Modellazione di fenomeni di frattura mediante metodo XFEM ... · Nel campo della meccanica della frattura, lo studio della propagazione delle rotture nei materiali riveste un ruolo

POLITECNICO DI MILANO

Facolta di Ingegneria Industriale

Corso di Laurea in Ingegneria Aeronautica

Modellazione di fenomeni di frattura

mediante metodo XFEM

ed elementi coesivi

Relatore: Prof. Alessandro AiroldiCo-Relatore: Prof. Marco Morandini

Roberto CantuMatricola: 725183

Anno Accademico 2010/2011

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Alla mia famiglia

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Sommario

Questo lavoro di tesi riguarda lo studio della meccanica della frattura, mediante l’utilizzodi un metodo innovativo che porta il nome di Extended Finite Element Method (XFEM).Di seguito vengono descritte tutte le analisi effettuate al fine di verificarne l’efficienza e larobustezza, le quali inizialmente si sono basate sul testing di alcuni modelli di riferimen-to semplificati, e successivamente sono proseguite con la riproduzione di alcune prove dievidenza realistica.

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Indice

Sommario 4

Introduzione 15

1 Extended Finite Element Method (X-FEM) 171.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2 Principi di meccanica della frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3 Metodo di Partizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4 Formulazione del comportamento a frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.5 Implementazione del metodo XFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Il Metodo X-FEM implementato in Abaqus:verifiche e analisi di sensi-tivita 252.1 Descrizione dei modelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.1.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.2 Caratteristiche Meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1.3 Generazione della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.4 Definizione del piano di frattura (XFEM) . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Definizione delle analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Condizioni al contorno: vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2 Condizioni al contorno: spostamenti imposti . . . . . . . . . . . . . 31

2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Plane stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2 Plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Analisi di sensitivita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1 3D con un elemento nello spessore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2 Infittimento/diradamento della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.4.3 Mesh irregolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Compact Tension Specimen 473.1 Elementi Coesivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 CT di Pinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2 Caratteristiche Meccaniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2.3 Generazione della Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.4 Definizione piano di frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Definizione delle Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

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8 INDICE

3.3.1 Condizioni al contorno e di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1 Coesivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.2 XFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4.3 Confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4 Provino con Materiale Carbo-Ceramico 634.1 Materiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Modello con fibre squadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Geometria e Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2 Definizione delle analisi e del piano di frattura . . . . . . . . . . . . 664.2.3 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3 Modifiche al Modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.3.1 Modello con contatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4 Modello con fibre circolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.4.1 Descrizione del Modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.2 Modello con legge di danno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.3 Modello XFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Conclusioni 87

Elenco delle figure

1.1 Modi di frattura: I, II, III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2 Sistema di riferimento rispetto all’apice della frattura . . . . . . . . . . . . 201.3 Schema di arricchimento dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Arricchimento dei nodi al passaggio della frattura . . . . . . . . . . . . . . 231.5 Arricchimento dei nodi al passaggio della frattura . . . . . . . . . . . . . . 24

2.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 mesh 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3 mesh 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Definizione del piano iniziale di frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Vincoli plane stress 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Vincoli plane stress 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.7 Vincoli plane strain 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Condizione di carico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Plane stress - Sforzi di Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.10 Sforzi nel piano di frattura - plane stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.11 Deformate - plane stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.12 Confronto plane stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.13 Risultati c3d4 plane stress - Deformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.14 Risultati c3d4 plane stress - Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.15 Sforzi di Von Mises plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.16 Sforzi nel piano di frattura - plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.17 Deformate - plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.18 Confronto plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.19 Modello 3D con un elemento nello spessore . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.20 Sforzo principale S22 - Piano di Frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.21 Confronto plane stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.22 Confronto plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.23 Sforzi di Von mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.24 Infittimento/diradamento della mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.25 Confronto plane stress - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.26 Confronto plane strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.27 Confronto plane stress - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.28 Mesh ruotata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.29 Mesh free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.30 Sforzi di Von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.31 Sforzo principale (S22) sul piano di frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

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10 ELENCO DELLE FIGURE

2.32 Sforzo principale (S22) sul piano di frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.33 Deformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.34 Confronto mesh ruotata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.35 Confronto mesh free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1 Elementi Coesivi - Implementazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Compact Tension Specimen - Pinho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3 CT Pinho - Mesh 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 CT Pinho - Mesh 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Piano di frattura - Modello XFEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6 Piano di frattura - Modello 3D con coesivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.7 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.8 Vincoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.9 Risultati Coesivi 2D 4mm - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . 563.10 Risultati - Coesivi 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.11 Risultati - Coesivi 2D (Modello dimezzato) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.12 Risultati Coesivi 2D 2mm - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . 573.13 Risultati - Coesivi 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.14 Risultati Coesivi 3D 2mm - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . 583.15 Risultati - XFEM 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.16 Risultati - XFEM 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.17 XFEM 3D - Piano di Frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.18 Risultati XFEM 2mm - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . . . 603.19 Confronto - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.20 Report [1] - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1 Traction Separation Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Mesh Provino con fibre squadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Geometria Provino con fibre squadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Condizioni al contorno Prova #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Condizioni al contorno prova #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.6 Risultati Prova #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.7 Piano di frattura Prova #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8 Risultati Prova #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.9 Piano di frattura Prova #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.10 Layout e Mesh del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.11 Posizionamento frattura/Particolare zona non arricchita . . . . . . . . . . . 704.12 Risultati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.13 Risultati Prova Tie Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.14 Risultati Prova senza fibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.15 Risultati Prova Cohesive Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.16 Risultati Prova Cohesive Contact - Cedimento contatto . . . . . . . . . . . 754.17 Confronto - Diagramma forza/spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.18 Analisi di sensitivita Cohesive Contact - Valori Raddoppiati . . . . . . . . 764.19 Analisi di sensitivita Cohesive Contact - Valori Dimezzati . . . . . . . . . . 764.20 Modello con Coesivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.21 Sistema di riferimento Coesivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ELENCO DELLE FIGURE 11

4.22 Drucker-Prager - Criterio di resistenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.23 Drucker-Prager - Comportamento in campo plastico . . . . . . . . . . . . 794.24 Drucker-Prager Verifica comportamento a frattura . . . . . . . . . . . . . 814.25 Legge di Velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.26 Drucker Prager - Risultati #1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.27 Drucker Prager - Risultati #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.28 Drucker-Prager - Diagramma Forza/Spostamento . . . . . . . . . . . . . . 824.29 Drucker Prager - Danneggiamento Coesivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.30 Modello XFEM con fibre circolari - Piano di frattura . . . . . . . . . . . . 844.31 Modello XFEM con fibre circolari modificato - Cedimento coesivi . . . . . 854.32 XFEM - Diagramma Forza/Spostamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

12 ELENCO DELLE FIGURE

Elenco delle tabelle

2.1 Proprieta elastiche Acciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1 Proprieta elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Comportamento a frattura CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 Proprieta elastiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Comportamento a frattura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

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14 ELENCO DELLE TABELLE

Introduzione

Nel campo della meccanica della frattura, lo studio della propagazione delle rotture neimateriali riveste un ruolo di primaria importanza. In sede di progettazione risulta infattifondamentale poter conoscere, attraverso l’ausilio di modelli numerici e della teoria, lamodalita di propagazione del danno (se stabile o meno) e la sua direzione.Per questo negli anni sono state formulate diverse teorie, dalle quali e stato poi possibileintrodurre alcune tecniche di modellazione numerica, che hanno permesso di comprenderesempre piu a fondo questo fenomeno, questo grazie anche all’aumento della potenza dicalcolo dei computer e alla sempre miglior efficienza dei codici ad elementi finiti a dispo-sizione.Nonostante i notevoli progressi ottenuti, gli studi effettuati in questo campo sono tutt’oracaratterizzati da diverse problematiche e limitazioni. Le tecniche di modellazione attual-mente disponibili, benche siano in grado di produrre risultati piu che soddisfacenti, nonpermettono ancora una descrizione esauriente di tutto il fenomeno. I modelli utilizzativengono infatti concepiti con una serie di semplificazioni che ne riducono il campo diapplicazione.Ne sono un esempio i modelli a ”zona coesiva”, per i quali risulta necessario definirea priori la zona di frattura, o i modelli di ”danno”, con i quali e possibile ottenere lapropagazione della rottura nel materiale attraverso il calcolo del livello di danneggiamen-to degli elementi, o ancora le tecniche che prevedono il ”re-meshing” del modello per lagenerazione della zona di frattura, che pur fornendo una descrizione molto esauriente delfenomeno, sono caratterizzate da tempi di calcolo molto lunghi.A fronte di tutte queste problematiche nel 1999 e stato formulato un nuovo metodo cheporta il nome di ”XFEM”1. Modificando la classica formulazione degli ”elementi finiti”,attraverso l’introduzione di alcune funzioni di forma per gli elementi, che permettono siadi calcolare lo stato di sforzo all’apice della cricca sia di generare nuove discontinuita, estato definito un metodo con il quale e possibile calcolare sia la tipologia di crescita deldanno sia la sua direzione.Il codice a elementi finiti 3DS/Abaqus ha abbastanza recentemente incluso l’XFEM perpermettere l’analisi di fratture in materiali con comportamento lineare.

Gli obiettivi principali scelti all’inizio di questo lavoro sono sostanzialmente tre. Perprima cosa valutare le capacita del metodo XFEM implementato in Abaqus e metternein evidenza potenzialita, limiti e problematiche legate alla convergenza delle analisi e aitempi di calcolo. Quindi confrontare, considerando un caso riportato in letteratura, ilmetodo XFEM con un modello a zona coesiva. Ed infine verificare la possibilita di utiliz-

1Extended finite element method - Ted Belytschko 1999

15

16 ELENCO DELLE TABELLE

zo congiunto del metodo XFEM e dei modelli di zona coesiva in un caso complesso.

La tesi e strutturata in quattro capitoli. Nel Capitolo 1 vengono descritti alcuni as-petti teorici legati al metodo XFEM, necessari per comprendere la filosofia utilizzata perla generazione dei modelli utilizzati nelle analisi.In quello successivo (Capitolo 2) si riportano le verifiche effettuate utilizzando i bench-marks forniti da ”Abaqus 6.9”. Quindi, basandosi su uno studio precedente [1] eseguitocon un modello coesivo di Compact Tension Specimen2, nel Capitolo 3 sono stati messi aconfronto i risultati ottenuti con i due metodi.Infine nell’ultimo Capitolo (??), il metodo e stato utilizzato per eseguire lo studio dipropagazione di una frattura su di un provino di materiale composito, costituito da fibredi carbonio e matrice carbo-ceramica, al fine di verificarne l’efficienza quando si trova adoperare in domini con caratteristiche non uniformi.

2Pinho 2006

Capitolo 1

Extended Finite Element Method(X-FEM)

1.1 Introduzione

Gli studi riguardanti la meccanica della frattura vengono attualmente affrontati utilizzan-do tecniche ormai consolidate, ma non per questo prive di problematiche e semplificazioni.Tra tante filosofie di modellazione esistenti, le piu utilizzate per gli studi di propagazionedelle rotture, sono sicuramente quelle che prevedono l’utilizzo di elementi finiti con for-mulazione coesiva e quelle che fanno uso di modelli di danno.Entrambi i metodi pero, come si e detto nell’introduzione, sono caratterizzati da alcunecriticita.Per i modelli con elementi coesivi possono essere individuate due grosse problematiche.La prima riguarda la modellazione e la generazione della mesh; questi elementi infatti,nonostante negli anni siano state effettuate delle formulazioni in grado di superare questolimite, devono essere utilizzati con spessore nullo, quindi il loro posizionamento per grossestrutture puo diventare estremamente difficile o addirittura impossibile. In alcuni casiquesta difficolta e stata superata sfruttando il supporto di software di modellazione ap-positamente generati, tuttavia attualmente i piu importanti programmi di modellazioneed analisi sul mercato sono per lo piu privi di queste ”capacita”.Un’altra grossa limitazione riguarda la necessita di definire a priori la direzione di propagazionedella frattura, restringendo di fatto il campo di utilizzo di questi elementi a problemi diuna certa tipologia, quali possono essere: verifica di resistenza di incollaggi e studi sulladelaminazione di materiali compositi.Gli approcci basati sulla meccanica del danno, nonostante riescano a superare alcune lim-itazioni intrinseche degli elementi coesivi, presentano pero altre problematiche.Con questi infatti e possibile permettere la degradazione del materiale in base allo statodi deformazione e sforzo locali ma necessitano di livelli di raffinamento estremi per model-lare gli stati di sforzo all’apice delle fratture. Essi non possono fornire indicazioni nesulla localizzazione ne sulla direzione di propagazione dei fronti di frattura. Inoltre, sonotipicamente caratterizzati dalla interdipendenza fra leggi di danno e dimensioni degli ele-menti. Infatti la rappresentazione della propagazione della frattura non puo che avveniredegradando gli elementi, a spese dell’energia di deformazione nel volume degli elementistessi, mentre il fenomeno e fisicamente riconducibile alla dissipazione di energia per unita

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18 CAPITOLO 1. EXTENDED FINITE ELEMENT METHOD (X-FEM)

di superficie. Risulta quindi necessario calibrare la legge di danno in modo che l’energiadissipata dal modello numerico per degradare gli elementi sia equivalente all’energia daspendere per creare la corrispondente superficie di frattura.Per cercare di superare questi limiti in passato si e cercato di effettuate questi studiattraverso un continuo ”re-meshing” del modello per cercare di catturare la correttapropagazione della frattura, tuttavia questo tipo di approccio comporta un onere com-putazionale molto elevato.

Per questo, alla fine dello scorso secolo, venne sviluppata un nuova tecnica per lo stu-dio della propagazione di discontinuita di diverso tipo, al quale venne dato il nome diXFEM (Extended finite element method). Questo nuovo metodo di modellazione, svilup-pato da Ted Belytschko e dai suoi collaboratori, e formalmente una ”tecnica numerica” chepermette di estendere il campo di utilizzo degli ormai diffusissimi elementi finiti (FEM),arricchendo la soluzione spaziale per la risoluzione delle equazioni differenziali attraversol’utilizzo di funzioni discontinue.Quello che sostanzialmente viene fatto, e apportare delle modifiche alle funzioni di for-ma degli elementi finiti, predisponendo l’attivazione, per gli elementi che si trovano inprossimita della frattura, delle funzioni Asintotiche e di Heaviside, le quali permettonorispettivamente di descrivere lo stato di sforzo attorno all’apice di una rottura e di gener-are una discontinuita.Uno dei punti di forza di questo nuovo metodo e la completa indipendenza del piano difrattura rispetto alla mesh generata, il suo posizionamento infatti risulta del tutto arbi-trario, inoltre non risulta piu necessario effettuare un re-meshing del modello.Bisogna inoltre considerare il fatto che a differenza dei normali FEM, questo tipo di meto-do e poco legato alla dimensione degli elementi della mesh, questo grazie appunto allamodifica delle funzioni di forma che ne regolano il comportamento.

Di seguito viene riportato un esempio di formulazione del metodo (cosı come descrittoin [2] e [3]) effettuata in ambiente Abaqus, software che e stato utilizzato per svolgere leanalisi riportate in questo lavoro.Tuttavia prima di descrivere il metodo XFEM risulta pero opportuno fare una breve de-scrizione di alcuni concetti fondamentali riguardanti la meccanica della frattura.

1.2 Principi di meccanica della frattura

Il termine crack o frattura viene utilizzato per indicare ogni discontinuita fisica presentenel materiale.Quando un sistema con una discontinuita assegnata viene sottoposto ad un carico, questopuo essere scomposto in tre modi, come riportato nella figura 1.1. Il Modo I e analogoalla situazione di un carico di tensione applicato normalmente alla frattura, il Modo IIalla condizione di taglio nel piano, mentre il Modo III a quella di taglio fuori dal piano.Nel lavoro descritto in questa tesi verra studiata soprattutto la condizione di fratturapresente nel Modo I, mentre quella di Modo III non viene mai considerata.Tuttavia nella maggior parte delle situazioni reali la presenza di un solo tipo di condizionedi carico e quindi di modo di frattura tende ad essere un’eccezione, per questo motivo si

1.2. PRINCIPI DI MECCANICA DELLA FRATTURA 19

parla spesso di Modo Misto di Frattura.

Figura 1.1: Modi di frattura: I, II, III

Una dei concetti principi della meccanica della frattura e che, quando ci si trova inprossimita dell’apice della discontinuita, i campi di sforzo,deformazione e spostamentodiventano indipendenti dalla geometria del modello preso in considerazione.Il campo attorno all’apice della frattura puo essere caratterizzato attraverso l’uso dei fat-tori di intensita dello sforzo - KI KII KIII (stress intensity factor SIF)) - che corrispon-dono proprio alle tre tipologie di carico descritte nella figura 1.1. I SIF sono connessi advettore di trazione situato nel piano perpendicolare a quello di frattura e ad una distanzar a valle dell’apice della discontinuita, con la seguente relazione:

(σ22 + iτ12)θ=0 =KI + iKII√

2πτ(1.1)

Il significato di r e θ e visibile nella figura 1.2. Dal punto di vista quantitativo lapresenza del Modo II rispetto al Modo I viene definita con l’angolo:

ψ = tan−1

(KII

KI

)(1.2)

Dove, quando ψ = 0◦

si ha un comportamento di puro Modo I, mentre con ψ = 90◦

di puro Modo II.

A questo punto risulta possibile calcolare le componenti di spostamento in prossimitadell’apice della frattura:

u = (uIx) + (uIIx ) + (uIy) + (uIIy ) (1.3)

uIx =KI

2µ

√r

2πcos

(θ

2

)[k − 1 + 2 sin2

(θ

2

)](1.4)

uIIx =KII

2µ

√r

2πsin

(θ

2

)[k + 1 + 2 cos2

(θ

2

)](1.5)


Figura 1.2: Sistema di riferimento rispetto all’apice della frattura

uIy =KI

2µ

√r

2πsin

(θ

2

)[k + 1− 2 cos2

(θ

2

)](1.6)

uIIy =KII

2µ

√r

2πsin

(θ

2

)[k − 1− 2 sin2

(θ

2

)](1.7)

k = 3− 4µ (1.8)

µ =E

2(1 + ν)(1.9)

Dove k e µ sono rispettivamente la costante di Kolosov e il modulo di taglio.E’ evidente, per come sono state scritte le equazioni sopra riportate, che il campo dispostamento, e quindi di conseguenza anche quello di sforzo, e di tipo asintotico. Questosignifica che in prossimita dell’apice della frattura gli sforzi tendono ad andare all’infinito.Questo ovviamente nella realta non accade, pero l’andamento teorico descritto dimostradi fatto la considerazione fatta all’inizio di questo paragrafo, per cui in prossimita del-l’apice di una discontinuita il comportamento e del tutto indipendente dal tipo di provinoche si sta considerando.I risultati fin qui riportati sembrano contenere una contraddizione, che possono pero es-sere spiegati nel modo seguente. Per una frattura in un materiale perfettamente elastico,ci si aspetta che la soluzione asintotica descritta nella equazioni 2.23 - 2.20 diventi semprepiu predominante man mano che ci si avvicina all’apice della frattura.Invece nelle regioni lontane da questa zone ci si trova ad avere una dipendenza dei campidi spostamento, deformazione e sforzo dalle condizioni al contorno, dalla geometria delprovino, ecc., non confermando di fatto la validita delle soluzioni asintotiche. Inoltree necessario considerare che di fatto, quando ci si trova molto vicini all’estremita delladiscontinuita, lo stato di sforzo e tale da attivare inevitabilmente i meccanismi anelasticinel materiale. La soluzione reale, quindi, non e asintotica ma tagliata al livello di sfor-zo corrispondente allo snervamento o a processi di danneggiamento che caratterizzano ilcomportamento non-lineare dei materiali.

1.3. METODO DI PARTIZIONE 21

La giustificazione di queste contraddizioni e possibile inserendo nella descrizione la pre-senza di una zona, chiamata a K dominante (region K dominance) che si trova tra le dueregioni appena descritte, quindi abbastanza vicino all’apice della frattura per non con-siderare le specifiche relative al provino, ma comunque sufficientemente lontano da poterfare l’ipotesi di comportamento elastico lineare. Questa zona viene descritta interamentedai fattori di intensita degli sforzi (SIF).

Esistono tuttavia diverse altre vie per caratterizzare una discontinuita, per esempioutilizzando dei metodi energetici. Uno dei piu conosciuti e sicuramente l’energy releaserate, che si basa sull’immediata considerazione che durante la propagazione di una fratturasi ha una dissipazione di energia.Anche se l’ipotesi di comportamento lineare elastico viene violato nell’intorno dell’apice,finche il processo rimane costante, allora anche l’energia dissipata lo rimane e risultapossibile quantificarla.L’energy release rate e visibile nell’equazione 1.10 dove viene riportato il bilancio di energiadi Griffith ([3] [4])

dW

da− dU

da=dΓ

da(1.10)

Dove si indica con W il lavoro esterno, con U l’energia elastica e con Γ l’energianecessaria per far propagare la frattura, mentre a e la lunghezza della discontinuita.Dividendo il termine di sinistra dell’equazione 1.10 rispetto allo spessore del provino siottiene la G. Quando ci si trova nella condizione di G > Gc, dove con Gc si intende latenacita del materiale, la frattura inizia a propagare.

I due metodi appena esposti possono essere correlati attraverso le seguenti equazioni:

G =(K2

I +K2II)

(E), E =

E

(1− ν2)(Stato piano di deformazione) (1.11)

Dove con E e ν si intendono rispettivamente il Modulo di Young e il coefficiente diPoisson.

1.3 Metodo di Partizione

Nel metodo agli elementi finiti, una funzione di forma NI , associata ad un nodo I, ha una”regione di influenza” che e rappresentata da quel set di elementi che includono il nodo I.Queste funzioni rappresentano una ”partizione dell’unita” (Partition of unity).∑

I∈N

NI(x) = 1 (1.12)

Dove con con N si intende la regione dove puo avvenire la frattura.Detto questo allora deve essere possibile riprodurre esattamente una qualsiasi funzioneΓ(x). ∑

I∈N

NI(x)Γ(x) = Γ(x) (1.13)


Questo e il concetto che sta alla base del metodo XFEM. Scegliendo una funzioneΓ(x) appropriata per ogni nodo, risulta possibile definire a priori un comportamento delmodello, pur utilizzando le potenzialita del metodo agli elementi finiti.

1.4 Formulazione del comportamento a frattura

Per effettuare un’analisi di frattura con un materiale di tipo isotropo ed elastico linearee necessario utilizzare due funzioni per rappresentare la presenza di una frattura: unafunzione che presenta una discontinuita per la rottura e un set di funzioni asintotiche perrappresentare l’esatto comportamento all’apice della cricca.Indicando con Γ il piano di frattura, con Λ il suo apice e con N l’intero set di nodi,abbiamo cheNΓ rappresenta l’insieme di nodi attraversati dalla discontinuita, mentre NΛ

quelli che sono interessati dalla vicinanza del suo apice. In particolare deve essere larelazione NΓ ∩ NΛ = 0.Detto questo e possibile descrivere l’approssimazione dello spostamento rappresentatodalle nuove funzioni di forma ”arricchite ” (enriched) come:

uh(x) =∑

I∈N NI(x)

uI + H(x)aJ︸︷︷︸ +∑α=1

Φα(x)bαK︸︷︷︸

J ∈ NΓ K ∈ NΛ

(1.14)

Dove uI rappresenta lo spostamento ai nodi della parte continua della soluzione deglielementi finiti, aJ e il vettore del grado di liberta nodale arricchito con la discontinuita,mentre bαK e il grado di liberta nodale arricchito con le funzioni asintotiche dell’apice dellafrattura.

La funzione di Heaviside associata alla frattura e:

H(x) =

{+1 if (x− x∗) · n ≥ 0−1 altrimenti

(1.15)

Dove x e un punto di integrazione, x∗ e la sua proiezione sul piano di frattura e n ela normale rispetto alla discontinuita in x∗. Le funzioni asintotiche invece presentano laseguente forma:

[Φα(x), α = 1− 4] =

[√r sin

θ

2,√r cos

θ

2,√r sin

θ

2sin θ,

√r cos

θ

2sin θ

](1.16)

Nella figura 1.4 viene riportato un esempio grafico di come vengano attivati i nodi inun modello di analisi di propagazione di frattura.La scelta dell’estensione della zona di tip enriched dipende da diversi fattori. Nelle for-mulazioni piu semplici i nodi arricchiti con le funzioni di forma asintotiche, sono quelliappartenenti all’elemento interessato dall’apice della frattura, quindi l’estensione dellazona dipende dalla dimensione della mesh. Tuttavia con lo sviluppo del metodo e sta-to possibile definire degli schemi di arricchimento molto piu sofisticati ed efficienti che

1.5. IMPLEMENTAZIONE DEL METODO XFEM 23

tenessero conto anche di altri fattori, quali possono essere gli Stress Intensity Factors,come visibile nell’immagine a di 1.4.

Figura 1.3: Schema di arricchimento dei nodi

1.5 Implementazione del metodo XFEM

A questo punto, dopo aver presentato i concetti che stanno alla base dell’XFEM, vieneriportato un esempio di implementazione del metodo, al fine di comprenderne piu a fon-do le potenzialita rispetto agli odierni strumenti di calcolo per la meccanica della frattura.

Una delle piu importanti caratteristiche di questo metodo e la possibilita di aggiungerealcuni gradi di liberta ad alcuni nodi, con un numero variabile a seconda dell’arricchimentoche viene effettuato1, quando la frattura taglia un elemento o un gruppo di elementi ([2][3]). L’aumento dei gdl viene ovviamente fatto solo per i nodi dove ci si aspetta il passaggiodella discontinuita, rendendo di fatto il metodo molto piu efficiente.

Figura 1.4: Arricchimento dei nodi al passaggio della frattura

1Funzione di Heaviside o asintotica


Grazie all’aumento dei gradi di liberta disponibili risulta possibile il calcolo dellospostamento attraverso l’equazione 1.14 riportata nel paragrafo precedente.Ovviamente quando non vi e la presenza di nodi arricchiti l’equazione 1.14 si riduce allaforma piu semplice 1.17, tipica del classico metodo agli elementi finiti.

uh(x) =∑

NI(x)uI (1.17)

Come per il classico metodo FEM, per effettuare il calcolo della matrice di rigidezza diogni elemento, e necessario eseguire un’integrazione numerica sul dominio dell’elemento.Tuttavia gli elementi interessati dal passaggio della frattura presentano una discontinuitanello spostamento a causa della formulazione XFEM descritta. Per questo occorre sud-dividere questi elementi in sotto-domini nei quali la frattura rappresenta uno dei bordi([5]).Questa operazione di fatto non modifica la topologia della mesh creata in partenza, masolo il dominio necessario ad effettuare le integrazioni, il che comporta un vantaggio nontrascurabile rispetto ad altri metodi utilizzati per i calcoli di propagazione di fratture.Un esempio di come questa suddivisione venga effettuata e visibile nella figura 1.5.

Figura 1.5: Arricchimento dei nodi al passaggio della frattura

Capitolo 2

Il Metodo X-FEM implementato inAbaqus: verifiche e analisi disensitivita

In questo capitolo vengono esaminate le potenzialita e i limiti del metodo X-FEM imple-mentato in Abaqus. La versione considerata del codice e la 6.9. L’attivita presentata si esvolta a partire dei casi di verifica descritti nella manualistica del codice.Si e deciso di impostare lo studio partendo da provini molto semplici, per questo motivoe stato considerato solamente il modo di frattura di tipo I.

2.1 Descrizione dei modelli

2.1.1 Geometria

I modelli utilizzati sono stati definiti a partire da due geometrie molto semplici, una bidi-mensionale ed una tridimensionale. In entrambi i casi viene rappresentata una piastraquadrata con lato di 3 m e spessore di 1 m.

2.1.2 Caratteristiche Meccaniche

Per queste prime analisi si e scelto di utilizzare un Acciao, quindi un materiale isotropo,le cui caratteristiche elastiche vengono riportate nella tabella 2.1.

AcciaoModulo elastico E 210 GPa

Coefficente di Poisson ν 0.3

Tabella 2.1: Proprieta elastiche Acciao

Per descrivere il comportamento a frattura del materiale sono due i parametri che enecessario specificare: quando inizia a propagarsi la frattura e in che modo si propaga.

25

26CAPITOLO 2. IL METODO X-FEM IMPLEMENTATO IN ABAQUS: VERIFICHE E ANALISI DI SENSITIVITA

(a) 2D (b) 3D

Figura 2.1: Geometria

In Abaqus esistono diversi criteri per definire il momento di iniziazione, tuttavia quandosi utilizzano le funzioni di forma dell’XFEM l’unico utilizzabile risulta essere il MAXPS(Max Principal Stress). Questo criterio richiede semplicemente di specificare il valoremassimo di sforzo nelle tre direzioni principali oltre il quale la rottura comincia a propa-garsi. Il valore scelto per tutte le direzioni e di 84.4 MPa, decisamente inferiore a quellotipico di un qualsiasi acciaio, si e deciso tuttavia volutamente di utilizzare un valore cosıbasso per evitare che uno sforzo di iniziazione troppo alto si scontrasse con la necessitadi disporre di schemi ad elementi finiti estremamente raffinati.Diversi metodi esistono inoltre per descrivere l’evoluzione del danno in un materiale. Ilcriterio e di tipo energetico, per il quale occorre specificare il valore di Strain EnergyRelease (G) nelle tre direzioni principali. Questo metodo si basa su una scelta a priorirelativa all’andamento della risposta del materiale dopo l’iniziazione.Si assume, infatti, che vi sia un comportamento lineare fino all’iniziazione e, successiva-mente, uno strain-softening. L’andamento della risposta sforzo-deformazione in questaseconda fase puo essere lineare o piu complesso. Il metodo energetico, tuttavia, assumeuna forma e controlla l’energia dissipata fino alla completa apertura della frattura.Anche in questo caso si e utilizzato, considerata l’isotropia del materiale, lo stesso valorepari a 42200 J/m2 in tutte e tre le direzioni.Infine, in alcune prove, per evitare che una possibile crescita instabile della frattura por-tasse ad errori nelle analisi, e stata inserita una viscous regularization, la quale permette,a seconda del valore assegnato al parametro, di smorzare in maniera importante o menola velocita di crescita del danno.Di seguito vengono riportate le card di Abaqus utilizzate per definire il materiale.

*MATERIAL, NAME=ACCIAIO

*DAMAGE INITIATION, CRITERION=MAXPS

8.44e+07,

*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=ENERGY, MIXED MODE BEHAVIORr=POWER LAW, POWER=1.

42200.,42200.,42200.

*DAMAGE STABILIZATION

*ELASTIC

2.1. DESCRIZIONE DEI MODELLI 27

2.1e+11, 0.3

E’ importante far notare che, utilizzare la card di Abaqus : *DAMAGE EVOLUTION,TYPE=ENERGY, significa scegliere una curva di Traction Separation di tipo bilinearecon un’area sottesa pari al valore di G utilizzato.Inoltre in questo caso si e scelto di utilizzare un criterio misto di frattura, governato dauna Power Law, che puo essere descritto con l’equazione 2.1.

(GI

GIc

)α+

(GII

GIIc

)α+

(GIII

GIIIc

)α= 1 (2.1)

Dove con G e Gc si intendono rispettivamente il valore di Strain Energy Release calco-lato e quello limite relativi ai tre modi di frattura. L’esponente α assume valore 1 oppure2 a seconda che si voglia utilizzare un criterio di tipo lineare o quadratico.

2.1.3 Generazione della mesh

Per la definizione della mesh sono stati utilizzati 4 diversi tipi di elementi: cpe4, cps4,c3d4 e c3d8. I primi due sono elementi bilineari a 4 nodi, utilizzati per riprodurre rispet-tivamente uno stato di deformazione e di sforzo piani. Nel caso tridimensionale si e invecefatto uso di elementi di tipo tetra lineari a 4 nodi (c3d4) e di tipo brick lineari a 8 nodi(c3d8). In questo caso le due condizioni di stato di sforzo e deformazione sono stati definitiattraverso l’imposizione di opportune condizioni al contorno.Nelle figure 2.2 e 2.3 vengono riportati il modello FEM bidimensionale di piastra, cheper struttura della mesh risulta identico per entrambi i tipi di elementi e i due modellitridimensionali ottenuti.

Figura 2.2: mesh 2D


(a) c3d4 (b) c3d8

Figura 2.3: mesh 3D

2.1.4 Definizione del piano di frattura (XFEM)

Il metodo XFEM e uno strumento molto potente, tuttavia per poter funzionare corretta-mente richiede la definizione di almeno un piano iniziale di frattura.Questa operazione viene effettuata utilizzando la card di Abaqus *ENRICHMENT, at-traverso la quale e possibile predisporre per tutti gli elementi desiderati, qualora si venis-sero a trovare in prossimita di una discontinuita, l’eventuale attivazione delle funzionidi forma asintotiche e di Heaviside. Le prime permettono di descrivere correttamentelo stato di sforzo in corrispondenza dell’apice della frattura mentre la seconda serve pergenerare la divisione degli elementi interessati dalla discontinuita.Per poter posizionare il piano iniziale di frattura si definiscono delle opportune condizioniiniziali, le quali permettono appunto di imporre l’attivazione di queste funzioni di formaper gli elementi che si trovano vicini alla rottura.Nella figura 2.4 viene riportato il risultato ottenuto per entrambi i casi: bidimensionale etridimensionale.

(a) 2D (b) 3D

Figura 2.4: Definizione del piano iniziale di frattura

2.2. DEFINIZIONE DELLE ANALISI 29

Di seguito vengono riportate le card utilizzate per la definizione della frattura:

*ENRICHMENT, NAME=CRACK, TYPE=PROPAGATION CRACK, ELSET=TUTTI, INTERACTION=LOWER

Con questa card viene predisposta l’attivazione delle funzioni di forma aggiuntivequando l’apice della cricca si trova in prossimita degli elementi considerati.In questo caso e stata anche inserita una legge di contatto, per poter descrivere lo sfrega-mento delle due facce che si vengono a creare con la crescita della frattura.

Si riporta inoltre uno stralcio della definizione del piano di frattura iniziale. Con lacard *INITIAL CONDITION e possibile scegliere quali elementi vengono interessati in-izialmente dalla rottura e quindi specificarne l’esatta posizione rispetto ai nodi.

*INITIAN CONDITION, TYPE=ENRICHMENT

1308, 1, CRACK, 0.0344698, -0.0384716

1308, 2, CRACK, -0.0270109, -0.00747435

1308, 3, CRACK, 0.0320477, 0.047682

1308, 4, CRACK, 0.0937918, -0.00873785

329, 1, CRACK, -0.0270109

329, 2, CRACK, 0.0344698

329, 3, CRACK, 0.0347252

2.2 Definizione delle analisi

Terminata la generazione dei modelli si procede alla definizione delle condizioni al con-torno per le analisi.I casi studiati, come gia accennato all’inizio del capitolo, sono due: stato piano di sforzoe stato piano di deformazione.Successivamente, nel paragrafo 2.4, verranno presentate anche le analisi riguardanti glistudi di sensitivita effettuati rispetto ad alcuni parametri.

2.2.1 Condizioni al contorno: vincoli

plane stress

Nel modello bidimensionale sono stati imposti due vincoli di spostamento in direzione xa due vertici della piastra, come e visibile nella figura 2.5.

Mentre in quello tridimensionale e stata bloccata la traslazione in due nodi sia in di-rezione x che in z, questo per poter anche limitare la rotazione attorno agli assi x e y. Ilrisultato ottenuto e riportato nella figura 2.6.In entrambi i casi il lato della piastra interessato dai vincoli e quello opposto rispetto allagiacitura del piano iniziale di frattura.


Figura 2.5: Vincoli plane stress 2D

Figura 2.6: Vincoli plane stress 3D

plane strain

Per il modello 2D i vincoli imposti sono identici a quelli definiti nel caso precedente, inquanto la condizione di stato piano di deformazione viene garantita gia dalla formulazionedegli elementi finiti utilizzati (cpe4).Il discorso per il modello tridimensionale e invece differente. In questo caso si blocca latraslazione lungo l’asse x in due punti, e risulta inoltre necessario introdurre dei vincolialla traslazione lungo z per tutti i nodi appartenenti alle due facce della piastra.Nella figura 2.7 e possibile vedere graficamente il risultato ottenuto.

2.2. DEFINIZIONE DELLE ANALISI 31

Figura 2.7: Vincoli plane strain 3D

2.2.2 Condizioni al contorno: spostamenti imposti

Per tutte le analisi considerate viene imposta una condizione di carico di spostamento. Sitratta di una traslazione in direzione verticale e verso appropriato, che viene applicata suogni nodo appartenente alle facce inferiore e superiore della piastra, come visibile nellafigura 2.8

(a) 2D (b) 3D

Figura 2.8: Condizione di carico

In particolare sulla faccia superiore lo spostamento e stato assegnato ad un solo nodonon appartenente alla mesh, detto nodo di riferimento, che poi e stato legato a tutti glialtri utilizzando la card EQUATION di Abaqus. Il vincolo introdotto dal metodo equationcollega lo spostamento verticale di tutti i nodi della faccia a quello del nodo di riferimen-to. Questa scelta permette di calcolare la forza totale applicata alla faccia superiore e ilrelativo spostamento.

Tutte le analisi effettuate sono di tipo statico non lineare. Come output vengono richi-esti gli sforzi in corrispondenza di tutti gli elementi e il legame forza-spostamento nel nodo


di applicazione del carico.Di seguito riportiamo le card utilizzate per la definizione delle analisi.

*EQUATION

2

UP, 2, 1.

DISP, 2, -1.

*STEP NAME=STEP-1, NLGEOM=YES, INC=10000

*STATIC

0.01, 1., 1e-09, 0.01

*BOUNDARY

DOWN, 2, 2, -0.001

*BOUNDARY

DISP, 2, 2, 0.001

2.3 Risultati

Riportiamo a questo punto i risultati ottenuti per le cinque prove effettuate ed il confrontotra i legami forza-spostamento per i casi di plane stress e plane strain considerati.

2.3.1 Plane stress

Vengono descritte per prima cosa le analisi effettuate con i modelli di cps4 e c3d8, mentreper ultime quelle eseguite con il modello composto da elementi tetraedrici, in quanto leprove effettuate hanno evidenziato alcune criticita.I risultati ottenuti con i primi due modelli sono stati molto soddisfacenti. Come si puonotare dalle figure 2.9, lo stato di sforzo attorno all’apice della cricca viene descritto moltobene. Nella zona di frattura viene a crearsi infatti una zona ad alta concentrazione disforzo, con una distribuzione che rispetta la teoria che descrive il fenomeno.

(a) cps4 (b) c3d8

Figura 2.9: Plane stress - Sforzi di Von Mises

2.3. RISULTATI 33

Nel caso di modello bidimensionale, se si osserva il valore di sforzo massimo riportatoin tabella, che corrisponde alla zona dell’apice della rottura, si nota che e praticamenteidentico a quello che e stato scelto per la Damage Initiation nella definizione del materialescelto, questo a ulteriore conferma della bonta del metodo.Per il modello tridimensionale occorre invece fare delle precisazioni, per giustificare ladistribuzione degli sforzi presenti. In questo caso si riscontra la presenza di una seriedi effetti tridimensionali che comportano una riduzione dello sforzo ai lati e un’intensi-ficazione al centro. Questo comportamento e molto probabilmente dovuto al fatto che,nella zona dove la frattura si apre c’e una flessione del materiale, che percio tende contrarsitrasversalmente. La superficie di conseguenza si incurva trasversalmente e questo effetto,impedito dove la frattura non e ancora aperta, amplifica lo sforzo al centro. Nella figura2.10 viene riportata un’immagine del piano di frattura, dove si possono notare chiara-mente gli effetti di bordo generati. Inoltre e possibile verificare come i valori di sforzonella direzione principale di frattura (S22), siano praticamente identici a quelli riscontratinel modello bidimensionale, in accordo con il criterio di iniziazione scelto per le due prove.

(a) Piano Frattura (b) Sforzi S22

Figura 2.10: Sforzi nel piano di frattura - plane stress

Da queste figure e infine possibile osservare come la frattura, in un modello tridi-mensionale, si propaghi in realta con un fronte di frattura curvo, a causa degli effetti ditridimensionalita presenti, a causa dei quali viene a crearsi questa particolare distribuzionedi sforzo.Per completezza riportiamo anche le deformate dei due modelli, dove si nota come lasimmetria del modello e delle condizioni al contorno, abbiano prodotto una crescita dellafrattura nello stesso piano definito nelle condizioni iniziali. Ed infine il confronto tra lecurve forza-spostamento ottenute dalle analisi dei due modelli nella figura 2.12, le qualirisultano praticamente identiche. Gli effetti tridimensionali presenti nel modello 3D in-fatti, sono di entita talmente ridotta, da non produrre una variazione sensibile dei risultati.

Nonostante i risultati molto soddisfacenti ottenuti fino a questo punto, purtroppo leanalisi effettuate con il modello costituito da elementi tetra, hanno presentano alcunecriticita. Una mesh cosı costruita ha un’orientazione intrinseca, che in alcuni test puocomportare una serie di problemi.Le condizioni di carico da noi imposte risultano essere non ottimali per questo tipo di pro-va, infatti il vincolo di spostamento e stato assegnato a tutti i nodi appartenenti alle faccesuperiore ed inferiore della piastra. Cosı facendo viene impedita la deformazione delle due


(a) cps4 (b) c3d8

Figura 2.11: Deformate - plane stress

Figura 2.12: Confronto plane stress

facce, quindi l’energia necessaria per far proseguire la frattura risulta essere molto elevata,tanto che possono presentarsi altre soluzioni di propagazione della frattura con un’energiaminore. Quando il modello e perfettamente simmetrico non ci sono problemi, ma quandocome in questo caso, e presente un’asimmetria, si ha una convergenza del calcolo versouna soluzione non simmetrica di propagazione.Dalle immagini 2.13 e 2.14 e possibile vedere il risultato ottenuto.

2.3. RISULTATI 35

Figura 2.13: Risultati c3d4 plane stress - Deformata

Figura 2.14: Risultati c3d4 plane stress - Von Mises


2.3.2 Plane strain

Lo studio della propagazione della frattura, nel caso di modelli che riproducono uno statopiano di deformazione, viste le problematiche riscontrate con gli elementi tetraedrici, estata ristretta solamente a quelli generati con elementi cpe4 e c3d8.Anche in questo caso i risultati ottenuti sono assolutamente soddisfacenti.Come e possibile notare nella figura 2.15, la distribuzione di sforzo nell’intorno dell’apicedella cricca rispetta quanto ipotizzato dalla teoria della meccanica della frattura, e i valoridi sforzo sono conformi a quelli assegnati per la definizione del materiale.

(a) cpe4 (b) c3d8

Figura 2.15: Sforzi di Von Mises plane strain

Rispetto al caso di stato piano di sforzo bisogna pero evidenziare alcune particolaridifferenze. A causa delle condizioni al contorno imposte gli effetti di bordo nel modellotridimensionale pur essendo comunque presenti hanno un’incidenza decisamente minore.Nella figura 2.16 si nota come in questo caso la propagazione non segua piu un fronte difrattura curvo a causa dell’uniformita degli sforzi all’apice della cricca.

(a) Piano Frattura (b) Sforzi S22

Figura 2.16: Sforzi nel piano di frattura - plane strain

Riportiamo inoltre le deformate dei due modelli nella figura 2.17. Dove si nota come,anche in questo caso, la propagazione della frattura sia avvenuta nello stesso piano defini-to nelle condizioni iniziali.

Infine nella figura 2.18 viene effettuato il confronto tra le curve forza-spostamentoottenuti dalle due analisi. Nel caso precedente i risultati presentavano delle lievissime dif-

2.3. RISULTATI 37

(a) cps4 (b) c3d8

Figura 2.17: Deformate - plane strain

ferenze, mentre i due modelli di plane strain hanno fornito risultati assolutamente identici.Questo perche, come evidenziato in precedenza, l’imposizione delle condizioni al contornonel modello tridimensionale hanno ridotto gli effetti di bordo che normalmente si gener-ano, rendendolo del tutto identico al modello bidimensionale, dove questi fenomeni sonoovviamente assenti.

Figura 2.18: Confronto plane strain


2.4 Analisi di sensitivita

A questo punto il nostro studio prosegue con la verifica della robustezza dei risultati finqui ottenuti. I modelli precedentemente illustrati sono stati modificati per conoscere ilcomportamento del metodo al variare del numero di elementi utilizzati e della regolaritadella mesh.

2.4.1 3D con un elemento nello spessore

Il modello 3D (c3d8) e stato modificato in modo tale da avere un solo elemento nellospessore, come visibile in figura 2.19.

Figura 2.19: Modello 3D con un elemento nello spessore

Confrontando la curva forza-spostamento ottenuta con il modello modificato si notacome il risultato sia sostanzialmente identico, per entrambi i casi presi in considerazione.

(a) plane stress (b) plane strain

Figura 2.20: Sforzo principale S22 - Piano di Frattura

Il risultato in questo caso era ovviamente scontato. Utilizzando un solo elemento tridi-mensionale nello spessore ci si riduce di fatto ad un modello bidimensionale.Come si puo notare nelle figura 2.23 la distribuzione di sforzo attorno all’apice della criccae corretta.

2.4. ANALISI DI SENSITIVITA 39

Figura 2.21: Confronto plane stress


Anche nel piano di frattura (figura 2.20), in prossimita della cricca, lo sforzo principale(S22) che precede la propagazione risulta corretto. Tuttavia avendo utilizzato un soloelemento nello spessore, e quindi ridotto di fatto il modello ad un comportamento bidi-mensionale, non e piu possibile descrivere, almeno nel caso di stato piano di sforzo, lacorretta propagazione ad onda del fronte della frattura.

2.4.2 Infittimento/diradamento della mesh

A questo punto, utilizzando i modelli tridimensionali con un solo elemento nello spessore(sia di plane stress che di plane strain), viene effettuata un’analisi di sensitivita, dimez-


(a) plane stress (b) plane strain

Figura 2.23: Sforzi di Von mises

zando e raddoppiando il numero di elementi utilizzati per la definizione della mesh.

(a) Dimezzata (b) Raddoppiata

Figura 2.24: Infittimento/diradamento della mesh

Anche in questo caso i risultati ottenuti sono molto soddisfacenti. Confrontando lecurve forza/spostamento (fig. 2.25 e 2.26) fin qui ottenute con le prove effettuate suimodelli tridimensionali, e possibile notare come non vi siano sostanziali differenze.

Questo studio di sensitivita sulla mesh e stato effettuato anche per il modello in statopiano di sforzo avente piu elementi nello spessore. La stessa analisi non e stata peroripetuta per il caso in stato piano di deformazione. Questo perche, visti i risultati moltosoddisfacenti ottenuti con le prove precedenti, si e deciso di evitare un’analisi che, nel casodi modello con elementi raddoppiati, richiedeva un tempo di calcolo troppo elevato.Anche in questo caso comunque i risultati ottenuti sono concordi con quelli dei modelli diriferimento.


Figura 2.25: Confronto plane stress - 1


2.4.3 Mesh irregolare

Una volta effettuata l’analisi di sensitivita sulla dimensione degli elementi utilizzati, sipuo passare alla verifica del comportamento del metodo XFEM quando si ha una meshruotata o addirittura altamente irregolare1. Il comportamento dei modelli (sia in statopiano di sforzo sia in stato piano di deformazione) rispetto alle prove precedentementeeffettuate e molto simile, quindi si decide di procedere considerando solo i modelli 2D e3D in plane stress. Nelle figure 2.29 e 2.28 vengono riportati i quattro modelli di provagenerati.

1Per irregolare si intende una mesh di tipo free. La distorsione degli elementi rimane contenuta perevitare problemi con lo Jacobiano


Figura 2.27: Confronto plane stress - 1

(a) 2D (b) 3D

Figura 2.28: Mesh ruotata

Tra le prove di sensibilita effettuate, questa risulta essere la piu significativa per lavalidazione del metodo. Nonostante le forti irregolarita presenti nelle mesh dei modelli irisultati sono stati comunque molto soddisfacenti.Nelle immagini riportate di seguito e possibile notare come la distribuzione dello stato disforzo in prossimita della frattura in entrambi casi sia stato molto ben descritto.

L’irregolarita delle mesh influenza, anche se non in maniera significativa, la direzionedi crescita della cricca (figura 2.33). Tuttavia se si analizzano le distribuzioni di sforzoprincipale (S22) sul piano di frattura nella figura 4.2, e possibile notare come i risultatiottenuti sono del tutto simili a quelli raggiunti con mesh regolare.

Anche in questo caso i modelli tridimensionali, per la presenza degli effetti di bordo,presentano una distribuzione di sforzo tale da generare una crescita con un fronte curvo


(a) 2D (b) 3D

Figura 2.29: Mesh free

(a) turn (b) free

Figura 2.30: Sforzi di Von Mises

(a) turn (b) free

Figura 2.31: Sforzo principale (S22) sul piano di frattura

di frattura, come chiaramente visibile nella figura 2.32.

Per concludere riportiamo, nelle figure 2.34 2.35, il confronto tra le curve forza-spostamento ottenute con mesh irregolare e quelle dei modelli di riferimento. Per en-trambe le tipologie di mesh e possibile notare come non vi siano sostanziali differenzerispetto ai risultati ottenuti con i modelli di riferimento iniziali.


(a) turn (b) free

Figura 2.32: Sforzo principale (S22) sul piano di frattura

(a) 2D turn (b) 3D free

Figura 2.33: Deformata

Figura 2.34: Confronto mesh ruotata


Figura 2.35: Confronto mesh free


Capitolo 3

Compact Tension Specimen

I modelli di benchmark forniti da Abaqus ed utilizzati nel precedente studio, sono carat-terizzati da molteplici semplificazioni, sia per quanto riguarda la geometria che per le pro-prieta fisiche del materiale utilizzato. Inoltre questi provini, anche a causa delle condizionial contorno e di carico applicate, tendono a presentare una modalita di propagazione in-stabile della frattura, il che puo rappresentare un problema per le analisi.Percio il passo successivo di questo lavoro e stato quello di scegliere un modello che presen-tasse una modalita di crescita stabile e che fosse costituito da un materiale dalle proprietafisiche realistiche.Prendendo come riferimento uno studio precedentemente effettuato con modelli a zonacoesiva [1], si e cercato di riprodurre i risultati ivi ottenuti e successivamente e stato effet-tuato un confronto tra le due filosofie di modellazione: con elementi coesivi e ovviamentecon l’XFEM.Prima di procedere con la descrizione delle prove effettuate viene riportata una brevedescrizione sulla formulazione degli elementi coesivi.

3.1 Elementi Coesivi

I modelli a zona coesiva, ampiamente utilizzai per rappresentare le connessioni tra duesotto-laminati o tra due lamine, vengono solitamente implementati per elementi con spes-sore nullo o comunque molto ridotto. Essi sono caratterizzati da una legge di trazione/s-postamento che lega lo sforzo trasmesso attraverso l’interfaccia, σ, alle discontinuita dispostamento tra due superfici adiacenti, δ, come riportato nella figura 3.1.Se l’interfaccia non e danneggiata, gli elementi coesivi lavorano riproducendo una connes-sione molto rigida con comportamento elastico.

La legge trazione/spostamento puo essere ridotta alle tre seguenti equazioni scalaritra le componenti di sforzo che vengono trasmesse attraverso l’interfaccia:

σzz = Dzzδzz ; τzx = Dzxδx ; τzy = Dzyδy ; (3.1)

47

48 CAPITOLO 3. COMPACT TENSION SPECIMEN

(a) Elementi di interfaccia (b) Legge Coesiva - Risposta bi-lineare

Figura 3.1: Elementi Coesivi - Implementazione

E’ possibile inoltre osservare come le tre componenti di spostamento si possano asso-ciare ai tre differenti modi di frattura: δI , δII e δIII .

δI =

{δz ifδz > 00 ifδz ≤ 0

; δII = δx; δIII = δy (3.2)

Facendo uso della legge di trazione/spostamento e possibile modellare la degradazionedell’interfaccia, con un approccio continuo alla meccanica del danno. L’inizio del deterio-ramento viene scelto definendo i valori limite di spostamento attraverso la discontinuita:δI0, δII0 e δIII0. Al di sopra di questi limiti il danno evolve secondo una legge imposta,quale puo essere per esempio la risposta bi-lineare riportata nell’immagine b della figura3.1.Riducendo il discorso ai soli modi di frattura di nostro interesse (I e II), nel grafico si notacome il livello di resistenza dell’interfaccia venga direttamente identificato con il picco disforzo della risposta bi-lineare (σI0 e σII0), a cui corrisponde di conseguenza il limite delcomportamento elastico lineare (δI0 e δII0).Lo spostamento finale δIf e δIIf , viene invece calcolato facendo uso delle seguenti equazioni.La tenacita del materiale G infatti, rappresenta l’area sottesa dalla curva bi-lineare.

∫ ∞0

σIdδI = GIc;

∫ ∞0

σIIdδII = GIIc (3.3)

3.2 CT di Pinho

Il modello di Compact tension specimen utilizzato e un laminato simmetrico di carbonioe resina epossilica, costituito da 32 lamine monodirezionali dello spessore di 0.125 mm,posizionate con sequenza [0/90].Di seguito viene effettuata la descrizione della geometria e delle caratteristiche del mate-riale

3.2.1 Geometria

Nella figura 3.2 e visibile la geometria con cui e stato concepito il CT di Pinho. Nell’im-magine sono presenti anche le relative dimensioni e la lunghezza iniziale di frattura.

3.2. CT DI PINHO 49

Viene inoltre riportata, come confronto, la geometria del provino generata per la realiz-zazione del modello a elementi finiti. Nel provino e stata trascurata la parte arrotondatain corrispondenza del piano di frattura. Quello che in un primo momento puo sembrareun errore grossolano, in quanto potrebbe causare una concentrazione di sforzo proprioin prossimita del piano di frattura, viene giustificato dai risultati e dalle distribuzioni disforzo ottenute. Risultati che possono essere facilmente giustificati se si considera che, an-che nella prova sperimentale, la frattura si trova gia oltre l’apice iniziale, questo appuntoper evitare che la forma artificiale dell’intaglio possa influenzare negativamente i risultatidella prova.Per poter effettuare un confronto tra i risultati ottenuti e stata inoltre generata una ge-ometria bidimensionale, del tutto identica a quella tridimensionale appena descritta.

(a) CT Pinho (b) 3D

Figura 3.2: Compact Tension Specimen - Pinho

3.2.2 Caratteristiche Meccaniche

Come e gia stato accennato all’inizio del paragrafo, il modello utilizzato e costituito daun materiale composito. Nella tabella 3.1 vengono riportate le caratteristiche elastichesia della singola lamina che del laminato ottenuto.

Lamina CT PinhoE11 131.7 GPa E11 70.62 GPa G12 4.6 Gpa ν12 0.00401E22 8.8 GPa E22 70.62 GPa G13 4.6 GPa ν13 0.3G12 4.6 Gpa E33 8.8 GPa G23 4.6 GPa ν23 0.3ν 0.32

Tabella 3.1: Proprieta elastiche

La modellazione del comportamento a frattura del materiale viene effettuata utiliz-zando le stesse card di Abaqus gia descritte nel paragrafo 2.1.2: *DAMAGE INITIATION


e *DAMAGE EVOLUTION.L’inizio della propagazione della frattura viene definito, per il caso dell’XFEM, consideran-do ancora una volta il Max Principal Stress ; per gli elementi coesivi invece si e fatto uso delQUADS (Quadratic traction-interaction criterion for cohesive elements), concepito conla formulazione riportata in 3.4, dove si assume che il danno inizi a diffondersi quando lasomma dei ratei di sforzo nelle direzioni principali e uguale a 1.{

tnton

2}

+

{tstos

2}

+

{tttot

2}

= 1 (3.4)

Mentre per la tenacita del materiale e stato scelto nuovamente un criterio di tipo ener-getico, attraverso la definizione dello Strain Energy Release (G), per entrambe le tipologiedi modellazione.Nella tabella 3.2 vengono riportati i valori scelti e riportati in [1]

MAXPS 1163 MPaG 180 KJ/m2

Tabella 3.2: Comportamento a frattura CT

Occorre pero fare una precisazione sul valore di sforzo utilizzato.La lamina monodirezionale considerata presenta un valore tipico di resistenza pari a 2326MPa [1] nella direzione delle fibre. Mentre in quella normale e di due ordini di grandezzainferiore. Poiche nel laminato la sequenza di impilamento e di [0/90], e si presupponequindi che solo meta delle lamine contribuiscano alla resistenza dell’intero provino, si de-cide di considerare un valore massimo di sforzo pari a 1163 MPa, cioe esattamente la metarispetto a quello del singolo ply.Di seguito si riportano le card di Abaqus utilizzate per la definizione del comportamento afrattura del materiale, sia per il provino modellato con l’XFEM sia per quello con i coesivi.

*MATERIAL, NAME=CARBON

*DAMAGE INITIATION, CRITERION=MAXPS

1163e6,

*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=ENERGY, MIXED MODE BEHAVIOR=POWER LAW, POWER=1.

180000.,180000.,180000.

*Elastic, type=ENGINEERING CONSTANTS

7.062e+10, 7.062e+10, 8.8e+09, 0.00401, 0.3, 0.3, 4.6e+09, 4.6e+09

4.6e+09,

*MATERIAL, NAME=COESIVI

*DAMAGE IITIATION, CRITERION=QUADS

1163e6, 1163e6, 1163e6

*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=ENERGY, MIXED MODE BEHAVIOR=POWER LAW, POWER=1.

180000.,180000.,180000.

*ELASTIC, TYPE=TRACTION

1e+11, 1e+11, 1e+11

3.2. CT DI PINHO 51

Si nota come in questo caso sia stata opportunamente omessa la card *DAMAGESTABILIZATION, in quanto non necessaria per questo tipo di provino, gia caratterizzatoda una crescita stabile.Inoltre, per quanto riguarda il comportamento elastico dei coesivi, si puo vedere come siastata assegnata al materiale una rigidezza molto elevata. Questo perche, come si vedranel paragrafo 3.2.4, gli elementi coesivi vengono modellati con uno spessore infinitesimo,quindi con una rigidezza virtualmente infinita.

3.2.3 Generazione della Mesh

L’obiettivo delle analisi effettuate, oltre a verificare i risultati ottenuti nello studio cheabbiamo preso come riferimento, e quello di mettere a confronto due filosofie di model-lazione per problemi di meccanica della frattura.La differenza tra le due mesh generate e legata alla quantita di elementi necessari nellazona del piano di frattura. Come e stato verificato nel capitolo precedente, quando vieneriprodotto un fenomeno abbastanza semplice di propagazione della frattura, quindi senzacambi di direzione troppo bruschi, con l’XFEM non e necessario utilizzare una quantitatroppo elevata di elementi.Con i coesivi invece, l’infittimento della mesh nella zona del piano di frattura e sicura-mente preferibile.Questa differenza dipende dal fatto che l’XFEM prevede delle funzioni di arricchimentoche tengono intrinsecamente conto della concentrazione degli sforzi all’apice della frattura.I coesivi, invece, non modificano le loro funzioni di forma e la modellazione dei gradientidi sforzo in prossimita dell’apice, necessita un notevole raffinamento della mesh. Inizial-mente, in accordo con lo studio effettuato da Pinho [1] sono stati generati due modellibidimensionali, visibili nella figura 3.3, uno appunto per l’XFEM e l’altro gli elementicoesivi. Gli elementi utilizzati sono i cps4.

(a) XFEM (b) Coesivi

Figura 3.3: CT Pinho - Mesh 2D

Tuttavia, come verra riportato nel paragrafo 3.3, il provino modellato con coesivi 2Dha creato qualche problema, per questo e stato necessario generare altri due modelli tridi-mensionali per effettuare il confronto tra le due filosofie di modellazione.


Per evitare un onere computazionale troppo elevato in sede di analisi, il modello tridi-mensionale con gli elementi coesivi e stato generato inizialmente con una mesh piuttostolasca. Riservandoci di effettuare un infittimento successivo nel caso i risultati ottenutinon si fossero rivelati soddisfacenti. Gli elementi utilizzati sono i c3d8.I due modelli generati sono visibili nella figura 3.4.

(a) 2D (b) 3D

Figura 3.4: CT Pinho - Mesh 3D

Come e chiaramente visibile nelle immagini, i due modelli generati hanno un solo el-emento nello spessore. Questo sia perche lo spessore del provino risultava essere moltoridotto, ma anche a fronte delle considerazioni effettuate in seguito all’analisi di sensitivitasulla mesh effettuata nel paragrafo 2.4.

3.2.4 Definizione piano di frattura

XFEM

Per il modello generato con l’XFEM la procedura per la definizione del piano di fratturae del tutto identica e quella effettuata per il provino descritto nel capitolo 2.Facendo uso della card di Abaqus : *ENRICHMENT, si predispone l’attivazione delle fun-zioni di forma asintotiche e di Heaviside per tutti gli elementi desiderati, che anche inquesto caso corrispondono alla totalita della mesh.Per completare la modellazione e stato poi necessario definire il piano iniziale di frattura,attraverso un’opportuna imposizione delle condizioni iniziali. Inoltre, come per il modelloprecedentemente descritto, tra le superfici del piano e stata definita una legge di contatto.Nella figura 3.5 riportiamo il risultato ottenuto per entrambe le tipologie di modelligenerati.

3.2. CT DI PINHO 53

(a) 2D (b) 3D

Figura 3.5: Piano di frattura - Modello XFEM

Coesivi

La definizione del piano di frattura attraverso l’utilizzo di elementi coesivi comporta al-cune sostanziali differenze rispetto all’XFEM.Nel caso precedente, grazie ad un’opportuna definizione delle condizioni iniziali, e statonecessario definire solo il piano di frattura di partenza. Mentre la direzione di propagazionedella rottura veniva calcolata in sede di analisi.Con gli elementi coesivi invece il discorso e molto diverso. Non risulta piu necessariodefinire un piano iniziale per la frattura, tuttavia occorre fissare a priori la zona dipropagazione. In corrispondenza di essa vengono inseriti questi particolari elementi, chepermettono di riprodurre il fenomeno di crescita della discontinuita. Questa operazione estata effettuata con una routine Matlab appositamente generata.In corrispondenza del piano di frattura scelto e stata operata una separazione degli el-ementi della mesh attraverso la generazione di una serie di nodi coincidenti. La criccainiziale e stata quindi modellata lasciando semplicemente separati gli elementi interessati,mentre la zona del provino inizialmente non fratturata e stata modellata inserendo glielementi coesivi.Nella figura 3.6 vengono riportate le immagini relative alla zona del piano di propagazionedefinito per il modello 3D, dove e chiaramente visibile la presenza dei nodi sovrapposti equella degli elementi coesivi inseriti.

(a) Nodi (b) Coesivi

Figura 3.6: Piano di frattura - Modello 3D con coesivi


3.3 Definizione delle Analisi

3.3.1 Condizioni al contorno e di carico

Una volta terminata la generazione della mesh e la definizione del piano di frattura delmodello sono state fissate le condizioni al contorno e di carico per le analisi.Il provino e stato vincolato in 2 o 4 nodi, a seconda che si tratti del modello bidimension-ale o di quello tridimensionale, per impedire lo spostamento lungo la direzione x. Questascelta di utilizzare piu nodi permette inoltre di impedire le rotazione attorno all’asse z nelmodello 2D ed anche quella attorno a y nel modello 3D.Per il modello tridimensionale sono stati inoltre inseriti dei vincoli di spostamento lungola direzione z, per bloccare cosı anche la rotazione attorno all’asse x.Le condizioni di vincolo imposte sono riportate nella figura 3.7.

(a) BCX

(b) BCZ

Figura 3.7: Vincoli

Per quanto riguarda invece le condizioni di carico, il provino, come riportato nelladescrizione della prova realizzata da Pinho [1], sottoposto a trazione in due punti lungola direzione y. In particolare, per il modello tridimensionale i nodi a cui viene applicato ilcarico sono in realta 41, per garantire la simmetria della condizione al contorno imposta.Per questo, per poter ottenere la curva forza/spostamento in corrispondenza del punto diapplicazione del carico, e stato necessario ”legare” i nodi di uno dei due punti di trazione

1due per lato

3.4. RISULTATI 55

ad un nodo esterno alla mesh, utilizzando la card *EQUATION di Abaqus.Nella figura 3.8 si riportano i nodi considerati.

Figura 3.8: Vincoli

Le analisi effettuate sono statiche non lineari e la condizione di carico imposta, anchein questo caso e di spostamento. Come per le prove descritte nel capitolo 2 gli output diinteresse richiesti sono gli sforzi negli elementi e il rapporto forza/spostamento in uno deidue punti di applicazione del carico.

3.4 Risultati

Di seguito vengono riportati separatamente i risultati ottenuti per le due tipologie di mod-elli utilizzati. Al termine viene inoltre fornito un confronto delle curve forza/spostamentoottenute.

3.4.1 Coesivi

La prima analisi effettuata e quella con il modello bidimensionale con elementi coesivi, laquale pero ha evidenziato alcune criticita. Con gli elementi coesivi 2D infatti non e statopossibile descrivere correttamente il comportamento a frattura del provino. Nonostantelo stato di sforzo attorno all’apice della discontinuita presentasse dei valori sufficienti perpermettere alla frattura di propagarsi, questo non e avvenuto.Inoltre i risultati ottenuti hanno evidenziato un errore nella descrizione della rigidezza delprovino, che e risultata maggiore di un fattore due, come visibile nel grafico riportato in3.9.

Per questo motivo si e deciso di verificare la correttezza dei risultati dimezzando lospessore del provino ed eseguendo diverse prove al fine di analizzare il funzionamento deglielementi coesivi utilizzati.Inoltre e stato generato un modello bidimensionale dimezzato del provino di Pinho, come


Figura 3.9: Risultati Coesivi 2D 4mm - Diagramma forza/spostamento

riportato in [1]. Nonostante gli accorgimenti adottati non e stato pero possibile portare atermine con successo la prova. Si nota infatti dalle figure 3.10, 3.11 e 3.12 che la fratturainiziale continua a non propagarsi.Dal grafico forza/spostamento e pero possibile notare come in questo caso la rigidezza delmodello sia stata effettivamente descritta in modo esatto.Per questo motivo si e deciso di proseguire le analisi utilizzando modelli con spessoredimezzato rispetto a quello riportato in 3.2

(a) Stato di sforzo (b) Deformata

Figura 3.10: Risultati - Coesivi 2D

A fronte dei risultati insoddisfacenti ottenuti con il modello 2D si e deciso di effettuarele analisi con un modello tridimensionale.In questo caso i risultati sono stati ottimi, la curva forza - spostamento ottenuta e moltosimile a quella riportata in [1].Nella figura 3.13 sono riportati gli sforzi ottenuti attorno all’apice della frattura e la de-formata del provino.

3.4. RISULTATI 57


Figura 3.11: Risultati - Coesivi 2D (Modello dimezzato)


Come e chiaramente visibile, questa volta gli elementi coesivi sono in grado di ripro-durre il comportamento a frattura del provino e la sua corretta propagazione.Nello zoom sulla zona di frattura si nota come lo sforzo venga correttamente descritto ecome questa volta il valore di iniziazione definito sia effettivamente rispettato.In conclusione a queste analisi si riporta, nella figura 3.14 anche il diagramma forza/s-postamento ottenuto.

3.4.2 XFEM

Una volta verificati i risultati riportati in [1] con un modello ad elementi coesivi, arriviamoall’obiettivo dello studio riportato in questo capitolo.Come descritto in precedenza, oltre ai modelli a zona coesiva, e stato generato un mod-ello del provino di Pinho utilizzando la tecnica dell’XFEM. Questo per verificare il lorol’effettivo funzionamento anche per analisi non ”standard”.Per completezza con le prove effettuate con gli elementi coesivi, sono stati generati duemodelli, uno bidimensionale e l’altro tridimensionale.In questo caso, a differenza del precedente, i risultati ottenuti sono stati piu che soddis-



Figura 3.13: Risultati - Coesivi 3D


facenti in entrambe le analisi effettuate.Nelle figure 3.15 e 3.16 riportiamo i risultati ottenuti.

In entrambi i casi si puo notare come la distribuzione di sforzo attorno all’apice del-la frattura venga correttamente descritto e che i valori effettivamente imposti per lapropagazione della discontinuita siano effettivamente rispettati.Da far notare pero, per il modello tridimensionale, un errore di descrizione dell’effettivosforzo sul piano di frattura in prossimita dell’apice della cricca. In questo caso infatti sipresenta un picco di sforzo non desiderato, come visibile in 3.17. Tuttavia la presenza diquesto sforzo, essendo molto localizzata non inficia la correttezza del calcolo; l’andamentodella curva forza/spostamento risulta infatti molto simile a quella ricavata con il modellobidimensionale.

In conclusione riportiamo, nella figura 3.18, i diagrammi forza/spostamento dei duemodelli appena descritti. I risultati sono ottimi, i due provini intatti descrivono moltobene il risultato ottenuto con il CT di Pinho di riferimento.

3.4. RISULTATI 59


Figura 3.15: Risultati - XFEM 2D


Figura 3.16: Risultati - XFEM 3D

Figura 3.17: XFEM 3D - Piano di Frattura

3.4.3 Confronto

Come conclusione di questo studio viene riportato il confronto tra le curve forza/sposta-mento ottenute con tutte le analisi terminate con successo.L’obiettivo del lavoro riportato in questo capitolo era dimostrare l’effettivo funzionamen-to della filosofia di modellazione XFEM, anche in condizioni di simulazione realistiche diproblemi di meccanica della frattura.Osservando i risultati ottenuti in figura 3.19, si nota come l’obiettivo sia stato effettiva-mente raggiunto. Se si considera inoltre che i tempi di calcolo per le analisi, effettuate conle due diverse tipologie di modellazione, sono stati praticamente identici (circa 20 minutiper ogni analisi), il giudizio rispetto alle potenzialita di questo nuovo metodo rimane si-


Figura 3.18: Risultati XFEM 2mm - Diagramma forza/spostamento

curamente molto positivo.Se si trascurano alcune leggere differenze per quanto riguarda lo smorzamento che si puoo meno presentare nel momento in cui inizia a propagarsi la frattura2, le curve riportatesono del tutto simili. Non solo nella corretta descrizione del punto in cui la discontinu-ita comincia ad estendersi, ma anche per quanto riguarda il comportamento durante lapropagazione.

Figura 3.19: Confronto - Diagramma forza/spostamento

Come ulteriore confronto, nella figura 3.20 sono visibili le curve di riferimento ripor-

2Si notano alcune differenze in questo senso tra i modelli bidimensionali e tridimensionali

3.4. RISULTATI 61

tate in [1], le quali sono del tutto simili a quelle ottenute dalle analisi precedentementedescritte. Nel grafico vengono confrontati i risultati ottenuti con le analisi numeriche3 conquelli ottenuti dalle prove sperimentali effettuate da Pinho.In conclusione, e doveroso pero far notare che, dai grafici ottenuti, sembrerebbero essercidegli errori nel testo di riferimento [1], legati molto probabilmente alla definizione del ma-teriale. Infatti i test effettuati, come e gia stato accennato in precedenza, hanno fornitorisultati corretti solo dopo il dimezzamento dello spessore del modello.

Figura 3.20: Report [1] - Diagramma forza/spostamento

3con diversi livelli di smorzamento n.d.r


Capitolo 4

Provino con MaterialeCarbo-Ceramico

?? Dopo aver effettuato tutte le prove necessarie per la validazione del metodo XFEMed aver verificato il suo effettivo funzionamento rispetto ad una tecnica ormai consolida-ta per la modellazione di fenomeni di propagazione di frattura, si e deciso di proseguiree concludere questo studio utilizzando l’Extended Finite Element Method per alcuni testcon materiali di tipo carbo-ceramico. A differenza di quanto fatto nel capitolo precedente,dove erano state considerate solo le caratteristiche elastiche di un materiale composito, inquesto caso si e deciso di modellare separatamente la matrice dalle fibre.Lo scopo di questa scelta e verificare il comportamento del metodo quando si trova agestire la propagazione di una frattura attraverso materiali con diverse caratteristicheelastiche e di frattura.

4.1 Materiale

Come e stato appena accennato, per questo studio si e scelto di utilizzare un materialecomposito, costituito in particolare da fibre di carbonio e da una matrice carbo-ceramica.Le caratteristiche meccaniche dei due elementi del modello sono riportate nella tabella4.1, dalla quale e facile notare come la matrice sia caratterizzata da un comportamentoisotropo, mentre le fibre da uno ortotropo.

Matrice FibreE 32.5 GPa E11 81.25 GPa G12 4.95 Gpa ν12 0.1ν 0.1 E22 10.085 GPa G13 4.95 GPa ν13 0.1

E33 10.085 GPa G23 3.69 GPa ν23 0.3

Tabella 4.1: Proprieta elastiche

La modellazione del comportamento a frattura invece e stata effettuata solo per lamatrice. La giustificazione e molto semplice. Questi materiali possiedono una resistenzaa rottura delle fibre molto elevata, percio quando un fronte di frattura arriva in prossim-ita di questi elementi tende ad aggirarli o addirittura a fermarsi. Questo perche di fatto

63

64 CAPITOLO 4. PROVINO CON MATERIALE CARBO-CERAMICO

occorrerebbe troppa energia per fratturarli, come peraltro dimostrato da diverse evidenzesperimentali.Le card di Abaqus utilizzate sono le stesse descritte nei paragrafi precedenti. Ancorauna volta quindi per la definizione della resistenza a frattura e stato adottato il criterioMAXPS, mentre per la tenacita il metodo energetico dello Strain Energy Release. I valoriadottati sono riportati nella tabella 4.2, i quali sono stati scelti in quando rappresentatividella tipologia di materiale.

MAXPS 50 MPaG 2 KJ/m2

Tabella 4.2: Comportamento a frattura

Viene inoltre riportata la curva bilineare (fig. 4.1) della Traction Separation Law uti-lizzata per modellare il comportamento a frattura. L’area sottesa dalla curva rappresentail valore della G utilizzata.

Figura 4.1: Traction Separation Law

4.2 Modello con fibre squadrate

4.2.1 Geometria e Mesh

Il modello che viene adottato per le analisi e concettualmente molto semplice: un provinorettangolare di dimensioni 2x12x4 mm con al suo interno due fibre di lunghezza 8 mm,posizionate parallelamente lungo la direzione predominante, cosı come visibile nelle figure4.2.Si puo notare inoltre come le due fibre siano state modellate in maniera molto approssi-mativa, questo per non dover utilizzare geometrie troppo complicate sin dal principio, e

4.2. MODELLO CON FIBRE SQUADRATE 65

(a) (b)

Figura 4.2: Mesh Provino con fibre squadrate

di conseguenza adottare una mesh troppo fitta per evitare irregolarita negli elementi.

La definizione della mesh risulta essere piuttosto semplice. E’ stato effettuato un in-fittimento degli elementi solo nelle zone interessate dalla presenza dei piani di fratturainiziali e a quelle possibilmente coinvolte dal fronte di propagazione.Anche in questo caso la scelta non dipende solo dalla necessita di avere tempi di calcolocontenuti, almeno per le prime analisi di verifica, ma anche per la dimostrata sensibilitaridotta alla mesh del metodo XFEM, cosı come riportato in 2.4.Da notare come per le fibre siano stati definiti due sistemi di riferimento locale differentitra loro (fig.4.3), questo perche, data l’ortotropia del materiale, si e cercato di rappre-sentare una situazione il piu realistica possibile del provino modellato .

(a) (b)

Figura 4.3: Geometria Provino con fibre squadrate


4.2.2 Definizione delle analisi e del piano di frattura

Il modello generato e stato quindi sottoposto a due tipologie di analisi, per le quali e statonecessario definire due differenti piani di frattura iniziali.

Prova #1

La prima analisi e stata scelta per verificare la corretta propagazione di una rottura po-sizionata tra le due fibre, come visibile nella figura 4.4. Di fatto rappresenta una test difunzionamento del metodo quando si trova ad operare che materiali differenti.Per l’imposizione delle condizioni al contorno e stato necessario per prima cosa generaredue Set che contenessero tutti i nodi appartenenti rispettivamente al lato sinistro e destrodel provino, quindi successivamente utilizzarli per generare due corpi rigidi rispetto a duenodi esterni alla mesh, come riportato nell’immagine b figura 4.4.

(a) Piano di frattura (b) Condizioni al contorno

Figura 4.4: Condizioni al contorno Prova #1

Le condizioni di vincolo e di carico sono state definite sui nodi di riferimento dei corpirigidi. E’ stata assegnata una rotazione attorno all’asse z del sistema di riferimento glob-ale, positiva per il lato sinistro e negativa per quello destro, mentre tutti gli altri gradi diliberta sono stati bloccati.

Prova #2

La seconda prova rappresenta l’obiettivo del lavoro descritto in questo capitolo. E’ stataposizionata una frattura nella zona di mezzeria del provino il quale viene sottoposto adun carico di flessione, come visibile nella figura 4.5

Come fatto nella prova precedente sono stati definiti due corpi rigidi, uno per la facciainferiore e una per quella superiore, rispetto a due punti di riferimento esterni alla meshposizionati nel centro delle due facce. Ai punti e stata assegnata la condizioni di sposta-mento nullo lungo i tre assi e di rotazione nulla attorno ad y e z.


(a) Piano di frattura (b) Condizioni al contorno

Figura 4.5: Condizioni al contorno prova #2

Il carico invece e stato definito assegnando uno spostamento lungo la direzione z a duefile di nodi posizionati sulla faccia opposta rispetto a quella della frattura iniziale.

Il posizionamento dei piani di frattura e stato effettuato esattamente come descrittonei due capitoli precedenti. Per prima cosa si predispone l’attivazione della funzione diHeaviside e di quelle asintotiche utilizzando la card *ENRICHMENT, questa volta peroassegnata solo al set di elementi della matrice, per le motivazioni espresse in 4.1. Quindi,utilizzando la card : *INIITAL CONDITION, TYPE=ENRICHMENT, e possibile definiregli elementi interessati inizialmente dalla frattura e la sua posizione rispetto ad essi.

4.2.3 Risultati

Riportiamo a questo punto i risultati ottenuti per le due prove effettuate.

Prova #1

La prima prova non ha comportato alcun problema. La frattura inizialmente posizionata,ha cominciato a propagarsi nella porzione di matrice compresa tra le due fibre, come epossibile osservare nella prima delle due immagini della figura 4.6.Viene inoltre riportata la deformata e la visualizzazione degli sforzi di Von Mises relativialla due fibre del modello. Si puo notare chiaramente come la loro differente orientazioneinfluisca notevolmente sulla distribuzione degli sforzi e sulla loro deformazione.

Questo comportamento va di fatto ad influire anche sulla deformazione della matrice.Nella figura 4.7, dove viene visualizzato il piano di frattura propagato, si vede chiaramentecome nella zona centrale la deformata sia piuttosto irregolare a causa della vicinanza dellefibre.Inoltre, sempre per lo stesso motivo, in questo caso non e piu visibile una propagazione


(a) Matrice (b) Fibre

Figura 4.6: Risultati Prova #1

del piano di frattura a onda, come verificato nelle prove descritte nei capitoli precedenti.

Figura 4.7: Piano di frattura Prova #1

Prova #2

La seconda prova invece e stata caratterizzata da alcune criticita. Il calcolo si interrompeprima di aver completato l’analisi a causa di una diminuzione eccessiva del passo di inte-grazione richiesto. Le motivazioni potrebbero essere connesse ad una improvvisa crescitainstabile della frattura, tuttavia ripetendo la prova con l’aggiunta di smorzamento1, ilrisultato e stato sempre il medesimo.Un’altra spiegazione potrebbe forse trovarsi nel considerare le problematiche presenti nel-l’effettuare un calcolo di questo tipo in prossimita di due materiali con caratteristichemolto diverse.

1card di Abaus: DAMAGE STABILIZATION


Tuttavia, anche supponendo vere queste giustificazioni, analizzando i risultati si nota lapresenza di un ulteriore problema, visibile chiaramente nelle figure 4.8 e 4.9

(a) Matrice (b) Fibre

Figura 4.8: Risultati Prova #2

Il piano di frattura quando incontra le fibre, invece di cercare di aggirarle, comincia atagliarle, fino a quando l’analisi non si interrompe.Questo comportamento, che non dovrebbe verificarsi per le giustificazioni fisiche effettuateprecedentemente, non e comunque ammissibile se si considera il tipo di modellazione ef-fettuata. Le fibre infatti non sono state predisposte per l’arricchimento dei nodi, quindinon dovrebbero essere interessate dalla propagazione della frattura.

Figura 4.9: Piano di frattura Prova #2

In prima analisi queste considerazioni farebbero pensare ad un errore numerico o bugdel software. Il problema potrebbe essere legato all’aggiunta di gradi di liberta per l’ar-ricchimento che, come si e discusso nel capitolo 1, viene effettuata attraverso i nodi. Nellamesh generata infatti, alcuni elementi che compongono la fibra condividono la totalitadei loro nodi con quelli appartenenti alla matrice, nodi che quindi presentano un arric-chimento. Questa condizione particolare potrebbe essere la causa dell’errore evidenziatonell’analisi.


Si decide per questo di effettuare una prova di verifica del funzionamento del metodo,utilizzando un provino bidimensionale di piastra sottoposta a flessione.Nel modello vengono definite due zone: una centrale, dove non e presente l’arricchimentodei nodi e due esterne nelle quali viene invece prevista l’attivazione delle funzioni di formaaggiuntive, come riportato nella figura 4.10.Nell’immagine 4.11 e possibile inoltre notare come sia stato definito un elemento non ar-ricchito circondato per tre lati da elementi con arricchimento e posizionato proprio sulladirezione prevista di propagazione della frattura.Lo scopo di questa prova e appunto quello di verificare che l’XFEM, nel momento in cuiuna discontinuita incontra una zona che non sia stata modellata con l’arricchimento deinodi, riesca a far deviare la propagazione in un’altra direzione o nel caso a fermarla.Il provino viene quindi sottoposto ad un carico di flessione governato in spostamento.

Figura 4.10: Layout e Mesh del modello

Figura 4.11: Posizionamento frattura/Particolare zona non arricchita

Nella figura 4.12 vengono riportati i risultati ottenuti. Si puo facilmente notare comein questo caso il metodo abbia effettuato il calcolo correttamente, cercando in un primomomento di far deviare la frattura di lato ed infine interrompendo l’analisi.Dalla verifica si deduce che, anche in questo caso, il metodo possiede una certa robustezza.L’errore riscontrato nella prova precedente non e quindi imputabile ad un problema ditipo numerico, e rimane di fatto senza giustificazione.

4.3. MODIFICHE AL MODELLO 71

Figura 4.12: Risultati

4.3 Modifiche al Modello

Dalle considerazioni fatte al termine della Prova #2 si evince che i problemi legati al-l’esecuzione di questo test possono essere ricondotti a tre possibili motivi. Il primo esicuramente una bassa efficienza del metodo, ipotesi solo in parte scartata a fronte deirisultati ottenuti con la prova di verifica, in quanto di fatto non e stato possibile trovareuna giustificazione alternativa al problema della propagazione della frattura in domininon predisposti all’arricchimento dei nodi.Una seconda ragione potrebbe essere trovarsi nella modellazione troppo grezza degli ele-menti che rappresentano le fibre, la quale potrebbe creare non poche difficolta al calcoloeffettuato in prossimita dell’interfaccia tra due elementi con caratteristiche e materialidifferenti.Infine un’ultima motivazione potrebbe essere legata alla presenza di una propagazioneinstabile del fronte di frattura. Questo in realta non dovrebbe comportare un problema,tuttavia trovandoci ad eseguire le analisi con un metodo Implicito, le difficolta riscontratenelle analisi, potrebbero essere anche ricondotte ad una impossibilita del metodo di inte-grazione di effettuare calcoli di questo tipo.Si decide percio a questo punto di apportare delle modifiche al modello, al fine di risolverele problematiche evidenziate fin ora, ed eventualmente capire, se ci sono, alcuni limitilegati a questa filosofia di modellazione.

4.3.1 Modello con contatti

Non essendo ancora chiare le motivazioni che hanno portato all’interruzione della secondaprova effettuata, si decide di generare un provino che possa prima di tutto risolvere ilproblema legato alla propagazione del fronte di frattura, anche negli elementi non predis-posti per l’arricchimento.In questo caso, invece di utilizzare una mesh unica ma composta da elementi con diversecaratteristiche meccaniche e di frattura, si opta per la definizione di un assembly costi-tuito da quattro parti: la matrice, le due fibre e il piano di frattura, che vengono poiinterfacciati attraverso l’assegnazione di opportuni contatti.Inoltre a fronte dei risultati ottenuti con il modello con legge di danno, descritto in 4.4.2,che evidenziano ad un certo punto una crescita instabile della frattura, si cerca in qualchemodo di ”controllare” questa propagazione, agendo su uno dei dati piu sensibili in questosenso, ovvero la tenacita del materiale, la quale viene aumentata di un ordine di grandezza


(da 2 a 30 KJ/m2).

Tie Contact

Viene scelto inizialmente un contatto di tipo Tie, che permette di vincolare rigidamentedue superfici tra di loro. Quello che si fa e sostanzialmente riprodurre le stesse condizionidi interfaccia presenti nell’analisi precedentemente effettuata.Di seguito vengono riportate del card di Abaqus utilizzate nel file di generazione del mod-ello, dove si nota come ovviamente sia stato necessario definire due contatti separati, unoper ogni fibra, che ne vincolano le superfici esterne con quelle della cavita della matrice.

** Interaction: CONTATTO 1

*Tie, name=CONTATTO_1, type=SURFACE TO SURFACE

"Fibra 1-1".FIBRA_1_SURF,Matrice-1.MATRICE_1_SURF


*Tie, name=CONTATTO_2, type=SURFACE TO SURFACE


La soluzione adottata in effetti permette la risoluzione del problema esposto all’iniziodi questo paragrafo, tuttavia i risultati ottenuti rimangono comunque insoddisfacenti.La frattura inizia a propagare, ma quando arriva in prossimita delle fibre cerca di cam-biare direzione di crescita, muovendosi parallelamente ad esse, fino a quando il calcolonon si interrompe.In questo caso il problema non e piu dovuto ad un eccessivo abbassamento del passo diintegrazione, che potrebbe far pensare ad un possibile sviluppo di una propagazione insta-bile, ma e di tipo numerico. L’errore riportato e il seguente: STD FINDCUTSHAPE3D8XFEM, relativamente all’elemento evidenziato nella figura 4.13. Il che dovrebbe esserelegato all’impossibilita del metodo di definire una soluzione accettabile per il ”taglio”dell’elemento in questione.

Tuttavia, nonostante i possibili problemi intrinsechi del metodo, sembra chiaro dairisultati riportati in 4.13, che la soluzione adottata per il nostro modello non sia in gradodi risolvere le problematiche associate a questa prova. La propagazione della fratturasembra infatti avere un andamento alquanto inconsueto, si deduce quindi che il contattoscelto sembra non essere la giusta soluzione per la rappresentazione dell’interfaccia tra lamatrice e le fibre.

Cohesive Contact

Si decide percio di proseguire lo studio su una strada parallela, ovvero di modellare ques-ta volta il contatto con una legge coesiva, che rispecchi pero la resistenza e la tenacitadella matrice. Di fatto il problema legato all’interfaccia tra gli elementi potrebbe esserericondotto all’incapacita del metodo di far proseguire la frattura proprio sull’interfacciatra gli elementi, questo a causa di evidenti difficolta numeriche connesse ad un calcolo di


(a) Matrice

(b) Fibre

Figura 4.13: Risultati Prova Tie Contact

questo tipo.L’obiettivo di questa analisi e quello di definire un contatto che possa cedere nel momentoin cui viene raggiunto dal fronte di frattura. Se questo si dovesse verificare ci sarebbeuna separazione delle fibre dalla matrice, come di fatto dovrebbe accadere nel piano difrattura, e il fronte potrebbe proseguire tranquillamente senza tutti i problemi numericie di calcolo incontrati nelle prove precedentemente effettuate.

Prima di effettuare la prova pero risulta necessario verificare la robustezza del meto-do XFEM quando si trova ad effettuare calcoli in domini con delle discontinuita al lorointerno.Viene utilizzato per questo un modello composto dalla sola matrice senza le fibre, che inparte rappresenta la condizione in cui ci si verrebbe a trovare nel momento in cui si haun cedimento dei contatti.Le condizioni al contorno e le caratteristiche della matrice sono del tutto identici a quellidefiniti per la Prova #2.

Dai risultati riportati nelle figure 4.14 si nota come non ci sia stato alcun problema inquesta analisi. La discontinuita propaga senza che il calcolo sia influenzato negativamentedalla presenza di discontinuita nel materiale.


(a) Deformata (Particolare) (b) Piano di Frattura

Figura 4.14: Risultati Prova senza fibre

A questo punto e stato possibile effettuare l’analisi di cui sopra.Le condizioni al contorno e le caratteristiche dei materiali sono sempre le medesime, l’unicadifferenza in questo modello e la tipologia di contatto utilizzato per definire l’interfacciafibra-matrice.Si riporta di seguito la porzione di file di Abaqus relativa alla definizione della propertydel contatto2.

*Surface Interaction, name=CONTATTI_FIBRE

1.,

*Cohesive Behavior

1e5, 1e5, 1e5

*Damage Initiation, criterion=QUADS

50.,50.,50.

*Damage Evolution, type=ENERGY, MIXED MODE BEHAVIOR=POWER LAW, POWER=1

30.,30.,30.

...


*Contact Pair, interaction=CONTATTI_FIBRE, adjust=FIBRA1_NODI



*Contact Pair, interaction=CONTATTI_FIBRE ,adjust=FIBRA2_NODI


Nella figura 4.15 si riportano i risultati ottenuti. Nonostante le buone premesse anchein questo caso sono molto insoddisfacenti, si nota infatti come, in parte, il comportamentosia simile a quello ottenuto nella prova effettuata con i contatti Tie.Il fronte di frattura si interrompe molto prima di arrivare a contatto con le fibre e invecedi attraversarle cerca di propagarsi parallelamente ad esse.

Se si analizza inoltre l’output relativo all’apertura del contatto, riportato in 4.16 sinota che a livello del piano della discontinuita ci sia un principio di cedimento, ma dientita molto ridotta e che quindi non va ad influire sul risultato della prova.Il contour visualizzato rappresenta il livello di apertura del contatto coesivo, positivo

2Per le questioni relative alla modellazione del comportamento coesivo si rimanda a 3


(a) Piano di frattura #1 (b) Piano di frattura #2

Figura 4.15: Risultati Prova Cohesive Contact

quando si manifesta una separazione e negativo quando c’e penetrazione.

Figura 4.16: Risultati Prova Cohesive Contact - Cedimento contatto

Viene riportato infine, nella figura 4.17, il confronto tra i diagrammi forza/spostamentoottenuti dalle due prove appena descritte. Si nota come le differenze siano pressoche nulle.

Analisi di sensitivita - Variazione proprieta contatto

A fronte dei risultati ottenuti viene effettuata una prova di sensibilita sulla resistenza ela tenacita del contatto, raddoppiando e dimezzando i valori inseriti.Questa scelta viene effettuata non tanto per cercare di inseguire a tutti i costi una soluzionefinale soddisfacente, ma quanto per verificare l’efficienza di questo tipo di contatti. Tut-tavia dalle figure 4.18 e 4.19 si vede chiaramente come la variazione dei parametri abbiainciso minimamente sul risultato finale della prova.


Figura 4.17: Confronto - Diagramma forza/spostamento

(a) Piano di frattura (b) Cedimento contatto coesivo

Figura 4.18: Analisi di sensitivita Cohesive Contact - Valori Raddoppiati

(a) Piano di frattura (b) Cedimento contatto coesivo

Figura 4.19: Analisi di sensitivita Cohesive Contact - Valori Dimezzati

4.4 Modello con fibre circolari

Le analisi fin qui effettuate non hanno purtroppo portato al chiarimento delle problem-atiche fin qui incontrate. Nonostante si sia riusciti ad aggirare la questione relativa allapropagazione del fronte di frattura all’interno di domini non arricchiti, le prove svolte sisono sempre interrotte prima di arrivare al termine.

4.4. MODELLO CON FIBRE CIRCOLARI 77

Basandoci sulle considerazioni gia effettuate. relativamente alla modellazione grezza ef-fettuata per le fibre, e visti i risultati per niente positivi raggiunti nel capitolo precedente,dove sono stati utilizzati dei contatti per la rappresentazione dell’interfaccia matrice-fibre,si decide a questo punto di intervenire effettuando due modifiche sostanziali al modello.Viene per prima cosa cambiata la sezione delle fibre, che diventa ellittica, questa formainfatti, avendo un andamento piu ”dolce”, puo favorire maggiormente l’aggiramento daparte del fronte di frattura. Inoltre l’interfaccia viene modellata nuovamente con unalegge coesivia, ma questa volta non piu attraverso l’utilizzo di contatti, ma di elementi.

4.4.1 Descrizione del Modello

Il modello utilizzato e geometricamente molto simile a quelli descritti nei paragrafi prece-denti, l’unica modifica effettuata e infatti quella relativa alla forma delle fibre che man-tengono pero la stessa lunghezza e praticamente la stessa dimensione in pianta di quelleprecedentemente utilizzate.Le variazioni relative alla mesh riguardano invece l’utilizzo di elementi coesivi per lamodellazione del contatto tra fibre e matrice. L’inserimento e stato effettuato definendouna regione molto sottile tra i due elementi del provino.In questo caso non e stato pero possibile utilizzare elementi di spessore nullo, come disolito avviene. Questo per ovvi problemi legati alla modellazione. Tuttavia, secondoquanto riportato in [6], questo non dovrebbe inficiarne il corretto funzionamento, che persicurezza e stato comunque verificato con un’apposita analisi.Nella figura 4.20 viene riportato il provino generato, dove con il colore rosso si possonovedere gli elementi coesivi che ricoprono le fibre ellittiche. E’ opportuno notare come si

Figura 4.20: Modello con Coesivi

sia deciso di effettuare, a differenza dei modelli precedenti, anche una mesh piu raffinatadelle fibre, questo per evitare di trovarsi ancora nella condizione precedente con pochielementi e quindi con una sezione dalle forme spezzate e poco dolci.


L’assegnazione delle proprieta degli elementi coesivi e avvenuta in maniera del tuttoidentica a quanto fatto per i modelli di Pinho descritti nel capitolo 3. Le caratteristichedi tenacita e resistenza sono identiche a quelle definite per la matrice, quindi una G di 30KJ/m2 e uno sforzo di iniziazione di 50 MPa.La direzione in cui lavorano gli elementi e stata invece assegnata con un sistema di rifer-imento cilindrico posizionato nel centro delle fibre, come e possibile vedere nella figura4.21, dove viene riportato, per problemi di visualizzazione, solo l’asse perpendicolare allasuperficie dell’ellisse.

Figura 4.21: Sistema di riferimento Coesivi

Terminata le descrizione generale del modello modificato, di seguito vengono riportatele analisi effettuate utilizzando il l’XFEM e il modello di danno di Drucker-Prager.

4.4.2 Modello con legge di danno

Parallelamente alle analisi effettuate con l’XFEM, sono state fatte una serie di prove uti-lizzando una differente filosofia di modellazione per i problemi di meccanica della frattura,ovvero quella che si basa sull’utilizzo di leggi di danno.La scelta nasce dall’opportunita di utilizzare da una parte un criterio molto consolidatoe conosciuto, e dall’altra di effettuare le analisi con un metodo esplicito di integrazione.I modelli generati, se si esclude la parte relativa al comportamento a frattura, sono iden-tici a quelli gia esposti e che verranno presentati in seguito. La ragione sta nella volontadi verificare la correttezza dei risultati ottenuti con l’XFEM ed eventualmente dare gius-tificazione e soluzione ai problemi fin d’ora incontrati con il nuovo metodo.Per questo motivo viene presentato solo l’ultimo modello analizzato, anche in consider-azione del fatto che i risultati ottenuti in questo caso sono stati qualitativamente moltosimili in tutte le prove effettuate.


Criterio di Drucker-Prager

L’utilizzo del modello di Drucker-Prager permette sostanzialmente di definire un compor-tamento elasto-plastico del materiale, attraverso la definizione di un criterio di resistenza,a cui viene associato un comportamento plastico.La superficie di resistenza (yield surface) viene rappresentata nel piano p-t (Pressioneidrostatica/Sforzo deviatorico) e, a differenza del criterio di Mohr, viene introdotta ladipendenza dalla pressione idrostatica (positiva in compressione).I parametri necessari per l’identificazione del criterio sono due: d che rappresenta il livellodi puro sforzo deviatorico nel momento in cui il materiale si plasticizza e β. I valori ven-gono individuati sperimentalmente con l’esecuzione di due prove: una a flessione e una atrazione.Un esempio di formulazione semplice viene riportata nella figura 4.22.

Figura 4.22: Drucker-Prager - Criterio di resistenza

Parallelamente alla definizione della superficie di resistenza viene individuato il com-portamento plastico del materiale. La direzione in cui si sviluppa la deformazione plasticae definita attraverso l’angolo Ψ tra l’incremento di deformazione plastica dε0 e la normalealla superficie di resistenza, come visibile in 4.23

Figura 4.23: Drucker-Prager - Comportamento in campo plastico


Modellazione del comportamento a frattura

La modellazione del comportamento a frattura con il modello di Drucker-Prager vieneeffettuata in un modo differente rispetto all’XFEM e ai coesivi. Il comportamento elasto-plastico descritto nel paragrafo precedente si assegna attraverso due card di Abaqus :DRUCKER PRAGER e DRUKER PRAGER HARDENING, TYPE=TENSION. Conla prima vengono definiti i valori di β e ψ nel grafico p-t, mentre con la seconda il valoredi sforzo associato alla deformazione plastica.Di seguito e visibile l’estratto del file di Abaqus relativo alla modellazione del comporta-mento appena descritto.

*DRUCKER PRAGER

50.000000, 1, 50.000000

*DRUCKER PRAGER HARDENING, TYPE=TENSION

50.,0.

50.,1.

La modellazione del comportamento a frattura invece e molto simile a quella fatta peri provini precedenti, ma con un utilizzo delle card leggermente diverso.In questo caso infatti il criterio di iniziazione non viene piu assegnato attraverso ladefinizione di uno sforzo, ma di una deformazione equivalente. Stesso discorso per l’ener-gia associata alla propagazione della frattura, che non viene piu definita attraverso la Gma con una legge di danno legata allo spostamento.

*DAMAGE INITIATION, CRITERION=DUCTILE

0.0015, 0, 0

*DAMAGE EVOLUTION, TYPE=DISPLACEMENT, SOFTENING=TABULAR

0, 0.0002

0.1275, 0.0013

0.2549, 0.0024

...

Per avere corrispondenza con i valori assegnati ai modelli con l’XFEM e stata definitauna legge bi-lineare di Traction Separation, la cui area sottesa rappresenta proprio il val-ore di G scelto, che in questo caso e 2 KJ/m3, ovvero il valore inizialmente definito perla matrice.Quindi attraverso la seguente relazione, scritta rispetto alla variabile ε (deformazione),e stato possibile generare una tabella danno/deformazione e successivamente danno/s-postamento da inserire nella relativa card di Abaqus.

danno = 1−(σ0 −

σ0ε

εf − ε0+

σ20

E(εf − ε0)σ0

)(4.1)

Con il pedice ”0” e ”f” si indicano rispettivamente i valori di sforzo e deformazione al-l’inizio e alla fine del processo di plasticiazzione.


La legge assegnata e stata inoltre verificata con un modello di prova composto da unsolo elemento, e la sua correttezza e verificabile attraverso il grafico della legge bi-linearescelta, riportato in 4.24,

Figura 4.24: Drucker-Prager Verifica comportamento a frattura

Analisi e Risultati

Le condizioni al contorno definite per le analisi sono sostanzialmente identiche a quelleutilizzate per le prove di flessione gia descritte, ma con una differenza. In questo caso,vista la tipologia della prova, e stato necessario adoperare il metodo di integrazione Ex-plicit di Abaqus.Per questo motivo il carico questa volta non e stato piu assegnato in spostamento ma invelocita, e in maniera progressiva nel tempo, questo per evitare uno spostamento troppobrusco all’inizio della prova e quindi indurre l’eccitazione delle frequenze del sistema chepotrebbero influire sul risultato della prova.

Figura 4.25: Legge di Velocita

I risultati ottenuti vengono riportati nelle figure 4.26 e 4.27.Nelle prime due si nota che quando lo stato di sforzo attorno all’apice della frattura


raggiunge il valore di iniziazione assegnato si ha uno sviluppo del danno negli elementipiu vicini.

(a) Stato di Sforzo - S22 (b) Danno

Figura 4.26: Drucker Prager - Risultati #1

Nelle altre due immagini vengono riportati due frame consecutivi, dove si vede chiara-mente come si sia sviluppata una propagazione instabile della frattura. L’evidenza graficaha inoltre un riscontro nel diagramma forza/spostamento ottenuto rispetto al punto diapplicazione del carico (fig. 4.28).

(a) Frame #1 (b) Frame #2

Figura 4.27: Drucker Prager - Risultati #2

Figura 4.28: Drucker-Prager - Diagramma Forza/Spostamento


Una considerazione va fatta anche relativamente ai coesivi inseriti nel modello. Comesi puo verificare in 4.29, a differenza di quanto accaduto per il contatto coesivo, in questocaso si ha un totale danneggiamento degli elementi in corrispondenza del piano di frattura.Deterioramento che comincia nel momento in cui il fronte di frattura arriva in prossimitadelle fibre e diventa totale quando si ha la rottura di schianto.

(a) Frame #1 (b) Frame #2

Figura 4.29: Drucker Prager - Danneggiamento Coesivi

Al termine della prova appare ancora piu evidente come i problemi associati a questaanalisi, quando effettuata con il metodo di integrazione Standard, possano essere dovuti al-la manifestazione di una propagazione instabile della frattura. Un metodo di integrazioneimplicito infatti presenta diversi limiti quando si trova ad eseguire prove di questo tipoe di fatto potrebbe non essere in grado di ”inseguire” la soluzione nel momento in cuiquesta presenti salti molto bruschi.La soluzione potrebbe essere quindi di proseguire le prove effettuate con il metodo XFEMaumentando la tenacita del materiale almeno di un ordine di grandezza.

4.4.3 Modello XFEM

Il provino con fibre circolari ed elementi coesivi e stato quindi utilizzato per effettuarealcune prove con il metodo XFEM.Questo modello racchiude sostanzialmente tutte le modifiche inserite a fronte delle con-siderazioni fatte sulle prove fin effettuate: fibre circolari con interfaccia di elementi coesivie innalzamento del valore di tenacita della matrice da 2 a 30 KJ/m2.Nonostante questo le analisi ancora una volta non hanno raggiunto i risultati desiderati,come visibile nelle immagini 4.30 e 4.31. La frattura propaga fino a raggiungere le fibre,tuttavia il prospettato cedimento progressivo degli elementi coesivi non si verifica e l’anal-isi ancora si interrompe a causa del raggiungimento di un passo di integrazione troppobasso.

A questo punto quello che si decide di fare e forzare il cedimento progressivo deglielementi coesivi prima che il fronte di frattura riesca a raggiungere le fibre. Per questo


(a) Prova # 1

(b) Prova modificata

Figura 4.30: Modello XFEM con fibre circolari - Piano di frattura

viene ridotto ad un quarto il valore di resistenza (7.5 MPa) e triplicato quello di tenacita(90 KJ/m2).Con questo espediente si riesce finalmente a raggiungere un risultato in parte soddis-facente. In questo caso infatti il cedimento degli elementi coesivi avviene prima che ladiscontinuita raggiunga la fibre, creando un vuoto tra queste e la matrice, e dando cosı lapossibilita al calcolo di proseguire.

Nella figura 4.32 viene riportato anche il diagramma forza/spostamento ottenuto, dovesi nota chiaramente come il calcolo si interrompa nel momento in cui si ipotizza che ci siauna crescita instabile della frattura.

4.5 Considerazioni finali

In questo capitolo e stato descritto lo studio che di fatto conclude questo lavoro di tesi.L’obiettivo iniziale era quello di effettuare alcune prove di tipo realistico, al fine di di-mostrare l’elevata efficienza del metodo XFEM. Tuttavia i risultati ottenuti non sono statimolto incoraggianti.Dopo una serie di test con esito negativo si e deciso di apportare alcune modifiche almodello e quindi paragonare i risultati derivanti dall’XFEM con quelli ottenuti utilizzan-

4.5. CONSIDERAZIONI FINALI 85

(a) Prova # 1 (b) Prova modificata

Figura 4.31: Modello XFEM con fibre circolari modificato - Cedimento coesivi

Figura 4.32: XFEM - Diagramma Forza/Spostamento

do una differente filosofia di modellazione per la meccanica della frattura.Dai confronti emerge un grosso limite, che non e di fatto legato all’Extended Finite El-ement Method, ma piu che altro al metodo di integrazione utilizzato per il calcolo delleanalisi.


Conclusioni

Nella prima parte di questo lavoro sono state presentate le analisi ed i risultati ottenutirelativamente allo studio del modo I di frattura, facendo uso del metodo XFEM.Nonostante nelle prove effettuate siano state introdotte una serie di semplificazioni, siaper quanto riguarda la definizione dei modelli sia nella scelta del tipo di analisi, comp-lessivamente i risultati ottenuti sono risultati molto soddisfacenti.I modelli utilizzati sono stati in grado di descrivere correttamente il comportamento afrattura analizzato. La distribuzione degli sforzi, soprattutto in prossimita dell’apice del-la rottura, rispetta la teoria che regola il comportamento a frattura dei materiali. Inoltre,dalle analisi di sensitivita effettuate, il metodo ha dimostrato di possedere una buonarobustezza e di essere quindi discretamente affidabile, relativamente al tipo di analisi es-eguite.Di particolare interesse, inoltre, si ritengono i risultati derivanti dalla sensitivita al raf-finamento e all’orientamento della mesh. E’ possible concludere che il metodo XFEMimplementato in Abaqus non necessita di elevati livelli di raffinamento, ed appare in gra-do di seguire l’evoluzione della direzione di propagazione della frattura anche con meshnon orientate.Successivamente lo studio e proseguito con l’esecuzione di una serie di analisi di propagazionedella frattura su di un provino, i cui risultati sperimentali e numerici sono presenti in let-teratura. I risultati ottenuti in questo senso sono stati molto positivi, confermando difatto tutte le considerazioni espresse in prima analisi relativamente al metodo utilizzato.Il confronto tra le due filosofie di modellazione ha fatto emergere alcuni pregi e difetti dientrambi i metodi. I vantaggi nell’utilizzo dell’XFEM derivano dalla possibilita di utiliz-zare criteri di propagazione della frattura in una mesh arbitraria e non necessariamentetroppo raffinata, cosa che in passato era impensabile fare. Inoltre e possibile predisporre,previa implementazione di un contatto, la compenetrazione fra le superfici di frattura.Operazione impedita invece a livello di legge coesiva.Di contro pero l’Exteded Finite Element Method presenta dei limiti per quanto riguardala necessita di definire una frattura pre-esistente, e sembra essere adatto solo a soluzionicon integrazioni implicite nel tempo, il che comporta inevitabilmente notevoli sforzi perlo studio di propagazioni instabili.

Come conclusione del lavoro sono stati effettuati alcuni test al fine di verificare l’effi-cienza del metodo quando sottoposto a prove concettualmente molto piu realistiche perapplicazioni di maggiore complessita, come lo studio di propagazione di una discontinu-ita tra materiali con caratteristiche fisiche molto differenti tra loro. In questo caso perol’utilizzo dell’XFEM ha comportato una serie di problematiche.Le numerose prove effettuate hanno portato in sostanza al raggiungimento di risultati

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abbastanza soddisfacenti, soprattutto quando il metodo e stato utilizzato insieme aglielementi coesivi.Le analisi infatti hanno mostrato una difficolta di approccio numerico, legata alla propagazionedel fronte di frattura attorno a domini di materiale differente. Problema che e stato soloin parte superato con l’inserimento di elementi coesivi per modellare l’interfaccia matrice-fibra. I calcoli infatti, nonostante abbiano fornito in questo caso risultati molto migliori,si interrompono prima della conclusione della prova.Dalle analisi effettuate con l’Esplicito e dalle ultime modifiche fatte al modello XFEM,amplificando notevolmente la tenacita a frattura, si e visto come le criticita evidenziatepossano dipendere in modo fondamentale dalla necessita di seguire una propagazione in-stabile di frattura, dal momento in cui i coesivi iniziano a cedere.

In conclusione possiamo affermare che l’XFEM ha dato prova di essere uno strumen-to molto robusto per lo studio di problematiche inerenti alla meccanica della frattura.Il lavoro ha evidenziato le potenzialita ed i limiti del metodo. Fra i vantaggi principaliemerge la possibilita di utilizzare mesh non orientate e relativamente poco raffinate permodellare complessi fenomeni di frattura. D’altra parte la disponibilita del metodo soloper modelli di materiale lineari e metodi di soluzione impliciti costituisce un limite, cosi’come la necessita di prevedere un fronte iniziale di tipo implicito, che viene utilizzato perl’esecuzione delle analisi.

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Modellazione di fenomeni di frattura mediante metodo XFEM ... · Nel campo della meccanica della frattura, lo studio della propagazione delle rotture nei materiali riveste un ruolo