repository.uksw.edu · MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW (NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY) STUDI DATA SEKUNDER TENTANG PENGGANTIAN KLEP …

MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW

(NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY)

STUDI DATA SEKUNDER TENTANG PENGGANTIAN KLEP MESIN DIESEL

ONE DIMENTIONAL WARRANTY COST MODEL OF

NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY (FRW) POLICY

A STUDY OF SECONDARY DATA ABOUT THE REPLACEMENT OF

DIESEL ENGINES’ VALVE SEATS

Oleh :

Eldaberti Greselda

662012006

TUGAS AKHIR

Diajukan kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika guna

memenuhi sebagian dari persyaratan untuk mencapai Gelar Sarjana Sains

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA

SALATIGA

2016

ii

iii

iv

v

MOTTO

Tidak ada yang kebetulan dalam hidup ini dan tidak ada satupun kejadian yang

terjadi tanpa seijin Tuhan. Jikalau Tuhan mengijinkan hal itu terjadi, pasti Tuhan

memiliki maksud supaya kita semakin serupa dan segambar dengan Dia dan

supaya kita percaya bahwa Tuhan membuat segalanya indah pada waktu-Nya.

Tuhan tidak pernah berjanji untuk memberikan hidup yang mudah tanpa

tantangan dan rintangan. Tapi Tuhan selalu berjanji untuk memberi kekuatan

dalam kelemahan, penghiburan dalam duka cita, serta kelegaan bagi yang letih

lesu dan berbeban berat. Bahkan Tuhan juga berjanji untuk memberikan masa

depan yang penuh harapan sesuai dengan firman-Nya, “Sebab Aku ini mengetahui

rancangan-rancangan apa yang ada pada-Ku mengenai kamu, demikian firman

TUHAN, yaitu rancangan damai sejahtera dan bukan rancangan kecelakaan,

untuk memberikan kepadamu hari depan yang penuh harapan.” (Yeremia 29:11).

Dalam menghadapi kehidupan ini kita hanya butuh iman, dimana “Iman

adalah dasar dari segala sesuatu yang kita harapkan dan bukti dari segala

sesuatu yang tidak kita lihat.” (Ibrani 11:1). Sehingga kita mampu berjalan

menghadapi hidup bersama Tuhan tanpa keraguan.

Bukan karena hidup kita bahagia maka kita menjadi bahagia, tapi karena kita

bahagia maka hidup kita menjadi bahagia.

PERSEMBAHAN

Karya ini ku persembahkan untuk:

Mama dan kakak tercinta

vi

KATA PENGANTAR

Puji Syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas berkat dan karunia-Nya, penulis

dapat menyelesaikan skripsi sebagai syarat menyelesaikan Studi Strata 1 pada

Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen

Satya Wacana.

Dalam skripsi ini terdiri dari 2 makalah utama. Makalah pertama berjudul

“Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free

Replacement Warranty) Studi Data Sekunder Tentang Penggantian Klep Mesin”

yang telah dipublikasi dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika yang diselenggarakan oleh Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA

UNY pada tanggal 14 November 2015. Kemudian makalah kedua berjudul

“Model Biaya Garansi Yang Melibatkan Distribusi Empirik Halus” yang telah

dipublikasi dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains 2015 yang

diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan Fisika, Universitas

Muhammadiyah Purworejo pada tanggal 12 Desember 2015.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membaca.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini,

penulis mengharapkan adanya kritik dan saran yang membangun untuk penulis.

Akhir kata, penulis ucapkan terimakasih. Tuhan Yesus Memberkati.

Salatiga, 18 Januari 2016

Penulis

vii

UCAPAN TERIMA KASIH

Dalam penyusunan naskah makalah ini tidak terlepas dari bantuan dan

dorongan dari berbagai pihak yang memungkinkan makalah ini dapat

terselesaikan. Maka pada kesempatan kali ini penulis ingin mengucapkan terima

kasih atas segala bimbingan, bantuan, dan dukungan kepada :

1. Dr. Bambang Susanto, selaku Kepala Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika.

2. Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si selaku dosen pembimbing utama,

terimakasih atas ide, bimbingan, dan masukan kepada Penulis.

3. Tundjung Mahatma, S.Pd, M.Kom, selaku dosen pembimbing

pendamping, terimakasih atas bimbingan dan koreksi yang diberikan.

4. Dosen pengajar di Program Studi Matematika, Dr. Bambang Susanto,

Dra. Lilik Linawati, M.Kom., Dr. Adi Setiawan, M.Sc., Tundjung

Mahatma, S.Pd, M.Kom., Didit Budi Nugroho, D.Sc., Dr. Hanna Arini

Parhusip, dan Leopoldus Ricky Sasongko, M.Si yang telah memberikan

ilmu pengetahuan dan pengalaman kepada penulis selama studi di FSM

UKSW serta Pak Edy sebagai Laboran Matematika yang telah

memberikan banyak bantuan kepada Penulis.

5. Bu Eni dan Bu Ketut sebagai TU FSM, terima kasih atas segala

bantuannya untuk Penulis.

6. Mama tercinta, Lucia Endra Susilawati terimakasih atas semangat,

dorongan, doa, dan motivasi yang tak ternilai bagi Penulis saat Penulis

mengalami jatuh bangun dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

Terimakasih juga sudah selalu menemani saat Penulis sedang

menyelesaikan tugas akhir ini, serta untuk semua kerja keras mama

sampai Penulis dapat menyelesaikan jenjang perguruan tinggi.

viii

7. Kakak tercinta, Jordan Grestandhi terimakasih untuk omelan dan

ceramahannya yang sangat membangun, terlebih untuk setiap dukungan

dan motivasi yang telah diberikan kepada Penulis.

8. Yang jauh disana, Thunesya Widi Prasetya, terimakasih untuk

dukungan, motivasi dan doanya.

9. Teman-teman Progdi Matematika 2012, Tya, Cinthya, dan Lisa, untuk

pengalaman, tawa, dan kebersamaannya dalam menempuh perkuliahan.

Walau terkadang kita sering berbeda pendapat dan pemikiran, tapi

Penulis yakin bahwa itulah bagian dari perjalanan kita selama

menempuh perkuliahan yang tak akan terlupakan. Tetap semangat dan

menjadi berkat dimanapun kalian berada kelak dan “See you on top

girls”.

10. Serta semua pihak yang terlibat dalam pembuatan tugas akhir ini yang

tidak bisa Penulis sebutkan satu per satu. Terimakasih atas dukungan,

semangat, dan doanya.

Biarlah Tuhan Yesus yang akan membalas semua yang telah diberikan kepada

Penulis dengan berkat dan kasih yang berlimpah.

ix

DAFTAR ISI

Halaman Judul .......................................................................................................... i

Pernyataan Keaslian Karya Tulis Tugas Akhir ....................................................... ii

Pernyataan Bebas Royalty dan Persetujuan Publikasi ........................................... iii

Lembar Pengesahan ............................................................................................... iv

Motto dan Persembahan .......................................................................................... v

Kata Pengantar ....................................................................................................... vi

Ucapan Terima Kasih ............................................................................................ vii

Daftar Isi ........................................................................................................ ix

Daftar Lampiran ..................................................................................................... xi

Abstrak ...................................................................................................... xii

BAB I. PENDAHULUAN .................................................................................. xiv

1. Latar Belakang ................................................................................................ xiv

2. Perumusan Masalah ...................................................................................... xvii

3. Tujuan Penelitian .......................................................................................... xvii

4. Batasan Masalah ........................................................................................... xviii

5. Manfaat Penelitian ........................................................................................ xviii

BAB II. MAKALAH .......................................................................................... xix

Makalah Pertama : Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW

(Non-Renewing Free Replacement Warranty) Studi

Data Sekunder tentang Penggantian Klep Mesin

Makalah Kedua : Model Biaya Garansi yang Melibatkan Distribusi

Empirik Halus

x

BAB III. PENUTUP .......................................................................................... xlvi

Kesimpulan .................................................................................................... xlvi

Saran ..................................................................................................... xlvi

Lampiran ................................................................................................... xlvii

xi

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Kode Matlab untuk mengestimasi ekspektasi kegagalan dengan

SMVTI yang melibatkan distribusi gamma ................................. L.1

Lampiran 2. Kode Matlab untuk memperoleh hasil estimasi dan gambar dengan

menggunakan fungsi distribusi empirik ...................................... L.2

Lampiran 3. Kode Matlab untuk menampilkan data dalam grafik fungsi

distribusi empirik, fungsi distribusi empirik halus, dan fungsi

distribusi gamma .......................................................................... L.3


SMVTI yang melibatkan distribusi empirik halus ...................... L.4

Lampiran 5. Pembuktian rumus dalam memodelkan kegagalan-kegagalan dari

waktu ke waktu (modelling failures over time) kasus komponen

non-repairable ............................................................................. L.5

Lampiran 6. Pembuktian convolution ............................................................... L.6

Lampiran 7. Tentang program easyfit ............................................................... L.7

xii

ABSTRAK

Garansi disediakan oleh produsen manufaktur untuk memberikan jaminan atas

mutu dan kehandalan produknya. Data garansi yang digunakan adalah data

penggantian klep mesin diesel. Dalam makalah pertama dibahas bagaimana

memperoleh model dan estimasi biaya garansi satu dimensi polis non-renewing

free replacement warranty (polis FRW) dengan strategi penggantian. Model

kegagalannya dapat melibatkan distribusi parametrik atau nonparametrik. Dari

penelitian ini, diperoleh model kegagalannya melibatkan distribusi parametrik

yaitu distribusi gamma. Sedangkan dalam makalah kedua, model kegagalan yang

digunakan merupakan distribusi non-parametrik yaitu distribusi empirik halus.

Estimasi biaya garansi dari kedua makalah dengan masing-masing model

kegagalannya, diperoleh melalui metode Second Mean Value Theorem for

Integrals (SMVTI) termodifikasi dengan perubahan peubah. Hasil dari estimasi

biaya garansi dengan melibatkan distribusi kegagalan gamma atau empirik halus

cukup dekat. Meskipun begitu, tidak berarti bahwa kedua estimasi tersebut sama,

karena pembandingnya hanya 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan. Sehubungan

dengan itu, perlu adanya penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi

atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 .

Kata kunci: garansi, model pembaruan, polis FRW, model biaya garansi satu dimensi,

strategi penggantian, distribusi empirik halus, SMVTI.

xiii

ABSTRACT

Warranty is provided by a manufacturer to guarantee the quality and reliability

of its products. The warranty data used in this research is about the replacement of

valve seat of diesel engines. Described in the first paper is the modeling and

estimation of warranty costs for one dimensional non-renewing free replacement

warranty (FRW) policy with replacement strategy. Its failures model may involve

parametric or nonparametric distribution. It is found that the failures model

involves a parametric distribution, namely the gamma distribution. The second

paper applied the failures model, which is nonparametric distribution, namely the

smoothed empirical distribution. The estimation of warranty costs from both

papers with each of the failures model, is obtained by using Second Mean Value

Theorem for Integrals (SMVTI) method, modified by the changes of the variable.

The resulting estimation involving both the failure distribution of gamma and

smoothed empirical distribution is very similar. Nevertheless, it does not mean

that the estimation of the two models are equal, because the standard of

comparison is merely 𝑀 𝑡 , the average of failure. Therefore further research is

needed for comparison, for example the variance or deviation from 𝑀 𝑡 and

comparison of 𝑀 𝑡 estimation test.

Key word : warranty, renewal model, FRW policy, one dimensional warranty cost

model, replacement strategy, smoothed empirical distribution, SMVTI

xiv

BAB I

PENDAHULUAN

1. Latar Belakang

Perhatian konsumen saat membeli suatu produk manufaktur ada pada

kehandalan produk. Produk yang dibeli diharapkan mampu berfungsi dengan

baik dan tidak mengalami kegagalan untuk selang waktu tertentu. Langkah

yang dapat diambil produsen manufaktur untuk menjamin kepuasan konsumen

terhadap kehandalan produknya adalah melalui garansi.

Garansi (Warranty) merupakan suatu kontrak antara produsen dan

konsumen, yang mewajibkan produsen manufaktur untuk memberikan

kompensasi (perbaikan, penggantian, pengembalian uang, dsb) kepada

konsumen terhadap kegagalan-kegagalan (satu/lebih) item atau komponen

pada produk yang terjadi selama masa garansi ditentukan sejak transaksi jual-

beli produk (Sasongko, 2014). Garansi memberikan proteksi kepada

konsumen dan produsen. Bagi konsumen, garansi merupakan jaminan mutu

dan jaminan terhadap kinerja (performances) produk yang tidak sesuai dengan

kinerja yang dijanjikan produsen. Sedangkan bagi produsen, garansi

memberikan batasan klaim konsumen terutama klaim yang tidak valid,

contoh: klaim kerusakan produk akibat penggunaan yang salah oleh

konsumen. Pengadaan garansi ini menyebabkan tambahan biaya bagi

produsen, disebut biaya garansi.

Salah satu polis garansi adalah polis non-renewing free replacement

warranty (sering disebut polis FRW). Polis FRW mewajibkan produsen

melakukan perbaikan atau penggantian komponen produk yang mengalami

kegagalan tanpa pungutan biaya dari konsumen. Apabila terjadi klaim akibat

kegagalan komponen, setelah dilakukan pembetulan atau pemulihan

(rectification) pada komponen yang gagal, masa garansi tidak diperbarui atau

dengan kata lain masa garansi berakhir tetap seperti yang ditentukan di dalam

kontrak garansi. Saat komponen produk gagal pada masa garansi, kinerja

xv

produk dapat dipulihkan melalui perbaikan atau penggantian komponen

repairable yang gagal. Apabila kegagalan produk terjadi pada komponen non-

repairable, kinerja produk hanya dapat dipulihkan melalui penggantian

(replacement).

Pengadaan garansi menyebabkan tambahan biaya (disebut biaya garansi)

bagi produsen, yang melekat pada harga jual produk yang ditawarkan produsen

ke konsumen. Biaya garansi sangat bergantung pada jenis polis dan strategi

yang diterapkan pada produk.

Dalam beberapa penelitian membahas tentang model biaya garansi yang

melibatkan distribusi kegagalan parametrik. Baik (2004, 2006) memberikan

model biaya garansi polis FRW strategi perbaikan minimum dan penggantian

melibatkan distribusi kegagalan Weibull. Blischke (1994, 2011) juga

membahas hal yang sama untuk contoh penggunaan model biaya garansi polis

FRW melibatkan distribusi kegagalan berdistribusi Weibull dan Eksponensial.

Biaya garansi sangat dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan

produk bergaransi. Beberapa penelitian membahas tentang penghitungan

ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi polis FRW strategi

penggantian yang diperoleh dari persamaan integral pembaruan (renewal

integral equations). Beberapa metode numerik diusulkan untuk menghitung

persamaan integral pembaruan satu dimensi antara lain metode Riemann-

Stieljies diusulkan oleh Min Xie (Baik, dkk, 2004) dan Second Mean Value

Theorem for Integrals oleh Maghsoodloo dan Helvaci (2014). Sasongko

(2014) memodifikasi metode yang dilakukan Maghsoodloo dan Helvaci

(2014) dengan melakukan perubahan peubah untuk kasus polis FRW dua

dimensi strategi penggantian.

Data garansi bersifat sangat rahasia bagi perusahaan. Hal ini menyebabkan

para analis data yang tidak berkepentingan langsung dengan perusahaan

mengalami kesulitan untuk mendapatkan data tersebut. Sehingga para analis

data hanya memperoleh sedikit data. Imbasnya, data kurang bagus dalam

memberikan informasi yang cukup apabila dimodelkan menggunakan

xvi

distribusi parametrik. Selain itu, dari penelitian-penelitian sebelumnya

membahas tentang model biaya garansi yang melibatkan distribusi kegagalan

parametrik. Untuk itu pemahaman fungsi distribusi parametrik sangat

diperlukan. Namun, pada kenyataannya para pengamat garansi belum tentu

mengerti dan memahami tentang fungsi distribusi parametrik. Hal inilah yang

menjadi perhatian, bagaimana cara lain untuk memperoleh model dan estimasi

biaya garansi tanpa melibatkan distribusi kegagalan parametrik.

Salah satu contoh dari distribusi kegagalan non-parametrik adalah

distribusi empirik halus. Peluang empirik diperoleh dengan mengelompokkan

data ke dalam suatu interval, dimana frekuensi data dalam setiap interval dapat

digunakan untuk menentukan peluang pada nilai-nilai diinterval tersebut.

Fungsi distribusi empirik merupakan peluang empirik kumulatif. Peluang dan

fungsi distribusi empirik inilah yang banyak dikenal oleh banyak orang

khususnya pengamat garansi. Namun, model biaya garansi biasanya

melibatkan fungsi distribusi yang kontinu, sedangkan fungsi distribusi empirik

bersifat diskrit. Oleh karena itu, fungsi distribusi empirik perlu diperhalus atau

disebut fungsi distribusi empirik halus.

Data yang akan penulis bahas adalah data tentang penggantian klep mesin

diesel (valve seat of diesel engine) yang diperoleh dari Blischke (2011). Klep

mesin adalah suatu cincin yang dipasang di permukaan yang bersentuhan

dengan kepala seker (cylinder head). Sehingga klep mesin selalu menerima

benturan dan gas pembakaran yang sangat panas. Akibatnya, sering terjadi

kegagalan atau kerusakan klep mesin. Apabila klep mesin rusak, efek

kerusakan pada mesin cukup besar hingga menyebabkan mesin mati. Hal

inilah yang menjadi alasan mengapa klep mesin harus sering dicek, diganti,

dan tentunya membutuhkan garansi.

xvii

2. Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah :

a. Bagaimana memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW

strategi penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan

masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-

parametrik?

b. Bagaimana menghitung biaya garansi dari model yang diperoleh

menggunakan metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode

Second Mean Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan

perubahan peubah?

c. Apabila model biaya garansi yang diperoleh (a) melibatkan distribusi

kegagalan parametrik, lalu bagaimana memperoleh model biaya garansi

satu dimensi polis FRW strategi penggantian untuk data penggantian klep

mesin diesel dengan masa garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan

non-parametrik yaitu distribusi empirik halus?

d. Bagaimana menghitung biaya garansi dari model kegagalan yang

melibatkan distribusi empirik halus menggunakan metode numerik (yang

diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for

Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah?

3. Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah :

a. Memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi

penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa

garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-

parametrik.

b. Menghitung biaya garansi dari model yang diperoleh menggunakan

metode numerik (yang diusulkan penulis) yaitu metode Second Mean

Value Theorem for Integrals termodifikasi dengan perubahan peubah.

xviii

c. Memperoleh model biaya garansi satu dimensi polis FRW strategi

penggantian untuk data penggantian klep mesin diesel dengan masa

garansi tertentu melibatkan distribusi kegagalan non-parametrik yaitu

empirik halus.

d. Menghitung biaya garansi dari model kegagalan yang melibatkan

distribusi empirik halus menggunakan metode numerik (yang diusulkan

penulis) yaitu metode Second Mean Value Theorem for Integrals

termodifikasi dengan perubahan peubah.

4. Batasan Masalah

Makalah ini hanya berbatas pada garansi satu dimensi polis FRW strategi

penggantian. Dengan asumsi yang digunakan meliputi biaya per klaim yang

tetap sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak

kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan

komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-komponen identik dan saling

bebas, tidak menggunakan komponen yang berbeda merek/brand, semua

klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid,

serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan.

5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penulisan penelitian ini adalah menjadi informasi tentang

model biaya garansi bagi produsen klep mesin diesel di masa yang akan

datang. Bagi engineer, penelitian ini dapat menjadi sebuah informasi tentang

kehandalan produk, yang bisa di kembangkan di masa mendatang. Selain itu,

bagi pengamat garansi, hal ini diharapkan dapat memberikan informasi berupa

cara dan hasil yang diperoleh dalam penelitian ini.

xix

BAB II

MAKALAH

Makalah pertama

Judul : Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-

Renewing Free Replacement Warranty) Studi Data

Sekunder tentang Penggantian Klep Mesin

Dipresentasikan pada : Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika UNY 2015 yang diselelnggarakan oleh

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Negeri Yogyakarta pada tanggal 14

November 2015

Publikasi : Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika “Mengembangkan Kecakapan Abad 21

Melalui Penelitian Matematika dan Pendidikan

Matematika”

(http://eprints.uny.ac.id/view/subjects/prosiding.html)

Makalah kedua

Judul : Model Biaya Garansi yang Melibatkan Distribusi

Empirik Halus

Dipresentasikan pada : Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains UMP 2015

yang diselenggarakan oleh Program Studi Pendidikan

Fisika, Universitas Muhammadiyah Purworejo pada

tanggal 12 Desember 2015

Publikasi : Prosiding (dalam proses)

MAKALAH 1 (Telah diseminarkan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan

Matematika FMIPA UNY, 14 November 2015)

1

ISBN 978-602-73403-0-5

2

perbaikan minimum dan penggantian melibatkan distribusi kegagalan Weibull. Blischke, dkk. [4, 5], juga

membahas hal yang sama untuk contoh penggunaan model biaya garansi polis FRW melibatkan distribusi

kegagalan Weibull dan Eksponensial.

Data garansi yang dimiliki produsen atau perusahaan manufaktur bersifat rahasia. Hal ini menyebabkan

para analis data yang tidak berkepentingan langsung dengan perusahaan mengalami kesulitan untuk

mendapatkan data tersebut. Terkadang para analis data hanya memperoleh sedikit data. Imbasnya, data

kurang bagus dalam memberikan informasi yang cukup apabila dimodelkan menggunakan model yang

melibatkan distribusi parametrik. Oleh karena itu, kajian model yang melibatkan distribusi non-parametrik

sebagai distribusi kegagalan dari data perlu diperhatikan.

Biaya garansi sangat dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan produk pada masa garansi. Beberapa

penelitian membahas tentang penghitungan ekspektasi banyak kegagalan produk bergaransi polis FRW

strategi penggantian yang diperoleh dari persamaan integral pembaruan (renewal integral equations).

Beberapa metode numerik diusulkan untuk menghitung persamaan integral pembaruan satu dimensi antara

lain metode Riemann-Stieljies diusulkan oleh Min Xie [2] dan Second Mean Value Theorem for Integrals

(SMVTI) diusulkan oleh Maghsoodloo dan Helvaci [6]. Sasongko [1] memodifikasi metode pada [6] dengan

melakukan perubahan peubah untuk kasus polis FRW dua dimensi strategi penggantian.

Makalah ini membahas bagaimana memperoleh model dan estimasi biaya garansi satu dimensi polis

FRW dengan strategi penggantian. Model biaya garansi yang dibahas melibatkan distribusi kegagalan

parametrik atau non-parametrik. Metode untuk estimasi biaya garansi yang diusulkan dalam makalah ini

adalah SMVTI termodifikasi, dengan perubahan peubah.

Data yang dibahas dalam makalah ini adalah data penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari [5].

Klep mesin adalah cincin yang dipasang di permukaan yang bersentuhan dengan kepala seker dan selalu

menerima benturan serta gas pembakaran yang sangat panas sehingga sering terjadi kegagalan atau

kerusakan klep mesin. Apabila klep mesin rusak, efek kerusakannya juga berimbas pada mesin hingga dapat

menyebabkan mesin tidak dapat bekerja. Hal inilah yang menyebabkan klep mesin harus sering dicek,

diganti, dan membutuhkan garansi.

Asumsi pada makalah ini meliputi besar biaya per klaim yang tetap sehingga model biaya garansi hanya

dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan

komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-komponen identik dan saling bebas, tidak ada perubahan

merek/brand komponen, semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid,

serta waktu penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. Beberapa asumsi lainnya ada di

dalam model biaya garansi yang dijelaskan pada bagian II.

Dua hal yang menjadi tujuan makalah ini adalah perolehan model biaya garansi satu dimensi polis FRW

strategi penggantian yang melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik dan estimasi biaya

garansi dari model tersebut menggunakan metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah,

berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang diperoleh dari [5].

Diharapkan makalah ini menjadi informasi tentang model biaya garansi dan sebagai bahan pertimbangan

mengenai kebijakan produsen klep mesin diesel di masa yang akan datang. Bagi teknisi (engineer) klep

mesin diesel, penelitian ini dapat menjadi informasi tentang evaluasi kehandalan klep mesin diesel hasil

desainnya. Sedangkan bagi pengamat atau analis data garansi, penelitian ini dapat memberikan informasi

berupa cara menganalisis sedikit data garansi menggunakan distribusi parametrik atau non-parametrik.

II. METODE PENELITIAN 2.1. Model Umum Biaya Garansi

Terlebih dahulu diberikan notasi-notasi pada model umum biaya garansi yaitu

𝑆 : p.a. (peubah acak) total biaya kompensasi yang dikeluarkan produsen untuk suatu komponen produk

bergaransi dengan polis tertentu,

𝑁 : p.a. banyak kegagalan suatu komponen produk bergaransi dalam masa garansi tertentu,

𝐶𝑖 : p.a. besar biaya kompensasi yang diberikan atas klaim kegagalan ke- i suatu komponen produk

bergaransi.

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

3

Peubah 𝑆 didefinisikan sebagai

𝑆 = 𝐶𝑖

𝑁

𝑖=0

= 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑁 (1)

Ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 dan variansinya 𝑣𝑎𝑟 𝑆 dapat diperoleh dengan asumsi-asumsi kebebasan

yang dikenakan pada (1) menurut [7] yaitu :

a. Bersyarat di 𝑁 = 𝑛; 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 adalah p.a. identik dan saling bebas dengan suatu peubah 𝐶,

b. Bersyarat di 𝑁 = 𝑛, distribusi peluang peubah acak 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 tidak bergantung 𝑛,

c. Distribusi peluang 𝑁 tidak bergantung pada sembarang nilai 𝐶1, 𝐶2, … , 𝐶𝑛 .

Berdasarkan [5, 7], ekspektasi biaya garansi dan variansinya adalah

𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝐸 𝐶 (2)

𝑣𝑎𝑟 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝑣𝑎𝑟 𝐶 + 𝑣𝑎𝑟 𝑁 (𝐸[𝐶])2 (3)

Fokus model berada pada persamaan (2). Untuk kasus komponen non-repairable dengan asumsi-asumsi

dan batasan pada bagian I serta asumsi efek inflasi diabaikan, maka 𝐸 𝐶 konstan atau 𝐸 𝐶 = 𝑐𝑠 , sehingga

persamaan (2) menjadi

𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠𝐸 𝑁 (4)

dengan 𝑐𝑠 adalah biaya yang dikeluarkan produsen untuk mengganti komponen yang gagal dengan

komponen baru.

Hal menarik selanjutnya adalah bagaimana formulasi 𝐸 𝑁 untuk kasus komponen non-repairable.

Peubah acak 𝑁 adalah fungsi terhadap waktu atau 𝑁 adalah proses hitung satu dimensi dan perolehan

formulasi 𝐸 𝑁 melibatkan proses stokastik. Persamaan (4) menunjukkan bahwa model biaya garansi

dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan.

2.2. Memodelkan Kegagalan Pertama (Modelling First Failure)

Notasi peubah-peubah acak yang digunakan untuk memodelkan kegagalan komponen adalah :

𝑋𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan umur komponen saat terjadi kegagalan ke- 𝑛,

𝑇𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan antar umur komponen saat kegagalan ke- (𝑛 − 1) hingga ke-

𝑛 dimana 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3, … dengan 𝑋0 = 0,

𝑁 𝑡, 𝑠 : proses hitung satu dimensi atau peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan komponen pada

interval umur 𝑡, 𝑠 . Untuk interval 0, 𝑡 , penulisan 𝑁 0, 𝑡 = 𝑁 𝑡 dimaksudkan agar lebih

singkat.

Peubah acak 𝑇1 = 𝑋1 memiliki fungsi distribusi kegagalan

𝐹 𝑡 = Pr 𝑇1 ≤ 𝑡 (5)

Fungsi survival atau fungsi kehandalan/realibitas yang menyatakan peluang komponen belum pernah

gagal hingga umur 𝑡 didefinisikan oleh

𝑅 𝑡 = 𝐹 𝑡 = Pr 𝑇1 > 𝑡 = 1 − Pr 𝑇1 ≤ 𝑡 = 1 − 𝐹 𝑡 (6)

Fungsi hazard menginterpretasikan laju kegagalan komponen pertama kali. Fungsi hazard menyatakan

laju kegagalan komponen pada interval 𝑡, 𝑡 + ∆𝑡 bersyarat belum pernah terjadi kegagalan hingga umur 𝑡.

Fungsi hazard dinotasikan 𝑕 𝑡 dan didefinisikan oleh

𝑕 𝑡 = lim∆𝑡→0

Pr 𝑡 < 𝑇1 < 𝑡 + ∆𝑡 | 𝑇1 > 𝑡

∆𝑡=

1

𝑅 𝑡

𝑑𝐹(𝑡)

𝑑𝑡 (7)

2.3. Memodelkan Kegagalan-Kegagalan dari Waktu ke Waktu (Modelling Failures Over Time) Kasus

Komponen Non-Repairable [1]

Hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan waktu yang saling ekuivalen yaitu

𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑡 (8)

Ilustrasi persamaan (8) pada Gambar 1.

ISBN 978-602-73403-0-5

4

Gambar 1. Hubungan Peubah-Peubah pada Gambar 2. Contoh Grafik Laju Kegagalan

Proses Titik Satu Dimensi Strategi Penggantian

Melalui persamaan (8), peluang 𝑁 𝑡 = 𝑛 diperoleh dari

Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 (9a)

Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑡 − Pr 𝑇𝑖

𝑛+1

𝑖=1

≤ 𝑡 (9b)

Untuk kasus komponen non-repairable, laju kegagalan setelah kegagalan ke-𝑛 serupa saat laju kegagalan

komponen sejak pertama kali digunakan, seperti pada ilustrasi Gambar 2.

Gambar 2 menunjukkan bahwa 𝑇1 ,𝑇2 , 𝑇3 , … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡

pada (5), sehingga 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan dengan” 𝐹 𝑡

sendiri. Dengan demikian (9b) menjadi

Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 (10)

Selanjutnya, ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) diperoleh dari

𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑛Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛

∞

𝑛=1

= 𝐹 𝑛 𝑡

∞

𝑛=1

(11)

Berdasarkan [1], persamaan (11) dapat disederhanakan menjadi

𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀 𝑡 (12)

dimana 𝑀 𝑡 disebut persamaan integral pembaruan yang didefinisikan sebagai

𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢

𝑡

0

(13a)

atau

𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐹 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑀 𝑢

𝑡

0

(13b)

Ekspektasi banyak kegagalan komponen produk pada masa garansi [0, 𝑡) diperoleh dari persamaan (12).

Fokus makalah ini adalah menghitung 𝑀 𝑡 pada persamaan (13a) menggunakan metode SMVTI

termodifikasi dengan perubahan peubah yang dijelaskan pada Lampiran A. Ekspektasi biaya garansi pada (4)

diperoleh setelah menghitung ekspektasi banyak kegagalan pada persamaan (12).

2.4. Fungsi Distribusi Kegagalan pada Model Pembaruan

Persamaan 𝑀 𝑡 (juga disebut model pembaruan) pada (13a) melibatkan fungsi distribusi kegagalan

𝐹(𝑡)seperti pada (5). Fungsi distribusi kegagalan tersebut dapat menggunakan keluarga distribusi parametrik

untuk peubah acak kontinu tak-negatif seperti distribusi Eksponensial, Gamma, Beta, Weibull, dan

sejenisnya, (distribusi Normal, t-student, dan sejenisnya tidak dapat digunakan). Oleh karena berbagai

macam keluarga distribusi dapat digunakan, maka perlu estimasi 𝐹(𝑡) dari data klaim garansi, dinotasikan

𝐹 𝑡; 𝛀 dimana 𝛀 adalah (dapat lebih dari satu) vektor parameter. Estimasi 𝐹 𝑡; 𝛀 dapat dilakukan melalui

uji goodness of fit yaitu uji Kolmogorov-Smirnov (KS test, Lampiran C) dengan terlebih dahulu

mengestimasi 𝛀 melalui metode Maximum Likelihood Estimation (MLE, Lampiran B).


5

Data klaim garansi yang sedikit sering menyebabkan estimasi 𝐹 𝑡; 𝛀 menjadi kurang bagus (KS test

dapat menerima atau menolak semua hipotesis keluarga distribusi kegagalan parametrik, estimasi parameter

melalui MLE tidak akurat). Oleh karena itu, penggunaan distribusi yang terbentuk dari sedikit data dapat

menjadi solusi yaitu distribusi kegagalan non-parametrik seperti distribusi empirik atau Kernel [8] di

Lampiran E.

2.5. Data

Data yang digunakan merupakan data sekunder yang diperoleh dari [5]. Data tersebut merupakan data

tentang penggantian klep mesin diesel dari pengamatan 41 mesin diesel (nama produk dirahasiakan) masing-

masing dalam interval waktu pengamatan tertentu. Dari 41 mesin diesel, 24 mesin mengalami satu hingga

empat kali kegagalan pada klep mesin dan segera dilakukan penggantian klep mesin yang gagal saat umur

mesin seperti tertampil pada Tabel 1 (asumsi lama waktu dari klep gagal hingga klep selesai diganti baru di

bengkel diabaikan). TABEL 1. DATA UMUR MESIN DIESEL SAAT PENGGANTIAN KLEP

ID

Mesin

Lama

Waktu

Pengamatan

(hari)

Data Umur Mesin saat

Penggantian Klep (hari)

ID

Mesin

Lama Waktu

Pengamatan

(hari)



𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒 𝑿𝟏 𝑿𝟐 𝑿𝟑 𝑿𝟒

251 761

403 593

252 759

404 589 573

327 667 98

405 606 165 408 604

328 667 326 653 653

406 594 249

329 665

407 613 344 497

330 667 84

408 595 265 587

331 663 87

409 389 166 206 348

389 653 646

410 601

390 653 92

411 601 410 581

391 651

412 611

392 650 258 328 377 621 413 608

393 648 61 539

414 587

394 644 254 276 298 640 415 603 367

395 642 76 538

416 585 202 563 570

396 641 635

417 587

397 649 349 404 561

418 578

398 631

419 578

399 596

420 586

400 614 120 479

421 585

401 582 323 449

422 482

402 589 139 139

TABEL 2. DATA ANTAR UMUR KEGAGALAN MESIN DIESEL SAAT PENGGANTIAN KLEP

ID Mesin Data Antar Umur Kegagalan Klep (Tahun)

𝑻𝟏 𝑻𝟐 𝑻𝟑 𝑻𝟒

327 0.2685

328 0.8932 0.8959 0.0000

330 0.2301

331 0.2384

389 1.7699

390 0.2521

392 0.7068 0.1918 0.1342 0.6685

393 0.1671 1.3096

394 0.6959 0.0603 0.0603 0.9370

395 0.2082 1.2658

396 1.7397

397 0.9562 0.1507 0.4301

400 0.3288 0.9836

401 0.8849 0.3452

402 0.3808 0.0000

404 1.5699

405 0.4521 0.6658 0.5370

406 0.6822

407 0.9425 0.4192

408 0.7260 0.8822

409 0.4548 0.1096 0.3890

411 1.1233 0.4685

415 1.0055

416 0.5534 0.9890 0.0192

Banyak Data 𝒏𝟏 = 𝟐𝟒 𝒏𝟐 = 𝟏𝟓 𝒏𝟑 = 𝟕 𝒏𝟒 = 𝟐

ISBN 978-602-73403-0-5

6

Tampak pada Tabel 1, keseluruhan data umur mesin saat kegagalan klep ada di dalam interval waktu

pengamatan, sehingga data tersebut termasuk dalam kategori complete data. Selanjutnya, data diolah untuk

memperoleh data antar umur kegagalan 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 , 𝑛 = 1,2,3,4, dengan 𝑋0 = 0 dalam satuan tahun

(dibagi 365 hari). Data antar umur kegagalan klep tertampil pada Tabel 2.

2.6. Algoritma Penentuan Distribusi Kegagalan

Setelah data antar umur mesin kegagalan klep diperoleh (Tabel 2), algoritma untuk menentukan distribusi

kegagalan dari data perlu dirancang. Algoritma yang diusulkan adalah algoritma yang memperhatikan

kemungkinan data tidak mengikuti distribusi parametrik yang dikenal sehingga, apabila hal tersebut terjadi,

model yang melibatkan distribusi non-parametrik adalah solusi untuk data tersebut.

Pada Tabel 2, data antar umur kegagalan 𝑇2 mungkin saja mengikuti distribusi kegagalan yang berbeda

dengan 𝑇1 karena kondisi mesin setelah kegagalan klep pertama kali berbeda dengan kondisi mesin saat klep

mesin belum pernah gagal, begitu juga untuk 𝑇2 dan 𝑇3, dst. Sehingga, analisis data dilakukan secara bertahap

dimana 𝑇1 ∪ 𝑇2 (gabungan 𝑇1 dan 𝑇2) diuji apakah masih mengikuti distribusi dari 𝑇1, begitu juga 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪𝑇3terhadap 𝑇1 dan 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ∪ 𝑇4 terhadap 𝑇1. Oleh karena itu, diperlukan suatu statistik inferensial untuk

menguji dua sampel data apakah mengikuti distribusi kegagalan yang sama. Uji yang dapat digunakan adalah

uji Kolmogorov-Smirnov Dua Sampel (Two Sample KS Test, Lampiran D). Algoritma yang diusulkan juga

perlu memperhatikan beberapa hal tersebut.

Algoritma penentuan distribusi kegagalan disajikan dalam pseudocode dan flowchart pada Gambar 3.

Algoritma tersebut memuat penghitungan ekspektasi banyak kegagalan pada akhir langkah setelah model

pembaruan 𝑀(𝑡) telah ditentukan apakah melibatkan distribusi kegagalan parametrik atau non-parametrik.

Pseudocode Penentuan Distribusi Kegagalan Data Garansi Strategi Penggantian

I. Mulai.

II. Insialisasi data antar umur kegagalan klep yaitu 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 dengan banyaknya data berurutan

𝑛1, 𝑛2, 𝑛3 dan 𝑛4. Inisialisasi 𝑚 = 4, 𝑘 = 1.

III. Estimasi distribusi parametrik 𝐹 1(𝑡; Ω) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1.

IV. Peroleh data baru 𝑌𝑘 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ …∪ 𝑇𝑘 sebanyak 𝑝 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 dan

𝑌𝑘+1 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ …∪ 𝑇𝑘+1 sebanyak 𝑞 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘+1.

V. Lakukan pengujian apakah 𝑌𝑘+1 berdistribusi 𝐹 1(𝑡; Ω) melalui KS test dua sampel 𝑌𝑘 dan 𝑌𝑘+1.

VI. Jika hasil uji pada langkah V adalah YA, maka lanjut ke langkah VII. Jika hasil uji pada langkah V

adalah TIDAK, maka lanjut ke langkah X.

VII. 𝑘 = 𝑘 + 1. VIII. Cek apakah 𝑘 = 𝑚? Jika YA, lanjut ke langkah IX. Jika tidak, kembali ke langkah IV.

IX. Hitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀(𝑡) melibatkan 𝐹 1(𝑡; Ω) menggunakan metode SMVTI.

X. Estimasi distribusi non-parametrik 𝐹 𝑒(𝑡) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1.

XI. Hitung ekspektasi banyak kegagalan 𝑀 𝑡 melibatkan 𝐹 𝑒(𝑡) menggunakan metode SMVTI..

XII. Selesai.

2.7. Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan menggunakan Metode SMVTI

Penjelasan lengkap tentang metode SMVTI berada di Lampiran A. Penghitungan ekspektasi banyak

kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) melalui metode SMVTI yaitu

I

V

XII

IIIIII IV

X XI

TIDAK

IX

TIDAK

VIII YAVIIVI YA

II

Gambar 3. Flowchart Penentuan Distribusi Kegagalan Data Garansi Strategi Penggantian


7

𝑀(𝑡) = 1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

(14)

Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡,

dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 , lalu inisialisasi awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 =

𝐹 𝑥1 , ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu

memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1, dari persamaan berikut

𝑀 𝑥𝑖 = 1 + 𝑀 𝑥𝑗−1 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗−1 − 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗

𝑖

𝑗=1

(15)

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

Estimasi distribusi parametrik 𝐹 1(𝑡; Ω) dari 𝑇1 sebanyak 𝑛1 menggunakan bantuan program easyfit yang

memberikan estimasi berbagai distribusi parametrik yang dikenal saat ini. Easyfit memberikan estimasi dari 55

jenis distribusi parametrik, termasuk distribusi parametrik dari peubah acak kontinu tak-negatif. Hasil estimasi

tersebut selanjutnya dipilah berdasarkan kategori distribusi parametrik dari peubah acak kontinu tak-negatif

yang beberapa diantaranya tertampil pada Tabel 3.

TABEL 3. ESTIMASI DISTRIBUSI PARAMETRIK 𝑭 𝟏(𝒕;𝛀) DARI 𝑻𝟏 SEBANYAK 𝒏𝟏

Nama

Distribusi Parameter (MLE)

KS-Test Keputusan

Statistik P-Value Stat. Uji Sig. 𝛼

Gamma 𝛼 = 2.291 ; 𝛽 = 0.3133 0.1018 0.9431 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Burr 𝑘 = 8.1675 ; 𝛼 = 1.7434 ; 𝛽 = 2.5473 0.1021 0.9422 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Weibull 𝛼 = 1.5966 ; 𝛽 = 0.76302 0.1084 0.9121 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Beta Parameter bentuk : 𝛼1 = 0.5416 ; 𝛼2 = 1.0345

Parameter batas : 𝑎 = 0.1671; 𝑏 = 1.8142 0.1295 0.7692 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Lognormal 𝜎 = 0.6872 ; 𝜇 = −0.55248 0.1394 0.6885 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Log logistik 𝛼 = 2.2613 ; 𝛽 = 0.54809 0.1629 0.4963 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Eksponensial 𝜆 = 1.3929 0.2101 0.2084 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Parreto 𝛼 = 0.80862 ; 𝛽 = 0.1671 0.2211 0.1644 1.358 0.05 H0 tidak ditolak

Berdasarkan Tabel 3, distribusi gamma yang memiliki statistik KS-test terkecil (p-value terbesar)

mengartikan bahwa selisih nilai fungsi distribusi gamma terhadap fungsi distribusi dari data untuk setiap titik

adalah yang terkecil dibanding distribusi parametrik lainnya (peluang data mengikuti distribusi gamma

terbesar). Sehingga 𝑇1~𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 adalah distribusi parametrik yang terpilih untuk

model pembaruan pada (13a). Fungsi distribusi 𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 adalah

𝐹1 (𝑡; 𝛼 ,𝛽 ) =

𝑥𝛼 −1𝑒−

𝑥

𝛽

𝛽 𝛼 Γ 𝛼 𝑑𝑥

𝑡

0

(16)

Setelah memperoleh estimasi distribusi parametrik 𝐹1 𝑡; Ω yaitu 𝐹1

(𝑡; 𝛼 ,𝛽 ) pada (16), langkah selanjutnya

adalah langkah IV seperti pada pseudocode dan flowchart penentuan distribusi kegagalan melalui KS-test dua

sampel seperti yang telah dijelaskan di bagian 2.6. Hasil langkah IV tersebut tertampil pada Tabel 4.

TABEL 4. HASIL UJI KS-TEST DUA SAMPEL

K Data Sampel KS-Test Dua Sampel

Keputusan Ket I II Statistik P-Value Stat. Uji Sig. 𝛼

1 𝑌1 = 𝑇1 𝑌2 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 0.1122 0.9921 1.36 0.05 H0 tidak ditolak 𝑌2~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )

2 𝑌2 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 𝑌3 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 0.0819 0.9989 1.36 0.05 H0 tidak ditolak 𝑌3~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )

3 𝑌3 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 𝑌4 = 𝑇1 ∪ 𝑇2 ∪ 𝑇3 ∪ 𝑇4 0.0245 0.9999 1.36 0.05 H0 tidak ditolak 𝑌4~𝐹1 (𝑡; 𝛼 , 𝛽 )

Berdasarkan Tabel 4, 𝑌2 i.i.d. terhadap 𝑇1~𝐹1 (𝑡; 𝛼 ,𝛽 ), berarti bahwa penambahan data 𝑇2 pada 𝑇1 yaitu

𝑇1 ∪ 𝑇2 memiliki distribusi yang sama dengan 𝑇1 jika hanya jika 𝑇2 berasal dari populasi yang sama dengan

𝑇1, dengan kata lain 𝑇2 i.i.d. terhadap 𝑇1. Hal tersebut berlaku juga untuk 𝑌3 i.i.d. terhadap 𝑇1 dan 𝑌4 i.i.d.

terhadap 𝑇1. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa 𝑇1 , 𝑇2 , 𝑇3 , dan 𝑇4 i.i.d. terhadap 𝑇1yang memiliki

fungsi distribusi 𝐹1 (𝑡; 𝛼 ,𝛽 ) pada (16).

Setelah didapati bahwa data antar umur kegagalan 𝑇1 , 𝑇2, 𝑇3 , dan 𝑇4 i.i.d. terhadap 𝑇1, maka model pembaruan

pada (13.a) dapat diperoleh yaitu

ISBN 978-602-73403-0-5

8

𝑀 𝑔 𝑡 = 𝐹1 𝑡; 𝛼 ,𝛽 + 𝑀 𝑔 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹1

𝑡; 𝛼 ,𝛽

𝑡

0

(17)

Dengan ini berarti (12) menjadi 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀 𝑔(𝑡) sehingga model biaya garansi seperti pada (4) menjadi

𝑆 = 𝑐𝑠𝑀 𝑔(𝑡). Selanjutnya, estimasi 𝑀 𝑔 𝑡 pada (17) dilakukan dengan menggunakan metode SMVTI.

Melalui SMVTI, 𝑀 𝑔 𝑡 pada (17) diestimasi. Lalu, diperoleh ekspektasi banyak kegagalan dan estimasi

biaya garansi dengan masa garansi 0.5; 1; 1.5; 2; dan 2.5 tahun adalah seperti tertampil pada Tabel 5.

TABEL 5. EKSPEKTASI BANYAK KEGAGALAN DAN ESTIMASI BIAYA GARANSI UNTUK MASA GARANSI TERTENTU Masa Garansi

(Tahun) Ekspektasi Banyak Kegagalan Estimasi Biaya Garansi

0.5 0.4262 0.4262 𝑐𝑠

1 1.1055 1.1055 𝑐𝑠

1.5 1.7970 1.7970 𝑐𝑠

2 2.4887 2.4887 𝑐𝑠

2.5 3.1803 3.1803 𝑐𝑠

Tampak pada Tabel 5, estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi. Peningkatan

estimasi biaya garansi terhadap masa garansi hampir linier.

IV. SIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang telah diolah, melalui algoritma penentuan

distribusi kegagalan, didapati data tersebut mengikuti distribusi kegagalan parametrik yaitu distribusi

𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 . Selanjutnya, estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu

diperoleh dari model pembaruan yang melibatkan distribusi gamma tersebut melalui metode SMVTI pada

Tabel 5. Estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa garansi.

Didapati data mengikuti distribusi parametrik melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan. Hal

tersebut menyebabkan perlu adanya kajian atau penelitian lebih lanjut untuk data garansi yang tidak

mengikuti distribusi parametrik sehingga model dan estimasi biaya garansi nantinya melibatkan distribusi

non-parametrik.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Sasongko, L.R., (2014). Copula untuk Memodelkan Kegagalan Dua Dimensi pada Produk Bergaransi dengan Strategi

Penggantian. Tesis Pascasarjana Magister Aktuaria-ITB. Bandung. [2] Baik, J., Murthy, D. N. P. dan Jack, N. (2004). Two-Dimensional Failure Modelling with Minimal Repair. Naval Research

Logistics. 51. 345–362. [3] Baik, J., Murthy, D. N. P. and Jack, N. (2006). Erratum:Two-Dimensional Failure Modeling with Minimal Repair, Naval Research

Logistics, 53, 115-116. [4] Blischke, W. R., Murthy, D. N. P. (199ss4). Warranty Cost Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York. [5] Blischke, W. R., Karim, R., Murthy, D. N. P. (2011). Warranty Data Collection and Analysis. Springer Series in Reliablity

Engineering, London. [6] Maghsoodloo, S. dan Helvaci, D. (2014). Renewal and Renewal-Intensity Function with Minimal Repair. Journal of Quality and

Reliablity Engineering. 2014. ID : 857437. [7] Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Wilmott, G.E. (2004). Loss Models : from Data to Decision 2nd Edition. Wiley Interscience. A

John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. USA. [8] Tse, Y. K. (2009). Nonlife Actuarial Models : Theory, Methods, and Evaluation. Cambridge University Press. [9] Panchenko, P. 2005. Statistics for Application. MIT Course Number.

https://espace.library.uq.edu.au/list/author/Baik%2C+J./

https://espace.library.uq.edu.au/list/author_id/21885/

https://espace.library.uq.edu.au/list/author/Jack%2C+N./





9

LAMPIRAN A. METODE SMVTI UNTUK MENGHITUNG PERSAMAAN INTEGRAL PEMBARUAN, 𝑴 𝒕 .

Diketahui 𝑓 𝑥 dan 𝑔 𝑥 adalah fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan 𝑔 𝑥 dapat diintegralkan di setiap 𝑥 ∈ 𝑎,𝑏 . Menurut

Second Mean Value Theorem for Integrals, nilai pendekatan 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 dapat diperoleh melalui

𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

≈ 𝑓 𝑐 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

untuk suatu 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 .

Diketahui persamaan integral pembaruan (renewal integral equation), 𝑀 𝑡 , didefinisikan oleh

𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹(𝑢)

𝑡

0

= 𝑑𝐹 𝑢 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢

𝑡

0

𝑡

0

= [1 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 ]𝑑𝐹(𝑢)

𝑡

0

Dengan melakukan perubahan peubah yaitu 𝑣 = 𝑡 − 𝑢 ⇒ 𝑢 = 𝑡 − 𝑣 ; 𝑑𝑢 = −𝑑𝑣 ⇒ 𝑑𝑣 = −𝑑𝑢, saat 𝑢 = 0 ⇒ 𝑣 = 𝑡

dan saat 𝑢 = 𝑡 ⇒ 𝑣 = 0, maka 𝑀 𝑡 menjadi

𝑀(𝑡) = − 1 + 𝑀 𝑣 𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣

𝑡

0

Dengan membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡 untuk 𝑖 =

1,2,… , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 , diperoleh

𝑀(𝑡) = − [1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 +

𝑥1

0

[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣 + ⋯ +

𝑥2

𝑥1

[1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣

𝑥𝑛

𝑥𝑛−1

𝑀(𝑡) = − [1 + 𝑀 𝑣 ]𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣

𝑥𝑖

𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

Dengan menerapkan SMVTI di ujung kiri, diperoleh

𝑀(𝑡) = [1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 ] − 𝑑𝐹 𝑡 − 𝑣

𝑥𝑖

𝑥𝑖−1

𝑛

𝑖=1

𝑀(𝑡) = [1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 ] 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹(𝑡 − 𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

dengan inisial awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Persamaan di atas digunakan untuk memperoleh ekspektasi

banyak kegagalan komponen produk pada masa garansi [0, 𝑡) dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀(𝑥𝑖),

𝑖 = 2,3,… , 𝑛 − 1, yaitu dari persamaan

𝑀(𝑥𝑖) = [1 + 𝑀 𝑥𝑗−1 ] 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗−1 − 𝐹(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )

𝑖

𝑗 =1

LAMPIRAN B. MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) [5]

Estimator maksimum likelihood (MLE) diperoleh dari memaksimalkan fungsi likelihood, yang didefinisikan sebagai

distribusi gabungan dari masing-masing sampel acak. Fungsi likelihood untuk complete data didefinisikan oleh

𝐿 𝑌1 , 𝑌2 , … ,𝑌𝑛 ; 𝜽 = 𝑓(𝑌𝑖 ; 𝜽)

𝑛

𝑖=1

Untuk memudahkan perhitungan, yang dapat dilakukan adalah memaksimumkan logaritma natural dari fungsi likelihood,

log 𝐿. Untuk memaksimumkan log 𝐿, dengan vektor parameter 𝜽 dan asumsi differentiability, dilakukan dengan

menyamakan turunan fungsi log 𝐿 ke nol lalu memperoleh solusi persamaannya. Jika perlu, persamaan tersebut

diselesaikan dengan metode numerik.

LAMPIRAN C. UJI KOLMOGOROV-SMIRNOV SATU SAMPEL [5]

Uji Kolmogorov-Smirnov Satu Sampel merupakan salah satu uji goodness of fit yang menguji hipotesis H0 : data

mengikuti distribusi parametrik 𝐹 (𝑡; 𝛀), sedangkan hipotesis H1 : data tidak mengikuti distribusi parametrik 𝐹 (𝑡; 𝛀)

dimana 𝛀 telah terlebih dahulu diestimasi. Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan 𝐷𝑛 yang menyatakan

perbedaan terbesar antara fungsi distribusi empirik lampiran E dan 𝐹 (𝑡; 𝛀) yaitu

𝐷𝑛 = max 𝐷𝑛−, 𝐷𝑛

+

dimana

ISBN 978-602-73403-0-5

10

𝐷𝑛− = max

𝑖=1,…,𝑛 𝑖

𝑛− 𝐹 (𝑦𝑖 ;𝛀) dan 𝐷𝑛

+ = max𝑖=1,…,𝑛

𝐹 (𝑦𝑖 ; 𝛀) −𝑖 − 1

𝑛

dengan 𝑦𝑖 , 𝑖 = 1,2,…𝑛 (ordered statistic) adalah data yang telah diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Pengambilan kesimpulan uji ini adalah H0 ditolak jika 𝐷𝑛 melebihi batas 𝐷 = 𝑑𝛼 𝑛−1/2 + 0.11𝑛−1/2 + 0.12

−1, dimana

𝑑𝛼 = 1.224; 1.358; atau 1.628 untuk 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10; 0.05; atau 0.01. Atau, H0 ditolak jika Pr 𝐷𝑛 ≤ 𝐷 < 𝛼.

LAMPIRAN D. UJI KOLMOGOROV-SMIRNOV DUA SAMPEL

Misal sampel pertama 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 memiliki distribusi dengan fungsi distribusi 𝐹(𝑥) dan sampel kedua 𝑌1 , … , 𝑌𝑛 memiliki

distribusi dengan fungsi distribusi 𝐺(𝑥) dan kita akan menguji

H0 ∶ 𝐹 = 𝐺

Jika 𝐹𝑚 (𝑥) dan 𝐺𝑛(𝑥) adalah fungsi distribusi empirik yang bersesuaian dengan sampel 𝑋1 , … , 𝑋𝑚 dan 𝑌1, … , 𝑌𝑛 , maka

statistik uji Kolmogorov-Smirnov dua sampel diperoleh dari

𝐷𝑚𝑛 = 𝑚𝑛

𝑚 + 𝑛

1/2

sup𝑥

𝐹𝑚 𝑥 − 𝐺𝑛(𝑥)

Pengambilan kesimpulan hasil uji ini adalah H0 ditolak jika 𝐷𝑚𝑛 melebihi batas 𝑐 𝛼 , dimana 𝑐 𝛼 = 1.224; 1.358;

atau 1.628 untuk 𝛼 berurutan 𝛼 = 0.10; 0.05; atau 0.01. Atau, H0 ditolak jika Pr 𝐷𝑚𝑛 ≤ 𝑐 𝛼 < 𝛼.

LAMPIRAN E. FUNGSI DISTRIBUSI EMPIRIK [8]

Fungsi distribusi empirik dikonstruksi dari data 𝑦𝑗 (ordered statistic), data berbeda yang telah diurutkan dari yang

terkecil hingga yang terbesar. Dengan 𝑤𝑗 menyatakan banyak 𝑦𝑗 yang sama, dan 𝑔𝑗 = 𝑤𝑘 .𝑗𝑘=1 Fungsi distribusi

empirik dinyatakan oleh

𝐹𝑒 𝑦 =

0 untuk 𝑦 < 𝑦1 𝑔𝑗

𝑛untuk 𝑦𝑗 ≤ 𝑦 < 𝑦𝑗 +1 , 𝑗 = 1,… , 𝑚 − 1

1 untuk 𝑦𝑚 ≤ 𝑦

Untuk menghitung 𝐹𝑒 𝑦 di 𝑦 yang tidak berada dalam 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚 , kita perlu menghaluskan 𝐹𝑒 𝑦 atau disebut fungsi

distribusi empirik halus (smoothed empirical distribution function), yaitu

𝐹 𝑒 𝑦 =𝑦 − 𝑦𝑗

𝑦𝑗+1 − 𝑦𝑗𝐹𝑒 𝑦𝑗+1 +

𝑦𝑗+1 − 𝑦

𝑦𝑗 +1 − 𝑦𝑗𝐹𝑒 𝑦𝑗

dimana 𝑦𝑗 ≤ 𝑦 < 𝑦𝑗 +1 untuk 𝑗 = 1,… , 𝑚 − 1. Jadi 𝐹 𝑒 𝑦 , fungsi distribusi empirik halus, adalah interpolasi linear dari

𝐹𝑒 𝑦𝑗 +1 dan 𝐹𝑒 𝑦𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚 − 1.

LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL (TSE, 2009)

Sama halnya dengan fungsi distribusi empirik, fungsi distribusi Kernel juga dikonstruksi dari data 𝑥𝑖 (ordered statistic).

Fungsi distribusi Kernel didefinisikan oleh

𝐹 𝐾 𝑥 =1

𝑛 𝐾 𝜓 𝑑𝜓

(𝑥−𝑥𝑖)/𝑏

−𝑥𝑖/𝑏

𝑛

𝑖=1

dimana b menyatakan lebar langkah (bandwitch) dan 𝐾 𝜓 disebut fungsi kernel yang terdiri dari berbagai macam jenis,

tiga di antaranya adalah fungsi kernel persegi panjang, segitiga, dan Gaussian, yang masing-masing didefinisikan oleh

Fungsi kernel persegi panjang

𝐾𝑅 𝜓 = 0.5 −1 ≤ 𝜓 ≤ 10 lainnya

Fungsi kernel segitiga

𝐾𝑇 𝜓 = 1 − |𝜓| −1 ≤ 𝜓 ≤ 1

0 lainnya

Fungsi kernel gausian

𝐾𝐺 𝜓 =1

2𝜋𝑒𝑥𝑝 −

𝜓2

2 , untuk − ∞ < 𝜓 < ∞ .

REVISI MAKALAH 1

1. Metode Penelitian Sub Bab 2.7 Penghitungan Ekspektasi Banyak

Kegagalan menggunakan Metode SMVTI (Hal. 7)

Sebelum revisi

Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) sama panjang, yaitu

𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡, dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛

dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 , lalu inisialisasi awal 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 ,

ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh

dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 =

2, 3, … , 𝑛 − 1, dari persamaan berikut

Sesudah revisi

Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval

sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡. Dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡,

untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Setelah itu, inisialisasi awal untuk

𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam

masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh

satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut

2. Lampiran (Hal. 10)

Sebelum revisi

LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL (TSE, 2009)

Sesudah revisi

LAMPIRAN F. FUNGSI DISTRIBUSI KERNEL [8]

MAKALAH 2 (Telah diseminarkan dalam Seminar Nasional Sains dan Pendidikan Sains 2015

UMP, 12 Desember 2015)

1 Semnas Sains & Pend.Sains-UMP-2015


empirik bersifat diskrit. Oleh karena itu, fungsi distribusi empirik perlu diperhalus atau disebut

fungsi distribusi empirik halus.

Data yang dibahas dalam makalah ini adalah data penggantian klep mesin diesel yang diperoleh

dari Blischke (2011). Dengan asumsi yang digunakan meliputi besar biaya per klaim yang tetap

sehingga model biaya garansi hanya dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan komponen

produk bergaransi. Asumsi lain adalah persediaan komponen jumlahnya tak terbatas, komponen-

komponen identik dan saling bebas, tidak menggunakan komponen yang berbeda merek/brand,

semua klaim tentang kegagalan komponen produk dilaporkan langsung dan valid, serta waktu

penggantian dilakukan sangat singkat sehingga dapat diabaikan. Beberapa asumsi lainnya ada di

dalam model biaya garansi yang dijelaskan pada bagian II.

Dua hal yang menjadi tujuan makalah ini adalah memperoleh model biaya garansi yang

melibatkan distribusi empirik halus dan estimasi biaya garansi dari model tersebut menggunakan

metode SMVTI termodifikasi dengan perubahan peubah seperti yang digunakan Greselda dkk.

(2015).

Diharapkan makalah ini menjadi informasi tentang cara menentukan model dan estimasi biaya

garansi yang melibatkan distribusi empirik halus yang mudah untuk dipahami oleh para pengamat

garansi atau mereka yang tidak memahami ilmu peluang terkhusus distribusi parametrik.

METODE PENELITIAN

2.1. Model Biaya Garansi

Notasi-notasi pada model umum biaya garansi yaitu

𝑆 : peubah acak (p.a.) total biaya kompensasi yang dikeluarkan produsen untuk suatu komponen

produk bergaransi dengan polis tertentu,

𝑁 : p.a. banyak kegagalan suatu komponen produk bergaransi dalam masa garansi tertentu,

𝐶𝑖 : p.a. besar biaya kompensasi yang diberikan atas klaim kegagalan ke-𝑖 suatu komponen produk

bergaransi.

Peubah 𝑆 didefinisikan sebagai

𝑆 = 𝐶𝑖

𝑁

𝑖=0

= 𝐶1 + 𝐶2 + ⋯ + 𝐶𝑁 (1)

Ekspektasi biaya garansi 𝐸 𝑆 dapat diperoleh dengan asumsi-asumsi kebebasan yang dikenakan

pada (1) menurut Klugman (2004), salah satunya adalah bersyarat di 𝑁 = 𝑛; 𝐶1 ,𝐶2 ,… , 𝐶𝑛 adalah

peubah acak identik dan saling bebas dengan suatu peubah 𝐶.

Berdasarkan Blischke (2011) dan Klugman (2004), ekspektasi biaya garansi adalah

𝐸 𝑆 = 𝐸 𝑁 𝐸 𝐶 (2)

Untuk kasus komponen non-repairable dengan asumsi-asumsi dan batasan pada bagian I serta

asumsi efek inflasi diabaikan, 𝐸 𝐶 konstan atau 𝐸 𝐶 = 𝑐𝑠 , sehingga ekspektasi biaya garansi

𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠𝐸 𝑁 (3)

dengan 𝑐𝑠 adalah biaya yang dikeluarkan produsen untuk mengganti komponen yang gagal dengan

komponen baru. Peubah acak 𝑁 adalah fungsi terhadap waktu atau 𝑁 adalah proses hitung satu

dimensi dan perolehan formulasi 𝐸 𝑁 melibatkan proses stokastik. Persamaan (3) menunjukkan

bahwa model biaya garansi dipengaruhi oleh ekspektasi banyak kegagalan.


2.2. Memodelkan Kegagalan Pertama (Modelling First Failure)

Notasi peubah-peubah acak yang digunakan untuk memodelkan kegagalan komponen adalah

𝑋𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan umur komponen saat terjadi kegagalan ke- 𝑛,

𝑇𝑛 : p.a. kontinu tak-negatif yang menyatakan antar umur komponen saat kegagalan ke- (𝑛 − 1)

hingga ke- 𝑛 dimana 𝑇𝑛 = 𝑋𝑛 − 𝑋𝑛−1 ,𝑛 = 1,2,3, … dengan 𝑋0 = 0,

𝑁 𝑡, 𝑠 : proses hitung satu dimensi atau peubah acak yang menyatakan banyak kegagalan

komponen pada interval umur 𝑡, 𝑠 . Untuk interval 0, 𝑡 , penulisan 𝑁 0, 𝑡 = 𝑁 𝑡

dimaksudkan agar lebih singkat.

Peubah acak 𝑇1 = 𝑋1 memiliki fungsi distribusi kegagalan

𝐹 𝑡 = 𝑃𝑟 𝑇1 ≤ 𝑡 (4)

2.3. Memodelkan Kegagalan-Kegagalan dari Waktu ke Waktu (Modelling Failures Over Time)

Kasus Komponen Non-Repairable

Hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan waktu yang saling

ekuivalen yaitu

𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑡 (5)

Melalui persamaan (5), peluang 𝑁 𝑡 = 𝑛 diperoleh dari

𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − 𝑃𝑟 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1 (6a)

𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑃𝑟 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑡 − 𝑃𝑟 𝑇𝑖

𝑛+1

𝑖=1

≤ 𝑡 (6b)

Untuk kasus komponen non-repairable, laju kegagalan setelah kegagalan ke-𝑛 serupa saat laju

kegagalan komponen sejak pertama kali digunakan, hal ini ditunjukkan pada ilustrasi Gambar 1.

Gambar 1. Contoh Grafik Laju Kegagalan Strategi Penggantian

Gambar 1 menunjukkan bahwa 𝑇1 ,𝑇2 ,𝑇3 ,… , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d

dengan 𝐹 𝑡 pada (4), sehingga 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari

dan dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Dengan demikian (6b) menjadi

𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 (7)

Selanjutnya, ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) diperoleh dari

𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑛𝑃𝑟 𝑁 𝑡 = 𝑛

∞

𝑛=1

= 𝐹 𝑛 𝑡

∞

𝑛=1

(8)


Ekspektasi banyak kegagalan komponen pada interval [0, 𝑡) didapat dengan bantuan persamaan

integral pembaruan (renewal integral equation), sehingga persamaan (8) menjadi

𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀 𝑡 (9)

dimana 𝑀 𝑡 disebut persamaan integral pembaruan yang didefinisikan sebagai

𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹 𝑢

𝑡

0

(10a)

atau

𝑀 𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐹 𝑡 − 𝑢 𝑑𝑀 𝑢

𝑡

0

(10b)

2.4. Fungsi Distribusi Kegagalan pada Model Pembaruan

Persamaan 𝑀 𝑡 (disebut model pembaruan) pada (10a) melibatkan fungsi distribusi

kegagalan 𝐹 𝑡 seperti pada (4). Fungsi distribusi kegagalan yang digunakan dalam makalah ini

adalah distribusi kegagalan non-parametrik yaitu distribusi empirik halus.

2.5. Fungsi Distribusi Empirik Halus

Fungsi distribusi empirik dikonstruksi dari data 𝑥𝑗 (ordered statistic), data berbeda yang telah

diurutkan mulai dari yang terkecil hingga yang terbesar (Tse, 2009). Dengan 𝑤𝑗 menyatakan

banyak 𝑥𝑗 , dan 𝑔𝑗 = 𝑤𝑖 .𝑗𝑖=1 Fungsi distribusi empirik diperoleh melalui (11) (Tse, 2009)

𝐹𝑒 𝑥 =

0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 𝑥1 𝑔𝑗

𝑛𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑗+1 ,𝑥 = 1,… , 𝑚 − 1 (11)

1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥𝑚 ≤ 𝑥

Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-nilainya adalah

6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi empiriknya. Untuk mengolah data tersebut,

pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 , dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah

diurutkan dari kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗 adalah

banyaknya 𝑥𝑗 . Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst.

Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut

diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1.

TABEL 1. Ilustrasi Pengolahan Data untuk Estimasi Fungsi Distribusi Empirik

𝑗 1 2 3 4 5 6

𝑥𝑗 2 3 4 6 7 9

𝑤𝑗 3 1 2 1 2 1

𝑔𝑗 3 4 6 7 9 10

Untuk nilai 𝐹𝑒 𝑥 dari setiap interval data dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (11).

Hasil penghitungan 𝐹𝑒 𝑥 dapat dilihat pada Tabel 2.

TABEL 2. Fungsi Distribusi Empirik, 𝐹𝑒 𝑥 , dari Ilustrasi

Interval data [0,2) [2,3) [3,4) [4,6) [6,7) [7,9) [9, ∞)

𝐹𝑒 𝑥 0 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 1

Dengan melihat Tabel 2, tampak bahwa peluang kumulatif pada nilai 𝑥 yang berbeda pada suatu

interval yang sama adalah sama besar. Sebagai contoh, di 𝑥𝑎 = 2,5 dan 𝑥𝑏 = 2,7 memiliki

𝐹𝑒 2,5 = 𝐹𝑒 2,7 = 0,3. Hal ini menunjukkan bahwa distribusi empirik kurang ideal. Seharusnya


untuk 𝑥𝑎 < 𝑥𝑏 maka 𝐹𝑒(𝑥𝑎) < 𝐹𝑒(𝑥𝑏), karena hal tersebut berkaitan dengan umur kegagalan.

Semakin tua umur komponen maka idealnya peluang kegagalannya semakin besar. Selain itu, hal

tersebut dikarenakan sifat semua fungsi distribusi adalah fungsi monoton naik. Oleh karena itu,

𝐹𝑒(𝑥) perlu dihaluskan, sehingga didapati nilai peluang yang berbeda untuk setiap nilai 𝑥. Fungsi

distribusi empirik halus (smoothed empirical distribution function) dinyatakan oleh

𝐹 𝑒 𝑥 =𝑥 − 𝑥𝑗

𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗𝐹𝑒 𝑥𝑗+1 +

𝑥𝑗+1 − 𝑥

𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗𝐹𝑒 𝑥𝑗 (12)

Persamaan (12) dapat disederhanakan menjadi

𝐹 𝑒 𝑥 = 𝐴𝑗𝑥 + 𝐵𝑗 (13)

dengan

𝐴𝑗 =𝐹𝑒 𝑥𝑗+1 −𝐹𝑒 𝑥𝑗

𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗 dan 𝐵𝑗 =

𝑥𝑗+1 𝐹𝑒 𝑥𝑗 − 𝑥𝑗 𝐹𝑒 𝑥𝑗+1

𝑥𝑗+1 − 𝑥𝑗

untuk 𝑥𝑗 ≤ 𝑥 < 𝑥𝑗+1 dan 𝑗 = 1, … , 𝑚 − 1. Jadi 𝐹 𝑒 𝑥 pada (12) adalah interpolasi linear dari

𝐹𝑒 𝑥𝑗+1 dan 𝐹𝑒 𝑥𝑗 , untuk 𝑗 = 1,2, . . . , 𝑚 − 1. Sehingga didapati bentuk lain seperti pada (13)

yang merupakan fungsi linear.

2.5. Data

Data yang digunakan adalah data sekunder tentang penggantian klep mesin diesel yang diperoleh

dari Blischke (2011). Data dengan nama produk yang dirahasiakan tersebut merupakan hasil

pengamatan dari 41 mesin diesel yang masing-masing data dalam interval waktu pengamatan

tertentu. Dari 41 mesin diesel, 24 mesin mengalami satu kali kegagalan pada klep mesin dan segera

dilakukan penggantian. Klep mesin yang gagal saat umur mesin tertampil pada Tabel 3 dengan

asumsi lama waktu penggantian klep yang gagal dengan klep yang baru di bengkel diabaikan.

TABEL 3. Data Umur Mesin Diesel saat Penggantian Klep

ID

Mesin

Lama Waktu

Pengamatan

(hari)



ID

Mesin

Lama Waktu

Pengamatan

(hari)



251 761

403 593

252 759

404 589 573

327 667 98 405 606 165

328 667 326 406 594 249

329 665

407 613 344

330 667 84 408 595 265

331 663 87 409 389 166

389 653 646 410 601

390 653 92 411 601 410

391 651

412 611

392 650 258 413 608

393 648 61 414 587

394 644 254 415 603 367

395 642 76 416 585 202

396 641 635 417 587

397 649 349 418 578

398 631

419 578

399 596

420 586

400 614 120 421 585

401 582 323 422 482

402 589 139

Tampak pada Tabel 3, keseluruhan data tersebut termasuk dalam kategori complete data, dengan

maksud data umur mesin saat terjadi kegagalan klep berada didalam interval waktu pengamatan.

Selanjutnya, data diolah dalam satuan tahun (dibagi 365 hari). Data antar umur kegagalan klep

tertampil pada Tabel 4.


TABEL 4. Data Antar Umur Kegagalan Mesin Diesel saat Penggantian Klep

Data yang digunakan adalah data 𝑇1 pada Tabel 4. Data tersebut akan diolah untuk memperoleh

estimasi distribusi empirik halus 𝐹𝑒 (𝑡) dan selanjutnya menghitung ekspektasi banyak kegagalan

𝑀(𝑡) melibatkan 𝐹𝑒 (𝑡).

2.6. Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI

Penghitungan ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡) melalui metode SMVTI

seperti yang digunakan Greselda dkk. (2015) yaitu

𝑀(𝑡) = 1 + 𝑀 𝑥𝑖−1 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖−1 − 𝐹 𝑡 − 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

(14)

Dengan terlebih dahulu membagi interval [0, 𝑡) menjadi 𝑛 sub-interval sama panjang, yaitu

𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡 dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Lalu

inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam

masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut

𝑀 𝑥𝑖 = 1 + 𝑀 𝑥𝑗−1 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗−1 − 𝐹 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗

𝑖

𝑗=1

(15)

HASIL DAN PEMBAHASAN

Berdasarkan data pada Tabel 4, diperoleh estimasi fungsi distribusi empiriknya seperti pada

Tabel 5 dan grafik fungsi distribusi empirik tersebut tertampil pada Gambar 2.

TABEL 5. Estimasi Fungsi Distribusi Empirik dari Data

Interval

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝐹𝑒(𝑥)

Interval

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝐹𝑒(𝑥) 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 0 0.1671 0 0.6822 0.6959 0.5417

0.1671 0.1671 0.0417 0.6959 0.7068 0.5833

0.1671 0.2082 0.0833 0.7068 0.7260 0.6250

0.2082 0.2301 0.1250 0.7260 0.8849 0.6667

0.2301 0.2384 0.1667 0.8849 0.8932 0.7083

0.2384 0.2521 0.2083 0.8932 0.9425 0.7500

0.2521 0.2685 0.2500 0.9425 0.9562 0.7917

0.2685 0.3288 0.2917 0.9562 1.0055 0.8333

0.3288 0.3808 0.3333 1.0055 1.1233 0.8750

0.3808 0.4521 0.3750 1.1233 1.5699 0.9167

0.4521 0.4548 0.4167 1.5699 1.7397 0.9583

0.4548 0.5534 0.4583 1.7397 1.7699 1.0000

0.5534 0.6822 0.5000

ID Mesin Data Antar Umur Kegagalan Klep (𝑻𝟏) ID Mesin Data Antar Umur Kegagalan Klep (𝑻𝟏)

327 0.2685 400 0.3288

328 0.8932 401 0.8849

330 0.2301 402 0.3808

331 0.2384 404 1.5699

389 1.7699 405 0.4521

390 0.2521 406 0.6822

392 0.7068 407 0.9425

393 0.1671 408 0.7260

394 0.6959 409 0.4548

395 0.2082 411 1.1233

396 1.7397 415 1.0055

397 0.9562 416 0.5534

Banyak Data 𝒏 = 𝟐𝟒


Gambar 2. Grafik Fungsi Distribusi Empirik.

Pada Gambar 2, sumbu 𝑥 menyatakan antar umur kegagalan pertama, dan sumbu 𝑦 menyatakan

peluang kegagalan klep mesin diesel pertama kali dari setiap titik pada sumbu 𝑥. Setelah diperoleh

fungsi distribusi empirik dari data seperti pada Tabel 5, maka fungsi tersebut dihaluskan menjadi

fungsi distribusi empirik halus dengan menggunakan (13). Parameter-parameter fungsi distribusi

empirik halus tiap-tiap interval tertampil pada Tabel 6.

TABEL 6. Estimasi Fungsi Distribusi Empirik Halus dari Data

Interval

𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

Fungsi Distribusi Empirik Halus

𝐹𝑒 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵

𝑎 𝑏 𝐴 𝐵 0 0.1671 0 0

0.1671 0.2082 1.0122 -0.1274

0.2082 0.2301 1.9041 -0.3131

0.2301 0.2384 5.0241 -1.0310

0.2384 0.2521 3.0365 -0.5572

0.2521 0.2685 2.5427 -0.4327

0.2685 0.3288 0.6915 0.0643

0.3288 0.3808 0.8000 0.0287

0.3808 0.4521 0.5849 0.1106

0.4521 0.4548 15.4444 -6.6074

0.4548 0.5534 0.4219 0.2248

0.5534 0.6822 0.3238 0.2791

0.6822 0.6959 3.0438 -1.5765

0.6959 0.7068 3.8165 -2.1142

0.7068 0.7260 2.1719 -0.9518

0.7260 0.8849 0.2624 0.4345

0.8849 0.8932 5.0120 -3.7685

0.8932 0.9425 0.8458 -0.0472

0.9425 0.9562 3.0438 -2.1188

0.9562 1.0055 0.8438 -0.0152

1.0055 1.1233 0.3540 0.4774

1.1233 1.5699 0.0934 0.7701

1.5699 1.7397 0.2450 0.5321

1.7397 1.7699 1.3808 -1.4439

Grafik fungsi distribusi empirik dan empirik halus tertampil pada Gambar 3. Selain itu,

gambaran tentang distribusi Gamma sebagai hasil dari penelitian Greselda dkk. (2015) juga dapat

dilihat dalam Gambar 3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

F(x

)

Fungsi Distribusi Empirik


Gambar 3. Grafik Fungsi Distribusi Empirik, Empirik Halus, dan Gamma (Greselda dkk., 2015)

Setelah mendapatkan nilai peluang dari sembarang titik dari distribusi empirik halus maka

diperoleh model pembaruan seperti pada (10a) yaitu

𝑀𝑒 𝑡 = 𝐹𝑒 𝑡 + 𝑀 𝑡 − 𝑢 𝑑𝐹𝑒 𝑡 (16)

𝑡

0

Dengan ini berarti (9) menjadi 𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑀𝑒 𝑡 sehingga model biaya garansi seperti pada (3)

menjadi 𝐸 𝑆 = 𝑐𝑠𝑀𝑒 𝑡 . Selanjutnya, estimasi 𝑀𝑒

𝑡 pada (16) dilakukan dengan menggunakan

metode SMVTI seperti yang diusulkan Greselda dkk. (2015).

Melalui SMVTI, 𝑀𝑒 𝑡 pada (16) diestimasi. Lalu, diperoleh ekspektasi banyak kegagalan dan

estimasi biaya garansi dengan masa garansi 0.5; 1; 1.5; 2; dan 2.5 tahun tertampil pada Tabel 7.

Selain itu, ditampilkan juga estimasi biaya garansi yang melibatkan distribusi Gamma seperti hasil

penelitian Greselda dkk. (2015). Tabel 7 menunjukkan bahwa hasil yang diperoleh dengan

menggunakan distribusi kegagalan empirik tidak berbeda jauh dengan hasil yang diperoleh dengan

menggunakan distribusi kegagalan Gamma, dengan persentase perbedaan kurang dari 20%. Hal ini

menunjukkan bahwa perbedaan dari nilai estimasi biaya garansi dengan menggunakan distribusi

empirik dan Gamma tidaklah signifikan. Namun, hasil estimasi biaya garansi tersebut tidak bisa

dianggap sebanding atau sama, karena yang dibandingkan hanyalah estimasi 𝑀(𝑡), tidak ada

pembanding lain seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 . Sehingga perlu adanya uji

mengenai perbedaan estimasi empirik.

TABEL 7. Estimasi Biaya Garansi dari Model Masa Garansi

(Tahun)

Estimasi Biaya Garansi dengan

Distribusi Empirik Halus

Estimasi Biaya Garansi dengan

Distribusi Gamma

Persentase Perbedaan Estimasi

Biaya Garansi (%)

0.5 0.4973𝑐𝑠 0.4262 𝑐𝑠 16.7

1 1.2110 𝑐𝑠 1.1055 𝑐𝑠 9.5

1.5 1.8676 𝑐𝑠 1.7970 𝑐𝑠 3.9

2 2.6228 𝑐𝑠 2.4887 𝑐𝑠 5.4

2.5 3.3361 𝑐𝑠 3.1803 𝑐𝑠 4.9

KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan data penggantian klep mesin diesel, diperoleh estimasi fungsi distribusi empirik

halus. Selanjutnya, estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu yang melibatkan fungsi

distribusi empirik halus diperoleh dengan metode SMVTI. Dari hasil yang didapat, menunjukkan

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

F(x

)

Fungsi Distribusi Empirik

Fungsi Distribusi Empirik Halus

Fungsi Distribusi Gamma (Greselda dkk., 2015)


bahwa model biaya garansi yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus dapat diterapkan atau

digunakan dalam penghitungan estimasi biaya garansi. Selain itu, fungsi distribusi empirik mudah

dikonstruksi oleh pengamat garansi yang tidak memahami distribusi parametrik.

Hasil estimasi biaya garansi dari model yang melibatkan distribusi empirik halus tidak berbeda

jauh dari hasil yang diperoleh Greselda dkk. (2015). Namun perbandingannya hanya sebatas 𝑀 𝑡 ,

ekspektasi banyak kegagalan. Sehubungan dengan itu, perlu adanya penelitian lanjut untuk

pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari 𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi

𝑀 𝑡 .

DAFTAR PUSTAKA

Baik, J., Murthy, D. N. P. dan Jack, N. (2004). Two-Dimensional Failure Modelling with Minimal Repair. Naval Research Logistics. 51.

345–362.

Baik, J., Murthy, D. N. P. and Jack, N. (2006). Erratum:Two-Dimensional Failure Modeling with Minimal Repair, Naval Research Logistics, 53, 115-116.

Blischke, W. R., Murthy, D. N. P. (1994). Warranty Cost Analysis. Marcel Dekker, Inc. New York.

Blischke, W. R., Karim, R., Murthy, D. N. P. (2011). Warranty Data Collection and Analysis. Springer Series in Reliablity Engineering,

London.

Greselda, E., Sasongko, L. R., Mahatma, T. (2015). Model Biaya Garansi Satu Dimensi Polis FRW (Non-Renewing Free Replacement Warranty), Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, FMIPA UNY, (T-8), 223-232.

Klugman, S.A., Panjer, H.H., and Wilmott, G.E. (2004). Loss Models : from Data to Decision 2nd Edition. Wiley Interscience. A John Wiley & Sons, Inc. New Jersey. USA.

Tse, Y. K. (2009). Nonlife Actuarial Models : Theory, Methods, and Evaluation. Cambridge University Press.







REVISI MAKALAH 2

1. Metode Penelitian Sub Bab 2.5 Fungsi Distribusi Empirik Halus (Hal. 4)

Sebelum revisi

Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-

nilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi

empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 ,

dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari

kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗

adalah banyaknya 𝑥𝑗 . Sehingga pada data tersebut, nilai 2 banyaknya ada 3

atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah kumulatif dari nilai-nilai

𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk

𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1.

Sesudah revisi

Misalkan dalam sebuah kasus terdapat data sebanyak 𝑛 = 10 dengan nilai-

nilainya adalah 6,2,4,7,9,2,4,2,3,7 dan akan ditentukan fungsi distribusi

empiriknya. Untuk mengolah data tersebut, pertama-tama menentukan 𝑥𝑗 ,

dimana 𝑥𝑗 adalah nilai-nilai pada data yang berbeda dan telah diurutkan dari

kecil ke besar, sehingga nilai yang sama hanya ditulis sekali. Sedangkan 𝑤𝑗

adalah banyaknya 𝑥𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑗. Sehingga pada data tersebut, nilai 2

banyaknya ada 3 atau 𝑥1 = 2 maka 𝑤1 = 3, dst. Selanjutnya 𝑔𝑗 adalah

kumulatif dari nilai-nilai 𝑤𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑗. Dengan cara tersebut

diperoleh 𝑥𝑗 , 𝑤𝑗 , dan 𝑔𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3,4,5,6 seperti pada Tabel 1.

2. Metode Penelitian Sub Bab 2.5 Data (Hal. 5)

Sebelum revisi

2.5. Data

Sesudah revisi

2.6. Data

3. Metode Penelitian Sub Bab 2.6 Perhitungan Ekspektasi Banyak

Kegagalan Menggunakan Metode SMVTI (Hal. 6)

Sebelum revisi

2.6 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode

SMVTI


sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡 dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡, untuk

𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Lalu inisialisasi awal untuk 𝑀 0 = 𝐹 0 = 0

dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam masa garansi [0, 𝑡)

pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 ,

untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut

Sesudah revisi

2.7 Penghitungan Ekspektasi Banyak Kegagalan Menggunakan Metode

SMVTI


sama panjang, yaitu 𝑥0 = 0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑡. Dimana 𝑥𝑖 = 𝑖∆𝑡,

untuk 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑛 dan ∆𝑡 = 𝑡 𝑛 . Setelah itu, inisialisasi awal untuk

𝑀 0 = 𝐹 0 = 0 dan 𝑀 𝑥1 = 𝐹 𝑥1 . Ekspektasi banyak kegagalan dalam

masa garansi [0, 𝑡) pada (14) diperoleh dengan terlebih dahulu memperoleh

satu demi satu 𝑀 𝑥𝑖 , untuk 𝑖 = 2, 3, … , 𝑛 − 1 dari persamaan berikut

xlvi

BAB III

PENUTUP

KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

Berdasarkan data tentang penggantian klep mesin diesel yang telah diolah,

melalui algoritma penentuan distribusi kegagalan, didapati data garansi

tersebut mengikuti distribusi kegagalan parametrik yaitu distribusi

𝐺𝑎𝑚𝑚𝑎 𝛼 = 2.291, 𝛽 = 0.3133 . Sehingga model kegagalannya

melibatkan distribusi gamma.

Hasil estimasi biaya garansi dengan masa garansi tertentu diperoleh dari

model pembaruan yang melibatkan distribusi gamma melalui metode

SMVTI. Estimasi biaya garansi meningkat sebanding dengan lama masa

garansi. Model biaya garansi yang melibatkan fungsi distribusi empirik halus dapat

diterapkan atau digunakan dalam penghitungan estimasi biaya garansi.

Apabila peneliti mengalami kesulitan dalam pemahaman atau

ketidaktahuan tentang distribusi parametrik, maka penggunaan fungsi

distribusi empirik halus dapat digunakan dalam perhitungan estimasi biaya

garansi. Hasil yang diperoleh dari estimasi biaya garansi dari model yang

melibatkan distribusi gamma dan distribusi empirik halus tidak berbeda

jauh. Meskipun begitu, tidak berarti bahwa kedua estimasi tersebut sama,

karena pembandingnya hanya 𝑀 𝑡 , ekspektasi banyak kegagalan.

SARAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, disarankan untuk perlu adanya

penelitian lanjut untuk pembanding lain, seperti variansi atau simpangan baku dari

𝑀 𝑡 dan uji perbandingan estimasi 𝑀 𝑡 .

xlvii

LAMPIRAN

L.1


SMVTI yang melibatkan distribusi gamma

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

x=[0:0.01:2.5]; M=zeros(length(x),1); sum=0; M(2)=gamcdf(x(2),2.2914,0.31331); for i=3:length(x) for j=1:(i-1) sum = sum + (1 + M(j))*( gamcdf(x(i)-

x(j),2.2914,0.31331) - gamcdf(x(i)-

x(j+1),2.2914,0.31331) ); end M(i) = sum; sum = 0; end M

L.2

Lampiran 2. Kode Matlab untuk menampilkan data dalam grafik fungsi

distribusi empirik, distribusi empirik halus, dan distribusi gamma

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

clear all

load 'data24.dat'

x=data24;

[Fi,xi] = ecdf(x);

hasil=[Fi,xi]

stairs(xi,Fi,'r');

xlim([0 1.8]); xlabel('x'); ylabel('F(x)');

Fi; xi;

legend({'Fungsi Distribusi

Empirik'},'location','NW');

dengan data24.dat berisi

0.2685 0.8932 0.2301 0.2384 1.7699 0.2521 0.7068 0.1671 0.6959 0.2082 1.7397 0.9562 0.3288 0.8849 0.3808 1.5699 0.4521 0.6822 0.9425 0.7260 0.4548 1.1233 1.0055 0.5534

L.3

Lampiran 3. Kode Matlab untuk menggambarkan data dengan menggunakan

distribusi empirik, distribusi empirik halus, dan distribusi gamma

3.1. Kode Utama

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

clear all

load 'data24.dat'

x=data24;

[Fi,xi] = ecdf(x);

hasil=[Fi,xi]

stairs(xi,Fi,'r');

xlim([0 1.8]); xlabel('x'); ylabel('F(x)');

Fi; xi;

a=0:0.0001:1.7699;

Fs=secdf(a,Fi,xi);

hold on

plot(a,Fs,'-')

hold off

HasilAkhir=[Fs',a'];

x = gaminv((0:0.01:1.7699),2.2914,0.31331);

y = gamcdf(x,2.2914,0.31331);

hold on

plot(x,y,'g-')

hold off

legend({'Fungsi Distribusi Empirik' 'Fungsi

Distribusi Empirik Halus' 'Fungsi Distribusi

Gamma (Greselda dkk., 2015)'},'location','NW');

3.2. Kode secdf

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

function Fs=secdf(y,Fi,xi)

for i=1:(length(y)-1)

if y(i)<0.1671

j=1;

else

j=length(find(xi<=y(i)));

end

yj=xi(j);

yj1=xi(j+1);

Fj=Fi(j);

Fj1=Fi(j+1);

L.3

13

14

15

16

17

Fs(i)=((y(i)-yj)/(yj1-yj))*Fj1 + ((yj1-

y(i))/(yj1-yj))*Fj;

end

Fs(length(y))=1;

L.4


SMVTI yang melibatkan distribusi empirik halus

4.1. Kode Utama

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

clear all

load 'data24.dat'

data=data24;

[Fi,xi] = ecdf(data);

x=[0:0.01:2.5];

M=zeros(length(x),1);

sum=0;

M(2)=secdf24(x(2),Fi,xi);

for i=3:length(x)

for j=1:(i-1)

sum = sum + (1 + M(j))*( secdf24(x(i)-

x(j),Fi,xi) - secdf24(x(i)-x(j+1),Fi,xi) );

end

M(i) = sum;

sum = 0;

end

M

4.2. Kode secdf24

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

function Fs=secdf24(y,Fi,xi)

if y<0.1671

j=1;

else if y==0.1671

j=2;

else if y>=1.7699

j=26;

else j=length(find(xi<=y));

end

end

end

if j==1

yj=0;

L.4

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

yj1=xi(j);

Fj=0;

Fj1=Fi(j);

else if j==26

yj=0;

yj1=y;

Fj=1;

Fj1=1;

else

yj=xi(j);

yj1=xi(j+1);

Fj=Fi(j);

Fj1=Fi(j+1);

end

end

Fs=((y-yj)/(yj1-yj))*Fj1 + ((yj1-y)/(yj1-yj))*Fj;

L.5

Lampiran 5. Pembuktian rumus dalam memodelkan kegagalan-kegagalan dari

waktu ke waktu (modelling failures over time) kasus komponen

non-repairable

Diketahui hubungan ketiga peubah acak 𝑋𝑛 , 𝑇𝑛 , dan 𝑁 𝑡 ada pada himpunan

waktu yang saling ekuivalen yaitu

𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑋𝑛 ≤ 𝑡} ≡ 𝑡 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑡

Banyak kegagalan dari distribusi merupakan ekspektasi atau rata-ratanya.

Untuk menghitung banyak kegagalan, harus tau fungsi peluang masa diskrit

𝐸 𝑁 = 𝑛 Pr[𝑁 𝑡 = 𝑛]

∞

𝑛=0

dengan menggunakan 𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 , maka Pr[𝑁 𝑡 = 𝑛] adalah

Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 − Pr 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 + 1

Karena 𝑡 𝑁 𝑡 ≥ 𝑛 ≡ 𝑡 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ≤ 𝑡 , maka

Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = Pr 𝑇𝑖

𝑛

𝑖=1

≤ 𝑡 − Pr 𝑇𝑖

𝑛+1

𝑖=1

≤ 𝑡

𝑇1, 𝑇2, 𝑇3, … , 𝑇𝑛 berdistribusi identik dan saling bebas atau i.i.d dengan 𝐹 𝑡 ,

sehingga 𝑇𝑖𝑛𝑖=1 ~𝐹 𝑛 𝑡 dimana 𝐹 𝑛 𝑡 adalah n-fold convolution “dari dan

dengan” 𝐹 𝑡 sendiri. Sehingga Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 menjadi

Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡

maka

𝑛 Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛 = 𝑛 (

∞

𝑛=0

∞

𝑛=0

𝐹 𝑛 𝑡 − 𝐹 𝑛+1 𝑡 )

= 0 + 1𝐹 1 − 1𝐹 2 + 2𝐹 2 − 2𝐹 3 + 3𝐹 3 − 3𝐹 4 + ⋯

= 0 + 𝐹(1) + 𝐹(2) + 𝐹(3) + ⋯

sehingga

𝐸 𝑁 𝑡 = 𝑛Pr 𝑁 𝑡 = 𝑛

∞

𝑛=1

= 𝐹 𝑛 𝑡

∞

𝑛=1

L.6

Lampiran 6. Pembuktian convolution

Jika diketahui 𝑇1 peubah acak berdistribusi 𝑓1(𝑡) dan 𝑇2 peubah acak

berdistribusi 𝑓2(𝑡), maka peubah 𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 berdistribusi (𝑇1 dan 𝑇2 saling

bebas)

𝑓1 ∗ 𝑓2 𝑢 = 𝑓1 𝑡

∞

−∞

𝑓2(𝑢 − 𝑡)𝑑𝑡

Sehingga

𝐹1 ∗ 𝐹2 𝑢 = 𝑓(𝑣)

𝑢

−∞

𝑑𝑣 = 𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑣 − 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑣

∞

−∞

𝑢

−∞

= 𝑓2 𝑣 − 𝑡 𝑑𝑣 𝑓1 𝑡 𝑑𝑡

∞

−∞

𝑢

−∞

= 𝐹2 𝑢 − 𝑡 𝑓1 𝑡 𝑑𝑡

𝑢

−∞

Jika 𝑇1 dan 𝑇2 i.i.d maka

𝐹 ∗ 𝐹 𝑢 = 𝐹 2 𝑢 = 𝐹 𝑢 − 𝑡

𝑢

−∞

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)

𝑢

−∞

Untuk 𝑇1 , 𝑇2 dan 𝑇3 i.i.d maka

𝐹 3 𝑢 = 𝐹 ∗ 𝐹 ∗ 𝐹 𝑢 = 𝐹 2 𝑢 ∗ 𝐹 = 𝐹 2 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)

𝑢

−∞

Sehingga untuk 𝑇1 , 𝑇2,…, 𝑇𝑛 i.i.d maka

𝐹 𝑛 𝑢 = 𝐹 𝑛−1 𝑢 − 𝑡 𝑑𝐹(𝑡)

𝑥

0

disebut n-fold convolution.

L.7

Lampiran 7. Tentang program esasyfit

Program easyfit adalah program untuk mencocokan data dengan distribusi dan

memilih model yang terbaik dalam waktu yang singkat. Program yang

dikembangkan oleh MathWave Technologies ini menyediakan total 61 distribusi

yang terkenal lengkap dengan nilai-nilai parameternya.

Program ini tersedia dalam versi percobaan gratis yang hanya bisa berjalan

selama 30 hari di 40 komputer yang berbeda. Sedangkan versi lengkapnya, dapat

dimiliki dengan cara membeli. Secara lengkap program easyfit ini dapat dilihat di

www.mathwave.com.

http://www.mathwave.com/

Documents

repository.uksw.edu · MODEL BIAYA GARANSI SATU DIMENSI POLIS FRW (NON-RENEWING FREE REPLACEMENT WARRANTY) STUDI DATA SEKUNDER TENTANG PENGGANTIAN KLEP …