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Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 1
Modelli statici di oligopolio:
• Interdipendenza: Indici di concentrazione e
di Herfindahl
• Duopolio di Bertrand
• Duopolio di Cournot
• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base
• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità
• Modello leader-follower (Stackelberg)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 2
Definizione dei mercati
In teoria, elasticità incrociata
La “classificazione industriale standard” suddivide
l’economia in settori industriali che vanno da gruppi
definiti in modo molto generico a classi definite in
modo specifico ⇒ classificazione di settore a cifre
(da due a sette cifre)
– 38 : strumenti e prodotti correlati
– 3842: forniture di apparecchi ortopedici, di proestetica
e chirurgici: stabilimenti impegnati nella manifattura e
apparecchi ortopedici, chirurgici, protesici ; supporti
plantari e strumenti podologici;...
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 3
Possibili indici di concentrazione• In ogni mercato vorremmo capire se siamo in
concorrenza, monopolio, oligopolio…
• Misure della distribuzione per numero e per
dimensioni delle imprese in un settore industriale
• Rapporto di concentrazione: % vendite dalle n
imprese più grandi (RCn), (le 3, 4, 50... più
grandi)
• (Indice di Leida)
• Indice di Herfindahl
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 4
Indice di Herfindahl• Rapporti di concentrazione: non danno informazioni sulle
dimensioni relative all’interno del settore
• Usa informazioni sulle quote di mercato di tutte le imprese:
• N = numero di imprese sul mercato
• si = quota di mercato dell’impresa i
H = s12 + s2
2 + s32 + … + sN
2
• diminuisce con N
• la quota delle imprese piccole ha poco rilievo sull’indice
• le imprese più grandi pesano più che proporzionalmente
• ⇒ aumenta se aumenta la asimmetria tra imprese
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 5
Valori dell’indice di Herfindahl: alcuni esempi
8
3
4
1
4
1
2
1
4
1
4
1;
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1;
3
1;
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1,
2
1
1)1(
1
222
321
222
321
22
21
2
1
=
+
+
=
===
=
+
+
=
===
=
+
=
==
==
=
H
sss
H
sss
H
ss
H
s
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 6
Utilità dell’indice di Herfindahl
• (Vedremo tra poco che) la capacità delle
imprese di mantenere un prezzo superiore ai
costi cresce con H (indice del potere di
mercato)
• ⇒ Le autorità antitrust lo usano:
– considerano “concentrato” un mercato ove H >
0.19 (oltre questa soglia, le fusioni tra imprese
vengono sottoposte ad un’analisi attenta)
– in generale se H è basso non guardano
veramente a cosa succede sul mercato...
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 7
Oligopolio• Poche imprese che riconoscono la loro reciproca
interdipendenza
• USA 1987: RC4 medi in 207 settori su 505 (a 4cifre) erano del 40% o oltre ⇒ ogni impresa delle4 deve esser consapevole della presenza dellealtre: settore oligopolistico
• Comportamento strategico: sfruttare questainterdipendenza
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 8
Modelli statici di oligopolio• Oligopolio non cooperativo, modelli dove:
– a) imprese fissano il proprio p e vendonoqualunque quantità venga richiesta a tale prezzo(es. settore delle assicurazioni, settori dove la tecnologia
consente rapidi cambiamenti del volume di produzione)
– b) imprese decidono il livello di produzione e lasciano che il mercato determini il p di vendita (es. settore automobilistico, settori dove le imprese decidono con anticipo piani di produzione il cui
cambiamento è costoso)
• Oligopolio cooperativo (collusione esplicita): poco interessante ?
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 9
Modelli statici di oligopolio:
• Interdipendenza: Indici di concentrazione e
di Herfindahl
• Duopolio di Bertrand
• Duopolio di Cournot
• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base
• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità
• Modello leader-follower (Stackelberg)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 10
Duopolio di Bertrand
• Bertrand (1883): imprese fissano i loro p e sono
pronte a servire l’intero mercato a quel prezzo
• Altre ipotesi:
• prodotto standardizzato: il prodotto di un impresa è
il sostituto perfetto di quello di un’altra impresa
• duopolio
• costo marginale costante (c), nessun costo fisso
• mosse simultanee (ovvero: impossibile impegnarsi a
tenere costante il prezzo)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 11
La scelta ottimale nel modello di Bertrand
• Se entrambe le imprese servono il mercato allo stesso
prezzo p*, si dividono il mercato (assumiamo: 50-50)
• Se un’impresa pratica un prezzo inferiore a quello del
rivale, si appropria di tutto il mercato
• Abbiamo un equilibrio se - dato il prezzo praticato
dall’altro - il nostro prezzo è ottimale (e viceversa):
– p1* può essere diverso da p2* ?
– p1* può essere minore di c ?
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 12
La scelta ottimale nel modello di Bertrand
• p* può essere maggiore di c?
p
p1 = p2 = p*
π1 π2 Dc
q1 qq1+q2
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 13
Fare undercutting è ottimale
⇒ Il paradosso di Bertrand
p
p1 = p2 - δ
Dc
q1 q
π1
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 14
Il paradosso di Bertrand
• Scelta ottimale impresa 2: vendere a p2 < p1
⇒ possibile finché p1 > c
• esiste solo un equilibrio dove la strategia di
riduzione del prezzo cessa di essere possibile:
quando p = c e quindi π = 0
• due imprese bastano a replicare il risultato diconcorrenza perfetta !
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 15
Le funzioni di reazione in Bertrand
• Dato il prezzo dell’altra impresa, ciascuna impresa
reagisce “ottimamente” (ovvero per max profitto)
• Il prezzo “ottimo” dipende dal prezzo dell’altra
impresa (è una FUNZIONE):
• p2 = p1 - δ se p1 > c
• p2 = c se p1 ≤ c
• e viceversa per l’impresa 1
• Graficamente:
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 16
Il grafico di una funzione di reazione
(Bertrand)
p2
c
p1
Bisettrice (a 45°):
p2 = p1
Funzione di reazione
dell’impresa 2:
p2 = p1 - δ (≥ c)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 17
L’equilibrio nel modello di Bertrand
p2
c p1
Funzione di reazione
dell’impresa 1:
p1 = p2 - δ (≥ c)
c
L’equilibrio si trova
all’incontro delle due
funzioni di reazione:
p1 = p2 = c
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 18
Modelli statici di oligopolio:
• Interdipendenza: Indici di concentrazione e
di Herfindahl
• Duopolio di Bertrand
• Duopolio di Cournot
• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base
• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità
• Modello leader-follower (Stackelberg)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 19
Duopolio di Cournot
• Cournot (1818): imprese fissano i loro output e
lasciano che il mercato determini a quale prezzo
riescono a vendere
• Altre ipotesi:
• prodotto standardizzato: il prodotto di un impresa è
il sostituto perfetto di quello di un’altra impresa
• duopolio
• costo marginale costante (c), nessun costo fisso
• mosse simultanee (ovvero: impossibile impegnarsi a
tenere costante l’output)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 20
La massimizzazione del profitto
• Il profitto dell’impresa 1:
Π1 = p q1 - c q1
• il prezzo “è” la curva di domanda, funzione
dell’output totale, Q = q1+ q2 :
Π1 = p(Q) q1 - c q1
• L’impresa i massimizza il profitto quando Ri’ = c
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 21
Dove vediamo l’interazione?
• Un aumento di q2 diminuisce p e quindi il
ricavo marginale dell’altra impresa rivale
⇒ più l’altro produce, minore è la mia
convenienza a produrre
∂q1
∂p
∂q1
' q1p∂R(q)
R1+==
• Il ricavo marginale in oligopolio è :
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 22
Curva di reazione (impresa 1)
• La scelta ottimale dell’impresa 1 (R1’ = c) date le sue congetture sul comportamento dell’impresa 2
• Curva decrescente (quando q2 aumenta, l’output ottimale dell’impresa 1 diminuisce)
• Determiniamo gli estremi:
– Per q2 =0, impresa 1 è monopolista che max lungo lacurva di domanda di mercato
– Per q1 =0 abbiamo il valore di q2 che spinge l’impresa1 fuori dal mercato (π1 = 0), quindi deve essere il valoredi q2 al quale p=c � livello di produzioneconcorrenziale
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 23
La curva di reazione dell’impresa 1
Risposta ottima se
l’impresa 2 non produce:
output di monopolio
Risposta ottima se
l’impresa 2 produce qc:
non produrre (q1 = 0)
q1
q2
qm
qc
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 24
Le curve di reazione delle due imprese
• Con costi uguali, equilibrio simmetrico
q1
q2
qm
Funzione di reazione della
impresa 1
L’equilibrio di Cournot Funzione di reazione della
impresa 2
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 25
Equilibrio di Cournot (1/2)
• Esiste solo un punto ove le supposizioni di
ogni impresa sono corrette: intersezione
delle curve di reazione � eq. di Cournot
• Impresa 2: suppone che l’altra sceglierà
livello di produzione q1 � sceglierà q*2
• Equilibrio: (q*1, q*2). Le imprese max π
� nessuna impresa avrà incentivo variare q
• Assenza di pentimento (NASH)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 26
Equilibrio di Cournot (2/2)
• L’output di Cournot tra monopolio e concorrenza
q1
q2
qm
L’equilibrio di Cournot
qc
qm
qc
q1 + q2 = qc
q1 + q2 = qm
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 27
Considerazioni sull’eq. di Cournot
• q eq Cournot < q mercato concorrenziale
⇒ p eq Cournot > p mercato concorrenziale
• q1 + q2 > qm (le imprese producono più di
quanto dovrebbero per massimizzare il
profitto congiunto)
• p concorrenza < p eq Cournot < p monopolio
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 28
Equilibrio di Cournot: un esempio (1/2)
( ) [ ]
( )
( ) reazione di funzione la è Questa : 22
'' ovvero 0
0
)(
)(
)(
22
*1
211
1
1
1121111
21
q
b
caqq
CRcqqbabq
q
cqqqqbaqCpq
qqQ
cqqC
bQaQp
iii
−−
=
==−+−+−
=∂
∂
−+−=−=
+=
=
−=
π
π
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 29
Equilibrio di Cournot: un esempio (2/2)
Quindi:
– in un equilibrio simmetrico q* = (a-c)/3b
– dato p = a - bQ, p* = (a+2c)/3 > c
– q* aumenta con la dimensione del mercato
– q* diminuisce con il costo marginale
– p* aumenta con entrambi
In monopolio (provare…)
– qm = (a-c)/2b e pm = (a+c)/2
– facile controllare che pm > p*
– πm > π1 + π2
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 30
L’indice di Lerner in Cournot (1/3)
1
11q
p
q
(q)' q
d
dp
d
dRR1
+==
dQ
dp
d
d=
1q
p
ε
1
Q
p ' 1
1Q
qpp
p
p
Q
d
dpR −=+=
Sappiamo che
e che
e quindi:
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 31
L’indice di Lerner in Cournot (2/3)
Se definiamo la quota di mercato dell’impresa 1 come
Allora il ricavo marginale dell’impresa è:
1 1
1≤≡
Q
qs
−=
ε
11 '
1spR
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 32
L’indice di Lerner in Cournot (3/3)
Monopolista: (p-c)/p = 1/ε
εε1
1
11
s
p
c-p csp =⇒=
−Oligopolio
Al variare della quota di mercato, varia il margine
(ovvero, il potere di mercato)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 33
Cournot v. Monopolio
• Ricavo marginale in monopolio:
• Ricavo marginale in oligopolio:
• L’oligopolista non tiene conto di quanto va a
diminuire i ricavi degli altri: esternalità negativa
−=
ε
11' pRm
−=
ε
11 '
1spR
O
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 34
Indice di Lerner e indice di Herfindahl
Oligopolio: se per ogni impresa il price-cost margin
(chiamiamolo mi) è pari a si/ε, il margine medio del
mercato è una media ponderata:
s1m1 + s2m2 + … + snmn = Σi(si2/ε)
(p-c)/p = H/ε
Il price-cost margin medio è proporzionale all’indice
di Herfindahl: la concentrazione del mercato
“distorce” il prezzo rispetto alla concorrenza perfetta
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 35
Modelli statici di oligopolio:
• Interdipendenza: Indici di concentrazione e
di Herfindahl
• Duopolio di Bertrand
• Duopolio di Cournot
• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base
• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità
• Modello leader-follower (Stackelberg)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 36
Il confronto Bertrand - Cournot
• Allentiamo le assunzioni
– Costo marginale costante
– Costo fisso nullo
– Costi simmetrici
– n = 2
– Beni omogenei
• Troviamo un collegamento tra i due modelli
– scelta della capacità + concorrenza di prezzo
= concorrenza nelle quantità
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 37
Costo fisso, o costo marginale crescente
• Cournot:
– non cambia nulla se C’ è crescente
– cambia ben poco col costo fisso (rinvio)
• Bertrand:
– costo fisso: non esiste un equilibrio
(applicazione: aste UMTS; mercato elettrico)
– costo marginale crescente: se voglio servire tutto il
mercato, rischio di doverlo fare sotto costo (di
solito non esiste un equilibrio)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 38
Il modello di Bertrand con costo marginale crescente
• Se facessi undercutting, dovrei produrre con un C’ altissimo
p
p1 = p2 = p* D
q1qq1+q2
C’Se p2 = p*, mi conviene
fissare p1 = p2 ? Non
sempre, quindi potrebbe
non esserci un equilibrio
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 39
Costi asimmetrici in Cournot (1/2)
• L’impresa più efficiente è più grande
q1
q2
qm
Funzione di reazione della
impresa 1 con costo c
Funzione di reazione della
impresa 1con costo c’ < c
q'm
L’equilibrio di Cournot
si sposta in questo punto
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 40
Costi asimmetrici in Cournot (2/2)
• Imprese di diverse dimensioni: ad una
maggiore quota di mercato corrisponde un
maggior potere di mercato per l’impresa
(p-ci)/p = si/ε
Nota bene: la dimensione dell’impresa non è la
causa: la dimensione dipende dai costi:
⇒ L’efficienza è la vera fonte di asimmetria
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 41
Costi asimmetrici in Bertrand (1/2)
• Con costi identici, p1 = p2 = p* = c
• Se c2 > c1 l’impresa 1 ha un vantaggio
• Con costi differenti, se p2 = c2 ho la possibilità
di fare ancora undercutting
• Equilibrio?
– p2 = c2
– p1 = c2 - δ
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 42
Costi asimmetrici in Bertrand (2/2)
p2
c1 p1
c2
L’equilibrio si trova sempre
all’incontro delle funzioni di
reazione: p1 = c2 - δ
c1 < c2
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 43
Al variare di n
• Bertrand: nessun effetto
• Cournot: Con n imprese simmetriche, si = 1/n
(p-c)/p = 1/nε
Se aumentiamo n, il livello di produzione
dell’equilibrio di Cournot si avvicina al livello
concorrenziale e p scende verso c
• Modello di Cournot come caso generale:
– n = 1 : Monopolio
– n → ∞ : Concorrenza perfetta
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 44
Modello di Cournot: un esempio con n imprese
Riprendiamo l’esempio precedente con n imprese:
q1*(q2, …, qn) = (a-c)/2b - (Σi≠1qi)/2
In un equilibrio simmetrico:
q* = (a-c)/2b - ((n-1)q*)/2
ovvero
q* = (a-c)/[(n+1)b] e p* = (a+nc)/(n+1)
- all’aumentare di n diminuisce q* (ma aumenta Q)
- all’aumentare di n diminuisce p*
- se n = 1, abbiamo il monopolio
- se n → ∞, il prezzo tende a c
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 45
Beni differenziati
• Il risultato di Bertrand dipende dal fatto che
una piccola differenza di prezzo fa “saltare”
la funzione di domanda
⇒ il risultato dipende in modo cruciale dalla
omogeneità della domanda
• Il risultato di Cournot è comunque un
risultato non estremo. Cambiare questa
assunzione non stravolge il risultato
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 46
Bertrand v. Cournot: capire le differenze
• Due imprese, prodotto omogeneo, mosse
simultanee… solo la variabile di scelta fa
differenza
– Bertrand: p = c (non dipende da n)
– Cournot: p > c (il prezzo scende con n)
• Il comportamento descritto da Bertrand è
implicitamente più “aggressivo”. Perché?
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 47
Bertrand v. Cournot: incentivi “al margine”
• Se io aumento la quantità “di poco” guadagno
“poco”
⇒ in Cournot ho un modesto incentivo a
produrre “molto” (a puntare a prezzi “bassi”)
• Se io diminuisco il prezzo “di poco” guadagno
“molto”
⇒ in Bertrand ho un forte incentivo a fissare un
prezzo “basso” (a produrre “molto”)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 48
Bertrand v. Cournot: curve di domanda
residue
• Curva di domanda di impresa (ovvero
“residua”): dato quello che fa l’altra
impresa, come è fatto il mio mercato?
• B.: Se l’altro fissa il prezzo, ogni prezzo
sopra al suo mi consente di vendere q = 0
• C.: Se l’altro fissa la quantità, mi interessa
se le mie vendite sono minori o maggiori
delle sue?
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 49
Domanda residua in Cournot
⇒ Il problema resta “simile”
p
p'
D
q1q2
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 50
Domanda residua in Bertrand
⇒ cruciale la differenza tra il mio prezzo e quello del rivale
p1
p2
D
q1
D
q*1
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 51
La funzione di profitto in Bertrand
⇒ La funzione non è continua! Piccole differenze sono vitali!
π1
p1p2
Per valori di p1 > p2
il profitto cade a 0!
Per p1 < p2
tutto “normale”
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 52
Modelli di base con beni omogenei:
conclusioni
Se variare l’output è facile, si applica Bertrand:
concorrenza accesa
• La concentrazione non conta
• Le asimmetrie (anche piccole) si pagano carissime
• Come si coprono i costi fissi?
Se variare l’output è difficile, si applica Cournot:
• I margini dipendono dalla concentrazione
• Le asimmetrie hanno un impatto proporzionale
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 53
Modelli statici di oligopolio:
• Interdipendenza: Indici di concentrazione e
di Herfindahl
• Duopolio di Bertrand
• Duopolio di Cournot
• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base
• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità
• Modello leader-follower (Stackelberg)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 54
Collegamento tra Cournot e Bertrand
• Si considerino due imprese che devono scegliere 2
cose:
a) la capacità produttiva e poi...
b) il prezzo (data la capacità produttiva)
• E’ possibile dimostrare (Kreps- Scheinkman) che
il prezzo di equilibrio è superiore a c e può essere
uguale a quello del modello di Cournot
⇒ Il modello di Cournot può pensarsi come una
“sintesi” di queste due scelte (una “forma ridotta”)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 55
Il modello di Kreps-Scheinkman (KS)
• Ogni impresa sceglie Ki e poi pi
• Profitti: π1(p1, p2 ; K1, K2 ) π2(p1, p2 ; K1, K2 )
t0 t1
• In t0 : equilibrio di Nash nei valori dei K
• In t1 : equilibrio di Nash nei valori dei p
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 56
La sequenza delle scelte in KS
• Ultimo stadio: Ragioniamo all’indietro
• I prezzi ottimali, date le capacità produttive:
(p*1, p*2) dipendono da (K1, K2)
• Quindi i profitti diventano
πi[p*1(K1, K2 ), p*2 (K1, K2 ); K1, K2 ]
E al primo stadio le imprese scelgono Ki anticipando
l’effetto sui prezzi
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 57
Capacità ottimali in KS (1/2)
• E’ ottimale avere capacità inutilizzata?
No, ⇒ Ki = qi (K1 + K2 = Q)
• Potremmo avere Q = QB (eq. di Bertrand)?
Ovvero: dato che K2 = QB/2 qual è la scelta
ottima di K1 ?
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 58
Capacità ottimali in KS (2/2)
Dato q2 = QB/2, è ottimale produrre q1 < QB/2
p D
QQB
c
QB/2
A
B
Dato l’output q2 = QB/2
la domanda residua è AB
Ma allora l’output ottimale
q1 è minore di QB/2
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 59
KS: conclusioni
Se l'altra impresa avesse K2 = QB/2, e io scegliessi
una capacità produttiva minore, il prezzo sarebbe
superiore al costo marginale (Π > 0):
– Scelta di capacità + concorrenza di prezzo =
prezzi superiori al costo marginale
– A certe condizioni, il prezzo è proprio quello di
Cournot
– Limitare la propria capacità produttiva può
essere vantaggioso
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 60
Modelli statici di oligopolio:
• Interdipendenza: Indici di concentrazione e
di Herfindahl
• Duopolio di Bertrand
• Duopolio di Cournot
• Confronti: il ruolo delle assunzioni di base
• Bertrand e Cournot: il ruolo della capacità
• Modello leader-follower (Stackelberg)
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 61
La rilevanza dell’ordine delle mosse
• Finora: mosse simultanee
• Spesso: un’impresa è “leader”
• Modello di Stackelberg: leadership come
capacità di decidere prima del rivale
• Non spiega la leadership, parte da essa
• Modello di Cournot con mosse in sequenza
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 62
Curva di reazione e curve di isoprofitto
q1
q2
qm
qconc
La curva di reazione unisce i punti di max delle funzioni di isoprofitto
Iso-profitto: profitto costanteal variare degli output
Quanto più ci si avvicina al punto qm, tanto più elevato è π1
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 63
Il modello di Stackelberg
• Identico a Cournot (due imprese; one-shot;
output come variabile strategica) a parte...
– L’ordine delle mosse: l’impresa 1 è leader
⇒ Possibilità di impegnarsi a un livello di
output prima del rivale
• Soluzione backward: anticipo la reazione
del rivale, e scelgo q1 per massimizzare π1
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 64
L’equilibrio di Stackelberg
q1
q2
qconc
Scelgo q1 = qS e quindi produco un outputsuperiore a quello dell’equilibrio di Cournot
Anticipo la reazione della impresa 2:la sua funzione di reazione!
Scelgo lungo la sua funzione direazione il punto con il max π1
qS
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 65
Equilibrio di Stackelberg: un esempio (1/3)
• Prendiamo costi e domanda come prima
• L’impresa 1 sia la leader
• La funzione di reazione della impresa
follower è
• L’impresa leader anticipa questo, e quindi
massimizza la funzione di profitto sapendo
che la determinazione di q2 seguirà questa
regola
22
12
q
b
caq −
−=
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 66
Equilibrio di Stackelberg: un esempio (2/3)
• Il profitto dell’impresa leader si scrive:
• ovvero
=−
−
−−−=
=−−−=
111
1
11211
22
)(
cqqq
b
cabbqa
cqqbqbqaπ
[ ]1
11
2q
bqca −−=π
Oligopolio - Prof. Sergio Vergalli 67
Equilibrio di Stackelberg: un esempio (3/3)
In equilibrio:
�Data la massimizzazione di π1 : q1 = (a-c)/2b
�Dalla funzione di reazione della impresa 2
segue che q2 = (a-c)/4b
⇒ Equilibrio asimmetrico
�dato p = a - bQ, p* = (a+3c)/4 > c
�π1 > π2
Rispetto a Cournot…
– La quantità totale aumenta (prezzo minore)
– π1 > π C > π2