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الجمـھوریــة الجزائریــة الدیمقراطیــة الشعبیــةREPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
……………………………………………………………………….………………………………………………………………
N° d’ordre : ….
Série : ….
Mémoire
Présenté en vue de l’obtention du Diplôme de Master en Electrotechnique
Option
Electrotechnique
Thème
ETUDE DE LA STABILITE TRANSITOIRE DES
RESEAUX ELECTRIQUES Présenté par: BOUNOUIRA ADLANE Encadreur: DR. BOUCHEKARA HOUSSEM
Promotion 2013/2014
MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA
RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE CONSTANTINE I
FACULTE DES SCIENCES DE LA
TECHNOLOGIE DÉPARTEMENT : ELECTROTECHNIQUE
يـث العلمــي و البحــم العالــوزارة التعلی
1 ةـــــــــة قسنطینـــــــجامع
كلـیــة علوم التكنولوجیا
يالكتروتقن: قسم
REMERCIEMENTS
Remerciements
Mes remerciements chaleureux, vont à mon directeur de mémoire Dr. Houssem
BOUCHEKARA, pour son aide, son orientation judicieuse et sa disponibilité, aussi pour la
confiance, la patience et la compréhension qu’il m’a toujours poussé.
Je tiens également à remercier les membres de jury pour l’honneur qu’il me fait d’examiner
ce mémoire.
A travers ce mémoire, j’adresse mes reconnaissances à tous mes enseignants qui ont
contribué à ma formation depuis la première classe de primaire jusqu’à aujourd’hui, ainsi qu’à
tous mes amis et, qui m’ont soutenu directement ou indirectement à la réalisation de ce travail.
Enfin, je ne peux oublier mon cher père, mon cher frère Abdelgani, mes chères sœurs, qui
m’ont beaucoup aidé par leurs compréhensions, leurs sacrifices et leurs patiences, sans lesquels ce
travail n’aurait jamais vu le jour.
Constantine, le : 24 / 06 /2014
Adlane BOUNOUIRA.
DEDICACE
Dédicace À la mémoire de ma très chère mère.
À mon cher père.
À mes chers frères et chères sœurs chacun à son nom.
À toutes ma famille.
À toutes mes amis.
Je dédie ce travail.
Adlane BOUNOUIRA
TABLE DES MATIERES
TABLE DES MATIERES
INTRODUCTION GENERALE ................................................................................................... 1
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART .................................................................................................. 2
1.1 INTRODUCTION ................................................................................................................. 2
1.2 DEFINITION DE LA STABILITE D’UN RESEAU ELECTRIQUE ............................................................. 2
1.3 CLASSIFICATION DE LA STABILITE DES RESEAUX ELECTRIQUE ........................................................ 2
1.3.1 Stabilité De L’angle Du Rotor (Angulaire) ............................................................... 3
1.3.2 Stabilité De Fréquence ........................................................................................... 4
1.3.3 Stabilité De Tension ............................................................................................... 4
1.4 POSITION DU PROBLEME DE LA STABILITE TRANSITOIRE ............................................................. 4
1.4.1 Les Phénomènes Transitoires Électromécaniques ................................................... 4
1.4.2 Les Phénomènes Transitoires Électromagnétiques ................................................. 4
1.5 BUT DE LA STABILITE TRANSITOIRE ........................................................................................ 5
1.6 METHODES D'EVALUATION DE LA STABILITE TRANSITOIRE ........................................................... 6
1.6.1 Méthodes D'Intégration Numérique (Méthodes Classiques) ................................... 6
1.6.2 Méthodes Energétiques ......................................................................................... 7
1.6.3 L’apprentissage Automatique AA ........................................................................... 8
1.6.4 Méthodes Hybrides ................................................................................................ 8
1.7 CONCLUSION .................................................................................................................... 8
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES ................................................... 9
2.1 INTRODUCTION ................................................................................................................. 9
2.2 LES COMPOSANTS D’UN RESEAU ÉLECTRIQUE .......................................................................... 9
2.2.1 Les générateurs ..................................................................................................... 9
2.3 LES LIGNES DE TRANSMISSION .............................................................................................. 9
2.4 LES TRANSFORMATIONS DE PUISSANCE .................................................................................. 9
2.5 LES CHARGES.................................................................................................................. 10
2.6 LA MATRICE ADMITTANCE ................................................................................................. 10
2.6.1 La Matrice D’admittance Du Réseau Avant Défaut .............................................. 11
2.6.2 La Matrice D’admittance Du Réseau Pendant Défaut ........................................... 11
2.6.3 La Matrice D’admittance Du Réseau Après Défaut ............................................... 11
2.6.4 La Formulation De La Matrice D’admittance ........................................................ 11
2.6.5 Réduction de Kron................................................................................................ 13
2.7 L’ÉCOULEMENT DE PUISSANCE ........................................................................................... 13
2.7.1 Types De Bus Dans Les Réseaux Electriques ......................................................... 13
2.7.2 Formulation De L’écoulement De Puissance ......................................................... 14
2.7.3 La Résolution Des Systèmes D’équations .............................................................. 15
2.7.4 Techniques (Méthodes Numériques) Itératives De Résolution .............................. 15
2.7.5 Méthode De Newton-Raphson ............................................................................. 15
2.8 LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES .................................................................. 18
1.1.1 La Méthode De Runge Kutta ............................................................................... 18
2.9 CONCLUSION .................................................................................................................. 19
TABLE DES MATIERES
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE........................ 20
3.1 INTRODUCTION ............................................................................................................... 20
3.2 HYPOTHESES DU MODELE CLASSIQUE .................................................................................. 20
3.3 ÉQUATION D’OSCILLATION DU ROTOR D’UN GENERATEUR ........................................................ 20
3.4 MODELE CLASSIQUE DE LA MACHINE SYNCHRONE .................................................................. 23
3.5 LE MODELE CLASSIQUE D’UN RESEAU A MULTI-MACHINES ...................................................... 24
3.6 RESOLUTION DES EQUATIONS DE MOUVEMENT DES MACHINES ................................................ 25
3.7 CONCLUSION .................................................................................................................. 25
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS ........................................................................ 26
4.1 INTRODUCTION ............................................................................................................... 26
4.2 STRUCTURE DE PROGRAMME DE SIMULATION ....................................................................... 26
4.3 CAS1 : RESEAU 3 GENERATEURS, 9 BARRES .......................................................................... 27
4.3.1 Résultats De Simulation ....................................................................................... 29
4.4 CAS 2 : 3 GENERATEURS, 6 BARRES ..................................................................................... 31
4.4.1 Résultats de simulation ........................................................................................ 33
4.5 CAS 3 :10 GENERATEURS, 39 BARRES .................................................................................. 35
4.5.1 résultats de simulation ........................................................................................ 39
4.6 CONCLUSION .................................................................................................................. 42
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES ......................................................................... 43
BIBLIOGRAPHIE ................................................................................................................... 44
TABLE DES TABLEAUX
TABLE DES FIGURES
FIGURE 1. 1 : CLASSIFICATION DE LA STABILITE DES RESEAUX ELECTRIQUES. ................................... 2 FIGURE 1. 2 : LES BUTS DE LA STABILITE TRANSITOIRE. .................................................................... 5 FIGURE 2. 1 : LE SCHEMA D’UN GENERATEUR. .................................................................................. 9 FIGURE 2. 2 : LE SCHEMA D’UNE LIGNE DE TRANSMISSION. ............................................................... 9 FIGURE 2. 3 : LE SCHEMA D’UN TRANSFORMATEUR ......................................................................... 10 FIGURE 2. 4 : LE SCHEMA D’UNE CHARGE....................................................................................... 10 FIGURE 2. 5 : MODELE Π D’UN TRANSFORMATEUR. ........................................................................ 10 FIGURE 2. 6 : MODELE Π D’UNE LIGNE DE TRANSMISSION............................................................... 10 FIGURE 2. 7 : MODELE Π D’UNE CHARGE. ...................................................................................... 11 FIGURE 3. 1 : MODELE CLASSIQUE D’UN GENERATEUR SYNCHRONE. ............................................... 23 FIGURE 3. 2 : MODELE SIMPLIFIE MACHINE SYNCHRONE. ................................................................ 23 FIGURE 3. 3 : SCHEMA D'UN GENERATEUR SYNCHRONE CONNECTE A UNE CHARGE INFINIE. ............. 23 FIGURE 3. 4 : SCHEMA EQUIVALENT. .............................................................................................. 23 FIGURE 4. 1 : LE PROGRAMME DEVELOPPE POUR L’ANALYSE DE LA STABILITE TRANSITOIRE DES
RESEAUX ELECTRIQUES ........................................................................................... 26 FIGURE 4. 2 : LES DIAGRAMMES DE LA REPONSE D’UN GENERATEUR SYNCHRONE AUX
PERTURBATIONS : 1- INSTABLE, 2- STABLE. .............................................................. 27 FIGURE 4. 3 : RESEAU 3 GENERATEURS, 9BARRES. .......................................................................... 28 FIGURE 4. 4 : LES DIFFERENCES D’ANGLES ENTRE LE SLACK BUS ET LES GENERATEURS 2 ET 3 POUR
UN TEMPS D’ELIMINATION DU DEFAUT DE 160 MS. .................................................... 30 FIGURE 4. 5 : LES DIFFERENCES D’ANGLES ENTRE LE SLACK BUS ET LES GENERATEURS 2 ET 3 POUR
UN TEMPS D’ELIMINATION DU DEFAUT DE 161 MS. .................................................... 31 FIGURE 4. 6 : RESEAU 3 GENERATEURS, 6 BARRES .......................................................................... 32 FIGURE 4. 7 : LES DIFFERENCES D’ANGLES ENTRE LE SLACK BUS ET LES GENERATEURS 2 ET 3 POUR
UN TEMPS D’ELIMINATION DU DEFAUT DE 449 MS. .................................................... 34 FIGURE 4. 8 : LES DIFFERENCES D’ANGLES ENTRE LE SLACK BUS ET LES GENERATEURS 2 ET 3 POUR
UN TEMPS D’ELIMINATION DU DEFAUT DE 450 MS. .................................................... 35 FIGURE 4. 9 : RESEAU 10 GENERATEURS, 39 BARRES « NEW ENGLAND ». ....................................... 36 FIGURE 4. 10 : LES DIFFERENCES D’ANGLES ENTRE LE SLACK BUS ET LES GENERATEURS 2 ET 3 POUR
UN TEMPS D’ELIMINATION DU DEFAUT DE 441 MS. .................................................... 41 FIGURE 4. 11 : LES DIFFERENCES D’ANGLES ENTRE LE SLACK BUS ET LES GENERATEURS 2 ET 3 POUR
UN TEMPS D’ELIMINATION DU DEFAUT DE 442 MS. .................................................... 41
TABLE DES TABLEAUX
TABLE DES TABLEAUX
TABLEAU 2. 1: LES TYPES DES BARRES DES RESEAUX ECLECTIQUES. ............................................... 14
TABLEAU 4. 1: LES DONNEES DES GENERATEURS. .......................................................................... 28 TABLEAU 4. 2: LES DONNEES DES BRANCHES. ................................................................................ 28 TABLEAU 4. 3: LES DONNEES DES LIGNES. ..................................................................................... 28 TABLEAU 4. 4: LES RESULTATS DE L’ECOULEMENT DE PUISSANCE POUR LE CAS 1........................... 29 TABLEAU 4. 5: LES CARACTERISTIQUES DES GENERATEURS POUR LE CAS 1. ................................... 29 TABLEAU 4. 6: LES TEMPS CRITIQUES D’ELIMINATION DES TROIS DEFAUT DU CAS 1. ....................... 30 TABLEAU 4. 7: L’IMPACT DE LA CONSTANTE D’INERTIE H SUR LE CCT. .......................................... 31 TABLEAU 4. 8: LES DONNES DES GENERATEURS. ........................................................................... 32 TABLEAU 4. 9: LES DONNES DES BRANCHES. .................................................................................. 32 TABLEAU 4. 10: LES DONNES DES LIGNES. ..................................................................................... 33 TABLEAU 4. 11: LES RESULTATS DE L’ECOULEMENT DE PUISSANCE POUR LE CAS 2. ........................ 33 TABLEAU 4. 12: LES CARACTERISTIQUES DES GENERATEURS POUR LE CAS 2. ................................. 33 TABLEAU 4. 13: LES TEMPS CRITIQUES D’ELIMINATION DES TROIS DEFAUT DU CAS 2 ...................... 34 TABLEAU 4. 14: L’IMPACT DE LA CONSTANTE D’INERTIE H SUR LE CCT. ........................................ 35 TABLEAU 4. 15: LES DONNES DES GENERATEURS. ......................................................................... 36 TABLEAU 4. 16: LES DONNES DES BRANCHES. ................................................................................ 37 TABLEAU 4. 17: LES DONNES DES LIGNES. ..................................................................................... 38 TABLEAU 4. 18: LES RESULTATS DE L’ECOULEMENT DE PUISSANCE POUR LE CAS 3. ........................ 39 TABLEAU 4. 19: LES CARACTERISTIQUES DES GENERATEURS POUR LE CAS 3. ................................. 40 TABLEAU 4. 20: LES TEMPS CRITIQUES D’ELIMINATION DES TROIS DEFAUT DU CAS 3 ...................... 40 TABLEAU 4. 21: L’IMPACT DE LA CONSTANTE D’INERTIE H SUR LE CCT. ........................................ 42
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Les réseaux électriques sont généralement constitués de trois étapes: la production, la
transmission et la distribution. Dans la première étape, la génération, l'énergie électrique est générée
en utilisant dans la plus part du temps des générateurs synchrones. Ensuite, le niveau de tension est
élevé par des transformateurs avant que l’énergie électrique est transmise dans le but de réduire les
courants de ligne qui permettent de réduire par conséquent les pertes de transmission. Après la
transmission, la tension est abaissée à l'aide des transformateurs afin d'être distribué.
Les réseaux électriques sont conçus pour fournir une énergie continue qui maintient la
stabilité de tension. Cependant, en raison d'événements indésirables, tels que la foudre, des
accidents ou d'autres événements imprévisibles, les courts-circuits entre les conducteurs des lignes
de transmission ou entre un conducteur et le sol peuvent se produire et sont appelés des défauts.
Dus à l’occurrence des défauts un ou plusieurs générateurs peuvent être gravement perturbés
causant un déséquilibre entre la production et la demande. Si un défaut persiste et n'est pas
supprimé dans un laps de temps prédéfini, il peut causer de graves dommages aux équipements et
qui peut entraîner une perte de puissance et une panne de courant.
L’analyse de la stabilité transitoire (ST) est l'un des outils les plus puissants pour étudier et
améliorer le comportement des réseaux électriques. Pour traiter ce problème, les ingénieurs ont
utilisé la modélisation et la simulation. Particulièrement, les études de stabilité sont devenues l'un
des outils essentiels pour la planification, la conception et l'amélioration des réseaux électriques
[Apraez, 2014].
Le but principal de ce mémoire est de développer un modèle numérique qui nous permet
d’étudier la stabilité transitoire des réseaux électriques.
Ce présent mémoire est organisé comme suit :
Le chapitre 1 présente les notions de base liées à la stabilité transitoire des réseaux électriques
qui sont : définition de la ST, position du problème de la ST, but de la ST et méthodes de résolution
du problème de la ST.
Dans le chapitre 2 nous présentons quelques notions importantes pour la modélisation des
réseaux électriques dans le but d’étudier leur stabilité transitoire.
Le chapitre 3 décrit en détail le modèle mathématique de la stabilité transitoire et pour un
réseau multi-machines.
Finalement, le chapitre 4 a pour but l’amélioration de la stabilité transitoire des réseaux
électrique en utilisant les méthodes classiques (méthodes d’intégration numérique). Nous
appliquons une analyse comparative des résultats obtenus par le programme de simulation pour les
réseaux électriques étudiés : 3 machines - 9 barres, 3 machines - 6 barres et 10 machines – 39
barres « New England ».
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
2
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
1.1 INTRODUCTION
Dans ce chapitre et après la définition du problème de stabilité et nous allons présenter les
différentes classes de la stabilité. L’accent est ensuite mis sur la stabilité de l’angle du rotor des
machines synchrone et plus particulièrement la stabilité transitoire (ST) qui est l’objet de notre
travail. Nous, posons par la suite le problème de la ST que nous allons résoudre dans les chapitre
suivants, le but de la ST et les différentes méthodes de résolutions de la ST.
1.2 DEFINITION DE LA STABILITE D’UN RESEAU ELECTRIQUE
La stabilité d’un réseau électrique de HT est une propriété d'un système de puissance qui lui
permet de rester dans un état d'équilibre dans des conditions normales de fonctionnement et de
retrouver un état acceptable d'équilibre après avoir été soumis à une perturbation [Kundur et al,
1994].
1.3 CLASSIFICATION DE LA STABILITE DES RESEAUX ELECTRIQUE
La stabilité peut être étudiée en considérant la topologie du réseau sous différents angles.
L’état de fonctionnement d’un réseau électrique est décrit selon des grandeurs physiques, telles que
l'amplitude et l'angle de phase de la tension à chaque bus, et la puissance active / réactive circulant
dans chaque ligne et la vitesse de rotation de la génératrice synchrone. Si elles ne sont pas
constantes, le réseau électrique est considéré comme étant en perturbations [Grainger et Stevenson
1968].
La stabilité peut être classifiée selon la nature de la perturbation : stabilité de l’angle du rotor,
stabilité de la tension et stabilité de la fréquence. La stabilité peut être classifiée en petite et grande
amplitude de perturbation en fonction d’origine et de l'ampleur du défaut. Par rapport au temps
d'évaluation, la stabilité peut être à court ou à long durée, tel qu’il est décrit dans la Figure 1.1
[Kundur et al, 2004].
Figure 1. 1 : Classification de la stabilité des réseaux électriques.
Stabilité des réseaux électriques
Stabilité de l’angle du rotor Stabilité de la fréquence Stabilité de la tension
Stabilité
statique Stabilité
dynamique Stabilité
transitoire
Grande
perturbation Petite
perturbation
Court durée Long durée Court durée
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
3
1.3.1 STABILITE DE L’ANGLE DU ROTOR (ANGULAIRE)
Dans un réseau électrique, la stabilité de l’angle du rotor est définie comme la capacité d’un
ensemble de génératrices synchrones interconnectées de conserver le synchronisme dans des
conditions de fonctionnement normales ou après une perturbation. Un système est instable si la
différence entre les angles rotoriques des générateurs augmente indéfiniment ou si l'oscillation
transitoire provoquée par une perturbation, n'est pas suffisamment amortie dans le temps
d'évaluation [Kundur et al, 2004].
Selon l’amplitude de la perturbation, la stabilité de l’angle du rotor peut être traitée selon deux
approches différentes.
1.3.1.1 Stabilité Angulaire Aux Petites Perturbations
Elle concerne la capacité du système à maintenir le synchronisme en présence de petites
perturbations comme : une petite variation de la charge ou de génération, manœuvre d’équipement,
etc. L’évaluation de ce type de perturbation prend quelque secondes.
a) La stabilité statique
Après le régime transitoire dû à la perturbation, le système entre dans le régime permanent.
Dans ce cas, pour étudier le système, il faut évaluer la stabilité statique du réseau. Le système n'est
pas stable si les contraintes de fonctionnement ne sont pas respectées. Cet état est appelé: l'état
instable ou l'état d'urgence. Dans un réseau qui est dans l'état d'urgence, les opérateurs du centre de
contrôle ont suffisamment de temps pour ramener le système à l'état stable ou au régime normal en
apportant des modifications supplémentaires.
Si certaines contraintes d'exploitation ne sont pas respectées, une des parties du réseau se
sépare du système, le reste continuant son fonctionnement. Dans cette situation, on peut ramener
tout le réseau à l'état normal grâce à des opérations de restauration. [Sadeghzadeh, 1998].
b) La Stabilité Dynamique
Il arrive que des petites oscillations des angles rotoriques apparaissent sur les signaux, à cause
d’un changement dans la structure du réseau, dans les conditions d’exploitation, dans les systèmes
d’excitation ou au niveau des charges. Ces oscillations peuvent déstabiliser un alternateur, une
partie ou tout le réseau. La stabilité dynamique est reprendre dans une période de temps plus
longue [Eskandar, 2003].
1.3.1.2 Stabilité Transitoire ST
La stabilité transitoire retrouve une position d’équilibre stable après une perturbation brusque
et de forte amplitude. Dans ce cas, système comporte des grandes variations des angles rotoriques et
ils sont influencés par la relation non linéaire entre les couples et les angles sur le fonctionnement
stable d’un réseau d'énergie électrique, Cette perturbation peut écarter notablement le réseau de sa
position initiale. Le phénomène de stabilité transitoire concerne les grandes perturbations. Comme
un court-circuit et l’arrêt d’un générateur, etc [Heydt, 1986].
Dans ce mémoire, nous intéressons seulement à la stabilité de transitoire.
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
4
1.3.2 STABILITE DE FREQUENCE
La stabilité de fréquence concerne la capacité du système à maintenir sa fréquence proche de
la valeur nominale, suite à un incident sévère ayant ou non conduit à un morcellement du système.
La stabilité de fréquence est étroitement liée à l’équilibre global entre la puissance active produite et
consommée [Benabid, 2007].
1.3.3 STABILITE DE TENSION
Dans des conditions de fonctionnement normales ou suite à une perturbation. La stabilité de
tension concerne la capacité d'un système de puissance à maintenir des tensions acceptables en tous
ses nœuds. En fonctionnement normal, lorsque nous connectons des équipements consommateurs à
un réseau électrique, la tension au point de raccordement tombe légèrement et la puissance totale
consommée augmente [Chikhi, 2007].
Selon l’amplitude de la perturbation, on distingue la stabilité de tension de petites
perturbations et celle de grandes perturbations.
1.4 POSITION DU PROBLEME DE LA STABILITE TRANSITOIRE
Pour un réseau électrique on fonctionnement stable, la puissance mécanique de la turbine
entraînant un générateur et la puissance électrique fournie par celui-ci sont équilibrées (en
négligeant les pertes) pour toute machine. Lorsque le réseau subit une perturbation importante lié
aux phénomènes transitoires, la différence entre les puissances mécanique et électrique induit une
accélération ou une décélération pouvant entraîner la perte de synchronisme d'un ou de plusieurs
générateurs. Les angles rotoriques commencent à osciller jusqu'à l'intervention des systèmes de
régulation de tension et de vitesse afin de restituer la marche en synchronisme et mener le réseau à
un nouvel état de fonctionnement stable [Heydt, 1986].
Il existe deux types de phénomènes transitoires dans les systèmes électriques :
1.4.1 LES PHENOMENES TRANSITOIRES ÉLECTROMECANIQUES
Ce sont des phénomènes lents car ils sont directement liés à l’inertie des machines électriques
de production. Leur durée varie de 1 seconde jusqu’à quelques minutes. Ils se manifestent par des
oscillations ou des marches asynchrones des alternateurs. Sont principalement dus [Alkhatib,
2008] :
A la variation des grandes charges.
A une perte de production importante.
Ouverture de ligne d’interconnexion.
A la modification de la configuration du réseau suite au fonctionnement des
protections sur défaut etc.
1.4.2 LES PHENOMENES TRANSITOIRES ÉLECTROMAGNETIQUES
Ce sont des phénomènes rapides qui durent de quelques millisecondes jusqu’à quelques
centaines de secondes. Ils sont indésirables sur le réseau. Leur élimination nécessite l’intervention
rapide et sélective des protections électriques .Sont principalement dus [Alkhatib, 2008] :
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
5
Aux courts circuits de tout type.
A l’action des régulateurs de tension des alternateurs (désexcitation ou surexcitation).
A la modification de la configuration du réseau suite au fonctionnement des protections
sur défaut etc.
Enclenchement ou déclenchement de grandes charges etc.
Les conséquences de ses défauts peuvent être très graves, pouvant même conduire à
l’effondrement complet du réseau.
La stabilité transitoire est généralement influencée par les facteurs suivants :
Point de fonctionnement stable (état statique) dans lequel se trouve le système avant
le défaut.
Nature, étendue et lieu du défaut.
Configuration du réseau avant, pendant et après l'isolation du défaut.
Les défauts considérés dans les études de la stabilité transitoire sont généralement les courts
circuits triphasés symétriques, malgré leur faible probabilité d'apparition relativement aux autres
types de défaut [Crapp, 2003].
1.5 BUT DE LA STABILITE TRANSITOIRE
L'objectif le plus important des études de stabilité est de trouver le comportement dynamique
des principales variables qui déterminent le fonctionnement des générateurs ainsi que l'angle, la
vitesse, le courant, la tension et la puissance. Même, grâce à ces variables, il est possible de
déterminer le temps critique d’élimination de défaut ou la marge de stabilité. Autrement dit, la ST
vise à répondre à la question suivante : quel est le temps maximum de libération du défaut pour
lequel le réseau reste stable?
Figure 1. 2 : Les buts de la stabilité transitoire.
Réseau électrique
optimal
Réseau électrique
La stabilité transitoire
Unique
machine équivalent
Contraintes de la
stabilité transitoire
sur les réseaux
électriques
Contrôle optimal
Analyse de
contingence
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
6
Aussi, les études de ST permettent une meilleure compréhension du comportement des
réseaux électriques et facilitent la mise en œuvre des politiques, de planification et d’opération.
Elles sont également utiles pour valider si les nouveaux circuits répondent aux critères établis dans
les normes techniques de chaque pays et pour vérifier le réglage et le contrôle des équipements de
protection. [Fouad et Vittal, 1992].
1.6 METHODES D'EVALUATION DE LA STABILITE TRANSITOIRE
Différentes méthodes pour analyser un système de puissance permettant l'évaluation de la
stabilité transitoire ont été proposées dans la littérature. Pour améliorer la stabilité transitoire,
trois objectifs peuvent être fixés :
L’amélioration du temps critique d’élimination des défauts.
L’amortissement des oscillations après la perturbation.
L’amélioration de la capacité de transfert des lignes.
Les méthodes d’analyse de la stabilité transitoire peuvent être classées en quatre familles.
1.6.1 METHODES D'INTEGRATION NUMERIQUE (METHODES CLASSIQUES)
Ces sont les plus exactes pour l'évaluation de la stabilité transitoire. Toute compagnie
d'électricité recourt à ces méthodes lorsqu'il s'agit des études s'effectuant en temps différé (off-line)
[Boussahoua, 2004].
Ces méthodes permettent d'inclure dans le modèle mathématique les caractéristiques
dynamiques des générateurs et des charges, les systèmes de régulation de vitesse et de tension, les
moyens et les systèmes de contrôle avancés (HVDC, PSS,...) et de prendre en considération les
actions des circuits de protection [Vega et Pavella, 2000]. Ils permettent l'évaluation de la sévérité
d'une perturbation par le calcul de son temps critique d'élimination de défaut CCT (Critical Clearing
Time). Ainsi, la méthode d'intégration numérique comporte deux étapes:
Etape A : étude de l'évolution des paramètres du réseau durant le défaut.
Etape B : étude de l'évolution des paramètres après élimination du défaut.
Avantages
La précision : fournie des résultats exacts pour les réglages des circuits de protection
(disjoncteurs).
Renseigne sur la stabilité ou l'instabilité du système.
La seule méthode qui peut traiter le modèle mathématique du réseau quel que soit son
degré de complexité (le modèle prenant en considération les différents phénomènes et
composants du réseau saturation, saillance, régulation,..., etc.) [Vega et Pavella,
2000].
Inconvénients
Temps de calcul élevé, la méthode ne peut pas être applicable en temps réel.
La méthode ne peut pas évaluer la marge de sécurité du système.
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
7
Il faut considérer plusieurs valeurs du temps d’élimination de défaut pour conclure sur
la stabilité [Vega et Pavella, 2000].
1.6.2 METHODES ENERGETIQUES
La première méthode directe d’analyse de la stabilité transitoire d’un réseau mono-machine
est basée sur le critère d’égalités des aires (Equal Area Criterion). Utilisant les concepts d’énergie,
cette méthode permet de calculer l’angle critique sans résoudre l’équation différentielle. Le temps
critique est ensuite déterminé en effectuant une seule intégration numérique du système en défaut.
Cette méthode a été par la suite élargie aux réseaux multi-machines [Boussahoua, 2004].
1.6.2.1 Critère d’égalité des aires EAC
Cette méthode (EAC : Equal Area Criterion) est applicable pour un système mono machine.
C’est une méthode graphique qui permet de conclure sur la stabilité du système sans tracer et
analyser les réponses temporelles [Vega et Pavella, 2000].
L’angle critique du défaut �� peut être déterminé en utilisant les courbes d’oscillation �(�)
avant, pendant et après le défaut. Il est obtenu par la résolution d’une équation trigonométrique
simple [Saadat, 2004].
Avantages
Méthode très simple à implémenter, et peut donner rapidement une estimation des
régions de stabilité.
Inconvénients
La méthode ne montre aucune amélioration induite par le couple amortisseur sur les
régions de stabilité.
Elle ne permet pas de prendre en considération un système plus complet (systèmes de
régulation) [Boussahoua, 2004].
1.6.2.2 Critère D’égalité Des Aires Elargi EEAC
Pour une perturbation donnée, le système multi machine est décomposé en deux sous-
ensembles: l’un comprend l’ensemble des machines dites critiques et l’autre le reste des machine
[Xue et al. 1988]. La méthode EEAC (EEAC : Extended Equal Area Criterion) a été également
utilisée pour évaluer la stabilité transitoire des réseaux incluant les lignes HVDC devenues
indispensables vu leurs avantages (moindre coût, faibles pertes, connexion asynchrone et
renforcement de la stabilité) [Tso et Cheung, 1995].
1.6.2.3 Critère d’égalité des aires généralisé GEAC
Cette méthode (GEAC : Generalized Equal Area Criterion) a été développée en 1985 -1986.
Elle appartient à la classe des méthodes directes d’évaluation de la stabilité transitoire des réseaux
d’énergie électrique et peut être utilisée en temps réel vu qu’elle renforce les avantages des
méthodes directes et surmonte leurs difficultés. Elle est basée sur une transformation mathématique
exacte d’un réseau multi machines à un réseau mono machine équivalant [Rahimi, 1990].
La méthode permet la définition des indices d’évaluation de la stabilité transitoire et donne
ainsi la possibilité de mesurer le degré de stabilité ou instabilité du réseau. C’est une méthode très
CHAPITRE 1 : ETAT DE L’ART
8
efficace en calcul, les indices de stabilité très simples et facilement utilisés pour l’analyse de
sensibilité. Ceci rend la méthode très attractive pour la détermination des actions de contrôle en
temps réel [Mermoul, 2007].
1.6.3 L’APPRENTISSAGE AUTOMATIQUE AA
L'apprentissage automatique (machine learning en anglais), un des champs d'étude de
l'intelligence artificielle, est la discipline scientifique concernée par le développement, l'analyse et
l'implémentation de méthodes automatisables qui permettent à une machine (au sens large)
d'évoluer grâce à un processus d'apprentissage, et ainsi de remplir des tâches qu'il est difficile ou
impossible de remplir par des moyens algorithmiques plus classiques[Crapp, 2003].
L’AA peut traiter plusieurs problèmes physiques à la fois (par exemple, stabilité transitoire et
stabilité de tension).
Les algorithmes d’apprentissage peuvent se catégoriser selon le type d’apprentissage qu’ils
emploient :
L'apprentissage supervisé.
L'apprentissage non-supervisé.
L'apprentissage par renforcement.
1.6.4 METHODES HYBRIDES
Une méthode hybride résultant des combinaisons de deux méthodes de stabilité transitoire,
par exemple la méthode SIME a combinée : la méthode d’intégration temporelle pas à pas
appliquée au système multi machine et le critère d’égalité des aires appliqué sur l’uni machine
équivalent que l’on appellera OMBI (One Machine Infinit Bus). Cette combinaison fournit deux
informations essentielles sur la stabilité transitoire, à savoir: l’identification des machines critiques
(c’est-à-dire des machines responsables de la rupture éventuelle de synchronisme) et l’évaluation de
la marge de stabilité [Mermoul, 2007].
1.7 CONCLUSION
Dans ce chapitre nous avons présenté les notions de bases liées à la stabilité transitoire des
réseaux électriques. Ce chapitre constitue une pierre essentielle pour la compréhension du reste de
ce mémoire.
De plus, après la position du problème de la ST qu’on rappel ici : ‘la ST vise à répondre à la
question suivante : quel est le temps maximum de libération du défaut pour lequel le réseau reste
stable?’, nous allons essayer de résoudre ce problème dans les chapitre suivants on utilisant les
méthodes d’analyse basées sur l’intégration numérique.
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
9
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
2.1 INTRODUCTION
Ce chapitre présente la modélisation des réseaux électriques et les méthodes mathématiques
utilisées dans l’étude de la ST. D’abord, nous expliquerons quelques aspects de l’écoulement de
puissance. Ensuite, nous présenterons quelques outils mathématiques nécessaires à l’étude de la
stabilité transitoire des réseaux électriques tels que : le calcul de la matrice d’admittance avant,
pendant et après le défaut et la réduction de Kron. Enfin, nous présenterons les méthodes
numériques pour la résolution des équations différentielles représentant la ST.
2.2 LES COMPOSANTS D’UN RESEAU ÉLECTRIQUE
Les différents composants d’un réseau électrique sont générallement :les générateurs
d’énergie électrique, les lignes de transport, les équipements de compensation d’énergie réactive
ainsi que les transformateurs de puissance et les charges électriques.
2.2.1 LES GENERATEURS
Un générateur est représenté par une source de tension constante qui injecte au niveau du
nœud auquel il est connecté une puissance active Pg et une puissance réactive Qg. Pg est constante
durant tout le calcul, par contre Qg varie entre Qgmin et Qgmax afin de maintenir une
tension constante aux bornes de l’alternateur.
Figure 2. 1 : Le schéma d’un générateur.
2.3 Les Lignes De Transmission
Les lignes sont représentées par leurs schémas équivalents en π Figure 2.2, les grandeurs
associées sont:
Figure 2. 2 : Le schéma d’une ligne de transmission.
2.4 LES TRANSFORMATIONS DE PUISSANCE
Le transformateur est représenté par sa matrice admittance, les grandeurs caractéristiques sont
le rapport de transformation ���� qui peut être complexe ou non (selon son indice horaire) et
l’impédance de fuites � = � + ��
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
10
Figure 2. 3 : le schéma d’un transformateur
2.5 LES CHARGES
Une charge est modélisée par une impédance qui consomme une puissance active constante
��et une puissance réactive constante �� Figure 2.3.
Figure 2. 4 : Le schéma d’une charge.
2.6 LA MATRICE ADMITTANCE
Les phénomènes qui régissent le fonctionnent des réseaux électriques peuvent être étudiés par
les lois utilisées dans l’étude des régimes permanents. Pour calculer La matrice d’admittance, Les
lignes de transmission, les transformateurs et les charge opèrent généralement sous des régimes
équilibrés ce qui permet l’utilisation des schémas par phase « monophasés » pour l’étude de ces
réseaux avec une très bonne approximation. L’analyse de l’écoulement de puissance fourni un point
de départ pour plusieurs d’autres types d’analyses [Nammour, 2010].
Figure 2. 5 : Modèle Π d’un transformateur.
Figure 2. 6 : Modèle Π d’une ligne de transmission.
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
11
Figure 2. 7 : Modèle Π d’une charge.
2.6.1 LA MATRICE D’ADMITTANCE DU RESEAU AVANT DEFAUT
La matrice d’admittance ���du réseau avant défaut doit être calculée de la façon suivante:
Toutes les impédances doivent être converties en admittances ;
La diagonale ��� de la matrice d’admittance est formée par l’addition de toutes les
admittances connectées à la barre � ;
Les éléments ��� sont les valeurs négatives de l’admittance connectée entre la barre
� et la barre�.
2.6.2 LA MATRICE D’ADMITTANCE DU RESEAU PENDANT DEFAUT
La matrice d’admittance du réseau pendant défaut doit être calculée de la façon suivante:
Prendre la matrice d’admittance avant défaut (déjà calculée).
Mettre des zéro dans toute la ligne et dans toute la colonne qui correspondent à la
barre où s’est produit le défaut.
2.6.3 LA MATRICE D’ADMITTANCE DU RESEAU APRES DEFAUT
La matrice d’admittance du réseau après défaut doit être calculée de la façon suivante:
Prendre la matrice d’admittance avant défaut (déjà calculée) ;
Dans la matrice avant défaut, soustraire les valeurs qui correspondent à la ligne qui a
été ouverte pour enlever le défaut.
2.6.4 LA FORMULATION DE LA MATRICE D’ADMITTANCE
La matrice d’admittance est un ensemble de données qui représente les relations d’admittance
dans un réseau électrique. Autrement dit, dans un réseau électrique on peut représenter le lien
existant entre les courants injectés aux nœuds et leur tension par la matrice d’admittance
[Nammour, 2010].
��̅�� = ���������� (2. 1)
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
12
Avec :
���� : Vecteur des tensions complexes des nœuds de dimension (n+m × 1) mesurées
par rapport au nœud de référence.
����: Vecteur des courants complexes des nœuds de dimension (n+m × 1) (pris
positifs lorsqu’ils circulent vers le réseau).
����: Matrice nodale carrée des admittances complexes du réseau de transport d’énergie de
dimension (n+m × n+m)
Les éléments diagonaux : ��� = ∑ �������
Les éléments non diagonaux : ��� = −���
m : le nombre des générateurs et n+m : le nombre des barres
Soit :
�� = �� + ��� (2. 2)
Par conséquent, l’admittance de charge est :
�� =��
��� − �
��
��� (2. 3)
Les équipements (lignes, transformateurs) sont représentés par des admittances constantes.
Dans le cas des lignes, ils sont représentés par leur modèle Π (voir figure 2.2). Dans le cas des
transformateurs, ils sont représentés par leur modèle � avec changement de prise.
En utilisant les lois de Kirchhoff :
��̅ = ������ + ���(��� − ���) (2. 4)
��̅ = ������ + ���(��� − ���) (2. 5)
Sous forme matricielle :
���̅
��̅
� = ���� + ��� −���
−��� ��� + ���� �
���
���
� (2. 6)
���̅
��̅
� = ����� ����
���� ����� �
���
���
� (2. 7)
Lorsqu’un réseau électrique comporte m générateurs et n+m jeux de barres, l’équation (2.7)
dévie :
���
��� = �
��� ���
��� ���� �
��
��� (2. 8)
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
13
2.6.5 REDUCTION DE KRON
La réduction de Kron est une technique utilisée afin de réduire les dimensions de la matrice
d’admittance avant-pendant-après défaut à partir de matrices originales avant, pendant et après
défaut. Pour cette réduction, on doit éliminer les barres dans lesquelles il n’y a pas d’injection de
courants et conserver uniquement les barres internes des générateurs par l’équation (2.9). Pour les n
jeux de barres, qui ne sont pas des barres de génération, le courant ��est égal à zéro et l’équation
(2.8) devient [Anderson et al, 2003] :
�� = ����� + ����� (2. 9)
�� = ����� + ����� = 0 (2. 10)
���
0� = �
��� ���
��� ���� �
��
��� (2. 11)
La variable �� peut être résolue à partir de l’équation (2.10) et remplacée dans l’équation
(2.9) afin d’obtenir l’équation suivante :
�� = (��� − �����������)�� (2. 12)
Dans l’équation (2.12), la nouvelle matrice d’admittance est de dimensions � × �. Étant
donné que la quantité de calculs est réduite considérablement, le temps d’exécution du programme
devient alors plus efficace. Il est important de noter que cette technique est seulement applicable
quand les charges sont modélisées comme des impédances constantes.
2.7 L’ÉCOULEMENT DE PUISSANCE
L’analyse de l’écoulement de puissance forme le noyau de l’analyse des réseaux électriques.
Cette analyse est indispensable pour plusieurs raisons : elle joue un rôle clé dans la planification des
extensions du réseau existant ainsi que les conditions d’avoir des générations faciles et sans
problèmes. L’objectif de l’écoulement de puissance est de fournir les informations suivantes
[Chikhi, 2007]:
Le module et la phase de la tension au niveau de chaque bus.
Les puissances active et réactive transitées dans chaque ligne.
La puissance réactive fournie par chaque générateur.
Dans la formulation des problèmes de l’écoulement de puissance, toutes les grandeurs sont
exprimées en per unit (pu).
2.7.1 TYPES DE BUS DANS LES RESEAUX ELECTRIQUES
Pour un nœud i donné, deux des quatre variables qui sont : le module de la tension V, la phase
ou l’argument de la tension , la puissance active P et la puissance réactive Q, doivent être
spécifiées, les deux autres variables seront calculées par l’analyse de l’écoulement de puissance.
Les nœuds PQ : sont les nœuds de charge (de consommation) les puissances active et
réactive doivent être estimées (connues) d’une manière précise.
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
14
Nœuds PV: sont les nœuds de génération, la puissance active est contrôlée par la
vitesse de la turbine et la puissance réactive est contrôlée par le courant d’excitation
ces deux grandeurs sont donc connues l’analyse de l’écoulement de puissance doit
donc calculer l’argument de la tension et la puissance réactive concernant ces nœuds.
Le slack bus : Ce nœud est appelé nœud de référence ou de balancier (slack ou swing
bus). Pour le slack bus, le module et l’argument de la tension sont spécifiés
(l’argument est généralement pris égale à 0), tandis que les puissances active et
réactive sont des inconnues [Nammour, 2010].
Tableau 2. 1: Les types des barres des réseaux éclectiques.
Type de barre P Q V � PV connue inconnue connue connue PQ connue connue inconnue inconnue Slack bus inconnue inconnue connue connue
2.7.2 FORMULATION DE L’ECOULEMENT DE PUISSANCE
Les puissances apparentes injectées dans chaque nœud :
��̅ = �� + ��� = �����̅∗ (2. 13)
��̅ = �� + ��� = �����̅∗ (2. 14)
⋮
��̅ = �� + ��� = �����̅∗ (2. 15)
En tenant compte des équations précédentes:
�����̅∗ = ���(����
∗ ���∗ + ����
∗ ���∗ + ⋯ + ����
∗ ���∗) = ��� � ����
∗ ���∗
�
���
(2. 16)
�����̅∗ = ���(����
∗ ���∗ + ����
∗ ���∗ + ⋯ + ����
∗ ���∗) = ��� � ����
∗ ���∗
�
���
(2. 17)
⋮
�����̅∗ = ���(����
∗ ���∗ + ����
∗ ���∗ + ⋯ + ����
∗ ���∗) = ��� � ����
∗ ���∗
�
���
(2. 18)
Généralisation pour le cas d’un réseau à n nœuds (2n équations):
Si on adopte la représentation polaire pour les admittances et les tensions :
���� = �������� (2. 19)
��� = ������ (2. 20)
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
15
L’équation (2.15) devient donc :
�� + ��� = ��� � �������(���������)
�
��� ���,�
(2. 21)
Donc les équations non linéaires qui décrivent un réseau à deux nœuds sont :
�� = ��� � ����� cos(�� − �� − ���)
�
��� ���,�
(2. 22)
�� = ��� � ����� sin(�� − �� − ���)
�
��� ���,�
(2. 23)
Si on adopte la représentation polaire pour les tensions et la représentation cartésienne
pour les admittances :
�� = ��� � ��(��� cos(���) + ��� sin(���))
�
��� ���,�
(2. 24)
�� = ��� � ��(��� sin(���) − ��� cos(���))
�
��� ���,�
(2. 25)
Tel que : ���� = ��� + ���� et ��� = �� + ��
2.7.3 LA RESOLUTION DES SYSTEMES D’EQUATIONS
Considérons un réseau électrique à n nœuds, avec ��� est le nombre des nœuds PV,
��� est le nombre des nœuds PQ et un seul nœud de type Vδ (slack bus). Pour l’état du
système qui est défini par les équations (2.24) et (2.26), il est nécessaire de déterminer :
les modules des tensions concernant les ��� nœuds PQ.
les arguments des tensions des ��� nœuds PV et des ��� nœuds PQ.
Ceci donne au total ���+2��� variables inconnues.
2.7.4 TECHNIQUES (METHODES NUMERIQUES) ITERATIVES DE RESOLUTION
Méthode de Gauss
Méthode de Gauss-Seidel (amélioration de celle de Gauss)
Méthode de Newton-Raphson
Méthode découplée rapide
2.7.5 METHODE DE NEWTON-RAPHSON
Cette méthode est la plus utilisée pour résoudre les équations non linéaires. Dans les réseaux
électriques, elle a été aussi la méthode préférée pour la plupart des logiciels commerciaux
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
16
d’analyse de réseaux électriques. La forte convergence et la simplicité de cette méthode la rendent
très efficace [Saadat, 2004].
Une fois la modélisation des éléments réalisée et la formulation de l’ensemble des équations
complétée, on utilise une méthode itérative afin d’obtenir les valeurs inconnues dans les barres
selon leur type (Tableau 2.1).
Donc logiciel de calcul de l’écoulement de puissance a besoin des données suivantes :
La liste des branches (connections) c.-à-d. les impédances des éléments entre les
différents nœuds
Les lignes et les transformateurs sont représentés par leurs schémas équivalents en π.
La magnitude et la phase de la tension au niveau d’un nœud qui est la référence pour
le reste de réseau.
La puissance active et la magnitude de la tension au niveau de chaque nœud de
génération.
Les puissances active et réactive au niveau de chaque nœud de consommation (de
charge) [Apraez, 2012].
Typiquement, un système d’équations non linéaires peut-être représenté par :
�(�) = 0 (2. 26)
En appliquant les séries de Taylor, il est possible d’approcher une solution pour le système
d’équations (2.26) comme suit [Burden et Faires, 2005]:
�(���) = �(�) − ��(�)���
�(�(�)) (2. 27)
�(���) : La solution estimée à l’itération � + 1
�(�(�)) : La fonction évaluée en �(�)
��(�)���
: L’inverse de la matrice jacobienne, soit ���
���
���(�).
Les itérations sont faites jusqu’au moment où la différence entre�(�)et �(���)est inférieure à
l’erreur ou à une précision définie à l’avance. Dans ce cas, la solution est dite convergente.
Pour les réseaux électriques, les équations qui déterminent les puissances actives et réactives
sous forme rectangulaire sont données par les expressions suivantes :
��(�) = � ����(��� cos(�� − ��) + ��� sin(�� − ��))
�
��� ���,�
(2. 28)
��(�) = � ����(��� sin(�� − ��) − ��� cos(�� − ��))
�
��� ���,�
(2. 29)
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
17
Soit ��et �� la puissance active et réactive à la barre i. Alors, la formule de base qui
caractérise l’écoulement de puissance est donnée par:
�(�) = ���(�) − �� = ∆�� = 0
��(�) − �� = ∆�� = 0� (2. 30)
Il est important aussi de souligner que la complexité de cette méthode appliquée dans les
réseaux électriques est de calculer efficacement la matrice Jacobienne, c’est-à-dire, les dérivées de
la puissance active et réactive par rapport aux angles et aux modules de la tension.
2.7.5.1 Calcul De La Matrice Jacobienne
Normalement, la matrice Jacobienne dans l’écoulement de puissance est présentée en quatre
sous-matrices comme suit :
� = ���� ���
��� ���� =
⎣⎢⎢⎢⎡�∆��
���
�∆��
���
�∆��
���
�∆��
��� ⎦⎥⎥⎥⎤
(2. 31)
Plus précisément, les expressions obtenues en dérivant les équations (2.22) et (2.23) par
rapport aux angles et aux modules de la tension sont [Crow, 2010] :
�∆��
���= �� � ����� sin(�� − �� − ���) + ��
���� sin ���
�
���
(2. 32)
�∆��
���= −������� sin(�� − �� − ���) (2. 33)
�∆��
���= − � ����� cos(�� − �� − ���) + ����� cos ���
�
���
(2. 34)
�∆��
���= −����� cos(�� − �� − ���) (2. 35)
�∆��
���= −��� � ����� cos(�� − �� − ���)
�
���
+ ������ cos ��� (2. 36)
�∆��
���= ������� cos(�� − �� − ���) (2. 37)
�∆��
���= − � ����� sin(�� − �� − ���) + ����� sin ���
�
���
(2. 38)
�∆��
���= −����� sin(�� − �� − ���) (2. 39)
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
18
Il est important de remarquer que les équations de (2.32) à (2.39) correspondent aux éléments
hors de la diagonale de la matrice. Une autre façon de la calculer consiste à approcher les dérivées
numériquement, comme dans l’équation suivante :
��
������
=�(����) − �(��)
���� − �� (2. 40)
L’équation (2.40) présente l’approximation de la dérivée d’une fonction par des techniques
de différenciation en avant. Par ailleurs, d’autres techniques d’approximation sont disponibles tels
que la différentiation centrée, la différentiation en arrière et les techniques d’expansion par séries de
Taylor, etc. [Gilat et Subramaniam, 2011].
2.8 LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES
Les méthodes d’intégration numériques résolvent les systèmes d’équations différentielles
algébriques, pour lesquels, les équations sont compliquées (d’ordre élevé) et il n’a pas une solution
analytique évidente. Habituellement, un système d’équations différentielles est énoncé comme suit
��
��= �(�, �)� ≤ � ≤ ��(0) = �� (2. 41)
1.1.1 LA METHODE DE RUNGE KUTTA
La méthode De Runge Kutta d’ordre 2 est donnée par :
�(0) = ��
���� = �� + ℎ� ��� +ℎ
2, �� +
ℎ
2�(��, ��)� � = 0,1,2, … , � − 1
(2. 42)
La méthode de Runge-Kutta du quatrième ordre, notée dans la littérature comme RK 4, est
l'une des méthodes les plus populaires et largement la plus utilisée dans le domaine de l'ingénierie.
Elle garantit une précision suffisante dans la plupart des applications et est suffisamment stable. Un
autre avantage de ce procédé est également la simplicité de l'algorithme de calcul.
La méthode De Runge Kutta d’ordre 4 est donnée par :
�(0) = ��
�� = ℎ�(��, ��)
�� = ℎ� ��� +ℎ
2, �� +
1
2���
�� = ℎ� ��� +ℎ
2, �� +
1
2���
�� = ℎ�(����, �� + ��)
���� = �� +1
6(�� + 2�� + 2�� + ��)� = 0,1,2, … , � − 1
(2. 43)
CHAPITRE 2 : MODELISATION DES RESEAUX ELECTRIQUES
19
2.9 CONCLUSION
La solution de l’analyse de l’écoulement de puissance représente un point de départ pour les
méthodes d’analyse de la stabilité transitoire ST des réseaux électriques. En effet, les résultats
obtenus de l’écoulement de puissance sont utilisés pour formuler les conditions initiales des angles
�� de générateurs, dans la résolution des équations de mouvement des générateurs par les méthodes
d’intégration numérique pour l’analyse de la stabilité transitoire. Donc, les outils mathématique et
notions importante présentés dans ce chapitre vont nous aider à modéliser le réseau électrique afin
d’étudier la stabilité transitoire de celui-ci.
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
20
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
3.1 INTRODUCTION
Ce chapitre explique le modèle classique de la stabilité transitoire. À cet égard, nous
présenterons d’abord les hypothèses du modèle classique puis nous introduirons les équations qui
décrivent la dynamique du générateur synchrone. Ces équations seront généralisées pour un
système à plusieurs machines. Ainsi Pour déterminer la stabilité transitoire dans un réseau à
plusieurs machines, l’étude doit être réalisée par la résolution des équations de mouvement des
machines.
3.2 HYPOTHESES DU MODELE CLASSIQUE
Le modèle classique de la ST est supporté par les hypothèses suivantes [Crow, 2010] :
La puissance mécanique d’entrée reste constante pendant la simulation.
L’amortissement est négligeable.
Le modèle de tension constante derrière la réactance pour la machine synchrone est
valide.
L’angle du rotor coïncide avec celui de la tension derrière la réactance transitoire.
Les charges sont représentées par des impédances (ou admittances) constantes
le fonctionnement de la machine est en mode équilibré et, par conséquent, on ne
considère que la réactance de séquence positive;
l’excitation de la machine est constante
la saturation, les pertes et la saillance de pôles sont négligées.
3.3 ÉQUATION D’OSCILLATION DU ROTOR D’UN GENERATEUR
L’équation du mouvement d’une machine synchrone est décrite par le produit du coefficient
d’inertie et de l’accélération angulaire du système, qu’on appelle couple d’accélération [Grainger et
Stevenson 1994].
En effet :
�����
���= G� = G� − G� (�. �) (3. 1)
Où
� : Inertie totale du système (turbine + machine) (Kg.m2).
�� : Position angulaire dans le référentiel stationnaire (rad).
t : Temps (sec).
G� : Couple mécanique (N.m).
G� : Couple électrique (N.m).
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
21
G� : Couple d’accélération (N.m).
On pose:
�� = ������ + �� (3. 2)
Où:
�����: Vitesse synchrone du rotor (rad/s);
��: Position angulaire du rotor dans le référentiel synchrone (rad).
Si nous faisons le dérivé de (3.2) par rapport au temps, on obtient la vitesse angulaire du
rotor :
���
��= ����� +
���
�� (3. 3)
����
���=
����
��� (3. 4)
L’équation (3.3) montre que la vitesse angulaire du rotor, ���
�� est constante et égale à �����si
���
�� est nulle. Ici,
���
�� est la déviation de la vitesse du rotor par rapport à la vitesse synchrone. De
plus, l’équation (3.4) montre l’accélération du rotor.
Si on remplace l’équation (3.4) dans (3.1), on obtient :
�����
���= G� = G� − G� (�. �) (3. 5)
���
����
���= G��� = G��� − G��� = �� = �� − ��(�) (3. 6)
Où :
Pa : Puissance d’accélération;
Pm : Puissance mécanique fournie par la turbine;
Pe : Puissance électrique fournie par le générateur plus les pertes électriques;
��� : Couple angulaire du rotor.
À la vitesse synchrone, on peut mettre que ��� est la constante d’inertie de la machine, notée
par M.
������ = � (3. 7)
Alors, l’équation (3.6) devient :
�����
���= �� = �� − ��(�) (3. 8)
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
22
La constante d’inertie H est définie par :
� =
�
����
����
����=
�
����
����
����(joule VA⁄ ) (3. 9)
Où :
�
����
����: Énergie cinétique à la vitesse synchrone.
���� : Puissance apparente nominale du générateur.
De (3.9):
� =2�
��������� (3. 10)
Si on remplace l’équation (3.9) dans (3.8) on obtient :
2�
�����
����
���=
��
����=
�� − ��
���� (3. 11)
Dans un générateur synchrone de p pôles, nous avons :
L’angle interne machine :
� =�
2�� (3. 12)
La Fréquence angulaire synchrone :
���� =�
2����� (3. 13)
Si on déplace les équations (3.12) et (3.13) dans (3.11) on obtient :
2�
����
���
���= �� = �� − ��(pu) (3. 14)
L’équation (3.14) est une équation différentielle de deuxième ordre qui décrit le mouvement
du système. Cette équation de deuxième ordre est écrite sous forme de deux équations du premier
ordre qui sont les équations différentielles à résoudre:
2�
����
��
��= �� = �� − ��(pu) (3. 15)
��
��= � − ����(pu) (3. 16)
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
23
3.4 MODELE CLASSIQUE DE LA MACHINE SYNCHRONE
Dans l’étude de la stabilité transitoire, on peut utiliser le modèle simplifié d’une machine
synchrone, qu’on appelle modèle classique.
Figure 3. 1 : Modèle classique d’un générateur synchrone.
Figure 3. 2 : Modèle simplifie machine synchrone.
Dans ce modèle, la machine est représentée par une source sinusoïdale de voltage en série
avec la réactance transitoire. Alors, dans l’analyse, le modèle est connecté en série avec le réseau
électrique équivalent, de façon à trouver la puissance électrique fournie par la machine.
Figure 3. 3 : Schéma d'un générateur synchrone connecté à une charge infinie.
Figure 3. 4 : Schéma équivalent.
La puissance complexe fournie au réseau équivalent est :
���� = ���� × �∗ = ���� × ��� − ����
�(� + ��� )
�
∗
(3. 17)
���� =�[������∗ − ��������
∗ ]
(� + ��� )
(3. 18)
���� =������������ − ����
� �
(� + ��� )
(3. 19)
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
24
Par conséquent, la puissance active fournie par la machine synchrone est :
�� = ���� =������ sin �
� + ��� =
������ sin �
��� (3. 20)
L’équation (3.20) montre que la puissance fournie par la machine synchrone dépend des
réactances � et ��� et de l’angle δ. La puissance maximale se produit lorsque la valeur de l’angle δ =
90˚.
3.5 LE MODELE CLASSIQUE D’UN RESEAU A MULTI-MACHINES
Dans l’étude de la stabilité transitoire de plusieurs machines, il est nécessaire de résoudre les
équations de mouvement de toutes les machines. De façon à réduire la complexité des équations,
des hypothèses sont définies [Grainger et Stevenson, 1994]:
La puissance mécanique de chaque machine demeure constante dans la résolution des
équations différentielles de mouvement des machines.
Chaque machine synchrone est représentée par sa source de tension constante en série
avec la réactance transitoire.
Les charges doivent être représentées comme impédances constantes.
Les équipements (lignes, transformateurs) sont représentés par des admittances
constantes.
Les équations d’oscillation qui décrivent la dynamique de la machine synchrone sont
généralisées pour un système multi-machines comme suit:
2��
����
���
��= ��� = ��� − ���(pu) (3. 21)
���
��= �� − ����(pu)���,…,� (3. 22)
Où la puissance électrique est définie par les équations suivantes :
��� = ������ + � ������� cos(��� − �� + ��)
�
���
(3. 23)
��� = ������ + � �������� sin��� − ��� + ��� cos(�� − ��)�
�
������
(3. 24)
L’étude doit être réalisée en trois étapes : Calculs préliminaires
Calculer les tensions, puissances et angles dans chaque barre à l’aide d’un écoulement de puissance.
Calculer les tensions et les angles internes de chaque machine à l’aide des résultats de l’écoulement de puissance.
En effet, les courants de chaque machine sont :
�� = ���
���
∗
= ��� + ���
���
∗
(3. 25)
Finalement, les tensions internes de chaque machine sont : ��ذ�� = �� + ���
� �� (3. 26)
CHAPITRE 3 : LE MODELE MATHEMATIQUE DE LA STABILITE TRANSITOIRE
25
3.6 RESOLUTION DES EQUATIONS DE MOUVEMENT DES MACHINES
On doit résoudre les équations de mouvement du système pour trouver les angles internes et la
vitesse de chaque machine avant, pendant et après défaut.
En effet :
���
��=
����
2����� =
����
2��
[��� − ���(�)] (3. 27)
���
��= ��(�) − ����
���,…,� (3. 28)
Où la puissance électrique est définie par les équations suivantes :
���(�) = |��|�|���| + �|��|��������� cos(��� − ��(�) + ��(�))
�
���
(3. 29)
��� = |��|�|���| + �|��|�������� sin���(�) − ��(�)� + ��� cos(��(�) − ��(�))�
�
������
(3. 30)
Où :
� = � + ��
��� : Puissance mécanique de chaque machine.
���: Puissance électrique de chaque machine.
��(�) : vitesse de chaque machine.
�� : L’angle interne de chaque.
�� : Tension interne de chaque.
��� : Les éléments de la matrice d’admittance.
��� : Les angles des éléments de la matrice d’admittance.
3.7 CONCLUSION
Les générateurs synchrones sont considérés comme la principale source de production
d'énergie dans les réseaux électriques. De plus, les machines synchrones sont très répandues dans
l’industrie. Dans la pratique, les études de stabilité se consacrent à l’analyse dynamique du
comportement de ces machines à la suite d'une perturbation. La méthodologie de calcul des valeurs
des angles internes et de la vitesse des machines est similaire à celle du modèle classique, mais, on
doit résoudre l’ensemble des équations différentielles et algébriques des générateurs à l’aide des
méthodes d’intégration numérique.
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
26
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
4.1 INTRODUCTION
Ce chapitre présente les résultats obtenus par les algorithmes décrits dans les chapitres
précédents et la détérmination du temps crétiques d’élimination des défauts étudient pour la stabilité
transitoire. À ce point, Nous avons sélectionné au maximum trois défauts dans chacun des réseaux
suivants: 3 machines - 9 barres, 3 machines - 6 barres et 10 machines – 39 barres « New England ».
pour le cas de 3 machines - 9 barres. La validation du programme est confirmé sur la base des
comparaisons avec des défauts documentés dans des articles scientifiques publiés et par des
simulations effectuées avec le logiciel PSSE®[Apraez, 2012] , la fréquence est de 60 Hz et la
puissance de base est de 100 MVA.
Le but principal de cette étude est de déterminer la réponse des générateurs au défaut de
court-circuit triphasée symétriques Figure 4.6, après les oscillations des angles rotoriques des
générateurs et le temps critiques d’élimination de défaut. On détermine aussi l’influence de la
variation du constant d’inertei H sur le temps crétiques d’élimination de défaut CCT. Pour les
systèmes multi-machines données aux figures 4.2, 4.5 et 4.8, effectuer la stabilité transitoire des
problèmes à l'aide du programme trstab. pour sela Nous aurons étudie trois défauts de chaque
Problème.
4.2 STRUCTURE DE PROGRAMME DE SIMULATION
Le programme développé dans ce mémoire pour l’analyse de la stabilité transitoire des
réseaux électriques est donné par la Figure 4. 1.
Figure 4. 1 : Le programme développé pour l’analyse de la stabilité transitoire des réseaux électriques
Définition des donnés
pour l’écoulement de
puissance :
Les linges
Les nœuds
Les générateurs
Définition des donnés
dynamiques des
générateurs
Impédance
transitoire���
Le constant d’inertie
H
L’analyse de l’écoulement de
puissance pour déterminé :
La matrice admittance Ybus
Les puissances active �� et
réactive �� des nœuds et des
générateurs
La magnitude �� et l’angle ��
La réduction de Kron de Ybus
Avant, Pendant et après défaut
Calcul des paramètres des
générateurs :
La tension interne ���
L’angle des rotors ��
La puissance mécanique ��
Résolution
d’équation
d’oscillation des
rotors
Détermination
de CCT
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
27
Nous rappelons que dans un réseau électrique, la stabilité de l’angle du rotor est définie
comme la capacité d’un ensemble de génératrices synchrones interconnectées de conserver le
synchronisme dans des conditions de fonctionnement normales ou après une perturbation. Un
système est instable si la différence entre les angles rotoriques des générateurs augmente
indéfiniment ou si l'oscillation transitoire provoquée par une perturbation, n'est pas suffisamment
amortie dans le temps d'évaluation.
Donc l’angle du rotor d’un générateur va osciller après l’occurrence d’une perturbation ou
d’un défaut sur le réseau électrique (régime transitoire) et il peut aller ver l’instabilité comme le
montre la courbe (1) de Figure 4. 2 ou revenir vers la stabilité comme le montre la courbe (2) de la
Figure 4. 2.
Figure 4. 2 : Les diagrammes de la réponse d’un générateur synchrone aux perturbations : 1- instable, 2- stable.
4.3 CAS1 : RESEAU 3 GENERATEURS, 9 BARRES
Ce cas d’étude est trés utilisé dans les études de stabilité tansitoire des réseaux electriques.
C’est le réseau test IEEE9barres qui représente une partie du ‘Western System Coordinating
Council (WSCC) 3-Machines 9-Bus system’.Il comporte trois générateurs, trois charges, neuf
barres, six lignes et trois transformateurs. La Figure 4.3 montre la configuration de ce réseau. Les
donnés nécéssaire sont données dans les Tableaux 4.1, 4.2 et 4.3.
L’etude de la stabilité transitoire pour ce promier cas est effectuée pour les défauts suivants :
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [7 5] plus proche de la barre
7 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [6 4] plus proche de la barre
6 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [4 5] plus proche de la barre
4 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
On rappele que le but est de determiner le temps maximum de libération du défaut pour
lequel le réseau reste stable. Autrement dit nous cherchons, pour chaque défaut, à calculer le temps
critique d'élimination de défaut le CCT (Critical Clearing Time).
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
28
Figure 4. 3 : Réseau 3 générateurs, 9barres.
Tableau 4. 1: Les données des générateurs.
Générateurs Ra X’d H 1 0 0.0608 23.64 2 0 0.1198 6.4 3 0 0.1813 3.01
Tableau 4. 2: Les données des branches.
barre type Vm � Pd Qd Pg Qg Qmin Qmax 1 1 1.04 0 0 0 71.64102 27.04592 -300 300 2 2 1.025 0 0 0 163 6.65366 -300 300 3 2 1.025 0 0 0 85 -10.8597 -300 300 4 0 1.0258 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0.9956 0 50 0 0 0 0 0 6 0 1.0127 0 30 0 0 0 0 0 7 0 1.0258 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1.0159 0 35 0 0 0 0 0 9 0 1.0324 0 0 0 0 0 0 0
Tableau 4. 3: Les données des lignes.
Barres R X Bc A
Barres D Barre A 1 4 0 0.0576 0 1 2 7 0 0.0625 0 1 3 9 0 0.0586 0 1 5 4 0.01 0.058 0.088 1 4 6 0.017 0.092 0.079 1 5 7 0.032 0.161 0.153 1 6 9 0.039 0.17 0.179 1 7 8 0.0085 0.072 0.0745 1 8 9 0.0119 0.1008 0.1045 1
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
29
4.3.1 RESULTATS DE SIMULATION
Les résultats de l’écoulement de puissance pour le Cas 1 sont donnés dans le Tableau 4.4, les
caractéristiques internes des générateurs sont données dans le Tableau 4.5.
Tableau 4. 4: Les résultats de l’écoulement de puissance pour le Cas 1.
Jeu de barre Tension [pu]
Angle [°]
Charge Génération
[MW] [Mvar] [MW] [Mvar]
1 1.04 0 0 0 71.641 27.046
2 1.025 9.28 0 0 163 6.654
3 1.025 4.665 0 0 85 -10.86
4 1.026 -2.217 0 0 0 0
5 0.996 -3.989 125 50 0 0
6 1.013 -3.687 90 30 0 0
7 1.026 3.72 0 0 0 0
8 1.016 0.728 100 35 0 0
9 1.032 1.967 0 0 0 0
Total 315 115 319.641 22.84
Tableau 4. 5: Les caractéristiques des générateurs pour le Cas 1.
Générateur E' �0 Pm 1 1.0566 2.2716 0.7164 2 1.0502 19.7316 1.6300 3 1.0170 13.1664 0.8500
La matrice admittance réduite avant le défaut est donnée par :
��� = �0.8455 − 2.9883i 0.2871 + 1.5129i 0.2096 + 1.2256i0.2871 + 1.5129i 0.4200 − 2.7239i 0.2133 + 1.0879i0.2096 + 1.2256i 0.2133 + 1.0879i 0.2770 − 2.3681i
�
La matrice admittance réduite pendant le défaut pour le premier défaut est donnée par :
��� = �0.6568 − 3.8160i 0 0.0701 + 0.6306i
0 − 5.4855i 00.0701 + 0.6306i 0 0.1740 − 2.7959
�
La matrice admittance réduite après le défaut pour le premier défaut est donnée par :
��� = �1.1386 − 2.2966i 0.1290 + 0.7063i 0.1824 + 1.0637i0.1290 + 0.7063i 0.3744 − 2.0151i 0.1921 + 1.2067i0.1824 + 1.0637i 0.1921 + 1.2067i 0.2691 − 2.3516i
�
4.3.1.1 Le Temps Critique D’élimination Du Défaut (CCT)
Le Tableau 4.6 présente les valeurs obtenues des CCT pour les différents défauts étudiés pour
le Cas 1 qui est constitué de 3 générateurs et 9 jeux de barres. Pour chaque défaut nous avons utilisé
deux méthodes numériques de résolution implémentées dans MATLAB qui sont Ode45 et Ode23.
Dans le même tableau nous avons comparé les résultats obtenues avec ceux d’un logiciel
commercial le PSSE qui sont reportés dans [Apraez, 2012]. Nous remarquons d’après la précision
calculée que les CCT calculés par notre programme sont très proches des CCT exacts. Nous
remarquons aussi que la méthode Ode23 est plus précise que la méthode Ode45.
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
30
Tableau 4. 6: Les temps critiques d’élimination des trois défauts du Cas 1.
Méthode CCT (ms)
Défaut 1 Défaut 2 Défaut 3 précision 7*-5 6*-4 4*-5 %
Ode45 160 161 447 448 269 270 96.05 Ode23 169 170 449 450 300 301 98.30 PSSE 162 163 447 448 301 302 100
Pour le premier défaut, l’oscillation des angles rotoriques des différents générateurs pour un
temps d’élimination du défaut de 160 ms et un temps d’élimination du défaut de 161 ms sont
données dans la Figure 4. 4 et la Figure 4. 5 respectivement. Nous remarquons que le premier temps
d’élimination le réseau retourne à la stabilité tandis que pour le second temps d’élimination le
système devient instable. Donc en peux conclure que le CCT est de 160 ms. Nous notons ici que
nous avons tracé les courbes de l’oscillation des angles rotoriques des différents générateurs pour le
premier défaut seulement et que des courbes similaires peuvent être obtenues pour les autres défauts
aussi.
Figure 4. 4 : Les différences d’angles entre le slack bus et les générateurs 2 et 3 pour un temps d’élimination du défaut de 160 ms.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
t[s]
[°]
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
31
Figure 4. 5 : Les différences d’angles entre le slack bus et les générateurs 2 et 3 pour un temps d’élimination du défaut de 161 ms.
Dans le but d’étudier l’influence des constantes d’inerties des générateurs sur le CCT nous
avons effectué des calculs en supposant : une diminution de 10% des constantes d’inerties des
différents générateurs et une augmentation de 10% des constantes d’inerties des différents
générateurs. Les CCT calculés sont comparés avec ceux du cas sans augmentation ni diminution de
H dans le Tableau 4.7. Nous remarquons que la constante d’inertie H influe sur le CCT d’une
manière considérable.
Tableau 4. 7: L’impact de la constante d’inertie H sur le CCT.
H CCT (ms)
Défaut 1 Défaut 2 Défaut 3 7*-5 6*-4 4*-5
-10% 153 154 424.9 425 274 275 0% 169 170 449 450 300 301
+10% 169 170 469 470 303 304
4.4 CAS 2 : 3 GENERATEURS, 6 BARRES
C’est le réseau test IEEE 6 barres qui comporte trois générateurs, trois charges, six barres,
sinq lignes et trois transformateurs.La Figure 4. 5 montre la configuration de ce réseau. Les donnés
nécéssaire sont données dans les Tableaux 4.8, 4.9 et 4.10.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
t[s]
[°]
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
32
L’etude de la stabilité transitoire pour ce cas est effectuée pour les défauts suivants :
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [5 6] plus proche de la barre
6 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [1 6] plus proche de la barre
6 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [4 6] plus proche de la barre
4 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Figure 4. 6 : Réseau 3 générateurs, 6 barres
Tableau 4. 8: Les donnés des Générateurs.
Générateurs Ra X’d H 1 0 0. 2 20 2 0 0.15 4 3 0 0.25 5
Tableau 4. 9: Les donnés des branches.
barre type Vm � Pd Qd Pg Qg Qmin Qmax 1 1 1.06 0 0 0 0 0 0 0 2 2 1.04 0 0 0 150 0 0 140 3 2 1.03 0 0 0 100 0 0 90 4 0 1 0 100 70 0 0 0 0 5 0 1 0 90 30 0 0 0 0 6 0 1 0 160 110 0 0 0 0
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
33
Tableau 4. 10: Les donnés des lignes.
Barres R X Bc a
Barres D Barre A 1 4 0.035 0.225 0.0065 1 1 5 0.025 0.105 0.0045 1 1 6 0.04 0.215 0.0055 1 2 4 0 0.035 0 1 3 5 0 0.042 0 1 4 6 0.028 0.125 0.0035 1 5 6 0.026 0.175 0.03 1
4.4.1 RESULTATS DE SIMULATION
Les résultats de l’écoulement de puissance pour le Cas 2 sont donnés dans le Tableau 4.11, les
caractéristiques internes des générateurs sont données dans le Tableau 4.12.
Tableau 4. 11: Les résultats de l’écoulement de puissance pour le Cas 2.
Jeu de barre Tension
[pu] Angle
[°] Charge Génération
[MW] [Mvar] [MW] [Mvar]
1 1.060 0 0 0 105.287 107.335
2 1.040 1.470 0 0 150 99.771
3 1.030 0.800 0 0 100 35.670
4 1.008 -1.401 100 70 0 0
5 1.016 -1.499 90 30 0 0
6 0.941 -5.607 160 110 0 0
Total 450 245 355.287 242.776
Tableau 4. 12: Les caractéristiques des générateurs pour le Cas 2.
Générateur E' �0 Pm 1 1.2781 8.9421 1.0529 2 1.2035 11.8260 1.5000 3 1.1427 13.0644 1.0000
La matrice Admittance réduite de Ybus avant le défaut
Ybf =�0.3517 − 2.8875i 0.2542 + 1.1491i 0.1925 + 0.9856i0.2542 + 1.1491i 0.5435 − 2.8639i 0.1847 + 0.6904i0.1925 + 0.9856i 0.1847 + 0.6904i 0.2617 − 2.2835i
�
La matrice Admittance réduite de Ybus pendant le défaut
Ydf =�0.1913 − 3.5849i 0.0605 + 0.3644i 0.0523 + 0.4821i0.0605 + 0.3644i 0.3105 − 3.7467i 0.0173 + 0.1243i0.0523 + 0.4821i 0.0173 + 0.1243i 0.1427 − 2.6463i
�
La matrice Admittance réduite de Ybus après le défaut
Yaf =�0.3392 − 2.8879i 0.2622 + 1.1127i 0.1637 + 1.0251i0.2622 + 1.1127i 0.6020 − 2.7813i 0.1267 + 0.5401i0.1637 + 1.0251i 0.1267 + 0.5401i 0.2859 − 2.0544i
�
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
34
4.4.1.1 Le temps critique d’élimination de défaut
Le Tableau 4.13 présente les valeurs obtenues des CCT pour les différents défauts étudiés
pour le Cas 2 qui est constitué de 3 générateurs et 6 jeux de barres. Pour chaque défaut nous avons
utilisé les mêmes méthodes numériques de résolution implémentées dans MATLAB.
Tableau 4. 13: Les temps critiques d’élimination des trois défauts du Cas 2.
Méthode
CCT (ms)
Défaut 1 Défaut 2 Défaut 3
5-6* 1-6* 4*-6
Ode45 449 450 457 458 203 204 Ode23 455 456 460 461 203 204
Pour le premier défaut, l’oscillation des angles rotoriques des différents générateurs pour un
temps d’élimination du défaut de 449 ms et un temps d’élimination du défaut de 450 ms sont
données dans la Figure 4. 4 et la Figure 4. 5 respectivement. Nous remarquons que le premier temps
d’élimination le réseau retourne à la stabilité tandis que pour le second temps d’élimination le
système devient instable. Donc en peux conclure que le CCT est de 449 ms. Nous notons ici que
nous avons tracé les courbes de l’oscillation des angles rotoriques des différents générateurs pour le
premier défaut seulement et que des courbes similaires peuvent être obtenues pour les autres défauts
aussi.
Figure 4. 7 : Les différences d’angles entre le slack bus et les générateurs 2 et 3 pour un temps d’élimination du défaut de 449 ms.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-150
-100
-50
0
50
100
150
t[s]
[°
]
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
35
Figure 4. 8 : Les différences d’angles entre le slack bus et les générateurs 2 et 3 pour un temps d’élimination du défaut de 450 ms.
Dans le but d’étudier l’influence des constantes d’inerties des générateurs sur le CCT, en
supposant : une diminution de 10% des constantes d’inerties des différents générateurs et une
augmentation de 10% des constantes d’inerties des différents générateurs. Les CCT calculés sont
comparés avec ceux du cas sans augmentation ni diminution de H dans le Tableau 4. 14. Nous
remarquons que la constante d’inertie H influe sur le CCT d’une manière considérable.
Tableau 4. 14: L’impact de la constante d’inertie H sur le CCT.
H Défaut 1 Défaut 2 Défaut 3
5-6* 1-6* 4*-6 -10% 477 478 468 469 213 214 0% 449 450 457 458 203 204
+10% 423 424 432 433 193 194
4.5 CAS 3 :10 GENERATEURS, 39 BARRES
C’est le réseau test IEEE 39 barres ‘New England’ qui comporte 10 générateurs, 21 charges,
39 barres, 34 lignes et 12 transformateurs.La Figure 4. 5 montre la configuration de ce réseau. Les
données nécessaires pour la simulation dans les Tableau 4. 15, 4. 16 et 4. 17.
L’etude de la stabilité transitoire pour ce cas est effectuée pour les défauts suivants :
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [4 14] plus proche de la
barre 4 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
t[s]
[°]
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
36
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [13 14] plus proche de la
barre 14 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Un défaut de court circuit triphasé symétrique sur la ligne [8 9] plus proche de la barre
8 et le défaut est éliminé par l'ouverture simultanée des disjoncteurs aux deux
extrémités de la ligne.
Figure 4. 9 Réseau 10 générateurs, 39 barres « New England ».
Tableau 4. 15: Les donnés des Générateurs.
Générateurs Ra X’d H 1 0 0.006 500 2 0 0.0697 30.3 3 0 0.0531 35.8 4 0 0.0436 28.6 5 0 0.123 26 6 0 0.05 34.8 7 0 0.049 26.4 8 0 0.057 24.3 9 0 0.057 34.5
10 0 0.031 42
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
37
Tableau 4. 16: Les donnés des branches.
barre type Vm � Pd Qd Pg Qg Qmin Qmax 1 0 1.00446 -12.62673 500 184 0 0 0 0 2 0 1.04849 -9.785266 0 0 0 0 0 0 3 0 1.0307077 -12.27638 322 2.4 0 0 0 0 4 0 1.00446 -12.62673 500 184 0 0 0 0 5 0 1.006006 -11.19234 0 0 0 0 0 0 6 0 1.0082256 -10.40833 0 0 0 0 0 0 7 0 0.9983973 -12.75562 233.8 84 0 0 0 0 8 0 0.9978723 -13.33584 522 176.6 0 0 0 0 9 0 1.038332 -14.17844 6.5 -66.6 0 0 0 0
10 0 1.0178431 -8.170875 0 0 0 0 0 0 11 0 1.0133858 -8.9369663 0 0 0 0 0 0 12 0 1.000815 -8.9988236 8.53 88 0 0 0 0 13 0 1.014923 -8.9299272 0 0 0 0 0 0 14 0 1.012319 -10.715295 0 0 0 0 0 0 15 0 1.0161854 -11.345399 320 153 0 0 0 0 16 0 1.0325203 -10.033348 329 32.3 0 0 0 0 17 0 1.0342365 -11.116436 0 0 0 0 0 0 18 0 1.0315726 -11.986168 158 30 0 0 0 0 19 0 1.0501068 -5.4100729 0 0 0 0 0 0 20 0 0.99101054 -6.8211783 680 103 0 0 0 0 21 0 1.0323192 -7.6287461 274 115 0 0 0 0 22 0 1.0501427 -3.1831199 0 0 0 0 0 0 23 0 1.0451451 -3.3812763 247.5 84.6 0 0 0 0 24 0 1.038001 -9.9137585 308.6 -92.2 0 0 0 0 25 0 1.0576827 -8.3692354 224 47.2 0 0 0 0 26 0 1.0525613 -9.4387696 139 17 0 0 0 0 27 0 1.0383449 -11.362152 281 75.5 0 0 0 0 28 0 1.0503737 -5.9283592 206 27.6 0 0 0 0 29 0 1.0501149 -3.1698741 283.5 26.9 0 0 0 0 30 2 1.0499 -7.3704746 0 0 250 161.762 140 400 31 1 0.982 0 9.2 4.6 677.871 221.574 -100 300 32 2 0.9841 -0.1884374 0 0 650 206.965 150 300 33 2 0.9972 -0.1931744 0 0 632 108.293 0 250 34 2 1.0123 -1.631119 0 0 508 166.688 0 167 35 2 1.0494 1.7765069 0 0 650 210.661 -100 300 36 2 1.0636 4.4684374 0 0 560 100.165 0 240 37 2 1.0275 -1.5828988 0 0 540 -1.3694 0 250 38 2 1.0265 3.8928177 0 0 830 21.7327 -150 300 39 2 1.03 -14.535256 1104 250 1000 78.4674 -100 300
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
38
Tableau 4. 17: Les donnés des lignes.
Barres R X Bc a
Barres D Barre A 1 2 0.0035 0.0411 0.34935 0 1 39 0.001 0.025 0.375 0 2 3 0.0013 0.0151 0.1286 0 2 25 0.007 0.0086 0.073 0 2 30 0 0.0181 0 1.025 3 4 0.0013 0.0213 0.1107 0 3 18 0.0011 0.0133 0.1069 0 4 5 0.0008 0.0128 0.0671 0 4 14 0.0008 0.0129 0.0691 0 5 6 0.0002 0.0026 0.0217 0 5 8 0.0008 0.0112 0.0738 0 6 7 0.0006 0.0092 0.0565 0 6 11 0.0007 0.0082 0.06945 0 6 31 0 0.025 0 1.07 7 8 0.0004 0.0046 0.039 0 8 9 0.0023 0.0363 0.1902 0 9 39 0.001 0.025 0.6 0 10 11 0.0004 0.0043 0.03645 0 10 13 0.0004 0.0043 0.03645 0 10 32 0 0.02 0 1.07 12 11 0.0016 0.0435 0 1.006 12 13 0.0016 0.0435 0 1.006 13 14 0.0009 0.0101 0.08615 0 14 15 0.0018 0.0217 0.183 0 15 16 0.0009 0.0094 0.0855 0 16 17 0.0007 0.0089 0.0671 0 16 19 0.0016 0.0195 0.152 0 16 21 0.0008 0.0135 0.1274 0 16 24 0.0003 0.0059 0.034 0 17 18 0.0007 0.0082 0.06595 0 17 27 0.0013 0.0173 0.1608 0 19 20 0.0007 0.0138 0 1.06 19 33 0.0007 0.0142 0 1.07 20 34 0.0009 0.018 0 1.009 21 22 0.0008 0.014 0.12825 0 22 23 0.0006 0.0096 0.0923 0 22 35 0 0.0143 0 1.025 23 24 0.0022 0.035 0.1805 0 23 36 0.0005 0.0272 0 1 25 26 0.0032 0.0323 0.2655 0 25 37 0.0006 0.0232 0 1.025 26 27 0.0014 0.0147 0.1198 0 26 28 0.0043 0.0474 0.3901 0 26 29 0.0057 0.0625 0.5145 0 28 29 0.0014 0.0151 0.1245 0 29 38 0.0008 0.0156 0 1.025
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
39
4.5.1 RÉSULTATS DE SIMULATION
Les résultats de l’écoulement de puissance pour le Cas 3 sont donnés dans le Tableau 4. 18,
les caractéristiques internes des générateurs sont données dans le Tableau 4. 19.
Tableau 4. 18: Les résultats de l’écoulement de puissance pour le Cas 3.
Jeu de barre Tension
[pu] Angle
[°] Charge Génération
[MW] [Mvar] [MW] [Mvar]
1 1.039 -13.537 97.6 44.2 0 0
2 1.048 -9.785 0 0 0 0
3 1.031 -12.276 322 2.4 0 0
4 1.004 -12.627 500 184 0 0
5 1.006 -11.192 0 0 0 0
6 1.008 -10.408 0 0 0 0
7 0.998 -12.756 233.8 84 0 0
8 0.998 -13.336 522 176.6 0 0
9 1.038 -14.178 6.5 -66.6 0 0
10 1.018 -8.171 0 0 0 0
11 1.013 -8.937 0 0 0 0
12 1.001 -8.999 8.53 88 0 0
13 1.015 -8.930 0 0 0 0
14 1.012 -10.715 0 0 0 0
15 1.016 -11.345 320 153 0 0
16 1.033 -10.033 329 32.3 0 0
17 1.034 -11.116 0 0 0 0
18 1.032 -11.986 158 30 0 0
19 1.050 -5.410 0 0 0 0
20 0.991 -6.821 680 103 0 0
21 1.032 -7.629 274 115 0 0
22 1.050 -3.183 0 0 0 0
23 1.045 -3.381 247.5 84.6 0 0
24 1.038 -9.914 308.6 -92.2 0 0
25 1.058 -8.369 224 47.2 0 0
26 1.053 -9.439 139 17 0 0
27 1.038 -11.362 281 75.5 0 0
28 1.050 -5.928 206 27.6 0 0
29 1.050 -3.170 283.5 26.9 0 0
30 1.050 -7.370 0 0 250 161.762
31 0.982 0 9.2 4.6 677.871 221.574
32 0.984 -0.188 0 0 650 206.965
33 0.997 -0.193 0 0 632 108.293
34 1.012 -1.631 0 0 508 166.688
35 1.049 1.777 0 0 650.000 210.662
36 1.064 4.468 0 0 560.000 100.165
37 1.028 -1.583 0 0 540.000 -1.369
38 1.027 3.893 0 0 830.000 21.733
39 1.030 -14.535 1104.000 250.000 1000.000 78.467
Total 6254.230 1387.100 6297.871 1274.939
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
40
Tableau 4. 19: Les caractéristiques des générateurs pour le Cas 3.
Générateur E' �0 Pm 1 1.0368 -13.8479 13.4999 2 1.0485 -9.7853 4.9845 3 1.0428 -21.4303 4.0025 4 0.9497 -25.8368 1.8627 5 1.0060 -11.1923 1.9006 6 1.0082 -10.4083 5.0392 7 0.9640 -19.5916 2.4889 8 0.9453 -31.7234 -0.9021 9 1.0749 -14.3686 3.6444
10 1.0178 -8.1709 8.5478
4.5.1.1 Le temps critique d’élimination du défaut
Le Tableau 4.20 présente les valeurs obtenues des CCT pour les différents défauts étudiés
pour le Cas 3 qui est constitué de 10 générateurs et 39 jeux de barres ‘New England’. Pour chaque
défaut nous avons utilisé les mêmes méthodes numériques de résolution implémentées dans
Matlab.
Tableau 4. 20: Les temps critiques d’élimination des trois défauts du Cas 3.
Méthode
CCT (ms)
Défaut 1 Défaut 2 Défaut 3
4*-14 13*-14 8*-9
Ode45 441 442 350 351 405 406 Ode23 445 446 350 351 406 407
Pour le premier défaut, l’oscillation des angles rotoriques des différents générateurs pour un
temps d’élimination du défaut de 441 ms et un temps d’élimination du défaut de 442 ms sont
données dans la Figure 4. 10 et la Figure 4. 11 respectivement. Nous remarquons que le premier
temps d’élimination le réseau retourne à la stabilité tandis que pour le second temps d’élimination le
système devient instable. Donc en peux conclure que le CCT est de 441 ms. Nous notons ici que
nous avons tracé les courbes de l’oscillation des angles rotoriques des différents générateurs pour le
premier défaut seulement et que des courbes similaires peuvent être obtenues pour les autres défauts
aussi.
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
41
Figure 4. 10 : Les différences d’angles entre le slack bus et les générateurs 2 et 3 pour un temps d’élimination du défaut de 441 ms.
Figure 4. 11 : Les différences d’angles entre le slack bus et les générateurs 2 et 3 pour un temps d’élimination du défaut de 442 ms.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-150
-100
-50
0
50
100
150
200
t[s]
[°]
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
t[s]
[°]
CHAPITRE 4 : APPLICATIONS ET RESULTATS
42
Dans le but d’étudier l’influence des constantes d’inerties des générateurs sur le CCT, en
supposant : une diminution de 10% des constantes d’inerties des différents générateurs et une
augmentation de 10% des constantes d’inerties des différents générateurs. Les CCT calculés sont
comparés avec ceux du cas sans augmentation ni diminution de H dans le Tableau 4. 21. Nous
remarquons que la constante d’inertie H influe sur le CCT d’une manière considérable.
Tableau 4. 21: L’impact de la constante d’inertie H sur le CCT.
H Défaut 1 Défaut 2 Défaut 3
4*-14 13*-14 8*-9 -10% 418 419 332 333 384 385 0% 441 442 350 351 405 406
+10% 462 463 367 368 425 426
De toutes les méthodes, Il est important de noter que les méthodes ODE45, ODE23 présente
des valeurs plus courtes de CCT et que l’ordre de criticité du défaut est maintenu pour chacun de
ces méthodes. Celle qui présente la meilleure performance précision – vitesse d’exécution est celle
de l’ODE 45 à pas variable. Elle convient spécialement aux études où la vitesse d’exécution est
prioritaire. Parmi les méthodes à pas fixe, celle qui présente la meilleure performance est le Runge
Kutta d’ordres 4.
4.6 CONCLUSION
À l’aide des méthodes de résolution des équations différentielles évalués et développés en
MATLAB comme l’ODE45, l’ODE23, nous pouvons déterminer le temps critique d’élimination de
défaut pour l’analyse de la stabilité transitoire. La précision présente l’avantage majeur de ces
algorithmes par rapport aux autres méthodes. L’inconvénient est le temps d’exécution lent.
Lorsque le réseau subit une perturbation importante, par exemple un défaut triphasé
symétrique, les paramètres de réseau déformés et la puissance électrique du générateur le plus
proche au défaut sera égale à zéro ou presque à zéro, la différence entre les puissances mécanique
et électrique induit une accélération ou une décélération pouvant entraîner la perte de
synchronisme.et qui induit des oscillation dans les angles rotoriques des autres générateurs, la
détermination de temps critique d’élimination de défaut conserve le retour du réseau au point de la
stabilité.
Dans ce chapitre, nous avons traité le problème de l’évaluation de la stabilité transitoire par la
méthode d’intégration numérique. Cette méthode permet d’inclure dans le modèle d’étude les
différentes composantes des réseaux et par la suite une évaluation précise de la stabilité transitoire.
Il faut noter que l’évaluation de la stabilité transitoire nécessite plusieurs simulations pour
différents temps d’élimination du défaut. Le temps de calcul est important, ce qui en fait un obstacle
pour l’application de cette méthode en temps réel.
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
43
CONCLUSION GENERALE ET PERSPECTIVES
L’analyse de la stabilité transitoire concerne l’analyse de la performance du réseau durant
une certaine période de temps. Le modèle du système utilisé pour l’analyse de la stabilité transitoire
ne contient pas uniquement les paramètres du réseau électrique, mais il contient également les
données dynamiques des différents générateurs. pour déterminer si chaque générateur pris d’une
manière individuelle sera capable de maintenir le synchronisme avec le reste du réseau suite à
l’occurrence d’un défaut donné. Le but principal de ce travail est la détermination du temps critique d’élimination de défaut
CCT. Le programme développé dans ce travail comprend l’écoulement de puissance et le modèle
classique de la machine synchrone. Dans le processus de conception de ce programme, deux
techniques de résolution des équations différentielles sont explorés ODE45 et ODE23 afin de
déterminer laquelle est la plus efficace. Une analyse comparative de la performance des
algorithmes, pour certains cas d’étude, est réalisée en considérant la précision de calcul.
Le programme développé est testé sur trois réseaux différents qui sont :
Cas 1 : le réseau de ‘WSCC’ qui est constitué de 3 machines et 9 barres.
Cas 2 : un réseau de 3 machines et 6 barres.
Cas 3 : le réseau ‘New England’ qui est constitué de 10 machines et 39 barres.
Il est important de noter que, la méthode classique développé dans ce travail donne des
réponses simples (stable ou instable) et ne permet pas de mesurer la marge ou le degré de stabilité
ou l’instabilité du réseau. Ces deux obstacles ont poussé les recherches vers d’autres techniques
pour l’évaluation de la stabilité transitoire d’une façon plus rapide et offrant la possibilité de
mesurer le degré de stabilité. Cela constitue notre principale perspective et une suite logique de
notre travail de master.
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44
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