Model Pembelajaran Matematika

MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA


DENGAN MENGGUNAKAN TEORI GEORGE POLYA DAN MEDIA LKS

(APLIKASI PADA MATERI “DERET ARITMETIKA” KELAS XII SMA JURUSAN IPS)

NAMA : MAYA KUSFITRI YANA

NPM : 200813500424

PRODI : PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI

TAHUN AJARAN 2010 – SEMESTER IV


DENGAN MENGGUNAKAN TEORI GEORGE POLYA DAN MEDIA LKS

(APLIKASI PADA MATERI “DERET ARITMETIKA” KELAS XII SMA JURUSAN IPS)

I. URAIAN MATERI

I.1 Pengantar

Modul ini menyajikan bahan yang berjudul “Model Pembelajaran

Matematika Dengan Menggunakan Teori George Polya Dan Media LKS Dalam

Aplikasinya Terhadap Materi Deret Aritmetika”. Didalamnya dibicarakan tentang

bagaimana merumuskan dan menentukan jumlah n suku deret aritmetika. Serta

dibicarakan pula bagaimana menjelaskan dan merumuskan masalah yang model

matematikanya berbentuk deret aritmetika.

Materi diatas merupakan dasar dan syarat untuk mempelajari modul

berikutnya. Perlu Anda ketahui bahwa konsep pemecahan masalah (Problem

Solving) merupakan pendekatan yang digunakan dalam pembahasan modul deret

aritmetika ini. Oleh karena itu, diharapkan agar pembahasan dalam modul ini

benar-benar Anda kuasai.

Materi dalam modul ini sangan berguna, baik untuk pengayaan dan

penunjang cabang matematika lainnya, untuk kepentingan bidang ilmu lainnya,

serta berguna untuk kepentingan kehidupan masyarakat sehari-hari.

I.2 Tujuan Instruksional Umum

Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan mampu memahami

konsep problem solving dan deret aritmetika.

I.3 Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari modul ini Anda dapat :

a. Merumuskan jumlah n suku deret aritmetika

b. Menentukan jumlah n suku deret aritmetika

c. Menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk

deret aritmetika

d. Merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah.

e. Menentukan penyelesaian dari model matematika

f. Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh

I.4 Kegiatan Belajar

DERET ARITMETIKA

Uraian dan Contoh

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmetika disebut deret

aritmetika. Dengan demikian suku-suku yang membentuk deret aritmetika adalah

suku-suku barisan aritmetika.

Misalkan U1, U2, U3, U4, U5, …, Un = {U n } adalah barisan aritmetika, maka deret

aritmetikanya adalah U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + Un = nSi=1

Un = Sn,

dan dalam hal ini:

S1 = U1; S2 = U1 + U2 ; S3 = U1 + U2 + U3 ; S4 = U1 + U2 + U3 + U4 ; …. dan

seterusnya.

Contoh :

a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + … + 3n = nSi=1

3i

b. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 … + (2n-1) = nSi=1

(2i – 1)

Misalkan U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … + Un adalah deret aritmetika, maka sesuai

dengan rumus suku ke-n, yaitu Un = a + (n-1)b maka deret aritmetika dapat ditulis

menjadi :

a + (a+b) + (a+2b) + (a+3b) + (a+4b) + … + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)

Jika penjumlahan n suku pertama dinotasikan dengan Sn maka diperoleh :

Sn = a + (a+b) + (a+2b) + …. + (a+(n-2)b) + (a+(n-1)b)

Sn = (a+(n-1)b) + (a+(n-2)b) + (a+(n-3)b) + …. + (a+b) + a +

2Sn = 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b + …. + 2a+(n-1)b + 2a+(n-1)b

2Sn = n {2a+ (n−1 )b }

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

Sn = n2 {a+Un}

Maka, jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah:

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b } = n2 {a+Un}

Contoh:

1. Diketahui suatu deret aritmetika. Jumlah 4 suku pertamanya = 17 dan jumlah 8

suku pertamanya = 66. Tentukan suku ke-7 nya.

Jawab:

S4 = 42

{2a+3b } 17 = 4a + 6b x2 8a + 12b = 34

S8 = 82 {2a+7b } 66 = 8a + 28b x1 8a + 28b = 66 _

-16b = -32

b = 2

4a + 6b = 17 4a + 6(2) = 17 4a = 17 – 12 4a = 5 a = 54

= 1,25

∴ U7 = a + 6b = 1,25 + 6(2) = 1,25 +12 = 13,25

2. Tentukan nilai n supaya :1+2+3+4+…+n

1+3+5+7+…+(2n−1) = 105196

Jawab :

1 + 2 + 3 + 4 + …. + n merupakan deret aritmetika Sn = n2 {1+n }

1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2n-1) merupakan deret aritmetika Sn = n2 {1+(2n−1 ) }

= n2

(2n)

1+2+3+4+…+n1+3+5+7+…+(2n−1) = 105196

n2

{1+n }

n2(2n)

= 105196

1+n2n = 105196 (dikalikan silang )

210n = 196 + 196n 14n = 196

∴ n = 14

Didalam deret aritmetika pada umumnya dapat dirumuskan hubungan

antara suku ke-n dengan jumlah suku ke-n, seperti berikut ini :

S1 = U1;

S2 = U1 + U2 S2 = S1 + U2 U2 = S2 – S1

S3 = U1 + U2 + U3 S3 = S2 + U3 U3 = S3 – S2

S4 = U1 + U2 + U3 + U4 S4 = S3 + U4 U4 = S4 – S3

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + …. + Un = Sn-1 + Un Sn = Sn-1 + Un Un = Sn – Sn-1

Un = Sn – Sn-1

Contoh :

1. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan dengan Sn = 2n2 +

n. Tentukan suku ke-5 dan rumus suku ke-n deret aritmetika tersebut.

Jawab:

Deret aritmetika : Sn = 2n2 + n

U5 = S5 – S4 = (2(5)2 + 5) – (2(4)2 – 4) = 50 + 5 – 32 – 4 = 19

Un = Sn – Sn-1

= (2n2 + n) – (2(n-1)2 + (n-1))

= 2n2 + n – 2n2 + 4n – 2 – n +1

= 4n-1

2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dirumuskan dengan Sn = 3n2 – 1.

Tentukan beda deret aritmetika tersebut.

Jawab:

Deret aritmetika : Sn = 3n2 – 1

U1 = S1 = 3(1)2 – 1 = 2

U2 = S2 – S1 = (3(2)2 – 1) – (3(1)2 – 1) = 12 – 1 – 3 + 1 = 9

∴ b = U2 – U1 = 9 – 2 = 7

PERUMUSAN DAN PENYELESAIAN MASALAH

Ada berbagai masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat-

sifat deret aritmetika. Berikut akan diberikan beberapa contoh yang berkaitan

dengan hal tersebut.

Contoh:

Sejumlah pipa berbentuk silinder disusun sedemikian sehingga pada baris

pertama paling bawah terdapat 50 pipa, baris kedua 49 pipa, baris ketiga 48,

demikian seterusnya hingga baris terakhir ada 40 pipa. Hitunglah banyak pipa

seluruhnya.

Jawab:

Susunan pipa tersebut mengikuti pola deret aritmetika, yaitu: 50 + 49 + 48 + …

+ 40

Suku pertama: a = 50, suku terakhir: Un = 40 dan beda: b = -1

Un = a + (n-1)b Sn = n2 {a+Un}

40 = 50 + (n-1)(-1) S11 = 112

{50+40 }

40 = 50 –n +1 S11 = 112

{90 }

n = 51 – 40 S11 = 495

n = 11

U11 = 40

∴ Dengan demikian, banyak pipa seluruhnya = 495

II. MEMAHAMI KONSEP MATEMATIKA

Berikut kegiatan pembelajaran dalam memahami konsep matematika :

1. Dengan tanya jawab, dibahas tentang bagaimana merumuskan jumlah n suku

deret aritmetika.

2. Dengan tanya jawab dibahas tentang bagaimana menentukan jumlah n suku deret aritmetika.

3. Dengan tanya jawab dan diskusi, dijelaskan tentang karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika.

4. Dengan tanya jawab, dibahas tentang bagaimana merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah.

5. Dengan diskusi, dibahas bagaimana cara menentukan penyelesaian dari model matematika

6. Dengan tanya jawab dan diskusi, dibahas tentang bagaimana cara memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh.

III. MENGGUNAKAN PENALARAN

George Polya dalam Teori Pemecahan Masalah-nya (Problem Solving)

berpendapat bahwa pemecahan masalah merupakan bagian dari kurikulum

matematika yang sangat penting dalam proses pembelajaran maupun

penyelesaiannya. Dalam teorinya, siswa dimungkinkan memperoleh pengalaman

menggunakan pengetahuan serta keterampilan yang sudah dimiliki untuk diterapkan

pada pemecahan masalah yang bersifat tidak rutin. Melalui kegiatan ini, aspek-aspek

kemampuan matematika menjadi penting, seperti penerapan aturan pada masalah-

masalah yang tidak rutin, sehingga dapat dikembangkan secara lebih baik.

Lalu, soal bagaimana yang merupakan masalah? Soal yang dikategorikan

sebagai masalah dibagi menjadi dua, yakni soal yang bersifat rutin dan yang bersifat

tidak rutin. Soal rutin biasanya mencakup aplikasi suatu prosedur matematika yang

sama atau mirip dengan hal yang baru dipelajari. Sedangkan dalam masalah tidak

rutin, untuk sampai pada prosedur yang benar diperlukan adanya pemikiran yang

mendalam.

Menurut Polya, ada 4 fase yang harus dilaksanakan dalam pemecahan

masalah, yakni memahami masalah, merencanakan penyelesaian, menyelesaikan

masalah sesuai rencana, dan melakukan pengecekan kembali terhadap semua

langkah yang telah dikerjakan.

Dalam penerapannya terhadap materi deret aritmetika, 4 fase tersebut dapat

dilaksanakan. Misalnya, dalam penyelesaian masalah sehari-hari yang berkaitan

dengan deret aritmetika. Tentunya untuk dapat menyelesaikan sebuah masalah, kita

harus dapat memahami apa hal yang menjadi masalah. Contoh:

“Ayah menyimpan uang dirumah. Setiap bulan, besar simpanannya dinaikkan secara

tetap, dimulai dari bulan pertama Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan

ketiga Rp60.000,00 dan seterusnya. Jumlah tabungan dalam 10 bulan adalah…??”

Dari contoh soal diatas, kita harus bisa memahami bahwa soal tersebut

merupakan soal yang berhubungan dengan deret aritmetika. Mengapa? Karena dari

soal tersebut sudah digambarkan bahwa hal yang dijadikan masalah yakni jumlah

tabungan ayah dalam 10 bulan, dengan tabungan pertama sebesar Rp50.000,00 dan

kenaikan besar tabungan setiap bulan yakni sebesar Rp5000,00.

Lalu fase ke-2 menurut Polya adalah merencanakan penyelesaian. Dari contoh

soal diatas, kita dapat merencanakan penyelesaian, yakni merencanakan dengan

menggambarkan penyelesaian soal menggunakan rumus deret aritmetika dengan 10

bulan sebagai masalah (yang ditanyakan) dan didapat dilambangkan dengan S10, lalu

tabungan pertama sebagai a (suku pertama) dan kenaikan besar tabungan sebagai b

(beda). Sehingga, pada fase ke-3 (menyelesaikan masalah sesuai rencana), soal

tersebut dapat dikerjakan dengan menggunakan rumus deret aritmetika, yaitu:

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S10 = 102

{2(50.000)+(10−1 )5000 }

S10 = 5 {100.000+45.000 }

S10 = 5 {145.000 } = 725.000

Setelah melakukan penyelesaian sesuai dengan rencana, lalu pada fase ke-4

dilakukan pengecekan terhadap masalah yang baru diselesaikan. Jika sudah yakin dan

sesuai rencana, kita dapat membuat esimpulan dari jawaban masalah tadi yakni:

∴ Jadi, jumlah tabungan ayah selama 10 bu;an adalah Rp725.000,00

Dari penyelesaian berdasarkan teori pemecahan masalah diatas, ada 3 hal

yang dapat dipikirkan yakni pembelajaran melalui pemecahan masalah, pembelajaran

tentang pemecahan masalah dan pembelajaran untuk pemecahan masalah.

IV. MEMECAHKAN MASALAH

Untuk dapat memecahkan masalah kita harus memahami dan mengerti hal-hal

yang terdapat pada indicator, antara lain:

1. Harus dapat merumuskan jumlah n suku deret aritmetika

2. Dapat menentukan jumlah n suku deret aritmetika

3. Dapat menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk

deret aritmetika

4. Dapat merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah

5. Dapat menentukan penyelesaian dari masalah

6. Dapat memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh

V. MENGOMUNIKASIKAN GAGASAN DENGAN MEDIA

Dalam penerapannya, ada beberapa media yang dapat digunakan dalam

model pembelajaran deret aritmetika. Salah satu diantaranya ialah menggunakan

media LKS (Lembar Kerja Siswa).

Dengan media ini, diharapkan siswa mampu memahami dan mengerjakan

soal-soal yang berhubungan dengan deret aritmetika. Karena, semakin banyak

melatih kemampuan dalam penyelesaian soal, maka semakin bias dipahami dan

dimengerti masalah yang dihadapi.

VI. MEMILIKI SIKAP DALAM MEMECAHKAN MASALAH

Untuk dapat memecahkan masalah dengan mudah, kita harus bisa mengambil

sikap atau cara yang tepat. Untuk itu, harus terus dilatih kemampuan dalam

memecahkan masalahnya. Berikut beberapa soal beserta pembahasannya.

1. Tentukan jumlah 20 suku pertama dari 2 + 8 + 14 + 20 + …

Pembahasan:

a = 2 b = 8-2 = 6 n = 20

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S20 = 202

{2(2)+(20−1 )6 }

= 10 {4+114 }

= 10 {118 }

= 1180

∴ Jumlah 20 suku pertama dari 2 + 8 + 14 + 20 + … adalah 1180

2. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 7, 10, 13, 16, …

Pembahasan :

a = 7 b = 10-7 = 3 n = 10

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S10 = 102

{2(7)+(10−1 )3}

= 5 {28+27 } = 275

∴ Jumlah 10 suku pertama dari 7 + 10 + 13 + 16 + … adalah 275

3. Suku ke-3 suatu deret aritmetika adalah 12 dan suku ke-6 nya adalah 21. Tentukan

jumlah 100 suku pertama deret tersebut.

Pembahasan :

U3 = 12 a + 2b = 12 a + 2b = 12

U6 = 21 a + 5b = 21 _ a + 2(3) = 12

-3b = -9 a = 12 - 6

b = 3 a = 6

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S100 = 1002

{2 (6 )+(100−1 )3 }

= 50 {12+(99 )3 }

= 50 {309 }

= 15450

∴ Jadi, jumlah 100 suku deret pertama tersebut adalah 15450

4. Suku ke-5 suatu barisan aritmetika adalah 20 dan suku ke-9nya adalah 36.

Tentukan jumlah 15 suku pertama barisan tersebut..

Pembahasan :

U5 = 20 a + 4b = 20 a + 4b = 20

U9 = 36 a + 8b = 36 _ a + 4(4) = 20

-4b = -16 a = 20 - 16

b = 4 a = 4

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S15 = 152

{2 (4 )+(15−1 )4}

= 152 {8+ (14 )4 }

= 152

{64 }

= 480


5. Tentukan jumlah bilangan asli antara 100 dan 2500 yang habis dibagi 9.

Pembahasan :

Bilangan asli antara 100 dan 2500 yang habis dibagi 9 antara lain adalah

108, 117, 126, …., 2493.

Maka : a = 108 b = 9

Un = a + (n-1)b Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

2493 = 108 + (n-1)9 S266 = 2662

{2(108)+(266−1 )9}

2493 = 108 + 9n – 9 = 133{216+2385 }

9n = 2493 – 99 = 133 {2601 }

n = 23949

= 266 = 345933

∴ Jadi, jumlah bilangan asli antara 100 dan 2500 yang habis dibagi 9 adalah

345933

6. Tentukan banyak bilangan asli antara 1000 dan 2000 yang habis dibagi 5 tetapi

tidak habis dibagi 15.

Pembahasan :

Bilangan asli antara 1000 dan 2000 yang habis dibagi 5 adalah 1005, 1010, 1015, …

1995

a = 1005 b = 15 Un = 1995

⟺1995 = a + (n-1)5

1995 = 1005 + (n-1)5

1995 = 1005 +5n – 5

5n = 995

n = 9955

= 199

Banyak bilangan asli antara 1000 dan 2000 yang habis dibagi 5 adalah 199.

Bilangan asli antara 1000 dan 2000 yang habis dibagi 15 adalah 1005, 1020, 1035,

….., 1995.

a = 1005 b = 15 Un = 1995

⟺1995 = a + (n-1)15

1995 = 1005 + (n-1)15

1995 = 1005 +15n – 15

15n = 1995 - 990

n = 100515

= 67

Banyak bilangan asli antara 1000 dan 2000 yang habis dibagi 15 adalah 67.

∴Dengan demikian, banyak bilangan asli antara 1000 dan 2000 yang habis dibagi 5

dan tidak habis dibagi 15 adalah 199 – 67 = 132

7. Formasi barisan pemain marching band menempatkan 14 pemain pada baris

pertama, 16 pemain pada baris kedua, 18 pemain pada baris ketiga, demikian

seterusnya hingga 25 barisan. Banyak pemain seluruhnya adalah…

Pembahasan :

Barisan aritmetikanya : 14, 16, 18, …..

a = 14 b = 2 n = 25

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S25 = 252

{2(14 )+ (25−1 )2}

S25 = 252

{28+48 }

S25 = 252

{76 }

S25 = 950

∴Jadi, banyak pemain seluruhnya adalah 950 orang

8. Ani menabung uangnya dengan tabungan pertama sebesar RP200.000,00. Jika

setiap bulan berikutnya Ani menabung Rp50.000,00 lebihnya dari bulan

sebelumnya, berapakah jumlah tabungan Ani selama 1 tahun?

Pembahasan :

a = 200.000 b = 50.000 n = 12

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S12 = 122

{2(200.000)+(12−1 )50.000 }

S12 = 6 {400.000+550.000 }

S12 = 6 {950.000 }

S12 = 5.700.000

∴Jadi, besar jumlah tabungan Ani selama 1 tahun adalah Rp5.700.000,00

9. Pada suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-5 adalah 5 dan jumlah 8 suku

pertamanya adalah 32. Hitunglah nilai suku pertama dan bedanya, serta tentukan

jumlah 18 suku pertamanya.

Pembahasan :

U5 = 5 a + 4b = 5

S8 = 32

⟺ 32 = 82 {2a+ (8−1 )b }

⟺ 32 = 4 {2a+7b }

8a + 28b = 32 8a + 28b = 32 a + 4b = 5

a + 4b = 5 8a + 32b = 40 _ a + 4(2) = 5

-4b = -8 a = 5 - 8

b = 2 a = -3

∴ Jadi, jumlah suku pertamanya adalah -3, dan bedanya adalah 2

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S18 = 182

{2 (−3 )+(18−1 )2 }

= 9 {−6+34 }

= 9 {28 } = 252


10. Seorang pedagang kayu menumpuk balok kayunya sebagai berikut. Tumpukan

paling bawah berisi 20 balok. Tumpukan kedua berisi 18 balok. Tupukan ke-3

berisi 16 balok. Demikian seterusnya, hingga tumpukan balok itu berbentuk

piramida. Berapakah banyak balok kayu yang ditumpuk sehingga mencapai

tumpukan yang ke-10?

Pembahasan :

a = 20 b =- 2 n = 10

Sn = n2 {2a+ (n−1 )b }

S10 = 102

{2 (20 )+(10−1 )−2}

= 9 {40−18 }

= 9 {22 } = 198


VII.PENUTUP

Dari pembahasan modul ini, maka dapat disimpulkan bahwa Teori

Pemecahan Masalah (Problem Solving) yang dikemukakan oleh George Polya, dapat

diterapkan pada pembahasan materi deret aritmetika kelas XII SMA jurusan IPS

dengan media pembelajarannya menggunakan LKS. Karena LKS sangat membantu

melatih kemampuan siswa dalam memecahkan masalah. Semakin banyak berlatih,

diharapkan siswa akan semakin dapat memahami masalah yang dihadapi sehingga

dapat direncanakan penyelesaian masalah, dilakukan penyelesaian masalah serta

mengecek terhadap hasil penyelesaian yang diperoleh sesuai dengan prosedur pada

pendekatan teori pemecahan masalah.

DAFTAR PUSTAKA

Dimyati, Dkk.. 2006. Belajar dan Pembelajaran. Jakarta : Rineka Cipta.

Frederick, Dkk.. 2004. Program Pemantapan Kemampuan Siswa Matematika Kelas 3 SMA

dan MA Program Ilmu Sosial dan Bahasa. Jakarta : Gematama.

Permadi, Dkk.. 2000. Matematika SMU Kelas 3 Program IPS – Bahasa. Jakarta : Erlangga.

Subanji. 2007. “Teori Belajar”. Makalah. Disajikan dalam Seminar Desiminasi Matematika

SD di Batu, 30 April – 2 Mei 2007.

Trianto. 2007. Model Pembelajaran Terpadu dalam Teori dan Praktek. Jakarta : Prestasi

Pustaka Publisher.

Documents

Model Pembelajaran Matematika