Modelación y simulación de señalesneuronales con circuitos RC

LUIS EDUARDO SÁNCHEZ GONZÁLEZ

Facultad de Ciencias Físico Matemáticas, Universidad Autonoma de CoahuilaProlongación David Berlanga S/N Edif. A, Unidad Camporredondo, Saltillo, Coahuila, México.

E-mail: lsgm16308@gmail.com

23 de abril de 2021

Resumen

En este trabajo se presenta un modelo del transporte eléctrico a través del axón de una neurona; el modeloestá basado en análogos eléctricos, en particular los circuitos RC. Mediante este modelo se implementa uncódigo en Python 3.8 que nos permite simular la propagación de los impulsos eléctricos neuronales. Además,se realiza la simulación para un voltaje constante y distintos voltajes que varían en el tiempo. Este trabajopretende presentar cómo la física puede ser aplicada a distintas áreas científicas, en este caso la neurociencia.A su vez, se intenta dar una idea de la importancia de las herramientas computacionales para el desarrollo deexperimentos.

Palabras clave: neurona, potencial, circuito, señal, simulación

I. INTRODUCCIÓN

Es increíble que los humanos sepamos cómo fun-ciona una estrella, cómo se mueve una galaxia ycómo se produce la explosión de una supernova,pero que hasta hoy nuestro cerebro siga siendo unenigma. El cerebro puede considerarse como la joyade la evolución, una máquina perfecta, la cual nos haconvertido a los humanos en la especie dominante.Sin embargo, entender el cerebro por completitudresulta muy difícil, e incluso el cerebro puede serconsiderado en su totalidad como un sistema com-plejo. Por lo que, una solución práctica, consiste enentender las partes fundamentales de este y relacio-narlas con modelos ya conocidos.

El cerebro y una parte de nuestro cuerpo, estáconstituido de células llamadas neuronas. Estas neu-ronas son responsables de nuestros pensamientos,sentimientos y tal vez de todos nuestros sentidos. Elfuncionamiento esencial de la neurona es la comuni-cación, y esta comunicación se basa esencialmenteen la transmisión de impulsos eléctricos. Cuando se

comprenden las propiedades eléctricas de la neurona,entonces se puede comparar una célula nerviosa conun circuito eléctrico. De esta manera se puede ob-servar y entender la propagación de estos impulsoseléctricos.

De inicio se discute la anatomía de la neurona;cómo es su estructura básica, y cómo es su funcio-namiento. Después, se explica cómo las neuronasdebido a sus propiedades físico-químicas puedentransmitir señales o impulsos eléctricos. Esto nosconducirá a proponer un modelo eléctrico y equi-valente que simule la propagación de las señales.Por último, se implementa un script en Python paradesarrollar la simulación.

Así, se espera que este texto, pueda servir comouna reflexión de la importancia actual de las herra-mientas computacionales para el desarrollo de expe-rimentos en distintas áreas científicas, las cuales eneste caso son: la neurociencia y la biofísica. Además,se espera también que sirva como una motivacióne invitación a esta maravillosa área que es la físicacomputacional.

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II. ESTRUCTURA DE LAS NEURONAS Y

ACTIVIDAD NEURONAL

La neurona puede considerarse como una de lascélulas más interesantes e importantes, esto se debea su función principal. Pero antes de estudiar có-mo podemos modelar la propagación de las señalesque transmite una neurona, debemos comprendercómo es su anatomía. Aunque pueden tener distin-tas formas y tamaños, todas las neuronas tienen unaestructura básica y constan de 3 partes esenciales:soma, dendritas y axones.

Figura 1: Estructura básica de una neurona.

En su centro se encuentra la soma, es el cuerpode la neurona, y justo en el centro de la soma, está elnúcleo. Las ramificaciones que se generan alrededorde la soma se les conoce como dendritas, es dondese recibe la señal. Después, donde termina el cuerpode la neurona se llama cono axónico; conecta a lasoma con lo que conocemos como el axón y con-tiene un liquido llamado axoplasma. Los axonespueden llegar a ser muy largos, por esa razón, elaxón lo podemos suponer como un cable. Las célu-las aisladas alrededor del axón se llaman células deSwchann y constituyen las vainas de mielina. Ade-más, los espacios donde se encuentra descubiertoel axón, se conocen como nodos de Ranvier. Porúltimo, el axón se extiende hasta una parte conocidacomo terminal axónica.

De tal manera, que la idea general del funciona-miento de la neurona, es obtener señales por mediode las dendritas; esas señales pueden sumarse, paradespués viajar al cono axónico, y si son los suficien-temente grandes provocan un potencial en el axón.Lo que ocasiona que la señal viaje a través del axónhasta llegar a la terminal donde puede conectarse víasinapsis a otras neuronas.

I. Bombas de sodio-potasio y potencial demembrana en reposo

Para comprender mejor cómo es que una neuronatransmite señales a través del axón, debemos sentarlas bases de las propiedades eléctricas de la neurona.Si hacemos un acercamiento a la membrana, don-de no existe recubrimiento por la vaina de mielina,observaremos que hay concentraciones de iones desodio (Na+) y de potasio (K+), tanto en el exteriorcomo en el interior de la membrana. Resulta que,las neuronas tienen una mayor carga positiva en elexterior de sus membranas que en el interior de ellas,lo que provoca una diferencia de potencial.

Figura 2: Proceso que realizan las bombas de sodio-potasio.

Esta dispersión en la que existen más cargas po-sitivas afuera de la neurona, se debe a las bombasde sodio-potasio. Estas bombas están conformadaspor proteínas, las cuales ”bombean” iones de sodioafuera de la neurona, así como también iones depotasio dentro de ella. Así, el proceso consiste enacabar con más iones de sodio en el exterior y másiones de potasio en el interior.

Sin embargo, lo importante es la cantidad de car-ga con la que se termina, ya que las bombas desodio-potasio bombearán más iones de sodio quede potasio, de tal manera que existirá más cargapositiva en el exterior. Si con un multímetro pudié-ramos medir la diferencia de potencial que existedel exterior respecto al interior, observaríamos queel potencial es de aproximadamente -70 mV. A estevoltaje se denomina como potencial de membranaen reposo.

II. Potencial de acción

Además de las bombas de sodio-potasio, en lamembrana también existen canales que permiten el

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paso de iones de sodio o de potasio. La existenciade canales abiertos implica que la membrana tienecierto grado de permeabilidad a un tipo de ion queel canal permite pasar.

Estos canales son llamados canales iónicos, al-gunos de estos son sensibles al voltaje, es decir, seabren o se cierran dependiendo el valor del voltaje.Si tomamos una zona de la membrana donde hayaun canal de Na+ y uno de K+, entonces cuandola membrana aumente su potencial lo suficiente, elcanal de sodio se abrirá, mientras que el canal depotasio se encontrará cerrado. Así, cuando la mem-brana alcance un valor mayor de potencial, el canalde sodio se cerrará y el canal de potasio se abrirá.

Figura 3: Esquema que representa los canales de iónicos.

Entonces, si suponemos que la membrana se en-cuentra permeable al sodio, entonces permitirá elpaso de iones de sodio al interior, ocurrirá que elvoltaje aumentará, y si es lo suficientemente grande,accionará el canal regulado por voltaje de sodio, porlo que más iones de sodio fluirán al interior. Eso pro-vocará un aumento considerable en el voltaje peroluego cuando se llegue a un cierto valor de voltaje elflujo cesará y el canal de sodio se cerrará, mientrasque el canal de potasio se abrirá, esto hará que elvoltaje disminuya volviendo al estado de equilibrio.Este estímulo se conoce como potencial de acción.

Cabe destacar que el fenómeno descrito anterior-mente aplica a un punto de la membrana, entonces,esto no explica la propagación del impulso. La pro-pagación de la señal se genera cuando el potencialen un punto de la membrana alcanza un valor altoy se desata en esa zona un potencial de acción. Así,hay una pequeña corriente pasiva a lo largo del axónque provoca que el potencial en el área aledaña a la

zona excitada también se desplace a un valor alto,y provoque la apaertura de los canales sensibles avoltaje.

III. PROPIEDADES PASIVAS: MODELO

ELÉCTRICO DE LA ACTIVIDAD

NEURONAL

En la sección anterior vimos que cuando la mem-brana recibe estímulos lo suficientemente grandes,tiene lugar una dinámica compleja, responsable delos potenciales de acción.

Ahora, nos ocuparemos de la modelación deltransporte eléctrico a través del axón, dicho transpor-te puede entenderse en términos de lo que se conocecomo las propiedades pasivas de la membrana,esto es, aquellas que tienen lugar en ciertas regiones,donde no existen canales iónicos. Para esto, debemosconsiderar que el movimiento de iones es un despla-zamiento de cargas, es decir; una corriente eléctrica,esto implica que nuestro modelo estará basado en lasleyes de la física. De esta manera, se puede construirun circuito eléctrico equivalente, cuya dinámica esanáloga a la de la membrana.

Las bombas de sodio-potasio tienen la funciónde establecer una diferencia de potencial a travésde la membrana, por lo que, puede modelarse comouna pila eléctrica. Como vimos en la subsección I,cuando a la membrana se le aplica una diferencia depotencial, se observa un flujo de carga eléctrica quese acumula en ambos lados de la membrana.

Figura 4: Diagrama de la acumulación de carga en unasección de la membrana.

Los condensadores (capacitores) cuentan con estacaracterística, es decir, acumulan carga en sus placas

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debido a una diferencia de potencial, de tal maneraque la carga Q que adquieren las placas de un con-densador es proporcional al voltaje aplicado V y laconstante de proporcionalidad se llama capacidadeléctrica y se denota por C, esta cantidad se mideen Faradios (F). Por lo tanto, lo dicho anteriormentese resume en:

Q =CV (1)

En consecuencia, la corriente IC a través del con-densador es

IC =dQdt

=CdVdt

(2)

Esto nos conduce, en un principio, a modelar lamembrana como un condensador. Sin embargo, lamembrana no solamente cuenta con esta propiedad,debido que la membrana puede presentar cierta per-meabilidad hacia algunos iones, lo que implica quese tiene una resistencia R1 al movimiento de estosiones. Por lo tanto, la membrana cuenta con las pro-piedades de capacitancia y resistencia.

Figura 5: Circuito equivalente de la membrana.

Esta parte podemos representarla con un circui-to equivalente que contenga los componentes yamencionados, como se muestra en la Figura 5, es-te circuito representa solo una zona del axón. Esimportante saber, que mientras el capacitor se estécargando, entonces presentará una baja resistencia,por lo que la corriente solo pasará por el capacitor.Pero cuando el capacitor se encuentre totalmente car-gado, empezará a actuar como una gran resistencia,donde no dejará pasar corriente, es aquí cuando lacorriente empezará a circular por la resistencia, estohace referencia a la permeabilidad de la membrana.

Por otra parte, el axón puede suponerse comouna membrana cilíndrica que contiene un líquidoconductor (axoplasma). Entonces, el axón puede sermodelado como un cable eléctrico, donde la corrien-te viajaría a lo largo de este, en el fluido y también

escaparía a través de la membrana. Además de eso,el axón presenta una resistencia R2 debido a su longi-tud, y es proporcional a la resistividad del axoplasma.No obstante, para simplificar el modelo, no consi-deraremos tomar las características geométricas delaxón, por lo que, la señal que se propaga a travésdel axón solo cambiará con el tiempo y no con ladistancia.

Figura 6: Circuito equivalente del axón.

Si bien, el axón como cable eléctrico puede tenerperdidas hacia el exterior, en la realidad esto no ocu-rre, debido que las vainas de mielina actúan comoun aislante que impide las perdidas. Cada vaina demielina puede ser vista como un circuito RC. Así, seobtiene el circuito equivalente de todo el axón comose muestra en la Figura 6. En este caso el voltajeV0 es el potencial que provocará el impulso que sepropagará por el axón.

Analizando solamente el primer circuito e igno-rando los demás, si V1 es el voltaje a través del capa-citor, entonces

V1(t) =Q(t)

C(3)

dado que el capacitor se encuentra en paralelo ala resistencia R1, entonces el voltaje a través de laresistencia es V1. Derivando de ambos lados de laecuación, obtenemos

IC =dQdt

=CdV1

dt(4)

la corriente a través del capacitor. Y tomando elnodo donde se unen los tres componentes, tenemosque

IC = I2 − I1 (5)

Ahora, aplicando las leyes de Kirchhoff al circui-to, obtenemos

V0 = I2R2 +V1 (6)

Así, la corriente en R2 es

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I2 =V0 −V1

R2(7)

Entonces,

dQdt

= I2 − I1

=V0 −V1

R2− V1

R1

(8)

Por lo tanto, se obtiene la ecuación diferencialsiguiente:

dV1

dt=

1C

(V0 −V1

R2− V1

R1

)(9)

Si se consideran todos los circuitos, tenemos queel voltaje V1 es el entrante al siguiente circuito. Si-guiendo esta lógica, en el circuito N con un voltajeVN , tendrá un voltaje de entrada VN−1. Así, se obtie-ne el siguiente sistema de ecuaciones:

dV1

dt=

1C

(V0 −V1

R2− V1

R1

)dV2

dt=

1C

(V1 −V2

R2− V2

R1

)...

dVN

dt=

1C

(VN−1 −VN

R2− VN

R1

)(10)

Este sistema de ecuaciones diferencial nos pro-porcionará una visión simplificada de cómo es lapropagación de una señal V0 a través del axón deuna neurona.

IV. IMPLEMENTACIÓN Y SIMULACIÓN

Hasta el momento, hemos visto que la propaga-ción de impulsos eléctricos puede ser descrito porun sistema de ecuaciones diferenciales lineales deprimer orden. Este sistema puede resultar de grantamaño si consideramos tener muchas vainas de mie-lina, como se mencionó, cada zona donde hay vainade mielina, es un circuito. Por esa razón, para re-solver este problema vamos recurrir a los métodonuméricos.

Listing 1: Clase ’Axon’

1 i m p o r t numpy as np

3 c l a s s Axon :

5 d e f _ _ i n i t _ _ ( s e l f , V0 , C , R1 , R2 , N) :

7 s e l f . C , s e l f . R1 , s e l f . R2 = C , R1 , R2

9 s e l f . I n i t C o n d = np . z e r o s (N)

11 i f i s i n s t a n c e ( V0 , ( i n t , f l o a t ) ) :

13 s e l f . V0 = lambda t : V0s e l f . I n i t C o n d [ 0 ] = s e l f . V0 ( 0 )

15e l i f c a l l a b l e ( V0 ) :

17s e l f . V0 = V0

19 s e l f . I n i t C o n d [ 0 ] = s e l f . V0 ( 0 )

21 e l s e :

23 r a i s e V a l u e E r r o r ( " V o l t a j e nod e f i n i d o " )

25 d e f dV ( s e l f , Vi , Vf ) :

27 r e t u r n ( 1 / s e l f . C) ∗ ( ( ( Vi−Vf ) / s e l f . R2 )−(Vf / s e l f . R1 ) )

29 d e f _ _ c a l l _ _ ( s e l f , v , t ) :

31 V = np . z e r o s _ l i k e ( v )V[ 0 ] = s e l f . dV ( s e l f . V0 ( t ) , v [ 0 ] )

33f o r i i n r a n g e ( l e n ( v ) − 1) :

35V[ i + 1] += s e l f . dV ( v [ i ] , v [ i + 1 ] )

37r e t u r n V

Primeramente, se creo una clase llamada Axon, lacual nos permitirá construir objetos (axones) con dis-tintas características, como se observa en el Código1.

Listing 2: Primer ’axon’

axon = Axon (70 e−3, 1e−10 , 1e8 , 1e6 , N=100)2

S o l u c i o n = E u l e r ( axon )4 S o l u c i o n . I n i t i a l C o n d i t i o n s ( axon . In i tCond

, [ 0 , 1 e −2] ,1 e−6)V, t = S o l u c i o n . SolveODE ( )

Entre estas características se encuentra: la capa-

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citancia C, la resistencia R1, y el voltaje V0 entranteque provocará la propagación. También se tiene laresistencia R2 que presenta el axón y el número decircuitos N a considerar. La clase contempla los ca-sos cuando se recibe un voltaje constante o variableen el tiempo.

Para una primera simulación se considero comopropiedades: C = 1×10−10 F , R1 = 1×10−8 Ω yR2 = 1× 106 Ω. Considerando N = 100 circuitoscon la condición incial de

V1(0) = V0 (11)

con V0 = 70 mV un voltaje constante. Para losdemás voltajes

V2(0) = ... = VN(0) = 0 (12)

Como se observa en el Código 2, mediante elmódulo PhysicsPy se resuelve el sistema de ecua-ciones diferenciales. Se fijó un tamaño de paso deh = 1× 10−5 y se utilizó el método de Euler parasolucionar el sistema.

Figura 7: Gráfica de la señal eléctrica a través de loscircuitos en distintos pasos de tiempo. Se consi-dera un potencial constante V0 = 70 mV .

En la Figura 7 podemos observar como la señal sepropaga cada vez más conforme transcurre el tiempo.En un principio la señal decae rapidamente y no sepropagá, pero para tiempos posteriores la señal sepropagá a más circuitos.

Después, se repitió la simulación, con las mismascondiciones, pero esta vez considerando dos voltajesvariables en el tiempo, una señal sinusoidal y una

señal cuadrada. Estos voltajes, se consideraron comopequeños pulsos que suceden en un corto periodo detiempo.

Figura 8: Grafica de una señal eléctrica sinusoidal de en-trada y su respectiva salida. La amplitud de laseñal es V0 = 70 mV y frecuencia f = 300 Hz.

Un pequeño impulso se puede considerar un ca-so más realista, no obstante, en estos ejemplos setoman señales ideales. Aun así, al observar los resul-tados podemos visualizar que la señal disminuye enamplitud, pareciera que el axón (los circuitos) actuacomo un filtro, dejando pasar ciertas frecuencias yrechazando otras.

Figura 9: Grafica de una señal eléctrica cuadrada de en-trada y su respectiva salida. La amplitud de laseñal es V0 = 70 mV y frecuencia f = 300 Hz.

Si bien, este modelo resulta sencillo de implemen-tar computacionalmente, no siempre será así. Sinembargo, esta pequeña simulación nos proporcionáuna idea de los alcances que tienen las herramientascomputacionales. Con los modelos adecuados se po-

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drían implementar simulaciones más complejas, queincluso puedan simular al cerebro completo.

Estas ideas se llevan acabo actualmente, por ejem-plo, proyectos como Human Brain Project financia-do por la Unión Europea o los proyectos de inves-tigación de CINPLA del depeartamento de Biocen-cias de la Universidad de Oslo, intentan replicar lascaracterísticas del cerebro humano aplicando herra-mientas computacionales.

V. CONCLUSIONES

En conclusión, podemos decir que, basados enconocimientos bioquímicos, fisiológicos y físicos,surge un modelo eléctrico que nos permite compren-der las propiedades más importantes de las neuronas,así como las propiedades de su membrana. Hemosvisto que podemos simular el transporte eléctrico através del axón, usando herramientas computacio-nales. Esto le permite a la ciencia la posibilidad depoder simular el cerebro, con el objetivo de obtenerbeneficios importantes; como reducir la necesidad deexperimentos con animales, estudiar enfermedadesen experimentos computacionales sin precedentes ode mejorar la validación de datos y experimentos.

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