Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Bazele Roboticii
Curs 05
Modelarea roboților
Gigel Măceșanu
Universitatea Transilvania din Braşov
Laboratorul de Vedere Artificială Robustă şi Control
2
Cuprins
Introducere
Reprezentarea unui punct în sisteme de coordonate
Transformări de coordonate
3
Introducere
Modelarea sistemului mecanic al roboților reprezintă etapa de bază pentru
elaborarea comenzilor axelor, în conformitate cu obiectivul de mișcare
Modele de comandă:
Model geometric: permite calculul în regim static al pozițiilor structurii
mecanice, considerată ca fiind formată din corpuri elementare rigide
de formă regulată, cu dimensiuni și mase cunoscute
Modelul cinematic: permite calculul în regim static al vitezelor
structurii mecanice considerată ca fiind formată din corpuri
elementare rigide
Modelul dinamic: Permite calculul în regim dinamic al cuplurilor și
forțelor active și rezistente având în vedere forțele de inerție,
gravitaționale, exterioare și admițând o serie de ipoteze
simplificatoare: inflexibilitatea segmentelor și articulațiilor mecanice,
se neglijează efectul forțelor Coriolis
4
Reprezentarea unui punct în sisteme de coordonate
Un punct într-un sistem cartezian 𝑶𝒋𝑿𝒋𝒀𝒋𝒁𝒋, de versori 𝒊, 𝒋, 𝒌 este
determinat de trei coordonate carteziene: 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛)
Vectorul 𝑶𝒋𝑷 ce determină poziția punctului 𝑷 se determină astfel:
𝑶𝒋𝑷 = 𝒙 ⋅ 𝒊 + 𝒚 ⋅ 𝒋 + 𝒛 ⋅ 𝒌
Utilizat pentru modelarea roboților cu structură mecanică carteziană
Pentru modelarea roboților cu structură
mecanică cilindrică, se utilizează sistemul de
referință în coordonate cilindrice: 𝑷(𝒓, 𝜽, 𝒛)
5
Reprezentarea unui punct în sisteme de coordonate
Conversia între cele două sisteme se poate face utilizându-se relațiile:
𝒙 = 𝒓 cos𝜽𝒚 = 𝒓 sin 𝜽𝒛 = 𝒛
,
𝒓 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝜽 = 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐠𝐱
𝐲
𝒛 = 𝒛
Reprezentarea unui punct într-un sistem de
coordonate sferice 𝑷(𝝆, 𝜽, 𝝓) se face în
funcție de raza de poziție 𝝆 și unghiurile de
azimut 𝜽 și elevație 𝝓
6
Reprezentarea unui punct în sisteme de coordonate
Conversia între sistemul sferic și cel cartezian se poate face utilizându-se:
𝒙 = 𝝆 sin𝝓 cos𝜽𝒚 = 𝝆sin𝝓 sin𝜽𝒛 = 𝝆 cos𝝓
,
Unui robot i se pot atașa următoarele sisteme de referință:
sistemul de referință absolut WCS (World Coordinate System), este
sistemul de referință legat de baza robotului, într-un punct stabilit de
constructor și în raport cu care se determină toate pozițiile
sistemului mecanic;
sistemul de referință al sculei TCS (Tool Coordinate System), este
sistemul de referință atașat în punctul activ al dispozitivului de
prehensiune al sculei
sistemul de referință al senzorului SCS (Sensor Coordinate System),
este sistemul de referință legat uzual de un senzor de viziune care
are în câmpul său vizvizual, sau de măsură, efectorul ale cărui poziții
le determină
7
Reprezentarea unui punct în sisteme de coordonate
Unui robot i se pot atașa următoarele sisteme de referință:
sistemul de referință al programatorului PCS (Program Coordinate
System), este un sistem de referință definit de programator în raport
cu WCS, pentru a simplifica operațiile de calcul ale traiectoriilor de
lucru majoritare
8
Transformări de coordonate
Reprezentarea unui corp solid în sistemele de coordonate
Pentru a caracteriza deplasarea spațială a unui solid, acestuia i se
asociază un sistem de referință orientat după o direcție și o origine
În raport cu WCS (legat de baza robotului 𝑶𝟎𝑿𝟎𝒀𝟎𝒁𝟎), poziția unui
corp solid în spațiul cartezian este determinată dacă se cunoaște:
• Poziția originii 𝑶𝒊 a sistemului de coordonate asociat solidului
• Orientarea axelor sistemului de coordonate 𝑶𝒊𝑿𝒊𝒀𝒊𝒁𝒊 în raport cu
coordonatele absolute WCS
9
Transformări de coordonate
Reprezentarea unui corp solid în sistemele de coordonate
𝑶𝒊𝑶𝒋 = 𝒂𝟏𝟏𝒊𝒊 + 𝒂𝟏𝟐𝒋𝒊 + 𝒂𝟏𝟑𝒌𝒊, unde 𝒊𝒊, 𝒋𝒊, 𝒌𝒊 sunt vectorii unitari ai
sistemului de referință 𝑶𝒊𝑿𝒊𝒀𝒊𝒁𝒊
10
Transformări de coordonate
Metoda cosinusurilor directoare
Transformarea vectorilor unitari din sistemul de referință inițial
𝑶𝒊𝑿𝒊𝒀𝒊𝒁𝒊 în noul sistem de referință 𝑶𝒋𝑿𝒋𝒀𝒋𝒁𝒋 se face cu matricea:
𝒊𝒋
𝒋𝒋
𝒌𝒋
=
𝒓𝟏𝟏 𝒓𝟐𝟏 𝒓𝟑𝟏𝒓𝟏𝟐 𝒓𝟐𝟐 𝒓𝟑𝟐𝒓𝟏𝟑 𝒓𝟐𝟑 𝒓𝟑𝟑
𝒊𝒊
𝒋𝒊
𝒌𝒊
, unde
𝒓𝟏𝟏 = cos𝜶𝟏 𝒓𝟐𝟏 = cos𝜶𝟐 𝒓𝟑𝟏 = cos𝜶𝟑𝒓𝟏𝟐 = cos𝜷𝟏 𝒓𝟐𝟐 = cos𝜷𝟐 𝒓𝟑𝟐 = cos𝜷𝟑𝒓𝟏𝟑 = cos𝜸𝟏 𝒓𝟐𝟑 = cos𝜸𝟐 𝒓𝟑𝟑 = cos𝜸𝟑
Sunt cosinusurile directoare ale unghiurilor formate de fiecare axă a
noului sistem în raport cu axele vechiului sistem de referință
Matricea cosinusurilor directoare transpusă se numește matricea de
rotație 𝑹𝒊𝒋, și definește orientarea reperului în raport cu vechea
poziție
11
Transformări de coordonate
Metoda cosinusurilor directoare
𝑹𝒊𝒋 =
𝒓𝟏𝟏 𝒓𝟏𝟐 𝒓𝟏𝟑𝒓𝟐𝟏 𝒓𝟐𝟐 𝒓𝟐𝟑𝒓𝟑𝟏 𝒓𝟑𝟐 𝒓𝟑𝟑
, cu proprietatea: 𝑹𝒊𝒋𝑻 = 𝑹𝒊𝒋
−𝟏 = 𝑹𝒊𝒋
Matricea de transformare, cu translație și rotație este de forma:
𝑸𝒊𝒋 =
𝒓𝟏𝟏 𝒓𝟏𝟐 𝒓𝟏𝟑 𝒕𝟏𝟏𝒓𝟐𝟏 𝒓𝟐𝟐 𝒓𝟐𝟑 𝒕𝟐𝟏𝒓𝟑𝟏 𝒓𝟑𝟐 𝒓𝟑𝟑 𝒕𝟑𝟏𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
, unde 𝑻𝒊𝒋 =
𝒕𝟏𝟏𝒕𝟐𝟏𝒕𝟐𝟐
este matricea de translație
Exemplu: translație după axa X cu valoarea d
𝑸 =
𝟏 𝟎 𝟎 𝒅𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
12
Transformări de coordonate
Metoda cosinusurilor directoare
Exemplu: rotație după axa X cu unghiul 𝜽
𝑸 =
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 cos𝜽 − sin𝜽 𝟎𝟎 sin𝜽 cos𝜽 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
Exemplu: Rotație și translație după aceeași axă:
𝑸 =
𝟏 𝟎 𝟎 𝒅𝟎 cos𝜽 − sin𝜽 𝟎𝟎 sin 𝜽 cos𝜽 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
13
Transformări de coordonate
Metoda cosinusurilor directoare
Exemplu: rotație și translație după axe diferite:
14
Transformări de coordonate
Metoda unghiurilor Euler
Poziția axelor noului reper este definită în raport cu vechiul reper în
funcție de trei unghiuri rezultate prin trei rotații succesive, astfel:
𝑶𝒊𝑿𝒊𝒀𝒊𝒁𝒊 𝒓𝒐𝒕𝒂ț𝒊𝒆 𝒁𝒊,𝚿𝑶𝒊+𝟏𝑿𝒊+𝟏𝒀𝒊+𝟏𝒁𝒊+𝟏 𝒓𝒐𝒕𝒂ț𝒊𝒆 𝑿𝒊+𝟏,𝜽
[𝑶𝒋−𝟏𝑿𝒋−𝟏𝒀𝒋−𝟏𝒁𝒋−𝟏]
𝒓𝒐𝒕𝒂ț𝒊𝒆(𝒀𝒋−𝟏,𝝓)[𝑶𝒋𝑿𝒋𝒀𝒋𝒁𝒋]
15
Transformări de coordonate
Metoda unghiurilor Euler
Matricea de rotație se scrie astfel:
𝑹𝒊𝒋 =cos𝝍 −sin𝝍 𝟎sin𝝍 cos𝝍 𝟎𝟎 𝟎 𝟏
⋅𝟏 𝟎 𝟎𝟎 cos𝜽 − sin𝜽𝟎 sin 𝜽 cos𝜽
⋅cos𝝓 − sin𝝓 𝟎sin𝝓 𝒄𝒐𝒔𝝓 𝟎𝟎 𝟎 𝟏
Pentru cazul unei deplasări în spațiu a sistemului 𝑶𝒋𝑿𝒋𝒀𝒋𝒁𝒋 atașat unui
corp solid, se determină matricea de transformare omogenă (Euler)
după cum urmează:
𝑻𝒊𝒋 =
cos𝝍 cos𝝓 − sin𝝍 cos𝜽 sin𝝓 − cos𝝍 sin𝝓 − sin𝝍 cos𝜽 sin𝝓 sin𝝍 sin 𝜽 𝒙𝒊sin𝝍 cos𝝓 + cos𝝍 cos𝜽 sin𝝓 − sin𝝍 sin 𝜽 + cos𝝍 cos𝜽 cos𝝓 − cos𝝍 sin 𝜽 𝒚𝒊
sin 𝜽 sin𝝓 sin 𝜽 cos𝝓 cos𝜽 𝒛𝒊𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
16
Transformări de coordonate
Metoda Denavit–Hartenberg
Poziția axelor noului reper este definită în raport cu vechiul reper în
funcție patru parametrii de poziție 𝜽𝒋, 𝒂𝒋, 𝒅𝒋, 𝜶𝒋, astfel:
𝑶𝒋−𝟏𝑿𝒋−𝟏𝒀𝒋−𝟏𝒁𝒋−𝟏𝒓𝒐𝒕 𝒁𝒋−𝟏,𝜽𝒋 +𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔 𝑿𝒋−𝟏,𝒂𝒋 +𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔 𝒁𝒋−𝟏,𝒅𝒋 +𝒓𝒐𝒕(𝑿𝒋−𝟏,𝜶𝒋)
𝑶𝒋𝑿𝒋𝒀𝒋𝒁𝒋
17
Transformări de coordonate
Metoda Denavit–Hartenberg
Matricea de transformare omogenă Denavit-Hartenberg
corespunzătoare cuplei de ordin j este de forma:
𝑫𝑯𝒋 =
cos𝜽𝒋 −sin 𝜽𝒋 𝟎 𝟎
sin 𝜽𝒋 cos𝜽𝒋 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
⋅
𝟏 𝟎 𝟎 𝒂𝒋𝟎 𝟏 𝟎 𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝒅𝒋𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
⋅
𝟏 𝟎 𝟎 𝟎𝟎 cos𝜶𝒋 −sin𝜶𝒋 𝟎
𝟎 sin𝜶𝒋 cos𝜶𝒋 𝟎
𝟎 𝟎 𝟎 𝟏
Rezultând o matrice de transformare de forma:
𝑻𝒊𝒋 =
cos𝜽𝒋 −sin 𝜽𝒋 cos𝜶𝒋 sin 𝜽𝒋 sin 𝜶𝒋 𝒂𝒋 cos 𝜽𝒋sin 𝜽𝒋 cos 𝜽𝒋 cos𝜶𝒋 −cos𝜽𝒋 sin 𝜶𝒋 𝒂𝒋 sin 𝜽𝒋𝟎 sin𝜶𝒋 cos𝜶𝒋 𝒅𝒋𝟎 𝟎 𝟎 𝟏