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Modélisation du comportement cyclique des ouvrages en terre intégrant des techniques de régularisation
Doctorant:
Alexandre Foucault (LMSSMat, LaMSID)Directrice de thèse :Arézou Modaressi (LMSSMat, ECP)Encadrement :
François Voldoire (EDF R&D/AMA/T62)
21 juin 2010
Mise en contexte
Projet EDF CODHYBAR « Comportement Dynamique et Hydromécanique des BARrages »
Maintien du patrimoine hydraulique et de sa durabilité
Sûreté de l’hydrauliqueLot géomécanique
Développement d’outils qualifiés de simulation fineMéthodologies de modélisation des ouvrages en terre
Capacité de maîtriser les scenarii les plus pénalisants pour leur tenue
Décrire l’apparition des modes de ruineCouplage multi-physique statique et dynamique
2
Problématique
Introduction d’un modèle de sol adapté au comportement cycliqueApproche multi-mécanismes [Mroz, 1967]Lois d’écoulement non associéesAdoucissement
Apparition d’instabilités matérielles Mode de rupture type diffusMode de rupture type localisé
Localisation des déformationsDépendance pathologique des résultats aux maillages (MEF)Méthode de régularisation
Mise en œuvre de méthodes numériques robustes et performantes
3
Barrage Lower San Fernando (1971)
Barrage en remblai
Séisme de M=6.6, PGA=0.59g, le 09/02/1971
Observations après séismeLiquéfaction du parement amontTassement de la crête 8.5m
Glissement du parement amont de plus de 40m Retenue d’eau assurée à 1.4m seulement
4
Sommaire
1. Implantation numérique du modèle de Hujeux
a. Formulation du modèle
b. Intégration implicite
c. Validation numérique
d. Estimateurs de perte d’unicité
e. Conclusion
5
2. Couplage modèle de Hujeux/2 nd
gradient de dilatation
a. Mise en contexte
b. Modèle de 2 nd gradient de dilatation
c. Contrôle de la largeur de bande
d. Modélisation d’un essai biaxial drainé
e. Stabilité d’un déblai sous charge de
fondation superficielle
f. Retour sur le couplage
3. Conclusions et perspectives
Implantation numérique du modèle de Hujeux
Formulation théorique du modèle
Intégration implicite du modèle
Validation numérique
Conclusion
Barrage de Grand-Maison
Hauteur: 160 mètres
6
1-a Présentation du modèle de Hujeux(Aubry et al., 1982; Hujeux, 1985; ~10 thèses)
Modèle utilisé par le CIH avec le code GEFDynMaturité du modèle (20 ans)Intégration explicite du modèle de Hujeux
Sous-incrémentation du chargement local appliqué
Capacité de représenter le comportement des sols argileux et granulaires sous séisme pour une large gamme de déformations
Paramètres matériaux3 pour l’élasticité non-linéaire18 pour la plasticité
Large banque de données de paramètres
7
1-a Présentation du modèle de HujeuxModèle écrit en petites déformations, exprimé en contraintes effectivesÉlasticité non linéaire4 mécanismes plastiques : 3 déviatoires / 1 de consolidationCritère de rupture type Mohr-Coulomb/ Concept d’état critiqueMobilisation progressive de la frictionLoi d’écoulement plastique non associée pour la partie volumiqueCouplage des mécanismes par la déformation volumique plastiqueComportement cyclique introduit par des variables d’histoire à évolution discontinueGestion des états de traction
8
( )
−⋅−=Ψ
k
kv
p
qr ψααψ sink
kd
f
S∂∂
=Ψkc
kkkk r
P
pbpqf
−⋅+= ln1sinφ
Mécanisme déviatoire monotone
CP
kq
kp
1-b Intégration numérique
BesoinsRobustesse
Performance
Intégration du modèle dans Code_AsterCadre Assurance QualitéLogiciel OpenSource
Couplage Hydro-Mécanique
Méthodes de régularisation
Capacité de résolution de problèmes complexes sols et structures
Intégration implicite du modèle de Hujeux
9
motivée par les résultats obtenus par [Manzari et Prachathananukit, 2001;
Foster et al., 2005]
1-b Intégration implicite du modèleMéthode de Newton pour l’équilibre global
Méthode de Newton à l’échelle localePrédiction élastique à partir de
Tir explicite
Itérations de corrections
Système variant de 9 à 15 équations
But Déterminer l’état final des contraintes et des variables internesConstruire la matrice tangente en vitesse du modèle
Conception de l’algorithme de gestion des mécanismesRespect de l’ensemble de la formulation du modèleOptimisation du nombre d’équations à résoudre
( )++ ασ ,
( )εασ ∆−− ,,eσ
( )( )0000 ,,, αελσ ∆∆∆∆ pv
( )( )nnpvnn δαεδδλδσ ,,,
10
1-c Validation numériqueBut
Validation des fichiers sources en respect du modèle de HujeuxGestion des mécanismes cycliquesCouplage et activation des mécanismes
Ensemble complet de chemins de chargement sollicitant le modèle
Qualification du code pour la simulation d’ouvrages géotechniques
MoyensComparaison des résultats avec GEFDyn 16 cas-tests restitués dans la base Code_Aster
Essais triaxiaux drainé/non drainé, monotone/cyclique, contrôlés en déformation/contrainte
Analyse sismique d’une colonne de sol après modélisation de sa construction par couches (évaluation du transfert de chargement sismique à travers la colonne)
Interaction forte avec le développement informatiqueRobustesse
Performance
11
1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur sable d’Hostun [Lopez-Caballero, 2003]
Sensibilité des résultats suivant un schéma d’intégration implicite
12
État de contraintes initial
Déviateur appliqué
Utilisation matrice tangente
Convergence locale et globale pour ηtol<10-8
kPa300 =σkPa151 =∆σ
'p
q q
zzε
A
B
1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur sable d’Hostun [Lopez-Caballero, 2003]
Profil de convergence global sur p’ Profil de conver gence du résidu global après 2.5 cycles
Évolution monotone vers la solution en p’ (pression isotrope effective)
Taux de convergence augmentant pour de faibles niveaux d’incréments de chargement
13
B
A B
1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur sable d’Hostun [Lopez-Caballero, 2003]
Après ¼ du 1 er cycle de chargement
Profil de convergence du Newton local mis en place pour l’intégration du modèle de Hujeux
14
1) Résolution du système non linéaire avec M pot
1 en 22 itérations
2) Domaine potentiel, M pot1 ≠
Domaine activé, M act1
3) Création de M pot2
a) Ajout du mécanisme plastique isotrope à M pot
1
b) Modification de la prédiction àl’aide des contraintes obtenues après résolution du système avec Mpot
1
4) Résolution avec M pot2 en 10
itérations
1-c Validation numérique
Construction par couches d’une colonne de sol 1D
Paramètres matériaux Hujeux [Kordjani, 1995]Utilisation matrice tangente
Modélisation à intégration complète
Convergence atteinte pour ηtol<10-10
Analyse sismique de la colonne de solSchéma de Newmark -
Utilisation matrice tangente
Modélisation à intégration complèteConvergence atteinte pour ηtol<10-6
Séisme normé à 0.15g
16
25.0=β 5.0=γ
H=25m
H=5m
H=0m
1-c Validation numérique
17
Construction par couches d’une colonne de sol
Comparaison des résultats GEFDyn et Code_Aster
Variable d’écrouissage du modèle de Hujeuxmr3
Tassement [cm]
pvε mr3
%5=ζ
Fréquence [Hz]
Spectre calculé au sommet
1-c Validation numériqueAnalyse sismique de la colonne de sol saturé
Comparaison des résultats GEFDyn et Code_Aster
Incrément de pression hydraulique [kPa] en
fin de séisme
18
][cmU y
Décalage de la 1ère fréquence de résonance (cohérence entre les deux codes)Sources des différences potentielles
Évolution différente des mécanismes cycliquesCritère de convergence appliqué sur les degrés de pression hydraulique
%5=ζ
Fréquence [Hz]
1-c Validation numérique
pvε
19
Analyse sismique de la colonne de sol sèche
Comparaison des résultats GEFDyn et Code_Aster
Résultats très proches sur tous les points de contrôle
Différences relevées à relier à l’évolution des mécanismes cycliques
][cmU y
1-d Estimateurs de perte d’unicité
Problèmes d’équilibre avec le modèle de HujeuxOpérateur tangent local non symétrique et dépendant en vitesse
Perte d’unicité matérielle
Calcul d’estimateurs Travail du second ordre incrémental
Perte d’unicité dans la direction de chargement
Déterminant de la matrice tangente en vitesse
Critère de Rice (2D) (en post-traitement)Apparition d’une bifurcation polarisée, supposée en bandes
εσεσ
∆⋅∆∆⋅∆
( ) 0det =⋅⋅ nHn ep
( ) 0det =epH
20
1-e Conclusion sur l’intégration
Validation acquise de l’intégration implicite du modèle de Hujeux
Pour une large gamme de chemins de chargementPrécision des résultatsRobustesse de l’algorithme
Qualification sur des études industriellesApplication à une colonne de sol sous séisme
Sensibilité à la vérification de l’équilibre globalGestion fine des mécanismes plastiques nécessaire
Application à la construction par couches, mise en eau d’une digue homogèneValidation des résultats par rapport à GEFDyn
PerspectivesAlgorithme de recherche linéaire localeLimitation des critères locaux de sous-incrémentations
21
Couplage modèle de Hujeux/2 nd gradient de
dilatation
Mise en contexte
Modèle de 2 nd gradient de dilatation
Contrôle de la largeur de bande
Essai biaxial drainé
Stabilité d’un déblai sous charge de fondation superficielle
Perspectives
22
Barrage du Mont Cenis
Hauteur 120m
2-a Mise en contexteModes de rupture naturels
Localisé
Diffus
23
[Alshibili et al., 2005]
University of Washington –College of Civil & Environmental
Engineering
Exemple en mécanique des sols – simulation EF
Localisation des déformations dans une bande de largeur 1 élémentOrientation des bandes dépendante du maillage
24
[Khoei et Bakhshiani, 2005]
2-a Mise en contexteModèle de Hujeux:
Perte d’unicité matérielleCapacité à représenter ces modes de ruine [Vossoughi, 2001], [Hamadi, 2006]
Défaillance de l’intégration numérique classiqueVariable de couplage du modèle de Hujeux
Nécessité d’introduire une technique numérique de régularisation
Intérêts du modèle de 2nd gradient de dilatation [R.Fernandes et al., 2008]
Contrôle de la cinématique du milieu à l’occasion des pertes d’unicitéSimplicité d’utilisation ; adapté au calcul HM1 seule inconnue nodale supplémentaireTemps de calcul supplémentaire limité voire profitable
pvε
25
2-b Modèle de 2 nd gradient de dilatation (Fernandes et al., 2008)
Puissance virtuelle des forces intérieures – modèle micromorphique de dilatation
Relation supposée - Modèle de 2 nd gradient de dilatation
Formulation mixte de W int :
( ) ( )( ) adadijjviijij VUudvSu 0
*0
***** ,,.. ∈∀∈∀∇+−+= ∫Ω
χχχεκεσintW
vεχ =
( ) ( ) ( )( )0,1,2 PPP λχU
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )∫ ∫Ω Ω
−−+−+−−∇+Ω=
∈∀∈∀∈∀
dvrSdu
LVUu
vvvvjjiijij
adadadi
χεχεχελχελχεσ
λχ
....
,,,*******
*0
*0
*
intW
( ) adadi
ij
ijiijij VUudv
xx
uSu 0
*0
**2
* ,,.
.. ∈∀∈∀
∂∂∂+= ∫
Ω
χεσintW
v,ui
iu
λÉlément fini
Modèle local classique
partie régularisante
Terme de pénalisation quadratique
27
Contrôle de la cinématique
2-b Modèle de 2nd gradient de dilatationRelation linéaire établie entre
Gradient de déformation volumiqueTenseur des doubles forces
Ajout d’un paramètre physique: module de rigidité de micro-dilatation
Conditions homogènes sur le terme de double forceSelon la direction : sur tout le bord du solide
Contribution du gradient de pour équilibrer les forces appliquées
Application à la propagation des ondes (poro-)élastiquesOndes dispersives
Application sismique
Rapport faible entre largeur de bandes et longueur d’ondesChamp d’ondes faiblement modifié par rapport au cas sans second gradient
28
²].[ mPabs
nnu∂ 0== njj SnS ΩS
vε∇S
2-c Contrôle de la largeur de bandeZoom sur un essai biaxial drainé non régularisé
Zoom sur la ruine d’une pente
Localisation des déformations dans une bandeSimplification du problème en une bande matériau dilatante
Hep défini comme un solide linéaire de comparaisonÉvaluation de l’introduction du modèle de 2nd gradient de dilatation sur les équations
Recherche des conditions d’apparition d’un mode de bifurcation dans la bande
29
2-c Contrôle de la largeur de bande (Chambon et al., 2001)
epepepep
eps
cHHHH
HbL
1111121211121211
12122−
= π
εσ &&epH=
• Lois de comportement
• Problème initialement homogène
• Conditions aux limites
Domaine étudié
Bande de cisaillement
====
connusFlx
vux
i&
&&
,
0,0,0
( )( ) yselontdéplacemenxv
xselontdéplacemenxu
:
:
=
0'21
'21'
v
vuij
&
&&&ε
∂∂∂∂
=
2
1
2
10
0
x
xb
b
S
S
v
v
s
sε
ε
''uxv
&&
=∂
∂ε
30
Recherche des solutions non triviales du problème en vitesse
2-d Essai biaxial drainé
P0P0
P0Uy
x
yΓB
A
ΓCΓH
20 cm
10 cm
−+=
c
kkkk
P
pMpqf ln1HCC
QUAD8(4)
512QUAD 2048 QUAD 6652 TRIA
32
HJS kc
kkkk r
P
pbMpqf
−+= ln1
HUJEUX
+=
−+=
isociso
kc
kkkk
rdPpf
rP
pbMpqf ln1
Paramètres matériaux Hujeux [Lopez-Caballero, 2003]
Utilisation matrice sécante
Modélisation à intégration sélective
Convergence atteinte pour ηtol<10-4
Réduction de 5% de la valeur de 0cP
2-d Essai biaxial drainé
Maillage à 512 éléments
33
Maîtrise de la largeur de bandePropriétés matériauxÉtat de contraintes initial
3 séries d’essais avec le modèle HCCMatériau dilatant
Résultats numériques
),( 00 Csc PPFbL ×=
2-d Essai biaxial drainé HCC
),( 00 Csc PPFbL ×=
Application analytique
−××=
epepepep
ep
scHHHH
HbL
1111121211121211
12122π
Résultats numériques
34
Série 1
P0 = 500 kPa
Très bonne concordance des résultats entre les simulations et le calcul analytique pour les 3 séries d’essais
2-d Essai biaxial drainé
35
HJS
kPa5003
=σ %88=DR
Maillage à 512 éléments
Application d’un facteur de réduction par rapport à l’approche analytique
pvε
yF
yU
Indicateur de plasticitéA
A
A-A
A-A
cmU y 4=
yF
yU
régularisés
homogène
2-d Essai biaxial drainéSensibilité des résultats aux maillages
M512
M2048 MALEA
HJS
kPa3003
=σ %88=DR
Existence d’un domaine de solutions multiples
pvε
36
A
A
Coupe A-A
Indicateur de plasticité
cmU y 4=
cmU y 2.3=
2-d Essai biaxial drainéSensibilité des résultats à la discrétisation du chargement
dUy=0.02mmdUy=0.04mmdUy=0.08mm HJS
kPa5003
=σ %88=DR
Existence d’un domaine de solutions multiples
pvε
yF
yU
37
Coupe B-B
B
B
régularisés
homogène
Indicateur de plasticité
cmU y 4=
2-d Essai biaxial drainéÉvolution de la largeur de bande de cisaillement
HJS
kPa3003
=σ %88=DR
Stabilisation de la largeur de bande au cours de l’essai
Uy=2.4cm U y=4.8cm U y=8.0cm38
A
A
Coupe A-A
yF
yU
pvε
Indicateur de plasticité
2-d Essai biaxial drainéÉvolution de l’énergie de déformation ajoutée
HCC
Stabilisation de l’énergie introduite
Diminution progressive de la participation relative du 2nd gradient de dilatation (atteinte locale de l’état critique)
39 Déplacement axial [m]
Énergie 2 nd
gradient
Énergie relative
yU
2-e Stabilité de déblaiModélisation couplée HM4 maillages distincts
4040 – 8022 – 11409 - 26618 nœuds
Régularisation restreinte au modèle mécanique
24.5273636362563Maillage 3
24.0202694266591Maillage 2
23.2108853141695Maillage 1
Écart (%)
RégulariséLocalTemps CPU (s)
41
yU
42
2-e Stabilité de penteModèles standards EFMaillages 1 – 2 – 3 dεLocalisation des déformations
Concentration dans une largeur d’éléments
Maillage 1
Maillage 2
C
C
C-C
Maillage 3pvε
][NFy
][mU y
cmU y 20=
2-e Stabilité de pente
pvε
Modèles EF régularisésMaillages 1 – 2 – 3 – 4
43
Maillage 1
Maillage 4
Maillage 3
Maillage 2
C-C
dε
C
C
][NFy
][mU y
cmU y 20=
2-f Retour sur l’utilisation du modèle de 2 nd gradient de dilatation
Essai biaxial drainé sur matériau dilatantMise en place d’une procédure pour définir la valeur du module de rigidité bs fonction de
Propriétés matériauxÉtats de contraintes initial du solLargeur de bande visée
Modèle de 2nd gradient de dilatationSolution performante : nombre d’itérations réduit pour l’équilibreMinimum d’inconnues nodales supplémentaires
Assurance d’une objectivité des résultats aux maillagesNiveau d’énergie introduit faible en rapport à l’énergie totale de déformation du milieu
Stabilité du déblaiMise en place d’une méthodologie d’excavation sous Code_Aster
Correction de la dépendance pathologique des résultats en espace et en orientation liée aux maillagesGain en temps de calcul (~25%)
Prise en compte de la variation de bs aux états de contraintes initiaux
44
3 Conclusion et perspectives
Intégration du modèle de Hujeux dans Code_AsterGain de précision grâce à une intégration locale implicite
Capacité de modéliser des ouvrages géotechniques d’envergure
Travaux à réalisersur les temps de calcul local
Recherche linéaire localeCritères de tolérance sur les variables d’évolution
étude couplée hydro-mécanique 3D
Utilisation du 2nd gradient volumique avec le modèle de HujeuxIndépendance des résultats au maillageMaîtrise de la largeur de bande de cisaillement
Cas analytique bi-dimensionnel Matériau dilatant
A réaliser: Étude sur la liquéfaction des sols granulaires contractantsApplication à l’échelle d’un ouvrage géotechnique majeurÉvaluation de la méthode pour des sols stratifiés hétérogènesMise en place de la méthode pour des applications sismiques
45
1-a Évolution des surfaces de charge déviatoires cycliques [R7.01.23]
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )p
vk
ijkijk
pvk
ijck
k
pvk
ijHk
ijHk
Fp
Fp
Fp
εσσ
εσσ
εσσ
,
~
,
,
SS
Sn
SX
=
=
=
48
1-a Gestion de la traction [R7.01.23]
Seuils déviatoires monotone et cyclique non définis en 0
Ajout d’un mécanisme de traction par plan déviatoire
kc
kkkk r
P
pbpMqf .ln1..
−+=
0. 0 ≤−= ctkk
tk Ppf π
0. ctk Pπ
pk
qkqk=Mpk
fk
Écoulement normal
Seuils intégrés à la résolution implicite du modèle
50
1-b Schéma d’intégration implicite du modèle Newton Niveau global :
Recherche de +σ , +α et éventuellement,
ε
σ
∂∂
Initialisation des variables internes
Prédiction élastique e
σ
Intégration plastique : Résolution par Newton en schéma linéaire implicite R(∆Y)=0
Prédiction ∆Y0 (Euler explicite)
Résolution ( ) εδ <∆∆∆⇒
∞Y
YssifinalY
Mise à jour : ( )++++k
pv r X,,, εσ
Test de convergence : Si non convergence, redécoupage du pas de temps possible
Définition du Mact
Mact = Mpot?
oui Calcul des matrices tangentes ε
σ
∂∂
(selon options) non
M pot = Mact
Définition du domaine des mécanismes potentiellement
actifs - Mpot
51
Système d’équations à résoudre R(Y)=0
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
=
+
=
+
=
+
=
+
==
∆
===−+
∆
=∆+∆+
+∆+
=
∆−∆∆
=
+
+
+
+
++
++
++
++
++
++
++
+
++
= =+
++
=
+
=
++
∑
∑
2.0
2.0
1.0ln-1
1.0ln-1
2.,0-1
--
1.3,2,1,0.
-1--
0sin-
3-.--
-4
-4
-
-
0
24
4-n
44
2
-n
144
,
1-
1
-
2,1
,
41-
1
-
∑
∑
LFCePdrp
LFMePdrp
LFCreP
pbMpq
LFMreP
pbMpq
LRcmn
P
Pc
rrr
LRkcmnaara
rrr
LEVPp
p
p
p
p
qr
p
p
R
vp
vp
vp
vp
cocc
com
ck
co
khk
ck
mk
co
khkk
cs
nnn
cmnkc
nkn
kknk
c
ccm
cmn
nbmeca
k k
nkn
knkvpvp
cmnkln
nnntkl
nbmeca
t
ntklijklijij
βε
βε
βε
βε
λ
ξλ
λλψξλεε
λλ ijLE0ICσσσσσσσσσσσσσσσσ
Ψε
Y
( )
( )( )( )( )( )( )
∆∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∆∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∆∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∆∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∆∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∆∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∆ ∆
nt
nt
pvxy
nt
nt
pvxy
nt
nt
pvxy
nt
nt
pvxy
nt
nt
pvxy
nt
ijn
t
ijpv
ij
xy
ij
Y
LF
r
LFLFLF
LF
r
LFLFLF
LR
r
LRLRLR
LR
r
LRLRLR
LEVP
r
LEVPLEVPLEVP
LE
r
LELELE
Yd
dR
i
λε
λε
λε
λε
λε
λε
2.2.2.2.
1.1.1.1.
2.2.2.2.
1.1.1.1.
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σσσσ
σσσσ
( ) ( )iii YRYYY
R −=∆∂∂ +1.
( )ni
ni
pvij rY λεσ ∆= ++ ,,,
52
1-c Validation numériqueEssai triaxial non drainé cyclique sur un point matérielComparaison modèle de Hujeux/Expérimental [Mohkam, 1983]
[Servant et al., 2003]
53
[Kordjani, 1995]
1-c Validation numériqueEssai biaxial drainé sur sable dilatant
maxqconvq
q
max
max∆
1ε
q
1ε
vε
kPap 300 =
55
1-c Validation numérique
Analyse sismique de la colonne de solSensibilité au critère de convergence utilisé
56
1-c Application numérique
Modélisation d’une digue en terre homogèneConstruction par couchesMise en eauAnalyse sismique (à venir)
-21-20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910111213141516
-0,11-0,10-0,09-0,08-0,07-0,06-0,05-0,04-0,03-0,02-0,010,00
DY [M]
HEIGHT [M]
CC - GEFDYN
CC - ASTER
ASTER - NEW METHOD
Tassement [m]
Hauteur de digue [m]
Étude réalisée par M.Kham
Modélisation couplée HM sous Code_Aster
• 901 éléments QUAD8(4)
• 2844 nœuds
57
1-d Perspectives
Benchmark El-Infiernillo [ICOLD, 1994]Construction par couchesMise en eauAnalyse sismique
58
Méthode de construction d’un déblai
Méthode d’excavation multi-modèlesVariation de Force de 1 à 0 durant la phase d’excavation
P=ρρρρgh
p0
0 T
1
(c)
60