaparaX j L210 =≥ Son las restric-
ciones lógicas de no negatividad.
Para resolver los problemas de programaciónfraccional lineal es necesario realizar un proce-so retransformaciones lineales definiendo (2) y(3) así:
∑=
+
=n
j
jj dXd
t
1
0
1
n,,,jX.tY jj L21=∀=
Y luego sustituyendo se obtiene (4)
njYt
tdYd
mitbYa
aSujeto
tcYcFMaximizar
j
j
n
j
j
i
n
j
jji
n
j
jj
,,,,
,,,
:
..
,
*
L
L
210
1
210
0
1
1
0
1
=∀≥
=+
=∀≤−
+=
∑
∑
∑
=
=
=
Por otra parte, una metodología de progra-mación de múltiples criterios es la programa-ción meta, en donde el conjunto de criterios dedecisión al que se enfrenta una problemática sepuede transformar en un conjunto de restric-ciones, fijándose metas o logros deseables, adi-cionando variables de desviación por exceso ypor defecto sobre la meta deseada. De tal ma-nera que el objetivo integral consiste en tratar deminimizar la suma de desviaciones no deseadassobre las metas contempladas en el modelo.
El formato general de un modelo de pro-gramación por metas se podría representarcon la expresión (5)
( )
( ) ( )
( )∑
= +
+−
−
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+=l
k
k
kk
k
d
dd
d
ZMin
1
k
k
k
M superar favorace es no si
mejor es M valores si
mejor es M superar si
Sujeto a restricciones del sistema (6)
m,,,iba i
n
j
ij L21
1
=∀≤∑=
A las restricciones meta (7) que se estructuranagregando variables de desviación sobre lameta establecida.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7) ( ) ( ) ( ) l,.kMddn,,j,Xf kkkj 11 =∀=−+= +−L
Ingeniería
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Y las restricciones lógicas de no negatividad (8)
( ) ( ) l,kn,jd,d,X kkj 110 =∀∧=∀≥+− (8)
4. MODELO INTEGRAL
FRACCIONAL DE PLANEACIÓN
DE CAPACIDADES
Para abordar el problema de planeación yprogramación de capacidades productivas enun contexto de criterios múltiplesfraccionales se propone un modelo metodo-lógico integral que contribuye a la obtenciónde una significativa variedad de informaciónpara la gestión de la función de operaciones.
Se plantea un conjunto de criterios de deci-sión, los cuales deben ser resueltos individual-mente, utilizando programación fraccional li-neal [9] con el objeto de identificar solucionesalternativas, e información relevante para latoma de decisiones.
4.1 Función(es) Objetivo(s)
El modelo integral fraccional lineal de análisisy planeación de capacidades se desarrollo a partirde criterios de decisión que miden eficienciacomo la productividad parcial del recurso má-quina (9),(10), y del recurso mano de obra(11),(12), la maximización de la rentabilidad delos recursos máquina(13), (14) y mano de obra(15), (16) y de la maximización de la relaciónbeneficio costo (17)y (18). Adicionalmente sepodrían tomar otros criterios de decisión comolo plantean otros autores [10] amplían la gamade criterios y objetivos, considerando en con-textos distintos criterios como Maximización delíndice de rotación inventarios de producto enproceso y terminado, así como reducción defaltantes, entre otros. En general el objetivo delmodelo esta dado por:
Objetivo(s): Determinar un plan de pro-ducción orientado al logro del criterio “g”,donde g = 1,2,... h
Permitiendo integrar los diferentes criteriosa la función objetivo que lo representa. El pri-mer criterio considerado es el de maximizaciónde la productividad parcial del recurso máqui-na (9),(10), el cual es utilizado para evaluar la
eficiencia de la capacidad en términos de laobtención del mayor volumen de produccióncon el uso racional del fondo de tiempo má-quina, así:
( ):n,,,j,XfF j L2111
== Función productividadparcial del recurso máquina
Donde:
∑∑ ∑
∑
= = =+
=
++
+=
m
i
n
j
m
i
injji
n
j
j
fpXXa
desX
F
1 1 1
,
1
1
El criterio de maximización de la producti-vidad parcial del recurso mano de obra (11),(12)es considerada para fijar un plan de produc-ción orientado a la obtención de un mayor vo-lumen de producción con el uso racional delrecurso mano de obra.
( ):,,2,1,22
njXfFj
L== Función productivi-dad parcial del recurso mano de obra (11)
Donde:
∑∑
∑
= =++
=
++
+
=m
i
n
j
mnjj,i
n
j
j
fpXXb
desX
F
1 1
1
1
2
La función de productividad parcial del re-curso mano de obra(11) y (12) maximiza losvolúmenes de producción en función del fon-do de tiempo disponible de mano de obrapara realizar la producción.
La función rentabilidad del recurso máqui-na (13) es otra forma para evaluar la eficien-cia y mide como el uso racional del recursomáquina puede rentar más por unidad detiempo de recurso.
El numerador indica la contribución totaloriginada por la producción relativa al fondode tiempo disponible del recurso máquina (14)
( ):,XF n,,,jf j L2133 == Función rentabilidad
del recurso máquina (13)
( )
∑∑ ∑
∑
= = =+
=
++
−−=
m
i
n
j
m
i
injji
n
j
jjj
fpXXa
CFXCI
F
1 1 1
,
1
3
(9)
(10)
(12)
(14)
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54
La función rentabilidad del recurso mano deobra (15) evaluar la eficiencia del recurso manode obra en la actividad productiva y mide comoel uso racional del recurso máquina puede rentarmás por unidad de tiempo.
La razón indica (16) como contribuye el re-curso mano de obra expresado como el tiem-po disponible para la producción en la gene-ración de utilidad neta por la actividad pro-ductiva
( ) :,XF n,,,jf j L2144 == Función rentabilidad
del recurso máquina (15)
( )
∑∑
∑
= =++
=
++
−−
=m
i
n
j
mnjj,i
n
j
jjj
fpXXb
CFXCI
F
1 1
1
1
4
La función relación beneficio costo (17) ex-presa como renta la inversión total en la pro-ducción.
En la relación (18) el denominador esta cons-tituido por el costo total invertido en la pro-ducción y el numerador se expresa la utilidadneta percibida por la producción y venta de loproducido lo que expresa el margen de utili-dad percibida por unidad de dinero invertidoen la producción.
( ) :n,,j,XfF j L2155 == Función Relación bene-
ficio – costo (17)
( )
∑∑
∑
=+++
=
=
+++
−−
=m
i
mninij
n
j
j
n
j
jjj
CFCUMxxcoxc
CFxcI
F
1
1
1
1
5
(18)
Variables de decisión
X j :Cantidad a elaborar de producto tipo “j”,
donde j=1,2,...,n
X n+i
: Ocio productivo de la maquinaria tipo“i”, donde i=1,2,...,m
X n+m+1
: Ocio productivo del recurso manode obra.
X n+m+1+j
: Unidades demandadas pero no pro-ducidas del producto tipo “j”, j=1,2,...,n
Y j :Vector de variables de decisión que repre-
senta a las variables X j en el modelo lineal don-
de j=1,2,...,n
Y n+i
: Ocio productivo de la maquinaria tipoen el modelo lineal “i”, donde i=1,2,...,m
Y n+m+1
: Ocio productivo del recurso mano de
obra en el modelo lineal.
Y n+m+1+j
: Unidades demandadas pero no pro-ducidas del producto tipo “j” en el modelolineal, j=1,2,...,n
Parámetros
C j : Costo unitario de producción del artículo
tipo “j”, donde j=1,2,...,n
I j
: Precio de venta por unidad de productotipo “j”, donde j=1,2,...,n
C F : Costo Fijo
d max j : Demanda potencial del producto tipo
“j”, donde j=1,2,...,n
d min j : Demanda requerida del producto tipo
“j”, donde j=1,2,...,n
Cdi : Capacidad disponible de la maquinaria en
la etapa de proceso“i”, donde i=1,2,...,m
K D : Capacidad disponible del recurso mano
de obra.
a i j
: Tiempo de elaboración estándar de unproducto tipo “j” en una máquina de la etapade proceso “i”, donde
njmi ,,2,1,,2,1 LL =Λ=
b i j
: Tiempo de ejecución requerido de manode obra por unidad de producto tipo “j” en laetapa de proceso “i”, donde
i =
des : Desperdicio expresado en unidades de-fectuosas
fp: Factor de pérdida de capacidad
4.2 Restricciones del modelo
En el modelo fraccional integral de capaci-dades se toma como mas representativas cua-tro tipos de restricciones: de capacidad dispo-nible por grupo de sitios de trabajo (19),(20),restricciones de mano de obra (bajo el supues-to de polivalencia) (21),(22), restricciones deaseguramiento de punto de equilibrio (23) yrestricciones de demanda (24),(25), y las em-
(16)
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55
plea en la construcción de diferentes modelosalternativos, asociados a la planeación de laproducción.
m,,,iCdXa i
n
j
jj,i L21
1
=∀≤∑=
(19)
m,,,iCdXXa iin
n
j
jj,i L21
1
=∀=+ +=∑ (20)
Las restricciones de capacidad disponible porgrupo de sitios de trabajo (19) y (20), al igualque las restricciones de capacidad de mano deobra (21) y (22) se diferencian en la inclusiónde las variables de holgura que representan enel primer caso (20) el ocio productivo de losmedios de trabajo, y en el segundo (22) el ocioproductivo del recurso mano de obra, esto conel fin de satisfacer diferentes objetivos en losmodelos propuestos en este articulo. Diferen-tes autores [11] [12] realizan modificaciones aesta restricción con el fin de incluir la capaci-dad perdida en actividades de alistamiento,otros autores [13] desagregan el lado derechode la restricción por grupos de herramientasy/o centros de trabajo, así mismo analizan elimpacto de cambios tecnológicos en la capa-cidad [5] [14] [15].
m,,,iKdXb j
m
i
n
j
j,i L21
1 1
=∀≤∑∑= =
(21)
KdXXb mnj
m
i
n
j
j,i =+ ++= =∑∑ 1
1 1
(22)
La restricción de beneficio nulo (23) expresala condición de generar los suficientes ingresosnetos para cubrir los costos fijos, para losmodelos en donde las funciones de producti-vidad son objetivo no es relevante la restric-ción y no se toma en cuenta, pero en los mo-delos en los cuales se requiere obtener rentabi-lidad, así como la función relación beneficiocosto son consideradas.
( ) CFXCIj
n
j
jj≥−∑
=1(23)
La restricción de demanda con cota supe-rior e inferior (24) es valida para todos los cri-
terios propuestos en el articulo sin embargopodrían no tener significado para otro criteriode decisión en donde es necesario considerarsolamente una cota o la superior o la inferiorsegún la situación. Otros autores [16] [17] [18]utilizan la demanda como cota superior, bajolos supuestos de perdida de la demanda insa-tisfecha y de no producción para inventario.
(26)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=∀≤≤
=+
=∀=+
++
+=
+++
++= =
+=
= = =+
=
∑∑
∑
∑∑ ∑
∑
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miXXX
njdXd
KdXXb
miCdXXa
AS
fpXXa
desX
FMax
mninj
jjj
mnj
m
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m
i
n
j
m
i
injji
n
j
j
,,2,1
,,2,10,,
,,2,1maxmin
,,2,1
:.
1
1
1 1
,
1
,
1 1 1
,
1
1
L
L
L
L
njdXdj jj
,,2,1maxmin L=∀≤≤ (24)
(25)
n,,,jmindX jj L21=∀≥
La combinación de los criterios y restriccio-nes expresadas, generan los modelosfraccionales propuestos en el artículo aplica-bles a diversas situaciones, objetivos y estrate-gias, los modelos mas representativos(26),(27),(28), (29),(30),(32), bicriteriales ymulticriterial se presentan a continuación.
4.3 Productividad Parcial de Recurso Máquina
En este modelo se pretende generar un plande producción orientado a la maximizaciónde la productividad parcial del recurso máqui-na, en donde la función expresa la contribu-ción en la producción por el uso del fondo detiempo máquina utilizado en la producción. Elesta constituido por la función objetivo (10),las restricciones (20),(22) ,(24) y las restriccio-nes lógicas de no negatividad.
La formulación del modelo de productivi-dad parcial del recurso máquina se observa enla relación (26)
Ingeniería56 Vol.11 No.2
REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
56
Realizando la transformación de un progra-ma fraccional a un programa lineal, se tiene laexpresión (27):
Realizando la transformación lineal se tieneel modelo lineal (30):
La función expresa como con el fondo detiempo de recurso mano de obra que puedeexpresarse como horas hombre empleadas enla actividad productiva es posible producirun nivel máximo de producción agregada.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=++
=∀≥−
=∀≤−
=−+
=∀=−+
+=
+++
= = =+
++= =
+=
=
∑∑ ∑
∑∑
∑
∑
nj
miYYYt
tfpYYa
njtdY
njtdY
tKdYYb
mitCdYYa
AS
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m
i
n
j
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jj
jj
mnj
m
i
n
j
ji
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n
j
jji
n
j
j
,,2,1
,,2,1 0,,,
1.
,,2,10min
,,2,10max
0.
,,2,10.
..
.
1
1 1 1
,
1
1 1
,
1
,
1
*
1
L
L
L
L
L
(27)
Al resolver el programa es necesario realizarlos cálculos de conversión (28) entre variablespara encontrar los valores originales
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
=∀=
=∀=
++++
++
t
YX
m,.,it
YX
n,,,jt
YX
mnmn
inin
jj
11
21
21
L
L
(28)
4.4 Productividad Parcial del Recurso
Mano de Obra
El modelo (29) esta constituido por la funciónobjetivo (12), las restricciones (20),(22) ,(24) y lasrestricciones lógicas de no negatividad.
(29)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=∀≤≤
=+
=∀=+
++
+
=
+++
++= =
+=
= =++
=
∑∑
∑
∑∑
∑
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m,,,iX,X,X
n,,,jmaxdXmind
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n
j
j
L
L
L
L
21
210
21
21
1
1
1 1
1
1 1
1
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=++
=∀≥−
=∀≤−
=−+
=∀=−+
+=
+++
= =++
++= =
+=
=
∑∑
∑∑
∑
∑
n,,,j
m,,,iY,Y,Y,t
t.fpYYb
n,,,jtmindY
n,,,jtmaxdY
t.KdYYb
m,,,it.CdYYa
.A.S
t.desYFMaximizar
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n
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n
j
j*
L
L
L
L
L
21
210
1
210
210
0
210
1
1 1
1
1
1 1
1
1
2
(30)
De igual manera es necesario calcular losvalores originales de las variables empleandola expresión (28)
4.5 Rentabilidad del Recurso Máquina
Este modelo (30) esta constituido por la fun-ción objetivo (14), las restricciones (20), (22),(23), (24) y las restricciones lógicas de nonegatividad.
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=∀≤≤
≥−
=+
=∀=+
++
−−=
+++
=
++= =
+=
= = =+
=
∑
∑∑
∑
∑∑ ∑
∑
nj
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CFXCI
KdXXb
miCdXXa
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fpXXa
CFXCI
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jjj
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m
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n
j
jjj
,,2,1
,,2,10,,
,,2,1maxmin
,,2,1
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1
1
1
1 1
,
1
,
1 1 1
,
1
3
L
L
L
L
(31)
Ingeniería
57Vol.11 No.2REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
57
Con esta función se expresa la rentabilidadque se produce al utilizar el recurso máquinaen la producción, como las horas máquinautilizadas para un periodo de planeación de-terminado. Realizando la transformación linealse tiene la expresión (31).
Como en los modelos anteriores es necesa-rio realizar las conversiones de las variables uti-lizando las expresiones (28)
(33)
( )
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=++
≥−−
=∀≥−
=∀≤−
=−+
=∀=−+
−−=
+++
= =++
=
++= =
+=
=
∑∑
∑
∑∑
∑
∑
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m,,,iY,Y,Y,t
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n,,,jtmindY
n,,,jtmaxdY
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m,,,it.CdYYa
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L
L
L
L
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21
210
1
0
210
210
0
210
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
4
(34)
Para efectos de cálculo de las variables origi-nales es necesario como en los modelos ante-riores utilizar las expresiones (28), mencionan-do que el optimo de la función original es iguala la de la transformada.
4.7 Relación Beneficio – Costo
Este modelo (33) esta constituido por la fun-ción objetivo (18), las restricciones (20), (22), (23),(24) y las restricciones lógicas de no negatividad.
El modelo expresa como la inversión totalen la producción, dinero invertido en recursomáquina, recurso material y mano de obra máslos costos por improductividades posiblementepor desbalanceo de las líneas de produccióngenera el máximo beneficio, restringido prin-cipalmente a la disponibilidad de los recursosmáquina y mano de obra, así mismo de la de-manda y la condición de beneficio nulo.
Realizando la transformación lineal se tienea partir de (35) la expresión (36)
No sobra indicar que de igual manera queen los modelos anteriores es necesario encon-trar los valores de las variables originales em-pleando las expresiones (28)
4.8 Función multicriterio
Posteriormente con el método de programa-ción meta sin prioridades [11] se formula unmodelo de programación por objetivos [9] ajus-tado a funciones de carácter bicriterial cuya fun-ción objetivo (38) integra los criterios y funcio-nes anteriormente tratados.
( )
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
=++
≥−−
=∀≥−
=∀≤−
=−+
=∀=−+
−−=
+++
= = =+
=
++= =
+=
=
∑∑ ∑
∑
∑∑
∑
∑
nj
miYYYt
tfpYYa
tCFYCI
njtdY
njtdY
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mitCdYYa
AS
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jj
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0.
,,2,10.
..
.
1
1 1 1
,
1
1
1 1
,
1
,
1
*
3
L
L
L
L
L
(32)
4.6 Rentabilidad del Recurso Mano de Obra.
Este modelo (32) esta constituido por la fun-ción objetivo (16), las restricciones (20), (22), (23),(24) y las restricciones lógicas de no negatividad.
Realizando la transformación lineal se tienela expresión (34). En ella se indica como el re-curso mano de obra aporta al beneficio netode la actividad productiva.
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
≥−
=∀≤≤
=+
=∀=+
++
−−
=
+++
=
++= =
+=
= =++
=
∑
∑∑
∑
∑∑
∑
n,,,j
m,,,iX,X,X
CFXCI
n,,,jmaxdXmind
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m,,,iCdXXa
.A.S
fpXXb
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m
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n
j
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n
j
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L
L
L
L
21
210
21
21
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
4
Ingeniería58 Vol.11 No.2
REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
58
( )
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥+++
−−=
≥++
−−=
≥++
−−=
≥++
+=
≥++
+=
∑∑
∑
∑∑
∑
∑∑ ∑
∑
∑∑
∑
∑∑ ∑
∑
=+++
=
=
= =++
=
= = =+
=
= =++
=
= = =+
=
5
1
1
1
1
5
4
1 1
1,
1
4
3
1 1 1
,
1
3
2
1 1
1,
1
2
1
1 1 1
,
1
1
M
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F
M
fpXXb
CFXCI
F
M
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CFXCI
F
M
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desX
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desX
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i
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n
j
j
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i
n
j
n
i
injji
n
j
j
(38)
nomina es el mejor, entonces la función objeti-vo meta se constituiría como se indico en (5),de otra parte el efecto que puede existir porlos pesos de importancia entre criterios y lasprioridades generarían modificaciones en lamodelación y en los resultados obtenidos.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
1
1
5
55
1
1 1
1,4
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1
1 1 1
,3
33
1
1 1
1,2
22
1 1 1
,1
11
1
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
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⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
=−+−−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=−+−−
⎪⎭
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⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
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⎪⎭
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⎧
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⎞⎜⎜⎝
⎛++
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⎫
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⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=−++
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑ ∑
∑∑∑
∑∑ ∑
∑
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+++=
+−
== =
++
+−
== = =
+
+−
== =
++
+−
= = =+
+−
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j
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ddCFXCI
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ddCFXCI
fpXXaM
ddCFXCI
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fpXXaM
dddesX
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⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
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=∀Λ
=∀≥
+
≥−−
=∀≥−
=∀≤−
=−+
=∀=−+
−−=
+++
= =++++
=
++= =
+=
=
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∑
∑∑
∑
∑
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xcoxc
tCFYCI
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n,,,jtmaxdY
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L
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L
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210
210
0
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1
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1 1
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1
(36)
( )
( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
=∀≥
≥−
=∀≤≤
=+
=∀=+
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++= =
+=
= =+++
=
∑
∑∑
∑
∑ ∑
∑
+
n,,,j
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n,,,jmaxdXmind
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L
L
L
L
21
210
21
21
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
5
(35)
El procedimiento empleado consiste en fi-jar metas para cada uno de los índices genera-dos por cada una de las funciones objetivocomo se muestra en la expresión (37)
Posteriormente cada función se expresacomo una restricción agregando dos variablesde desviación para cada criterio de decisióncomo se observa en la expresión (38), es im-portante observar que al ser los criterios indi-viduales funciones de maximización, las varia-bles de desviación por debajo se convierten enlas variables objeto a ser minimizadas, pero paraotra situación en donde el objeto es minimizarcomo por ejemplo un riesgo o donde el valor
(37)
Ingeniería
59Vol.11 No.2REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
59
Donde:
( ):d
k
− Variable de desviación por debajo delvalor meta del criterio “k” donde k=1,2,...,l
( ):d
k
+ Variable de desviación por encima delvalor meta del criterio “k” donde k=1,2,...,l
:M k Meta o logro del criterio de decisión“k” donde k=1,2,...,l
3.10 Modelo con Función de Criterios Múltiples
La eficiencia de los sistemas de producciónse encuentra restringida por el uso racional delos recursos y la actividad productiva se en-cuentra restringida por la capacidad de la manode obra, de los medios de trabajo, así comopor la disponibilidad de recursos y las condi-ciones del mercado; dichos sistemas son dise-ñados y modificados para lograr los objetivosde la organización, por esta razón es deseableutilizar criterios múltiples (39) para soportar lasdecisiones en función de las necesidades de laempresa, evaluada en varios indicadores degestión, esto se alcanza con la aplicación con-junta, ya sea parcial o total, de los criterios pro-puestos, en la cual la ponderación de los mis-mos depende la importancia de cada uno deellos en el cumplimiento de los objetivos y es-trategias organizacionales.
Enfoques complementarios en donde se uti-liza programación meta para modelos linealesdesarrollados hasta ahora incluyen la particióndel problema [19], el uso de variables no con-trolables [20], y el impacto de los inventarios[21], entre otros.
5. CONCLUSIONES
La integración de modelos fraccionales pormedio de la programación meta representauna novedad para el análisis de problemas enel contexto de múltiples criterios de decisión.
La utilización de programación fraccionalpara abordar problemas de planeación y pro-gramación de capacidades productivas conmúltiples criterios de decisión, permite calcu-lar indicadores de gestión compuestos, talescomo productividad parcial de los recursos,rentabilidad parcial y relación beneficio costo,entre otros.
La aplicación conjunta de la programaciónfraccional y meta en el contexto de la progra-mación de capacidades productivas, brinda lainformación necesaria para entender el impactode la utilización de la mano de obra, la maqui-naria y los recursos financieros, entre otros, enel logro de cada uno de los objetivos de lasempresas manufactureras.
La utilización del modelo propuesto permi-te el análisis de la productividad de los recur-sos en relación al cumplimiento de cada unade las metas propuestas, lo que facilita los pro-cesos de establecimiento de prioridades, tantoen el uso de los recursos, como en la determi-nación de metas, propiciando la viabilidad delsistema en entornos competitivos.
La posibilidad de calcular indicadores deproductividad parcial simultáneamente con elanálisis de capacidades facilita y enriquece elproceso de toma de decisiones asociadas a laasignación de recursos en los procesos demanufactura, al permitir cuantificar impactode las prioridades del tomador de decisión enla utilización de las capacidades, la rentabilidady la productividad.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] Hamid Noori y Russell Radford. Administración de Opera-ciones y Producción. Mc Graw Hill. 1997
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
,,2,1
,,2,10,,
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,,2,1maxmin
,,2,1
..
1
5432154321
1
1
1
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1 1 1
,3
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1 1 1
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54321
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=∀Λ
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⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
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⎧
⎟⎟⎠
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⎫
⎪⎩
⎪⎨
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Ingeniería60 Vol.11 No.2
REVISTA CIENTÍFICA Y TECNOLÓGICA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
60
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Dusko Kalenatic, PhD.Doctor en Ciencias Técnicas, Universidad de Las Villas “MartaAbreu”, Santa Clara, Especialista en Ingeniería de ProducciónUniversidad Distrital Francisco José de Caldas. Especialista“Instituto de Periodismo Yugoslavo”, Economista, Escuela Su-perior de Economía, Belgrado, Ingeniero en Organización deTrabajo, Universidad de Belgrado, Investigador CITAD, Centrode investigaciones en tecnologías avanzadas de decisión “Car-los Jordana” Universidad de la [email protected]
MsC. César Amilcar López BelloMagíster en Ingeniería Industrial, Universidad de los Andes.Especialista en Ingeniería de Producción, Universidad Distrital.Francisco José de Caldas. Profesor Asociado, Facultad deIngeniería Universidad Distrital. Director de la Maestría enIngeniería Industrial, Universidad Distrital Francisco José deCaldas. Director grupo de investigación MMAI de la Universi-dad Distrital, Investigador grupo GIP Universidad Católica deColombia, Investigador CITAD, Centro de investigaciones entecnologías avanzadas de decisión “Carlos Jordana” Universi-dad de la Sabana. [email protected]
MsC. Leonardo José González RodríguezMagíster en Ingeniería Industrial, Universidad de los Andes.Especialista en Ingeniería de Producción, Universidad Distrital.Ingeniero Industrial, Universidad Distrital. Profesor Asistente,Facultad de Ingeniería. Universidad Distrital Francisco Joséde Caldas. Profesor, Facultad de Ingeniería Universidad de laSabana, Director Grupo de Investigación en SistemasLogísticos, CITAD- Centro de investigaciones en tecnologíasavanzadas de decisión “Carlos Jordana” Universidad de laSabana, Investigador grupo de investigación MMAI de la Uni-versidad Distrital, Investigador grupo GIP Universidad Católi-ca de Colombia. [email protected]
