Modelēšanas pa ņēmieni hidro ģeoloģijā

Juris Seņņikovs

LU Vides un Tehnoloģisko procesu matemātiskās

modelēšanas laboratorija

1. Ievads2. Gruntsūdens plūsmas pamatsakarības

1. Darsī likums2. Ūdens bilances vienādojums3. Ūdens piesātinātā/nepiesātinātā zona

3. Skaitliskās atrisināšanas pamatprincipi1. Diskretizācijas metodes2. Vienādojumu tuvinātas atrisināšanas metodes3. Robežnosacījumi

4. Modeļa uzbūve1. Konceptualizācija2. Ģeoloģiskās struktūras modelis

1. Virsmu iegūšanas metodes2. Diskretizācijas elementu izveide (“režga ģenerācija”)

3. Robežnosacījumu uzdošana5. Kalibrācija/verifikācija6. Modeļa rezultātu pēcapstrāde

Process/objekts dabā

Profesionālais modelis

“Matem ātiķis”

Profesionālis

Programmētājs

Matemātiskās modelēšanas shēma

Matemātiskais modelis

Skaitliskais modelis

Programmatūra

Rezultāti (skaitliskie, vizualizācija)

“Matem ātiķis”

Profesionālis Gala lietotājs

Ūdens bilance glob ālā mērogā

Attēls no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Ūdens bilance globālā mērogā ir noslēgta.

Modelējot kādu atsevišķu ūdens bilances cikla daļu, paliek nenoslēgtas bilances komponentes, kuras jāaizstāj ar robežnosacījumiem.

Pirms detalizēta modeļa izveides jānodefinē, kādas no daļām modelēsim un kādas būs iespējas uzlikt robežnosacījumus –jāizveido konceptuālais modelis

Ūdens bilance noteces baseina m ērogā

Attēls no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Baseina mēroga ūdens bilance

∆S=P-ET-R

Ūdens daudzuma pieaugums=nokrišņi –iztvaikošana – upju notece

Iežu porain ībaPorain ība – tilpuma daļa, ko materiālā aizpilda tukšumi (poras).

Relatīvais ūdens daudzums – tilpuma daļa, ko materiālā aizpilda ūdens

viss

graudini

viss

poras

V

V

V

Vn −== 1

Ja grunts ir pilnīgi ūdenspiesātināta, tad relatīvais ūdens daudzums ir vienāds ar porainību

nw=n

viss

Hw V

Vn 20=

Iežu porain ība

Tabula no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Kopējā porainība neraksturo vides spēju vadīt ūdeni, jo liela daļa poru var būt nesaistītas

Caurlaid ība raksturo vides spēju vadīt [ūdeni] un savienojamību starp porām.

Tipiski labi ūdensnesoši horizonti (augsta porainība, augsta caurlaidība) – smiltis, grants, oļi, smilšakmens, plaisainas klintis, bazalts.

Tipiski sprostslāņi – granīts, māls, smilšmāls.

Pazemes ūdens iedal ījums

Attēls no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Augsnes mitrums

Kapilārais ūdens, piesātināts,bet p<patm

Nepiesātin ātā zona

Piesātin ātā zonaGrunts un pazemes ūdens – saistītas poras – ūdens var plūst

Ūdens virsma: p=patm

Ūdens minerālos ķīmiski saistītāformā

Ūdens atdalītās porās

Dars ī likums

1856. g., Dižonā (Francija) Henry Darcy veica eksperimentu, lejot ūdeni caur ar grunti piebertam caurulēm.

Q – caurplūdums, m3/sA – šķērsgriezuma laukums, m2

h – ūdenslīmenis, m∆h – ūdenlīmeņu starpība, m

Dars ī likums Filtrācijas ātrums q = Q/A, ir sastīts ar līmeņa starpību sekojošā veidā:

l

hK

l

hKq

A

Q

∂

∂−=

∆

∆−== K – filtrācijas koeficients, tā

mērvienībai ir ātruma dimensija (m/s, m/dnn utml...)

Dars ī likums q ir filtrācijas ātrums, tas nesakrīt ar ātrumu, ar kuru ūdens pārvietojas caur porām – tas raksturo ūdens tilpumu, kas iziet caur materiāla šķersgriezuma laukuma vienību laika vienībā

Vidējais plūsmas ātrums porās - ir n – porainība

Atšķirība starp abiem ir svarīga vielu koncentrāciju aprēķinos.

n

qv =

Darsī likumam ir pielietojamības robeža gan lieliem, gan maziem gradientiem.Darsī likums ir empīrisks un makroskopisks.Empīrisks nozīmē atrasts no novērojumiem, pieredzes un eksperimentiem [“no augšas”], nevis no pamatprincipiem [“no apakšas”]Makroskopisks nozīmē liels salīdzinot ar poru skalu, ko tālāk dēvēsim par mikroskopisku.

Tālākajā izklāstā pieņemsim, ka var izdalīt “elementāru tilpumu”, kura izmēri ir lieli, salīdzinot ar atsevišķas poras izmēru, bet mazi, salīdzinot ar tādu garuma mērogu, kurā iespējamas būtiskas makroskopisko parametru izmaiņas. Šis pieņēmums ļauj filtrācijas uzdevumu porainās vidēs aprēķināt nepārtrauktas vides tuvinājumā.

Filtr ācijas koeficienta interpret ācija

Attēls no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Attēls demonstrē grunts mehānisko īpašību atkarību no elementārā tilpuma lieluma

Maziem tilpumiem, kas salīdzināmi ar poru izmēriem īpašības variē strauji

Sākot ar noteiktu tilpumu īpašības gandrīz nemainās

Lielos mērogos arī makroskopiskās īpašības var mainīties

Filtrācijas vienādojumi plūsmu apraksta makroskopiskā mērogā

Filtr ācijas koeficienta interpret ācija Filtrācijas koeficientā K ietilpst gan poraino vidi, gan šķidrumu raksturojošās īpašības.

Eksperimentāli Huberts (Hubbert, 1956) noskaidroja, ka K ir proporcionāls šķidruma blīvumam (ρw), apgriezti propoprcionāls šķidruma viskozitātei (µ) un proporcionāls vidējam daļiņas izmēram (d) kvadratā. Tāpēc K var izteikt kā

k ir koeficients, kas raksturo tikai vidi – vides caurlaidība, tā mērvienības ir garums kvadratā (m2, cm2, darcy=10-8 cm2)

µ/ ρw =ν – ir kinemātiskās viskozitātes koeficients, kas raksturo tikai šķidrumu, kas plūst caur porām (µ – dinamiskās visozitātes koeficients)

νµρ

µρ kggkd

KK ww ===2

*

Filtr ācijas koeficienta v ērt ības

Tabula no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Dažādu materiālu filtrācijas koeficientu vērtības, lai pārietu uz m/dnn, pareizināt ar 86400

Pjezometriskais ūdensl īmenis – ūdens pl ūsmas potenci āls

Plūsmas potenciālu starpība ir vienāda ar šķidruma elementu pilno mehānisko enerģiju starpību uz masas vienību

Potenciāls ir aprēķināms ar precizitāti līdz konstantei, tāpēc ir jāpieņem kāds atskaites līmenis. Pazemes ūdeņu filtrācijas gadījumā potenciāls ir 0, jūras līmenī, miera stāvoklī un pie normāla atmosfēras spiediena (p0).

Pieņemsim, ka šķidruma elements ar masu atrodas augstumā z, tajā ir spiediens p un tas kustas ar ātrumu v. Potenciāls sastāv no 3 daļām:1.Darbs, kas jāpadara, lai šķidruma elementu paceltu līdz līmenim z ir mgz2.Darbs, kas jāpadara, lai šķidruma elementu paātrinātu līdz ātrumam v ir mv2/23.Darbs, kas jāpadara, lai šķidrumu saspiestu līdz spiedienam p ir m ∆p/ρwPotenciāls ir

2

2vpgz

w++=

ρϕ

Pjezometriskais ūdensl īmenis – ūdens pl ūsmas potenci āls

Izdalot ar g iegūst pjezometrisko ūdenslīmeni (h)

h sastāv no 3 daļām – absolūtais augstums (z), spiediens izteikts garuma mērvienībās, plūsmas ātrumu raksturojošā daļa.

Tā kā filtrācijas gadījumā ātrumi parasti ir mazi trešo locekli atmet un iegūst

Tieši h gradients arī ir virzošais spēks, kas izraisa pazemes ūdens plūsmu

g

v

g

pzh

w 2

2++=

ρ

wg

pzh

ρ+=

Filtr ācijas ātruma vektorsIepriekš minētais q aprakstīja plūsmu ar smilti piepildītā caurulē, kurā filtrācijas plūsmai bija noteikts virziens. Vispārīgā gadījumā lai aprakstītu filtrāciju katrāpunktā jāievieš filtrācijas ātruma vektors, kas aprakstīs ātrumu un tā virzienu. Vektoru 3-D telpā definē ar 3 skaitļiem – vektora komponentēm, apzīmēsim tās ar (qx,qy,qz), bet visu vektoru kopumā ar . Vektora q komponentes ir apraksta cik liela ir plūsma katras no koordinātu ass virzienāDarsī likums vektoriālā formā tad ir

qr

z

hKq

y

hKq

x

hKq

zz

yy

xx

∂

∂−=

∂

∂−=

∂

∂−=

Pa komponentēm

hKq ∇−=r

Vektoriālais pieraksts

- gradienta operators∇

Tāpat pieņēmām, ka filtrācijas koeficienta K vērtības var atšķirties plūsmām x,y un z virzienos – vide var būt anizotropa

Vispārīgajā gadījumā šādi filtrācijas plūsmu var izteikt tikai ja anizotropas vide galvenās asis sakrīt ar koordinātu asīm, pretējā gadījumā K ir tenzoriāls lielums (matrica 3x3) un plūsmas komponenti noteiktā virzienā nosaka ne tikai PZŪL atvasinājums šajā virzienā bet arī citos:

jiji x

hKq

∂∂

−=

Filtr ācijas koeficienta anizotropija

x

z

=

vert

hor

hor

ij

K

K

K

K

00

00

00

x’

z’

=

vert

hor

hor

ij

K

K

K

K

00

00

00'

=

zzyzxz

yzyyxy

xzxyxx

ij

KKK

KKK

KKK

K

Galvenās asis

x

z

Koordinātu asis

Dars ī likuma interpret ācija š ķidrumu meh ānikas noz īmē

No šķidrumu mehānikas viedokļa Darsī likums apraksta viskozu plūsmu “kanālos” (analogs – Puazeiļa plūsma). Šādas plūsmas gadījumā visa enerģija, ko šķidruma elements iegūst pārvietojoties no vietas ar augstāku potenciālu uz zemāku pāriet berzē (siltumā) gar porām.

Ideāla (neviskoza) šķidruma plūsmu gadījumā enerģijas izmaiņa noved pie škidruma pāātrinājuma, t.i. spiediena gradientam proporcionāls ir paātrinājums nevis ātrums.

Līdz ar to situācijās, kad plūsma ir pietiekami ātra Darsī likums nav spēkā

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumam•Elementārais tilpums ir iedomāts objekts telpā. •Ūdens bilance izsaka to, ka ūdens masas pieagums objekta iekšpusē ir vienāds ar starpību starp caur objekta robežām ieplūstošo un izplūstošo ūdens masu. Šāda bilance ir spēkā jebkura lieluma objektam. •Par fizikāla lieluma (pjezometriskā ūdenslīmeņa) lauku sauksim tā sadalījumu telpā un laikā.

Izveidosim ūdens bilanci kubiskam elementāram tilpumam ar izmēriem dx,dy,dz

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumamSastādam ūdens bilanci

Vienādojuma kreisajā pusē ir ūdens masas izmaiņa laikā no t līdz t+dt (ūdens masa elementārajā tilpumā ir blīvums reiz ūdens relatīvais daudzums uz tilpuma vienību (nw) reiz tilpums (dx·dy·dz)).Labajā pusē ir ūdens plūsmas caur 6 kuba skaldnēm (plūsma caur skaldni ir vienāda ar blīvums reiz filtrācijas ātruma komponente, kas perpendikulāra šai virsmai, reiz skaldnes laukums reiz laiks).

Ūdens masa perioda sākumā

Ūdens masa perioda beigās

Ūdens masas plūsma caur skalndi z

Ūdens masas plūsma caur skaldni z+dzdzzzwzzw

dyyywyyw

dxxxwxxw

twwdttww

dxdydtqdxdydtq

dxdzdtqdxdzdtq

dydzdtqdydzdtq

dxdydzndxdydzn

+

+

+

+

−

+−

+−

=−

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumamIzdalīsim vienādojuma abas puses ar dx·dy·dz·dt. Tālāk robežgadījumā, kad dx,dy,dz un dt tiecas uz 0, iegūst masas bilances parciāldiferenciālvienādojumu

Vektoriālais pieraksts

- diverģences operators⋅∇

dz

qq

dy

qq

dx

qq

dt

nn

zzwdzzzwyywdyyyw

xxwdxxxwtwwdttww

ρρρρ

ρρρρ

−−

−

−−

−=−

++

++

( ) ( ) ( ) ( )qz

q

y

q

x

q

t

nw

zwywxwww rρ

ρρρρ⋅−∇=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂ )(

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumamIevietojot Darsī sakarību iegūst vienādojumu

Vienādojuma kreisā puse raksturo masas izmaiņu laika vienībā

Labā puse – plūsmu diverģenci vai konverģenci

( )hKt

nw

ww ∇⋅∇=∂

∂ρ

ρ )(

Ūdens masa elementārajā tilpumā var mainīties1. Mainoties proporcijai starp porās esošo ūdeni un gaisu (ūdensnepiesātinātā

gadījumā).2. Mainoties ūdens blīvumam3. Mainoties iežu porainībai

Pieņemsim, ka masas izmaiņa elementārajā tilpuma ir proporcionāla PZŪL izmaiņai:

t

hS

t

ns

ww

w ∂

∂=

∂

∂ )(1 ρρ

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumam

Koeficienta Ss fizikālā jēga ūdenspiesātinātā gadījumā

t

hS

t

n

tn

t

ns

ww

w

w

ww

w ∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂ρ

ρρ

ρρ

1)(1

Blīvuma izmaiņas

( )

( ) t

hg

t

h

p

g

t

t

hg

tp

t

zhg

t

p

t

www

www

www

w

wwwww

w

∂

∂≅

∂

∂

−=

∂

∂

⇒∂

∂+

∂

∂

=∂

−∂=

∂

∂=

∂

∂

22

2

1

)(

ρββρβρ

ρβρ

β

ρρβρβ

ρ

T

w

ww p

∂∂

=ρ

ρβ

1Izotermiskais ūdens saspiežamības koeficients

Porainības izmaiņas (matricas saspiežamība)

t

hg

t www

∂

∂=

∂

∂ 2ρβρ

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumam

Koeficienta Ss fizikālā jēga ūdenspiesātinātā gadījumā

Matricas saspiežamības izteiksmi iegūsim, pieņemot, ka atsevišķie matricu veidojošie elementi (graudiņi) ir nesaspiežami un ka matricas tilpuma izmaiņu uzreiz kompensē ūdens tilpuma izmaiņa (ar pretēju zīmi).

t

hg

t

p

t

nwpp ∂

∂=

∂

∂=

∂

∂ρββ

( )wpws ngS ββρ +=

Ūdensnepiesātinātā gadījuma Ss galvenokārt nosaka kapilārā spiediena un ūdenspiesātinājuma sakarības līkne

Plūsmas potenci āla noz īmes paplašin āšana nepies ātinātajā zonā,Nepiesātinātajā zonā spiediens ir mazāks par atmosfēras spiedienu dēļ kapilārajiem spēkiem. Piesātinātās zonas robežas definīcija p=patm=0. PZŪL ir nepārtraukts pa z arīšķērsām nepiesātinātās zonas robežai, līdz ar to teorētiski piesātināto un nepiesātināto zonu var aprēķināt kopīgi.

Var ieviest arī [kapilāro] spiedienu un ūdenspiesātinājumu saistošās līknes – tādā gadījuma filtrācijas vienādojums ir pilnībā noslēgts gan piesātinātajā, gan nepiesātinātajā zonā.

Attēls no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Plūsmas potenci āla noz īmes paplašin āšana nepies ātinātajā zonā,Dažu materiālu ūdenspiesātinājuma atkarība no [negatīva] kapilārāspiediena.

Attēls no Domenico,Schwartz. Physical and Chemical Hydrogeology.

Samazinoties ūdenssaturam samazinas arīfiltrācijas koeficienta vērtības

Ūdens bilances vien ādojums element ārajam tilpumamŪdensnepiesātinātā gadījumā Ss izriet no ūdenssaturu un spiedienu saitošās līknes

p

nS

t

h

p

n

t

p

p

n

t

pn

t

n

ws

wwww

∂∂

=

∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂

∂=

∂∂ )(

Tipiska modeļlīkne (van Genuchten, 1980)

g

p

n

w

mn

rsrw

ρ

α

θθθ

=Ψ

Ψ+

−+=

1

Filtr ācijas pamatvien ādojums, vienk āršojumi

Vienādojuma kreisā puse raksturo masas izmaiņu laika vienībā

Labā puse – plūsmu diverģenci vai konverģenci

( )hKt

hSs ∇⋅∇=

∂

∂

Stacionārs gadījums – plūsma nemainās laikā (ir iestājusies) (atvasinājums pēc laika ir 0)

( ) 0=∇⋅∇ hK

Filtrācijas vienādojumu atrisinājums ir h sadalījums laikā (nestacionāra gadījumā) un telpā (lauks):

h=h(x,y,z,t)

Robežnosac ījumi un s ākumnosac ījumi

Lai atrastu filtrācijas vienādojumu atrisinājumu galīgā apgabalā filtrācijas pamatvienādojumam ir nepieciešami papildus nosacījumi uz apgabala ārējām robežām – robežnosacījumi.

Robežnosacījumi raksturo pieņēmumus par to kā filtrācijas procesi apgabalā, kas tiek aprēķināts, mijiedarbojas ar procesiem ārpus aprēķināmā apgabala (kas netiek aprēķināts).

Pieņemsim, ka nestacionāra uzdevuma aprēķināšanu sāk ar noteiktu sākuma laiku t0. Tādā gadījumā visā aprēķināmājā apgabalā jāuzdod h sadalījums telpālaika momentā t0. h(x,y,z,t0)=h0(x,y,z). h0 ir sākumnosacījumi.

Robežnosac ījumu veidi

1.veida robežnosacījumi – uzdots PZŪL (h). Tas var būt mainīgs gan laikā, gan gar robežu.Tipiski pielietojumi:•uzdots h apgabalos zem ūdenstilpnēm vienāds ar ūdenstilpnes līmeni•Uz apgabala sānu robežām, kur ir zināms h (starp apgabalu savienojamība)•h=z uz gruntsūdeņu virsmas. Gruntsūdens virsma pirms aprēķiniem nav zināma un pati ir iegūstama aprēķinu gaitā.

Robežnosac ījumu veidi

2.veida robežnosacījumi – uzdota filtrācijas plūsma (q).

Tipiski pielietojumi:•necaurlaidīga robeža•ūdensbilance uz virsmas (infiltrācija=nokrišņi – iztvaikošana – notece)

Ūdens tilpuma avoti

Filtrācijas vienādojumā iespējams ņemt vērā arī iekšējos ūdens avotus. Piemēram, ja plūsmu ūdensguves urbuma apkārtnē modelē neizšķirot procesus urbuma tiešātuvumā, tad urbuma ietekme uz filtrācijas plūsmu var tikt uzdota kā ūdensbilances vienādojuma komponente (tilpuma avots/notece). Ja jāaprēķina filtrācijas procesi tiešā urbuma tuvumā (mērogos, kas samērojami ar urbuma filtra diametru), tad jāuzdod robežnosacījumi uz urbuma filtra malām (2.veida robežnosacījumi – uzdota plūsma)

Tilpuma avotus filtrācijas vienādojumā raksturo ar avotu tilpuma blīvumu (caurplūdums laika vienība uz tilpuma vienību, piem. m3/s/m3=1/s) qV. Negatīvs, ja ūdens daudzums pieaug, pozitīvs, ja samazinās (piem. atsūknē).

( ) Vs qhKt

hS +∇⋅∇=

∂∂

( ) VqhK −=∇⋅∇

Iekšējie robežnosac ījumi

Iekšējie robežnosacījumi ir papildus nosacījumi, aprēķinu apgabala iekšienē. Tos parasti jāpielieto, ja apgabalā ir plūsmu ietekmējoši elementi, kuru izmērs ir mazs, salīdzinot ar diskretizācijas izmēru.

Ūdensieguves urbumi. Jāuzdod debits un/vai līmenis. Uzdodot debitu, rupjas diskretizācijas gadījumā līmenis šūnā nesakritīs ar līmeni urbumā. Lai to aprēķinātu vajadzīga pēcapstrāde, vai arī jālieto speciāla tipa robežnosacījumi

Drenāža. Drenāžu uzdod kā iekšējo tilpuma noteci, kuras debits atkarīgs no PZŪL. Qdr=Cd(h-hdr), Qdr=0, ja h<hdr. Ja diskretizācija ir pietiekama, drenās uzdodams 1.veida robežnosacījums - līmenis

Ūdenstilpnes. Ja ūdenstilpnes laukums ir mazs salīdzinot ar virsmas diskretizācijas elementa laukumu, tad robežnosacījums ir analogs drenāžās nosacījumam ar iespēju pazemes ūdeņiem gan baroties no ūdenstilpnes gan atslogoties tajā. Pietiekamas diskretizācijas gadījumā uz ūdenstilpnes gultnes uzdod 1.veida robežnosacījumus.

Robežnosac ījumu veidi

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

Z, m

36384042444648505254565860626466687072

Piezom

etric head [m]

Uzdots h

Necaurlaidība

Brīvā virsma h=z ir aprēķinu rezultāts

1. Izvēlas modelējamo apgabalu.

2. Apgabalu diskretizē – sadala galīgos tilpumos (elementos).

3. Tilpuma elementiem piekārto materiālus (izveido ģeoloģisko struktūru)

4. Katram galīgajam elementam raksta ūdens saglabāšanās vienādojumu.

5. Uz visām apgabala robežām uzdod robežnosacījumus.

6. Pp.4-5 vienādojumus apvieno vienādojumu sistēmā, kuru atrisina.

7. P.6 rezultātā visos apgabala punktos ir noteikts h(x,y,z) stacionāram vai h(x,y,z,t) nestacionāram gadījumam. Ja nepieciešams, no h lauka pēc Darsī likuma aprēķina qx, qy, qz.

8. Kalibrācijas gaitā salīdzina modeļa atrisinājumu ar mērījumiem novērojumu punktos, maina modeļa brīvos parametrus, līdz iegūst iespējami labāko sakritību

9. Ar kalibrēto modeli veic modeļscenāriju aprēķinus

Skaitlisk ās model ēšanas algoritms

Filtr ācijas vien ādojumu skaitlisk ā atrisin āšanaTikai ļoti ierobežotā skaitā gadījumu filtrācijas vienādojumus var atrisināt analītiski – iegūt algebrisku funkcionālu sakarību h=h(x,y,z,t)

Tādēļ lielākajā daļā praktisko pielietojumu filtrācijas vienādojumi jārisina skaitliski. Tas nozīmē, ka funkcionālas sakarības vietā, iegūstam skaitliskas h vērtības noteiktos punktos aprēķinu apgabalā (xi,yi,zi) un noteiktos laikos (t(n)).

Pārējos punktos un laikos atrisinājums iegūstams no iegūtajām skaitliskajām vērtībām ar interpolācijas palīdzību.

Punktu kopas, kurā tiks noteikts h atrisinājums, iegūšanas metodi sauksim par apgabala telpisko diskretizāciju.

Analogi, laika momentu izvēli, sauksim par diskretizāciju laikā.

Metodi, ar kuru filtrācijas vienādojums tiek tuvināti aprakstīts to diskretizējot laikā un telpā sauksim par vienādojumu atrisināšanas skaitlisko metodi.Skaitliskā metode parasti ietver arī interpolācijas metodi atrisinājuma iegūšanai ārpus diskretizācijas punktiem.

Skaitliskais atrisinājums apraksta filtrācijas vienādojumu tuvināti. Skaitliskāatrisinājuma precizitāte ir atkarīga no daudziem faktoriem – diskretizācijas izvēles, skaitliskās metode izvēles utml.

Telpisk ā diskretiz ācijaTelpisko diskretizāciju veido sadalot aprēķinu apgabalu nepārklājošos telpiskos objektos.

Parasti izmanto relatīvi vienkāršus 3D objektus – paralēlskaldņus, prizmas, tetraedrus utml.

Nosacīti diskretizāciju var iedalīt regulārā un neregulārā. Regulāru diskretizāciju tehniski ir vienkāršāk iegūt, neregulāra disretizācija ļauj daudz precīzāk aprakstīt aprēķinu apgabala robežas

Telpisk ā diskretiz ācija

Lai sasmalcinātu regulāru režģi ap noteiktu apgabalu ar strukturētu, smalcināšana jāveic pa katru no asīm visā apgabalā

Nestrukturēti režģi labāk pielāgojas objekta formai un ir vieglāk pielāgojami pārejai no rupjākas diskretizācijas uz smalkāku

Telpisk ā diskretiz ācijaAtkarībā no skaitliskās metodes izvēles atkarīgs kādam objektam tiks sastādīta ūdens bilance.

Galīgo tilpumu metodes būtība ir sastādīt bilanci diskretizācijas objektos. Katrāobjektā būs sava h vērtība. Galīgo differenču metode ir galīgo tilpumu metodes apakšgadījums, ja diskretizācijas objekti ir taisnstūra paralēlskaldņi.

Galīgo elementu metodē h ir definēts diskretizācijas elementu mezglu punktos, bilances vienādojums tiek sastādīts visiem objektiem, kas satur doto punktu. Līdz ar to bilance tiek sastādītā pārklājošos apgabalos. Katra apgabala iekšienēh mainās atbilstoši bāzes funkcijām, kuras vienkāršākā gadījumā ir lineāras (1 –konkrētā apgabala centrālajā punktā, 0 – visos pārējos).

Diskr ēta vien ādojuma sast ādīšana (piemērs – galīgās diferences)

h(i,j,k+1)

h(i,j+1,k)

h(i,j,k)

qx(i+1/2,j,k)

qz(i,j,k+1/2)

h(i+1,j,k)

qy(i,j+1/2,k)

x(i) y(j)

z(k) Aplūkosim ūdensbilanci kubveida elementam.

Numurēsim elementus pa x,y un z asi, izmantojot attiecīgi indeksus i,j un k

Sastādīsim ūdens bilanci elementam (i,j,k)

Diskr ēta vien ādojuma sast ādīšana (piemērs – galīgās diferences)

h definēsim elementa centrā, bet plūsmas q uz elementa skaldnēm (indeksi ar daļskaitli ½).

njizz

nkiyy

nkjxx

kjinn

s

tyxkjiqkjiq

tzxkjiqkjiq

tzykjiqkjiq

zyxkjihkjihkjiS

∆∆∆+−−

+∆∆∆+−−

+∆∆∆+−−

=∆∆∆−+

))2/1,,()2/1,,((

)),2/1,(),2/1,((

)),,2/1(),,2/1((

)),,(),,()(,,( )()1(

Atbilstoši Darsī likumam definēsim qx sekojoši (qy un qz analoģiski):

2

),,1(),,(),,2/1(

),,1(),,(),,2/1(),,2/1(

2

),,(),,1(),,2/1(

),,(),,1(),,2/1(),,2/1(

12/1

12/1

−−

++

∆+∆−−

−−=∆

−−−−=−

∆+∆−+

+−=∆

−++−=+

iiix

iiix

xxkjihkjih

kjiKx

kjihkjihkjiKkjiq

xxkjihkjih

kjiKx

kjihkjihkjiKkjiq

Diskr ēta vien ādojuma sast ādīšana

iii

iii

iii

iii

iii

iii

n

nn

s

zzz

kjihkjihkjiK

zzz

kjihkjihkjiK

yyy

kjihkjihkjiK

yyy

kjihkjihkjiK

xxx

kjihkjihkjiK

xxx

kjihkjihkjiK

t

kjihkjihkjiS

∆∆+∆

−−−−

∆∆+∆−+

+

∆∆+∆

−−−−

∆∆+∆−+

+

+∆

∆+∆−−

−−∆

∆+∆−+

+

=∆

−

−+

−+

−+

+

2

)1,,(),,()2/1,,(

2

),,()1,,()2/1,,(

2

),1,(),,(),2/1,(

2

),,(),1,(),2/1,(

2

),,1(),,(),,2/1()

2

),,(),,1(),,2/1(

)),,(),,((),,(

11

11

11

)()1(

Lai aprēķinātu h vērtības nākošajā laika solī (n+1) režģa šūnā h(i,j,k) jāzin tāvērtības iepriekšējā laika solī (n), kā arī h vērtības visās (6) blakus šūnās –h(i+1,j,k), h(i-1,j,k), h(i,j+1,k), h(i, j-1,k), h(i,j,k+1) un h(i,j,k-1)

Ja šūna atrodas uz robežas, tad otrpus robežas tai nav kaimiņa – šeit h vērtības kaimiņu šūnā tiek aizstātas ar robežnosacījumiem (dažādā veidāatkarībā no robežnosacījumu tipa)

Diskr ēta vien ādojuma sast ādīšana

Ja diskrētā vienādojuma labajā pusē visi h tiek ņemti no laika soļa (n), tad šādu diskrētā vienādojuma atrisināšanas metodi sauc par pilnība atklātu shēmu. Tas priekšrocība ir tā, ka h var tikt aprēķināts katrā punktā neatkarīgi (līdz ar to ātri), tomēr šādā gadījumā metode ir nestabila lieliem laika soļiem. Nestabilitāte nozīme, ka aprēķinot katru nākošo laika soli aprēķinu kļūdas summējas un gala rezultātā iegūstam “nederīgu” rezultātu

Shēma, kurā diskrētā vienādojuma labajā pusē visi h tiek ņemti no laika soļa (n+1) tiek saukta par pilnībā slēptu. Tas nozīmē, ka katrs h nevar tikt aprēķināts neatkarīgi no citiem. Lai iegūtu atrisinājumu katrā laika solī, šajāgadījumā jāatrisina lineāru algebrisku vienādojumu sistēma. Šāda shēma ir stabila.

Diskrēto vienādojumu atrisināšanai stacionāra gadījumā (diskrētā vienādojuma kreisā puse vienāda ar nulli) jebkurā gadījumā jārisina lineāru algebrisku vienādojumu sistēma

Lineāru algebrisku vienādojumu sistēmu atrisināšanā izšķir tiešās un iteratīvās metodes.

Lineāru algebrisku vien ādojumu sist ēmas atrisin āšanaŠāda sistēma tiek aprakstīta ar matricu vienādojumu. Matricā ir uzdota “saistība”starp h vērtībām dažādos punktos, matrica ir izkliedēta, jo saistība ir tikai starp tuvākajiem kaimiņiem. Vienādojuma atrisinājums ir vektors (masīvs) h.

=hRHS

Diskr ēta vien ādojuma sast ādīšanaSastādītajiem diskrētajos vienādojumos filtrācijas koeficientu vērtības ir uzdotas “pussolī” starp PZŪL vērtībām. Līdz ar to, ja K ir uzdots šūnās ir vajadzīga metode, kā iegūt K pussolī. Savukārt Ss ir uzdots turpat kur h.

Diskretizācijas metožu atšķirības var būt arī pēc tā, kādā veidā attiecībā pret režģa šūnām ir novietoti K, Ss un h, un, kādā veidā informācija par tiem tiek pārnesta uz diskrēto vienādojumu.

•h var būt uzdots režģa punktos, bet K un Ss var būt uzdots diskretizācijas elementos•h, K un Ss var būt uzdots elementos

h

K1

K2

K1

K2 h

h

h

h

Kā noteikt Keff, “pārteces koeficients”, izlaists sprostslānis?

Kā noteikt Ss eff, “Vidējotais”, efektīvais? Nav būtiski stacionārā gadījumā

Galīgo diferen ču metodes shematiz ācija

Attēli no MODFLOW apraksta

Galīgo elementu metodes shematiz ācija

h

Element ārāšūna (blakus šūnas pārklājas)

K

Galīgo elementu metodes shematiz ācija

h

Element ārāšūna ( blakus šūnas pārklājas)

K

Ģeoloģisko strukt ūru diskretiz āciju sal īdzinājums

Uzdotā slāņu struktūra

Ģeoloģisko strukt ūru diskretiz āciju sal īdzinājums

Diskretizācija ar vienādu slāņu skaitu. Daudz “lieku” slāņu, neprecīza diskretizācija slāņu izbeigšanās vietās

Ģeoloģisko strukt ūru diskretiz āciju sal īdzinājums

Diskretizācija ar vienādu neregulāriem elementiem

Ģeoloģisko strukt ūru diskretiz āciju sal īdzinājums

Mode ļa kalibr ācijaKalibrācija – nezināmo (nenoteikto) modeļa parametru noteikšana, lai aprēķinu rezultāti sakristu ar novērojumiem dabā.

1. Ģeoloģiskā struktūra – nenoteiktība materiālu telpiskajā izplatībā un robežās.

2. Materiālu īpašības – nenoteiktība filtrācijas koeficienta vērtībās.

3. Robežnosacījumi – nenoteiktība nosacījumos uz (it sevišķi dziļajām) apgabala robežām.

Kompleksā modelī ir daudz brīvības pakāpju un kalibrācija parasti nav viennozīmīga. Kalibrēts modelis sniedz LABĀKO iespējamo, nevis patieso priekšstatu par modelējamo objektu.

Laba prakse ir ierobežot brīvības pakāpju skaitu, jo gadījumā, ja ir iespēja patvaļīgi mainīt materiāla īpašības katrā elementā vai robežnosacījumus, var nokalibrēt gandrīz jebkuru modeli.

Mode ļa kalibr ācijaLai skaitliski formāli novērtētu kalibrācijas precizitāti, jāievieš skaitliski izmērāms lielums. Šādā novērtējumā jāiekļauj pieejamā informācija par novērotajiem PZŪL un caurplūdumiem (ja tie ir aprēķināmie parametri)

∑=

−N

iiaprmer hh

N 1)(

1 Vidējā novirze – galvenokārt raksturo, vai modeļa aprēķinātās PZŪL vērtības vidēji sakrīt ar novērotajām

∑=

−N

iiaprmer hh

N 1

2)(1

Vidējā kvadratiskā novirze –raksturo, vai modeļa aprēķinātās PZŪL vērtības sakrīt ar novērotajām katrā no vietām

Ja modeļa aprēķini visos novērojumu punktos sakrīt ar novērojumiem, tad šie kritēriji vienādi ar 0.

Kritērija izvēle un kritērija skaitliskā vērtība jāuztver ar apdomu, jo [apzināti] mainot specifiskā veidā materiālu īpašības, var panākt gandrīz ideālu kalibrāciju katrā no novērojumu punktiem (piem. pievadot vajadzīgā materiāla “plaisas” vai “caurules”)

Mode ļa verifik ācijaVerifikācija – kalibrēta modeļa pārbaude, salīdzinot aprēķinu rezultātus ar kalibrācijā neizmantotiem novērojumiem dabā.

Verifikācijas soļa veikšana ir obligāts iekšējās modeļa pārbaudes etaps, taču pēc tā izdarīšanas ir lietderīgi pārkalibrēt modeli, izmantojot VISUS pieejamos novērojumu datus, lai samazinātu objektīvo kalibrācijas parametru nenoteiktību.

Modeļa verifikācija tā ekspluatācijas laikā tiek veikta ar jauniem novērojumiem dabā.