Upload
rafael-cotrina-castaneda
View
58
Download
1
Tags:
Embed Size (px)
Citation preview
Modelamiento de Sistemas Dinamicos Dr. Jorge A. Olórtegui Yume, Ph.D.
Lecture No 6
Escuela Académico Profesional de Ingeniería Mecánica
Universidad Privada Cesar Vallejo
MODELADO DE ELEMENTOS TIPO RESORTE
(Continuacion)
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D.
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 2 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES NO LINEALES
RESORTE LINEAL (Ley de Hooke)
Relación funcional entre Fuerza y Deformación distinta a la Ley de Hooke
RESORTE NO LINEAL
F = kx
Comportamiento
Lineal - F = kx
Comportamiento
No Lineal Zona en que se
puede linealizar
el resorte no lineal
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 3 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES NO LINEALES Ejemplo
Solución
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 4 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES NO LINEALES Solución
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 5 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES NO LINEALES Solución
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 6 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES NO LINEALES Ejemplo
Solución
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 7 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES NO LINEALES Solución
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 8 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
RESORTES IDEALES Y REALES MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE
• No tiene masa • No posee propiedades de amortiguamiento • Puede aproximar a un resorte real cuando su masa es despreciable
frente a la masa del cuerpo/sistema conectado
Equation of Motion
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 9 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE
Equation of Motion
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 10 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE
Dr. Jorge A. Olortegui Yume, Ph.D. 11 Mod. Sist. Mec. de Solidos Rigidos
MODELADO DE SISTEMAS MASA RESORTE
12
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
•Initially disturbed, then allowed to vibrate freely
•Damping is neglected, i.e. no friction, no dashpots, thus energy preserved
13
•Initially disturbed, then allowed to vibrate freely
•Damping is neglected, i.e. no friction, no dashpots, thus energy preserved
The mass-spring system m: mass – “Inertia” (kg)
a) Define SEP & (+)x displacement
SEP
x
b) Draw FBD @ (+)x displacement
c) Apply Dynamics (Newton’s 2nd law)
k: spring constant – “Stiffness” (N/m)
mgW
kxFs
W: weight (N)
Fs: Spring force (N)
xmF
xmkxxmFs
Fs opposed to “x”
Force
Force
0
kxxm EOM: Eq. Of Motion
d) Solve EOM Gen. solution or Response tXtx nsin
m
kn ωn: Natural Freq. (rad/s)
X: Amplitude (m)
: Phase (rad)
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
14
The mass-spring system (cont´d)
Solution to EOM
0
kxxm2nd order, Linear, Homogeneous, Ordinary Diff. equation
tXtx sin
Trial solution
tXtx cos
tXtx sin2
Mapping into EOM
0sinsin2 tXktXm
0sin 2 kmtX
0sin 2 mktX
0
,...2,1,0,0sin
00
2mk
relevantnotnntt
solutiontrivialtxX
m
k2
i.e.,
tXtx sin
Is a solution to EOM
if
m
k2
m
kn
Frecuencia Natural (rad/s)
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
15
The mass-spring system
Solution to EOM (cont´d)
0
kxxm tXtx nsin
One solution is
Superposition principle for linear, ordinary differential equations
Another solution is
tXtx ncos
tCtCtx nn cossin 21 General solution to
EOM (1st form)
Transforming
t
CC
Ct
CC
CCCtx nn cossin
2
2
2
1
2
2
2
2
1
12
2
2
1
ttXtx nn cossinsincos
tXtx nsinGeneral solution to
EOM (2nd form)
2
2
2
1 CCX
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
16
The mass-spring system
Solution to EOM (cont´d)
0
kxxm
tXtx nsin
In general, the following are all solutions or responses to the EOM
tXtx ncos
tCtCtx nn cossin 21
tXtx nsin
tXtx ncossen :
rad/sen :
men :C,C
men :X
men :x
(S.I.) System Unit nalInternatio
n
21
t
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
17
Observations
i) 2 ways of expressing the EOM
0
kxxm
00011
2
xm
kxx
m
kx
mkxxm
m
02
xx nStandard form of the EOM
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
18
Observations
ii) 2 ways of expressing the EOM solution 02
xx n
tXtx nsin tCtCtx nn cossin 21
C1, C2: Constants X, : Constants
Apply IC’s (i.e., t=0) to find constants in both cases. Assuming:
EOM Sol’n EOM Sol’n
oo vxxx
0;0
sin0sin0 XxXx on
X
xo1sin
tXtx nn cos
cos0cos0 nonn XvXx
cosn
ovX
0cos0sin0 21 nn CCx
2Cxo
tCtCtx nnnn sincos 21
0sin0cos0 21 nnnn CCx
no Cv 1n
ovC
1
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
19
Special case Vertical mass-spring system a) Define SEP & (+)y displacement
SEP +y
b) Draw FBD @ (+) y position
y c) Apply Dynamics
ymF
ymkyymFs
0
kyym EOM
d) Solve EOM
Response tYty nsin
m
kn
ωn: Natural Freq. (rad/s)
Y: Amplitude (m) : Phase (rad)
No need to draw W=mg if:
•“y” measured From SEP
•“mg” is not restoring force
Static offset (dst) “ωn” experimentally
From Statics
00 mgkF std
st
g
m
k
dst
n
g
d
FBD @ SEP
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
20
Plots, Period and Frequency
SEP +y y
tYty nsin
A=10mm
t=6 s
Period (t) Time between 2 correspondent points
tt 2sinsinsinsin tttYtYty nnnnnt 2n
n
t
2 s.en :t s6
3/
2
tsradn /
39
2
kgm
mNk
9
/2
Frequency (f) No. of oscillations per unit time
2nf (Hertz). Hzns/soscillatioen : f t
1f Hz
sf 167.0
6
1
Example:
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
21
Plots, Period and Frequency tYty nsin
y
Y
Y
t Ysin
m
kn
n
t
2
t n
t
sin0 Yy
t
1f fn 2
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
22
Brief Review on Dynamics For particle systems, rigid bodies of constant mass, and plane motion
1F 2F
3Fcr
1r
RFca
CMRi amFF
PPRiii IMFxrM
P
Resultant Force of external forces (N)
Resultant Moment of external forces (N.m)
Absolute acceleration of “C.M.” (m/s2)
Mass moment of Inertia about “P” (kg.m2)
Angular acceleration of rigid body (rad/s2)
Mass of rigid body (kg)
RF
CMCM ra
m
PRM
PI
NOTE: “P” must be:
•C.M.
•Fixed point
( & ) 0v 0a
Paralell axis theorem
known CMI
2mdII CMP
Example: Concentrated mass
2mdII CMP
0
2mdIP
Kinematics of rolling
rxa
rxv
rxs
(rad/s2)
(rad/s)
(rad)
a
v
x
(m/s2)
(m/s)
(m)
)(mr
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
23
Example
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
24
Example
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
25
Example VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
26
Example VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
27
Example: (Simple pendulum) Derive the EOM for the oscillating mass. Determine also the EOM general solution and natural frequency
a) SEP & (+) Solution:
b) FBD @ arb. pos.
SEP
I=
Kinematics diagram
c) EOM - Dynamics
AA IM
2sin0 mLLWT
2sin mLLmg
0sin2
mgLmL
0
eqeq km
Some non-linear ODEs have explicit solns.
EOM
c) EOM Solution
Aeq ImLm 2 mgLkeq
Non-linear ODE, 2nd Order, Homogeneous
t
Small “θ”, Non-linearLinear (Linearization)
EOM sin 02
mgLmL
Series soln. for
Take series 1st term OR solve as before
tt nsin
View as
: Angular amplitude (rad)
Response to EOM
eq
eq
nm
k
L
gn
srad
m
sm
n
n
/429.4
5.0
/81.9 2
VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS DE 1 GDL
28
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL
~~~~~0
xKxM
EDM
•Mas facil de analizar
•Base para sistemas mas complejos de 2-GDL
Hallar Frecuencias Naturales y Modos Normales
00
000~~
C ~~0
0
0
tF
Resolver EDM
22
2
211
1
1
2
1
~sin
1sin
1
tCtC
tx
txtx
22
11
1,
1
22
~
11
~
uu
Soln. de EDM (Respuesta )
C1, C2 , 1, 2 obtenidas de CI´s
METODO: Analisis de Formas de Modos Normales
2
1
~ 0
0
m
mM
22
221
~ kk
kkkK
EJEMPLO TEORICO
1, 2 :Frec. naturales
1, 2 :Eigenvalores
u(1), u (2): Modos Normales
1, 2: Const. de Normalizacion
29
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.
SOLUCION
• PASO 4: Aplicar CI’s para determinar C1, C2,1, 2
•PASO 1: Determinar EDM (i.e., Matrices “M” y “K”)
•PASO 2: Determinar Frecuencias Naturales & Formas Modales
(i.e., Eigenvalores/Eigenvectores)
• PASO 3: Soluc.=Combin. Lineal Modos Normales de Oscilac.
•PASO 1: Determinar EDM
PES, Aplicar desplazam. (+), “foto”, DCL
Dinámica
Definir Sistema de Ecuaciones
Expresar en forma matricial
1121211
xmxxkxk
22212
xmxxk
02212111
xkxkkxm
0221222
xkxkxm
11 xmF
22 xmF
00 22121211
xkxkkxxm
00 2212221
xkxkxmx
0
0
0
0
2
1
22
221
2
1
2
1
x
x
kk
kkk
x
x
m
m
~~~~~0
xKxMEDM
2
1
~ 0
0
m
mM
22
221
~ kk
kkkK
Para “m1”
For “m2”
Asumir
21 xx
EDM
1
1
Matrices de Masa(M) & Rigidez (K)
30
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.
•PASO 2: Determinar Frecuencias Naturales & Formas Modales
~~~~~0
xKxMEDM
Soluc. Tentativa (Mov. Síncrono)
tutx sin~~
t
A
A
tx
txsin
2
1
2
1
tutx
tutx
sin
cos
~
2
~
~~
Reempl. en EDM
xxx ,,
~~~~
2
~0sinsin tuKtuM
~~~
2
~0sin tuMK
...3,2,1;0sin nntt
No es relevante
~~~
2
~0 uMK “Problema de Eigenvalor”
Obtener ,~u
~~~000 u Soluc. Trivial
~
2
~MK Singular 0
~ u Soluc. No-trivial
0det~
2
~ MK
00
0det
2
1
22
221
m
m
kk
kkk
2
0det
222
2121
mkk
kmkk
~
2
~MK Singular
Sea
Obtener soluc. a EDM
02112221
2
21 kkmkmkkmm
“Ecuación Caracteristica”
Salida 2
22
2
11
ó
31
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.
•PASO 2: Determinar Frecuencias Naturales & Formas Modales (cont.)
2
22
Conocidas ω1, ω2 , reempl. en Problema de Eigenvalor” p´hallar formas modales
2
11 ~~
1
~1
~0uMK
~~
2
~2
~0uMK
0
0
1
2
1
2122
21121
1
A
A
mkk
kmkk
1121
2
1
2
1
11
22
1
11121 0mkk
k
A
AAkAmkk
2
212
1
2
1
11
2212
1
12 0k
mk
A
AAmkAk
1
2
212
1121
2
1
2
1
1
k
mk
mkk
k
A
A
1
11
21
2
1
11
~
A
A
Au
1
11
~
u
FORMA DE MODO NORMAL “1” (Eigenvector “1”)
Tomar 11
2 A
2
2
222
1221
2
2
2
2
1
k
mk
mkk
k
A
A
1
22
22
2
2
12
~
A
A
Au
1
22
~
u
12
2 A
Repetir procedim.
Mismo valor cuando “1” reempl.
Cociente de Amplitudes
Cociente de Amplitudes
i.e., Normalizar r.d. 1
2A
FORMA DE MODO NORMAL “2” (Eigenvector “2”)
Tomar i.e., Normalizar r.d. 2
2A
32
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.
• PASO 2 : Determinar Frecuencias Naturalesy Formas Modales (cont.)
1
11
~
u
FORMA DE MODO NORMAL “1” (Eigenvector “1”)
1
22
~
u
FORMA DE MODO NORMAL “2” (Eigenvector “2”)
11
1
11
1
~
1
2
1sin
1sin
ttutx
tx
22
2
22
2
~
2
2
1sin
1sin
ttutx
tx
Modo Normal de oscilacion “1”
Modo Normal de oscilation “2”
tutx sin~~
Recordar:
Soln. tentativa
33
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.
2
22
2
11
1
11
~
ucon
1
22
~
u
• PASO 3: Solucion General = Combinacion Lineal de modos normales de oscilacion
22
2
~211
1
~1
2
1
~sinsin
tuCtuC
tx
txtx
EDM tutx sin~~
~~~
2
~0uMK
Ó
t
A
A
tx
txsin
2
1
2
1
Soln. tentativa llevo a:
con
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
~
tx
txC
tx
txC
tx
txtx
11
1
1
2
1sin
1
ttx
tx
22
2
2
2
1sin
1
ttx
tx
Combinación Lineal de modos normales de oscilación
22
2
211
1
1
2
1
~sin
1sin
1
tCtC
tx
txtxSolución General p´ EDM
11
22
Frec. Naturales Formas de Modo Normales
Modos Normales de Oscilación
Recordar Soln. Tentativa
~~~~~0
xKxM
34
VIBRACIONES MECANICAS LIBRES Y SIN AMORTIGUAMIENTO DE 2GDL – METODO DE SOLUC.
22
2
211
1
1
2
1
~sin
1sin
1
tCtC
tx
txtx
Solucion General p´EDM (ω1, ω2, 1, 2 conocidos de PASOS previos)
EDM ~~~~~0
xKxM Definir CI’s :
2
1
2
1
~ 0
00
o
o
x
x
x
xx
2
1
2
1
2
1
~0
00
o
o
o
o
v
v
x
x
x
xx
0~
x
Aplicar: 0~x
22
2
211
1
1
2
1
~0sin
10sin
10
CC
x
xx
o
o
2121 ,,, oooo vvxx Son valores conocidos
22112
2221111
sinsin
sinsin
CCx
CCx
o
o
•PASO 4: Aplicar CI’s p´ determinar C1, C2,1, 2, esto es, hallar Solución Particular
22
2
2211
1
11
2
1
~cos
1cos
1
tCtC
tx
txtx
Aplicar:
22
2
2211
1
11
2
1
~0cos
10cos
10
CC
v
vx
o
o
2221112
222211111
coscos
coscos
CCv
CCv
o
o
Resolver sistema de 4 ecuaciones
(Caso mas complejo)
Vectores Desplazamiento y Velocidad inicial
35
EJEMPLO: Dado el siguiente sistema vibratorio de 2 grados de libertad,
determinar:
(a) Su Ecuación de Movimento (EDM)
(b) Sus frecuencias naturales
(c) Sus modos normales de vibración
(d) Su respuesta en forma general
(e) Su respuesta para las siguientes condiciones iniciales:
0
00;
00 x
Ax
36
SOLUCION
37
EJEMPLO: Considerar el siguiente sistema de 2-GDL. (a) Las frecuencias naturales del sistema (b) Los modos normales de vibración
(c) Su respuesta en forma general
(d) Su respuesta para las siguientes condiciones iniciales:
m=1 kg y k=1 N/m
0
03
40
0
2
1
2
1
x
x
kk
kk
x
x
m
m
0
00;
00 x
Ax
38
EJEMPLO: La vibración torsional del ala de un avión se modela mediante dos ejes y dos discos a) Halle las ecuaciones de movimiento identificando , y b) Verificar que la 2da forma de modo normal y su frecuencia natural correspondiente son:
1
593.02
~u
22
2 /1186.3 sJ
k
~M
~K
Nota: J1 y J2 son los momentos de inercia másico de las ruedas y k1, k2 son las constantes torsionales elásticas
39
EJEMPLO: