Modelo de examen

Derivadas y aplicaciones

1. Calcula la primera derivada de las siguientes funciones:

a) f(x) =x2

lnx

b) f(x) = ln (sin3 x)

c) f(x) = arctanx

x− 1

d) f(x) = (x + 1)x2

2. Encuentra los puntos de la curvax2

4+

y2

2= 1 donde la pendiente de la recta tangente es 1.

3. Sea f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d una funcion polinomica donde f(1) = 0 y f ′(0) = 2 y que tienedos extremos relativos para x = 1 y x = 2.

a) Determina a, b, c y d.

b) Son maximos o mınimos los extremos relativos? Justifica tu respuesta.

4. Encuentra el valor de a y de b para que se cumpla que lımx→0

ax2 + bx + 1− cosx

sinx2= 1.

5. Se tiene que editar un libro y cada hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto. Los margenessuperiores y inferiores de cada hoja deben ser de 2 cm cada uno, y los margenes laterales de1 cm. Calcula las dimensiones de cada hoja de papel del libro para que el gasto de papel seamınimo.

6. Queremos construir una tienda en forma de piramide regular de base cuadrada. Disponemosde 300 m2 de ropa para fabricar las cuatro caras de la tienda (se supone que durante laelaboracion no se pierde ropa). Designamos x a la longitud de un lado de la base de la tiendacomo se muestra en la figura.

a) Sabiendo que el volumen de una piramide es igual a un tercio del producto del area de

la base por la altura, comprueba que, en este caso, V (x) =x√

9 · 104 − x4

6.

b) Determina el valor de x para que el volumen sea el mas grande posible (no es necesariocomprobar que el valor obtenido corresponde realmente a un maximo).

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