Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière ... · In the first section of the paper, we outline the current regulatory framework and then introduce the upcoming

Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

pour l’obtention du diplôme d’Actuaire de l’Université de Lyon

Le 06 Mars 2013

Par : CHAUVEAU Gérald

Titre: Optimisation de l’allocation d’actifs sous contraintes Solvabilité II

Confidentialité : � NON ⌧ OUI (Durée : � 1 an ⌧ 2 ans)

Membres du jury de l’Institut des Actuaires

M. Patrick PERRET

Entreprise :

M. Frédéric PLANCHET PACIFICA

Membres du jury I.S.F.A. Directeur de mémoire en entreprise :

Mme Flavia BARSOTTI M. Nicolas THABAULT

M. Alexis BIENVENÜE

M. Areski COUSIN Invité :

Mme Diana DOROBANTU

Mme Anne EYRAUD-LOISEL

M. Nicolas LEBOISNE

M. Stéphane LOISEL Autorisation de mise en ligne sur

un site de diffusion de documents

actuariels (après expiration de

l’éventuel délai de confidentialité)

Mlle Esterina MASIELLO

Mme Véronique MAUME-DESCHAMPS

M. Frédéric PLANCHET

Mme

M.

Béatrice REY-FOURNIER

Pierre RIBEREAU

M. Christian-Yann ROBERT Signature du responsable entreprise

M.

M.

Didier RULLIERE

Pierre THEROND

Secrétariat Signature du candidat

Mme Marie-Claude MOUCHON

Bibliothèque :

Mme Patricia BARTOLO

50 Avenue Tony Garnier 69366 Lyon Cedex 07

Université Claude Bernard – Lyon 1

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D'ASSURANCES

Optimisation de l’allocation d’actifs sous contraintes SII

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE ............................. ............................................................................. 3

PARTIE I : ENVIRONNEMENT REGLEMENTAIRE .......... ............................................................ 6

1. SOLVABILITE I .................................................................................................................... 6 1.1 Introduction ............................................................................................................... 6 1.2 Exigence de marge et de solvabilité .................................................................... 7

1.2.1 En assurance non-vie ........................................................................................................ 7 1.2.2 En assurance vie ................................................................................................................ 8

1.3 Limites de Solvabilité I ............................................................................................ 8 2. SOLVABILITE II .................................................................................................................. 9

2.1 Objectifs de la réforme ........................................................................................... 9 2.2 Les trois piliers .......................................................................................................... 9

2.2.1 Pilier I : Exigences quantitatives ..................................................................................... 9 2.2.1.1 Bilan économique ........................................................................................................ 9 2.2.1.2 Les provisions techniques ........................................................................................ 10 2.2.1.3 Besoin en capital ....................................................................................................... 11

2.2.2 Pilier II : Exigences qualitatives .................................................................................... 20 2.2.3 Pilier III : Informations & reporting ............................................................................. 20

PARTIE II : OUTIL D’ALLOCATION D’ACTIF SOUS CONTRAI NTES SOLVABILITE II .............21

1. PRESENTATION GENERALE DE L’ACTIVITE DE PACIFICA ...............................................21 2. DESCRIPTIF DE L’OUTIL ...................................................................................................21

2.1 Objectifs et périmètre ........................................................................................... 21 2.2 Présentation générale de l’outil ........................................................................... 22

3. MODELISATIONS ...............................................................................................................24 3.1 Mesure de risque et de rentabilité ...................................................................... 24

3.1.1 Notion de frontière efficiente ................................................................................................ 24 3.1.2 Mesure de rentabilité et de risque ........................................................................................ 25

3.2 Modélisation du bilan ............................................................................................. 25 3.2.1 Postes de l’actif ................................................................................................................. 25

3.2.1.1 Choix de la granularité des classes d’actifs ......................................................... 27 3.2.1.2 Définition des contraintes ........................................................................................ 27 3.2.1.3 Portefeuille obligataire ............................................................................................. 29 3.2.1.4 Portefeuille diversifié ................................................................................................ 36 3.2.1.5 Trésorerie .................................................................................................................... 38 3.2.1.6 Synthèse de la modélisation ................................................................................... 39

3.2.2 Postes du passif ................................................................................................................ 40 3.2.2.1 Provisions pour primes ............................................................................................. 40 3.2.2.2 Provisions pour sinistres hors rente ...................................................................... 41 3.2.2.3 Provisions mathématiques des rentes .................................................................. 42

3.2.3 Fonds propres éligibles et autres éléments ................................................................ 42 3.2.3.1 Politique de distribution du résultat ...................................................................... 44 3.2.3.2 Emission de titres subordonnés ............................................................................. 44

4. CINEMATIQUE DE L’OUTIL ...............................................................................................45 4.1 Génération des allocations ................................................................................... 45

4.1.1 Description générale ........................................................................................................ 45 4.1.2 Description de l’algorithme ............................................................................................ 46

4.2 Projections déterministes et évaluation du couple rendement / risque. .... 47 4.2.1 Déroulé des éléments modélisés au bilan ................................................................... 47 4.2.2 Evaluation de la mesure de risque ............................................................................... 47

4.2.2.1 Calcul du SCR de marché ........................................................................................ 47 4.2.3 Evaluation de la rentabilité économique ..................................................................... 49

4.2.3.1 Calcul du résultat financier ..................................................................................... 49 4.2.3.2 Calcul du ratio de solvabilité ................................................................................... 50

4.3 Génération de la frontière efficiente .................................................................. 51 5. APPLICATIONS THEORIQUES ...........................................................................................52


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5.1 Simulation uni-période .......................................................................................... 52 5.1.1 Paramètres de simulation .................................................................................................... 52 5.1.2 Données économiques ........................................................................................................ 52 5.1.3 Présentation des résultats ................................................................................................... 53 5.1.4 Tests de sensibilités ............................................................................................................. 55

5.2 Simulation multi-période ...................................................................................... 57 5.2.1 Paramètres de simulation .................................................................................................... 57 5.2.2 Données économiques ........................................................................................................ 57 5.2.3 Analyse des résultats ........................................................................................................... 58

PARTIE III : DETERMINATION DE LA POLITIQUE FINANCIE RE ...............................................61

1. ETAPES CLEFS DE LA POLITIQUE FINANCIERE .........................................................................61 1.1 Principales hypothèses retenues ......................................................................... 62

1.1.1 Granularité des classes d’actifs ........................................................................................... 62 1.1.2 Hypothèses économiques .................................................................................................... 63

1.2 Choix de l’allocation efficiente ............................................................................. 64 1.2.1 Définition d’une contrainte « Solvabilité I » .......................................................................... 64 1.2.2 Définition d’une contrainte de ROE minimal ........................................................................ 64

2. PRESENTATION DES RESULTATS ...........................................................................................65 2.1 Frontière efficiente ................................................................................................. 65 2.2 Détermination de l’allocation cible par application des contraintes ............ 65

3. QUANTIFICATION DU RISQUE DES LIMITES PAR TRANCHE DE RATIN G ........................................66 3.1 Modélisation d’un portefeuille homogène fini : Hull-White ............................ 67 3.2 Probabilité de défauts S&P ................................................................................... 69 3.3 Application du modèle aux limites actuelles de Pacifica ................................ 70 3.4 Proposition de méthodologie de calibration des limites ................................. 73 3.5 Application pratique ................................................................................................... 75

4. CONCLUSION .......................................................................................................................76

PARTIE IV : GENERATEUR DE SCENARIOS ECONOMIQUES (GS E) ......................................77

1. OBJECTIFS ..........................................................................................................................77 2. LES MODELES GSE ..............................................................................................................77

2.1 Modèle de Wilkie ........................................................................................................ 77 2.1.1 Inflation .............................................................................................................................. 78 2.1.2 Taux d’intérêts .................................................................................................................. 78 2.1.3 Actions ................................................................................................................................. 79 2.1.4 Immobilier ......................................................................................................................... 79

2.2 Modèle d’Ahlgrim et Al. ......................................................................................... 79 2.2.1 Inflation .............................................................................................................................. 79 2.2.2 Taux d’intérêt ....................................................................................................................... 80 2.2.3 Actions ................................................................................................................................ 81 2.2.4 Taux de dividendes .............................................................................................................. 83 2.2.5 Immobilier ......................................................................................................................... 83

3. PRESENTATION DES RESULTATS DU CALIBRAGE DU MODELE D ’AHLGRIM ................................84 3.1 Présentations des données et des résultats de calibration ........................... 84 3.2 Exemple de simulations de trajectoire .............................................................. 91

4. CONCLUSION .......................................................................................................................92

CONCLUSION GENERALE ............................... ............................................................................93

ANNEXE 1 : ANALYSE STATISTIQUE DE LA CALIBRATION D’ AHLGRIM ..............................94

ANNEXE 2 : TESTS DE NORMALITE DE SHAPIRO-WILK ET KO LMOGOROV-SMIRNOV ......98

ANNEXE 3 : PRESENTATION DU CODE R DU CALCUL DE LA V RAISEMBLANCE ...............99

ANNEXE 4 : HISTORIQUE S&P 500 TOTAL RETURN .......... ................................................... 102

ANNEXE 6 : SENSIBILITES AUX DONNEES ECONOMIQUES ... ............................................. 104

BIBLIOGRAPHIE ..................................... .................................................................................... 107


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Introduction générale

L’environnement réglementaire est actuellement en pleine évolution impliquant une refonte en profondeur de l’appréhension et de la gestion des risques au sein des sociétés d’assurances. Dans ce contexte, l’actif représente une part non négligeable de l’ensemble des risques auxquels les assureurs sont exposés. Sous le référentiel Solvabilité II, le choix de l’allocation d’actifs aura un impact direct sur l’exigence de fonds propre des compagnies et, par voie de conséquence, sur le ratio de solvabilité des entreprises. L’allocation d’actifs devient donc un axe de pilotage important des compagnies d’assurance. L’objet de ce mémoire est de présenter la solution adoptée par Pacifica pour optimiser son allocation d’actifs en tenant compte des contraintes du référentiel Solvabilité II. L’approche considérée consiste à maximiser le rendement pour un niveau de SCR donné en intégrant aussi des contraintes de détention. La solution est basée sur un algorithme générant l’ensemble de toutes les allocations acceptables (en regard des différentes contraintes), puis calculant pour chacune d’elles un couple rendement / coût en capital. Les rendements sont issus d’hypothèses économiques passées en entrée et sont donc déterministes, le coût en capital est, quant à lui, basé sur la formule standard de Solvabilité II. Finalement une frontière efficiente est générée en éliminant les allocations sous-optimales de la population initiale. Pour ce faire, l’algorithme trie les allocations par ordre de risque croissant et rejette celles de rendements inefficients (càd toute allocation qui, pour un risque supérieur à celui du couple précédent, présente un rendement plus faible). D’autres approches sont décrites dans la littérature, notamment l’utilisation « d’algorithmes génétiques » ((ALLAG, 2008), (Dominicis)), ou bien l’optimisation selon le critère de maximisation des fonds propres (Planchet & Thérond, 2009). Le choix méthodologique retenu s’explique par la volonté de Pacifica de se doter d’un outil utilisable dans le cadre de missions différentes (détermination de l’allocation stratégique d’actifs permettant de définir la politique financière, ORSA, stress tests…). Dans la première partie de ce mémoire, nous rappelons l’environnement réglementaire actuellement en vigueur, puis nous présentons le futur référentiel « Solvabilité II ». Cette présentation permet de préciser, l’ensemble des contraintes entrant en jeu dans l’optimisation de l’allocation d’actifs. La seconde partie est consacrée à la présentation approfondie de l’outil. Nous détaillons, ainsi, l’ensemble des modélisations effectuées, les hypothèses requises, l’algorithmique, la cinématique des projections, et les différents résultats proposés en sortie de l’outil. La troisième partie illustre l’utilisation concrète de l’outil dans le cadre de la détermination de la politique financière. Enfin, dans la dernière partie, nous présentons une introduction aux générateurs de scénarii économiques motivée, principalement, par l’importance du choix des primes de risques dans les projections. La calibration d’un tel générateur sera donc essentielle et dans ce contexte, le modèle d’Ahlgrim a été implémenté et différents résultats sont présentés.


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Abstract

The regulatory framework is currently about to be updated, resulting in drastic changes in the risk management methodologies within the insurance sector. In that context, assets are meant to be a key variable within that risk management framework. Under Solvency 2, the choice of the asset allocation methodology will have a direct impact on capital requirement and therefore on the solvency ratio. Asset Allocation is about to become a key variable in the Insurance sector. The aim of this paper is to introduce the methodology of Pacifica in order to optimize the asset allocation process with respect to the Solvency 2 constraints. The method intends to maximize the yield for a given level of SCR accounting for custody constraints. Our method is based on an algorithm which generates all the possible allocations (with respect to the various constraints) and then calculates the corresponding yield / capital. Yields are derived from economic forecasts and are therefore deterministic. The cost of capital is based on the standard formulae of Solvency II. Finally an efficient frontier is then derived by removing the non-optimal candidates from the initial population. To do so, the algorithm sorts out the allocations by ascending risk order and then reject the ones with inefficient yield (i.e. allocations who offer a worst yield for a same (or better) risk). Other methodologies exist in the literature, notably based on “genetic algorithms” ((ALLAG, 2008), (Dominicis) or an optimization process of capital requirement (Planchet & Thérond, 2009). The choice of Pacifica’s methodology was motivated by the tool’s flexibility in order to cope with various situations (strategy asset allocation in order to define the financial policy, ORSA, stress tests…). In the first section of the paper, we outline the current regulatory framework and then introduce the upcoming solvency 2 guidelines. Our aim is to highlight the set of constraints involved to derive the optimal asset allocation. The second section is dedicated to a description in depth of the tool. We are describing the underlying models, the hypothesis, the algorithm, the dynamic of the simulated data and finally the results. The third part shows a concrete use of the tool to determine the financial policy of Pacifica. Finally, in the last section, we described a brief introduction on economic generator scenarios, based on the importance of the risk premium in the deterministic projections. Thus, calibration will be of first importance in this process. In this context, we have implemented the Ahlgrim model and various results are presented.


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Remerciements

En premier lieu, je remercie mon tuteur de mémoire, Christian-Yann Robert, pour sa disponibilité, sa réactivité dans nos échanges et la pertinence de ses remarques. Plus largement, je remercie les enseignants et le personnel de l’ISFA pour ces trois années, et en particulier, Stéphane Loisel, responsable à ce moment-là de la formation continue. Je remercie également Pacifica pour m’avoir ouvert ses portes et, avec elles, celles de l’assurance non-vie. En particulier, je remercie Nicolas Thabault, responsable de mon mémoire chez Pacifica, pour ses remarques pertinentes de fonds et de forme. Merci aussi à mes collègues de la DSA pour leurs différents conseils, aides et autres expériences partagées, ainsi que pour leurs bonnes humeurs quotidienne. « Last but not least », je remercie ma femme pour son soutien, son aide et, bien sûr, pour les nombreux week-end et soirées passés à travailler.


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Partie I : Environnement règlementaire

1. Solvabilité I

1.1 Introduction

L’activité d’assurance est née de l’aversion aux risques des individus envers tout événement incertain qui impacterait leurs richesses. Ainsi, un agent économique pourra préférer payer une somme certaine plutôt que de se voir exposer à un risque potentiel, c'est-à-dire un risque dont la réalisation est soumise à un aléa. Le regroupement, suffisant en nombre, de l’ensemble de ces agents autorise alors une mutualisation du risque et donne ainsi naissance à l’activité d’assurance. L’assureur collecte donc les primes de ses assurés en début de période pour pouvoir indemniser les moins chanceux d’entre eux qui auront subi les risques contre lesquels ils se seront protégés. Ainsi donc l’activité d’assurance s’inscrit dans un cycle économique inversé où l’assureur perçoit de l’argent avant d’en payer. Du point de vue de l’assureur, cette constatation souligne toute l’importance de la bonne tarification d’un contrat. Pour l’assuré, il est nécessaire que l’assureur puisse couvrir ses engagements. Pour respecter ses engagements, une société d’assurance doit donc faire preuve de prudence et, pour ce faire, se doit de constituer des provisions à partir des primes perçues. Cette capacité à respecter ses engagements est contrôlée par les autorités de tutelles. En France, par exemple, c’est l’ACP (l’Autorité de Contrôle Prudentiel) qui tient ce rôle. Donc la gestion des risques, qui est le cœur de l’activité d’assurance, est très strictement réglementée et fait l’objet de nombreux contrôles afin de préserver et protéger les intérêts des assurés. Les référentiels réglementaires actuels applicables aux compagnies d’assurances des différents pays européens sont nés, pour la plupart, de différentes directives européennes. Ces dernières présentent de nombreuses similitudes entre elles, mais diffèrent principalement par leur schéma comptable, notamment en ce qui concerne le provisionnement. Elles sont directement induites de la directive européenne de 1973² concernant l’assurance non-vie, et de celle de 1979 pour l’assurance vie donnant ainsi naissance au référentiel prudentiel « Solvabilité I » qui repose entièrement dessus. « Solvabilité I » impose une exigence de fonds propres minimal, à toutes compagnies d’assurance, qui vise à couvrir ses engagements vis-à-vis de tiers, soit la « marge de solvabilité ». Cette dernière doit être représentée par des actifs éligibles spécifiés et peut faire l’objet d’un contrôle à tout moment de la part des autorités de tutelles. Le non-respect de cette règle entraine la perte de l’agrément de la société, et met donc en péril toute l’activité de celle-ci en cas de non-respect. Le suivi des risques et le pilotage sont donc des axes majeurs pour les entreprises d’assurances. En particulier, il est demandé aux compagnies de procéder à des réalisations de simulations d’adéquations actif / passif de façon trimestrielle et, annuellement, de produire un rapport de solvabilité.


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1.2 Exigence de marge et de solvabilité

Le calcul de la marge de solvabilité est défini dans le code des assurances français, qui spécifie en premier lieu via l’article R334-1, son caractère obligatoire pour toutes compagnies d’assurances : «... Toute entreprise visée au 3° ou au 4° de l'article L. 310-2 doit justifier de l'existence d'une marge de solvabilité suffisante relative à ses activités sur le territoire de la République française. ».

Son calcul est précisé à l’article R 334-5 et diffère en fonction de l’activité (assurance vie ou assurance dommage).

1.2.1 En assurance non-vie

Dans ce cadre, les produits suivants sont concernés :

� IARD (Incendie Accident Risque Divers) : Automobile, GAV, protection juridique, polices agricoles, polices RC…

� Incapacité � Invalidité � Frais de santé � Décès accidentel � Dépendance

Le calcul de l’EMS (Exigence de Marge de Solvabilité) est défini comme étant le maximum entre deux montants calculés indépendamment et portant pour l’un sur les primes et pour l’autre sur les sinistres. Méthode basée sur le montant des primes : Un premier calcul intermédiaire est effectué comme suit :

où l’assiette de calcul est le maximum entre le montant des primes émises brutes et des primes acquises brutes et est noté P. Nous multiplions alors le montant obtenu ci-dessus par la proportion de cession en réassurance sur les trois derniers exercices, c'est-à-dire :

Où le ratio des sinistres « nets » sur « brutes » est calculé sur les trois derniers exercices. Méthode basée sur la charge moyenne des sinistres : De façon général, la charge moyenne retenue pour le calcul est la moyenne des trois derniers exercices que nous notons S1.

Et de même que pour la méthode des primes, nous appliquons le coefficient de cession en réassurance calculé sur les trois derniers exercices :

1 « La moyenne est calculée sur les sept derniers exercices si la compagnie couvre

essentiellement l’un ou plusieurs des risques crédit, tempête, grêle ou gelée. »


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Calcul final pour l’obtention de l’exigence de marge : Suite à l’obtention des deux montants ci-dessus, l’EMS pour l’année N est donné par la formule suivante :

1.2.2 En assurance vie

Concernant l’assurance vie, le calcul de l’exigence de marge de solvabilité est égal à la somme de deux éléments, l’un basé sur le montant des provisions mathématiques brutes et l’autre basé sur les capitaux sous risques brutes :

Avec « PM » désignant les provisions mathématiques et CSR les capitaux sous risques.

1.3 Limites de Solvabilité I

La mise en place de ce premier référentiel prudentiel trouve très rapidement ses limites et faiblesses. Tout d’abord, ce dernier ne s’inscrit pas dans l’appréhension et la compréhension des risques propres à chaque compagnie d’assurance, et comme nous l’avons vu précédemment, l’exigence de marge n’est liée qu’au volume des primes et sinistres. On remarquera particulièrement l’opacité de la formule de calcul de cette exigence de marge. Enfin, il est à noter qu’aucun effet de diversification des risques n’a d’incidence sur l’exigence de marge. Inévitablement, la principale conséquence en fut l’émergence de nombreuses disparités entre les différents états membres. Evidemment, à cela s’ajoute l’incohérence évidente avec les normes IFRS en vigueurs. Ainsi pour résumer, les trois principales limites que l’on peut opposer à ce référentiel sont :

i) Cadre non basé sur la connaissance des risques. ii) Disparités règlementaires dans l’UE. iii) Incohérence avec la mise en place des normes IFRS.

Suite à ces différents constats, il a été décidé une évolution (modernisation) de ce cadre pour tenir compte des limites évoquées et pour offrir une meilleure protection des assurés.


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2. Solvabilité II

2.1 Objectifs de la réforme

Comme nous venons de le voir, le nouveau référentiel prudentiel « Solvabilité II » est né des limites du cadre précédent. Ce nouveau projet a été mené par la Commission Européenne qui en a dessiné le cadre ainsi que par le CEIOPS (Committee of European Insurance and Occupational Pensions Supervisors) qui a fourni ses recommandations sur la structure de ce référentiel. Son objectif premier est une meilleure harmonisation passant par une prise en compte et compréhension des risques beaucoup plus fine et précise pour obtenir une réelle adéquation entre ces derniers et les exigences de solvabilité. En fil directeur, on trouve l’approche économique de la vision du bilan (évaluation en juste valeur), les principes de proportionnalité et de matérialité ainsi que la convergence des pratiques de contrôles2.

2.2 Les trois piliers Début 2003, une première ébauche, en trois piliers, de l’architecture de ce nouveau référentiel a été créé de façon analogue au comité Bâle 2 du secteur bancaire. Parallèlement, des études quantitatives d’impact (QIS) ont été lancées pour calibrer au mieux les règles en devenir, mais aussi pour avoir un ressenti réel des acteurs du marché quant à l’impact de la nouvelle réglementation sur ces derniers. En juillet 2007 la Commission Européenne a publié la directive cadre, pour une entrée en vigueur vraisemblable début 2014. Solvabilité II place donc la gestion des risques au cœur des préoccupations des entreprises, ces dernières étant encouragées à une gestion saine des risques, à la mise en place d’un système de gouvernance et de mesure des risques (ORSA) ainsi qu’à une plus grande transparence et fiabilité des informations communiquées à la fois aux autorités de tutelles et au marché.

2.2.1 Pilier I : Exigences quantitatives Le pilier I repose sur la valorisation économique du bilan afin de mieux quantifier les besoins prudentiels, cela passant en particulier, par une nouvelle approche de l’évaluation des provisions techniques, dites du « Best Estimate ». Pour le besoin en capital réglementaire, il est matérialisé par la création de deux niveaux de capitaux distincts, le MCR (Minimum Capital Requirement) et le SCR (Solvency Capital Requirement) ces derniers étant calculés, comme nous allons le voir, soit à l’aide d’une « Formule Standard », soit par l’intermédiaire d’un « modèle interne » (intégral ou partiel).

2.2.1.1 Bilan économique

Comme nous venons de le souligner, l’un des concepts clefs de « Solvabilité II » est l’évaluation des différents postes du bilan à leurs valeurs de marché. Ce faisant, cela permet une vision particulièrement représentative, à un instant précis, de la santé financière d’une compagnie. Concernant l’actif, l’évaluation provient d’une lecture directe des prix de marchés observables et, dans le cas contraire, de modèles de valorisation. Pour le passif, l’idée est encore d’appréhender la vision la plus juste possible, notamment dans l’évaluation des provisions techniques qui vaut la somme de deux éléments distincts : le « Best Estimate » et la « marge de risque ».

2 cf. « Solvabilité II – Limites et opportunités de la réforme // janvier 2010 » Optimind.


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Ci-dessous une illustration du bilan solvabilité II et son équivalent en norme comptable Française (French Gaap).

Figure 1 : Comparaison bilan en norme française ver sus norme Solvabilité II

2.2.1.2 Les provisions techniques

Les provisions techniques correspondent au montant qu’une compagnie d’assurance aurait à payer si cette dernière souhaitait transférer les obligations qu’elle porte, vis-à-vis de ses assurés, à une tierce compagnie d’assurance.

Evaluation en « Best Estimate »

La réglementation (Directive Art. 77) donne comme définition du « Best Estimate » : «...La moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l’argent.. ». En d’autres termes c’est la valeur actuelle probable des flux de trésorerie futurs, prenant en compte la valeur temporelle de l’argent et estimée sur la base de la courbe des taux sans risque. Des méthodes de provisionnements déterministes classiques (Chain-Ladder standard et/ou pondérés), autorégressives (London-Chain), ou basées sur les « Loss Ratio » et jusqu’aux méthodes stochastiques (Mack) sont utilisées pour la mise en œuvre pratique du calcul de ce Best Estimate.

Notion de « Marge pour risque »

La marge pour risque est partie intégrante des provisions techniques et a pour but d’assurer que ces dernières soient équivalentes au montant qu’une autre compagnie d’assurance (ou de réassurance) demanderait pour reprendre et honorer les engagements de la présente activité. En effet, il est aisé de s’imaginer que les flux futurs réels peuvent être grandement différents de ceux associés au calcul du BE, le


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cessionnaire n’acceptera alors le risque pris qu’en échange d’un montant additionnel au BE, c'est-à-dire, la marge pour risque. La méthode de calcul associée est celle dite du « Cost of Capital » (CoC), qui part du principe que le cessionnaire se devra d’immobiliser des fonds propres éligibles (et cela à hauteur du capital de solvabilité nécessaire pour faire face aux engagements et pendant toute la durée de ceux-ci) et qui devront naturellement être rémunérés. Le taux de rémunération, c'est-à-dire le taux du coût du capital, est le même pour toute compagnie d’assurance (réassurance) et est révisée périodiquement. La marge pour risque est ainsi égale au produit des fonds propres à immobiliser par ce taux. A titre d’exemple, le taux retenu pour le QIS 5 est de 6%.

2.2.1.3 Besoin en capital

Le besoin en capital réglementaire est matérialisé par la création de deux niveaux de capital distinct :

- Minimum Capital Requirement (MCR) : niveau minimal de capital en deçà duquel une

compagnie d’assurance ne peut fonctionner (les autorités de tutelles intervenant immédiatement).

- Solvency Capital Requirement (SCR) : garantissant la solvabilité annuelle de la

compagnie et ce même en cas de réalisation d’évènements majeur.

En résumé, nous pouvons schématiser comme suit :

Figure 2 : Résumé de la nouvelle structure d'exigen ce de capital ( Source Pacifica )

MCR : Minimum Capital Requirement : « Capital minimum requis »

Comme précisé précédemment, si ce niveau minimum de fonds propre n’est pas respecté à un quelconque moment, les autorités de contrôles sont immédiatement averties et peuvent retirer l’agrément de la compagnie. Le MCR correspond à un besoin en capital permettant de prévenir une ruine, de probabilité 85% à horizon un an : c’est à dire une VaR 1an 85%.


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Dans les spécifications techniques du QIS 5, son calcul est spécifié comme suit :

Et

Avec

Les MCR vie et non-vie sont fonction des provisions Best Estimate de différentes lignes de business, des primes émises nettes et des paramètres calibrés par l’EIOPA. Nous remarquons que le MCR est soumis à un seuil minimal (AMCR valant 2,2 M€ pour les sociétés d’assurance non-vie).

SCR: Solvency Capital Requirement : “ Capital cible à respecter”

Description :

« Selon l’idée que la marge de solvabilité correspond aux fonds propres économiques, c’est-à-dire la différence entre les actifs et les engagements de passifs, évalués sur la base d’une vision cohérente avec les valeurs de marché, l’idée phare de Solvabilité II dans la recherche des besoins de couverture de la solvabilité des assureurs est la mise en œuvre d’une probabilité de ruine à moins de 0,5 %, niveau de sécurité retenu dans le cadre des modèles internes du projet Solvabilité II. » (Optimind, 2007) Ainsi le SCR correspond au capital requis pour faire face à un risque de ruine, de probabilité 99,5% à horizon un an.

Ce niveau de capital requis peut être calculé de plusieurs façons : soit par l’utilisation de la formule standard (stress tests), soit par le développement d’un modèle interne, soit par l’utilisation d’un mixte des deux précédents, c'est-à-dire un modèle hybride. Quelque soit le moyen choisi, l’idée sous-jacente est l’appréhension et la compréhension de tous les risques importants et raisonnablement quantifiables pour protéger au mieux la solvabilité des compagnies.

Formule standard :

La formule standard présente une structure modulaire répartie sur différents niveaux, chaque module représentant un risque spécifique et les sous modules y afférents (des niveaux inférieurs) représentant eux, les risques élémentaires constitutifs de ces derniers. Pour chacun de ces modules, un besoin en capital spécifique est calculé à l’aide d’une méthodologie spécifiée et précise. Le plus souvent il s’agit de l’application d’une formule fermée ou d’un stress test appliquée à chaque sous-module et l’agrégation de ces derniers se faisant, via des matrices de corrélation permettant alors une prise en compte des structures de dépendance propre à chaque risque.


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Figure 3 : Structure de la formule standard pour le calcul du SCR (Source EIOPA)

Nous constatons sur le schéma ci-dessus, que six branches de risques principales se distinguent :

� Risque de marché : risque lié aux marchés financiers.

� Risque santé : risque de souscription lié aux engagements santé.

� Risque de défaut : risque défaut de contrepartie (yc les réassureurs).

� Risque vie : risque de souscription lié aux engagements vie.

� Risque non-vie : risque de souscription lié aux engagements non-vie.

� Risque incorporels : risque associé aux actifs incorporels.


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Nous distinguons également un niveau intermédiaire, entre ces risques et le SCR requis, composé des trois modules suivants :

� BSCR :

C’est le SCR de base et il correspond à l’agrégation des six modules précédents, il est égal à :

�,�

�,�

� � ��

Avec les �, coefficients de la matrice de corrélation suivante :

Figure 4 : Matrice de corrélations du BSCR (source QIS 5)

� OP :

C’est le module de risque opérationnel qui reste un risque très difficile à appréhender et quantifier. Sa valeur est fonction du BSCR, des cotisations acquises de l’année en cours et de la précédente ainsi que des provisions techniques vie et non-vie.

� ADJ : Ce module permet d’apprécier la capacité d’atténuation des pertes par la considération du mécanisme des provisions techniques (participation aux bénéfices) et par celui des impôts différés. Il vient donc en diminution du SCR. Nous détaillerons ici uniquement la partie relative aux impôts différés, puisque ce mémoire se place dans le cadre plus particulier des compagnies d’assurance non-vie, et donc ne détenant pas de contrats avec mécanisme de participation aux bénéfices.

�� (Deffered taxes)

Dans ce cas-là le mécanisme autorise l’assureur à prendre en compte le crédit d’impôt qu’il lui serait accordé en cas d’un événement adverse de forte amplitude, équivalent à la perte instantanée du SCR calculé sans prise en compte de l’impôt différé. Nous obtenons donc, avec un taux d’impôt société égal à 34,43%, la relation suivante :

��

Nous allons notamment nous intéresser au cas particulier du risque de marché puisque c’est celui qui sera, par la suite, développé et analysé.

� Risque de marché

C’est un risque lié à une évolution défavorable des prix et / ou des taux sur les marchés financiers et qui, en conséquence, peut potentiellement venir diminuer conséquemment la valeur de l’actif et affecter celle du passif.


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Les principaux facteurs de risques élémentaires sont le risque de taux d’intérêt, le risque action, immobilier, d’écartement des spread, et le risque de concentration.

o Risque de taux d’intérêt

Ce risque nait de la sensibilité, à la fois du passif et de l’actif, à la structure par terme des taux et donc à ses déformations potentielles. Pour le passif cette sensibilité est directement liée à l’actualisation des flux dans le calcul des provisions technique par la méthode de Best Estimate.

Pour l’actif, ce sont principalement les instruments obligataires qui sont concernés par ce risque. Le calcul du besoin en capital est le résultat du scenario le plus défavorable entre un stress test de hausse des taux et un stress test de baisse des taux. Les spécifications techniques du QIS 5 donnent les changements relatifs à appliquer à chaque maturité de la courbe des taux pour pouvoir réévaluer chaque instrument de l’actif, et les Best Estimate du passif en utilisant les nouvelles courbes de taux choquées.

Figure 5 : source spécifications techniques QIS 5


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� ( �� ) désigne le choc à la hausse (à la baisse) permettant de transformer le taux de maturité t comme suit :

� �

Et ��

Après réévaluation de l’actif et du passif à l’aide de ces nouvelles courbes, la variation de NAV (fond propres) la plus pénalisante est retenue comme étant le besoin en capital élémentaire au titre du risque de taux : - ��

� désigne le capital requis dans le cas d’un choc à la hausse. - ��

�� désigne le capital requis dans le cas d’un choc à la baisse. - ��

� désigne le capital requis dans le cas d’un choc à la hausse incluant la capacité d’absorption de perte des provisions techniques.

- ��

�� désigne le capital requis dans le cas d’un choc à la baisse incluant la capacité d’absorption de perte des provisions techniques.

Et nous obtenons : Si ��

��

�� alors ��

Et inversement si ��

��

�� alors ��

o Risque actions

Ce risque provient des variations, et notamment des baisses, que l’on peut observer sur les marchés actions. Tout instrument à l’actif ayant une sensibilité à ce facteur de risque entre dans le périmètre de calcul, y compris les participations stratégiques détenues en portefeuille. Enfin le régulateur propose une distinction au niveau du choc qui est fonction du secteur géographique : - Actions Globales : Actions cotées de l’OCDE ou de l’UEE.

- Actions Autres : Actions non OCDE ou non cotées.

Pour chacune de ces catégories ci-dessus, on effectue un stress test en appliquant les chocs forfaitaires suivants à la valeur de marché totale de chacune des classes définies ci-dessus :

Figure 6 : source spécifications techniques QIS 5

Les chocs suivants sont ensuite soumis à un ajustement correctif permettant une atténuation ou accentuation des chocs de base suivant l’évolution particulière du marché action : il s’agit de « l’effet Dampener ». Le calcul de l’ajustement Dampener est le suivant :

� ��

��


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Avec It désignant le MSCI World à la date t, et n représente le nombre de cotation sur trois ans. Le résultat obtenu est alors borné entre +/-10%. Cet ajustement représente l’écart de la valeur actuelle de l’indice à sa moyenne mobile trois ans, exprimé en pourcentage de cette moyenne mobile. Il est à noter que ce coefficient d’ajustement est très volatil d’une année à l’autre : il valait par exemple -9% à fin 2009 et +10% fin 2010. Finalement les chocs à appliquer aux deux catégories d’actions deviennent :

Figure 7 : Synthèse des chocs actions applicables (s ource QIS 5)

Concernant les participations d’entreprises, un choc spécifique leur est appliqué : 22% pour les participations stratégiques listées ou non sur les marchés réguliers de l’UEE ou de l’OCDE. Les autres participations (hors institutions financières ou de crédit) sont choquées comme des actions standards. Ainsi, nous obtenons, en notant �, le capital requis en regard du choc action de type i (c'est-à-dire « globale » ou « autres ») :

� � � ��

Et finalement, le coût en capital global pour le risque action :

�� ,� � �

�,�

Ou �,� est le coefficient de corrélation entre les risques « actions globales » et « actions

autres » fixé par l’EIOPA à 0,75.

Figure 8 : Matrice de corrélations entre actions « Global » et « Others » (source QIS 5)

o Risque immobilier

Le périmètre d’application de ce risque couvre l’ensemble des investissements sensibles à l’évolution du marché de l’immobilier, et plus particulièrement :

- SCI immobilière, entreprises immobilières. - Immeubles d’exploitations. - Terrains, et biens immobiliers.

Le besoin en capital au titre de ce risque est obtenu par application d’un choc de 25% à la valeur de marché du périmètre immobilier. C'est-à-dire, en notant �!!�"��le coût en capital :

�!!�"�� !��!!�"��


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o Risque de spread

Ce risque a pour but de prendre en considération l’impact d’une hausse du niveau des spreads de crédit (hausse reflétant l’augmentation du risque de défaut d’un émetteur). Le périmètre couvert par ce risque considère les obligations non gouvernementales3 (même si aujourd’hui nous sommes en droit d’imaginer que celles-ci seront finalement intégrées au périmètre suite à la crise des dettes souveraines...), les dettes subordonnées, les produits structurés ainsi que les produits dérivés de crédit comme les CDS (Crédit Default Swap).

Le coût en capital, dans le cas obligataire (plus fréquent), est alors égal à :

#��$%"��&��

�

'"%"��&

��

��

�

Ainsi pour chaque obligation, on applique un choc de spread dépendant du rating du titre en question : le produit de cette hausse de spread avec la sensibilité crédit du titre et sa valeur de marché quantifie la perte de valeur du titre individuel à ce choc de crédit.

Figure 9 : Synthèse des paramètres de chocs de sprea d (source QIS)

Le tableau ci-dessus précise une duration planché et plafond à niveau de rating donné. Par ailleurs la duration modifiée retenue dans le calcul précédent vaut :

Un certain nombre de cas particuliers existent et impactent notamment la valeur du coefficient Fup ; c’est le cas des « Covered Bonds » et autres obligations gouvernementales hors EEA.

o Risque de devises Ce risque est directement lié aux changements en niveau et à la volatilité associée aux taux de change, lorsque, par exemple, le portefeuille d’une compagnie est exposé à différentes devises. Le périmètre de ce sous-module englobe tout élément de l’actif ou passif exposé à un risque de change. Nous définissons la devise locale (local currency) comme étant celle du lieu où la compagnie d’assurance prépare ses états financiers et ainsi toute autre devise sera appelée « devise étrangère » (foreign currency). Le coût en capital au titre de ce risque est alors donné par :

3 Les obligations gouvernementales hors EEA sont incluses dans le périmètre de calcul.


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(�� (*+,()�

(*+,()��

(

Avec C désignant les devises étrangères et :

(*+,()�

-+��$�.��/

Et,

(*+,()��

-+��$�.��/

Où le scénario « FxUpward Shock » est une augmentation instantanée de la valeur de la devise étrangère C de 25% par rapport à la devise locale. Inversement, le scénario « FxDownward Shock » correspond à une baisse instantanée de la valeur de la devise étrangère C de 25% par rapport à la devise locale.

o Risque de concentration Le périmètre couvert ici comprend ceux des risques actions, immobiliers et spread. Ce risque quantifie l’exposition à chaque contrepartie détenue en portefeuille. Il vient donc pénaliser un portefeuille peu diversifié et donc plus risqué. En notant :

- Ei : La somme des expositions à la contrepartie i. - Assetxl : Le montant global des expositions entrant dans le périmètre. - Ratingi : Rating de la contrepartie i, égal à la moyenne des notations pondérées

par leurs expositions en cas de plusieurs expositions à la contrepartie i. Nous obtenons alors pour le coût en capital au titre du risque de concentration :

��

0�

où CT désigne la limite acceptable de concentration au-delà de laquelle un coût en capital est nécessaire.

1 1

Avec gi fonction du rating de la contrepartie,

Figure 10 : Définition de la fonction gi (source QI S 5) Et finalement, nous obtenons le capital requis pour le risque de concentration :

(�� 2

�

Là encore un certain nombre de cas particuliers existent et influent sur les paramètres et notamment ceux de la fonction gi mais aussi sur la limite de concentration acceptable CT.


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o Risque d’illiquidité

Sur les marchés financiers, la liquidité d’un titre est rémunérée par la prime d’illiquidité : moins un actif est liquide, plus il est risqué et donc plus grande est la prime d’illiquidité associée pour rémunérer le porteur de ce risque supplémentaire. Lors du calcul des provisions techniques une prime d’illiquidité, spécifiée par l’EIOPA et fonction de la duration des titres, est ajoutée à la courbe des taux. L’effet est une diminution du montant des provisions calculées. Ainsi en cas de diminution de la prime d’illiquidité sur le marché, le passif augmentera en conséquence. Le coût en capital associé à ce risque est donné par la relation ci-dessous :

��$��é �.��$��!��$��é

Le choc de prime d’illiquidité correspondant à une baisse de 65% de la prime d’illiquidité initiale.

2.2.2 Pilier II : Exigences qualitatives L’objectif du pilier II est la définition et l’harmonisation des activités de surveillance, et cela en complétant les mesures du pilier I par des exigences qualitatives en termes de gouvernance et de gestion des risques. Le pilier II concerne donc les activités de contrôle et de supervision avec pour principe phare, une gestion saine des risques passant par un processus de surveillance prudentielle renforcé. Il prône ainsi une efficacité du contrôle interne et un niveau de fonds propres en adéquation avec son propre profil de risque. En cas de manquements importants, les autorités de contrôle peuvent exiger un capital « Add-on », c’est-à-dire une exigence de fonds propre supplémentaire.

2.2.3 Pilier III : Informations & reporting

Le pilier III de la réforme couvre toute la partie communication de l’information prudentielle (donc à destination des autorités de contrôle) et de l’information à destination du public. Il se base sur les trois grands principes suivants :

• Principe de transparence • Exigence d’informations • Communication financière

Les états membres devront donc exiger que les entreprises d’assurance (et réassurance) publient annuellement un rapport annuel sur leur solvabilité et leur situation financière. Le pilier III repose sur la remontée de tableaux de bord faisant ressortir des indicateurs de risques pertinents et fiables permettant l’action et la prise de décision.


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Partie II : Outil d’allocation d’actif sous contraintes Sol vabilité II

1. Présentation générale de l’activité de Pacifica

Pacifica est la filiale assurance dommages du groupe Crédit Agricole Assurances et a été créé en 1990 en lançant un process innovateur de gestion des sinistres par téléphone. Ce modèle original de gestion des sinistres repose sur l’efficacité, via une relation client par téléphone, assurée par 16 unités de gestion des sinistres (UGS) et une unité de gestion « Récoltes » réparties dans toute la France. La gamme des produits proposé, et axés sur le développement de l’assurance dommages, est précisée ci-dessous :

- L’automobile - L’habitation - Les garanties accidents de la vie (GAV) - La protection juridique - La Santé.

Fort de son modèle de bancassurance (réseau de distribution des Caisses Régionales et du LCL), Pacifica se situe à présent parmi les premiers assureurs dommages en France avec un chiffre d’affaires en croissance de 12,9% en 2010 à 2,1md€ et de 9,5% en 2011 à 2,3md€, alors que la progression moyenne du marché a été, pendant ces deux périodes respectivement de 1,5% et de 4%. Fin 2011, Pacifica compte plus de 8,8 millions de contrats en portefeuille.

2. Descriptif de l’outil

2.1 Objectifs et périmètre

Comme nous l’avons vu dans le précédent chapitre, les principes de la directive Solvabilité II conduisent à des niveaux de fonds propres directement liés avec la stratégie d’allocation d’actifs. A titre d’illustration et pour s’en convaincre, il suffit de comparer les coûts en fonds propres d’un investissement en actions hors EEA, à un investissement en obligataire souverain par exemple.

Ainsi l’un des effets majeurs de Solvabilité II est la pénalisation de l’investissement en actions et de l’inadéquation actif/passif en général. Il convient alors de définir de nouveaux équilibres entre le coût en capital d’une catégorie d’investissement et sa rentabilité espérée à long terme. En vue de ces évolutions, il semble pertinent, voire nécessaire, d’intégrer l’exigence de capital sous Solvabilité II, dans l’étude d’allocation d’actifs. Dans le cadre de l’ORSA (Pilier II) également, la stratégie d’allocation d’actifs constitue de même un point majeur notamment au niveau du suivi des limites associées au risque de marché. Les stratégies d’allocation pourront en effet être comparées avec la stratégie actuelle selon les critères de rentabilité et de respect des contraintes de l’appétit pour le risque. C’est dans ce contexte que s’est inscrit le développement de l’outil d’allocation stratégique d’actifs. Il a pour objectif d’assister Pacifica, notamment dans le cadre de l’élaboration de sa politique financière, pour prendre en compte les contraintes liées à Solvabilité II, et plus particulièrement le coût en fonds propres, dans ses décisions d’allocation de son portefeuille d’actifs.


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Pour répondre à ces besoins, l’outil permet la détermination de l’ensemble des couples rendement / capital sur un horizon de projection donné, pour un jeu d’allocations d’actifs cible, défini à partir de caractéristiques de déviation par rapport à l’allocation d’actif initiale à la date de calcul. A partir de l’ensemble des couples rendement / capital obtenus, l’outil permet l’obtention d’une frontière efficiente permettant :

- De déterminer une allocation optimale, sur l’horizon de projection,

permettant de minimiser le coût en fonds propres (c’est à dire le SCR) pour une espérance de rendement cible,

- De déterminer une allocation optimale, sur l’horizon de projection,

permettant de maximiser l’espérance de rendement pour un coût en fonds propres cible (c’est à dire le SCR cible).

2.2 Présentation générale de l’outil

L’outil a été réalisé sous environnement Excel, programmé en langage VBA. Il a été pensé conjointement par la Direction de la Solvabilité et de l’Actuariat (DSA), la Direction Financière de Pacifica, et un cabinet de conseil en actuariat qui a, de plus, effectué son implémentation informatique. Mon implication dans le projet s’est traduite par ma participation aux différents ateliers de réflexions sur le développement de l’outil, le suivi du bon déroulement de son implémentation (gestion de la relation avec le cabinet de conseil) et enfin la réalisation de l’ensemble des tests de validation (vérification des calculs de SCR marché, des valorisations de marché, de l’évolution des réserves, tests aux conditions limites etc…) prérequis avant toute officialisation de la viabilité de l’outil. L’outil requière principalement en paramètre d’entrée :

- Une date initiale de projection,

- Un horizon de projection fonction du Plan Moyen Terme (PMT),

- Un portefeuille d’actifs,

- Des hypothèses techniques et économiques liées à l’actif, au passif et autre poste du bilan.

Le but ultime étant l’obtention d’une frontière efficiente à l’horizon de la projection, un jeu d’allocation d’actifs est généré par l’outil (après prise en compte de nombres de contraintes) et est alors projeté jusqu’à l’horizon de calcul où des mesures de risques et de rentabilité sont calculées. Il est à préciser que quelque soit l’allocation testée, l’allocation initiale est toujours celle du portefeuille entré dans l’outil. L’outil propose alors plusieurs façons de converger vers l’allocation testée en laissant le choix de la date d’atteinte de l’allocation cible.

Figure 11 : paramétrage du temps d'atteinte de l'al location cible

Dès que cette date sera atteinte, l’outil effectuera des débalancements de portefeuille permettant de disposer d’une structure de portefeuille d’actifs cohérente avec l’allocation cible pré-générée. Pour chaque pas de projection antérieur à la date d’atteinte de


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l’allocation cible renseignée, l’allocation sera définie telle que l’allocation cible sera atteinte linéairement à partir de la structure initiale du portefeuille à t=0 pour chaque t inférieur à la date d’atteinte de l’allocation cible.

Figure 12 : illustration de la convergence vers l'a llocation cible

Voici de façon schématique un résumé du fonctionnement de l’outil, fonctionnement qui sera étudié en détail dans les prochaines parties de ce mémoire.

Figure 13 : fonctionnement schématique de l'outil d 'allocation d'actif


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3. Modélisations

3.1 Mesure de risque et de rentabilité Comme nous venons de le préciser, l’objectif premier de cet outil est de proposer une allocation d’actif optimale, au sens de la rentabilité pour un niveau de risque fixé (ou inversement), respectant un ensemble de contraintes imposées. Apparaît alors clairement l’importance de définir avec précision les mesures de risques et de rentabilité. Enfin, le choix de cette allocation s’effectuera via l’obtention d’une frontière efficiente dont nous rappelons ci-dessous le concept.

3.1.1 Notion de frontière efficiente

C’est un concept développé dans la « théorie moderne du portefeuille » d’Harry Markowitz en 1950. En définissant tout investissement possible par son niveau de risque et son rendement attendu, nous représentons graphiquement l’ensemble de tous les portefeuilles efficients, c'est-à-dire maximisant l’espérance de rendement pour un niveau de risque, dans le plan risque / rentabilité. Tout portefeuille situé en deçà de la frontière est donc sous-optimal au sens où il en existe un, à iso-risque, offrant un rendement meilleur.

Ci-dessous une illustration graphique d’une telle frontière en bleu, et des portefeuilles sous-optimaux en vert.

Figure 14 : Illustration du concept de frontière ef ficiente


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3.1.2 Mesure de rentabilité et de risque

L’un des paramètres d’entrée de l’outil est le PMT (Plan Moyen Terme) qui définit l’horizon, en année, de projection de l’outil. Il est donc important de définir une mesure de risque et de rentabilité qui intègre la valeur de ce paramètre. Pour ce faire, il a été décidé que le rendement sur l’horizon du PMT serait égal au taux de rendement annualisé (brut ou non du coût de la dette) depuis la date de calcul jusqu’à la période considérée prenant en compte le résultat financier, les plus ou moins-values latentes et autres réserves (réserve de capitalisation résiduelle et provision pour risque d’exigibilité résiduelle), rapportés à la valeur comptable moyenne depuis la date de calcul.

(4,5)(4,5) 5 5

(4,5)

Concernant le risque, il est défini comme étant égal à la moyenne des besoins en capital au titre du risque de marché (ou du risque global) sur l’ensemble des périodes jusqu’à l’horizon du PMT.

5 6789:5;

<

��

3.2 Modélisation du bilan

Nous allons à présent détailler le fonctionnement propre de l’outil, et les choix de modélisation. Pour obtenir une frontière efficiente à un horizon donné, il est nécessaire de pouvoir calculer, pour toute allocation de portefeuille donnée, une rentabilité économique à chaque fin d’année calendaire ainsi qu’un SCR à ces mêmes dates et ce jusqu’à la l’horizon de projection. Il s’agit, donc, de modéliser l’évolution du bilan de Pacifica sur plusieurs années.

3.2.1 Postes de l’actif

Comme nous venons de le rappeler, la modélisation des postes de l’actif se doit d’être suffisamment précise puisque ce sont ses effets, en termes de fonds propres, que l’on cherche à quantifier. L’outil a naturellement besoin d’être alimenté en entrée par les éléments constitutifs du portefeuille d’actifs. Pour ce faire, et avant toute chose, il apparait naturel d’examiner en détail la structure existante du portefeuille de Pacifica et d’en relever un inventaire précis. Ainsi au 31 décembre 2011 ce dernier avait un encours de 2,3md€ et comptait un certain nombre d’instruments financiers que l’on peut résumer comme suit :

- Actions (cotées ou non) - Obligations souveraines - Obligations corporates - Opcvm (Monétaire / Obligataire / Action / Convertible / Alternatif etc.…) - Participations - Immobilier physique et SCI - Instruments monétaire (CDN etc.…) - Titres de dettes subordonnées - Private Equity


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Pour plus de détail, ci-dessous une représentation de la répartition, en valeur net comptable, du portefeuille à cette même date :

Figure 15 : Répartition du portefeuille Pacifica au 31-12-2011

Naturellement et sans surprise, la première constatation qui s’impose est le poids prédominant des produits de taux, avec une poche obligataire (R332-19) pesant 56% du portefeuille et une poche monétaire de 22%.

Voici, quelques caractéristiques de la partie obligataire du portefeuille :

- Duration moyenne = 4 - Rating moyen = A- - Rating moyen « Investment grade » = AA-

Le reste du portefeuille se compose essentiellement de :

- Actions et assimilés actions (14% de la vnc du portefeuille) :

- Actions cotées = 4% - Gestion Alternative = 6% - Private Equity = 1% - Participations = 1% - Obligations convertibles = 2%

- Immobiliers et assimilé (pour 7% de la vnc du portefeuille).


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3.2.1.1 Choix de la granularité des classes d’actifs

Ce choix de modélisation est important puisque c’est celui qui définit la maille élémentaire constitutive du portefeuille dans l’outil.

Dans la considération du degré de finesse nécessaire, les axes de réflexion suivants doivent être pris en compte :

- Etendu de la couverture du maillage (est-il suffisant pour couvrir le

portefeuille existant ou futur?).

- Prise en compte des effets de diversification sous Solvabilité II

- Degré de précision des hypothèses de prévisions économiques requises.

- Complexification algorithmique et temps de calcul

Finalement, le choix des quatre classes d’actifs élémentaires suivantes a été fait :

- Obligataire - Actions - Immobilier - Monétaire

Bien évidemment, nous pouvons faire évoluer la classification. En l’occurrence plusieurs granularités différentes ont déjà été envisagées (cf. tableau ci-dessous).

Figure 16 : Exemple de granularité possible

3.2.1.2 Définition des contraintes

L’outil permet la prise en compte d’un certain nombre de contraintes, et cela, à différents niveaux d’agrégation possible. Il est en effet indispensable de pouvoir spécifier des contraintes, à minima réglementaires (Art R332-3 du code des assurances), mais aussi internes. Pour ce faire, plusieurs jeux de contraintes peuvent être pris en compte par l’outil et en premier lieu des contraintes au niveau des classes d’actifs élémentaires, c'est-à-dire au niveau du maillage le plus fin défini précédemment. Dans le tableau suivant, nous illustrons comment l’ensemble de ces contraintes d’allocation par classe d’actifs doivent être renseignées. Si toutefois une classe d’actifs n’est pas soumise à de réelles


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contraintes de détention minimale et maximale, par défaut on affectera une contrainte minimale à 0% et maximale à 100%.

Figure 17 : Contraintes de détention min/ max par c lasse d'actifs

La colonne « Allocation initiale » du tableau ci-dessus correspond, bien évidemment, à l’allocation du portefeuille d’actifs à la date de calcul, en valeur de marché ou en valeur bilan selon le choix retenu dans le paramétrage précédent. Il est possible de renseigner jusqu’à trois niveaux de contraintes s’appliquant sur des agrégations de classes d’actifs. Pour se faire, il suffit de définir les paliers d’agrégation, sous forme de table de correspondance entre les classes d’actifs élémentaires et leur « macro classe de regroupement » comme l’illustre la Figure 18 : Définition de différents niveaux d'agrégations ci-dessous.

Figure 18 : Définition de différents niveaux d'agré gations

Une fois la table de correspondance établie, il suffit d’indiquer les contraintes de détention minimale et maximale aux différentes mailles requises en accord avec ce qui a été renseigné dans les colonnes « Niveau_1 », « Niveau_2 » et « Niveau_3 » du tableau de paramétrage précédent.


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Figure 19 : Contraintes de détention minimale et ma ximale des différents niveaux d'agrégations

3.2.1.3 Portefeuille obligataire

Comme nous avons pu le constater, la partie obligataire du portefeuille de Pacifica est la poche d’allocation la plus importante. Naturellement elle sera modélisée ligne à ligne, ce qui signifie que chaque obligation va être projetée en fonction de ses caractéristiques propres. Nous allons dans un premier temps détailler de façon précise l’ensemble des hypothèses requises, à la fois économique mais aussi technique. Enfin, nous préciserons le mécanisme de projection à proprement parlé.

Hypothèses obligataires Pour modéliser au mieux les obligations présentes en portefeuilles, voici ci-dessous les éléments de modélisations requis par l’outil lorsqu’on lui donne un titre obligataire en entrée. Caractéristiques propres au titre :

- Maturité : date de maturité du titre - Nominal : nominal du titre ou nominal indexé à la date de calcul pour les

obligations indexées - Taux de coupon : taux de détachement de coupon pour les obligations à

taux fixes - Taux de référence : la valeur passée à ce paramètre doit correspondre à la

maturité du taux qui sera utilisé pour le calcul du coupon de ces obligations à taux variables

- Valeur de marché y compris coupon couru - Valeur comptable y compris coupon couru - Devise : actuellement tout le portefeuille d’actif est libellé en euro, mais

nous aurions besoin de cette caractéristique si cela venait à changer, pour la prise en compte du risque de change (SCR Devises)

- Rating émetteur - Pays - Groupe Emetteur : requis pour le calcul du risque de concentration


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- Rating du groupe émetteur : requis pour le calcul du risque de concentration

- Zone EEA : ce paramètre indique si oui ou non ce titre appartient à la zone

EEA4 (requis lors du calcul de risque de spread)

Caractéristiques de classification liées à l’outil :

- Classe : doit correspondre à l’une des classes d’actifs définies précédemment (cf. 3.2.1.1)

- Type : définit le type d’obligation parmi (« Obligation_TF » ; « Obligation_TV » ; « Obligation_Index »)

- Sous-classe : spécifie si c’est un titre souverain ou corporate (« ETAT » ; « CORP »)

- Réserve de capitalisation : cet indicateur spécifie si le titre en question est éligible à la réserve de capitalisation

Hypothèses économiques L’ensemble de ces hypothèses définissent le scénario économique applicable sur l’horizon de projection de l’outil et qui sont nécessaires à la réévaluation des titres, et donc aux calculs de SCR, à chaque fin d’année jusqu’à l’horizon du PMT. Les anticipations de courbes des taux swap (composées de quarante années de maturité) doivent être renseignées : ainsi autant de courbes seront nécessaires qu’il y a d’années de projection. La première courbe se doit d’être celle prévalant à la date de calcul.

Figure 20 : Extrait des hypothèses de courbes des t aux en « input » de l'outil

Les hypothèses d’inflation sur l’ensemble de la période couverte sont également nécessaires, étant en effet utilisées pour la projection d’éventuelles obligations indexées présentes en portefeuille. Cependant, il est important de souligner que nombres d’émissions ne sont pas indexées sur le même indice. Parmi les principaux indices, on trouve :

- CPI (Consumer Price Index) aux Etats-Unis. - HICP (Harmonized Index of Consumer Prices) en Europe. - RPI (Retail Price Index) au Royaume-Uni.

Ainsi, il sera nécessaire d’être vigilant au choix de l’indice choisi pour représenter l’évolution des obligations indexées présentes si celles-ci ne sont pas toutes indexées de façon identique.

4 L’accord de « l’European Economic Area » a été signé le 2 mai 1992 à Porto entre les 7 états

membres de l’EFTA (European Free Trade Association), la communauté européenne et ses 12 états membres.


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Figure 21 : Extrait des hypothèses d’évolutions de l’inflation en « input » de l'outil

Enfin, des primes de risques obligataires sont demandées en entrée de l’outil. Pour ces hypothèses une distinction est faite en fonction du caractère souverain ou non du titre, du rating, de l’année de projection, et enfin, de la maturité résiduelle du titre. Concernant les maturités résiduelles, seulement trois sont proposées :

- 2 ans - 5 ans - 10 ans

Les primes de risques pour les maturités intermédiaires non renseignées dans la table d’hypothèses seront calculées, via l’outil, par interpolation linéaire. La prime de risque pour les maturités inférieures (resp. supérieures) à 2 ans (resp. 10 ans) est égale à celle de maturité 2 ans (resp. 10 ans). Les primes de risques obligataires sont utilisées pour valoriser les obligations. Celles-ci sont en effet valorisées comme étant la valeur actuelle des flux futurs actualisés sur la courbe des taux avec la prise en compte d’un spread de crédit (prime de risque) qui sera constant sur la durée de projection pour une obligation donnée.

Figure 22 : Extrait des hypothèses d’évolutions des primes de risques

Projection déterministe, fonction de l’horizon du PMT

Il s’agit à présent d’expliciter et de détailler les étapes de calculs liées à cette partie obligataire lors de sa projection jusqu’à l’horizon de calcul. Celle-ci est qualifiée de déterministe puisqu’entièrement définie par les hypothèses économiques en entrée de l’outil et détaillée ci-dessus. Ainsi, les valeurs, ligne à ligne du portefeuille obligataire, à chaque date intermédiaire et jusqu’à l’horizon de projection sont parfaitement déterminables. Dans le cadre de la projection, il faut préciser si les rebalancements de portefeuille seront effectués en valeur de marché, ou bien, en valeur comptable. Un rebalancement signifie le réalignement de la structure du portefeuille sur l’allocation cible, ou sur l’allocation permettant d’atteindre linéairement l’allocation cible à la l’horizon de la projection (cf. 2.2).


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Reste, enfin, à préciser proprement les modalités de tels rebalancements (à l’achat comme à la vente). Dès lors qu’une vente doit être effectuée, elle est réalisée sur la classe obligataire concernée, de manière proportionnelle pour chaque titre appartenant à ladite classe. Enfin, lorsqu’un achat doit être effectué, celui-ci le sera sur la classe obligataire concernée, en fonction des caractéristiques de titres à acheter préalablement définies. Nous devons donc indiquer, pour toutes les classes obligataires, les différents profils d’achat définis par les caractéristiques présentes dans le tableau suivant :

Figure 23 : Définition de la structure d'achat obligataire

Comme nous le constatons ci-dessus, nous pouvons dupliquer les lignes pour chaque classe si nous souhaitons disposer, au sein d’une même classe des maturités, des ratings, des types de taux (variables, fixes ou encore indexé) ou sous-classes (titres souverains ou non) différents. Pour ce faire, nous devons renseigner pour chaque ligne la part de détention de telle sorte que la somme de tous les profils d’une même classe soit égale à 100%.

Déroulé Obligataire

Dans ce contexte, les trois simplifications suivantes ont été décidées :

- Les échéances et tombées de coupon sont supposées survenir en fin du mois d’échéance

- La fréquence de tombée des coupons est annuelle

- Les taux d’actualisation utilisés sont calculés par interpolation entre les années (sauf pour le premier terme où le taux utilisé est le taux 1 an)

a. Calculs initiaux en t=0 (t0):

Les données des obligations en portefeuille sont lues et stockées par le programme. Les valorisations lues en début de projection (c'est-à-dire à t0) dans les données correspondent à des valeurs avant rebalancement de portefeuille. Lors de cette étape d’initialisation, deux nouvelles grandeurs sont calculées pour chaque obligation en portefeuille:

- Le taux de rendement actuariel (que nous noterons TRA) :

Par définition c’est le taux de rendement unique qui permet d’égaliser la valeur comptable renseignée dans les données à la date d’observation avec son recalcul par projection et actualisation des flux futurs. Ainsi, pour une obligation détachant n flux Fi (i =1,..., n) et ayant une valeur actuelle notée V, le taux actuariel TRA est défini par :

�

=7>?@AB<5C7?�?(�)

<

��


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Avec « DaysCountBasis » la convention de calcul obligataire 5 propre au titre en question. La valeur du TRA est alors estimée en utilisant l’algorithme dit de Newton-Raphson décrit dans (Planchet, 2011) : Pour résoudre l’équation 4 nous utilisons un algorithme construit à partir d’une linéarisation au voisinage de la solution, sur la base du développement de Taylor à l’ordre un. Ainsi nous avons la relation suivante :

9D� 9 9D� 9EF

EG 9 9D� 9 ,

Nous proposons alors la récurrence définie par 9D� , ce qui conduit à :

9D� 99

H9

Dans notre cas, la fonction f utilisée est bien sûr :

�

=7>?@AB<5C7?�?(�)

<

��

Le TRA sera ensuite utilisé dans la projection pour dérouler les valeurs comptables des obligations.

- Le spread à l’émission :

Il s’agit du spread implicite de l’obligation correspondant à la marge additionnelle (en sus de la prime de risque déterminée en fonction de la notation de l’obligation) à prendre en compte sur la courbe des taux pour égaliser la valeur de marché renseignée dans les données à la date de calcul avec son recalcul par projection et actualisation des flux futurs. Tout comme le TRA, le spread est implicité du prix de l’obligation par l’algorithme de Newton-Raphson décrit précédemment. La fonction f à laquelle nous appliquons l’algorithme est la suivante :

�

=7>?@AB<5C7?�?(�)

<

��

Les notations sont les mêmes que précédemment, et r(0,i) désigne le taux de maturité DaysCountBasis(i). Le spread sera ensuite utilisé dans la projection des valeurs de marché et restera constant tout au long du déroulé pour une obligation donnée, indépendamment de l’évolution de la prime de risque de l’obligation. Un rebalancement est alors effectué à la fin de chaque période de projection (y compris en t0). Les valorisations en t0, après rebalancement du portefeuille, différeront donc des données lues en entrée à la date de calcul.

5 Pour rappel il existe plusieurs conventions de bases de calcul : 30/360, Act/360, Act/365, Act/Act

etc.…


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b. Calculs effectués sur une période quelconque :

Pour chaque période de projection (de t=1 à la période de fin de projection), le séquencement des calculs est organisé de la manière suivante :

- Calculs de début de période :

Dès lors que le rebalancement en t est réalisé pour tous les actifs, l’algorithme incrémente alors son pas de projection et effectue de nouveaux calculs en t = t+1. Les valorisations en début de période t correspondent aux valorisations en fin de période t-1.

- Calculs de milieu de période :

Les calculs liés à l’investissement en milieu d’année de flux obligataires sont pris en compte à ce moment-là. En effet, les coupons et remboursements des obligations arrivées à échéance, et ayant eu lieu durant la première moitié de l’année, sont capitalisés jusqu’à mi-année afin d’alimenter la trésorerie de milieu d’année.

- Calculs de fin de période :

Finalement, les calculs liés à l’investissement des flux obligataires de fin d’année sont effectués :

- Les coupons et remboursements ayant eu lieu durant la seconde moitié de l’année sont alors capitalisés à la fin d’année, et viennent alors alimenter la trésorerie de fin d’année.

- Les valeurs de marché sont alors recalculées comme la somme des flux

futurs actualisés sur la courbe des taux de référence, avec prise en compte du spread intrinsèque de l’obligation et de la prime de risque qui lui est associée à la date de calcul.

- Les valeurs nettes comptables sont calculées pour les obligations à taux

fixe, comme la valeur actuelle des flux futurs, actualisés au taux de rendement actuariel et s’agissant des obligations à taux variable ou indexées sur l’inflation, par application d’un amortissement linéaire.

A ce stade, et après que les valorisations de fin d’année des autres actifs aient été effectuées, la procédure de rebalancement de portefeuille peut débuter. Lors du rebalancement, les poids de chaque classe d’actifs en portefeuille sont évalués. Ceux-ci sont ensuite comparés aux poids de chaque actif tels que renseignés dans la trajectoire de l’allocation cible à la période de calcul. Ainsi à la fin de chaque période de projection, l’allocation d’actifs est comparée à l’allocation cible et des stratégies d’achats et de ventes sont effectuées pour rééquilibrer le portefeuille. Pour ne pas créer de richesse lors du rebalancement de portefeuille, la valeur de marché totale ne doit pas être impactée par la réallocation, que celle-ci soit en valeur comptable ou en valeur de marché. Concernant les actifs obligataires, des achats par classe (création de nouvelles lignes selon le profil d’achat obligataire défini dans les hypothèses générales) seront alors effectués si le poids de cette classe est insuffisant par rapport à l’allocation souhaitée. En revanche, si le poids de cette classe dans le portefeuille est trop important, des ventes seront effectuées sur les obligations existantes de la classe (de manière proportionnelle à la quote-part de détention de chacune des lignes obligataires).


Page 35

c. Procédures de rebalancement

La détermination des montants à acheter ou vendre pour chaque classe d’actifs, en fonction du type de rebalancement sélectionné et de l’allocation cible à atteindre peut être délicate, ci-dessous un zoom sur les deux procédures.

En valeur de marché :

- Calcul de la position excédentaire ou déficitaire de chaque classe d’actifs par rapport à l’allocation cible.

- Calcul de la proportion à acheter ou à vendre par classe d’actifs en fonction

de la part de détention avant réallocation. - Réalisation des transactions :

En cas d’achat : achat obligataire de nouveaux titres selon des profils prédéfinis par classe. Cette procédure initialise les caractéristiques des obligations achetées. Les achats sont effectués au pair pour les obligations à taux fixe et le taux de coupon est la variable d’ajustement. Pour les achats d’obligations à taux variables, les achats au pair ne sont pas réalisables, le taux de coupon étant défini comme un taux forward sur la courbe des taux à la date d’achat. Le nominal est alors la variable d’ajustement. En cas de vente : vente proportionnelle des titres existants c'est-à-dire que la valeur de marché est imputée du montant de la vente et la valeur comptable est imputée proportionnellement à l’impact sur la valeur de marché.

En valeur de bilan :

L’enjeu de ce rebalancement est la stabilité de la valeur de marché totale suite à des mouvements de portefeuille. Pour respecter l’allocation cible en valeur bilan sur chacune des classes et de maintenir une valeur de marché totale constante, nous utilisons une fois encore l’algorithme de Newton-Raphson. Ainsi, en cas de vente, la valeur comptable est imputée de telle sorte que la valeur de marché globale du portefeuille reste inchangée. La valeur de marché de la classe est quant à elle impactée proportionnellement à l’impact sur la valeur comptable.

d. Autres calculs de fin période A la fin de chaque période de projection, sont également calculés pour chaque obligation en portefeuille :

- Les plus-values ou moins-values réalisées en cas de cessions d’obligations

pour les titres éligibles à la réserve de capitalisation, afin de doter ou reprendre, au niveau plus global des obligations, la réserve de capitalisation.

- Les produits financiers bruts de frais de gestion, définis comme la somme

des coupons, amortissements, et plus ou moins-values réalisées. - les valeurs de marché choquées selon la courbe de hausse des taux et la

courbe de baisse des taux (permettant de calculer les SCR taux à un niveau plus agrégé).

- La duration modifiée (afin de calculer le SCR spread), obtenu selon la

formule classique ci-dessous :


Page 36

5

<

5��

D’où :

Avec le facteur d’actualisation en t.

3.2.1.4 Portefeuille diversifié

De même que pour la partie précédente, nous allons ici préciser l’ensemble des hypothèses économiques et techniques requises afin de pouvoir projeter cette partie diversifiée sur l’horizon de simulation. Contrairement à la modélisation ligne à ligne de la partie obligataire, celle de la partie action, au sens large du terme (actions, Opcvm, immobilier, participations, alternatif…), se fera à un niveau plus agrégé puisque les caractéristiques de rendement sont elles-mêmes définies à un niveau bien plus agrégé.

Hypothèses diversifiés

Pour chaque ligne modélisée (ce qui signifie après agrégation des éléments appartenant à chaque ligne), il est nécessaire de définir :

- Classe : correspond à l’une des classes d’actifs définie précédemment (cf.

3.2.1.1), par exemple « Immobilier » ou « Action »

- Sous-classe : correspond à l’une des sous-classes définies lors du profil d’achat de la classe en question. Cela permet de prendre en compte les caractéristiques propres à chaque sous-classe en termes de rendement et dividendes.

- Catégorie QIS : pour application du choc QIS pertinent.

- Valeur de marché : qui est la somme des valeurs de marché de l’ensemble

des éléments du portefeuille qui appartiennent à cette classe et sous-classe.

- Valeur comptable : qui est la somme des valeurs comptables de l’ensemble

des éléments du portefeuille qui appartiennent à cette classe et sous-classe.

- Devise : correspond à la devise de la classe et sous classe, même si

actuellement tout le portefeuille est en euro. - PRE : qui est un indicateur d’éligibilité à la provision pour risque

d’exigibilité. Hypothèses économiques

L’ensemble de ces hypothèses définissent le scénario économique applicable sur l’horizon de projection de l’outil et qui sont nécessaires à la réévaluation des poches agrégées, et donc aux calculs de SCR, à chaque fin d’année jusqu’à l’horizon du PMT.


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Ainsi, il est demandé de spécifier les primes de risques actions pour chaque année de projection et pour toute combinaison « classe » fois « sous-classe » concaténée comme l’illustre le tableau ci-dessous :

Figure 24 : tableau d'entré des primes de risques d e la partie diversifie (illustration)

Il est entendu que ces primes de risques ainsi renseignées viennent s’ajouter au taux swap 1 an de l’année en question donnant ainsi le rendement absolu des classes pour une année. Il est, enfin, demandé de spécifier les dividendes des classes diversifiées (dividendes actions, loyers immobiliers, etc.…). Le tableau ci-dessous doit comporter tous les couples de classes et sous-classes de la catégorie diversifiée. Nous retrouvons le mois de tombé des dividendes, des loyers, ainsi que le taux de détachement. En effet, les dividendes et loyers seront détachés de la valeur de marché actions et iront alimenter la trésorerie.

Figure 25 : Tableau d'hypothèse des dividendes de l a classe diversifié

Projection déterministe sur l’horizon du PMT

Comme pour la partie obligataire, le rebalancement peut être effectué sur la base de la valeur de marché ou sur la valeur comptable. Dès lors que cette hypothèse est spécifiée, il reste à définir les modalités d’achat / vente. Dans le cas d’une vente, celle-ci est réalisée sur la classe action concernée de manière proportionnelle pour chaque composant de ladite classe. Dans le cas d’un achat, celui-ci est effectué soit selon la répartition existante au sein de la classe concernée, soit en fonction de profils d’achats préalablement renseignés. Pour ce faire, la méthodologie doit être spécifiée dans l’outil. La définition des profils d’achat est similaire à celle déployée lors de l’achat obligataire.

Déroulé diversifié

Le déroulement de la cinématique des traitements opérant sur les poches diversifiées est quasi similaire à celle de la partie obligataire. Nous détaillons ci-dessous les principales spécificités :

- Prises en compte des dividendes et loyers de la même façon que les coupons obligataires.

- Les plus-values ou moins-values latentes des titres éligibles à la provision

pour risque d’exigibilité afin de doter ou reprendre la provision (calculs de fin de période).


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- les valeurs de marché choquées selon la nature du choc à appliquer en fonction de l’actif sous-jacent et ce afin de pouvoir calculer les SCR actions (« global » et « Others ») et SCR Immobilier à un niveau plus agrégé.

3.2.1.5 Trésorerie

Hypothèses

Pour la définition de la trésorerie, seules les données de classe, sous-classe, valeurs de marché et valeurs comptables sont requises. En général, la poche trésorerie est donc définie par une seule ligne. Cependant, il est également nécessaire de fournir à l’outil l’ensemble des flux de passifs qui viennent alimenter la trésorerie.

Figure 26 : échéancier de flux de trésorerie

Ces données sont directement liées aux projections faites dans le cadre du « business plan » de Pacifica.

Ainsi, ces flux correspondent principalement à la prise en compte des :

- Primes émises

- Commissions reçues des réassureurs

- Prestations et frais payés cédées

- Prestations et frais payées

- Primes acquises cédées

- Frais généraux

- Autres commissions payées et ou reçues

Déroulé de trésorerie

La trésorerie est tout d’abord capitalisée sur une demi-année au taux swap 1 an. A mi- année, nous intégrons les flux d’actifs de milieu de période (tombées de coupons, de dividendes et remboursements obligataires) et les flux de passif (issus des hypothèses de passif). Puis la trésorerie ainsi disponible à mi-année est capitalisé jusqu’à la fin d’année au même taux. En fin d’année, nous incorporons les nouveaux flux d’actifs de fin d’année capitalisés à la fin d’année. Les éventuelles émissions de titres subordonnés ou augmentation de capital sont intégrés dans la trésorerie.


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a. Procédure de rebalancement

Comme nous l’avons déjà vu précédemment, il s’agit ici d’évaluer les poids de chaque classes et de les comparer à la cible de fin de période et de mettre alors en œuvre les achats / ventes requis pour y parvenir.

A la différence des deux autres classes d’actifs, la trésorerie est la classe d’ajustement lors du rebalancement de portefeuille : c'est-à-dire que son montant évolue de telle sorte que la valeur de marché totale du portefeuille reste stable. Le rééquilibrage s’effectue tel que le montant de trésorerie acheté ou vendu corresponde exactement à la différence entre les ventes et les achats effectués sur les autres classes (au sein des modules obligations et actions).

b. Autres calculs effectués en fin de période

Enfin, à la fin de chaque période de projection, après rebalancement, sont également calculés les produits financiers bruts de frais de gestion financière, définis comme les intérêts sur le placement de la trésorerie. Nous notons qu’aucun calcul de choc de la formule standard n’est appliqué à la trésorerie.

3.2.1.6 Synthèse de la modélisation

Le schéma suivant synthétise la modélisation de l’actif sur une période.

Figure 27 : Cinématique de l’outil


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3.2.2 Postes du passif

Afin de pouvoir obtenir un SCR de marché à une date donnée, il faut pouvoir calculer le Best Estimate (BE) du passif correspondant à cette même date. En effet, les calculs des SCR de taux et d’illiquidité impliquent de choquer le passif (via une réévaluation du BE à l’aide de courbes des taux choquées). Il est, alors, nécessaire de modéliser l’évolution du BE jusqu’à l’horizon de projection. Pour rappel, le BE total est calculé comme la somme des BE de primes et des BE de sinistres (en distinguant, les sinistres hors rentes, des sinistres de rentes).

I7??�F �8�J:? ?�<�?58:?

Et,

?�<�?58:? ?�<�?58:?KA8?8:<5:? I8AL�?�A<?J75KéJ75�MB:?8:<5:?

Cependant, le détail de l’estimation des flux futurs de règlements (composants intrinsèques d’importances dans le calcul des différents BE) n’est pas donné dans ce mémoire. Nous préciserons seulement que les cadences de charges et des règlements futurs sont obtenues, via l’outil RESQ, et que les méthodes de provisionnements choisies sont celles de « Chain Ladder » et de « Bornhuetter-Fergusson ».

3.2.2.1 Provisions pour primes Primes passées et primes futures Dans le référentiel « Solvabilité II », le Best Estimate des provisions pour primes rend compte des sinistres survenus après la date de calcul, c'est-à-dire, à ceux relatifs aux primes non acquises. Il comprend les règlements, les frais de gestions de sinistres, et peut aussi inclure les frais de règlements complémentaires liés à une insuffisance tarifaire. La notion de primes futures est propre à Solvabilité II (liée aux spécifications techniques du dernier QIS 5), ces primes correspondant à des primes non encore émises mais pour lesquelles l’engagement de l’assureur à date est irrévocable. Ainsi, les contrats à tacite reconduction qui ne sont pas résiliés, et dont l’échéance principale tombe le mois suivant de la date de calcul, engagent fermement Pacifica. Le BE des primes est donc finalement la somme du BE des primes passées (c'est-à-dire du stock à la date de calcul : les PPNA) et du BE des primes futures.

�8�J:? �8�J:?�7??é:? �8�J:?FB5B8:?

L’outil requière les valeurs non actualisées des BE des primes passées et futures à la date de calcul initiale ainsi que leurs durations.

Figure 28 : Hypothèses de passif, BE des primes pass és et futures


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Nous notons que nous distinguons la projection des BE de primes passées et futures non actualisées, et ce, pour dissocier les chocs taux qui leur seront appliqués en fonction de leur duration respective. L’actualisation des BE (primes et primes futures) est effectuée en utilisant la courbe des taux de référence et sur la base de l’arrondi entier de leurs durations respectives. Pour simuler l’évolution des BE des primes non actualisés sur les périodes de projection, le point de départ est le montant des BE des primes à la date de calcul. Nous faisons alors évoluer ces derniers dans le temps, en fonction de l’accroissement des primes émises et de l’accroissement des S/C combinés renseignés aussi en entrée de l’outil.

N N��N

N��

N

N��

les durations des BE des primes sont supposées constantes dans le temps.

3.2.2.2 Provisions pour sinistres hors rente

Le Best Estimate des provisions pour sinistres futurs intègre l’ensemble des flux futurs de sinistres, connus ou non, survenus jusqu’à la date de calcul. Ces flux tiennent compte des règlements et autres frais de gestions des sinistres. Le BE des sinistres est la somme des BE des sinistres hors rentes et des BE des sinistres de rentes. Nous détaillerons la partie du calcul afférente aux rentes dans la prochaine section. Pour comparaison, l’équivalent au bilan « French Gaap » sont exactement les provisions pour sinistres à payer (PSAP) qui représentent (elles aussi) l’estimation, nettes des recours à encaisser, du coût de l’ensemble des sinistres survenus et non réglés à la clôture de l’exercice, qu’ils aient été déclarés ou non. Cette provision intègre donc une provision pour sinistres survenus mais non encore déclarés à la date de l’inventaire (provisions pour sinistres tardifs) et une provision pour frais de gestion des sinistres, couvrant les frais futurs liés aux règlements des sinistres en suspens, y compris les frais internes de gestion des sinistres, conformément à l’article R. 331-16 du code des assurances.

Projection déterministe sur l’horizon du PMT

Les flux du BE des sinistres sont renseignés en entrée de l’outil (sous forme d’un triangle) et le modèle calcule alors le BE comme la somme actualisée de ces flux sur la courbe des taux de référence (après prise en compte de la prime d’illiquidité).

Figure 29 : Chronique des flux de "Best Estimate" de s sinistres

Ainsi, en prenant l’exemple du tableau ci-dessus et en se plaçant au 31 décembre 2012, nous obtenons que le BE des sinistres à cette date soit égal à la somme :

- Des flux futurs actualisés au titre des sinistres de 2011 et antérieurs (ligne 2011 sans prise en compte de la colonne 2012)


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- Des flux futurs actualisés au titre de 2012 (ligne 2012)

3.2.2.3 Provisions mathématiques des rentes

Nous traitons ici de la partie du BE des sinistres de rentes. Les sinistres concernés ici sont des corporels, mais de très forte intensité (montant ultime très élevé). La provision mathématique des rentes est définie par l’article R. 331-6 du code des assurances. Elle permet de couvrir les engagements de l’entreprise concernant les rentes et accessoires de rentes mis à sa charge. Elle correspond à la valeur actuelle de ces engagements, qui se calcule à partir de l’âge de la victime, de son espérance de vie et du montant de la rente annuelle à payer. Projection déterministe sur l’horizon du PMT La méthodologie de calcul du BE des sinistres de rentes dans l’outil est similaire à celle du calcul du BE des primes. Sa duration est aussi une donnée d’entrée et servira de référence (sur la base de son arrondi entier) à l’actualisation du BE sur la courbe des taux de référence.

Figure 30 : Best Estimate des provisions mathématiqu es de rentes

De la même façon, l’évolution temporelle de ce BE est donnée par :

N N��N

N��

N

N��

La duration est là encore supposée constante dans le temps.

3.2.3 Fonds propres éligibles et autres éléments

Il s’agit ici des éléments éligibles à la couverture d’exigence de capital sous solvabilité II. Pour rappel, ils se décomposent suivant une structure en trois tiers, tel que représenté ci-dessous :

Figure 31 : Structure en 3 Tiers


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En précisant que :

- Tiers 1 : excédent des actifs par rapport aux passifs. - Tiers 2 : instruments hybrides de capital et dettes subordonnées. - Tiers 3 : éléments de capital non inclus dans les deux premiers.

Comme nous l’avons vu lors de la présentation de l’outil, l’un des résultats de ce dernier est le suivi du ratio de couverture solvabilité II tout au long de l’horizon de projection. Cependant, pour le calculer de façon prospective, il est nécessaire de connaitre le montant des fonds propres éligibles à chaque date intermédiaire jalonnant la projection. Les différents éléments figurant dans le tableau ci-dessous sont requis au calcul des fonds propres éligibles et sont donc passés en paramètres à l’outil.

Figure 32 : paramètres d'entrés pour le calcul des fonds propres éligibles

Seul le résultat technique est renseigné ici, le résultat financier est calculé lors de la projection par le modèle. Les montants renseignés par défaut à la date initiale peuvent être pris par exemple du bilan Solvabilité II (issu d’un QIS), puis les montants renseignés en hypothèses à des dates ultérieures sont calculés, dans l’onglet Excel, par l’application d’un ratio de croissance du volume de primes acquises ou émises selon les grandeurs, ou encore sont maintenus stables dans le temps. Les postes « capitaux propres », « autres capitaux propres et réserves» et « goodwill et autres incorporels » sont supposés constants durant la durée de projection. Le montant de surplus dans les réserves et le montant de FAR (frais d’acquisitions reportés) sont quant à eux indexés sur l’évolution des primes émises. Le résultat technique est lui calculé à partir du ratio combiné comme suit :

OPMB�?:?

En cas d’augmentation du capital, celle-ci pourra directement être reflétée dans le poste « capitaux propres ». Réserve de capitalisation

La réserve de capitalisation est une provision réglementée (articles R. 331-3 et R. 331-6 du code des assurances) qui fait partie des fonds propres et entre dans la marge de solvabilité. Les titres qui sont éligibles à la réserve de capitalisation sont principalement les obligations à taux fixe et les titres assimilables (par exemple les TCN).


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Les dotations et reprises à la réserve de capitalisation interviennent en cas de vente d’éléments éligibles à cette réserve. Le montant doté ou repris correspond à l'écart entre le prix d'achat et le prix de vente des titres. Ainsi les mouvements sur la réserve de capitalisation neutralisent, au plan comptable, les plus-values ou moins-values qui les déclenchent. Cette réserve réglementaire est un paramètre projetable par l’outil suivant que l’option lui a été spécifiée ainsi que le montant de la réserve de capitalisation à la date initiale. Provision pour risque d’exigibilité (PRE)

L’article R212-23 du code des assurances définit la provision pour risque d'exigibilité comme étant la « provision destinée à faire face aux engagements dans le cas de moins-value de l'ensemble des actifs mentionnés à l'article R. 212-53. La provision à constituer est calculée dans les conditions définies au I de l'article R. 212-24 ». Avec l’article R. 212-24 : « La provision pour risque d'exigibilité est constituée lorsque les placements mentionnés à l'article R. 212-53 se trouvent en situation de moins-value latente nette globale. Une moins-value latente nette globale des placements mentionnés à l'article R. 212-53 est constatée lorsque la valeur nette comptable de ces placements est supérieure à la valeur globale de ces mêmes placements… » De la même façon que pour la réserve de capitalisation, la PRE est un paramètre projetable par l’outil suivant que l’option lui ait été spécifiée ainsi que son montant à la date initiale. La dotation et reprise sont modélisées par huitième.

3.2.3.1 Politique de distribution du résultat

Le modèle fait l’hypothèse que si un résultat social positif est dégagé, il est distribué aux actionnaires selon les critères de distribution indiqués dans « Dividendes versés en % du résultat social ».

Figure 33 : paramétrisation de la distribution du r ésultat

Ces dividendes sortent de la trésorerie en fin d’année tandis que la part du résultat non distribué aux actionnaires remonte dans les fonds propres éligibles.

3.2.3.2 Emission de titres subordonnés

L’outil permet la prise en compte des titres subordonnés précédemment émis ou de ceux dont l’émission est planifiée pour une date ultérieure. Le tableau ci-dessous illustre la façon dont ces derniers sont passés en paramètre d’entré.

Figure 34 : Echéancier des dettes subordonnées


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Le détail des caractéristiques des titres subordonnées sont requis afin de pouvoir :

- les valoriser (comme la somme des flux futurs actualisés) et de les prendre en compte dans le calcul des fonds propres éligibles,

- les prendre en compte dans le calcul du rendement du portefeuille d’actifs

(l’émission de dette subordonnée ayant un cout annuel correspondant au versement des coupons, la détention de dette subordonnée impacte négativement le résultat financier).

Dans le cas où la valorisation se ferait sur toute la durée du titre, la valorisation après la date de premier call s’effectue en prenant en compte le taux de référence de deuxième période, auquel s’ajoute un spread. Les flux futurs sont actualisés sur la courbe des taux sans prise en compte d’une prime de liquidité, auquel est ajouté le spread à l’émission du titre.

4. Cinématique de l’outil

Le schéma ci-dessous présente la cinématique de l’outil :

Figure 35 : Cinématique de l'outil d'allocation

Nous distinguons donc clairement trois grandes étapes que nous détaillons ci-après.

4.1 Génération des allocations

Cette première étape consiste à générer un ensemble d’allocations de portefeuilles, respectant l’ensemble des contraintes imposées, qui seront ensuite projetées sur l’horizon du PMT pour calculer notamment les caractéristiques de rendement / capital de chacune de ces allocations.

4.1.1 Description générale

Pour obtenir ce jeu d’allocations candidates, nous devons préciser les critères selon lesquels celles-ci doivent être générées en prenant en compte, comme point de départ, l’allocation initiale du portefeuille d’actifs à la date de calcul.

- Amplitude maximale de variation (en valeur absolue) de la détention d'une

classe d'actif donnée : correspond à la variation maximale entre le poids


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d’une classe à la date de calcul et son poids dans les allocations générées. L’amplitude maximale doit être un multiple du pas de variation

- Pas de variation : correspond au pas permettant de faire varier le poids

d’un actif. Ce pas doit être un pourcentage entier La génération des allocations candidates s’effectue alors en respectant plusieurs jeux de contraintes :

- Des contraintes au niveau de la classe d’actif à son niveau le plus

élémentaire

- Des contraintes selon différents niveaux d’agrégation de classes d’actifs

Dès l’instant ou ces paramètres sont renseignés, la génération de l’ensemble des combinaisons d’allocations admissibles est possible et celles–ci seront sauvegardées.

4.1.2 Description de l’algorithme

L’objectif de l’algorithme est de générer toutes les combinaisons admissibles d’allocations d’actifs entre les différentes classes d’actifs qui respectent les critères précisés précédemment. Comme l’illustre la figure 36 ci-dessous, une procédure génère des variations sur l’une des classes, et va ensuite s’appeler de façon récursive pour générer pour chacune des classes d’actifs le pourcentage de variation par rapport à la détention initiale de ladite classe d’actifs. Pour chaque variation générée, un test est effectué pour vérifier si les contraintes de détention sont validées. En fin de process, un dernier test est effectué afin de tester que le jeu de variation des poids entre classes est à somme nul.

Figure 36 : algorithme de génération des allocation s


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4.2 Projections déterministes et évaluation du couple rendement / risque. Le modèle est à pas annuel malgré quelques calculs intermédiaires nécessaires pour la gestion de flux de trésorerie et autres coupons et dividendes.

4.2.1 Déroulé des éléments modélisés au bilan

L’ensemble des déroulés obligataires, actions et trésorerie (tels que détaillés dans les sections précédentes) sont effectués de façon simultané, pour chaque période de la projection. Les résultats par module sont ensuite agrégés à chaque période de l’année. Les calculs plus génériques sur le passif et sur l’actif (non spécifiques à une classe en particulier) sont alors effectués :

- Duration obligataire.

- Résultat financier, du rendement de la période et du rendement annualisé.

- Résultat total : le résultat technique et administratif brut d’impôt est

directement lu en entrée de l’outil. Le résultat net total correspond à la somme du résultat financier et du résultat technique et administratif, net d’impôt.

- Best Estimates. - SCR.

- Fonds propres éligibles et du ratio de solvabilité.

4.2.2 Evaluation de la mesure de risque

Nous détaillons dans cette section, l’ensemble des calculs permettant d’obtenir pour chaque date de fin d’année, et jusqu'à l’horizon de projection, le SCR global et ses composants. Pour chaque allocation candidate, une mesure de capital est calculée et associée afin de pouvoir obtenir une frontière efficiente.

4.2.2.1 Calcul du SCR de marché

Le SCR (marché ou total) correspond donc à la mesure de risque prise en compte dans l’analyse du couple rendement / capital d’une trajectoire. Le calcul du SCR de marché provient d’une agrégation, via une matrice de corrélation particulière, d’un sous ensemble de SCR distincts. Nous détaillons ci-après leurs calculs dans l’outil. SCR Taux

Les valeurs de marché obligataires choquées à la hausse et à la baisse des taux sont calculées par l’outil et au niveau ligne à ligne, c'est-à-dire pour chaque titre obligataire. Ces valeurs de marché sont alors agrégées au niveau du portefeuille et, pour les titres autres que ceux obligataires, les valeurs de marché ne sont bien évidemment pas stressées. Les Best Estimate choqués à la hausse et baisse des taux sont aussi calculés par l’outil, et leur méthodologie de calcul (celle des Best Estimate choqués) est la même que celle retenue pour le calcul du Best Estimate central, à savoir une approche par duration pour les BE choqués de primes et sinistres de rente et une actualisation des flux futurs pour le calcul du BE choqués de sinistres (hors rentes).


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Sur la base de ces éléments, les calculs de SCR à la hausse et baisse des taux sont calculés après chaque rebalancement de portefeuille (y compris à l’instant initial). Le SCR taux correspond au maximum entre les SCR hausse de taux et baisse de taux. SCR Action et SCR Immobilier Les valeurs de marché choquées action (« Equity Global » et « Equity Others ») et immobilier sont calculées par l’outil et tiennent compte de l’effet Dampener. Elles sont ensuite agrégées. Sur la base de ces éléments, le calcul du SCR immobilier est effectué puis celui du SCR action est obtenu par application de la matrice de corrélation entre les « SCR Global equity » et « SCR Others equity ». SCR Spread Les valeurs de marché obligataires choquées spread sont calculées en ligne à ligne pour chaque titre obligataire en fonction de la notation de celui-ci. Puis les calculs des valeurs de marché sont agrégés au niveau du portefeuille. Pour les titres autres que les titres obligataires, les valeurs de marché ne sont pas stressées et donc le SCR de spread vaut la différence entre les valeurs de marché choquées et non choquées du portefeuille. SCR illiquidité Les valeurs de marché des actifs ne sont pas impactées par un choc de la prime d’illiquidité. Les Best Estimate sont quant à eux recalculés sur la courbe des taux de référence impactée par le choc de la prime de liquidité, selon la même méthodologie de calcul que celle décrite pour le calcul du SCR taux. SCR concentration Le SCR concentration est figé pendant la durée de projection sur le montant du SCR concentration issu de la composition du portefeuille d’actifs à la date de calcul. En effet, les achats et ventes réalisés en cours de projection ne prennent pas en compte la notion d’émetteur, requise au calcul du risque de concentration ; il n’est donc pas possible de recalculer à chaque date un SCR concentration et celui-ci est alors maintenu constant pendant toute la durée de projection. SCR Global Pour le calcul du besoin en capital, le modèle effectue, comme nous venons de le voir, un calcul détaillé du SCR marché. Cependant les SCR des autres modules de risque à chaque date de projection sont lus directement dans les hypothèses pour pouvoir calculer le SCR global à ces dates-là. Nous renseignons les autres SCR (hors marché) pour pouvoir projeter au sein de l’outil un SCR total et ainsi calculer le ratio de couverture Solvabilité II. Par défaut les SCR renseignés à la date de début de la projection correspondent aux SCR réels de la compagni e (issus par exemple, du QIS 5 bis) et les valeurs projetées de ces SCR en sont déduites en fonction de l’évolution du volume des primes émises.


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Figure 37 : Input des différents SCR (santé, vie, no n vie...)

Enfin, afin de calculer le SCR global, il est nécessaire de calculer le montant d’ajustement d’impôts. Les spécifications techniques requièrent que cet ajustement d’impôt soit net du montant d’impôt différé au passif (lui-même net de l’impôt différé à l’actif). Afin de calculer ce montant d’impôt différé à chaque date de projection, il est nécessaire de connaitre le montant d’impôt différé qui n’émanerait pas d’éléments projetés dans le modèle. Si une partie de l’impôt différé passif (net d’impôt différé actif) du bilan est générée par d’autres facteurs que : les plus ou moins-values latentes, la libération du surplus dans les réserves, des annulations de frais d’acquisition reportés ou la revalorisation de dettes subordonnées, ce montant sera à renseigner en input. Comme nous venons de le voir, les SCR des autres modules de risques sont des inputs. Le SCR total est alors calculé après prise en compte du risque opérationnel (directement lu en entrée de l’outil) et de l’ajustement d’impôts.

4.2.3 Evaluation de la rentabilité économique

4.2.3.1 Calcul du résultat financier

Nous détaillons ici le calcul du résultat financier, celui-ci correspondant à l’une des grandeurs d’intérêt dans l’analyse du couple rendement / capital d’une trajectoire. En effet, le rendement est calculé sur la base du résultat financier. A la fin de chaque période de projection, les produits financiers bruts de frais de gestion financière issus des déroulés financiers (diversifiés, obligations et trésorerie) sont agrégés au niveau du portefeuille. Des frais de gestion financière, dont l’assiette de calcul est la valeur nette comptable moyenne sur l’année viennent diminuer le montant de produit financier total ainsi calculé. Sur la base du montant de produits financiers, deux calculs de résultat financier sont effectués :

- Résultat financier hors prise en compte du coût des titres subordonnés : il s’agit du résultat financier après prise en compte des dotations et reprise à la PRE et à la réserve de capitalisation. En effet, une dotation à la réserve de capitalisation (ou à la PRE), viendra impacter négativement le résultat financier, et réciproquement. La réserve de capitalisation (resp. la PRE) est calculée sur la base des montants de plus ou moins-values réalisées (resp. latentes) remontées du déroulé obligataire (resp. diversifié).

- Résultat financier après prise en compte du coût des titres subordonnés : il

s’agit du résultat financier net des paiements de coupons sur la dette subordonnée émise.

Sur la base de ces deux calculs, deux autres calculs de taux de rendement sont effectués. Ces taux de rendement sont calculés comme le résultat financier (brut et net du coût de la dette subordonnée), rapporté à la valeur comptable moyenne du portefeuille d’actifs sur l’année.


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Des contraintes en termes de taux de rendement minimum peuvent être aussi définies. Le respect de ces contraintes à chaque période de projection s’effectue sur le taux de rendement (avec ou sans prise en compte du coût de la dette subordonnée selon l’option retenue) ainsi calculé. D’autre part, deux taux de rendement annualisés sont calculés (avec et sans prise en compte du coût de détention de la dette subordonnée). Ils correspondent aux taux de rendement annualisés couvrant une ou plusieurs périodes de projection et sont calculés comme :

- le cumul des résultats financiers observés sur la période concernée (nets

ou non du coût de détention de la dette subordonnée),

- auquel est ajoutée la richesse latente de fin de période (plus ou moins-values latentes, réserve de capitalisation et PRE)

Rapportés à la moyenne de la valeur comptable du portefeuille d’actifs sur la période observée.

4.2.3.2 Calcul du ratio de solvabilité

Afin de calculer un ratio de couverture, le montant des fonds propres éligibles est recalculé à la fin de chaque période de projection. Le calcul des fonds propres éligibles se décompose ainsi :

- Le montant des capitaux propres y compris prime (lu en entrée de l’outil) – montant indépendant des éléments projetés.

- Le montant des autres capitaux propres et réserves (hors réserve de

capitalisation qui est projetée dans le modèle et hors provision d’égalisation).

- La réserve de capitalisation issue des projections.

- La part du résultat total (résultat financier, technique et administratif)

remonté en fonds propres, c'est-à-dire net de la part versée aux actionnaires.

- Les différents retraitements effectués afin de passer d’un bilan en vision

social à un bilan économique, net d’impôt, c'est-à-dire :

o La libération du surplus (y compris provision d’égalisation) (lu en entrée de l’outil), net d’impôt.

o L’annulation des frais d’acquisition reportés (lu en entrée de l’outil),

nette d’impôt – montant indépendant des éléments projetés. o Le montant de plus ou moins-values latentes, net d’impôt. o L’annulation du goodwill et des autres incorporels (éléments non

imposés). o L’écart de réévaluation de la dette subordonnée (écart entre la

valorisation et le nominal), net d’impôt.


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La valeur des titres subordonnés est calculée selon la même méthodologie que la valorisation d’une obligation classique, en actualisant les flux sur la courbe de taux de référence. Les TSDI sont valorisés sur 40 ans. Le ratio de couverture est calculé à la fin de chaque période de projection comme le montant des fonds propres éligibles rapportés au montant du SCR.

4.3 Génération de la frontière efficiente

Pour chaque allocation d’actif candidate, c'est-à-dire respectant les contraintes imposées, nous disposons du couple rendement / capital nécessaire à la matérialisation d’une frontière efficiente. Comme celle-ci évolue au cours du temps en fonction de la déformation de l’actif pour atteindre l’allocation cible à la date voulue, l’outil permet d’analyser les frontières efficientes à chaque horizon de projection. Ainsi, pour un horizon donné, l’outil trie les allocations par risque croissant puis sélectionne les allocations pour lesquelles une augmentation de l’indicateur de risque entraine une augmentation de l’indicateur de rendement. L’indicateur de risque correspond soit au SCR marché moyen soit au SCR total moyen (selon le choix retenu) sur l’horizon sélectionné et l’indicateur de rendement correspond au taux de rendement annualisé sur l’horizon sélectionné (avec ou sans prise en compte du coût de la dette subordonnée – selon le choix retenu). Il est possible de sélectionner des horizons différents pour chacun des indicateurs (si nous souhaitons prendre en compte un décalage temporel par exemple). De nombreuses autres fonctionnalités sont disponibles en sortie de l’outil comme notamment le zoom sur une allocation sélectionnée de la frontière efficiente afin de pouvoir mieux analyser :

- L’évolution de la duration de son portefeuille obligataire

- La décomposition du résultat financier

- L’évolution du SCR marché

- L’évolution du taux de couverture

- L’évolution de la répartition des actifs


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5. Applications théoriques Nous illustrons à présent l’utilisation pratique de l’outil. L’application proposée considère un portefeuille d’actifs entièrement investi en trésorerie et soumis au scénario économique décrit plus bas. Les allocations testées ont été générées par pas de 5% et avec comme seule contrainte de détenir un minimum de 5% en trésorerie. Nous projettons en premier lieu à un horizon un an. L’idée de cette simulation est de se donner un cas d’école simple pour appréhender au mieux les résultats obtenus et par la suite d’effectuer une série de test de sensibilité aux paramètres de marchés. Une simulation multi-période est alors effectuée et permet d’illustrer l’ensemble des possibilités de l’outil.

5.1 Simulation uni-période

5.1.1 Paramètres de simulation

Nous détaillons les paramètres principaux utilisés dans le cadre de cet exemple. Tout d’abord, les classes d’actifs choisies sont les suivantes :

� Actions � Immobilier � Trésorerie � Obligataire type 1 : Obligataire peu risqué � Obligataire type 2 : Obligataire risqué

Nous avons volontairement introduit deux classes obligataires afin de panacher les profils de risques disponibles. Cela se fait lors de la spécification du profil d’achat de ces classes, ci-dessous les profils d’achat définissant (et différentiant) les classes taux : Obligataire type 1 :50% d’obligations AAA à taux fixe de type corporate et de maturité 5 ans et 50% d’obligations AA à taux fixe de type corporate et de maturité 5 ans. Obligataire type 2 :100% d’obligations A à taux fixe de type corporate et de maturité 5 ans. Il est clair qu’en terme de coût en SCR, l’obligataire de type 1 est moins chère que celle de type 2 (le coût provenant du SCR spread et de son choc plus pénalisant pour les ratings A). Enfin nous avons précisé que les rebalancements se font sur la base de la valeur de marché des actifs.

5.1.2 Données économiques Les détails des données économiques retenues sont présentés ci-dessous : Courbe des taux

La courbe des taux ci-dessus est celle des taux swap euro (fin 2011). Trésorerie := 1,34%


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Nous rappelons que le niveau de rémunération de la trésorerie est approximé par le taux swap un an. Prime de risque actions := 450 bp au deçà du taux swap un an. Prime de risque immobilier := 350 bp au deçà du taux swap un an. Inflation := 2% Le niveau de 2% reflète l’objectif de la BCE. Prime de risque obligataire Corporate

La détermination des primes de risques est difficile à apprécier. En effet, les niveaux des spreads peuvent être très hétérogènes au sein d’une même classe de rating et de maturité donnée. Pour estimer ces niveaux nous avons sélectionné un échantillon représentatif de chaque classe (Rating x Maturité) basé sur un critère sectoriel en formant des sous-groupes homogènes en spread. Le spread retenu est calculé sur la base d’une moyenne pondérée par les poids respectifs des sous-groupes.

5.1.3 Présentation des résultats

Voici la frontière efficiente obtenue avec les données présentées ci-dessus.


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A cette frontière sont associées les allocations (efficientes) suivantes :

Nous pouvons définir différentes zones sur le graphique précédent :


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• Zone 1 Cette zone ne propose que deux classes d’actifs : la trésorerie et la classe obligataire de type 1 c’est-à-dire celle de moindre risque. Dans cette zone, la maximisation du rendement peut s’effectuer par l’augmentation de l’obligataire le moins risqué au détriment du cash.

• Zone 2 Dans ce cas, un gain de rendement supplémentaire ne peut être obtenu de façon optimal qu’en investissant dans la classe obligataire de type 2. Dans toute cette zone les allocations efficientes sont obtenues en augmentant le poids de cette dernière classe tout en maintenant le niveau de trésorerie constant et donc au détriment de l’obligataire de type 1.

• Zone 3 L’ensemble des allocations efficientes de cette zone sont formées de deux poches : trésorerie et obligataire de type 2. Nous observons que le gain de rendement supplémentaire passe par une augmentation du poids de l’obligataire risqué pour atteindre 95% (saturation de la contrainte sur le niveau minimal de trésorerie).

• Zone 4 Enfin, la dernière zone est caractérisée par l’apparition des classes d’actifs actions et immobilier. Celles-ci deviennent nécessaires pour atteindre les nouveaux niveaux de rendements. Sans surprise, nous constatons que la classe « immobilier » est dans un premier temps privilégiée (puisque beaucoup moins couteuse que la classe actions) pour être ensuite de plus en plus délaissé au profit des actions.

5.1.4 Tests de sensibilités Nous présentons, ici, quelques tests de sensibilités aux données économiques pour obtenir une première quantification de la stabilité des allocations obtenues. Nous étudions particulièrement la sensibilité aux primes de risque actions et immobilières, ainsi que celle à la déformation de la courbe des taux. Pour se faire, nous nous donnons comme jeu de scénario économique de référence, celui présenté et utilisé précédemment. L’ensemble des résultats graphiques de ces tests (décomposition des allocations optimales) est présenté en annexe de ce mémoire. Actions & Immobilier Toutes choses égales par ailleurs, nous choquons la prime de risque action, puis celle de l’immobilier de -100 bp et enfin de +100 bp. Le tableau ci-dessous rappelle l’ensemble des scenarii testés.

Lorsque l’on diminue le rendement action de 100 points de bases, c’est-à-dire qu’on l’égalise au rendement immobilier, alors sans surprise la classe actions est immédiatement discriminée au profit de l’immobilier puisqu’à rendement identique cette dernière coûte beaucoup moins chère en SCR. Inversement, si l’on augmente l’écart de rendement de 100 points de base entre la classe actions et l’immobilier alors nous observons l’effet inverse : la proportion en actif immobilier s’amoindrit au profit des actions. Nous observons des résultats identiques lorsque nous choquons le rendement


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immobilier à la hausse ou à la baisse. Ainsi nous constatons que la répartition optimale entre les actions et l’immobilier est très sensible aux primes de risques. La volatilité des marchés actions suffit à nous convaincre d’une certaine instabilité de la poche diversifiée des allocations efficientes. Courbe des taux La courbe des taux est le support de toutes les autres classes d’actif. De son niveau dépend donc le niveau de performance de ces classes. Une hausse uniforme des taux de 1% change conséquemment le profil des allocations efficientes. En tout premier lieu, cette hausse des taux signifie d’abord une baisse de la valeur de marché des classes obligataires à la fin de la période, elle vient donc fortement affecter le rendement de ces dernières. Parallèlement, cette hausse augmente d’autant le rendement des classes diversifiées. Ainsi, les classes obligataires perdent de leur intérêt face aux actions et à l’immobilier. Une baisse des taux de 1% à un effet exactement inverse, puisque les classes obligataires gagnent en valeur de marché (due à la baisse des taux) alors que les classes diversifiées perdent 1% en performance. Là encore, nous constatons la forte instabilité des allocations efficientes en regard du niveau de la courbe des taux.


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5.2 Simulation multi-période

5.2.1 Paramètres de simulation Les paramètres de simulations utilisés ici sont les mêmes que ceux présentés dans le cadre de la simulation uni-période.

5.2.2 Données économiques Pour illustrer les possibilités de l’outil, nous effectuons une simulation multi-période basée sur des données économiques observées sur la période 2005/2007. A noter que les données concernant les spreads de crédit ont été conservé constantes le long de la trajectoire. Ci-dessous nous résumons les données retenues. Pour la partie diversifiée :

Pour la courbe des taux :

Soit en représentation graphique pour une meilleure lecture :

En résumé, nous avons isolé une période de performance positive des marchés actions et immobilier, mais présentant, cependant, un très fort déclin du niveau de ces performances. Concernant l’évolution de la courbe des taux, nous observons un scénario de hausse qui se décompose comme suit : Hausse + Aplatissement de la courbe : 2005 > 2006 Hausse de la partie long terme + Pentification du court terme : 2006 > 2007


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5.2.3 Analyse des résultats Sur la base du scénario décrit précédemment, nous présentons ci-après les différentes sorties de l’outil. En tout premier lieu, nous obtenons la frontière efficiente à l’horizon de projection (3 ans). Nous rappelons que la mesure de risque présentée est la moyenne des SCR (Total ou de marché) calculée sur l’ensemble des périodes intermédiaires, le rendement est lui le rendement annualisé de l’ensemble de la période.

Afin d’illustrer les différentes sorties de l’outil, il est nécessaire à ce stade de cibler une allocation particulière : ci-dessous l’allocation choisi à titre d’exemple. Lors de la paramétrisation de la simulation, nous avons choisi une atteinte immédiate de l’allocation cible (rebalancement à l’instant initial vers l’allocation cible). Cette dernière est présentée sur les deux graphiques de droite. L’outil permet par ailleurs de visualiser l’évolution de la composition du portefeuille à différents niveaux de granularité. Enfin, si nous avions opté pour une convergence linéaire à maturité, l’outil nous aurait permis la visualisation, sous le même format que ci-dessous, de l’évolution de l’allocation.


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Pour cette allocation, nous pouvons suivre l’évolution de la duration de la partie obligataire du portefeuille :

Dans ce cas nous observons une décroissance de la duration, en parfaite adéquation avec la structure d’achat des classes obligataires qui est paramétré sur des maturités 5 ans. Le portefeuille étant réalloué immédiatement, la duration diminue logiquement avec le temps qui passe, même si à la fin de chaque période de projection les réajustements à l’allocation cible impactent légèrement la duration de la partie obligataire. Puis, nous obtenons le détail du résultat financier sur l’ensemble de la projection.

Dans cet exemple nous distinguons l’évolution de trois éléments : les niveaux de plus ou moins-values, le coût de la dette subordonnée et le résultat financier hors coût de la dette. Il n’apparaît pas dans notre exemple de dotation / reprise à la réserve de capitalisation (ce qui indique qu’il n’y a vraisemblablement pas eu de ventes obligataires sur cette période), ni de dotation de PRE (en accord avec les niveaux observés de plus-values latentes). Nous observons, en particulier, une augmentation du stock de plus-


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value latente (due au bon comportement de la partie diversifié qui palie à l’impact de la hausse des taux). A présent, nous présentons l’évolution du SCR marché (avant diversification).

Nous observons une légère augmentation du SCR de marché au fil du temps ce qui, à composition de portefeuille quasi-constante, reflète l’augmentation de la taille du portefeuille. Les SCR actions et immobilier suivent cette tendance, à contrario les SCR Spread et Taux diminuent très légèrement. Cet effet est dû à la diminution de la maturité moyenne de la part obligataire, et par conséquent, une baisse des chocs appliqués. Finalement, nous obtenons l’évolution des fonds propres éligibles, du SCR total et donc du ratio de couverture.

Nous observons que le ratio de couverture passe légèrement en deçà du seuil de 100% à la fin de la seconde période pour atterrir à un niveau proche de 80% en fin de période 3. Dans cet exemple purement fictif, ce résultat devrait nous inciter à examiner nos hypothèses liées à l’évolution de l’activité (évolution des primes émises, émissions de dettes subordonnées sur la période, etc...).


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Partie III : Détermination de la politique financière

Tout au long de la partie précédente, nous avons décrit précisément le fonctionnement de l’outil et nous en avons illustré les sorties caractéristiques sur la base d’exemples fictifs. Dans cette troisième partie, nous explicitons son utilisation dans le cadre de l’élaboration de la politique financière de Pacifica. L’exercice réside essentiellement dans la détermination de l’allocation tactique du portefeuille d’actifs pour l’année à venir, et du jeu de limites associé. Nous décrivons alors précisément les différents jalons qui composent cet exercice et nous présentons les résultats obtenus.

1. Etapes clefs de la politique financière Comme nous venons de le décrire, la politique d’investissement vise principalement à proposer une structure de l’actif optimisant le couple rendement / risque tout en respectant un cadre de risque prédéfini (jeu de limites financières). Pour ce faire, à la fin de chaque année, la Direction Financière, en accord avec la Direction Générale, choisit une allocation stratégique long terme et la traduit en un ensemble d’allocations tactiques admissibles pour l’année suivante. Les limites de concentration sont alors réévaluées en tenant compte du risque associé et donc du coût en capital induit. Au regard de l’ensemble de ces contraintes et des anticipations de marché pour l’année à venir, le délégataire de gestion propose finalement une allocation tactique. Ainsi, la pierre angulaire de l’exercice est l’allocation stratégique. Pour la déterminer, nous calculons (via l’outil présenté précédemment) une frontière efficiente sur la base d’hypothèses économiques normatives à cinq ans. Ce choix d’un horizon normatif de cinq années n’est pas anodin puisqu’il se calque sur l’horizon de projection du « Business Plan » stratégique de Pacifica.


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1.1 Principales hypothèses retenues

1.1.1 Granularité des classes d’actifs Définir une allocation optimale suppose au préalable la définition d’un univers de classes d’actifs. L’appréciation du nombre de classes à modéliser se fait au regard des axes suivants :

� Finalité de l’optimisation L’optimisation est-elle performée pour piloter tactiquement ou stratégiquement le portefeuille d’actifs ? Dans le cas d’un pilotage stratégique, le degré de finesse de la description des classes n’est pas l’objectif premier : Le but est de définir les grandes orientations de l’investissement du portefeuille à moyen/long terme.

� Capacité à estimer un rendement discriminant

Il est délicat d’estimer le niveau de rendement attendu d’une classe d’actifs, ainsi lorsque l’on spécifie des sous-classes nous démultiplions les problématiques d’estimation de rendements. Parallèlement à l’évaluation des rendements, l’affectation adéquate du coût en capital peut elle aussi être problématique puisque l’outil utilise, pour le moment, la formule standard. Exemple : Pour la classe « Gestion Alternative », nous pourrions considérer les sous-classes suivantes : “Long/Short”, “Global Macro”, “Event Driven”, “fond multi-stratégie”, etc… Il semble difficile de pouvoir apprécier un niveau de rendement normatif pour ces sous-classes (même si parfois des indices de marché, dans ce cas les « HFRX », existent et tentent de refléter certaines de ces stratégies). Enfin, le choc « actions autres » s’appliquera à chacune de ces différentes classes et aura donc pour effet de discriminer les rendements les plus faibles à coût en SCR identique.

� Impact sur le temps de calculs

Ce critère est directement lié à l’utilisation de l’outil. Plus le nombre de classe augmente, plus le temps nécessaire à l’obtention d’une frontière efficiente augmente due à la démultiplication du nombre d’allocations candidates. En tenant compte de chacun des points ci-dessus, nous avons décidé, dans un premier temps, de considérer les quatre classes d’actifs suivantes :

� Actions � Immobilier � Trésorerie � Obligataire

La partie obligataire étant subdivisée suivant les deux sous-classes :

� Obligataire type 1 : 50% AAA et 50% AA � Obligataire type 2 : 100% A


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Enfin, dans la définition du profil d’achat de ces classes obligataires, nous avons spécifié que les titres seront tous de nature « Corporate » et appartiennent à la zone EEA. En résumé, nous considérons l’univers d’investissement ci-dessous :

1.1.2 Hypothèses économiques

Une fois les classes d’actifs fixées, nous devons leurs associées des hypothèses économiques décrivant leur niveau de rendement attendu. Comme nous l’avons précisé en introduction, ces hypothèses doivent refléter un niveau normatif sur une période de cinq ans. Le choix de la courbe des taux est primordial. L’approche retenue consiste à extraire, à partir de la courbe des taux swap en date de calcul, l’ensemble des courbes forward des prochaines années. La courbe retenue dans le modèle est alors la moyenne, pour chaque pilier de maturité, de la valeur des « piliers forward » sur cinq ans.


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Nous obtenons donc, sur la base des taux au 5 novembre 2012 :

Les spreads retenus représentent des niveaux normatifs cinq ans et sont issus d’un mixte de spread corporates et financières reflétant la répartition du poids de ces classes dans le portefeuille.

Enfin, les niveaux des primes de risques actions et immobilier ont été arbitrés sur la base d’études internes existantes. Dans la dernière partie de ce mémoire, la mise en œuvre d’un générateur de scénarii économiques nous permet de challenger les niveaux arrêtés.

1.2 Choix de l’allocation efficiente Une fois la frontière efficiente obtenue, il est nécessaire de se donner un niveau de risque acceptable : en d’autres mots, nous devons définir notre appétence au risque.

1.2.1 Définition d’une contrainte « Solvabilité I » La première contrainte considérée est la préservation du surplus de marge sous solvabilité I. Cette exigence se traduit en termes de VaR 95% à un an sur le portefeuille d’actif. Ainsi le surplus de marge ne doit pas être consommé plus d’une fois tous les vingt ans par le risque financier. Ce choix de VaR 95% a été arbitré par la Direction Générale. En notant le surplus disponible à la fin de l’année N :

QR%

1.2.2 Définition d’une contrainte de ROE minimal La seconde et dernière contrainte prend en compte une exigence de ROE minimal : tout euro de fonds propres supplémentaire, mobilisé au titre du risque de marché, doit satisfaire un ROE minimal. Pour ce faire, à partir de la frontière efficiente, nous calculons le ROE marginal, de chaque allocation optimale, de proche en proche. La définition du seuil de tolérance est arbitrée par la Direction Générale.

T��&��*

U��"��


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2. Présentation des résultats

2.1 Frontière efficiente

Ci-dessous le résultat obtenu en tenant compte des hypothèses présentées précédemment.

2.2 Détermination de l’allocation cible par application des contraintes

En appliquant les contraintes présentées préalablement, les zones des allocations non admissibles sont représentées en grisée sur le graphique ci-dessous et nous permet d’isoler l’allocation répondant à nos deux critères :


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3. Quantification du risque des limites par tranche de rating Nous rappelons dans cette sous partie que les investissements financiers sont, avant tout, assujettis au jeu de limites fixé en interne (et respectant à minima les contraintes réglementaires) par le Contrôle Permanent des Risques (CPR) dont l’un des rôles est d’identifier et maîtriser les risques auxquels Pacifica est exposé. Parmi ces limites, nous trouvons, notamment, celles définissant l’investissement maximal par émetteur obligataire et par tranche de rating. Nous constatons tout d’abord que le périmètre de ces limites touche un niveau de granularité bien plus fin que celui de l'allocation stratégique décrite précédemment. Enfin, nous notons que la définition de certaines de ces limites peut déformer l’allocation cible, comme par exemple, la limite sur la tranche de rating simple A. Ce dernier point met donc en lumière le décalage existant entre l’approche théorique de notre optimisation et sa mise en œuvre pratique. Le but de cette partie est à la fois de proposer une méthodologie permettant de définir les limites de façon cohérente avec l’allocation stratégique, d’évaluer le coût en capital induit par le risque de défaut, et potentiellement d’améliorer la modélisation de la classe obligataire dans notre outil. Nous étudierons ainsi le cas des limites sur les ratings A (que nous rappelons ci-dessous) puisque cette classe a été prise en compte dans la modélisation de la politique financière. Par émetteurs A - ; A ; A+ : Max 1% de l’encours du portefeuille : (soit 24 m€) Par tranche de rating A- à A+ : Max 50% de l’encours du portefeuille taux : (soit 822 m€) L’approche retenue consiste à considérer une tranche de rating comme un portefeuille d’obligations corporate homogène en rating (et donc en probabilité de défaut) et en encours. Ainsi, la tranche A- à A+, que nous noterons [A] par simplicité d’écriture, sera considérée comme un portefeuille composé uniquement de titre de rating A- (approche conservatrice puisqu’on sature la tranche par les titres de rating les plus bas autorisés pour cette tranche). [A] : Portefeuille de 34 obligations A- (= [822m€/24m€] où ici [.] désigne la partie entière) de probabilité de défaut p et de notionnel 24 m€. Nous considérons par la suite un taux de recouvrement de R en cas de défaut et ce, pour toutes les obligations. Ainsi, en cas de défaut d’une obligation de notionnel N, la perte effective est définie par la relation ci-dessous :

Nous noterons NV=:F7BW5 la v.a donnant le nombre de défaut dans le portefeuille, et XA?? la v.a donnant le montant de la perte en cas de défaut. Nous obtenons ainsi la relation suivante :


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3.1 Modélisation d’un portefeuille homogène fini : Hull-White Nous présentons le modèle de Hull & White que nous avons retenu pour quantifier le risque de défaut d’un portefeuille de taille fini et composé d’obligations considérées comme homogènes. Ces hypothèses semblent raisonnables au regard de la description de la problématique (cf. ci-dessus). Ce modèle est Gaussien à un facteur et a pour particularité de prendre en compte l’existence d’une corrélation entre les défauts. Il nous permet d’obtenir la fonction de distribution de la perte du portefeuille, et ainsi de pouvoir en calculer une « Value at Risk ». Les hypothèses de modélisations sont les suivantes :

� Portefeuille constitué de N expositions obligataires distinctes.

� Taille des expositions (i.e. notionnel des obligations) L.

� Taux de recouvrement R identique pour chaque obligation.

� Chaque obligation du portefeuille à une même probabilité p de faire défaut à

l’horizon T.

Nous rappelons que l’espérance de perte du portefeuille est indépendante du niveau de corrélation des défauts :

Y�;�=éF7B5Z

N

��

Y�;�=éF7B5Z

N

��

Y�;�=éF7B5Z désigne la fonction caractéristique qui vaut 1 si l’obligation � est en état de

défaut et 0 sinon. Ce modèle considère la valeur < de l’actif, à l’instant t, de la nième société (correspondant à l’obligation n du portefeuille), et suppose qu’elle suit une loi normale standard :

< Ou désigne la fonction de répartition de la loi normale standard. A noter que le fait de considérer une loi normale centrée réduite (pour des raisons de simplicité de calculs) n’implique pas une perte de généralité, puisque nous avons en effet :

<H

<<H

Le défaut de l’obligation n est alors constaté lorsque la valeur des actifs de l’entreprise passe en deçà d’un certain niveau < :

< < Economiquement, < représente le montant des engagements de la société n à l’instant T. De ce qui précède, nous pouvons exprimer < simplement en fonction de la probabilité de défaut < de l’obligation n à l’horizon T :

< < < < <��

<


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Par la suite le modèle considère que la probabilité de défaut de chaque obligation est la même (hypothèse d’homogénéité du portefeuille), ainsi :

< < Hull-White modélise alors la valeur des actifs de l’entreprise n comme suit :

< <

désigne un facteur de risque systémique commun à l’ensemble des obligations du

portefeuille, il est supposé suivre une loi normale standard et peut être interprété comme un indicateur reflétant l’état du cycle économique dans lequel on se situe. Les < <[N représentent eux le risque idiosyncratique (risque propre à chaque société) de chaque entité, ils suivent eux aussi une loi normal standard. et les < <[N sont mutuellement indépendants.

Enfin, est le coefficient de corrélation, il pondère donc les parts relatives du risque systémique et idiosyncratique qui régissent la valeur de l’actif. Le cas représente une dépendance totale des actifs entre eux (aucun risque idiosyncratique), inversement

représente l’indépendance. La probabilité de défaut d’une entreprise conditionnellement à vaut :

< <

Càd

Finalement, la probabilité d’obtenir exactement n défauts dans le portefeuille est donné par :

NV=:F7BW5 NV=:F7BW5

D\

�\

Càd

NV=:F

< N�<D\

�\

Le modèle d’Hull-White fournit donc une formalisation de la loi discrète du nombre de défaut, et conséquemment de la loi de la perte en cas de défaut. De cette loi, nous pouvons déduire des niveaux de VaR. D’un point de vue numérique, le modèle a été implémenté sous R et le calcul de l’intégrale a été approximé par la méthode d’intégration numérique de Gauss-Hermite.


Page 69

3.2 Probabilité de défauts S&P Afin de pouvoir quantifier le risque inhérent à ces limites, nous décidons d’utiliser les probabilités de défauts annuelles de S&P associées à chaque rating. En effet, S&P propose un historique par « rating modifier » (c’est-à-dire au niveau de granularité le plus fin), depuis 1981. Nous avons calculé, pour chacun d’eux, une probabilité moyenne par note, ainsi qu’une probabilité « worst case scenario » correspondant à la probabilité la plus sévère observée sur la période pour chacune des notes (ou groupement de notes). Ci-dessous pour illustration la présentation, par année, du niveau des probabilités de défauts annuelles pour la tranche de rating [A].

Nous avons donc calculé une probabilité moyenne et une probabilité « worst case scenario » définie comme suit : Tranche [A]

6A>:<<: 6A>O]

6A>O

6A>O^

_A8?5@7?: _A8?5@7?:O]

_A8?5@7?:O

_A8?5@7?:O^

Avec 6A>O] ∑ I;

a]bcdd;edfgd

h4 et _A8?5@7?:

O]

� �O]


Page 70

3.3 Application du modèle aux limites actuelles de Pacifica Nous proposons à présent l’évaluation du risque de la tranche de ratings [A] en vigueur chez Pacifica. Nous rappelons ci-dessous les hypothèses principales retenues pour les calculs : Horizon de temps : 1 an Taux de recouvrement : 40% (convention de place) Nominal portefeuille : 2 400 m€ Probabilité de défaut annuel : Il est à noter que deux calculs (l’un avec la probabilité de défaut moyenne et l’autre en considérant la probabilité du scénario le pire), pour chaque limite étudiée, sont effectués. Caractéristiques des limites par émetteurs :

Caractéristiques de la limite par tranche de rating [A] :

Les résultats obtenus en termes d’espérance de perte sont détaillés dans le tableau ci-dessous :

Et ceux en termes de VaR 99,5% en fonction du degré de corrélation :

Nous soulignons les résultats pour une corrélation de 10% (qui semble être un niveau de référence mais n’ayant pas fait l’objet d’une étude plus détaillée de notre part).


Page 71

Commentaire : Nous attirons l’attention sur le degré de précision de certains niveaux de VaR obtenus notamment dans les cas où le niveau de corrélation est faible de même que la probabilité de défaut. Dans ces cas-là, les chiffres obtenus peuvent être vu comme des majorants à plus ou moins grosses mailles. Nous illustrons cela par l’exemple suivant :

NV=:F7B5? NV=:F7B5? Dans ce cas, nous avons :

QQ.R% NV=:F7B5? Le graphique ci-dessous illustre ce phénomène :

Pour tenter d’estimer plus finement ces niveaux de risque, nous examinons l’allure de la VaR 99,5% en faisant varier le nombre d’obligations dans le portefeuille. En considérant la probabilité de défaut la pire, nous obtenons un certain nombre de points pour lesquels nous obtenons exactement :

NV=:F7B5? Ci-dessous les résultats, pour la tranche [A] avec une corrélation de 10% et une probabilité de défaut annuel de 0.78% :


Page 72

Par interpolation linéaire, nous obtenons pour la tranche [A] une VaR 99,5% d’environ 35 M€ (versus 43 M€ précédant) pour notre portefeuille actuel composé de 34 obligations. Le même exercice en considérant les probabilités de défauts les plus faibles ne permet d’obtenir qu’un point exact et n’est donc pas applicable sans autres suppositions. Nous pouvons toutefois envisager de dupliquer la structure de déformation de la VaR (obtenue pour des niveaux de probabilité plus fort) en partant de l’un des points disponibles.

Dans ce cas, le niveau de VaR 99.5% obtenu pour la tranche [A] avec comme probabilité de défaut annuelle 0.07% : 6.6m€ contre 14m€ précédemment. Il s’agit cependant d’une approximation forte.


Page 73

Ci-dessous nous récapitulons les résultats obtenus :

3.4 Proposition de méthodologie de calibration des limites Dans cette dernière sous-partie, nous proposons une méthodologie pour calibrer la limite étudiée en tenant compte d’un certain nombre de contraintes. Contrainte de marché : effet diversification Nous notons dans un premier temps que dès lors que les limites par tranche de rating sont déterminées, nous pouvons examiner celles par émetteur. Pour se faire un critère de diversification du risque (augmentation du nombre de titres) est avancé. Pour illustrer ce point, nous représentons l’évolution de la VaR 99.5% pour la tranche [A] en fonction du nombre de titres composant la tranche.


Page 74

Nous remarquons, sur cet exemple particulier, que le gain en diversification tend à se stabiliser lorsque le nombre de titres dépasse 80. Bien évidemment, lorsque le nombre de titres augmente, la limite par émetteur diminue. Les contraintes de marché que sont la taille minimale pour investissement et le nombre d’émetteurs disponibles sur le marché permet ainsi de définir le nombre théorique maximal de titres par tranche. Contrainte Solvabilité I : Préservation de l’exigence de marge Lors de la détermination de l’allocation optimale à moyen / long terme, l’un des critères a été de ne pas consommer le surplus de marge plus d’une fois tous les 20 ans. L’assiette de calcul des limites par tranche de rating est le portefeuille taux, dont le poids optimal à moyen long terme est de 80% du portefeuille. Ainsi, au maximum le poids de la tranche dans le portefeuille sera de :

Ou α représente la limite théorique de la tranche [A] et nous notons le surplus de marge disponible. Nous proposons le budget de risque suivant :

QR% j Avec

� ��

��,� � ��

Et � représente la contribution au risque dans le portefeuille de la classe d’actifs i, � le poids de la classe i et �� la covariance entre les classes i et j.

Et nous avons :

�

�

Nous notons que la QR% est une fonction du nombre de titres en portefeuille et du notionnel de chacun d’eux. Considérant l’allocation optimale du portefeuille moyen long terme, il est possible d’estimer la contribution, au risque du portefeuille, de la tranche considérée. L’introduction de cette contrainte permet donc de définir exactement la limite pour la tranche de rating. Une fois cette limite obtenue, nous obtenons la limite par émetteur de la façon suivante :

!��.

!��T�+

��.

T�+

Ou !�� représente la taille minimale pour investissement, et T�+ représente le le nombre d’émetteurs disponibles sur le marché. Cette limite est donc choisie de façon à respecter les contraintes de marchés détaillées précédemment et à maximiser l’effet de diversification au sein de la tranche en question.


Page 75

3.5 Application pratique L’allocation tactique proposée précédemment donne une allocation de 80% pour la partie taux de rating simple A. Nous souhaitons ici quantifier le niveau critique du surplus de fonds propres nécessaires pour que la limite de la tranche [A], obtenue par la méthode précédente, autorise un tel investissement. Ci-dessous nous résumons les principales hypothèses effectuées pour cet exercice.

Poids actions : 5% (σActions 21%)

Poids immobilier : 10% (σImmobilier 8%)

Poids obligataire simple « A » : 80% (σTaux 3%)

Poids monétaire : 5% (σMonétaire 0.4%) Taille du portefeuille d’actif : 2400 m€ Limite de la tranche [A] : 1900 m€ Taille d’investissement minimal : 10 m€ Nombre maximal d’émetteur : 40 Taux de recouvrement en cas de défaut : 40% Niveau de corrélation entre les défauts : 10% Nous obtenons alors la répartition de la contribution au risque suivante :

Et donc pour la partie obligataire, j Ci-dessous la VaR 95% et 99.5% correspondant à la tranche [A] définit ci-dessus.


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La limite par émetteur est de 48 m€ puisque la condition suivante est satisfaite :

��.

!��T�+

Et donc, nous obtenons par la suite pour la VaR 95% :

QR% Finalement, nous obtenons, pour le surplus de fonds propre nécessaire :

QR%

j

Ainsi, en suivant la méthodologie de calibration des limites proposée précédemment, la mise en œuvre de l’allocation tactique implique un niveau minimal de surplus de marge de 50 m€.

4. Conclusion Lors de la politique financière, l’outil d’allocation d’actifs est utilisé pour déterminer l’allocation stratégique de Pacifica. Pour ce faire, nous nous sommes livrés à un exercice théorique qui nous a permis d’obtenir une frontière efficiente à laquelle deux contraintes (préservation du surplus de marge en Solvabilité I et ROE minimal) sont appliquées pour définir l’allocation cible. Parallèlement, nous avons présenté une méthodologie de calibration de certaines limites, ainsi que le coût en capital qui leur est associé au titre du risque de défaut (obtention d’une VaR 99,5). Sur la base de cette méthodologie, nous avons alors défini le montant du surplus de fonds propres minimal nécessaire pour autoriser actuellement une allocation telle que proposée par la politique financière. Enfin, plus généralement, cette méthodologie peut être étendue à la calibration d’autres tranches de rating, ce qui permettrait d’améliorer la finesse du modèle existant. Cela impliquerait cependant de faire évoluer le modèle de calibration présenté afin de prendre en compte un effet de diversification entre l’ensemble des différentes tranches de ratings. Sur cette base, nous pourrions alors augmenter le nombre de classes d’actifs modélisées dans l’outil d’allocation, en leur associant les limites d’investissements calculées (on peut d’ailleurs raisonnablement espérer que ces contraintes d’investissements maitrisent l’augmentation du temps de calcul lié à l’augmentation du nombre de classes).


Page 77

Partie IV : Générateur de Scénarios Economiques (GSE)

1. Objectifs

Comme nous l’avons vu dans le chapitre deux, l’outil présenté se base sur une projection déterministe de l’actif et, d’une façon générale, du bilan. Ainsi, l’outil lit en entrée les trajectoires économiques des classes d’actifs sur l’ensemble du PMT et projette le bilan conséquemment. Sans surprise, la sensibilité du résultat de l’outil à ces hypothèses peut être grande. L’un des axes naturel d’amélioration futur est l’appropriation de ces hypothèses économiques via le développement d’un générateur de scénarii économique. La calibration d’un tel générateur sera donc essentielle de par l’importance du choix des primes de risques dans les projections. Enfin ce travail trouve un double intérêt puisqu’il serait être à la fois utile dans une utilisation plus précise de l’outil d’allocation d’actifs actuel, mais aussi dans le développement d’un modèle DFA actuellement en cours de réflexion. Enfin, une refonte de l’outil en tant que tel pourrait être envisagée en interne pour intégrer directement le GSE à l’outil. Le but de cette dernière partie est de présenter succinctement deux modèles de générateurs de scénarii économiques ainsi que la mise en œuvre pratique de l’un d’eux. Pour ce faire, nous nous appuyons essentiellement sur le livre de (F.Planchet, 2009), sur les articles de (K.Ahlgrim)6, de (Hardy, 2001) et sur un mémoire (Armel, 2010).

2. Les modèles GSE Un générateur de scénario économique permet de projeter dans le futur des grandeurs macro-économiques autorisant alors de simuler d’autres éléments, comme l’actif et le passif du bilan d’un assureur par exemple. En général, les grandeurs suivantes sont considérées : l’inflation, les taux d’intérêts, le rendement des actions et parfois celui de l’immobilier. Les deux modèles présentés ci-dessous sont dits d’équilibre général et, en partant d’une variable clé (l’inflation), ont pour but d’assurer un niveau de cohérence global au modèle ainsi construit. Comme nous venons de le préciser, l’inflation joue ici un rôle prépondérant, une attention toute particulière à cette variable est donc nécessaire.

2.1 Modèle de Wilkie Ce modèle a été proposé pour la première fois en 1986 (la deuxième en 1995) par Wilkie et avait pour originalité d’être le premier modèle à considérer l’ensemble des principales classes d’actifs de façon cohérente. Il repose sur une structure en cascade dont la base est, comme mentionné précédemment, la modélisation de l’inflation de laquelle découle l’ensemble des autres grandeurs économiques. La présentation de ce modèle s’appuie essentiellement sur celle donnée dans le livre de (F.Planchet, 2009). Ainsi ce modèle, comme nous allons le voir, propose une dynamique pour les grandeurs suivantes :

• Inflation • Taux d’intérêt • Actions • Immobilier

6 L’ensemble des papiers d’études disponibles sur le site http://www.casact.org/research/econ/


Page 78

En pratique de nombreuses critiques ont depuis été formulées envers ce modèle, dont la principale est sa faible capacité prédictive, du fait notamment d’un grand nombre de paramètres à calibrer.

2.1.1 Inflation La dynamique proposée pour régir cette grandeur est de type autorégressif d’ordre 1 :

J k J k k,5

Avec :

: Le taux d’inflation instantané.

J : La moyenne long terme du taux d’inflation.

k : La force de retour à la moyenne du taux d’inflation.

k : L’écart type du bruit.

k,5 : Variable aléatoire normale centrée réduite.

Wilkie observe cependant que l’hypothèse de normalité des résidus n’est pas vérifiée.

2.1.2 Taux d’intérêts

Il est ici proposé une modélisation du taux d’intérêt long terme, avec dissociation de la partie inflation et de la partie taux réel. Nous obtenons :

@ @ Avec, en représentation de la partie inflation @ @ tel que :

@ P P P Et pour représentation de la partie taux réel, la quantité tel que :

J l@ Et :

l@ l@ J l@ J l@ J l@ >

>,5 l@ l@,5

Pour le passage aux taux court terme, Wilkie propose de modéliser la différence entre les logarithmes des taux long terme et court terme :

J C J C C,5 C C C,5


Page 79

2.1.3 Actions La modélisation du prix des actions passent par celle de leurs rendements (découlant là encore de l’inflation), mais aussi du dividende en tant que tel. Ainsi nous reconstituons le prix de l’action par la relation suivante :

Avec le dividende de l’action. La dynamique proposée pour le rendement est la suivante :

> J m J m m,5

Avec :

: Le taux d’inflation instantané.

> : La sensibilité du rendement nominal des actions à l’inflation.

J : Le taux de rendement moyen à long terme.

m : La force de retour à la moyenne du taux de rendement.

m : L’écart type du bruit.

m,5 : Variable aléatoire normale centrée réduite.

La dynamique régissant le dividende est, en notant =(5)

=(5��) :

= J = m m,5�� = = =,5�� = =,5

Ou = est un terme dépendant de l’inflation et J représente la croissance réelle moyenne des dividendes (cf. (F.Planchet, 2009) pour le détail des expressions).

2.1.4 Immobilier Enfin pour l’immobilier, la modélisation est similaire à celle des actions. Le modèle spécifie donc une dynamique pour le rendement et les revenus identique à ce que nous avons vue pour les actions, si ce n’est que la dynamique des revenus n’as pas de termes d’influences des erreurs en t-1 (contrairement aux actions).

2.2 Modèle d’Ahlgrim et Al. Le modèle d’Ahlgrim et Al. a été proposé en 2005 et a été soutenu par la CAS (Casualty Actuarial Society) et la SOA (Society of Actuaris) qui sont deux associations dont le but est de promouvoir les sciences actuarielles et leurs applications à la gestion des risques. Ce modèle couvre là encore le taux d’inflation, le taux d’intérêt, le rendement des actions, leurs taux de dividendes, les revenus de l’immobilier ainsi que le taux de chômage. Cette dernière grandeur ne sera pas présenté ici puisqu’en dehors du périmètre de notre outil d’allocation d’actifs.

2.2.1 Inflation Le taux d’inflation instantané (notée 5 ) est modélisé par un process d’Ornstein-Uhlenbeck :

5 M M 5 M M,5

Avec :


Page 80

M : La vitesse de retour à la moyenne.

M : Le taux d’inflation moyen à long terme.

M : L’écart type de l’erreur.

M,5 : Un mouvement brownien.

Ahlgrim, après discrétisation et réarrangement des termes, obtient :

5D� M M M 5 M M

Avec M . Nous trouvons dans (F.Planchet, 2009) une version exacte de cette

discrétisation :

5Dn 5 M M M MM

MM,5

Ou représente le pas de temps de la discrétisation. Pour la calibration des paramètres, en réécrivant l’équation précédente sous la forme :

5Dn 5 M,5

Nous nous apercevons alors que cette calibration passe par une régression linéaire conduisant, à partir de la discrétisation exacte, aux expressions suivantes :

M M MM

M

2.2.2 Taux d’intérêt Pour modéliser les taux d’intérêts réels, le modèle de Vasicek à deux facteurs est utilisé. Dans ce modèle le taux réel court terme 5 observe un comportement de retour à la moyenne vers le taux réel long terme 5 , qui est lui-même stochastique.

5 8 5 5 8 8,5

5 W W 5 W W,5

Comme pour le process d’inflation, nous obtenons les discrétisations exactes suivantes :

5Dn 5 8 5 8 88

88,5

5Dn 5 W W W WW

WW,5

Concernant la calibration des paramètres, la méthodologie est ici différente puisque les deux équations ci-dessus sont interdépendantes. Une méthode des doubles moindres


Page 81

carrés est alors proposée (DMO), c'est-à-dire l’application des moindres carrés ordinaires en deux étapes distinctes : Etape 1 : 5Dn � 2 5 � W,5

Etape 2 : 5Dn � 5 2 5 2 8,5

Ainsi, de la première étape nous obtenons l’estimation des paramètres tels que ci-dessous :

W2

W�

2W �

W

W

Puis, en identifiant les coefficients de l’équation de l’étape 2 avec la forme discrétisée, on obtient :

2 8 � 8 � 2 Ce qui donne comme modèle retenu pour l’estimation des paramètres des taux courts :

5Dn � 5 5 2 8,5

Des résultats précédents nous obtenons alors :

8�

8 28

8

A noter qu’Ahlgrim modélise les taux réels qui ne sont donc pas observables directement. Il propose de reconstruire les séries d‘historiques à partir des taux nominaux auxquels il soustrait l’inflation. Une fois paramétré, ce modèle permet d’obtenir le prix en t de toute obligation zéro coupon (en nominal) de maturité T en s’appuyant sur la relation de Fisher et en supposant l’indépendance entre taux réels et inflation.

NAJ�<7W o<FW75�A< lé:W

2.2.3 Actions La modélisation du rendement du prix des actions est considérée en excès par rapport au taux nominal court terme, c'est-à-dire par rapport à la somme de l’inflation et du taux réel court terme.

5 5 5 5 Et donc 5 désigne l’excès de rendement des actions. Celui-ci est alors appréhender par un modèle à changement de régime du type (Hardy, 2001) motivé notamment par la prise en compte de l’épaisseur, historiquement observée, de la queue de distribution à gauche de ces derniers. Dans ce modèle nous considérons deux états de la nature, un premier régime dit de « basse volatilité » et, à contrario, un autre dit à « volatilité élevée ». Le passage de l’un à l’autre est modélisé par des probabilités de transition (processus de type Markovien).


Page 82

Formellement, en notant 5 le régime applicable sur la période nous avons :

5D�

55 5 5

Et

�, 5D� 5

La calibration de cette partie repose sur la méthode du maximum de vraisemblance. (Hardy, 2001) donne pour expression de cette dernière :

� 2 � < � <�� Et

5 � 5�� 5 5�� 5 � 5��

�,

5�� 5�� 5 5�� 5 5

�,

Le terme 5 5�� représente la probabilité de passage de 5�� 5 (et découle donc simplement des �, ) et 5 5) représente la densité de la loi normale en 5 sachant

l’état 5. Quant au terme 5�� 5�� il se calcule par récurrence. Cette dernière peut se schématiser comme suit :

< � <��<

2<

�,

< <�� < � <��2<

h<

p<

R<

<�� <��h<

2<��

2<��

�<��

Et <

p , <R représentent les deux autres termes décrits précédemment. Les valeurs

initiales de cette récurrence ��

�2

2h se déduisent de la distribution invariante de la

chaine de Markov. D’après (Hardy, 2001), en notant � la probabilité de se trouver dans l’état i:

�2

��

�

�2

2� 2

2

��

�2

�2

Et pour le calcul au rang 2 :

2h �

2

��

Nous avons développé le calcul de cette vraisemblance sous R et avons utilisé l’algorithme dit de « Nelder & Mead » pour en obtenir une maximisation (package ‘neldermead’). Le code informatique développé se trouve en annexe de ce mémoire.


Page 83

2.2.4 Taux de dividendes Le taux de dividende est modélisé, comme pour l’inflation, par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck portant sur le logarithme du taux de dividende noté :

5 > > 5 > >,5

Ici, la principale problématique est la disponibilité d’un historique de donnée long et public. (F.Planchet, 2009) propose comme alternative possible de retenir les taux de dividendes que sur un nombre limité d’actions.

2.2.5 Immobilier Pour la modélisation de cette classe d’actif, la dynamique proposée est la même que pour l’inflation, ainsi la calibration des paramètres suivra elle aussi le même principe.

5 J J 5 J J,5


Page 84

3. Présentation des résultats du calibrage du modèl e d’Ahlgrim

Comme il est précisé dans (F.Planchet, 2009) le choix des données et la profondeur d’historique est primordiale et se doit d’être en cohérence avec l’utilisation que nous souhaitons en faire. Dans le cadre de ce mémoire, l’utilisation d’un tel générateur de scénario économique serait utile pour des projections à moyen/long terme du bilan impliquant ainsi un historique conséquent des données à utiliser pour la calibration. La profondeur d’historique commune à l’ensemble des éléments modélisés est de 15 ans (janvier 1997 à mars 2012) et peut donc apparaître faible en considération de notre horizon de projection. On trouvera en annexe le détail des analyses statistiques effectuées sous SAS et sous R.

3.1 Présentations des données et des résultats de calibration

L’ensemble des données utilisées (provenant de différentes sources), dans le cadre de la mise en place de ce modèle, sont les suivantes :

Inflation:

HICP (Harmonized Index of Consumer Price) France, en mensuel. L’historique des prix, depuis 1997, est récupéré sur le site de la BCE en libre accès :

Voici ci-dessous les résultats de la calibration du modèle :


Page 85

Figure 38 : Résumé des tests statistiques

Les résultats des deux tests de normalité sont concordants et valide l’hypothèse du modèle sur les résidus pour la série d’inflation.

Taux long nominaux: Le TME, c’est-à-dire le taux moyen d’emprunts d’état, a été choisi comme « proxy » pour le taux long terme. Il représente la moyenne arithmétique des taux hebdomadaire des emprunts d’état dont l’échéance est supérieure à 7 ans qui est théoriquement proche d’un taux sans risque même si la crise des dettes souveraines actuelles nous rappelle à la prudence. Les données ont été récupérées sur le site de la Banque de France, en pas mensuel, avec un historique remontant au mois de janvier 1997.

En suivant la préconisation méthodologique décrite dans (Ahlgrim, 2005), nous obtenons alors l’historique des taux réels long terme en retranchant le taux d’inflation annuel au taux nominal long terme.


Page 86

Les résultats des deux tests de normalité sont concordants et valident l’hypothèse du modèle sur les résidus pour la série des taux long.


Page 87

Taux court nominaux:

Le T4M a été choisie comme « proxy » pour le taux court terme. Il représente la moyenne mensuelle du marché monétaire Français, et vaut la moyenne arithmétique des 28, 29, 30 ou 31 de l’EONIA. Les données ont été récupérées sur le site de la Banque de France, en pas quotidien, sur un historique remontant au mois de décembre 1996. De la même manière que pour les taux long, nous déduisons l’historique des taux court réels en ajustant de l’inflation.


Page 88

Les résultats des deux tests de normalité ne valident pas l’hypothèse du modèle pour la série des taux court. Nous remarquons de plus la négativité, pour le moins problématique, de la force de rappel à la moyenne. De fait c’est l’effet inverse qui se produira : divergence du taux court par rapport au taux long. En regardant de plus près la série étudiée et en comparant nos résultats avec ceux proposés dans le mémoire de (Armel, 2010) (calibré jusqu’à mi 2009) nous observons en juin, aout et septembre 2009 de très fortes baisses des taux court réels. En reperformant cette régression sans tenir compte de ces 3 observations extrêmes (passant donc de 184 à 181 observations), nous obtenons les résultats suivants :

Les résultats des deux tests de normalité ne valident donc pas l’hypothèse du modèle pour la série des taux court, par contre, la force de rappel obtenue est dans ce cas positive (même si très faible).


Page 89

Actions :

L’indice action choisi est le CAC 40. Un historique quotidien de l’indice, avec dividendes réinvestis depuis le 31 décembre 1987, a été obtenu sur le site d’Euronext.

Pour la calibration du modèle, le calcul du maximum de vraisemblance a été développé sous R. Un premier test de calibration a été effectué sur l’indice S&P 500 Total Return sur la période 1956 à 1999. Le but étant de pouvoir comparer les résultats obtenus, à ceux décrit dans l’article (Hardy, 2001). La série de donnée, en « Total return » est disponible sur le site de S&P à partir de 1987, et grâce aux données de R.Shiller7, nous avons pu construire un proxy de l’historique manquant (présenté en annexe). Nous constatons cependant une instabilité du résultat de cette calibration eu égard aux conditions initiales, qui nous pousse à la prudence. Ci-dessous, les résultats de la calibration de l’excès des rendements du CAC 4O total return par rapport aux taux court nominaux.

7 http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm

0

2 000

4 000

6 000

8 000

10 000

12 000

01-ja

nv.-

97

01-ju

il.-9

7

01-ja

nv.-

98

01-ju

il.-9

8

01-ja

nv.-

99

01-ju

il.-9

9

01-ja

nv.-

00

01-ju

il.-0

0

01-ja

nv.-

01

01-ju

il.-0

1

01-ja

nv.-

02

01-ju

il.-0

2

01-ja

nv.-

03

01-ju

il.-0

3

01-ja

nv.-

04

01-ju

il.-0

4

01-ja

nv.-

05

01-ju

il.-0

5

01-ja

nv.-

06

01-ju

il.-0

6

01-ja

nv.-

07

01-ju

il.-0

7

01-ja

nv.-

08

01-ju

il.-0

8

01-ja

nv.-

09

01-ju

il.-0

9

Evolution indice actions

CAC 40 Total Return Index


Page 90

Nous obtenons donc deux états distincts pour les rendements des actions, un premier, le plus probable, dans lequel l’excès de rendement en deçà du taux court vaut 5% pour une volatilité de presque 26% et un second, correspondant à un régime de crise, avec un excès de rendement négatif de 26% pour une volatilité de l’ordre de 32%. Ce résultat semble cohérent même si un niveau de volatilité de 26% dans le régime « normal » semble être relativement fort. Les probabilités de transition d’un état à l’autre indiquent par ailleurs une grande stabilité de l’état 1 ce qui, là encore, reste cohérent. Concernant le niveau de la prime de risque action obtenue, 500 bp si l’on considère celui de l’état 1 (le plus probable et le plus stable), il est en accord avec celui retenu lors de la politique financière 450bp. Ce résultat nous conforte donc dans le choix retenu pour la prime de risque action.

Immobilier :

L’indice immobilier choisi est l’IPC (indice des prix aux logements) dont l’historique est disponible sur le site de l’INSEE.


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Là encore, les résultats des deux tests de normalité sont concordants et valident l’hypothèse du modèle sur les résidus pour la série de l’immobilier. De plus, nous obtenons une prime de risque (au deçà du taux court nominal) d’environ 350 Bp lorsque nous considérons les niveaux historiques des rendements observés, résultat en parfaite adéquation avec le niveau retenu lors de la politique financière. Cependant, en considérant les niveaux issus de la calibration du modèle, c’est-à-dire « Taux moyen immobilier LT – (Taux court réel + Taux moyen inflation LT) » : nous trouvons alors une prime de risque de 450 Bp. Comme nous l’avons vu dans la partie II, cet écart peut avoir de réels conséquences sur les poids optimaux des poches actions / immobiliers.

3.2 Exemple de simulations de trajectoire Nous avons développé le générateur de scénarii en VBA sous Excel. Ce choix a bien évidemment été motivé par le fait que l‘outil lui-même a été développé en VBA. La simulation a été effectuée en utilisant la matrice de corrélation historique des résidus à laquelle nous appliquons une décomposition de Cholesky. Ci-dessous, pour illustration des résultats, la projection du taux d’inflation et du rendement de l’immobilier ainsi que l’évolution temporelle de leurs moyennes et quantiles. Ces graphiques sont issus d’une simulation de 100 scénarii.


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Figure 39 : projection de l'IPC France

Figure 40 : Evolution temporelle de la moyenne et des quantiles à 5% et 95% du taux d’inflation

Nous observons que l’évolution temporelle de la moyenne et des quantiles, calculée sur la base des 1000 trajectoires simulées, est conforme à la théorie. Nous retrouvons bien une convergence du taux d’inflation moyen vers le taux moyen d’inflation long terme de 1.73%. Les quantiles à 5% et 95% sont eux aussi conformes à la théorie (cf. figure 52).

4. Conclusion

Dans cette dernière partie, nous avons présenté deux modèles de générateurs de scénarii économiques dont l’un, le modèle d’Ahlgrim, a fait l’objet d’un développement en langage Visual Basic. Ce dernier a été calibré sur des données de marchés représentatives de l’univers d’investissement potentiel de PACIFICA. Les résultats obtenus sont globalement proche de ceux utilisés lors de la politique financière, notamment pour la prime de risque actions. Cependant la prime de risque de l’immobilier découlant de la calibration du modèle est plus forte, de 100 points de base, que celle retenue initialement. Ce cas de figure a été testé dans le chapitre II, et le résultat montre qu’alors la classe actions perd nettement de son attractivité au profit de l’immobilier.


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Conclusion générale

Comme nous venons de le voir, l’optimisation de l’allocation d’actif est l’un des enjeux majeurs de demain pour les assureurs. Le choix des investissements réalisés aura un impact direct sur le besoin en capital et donc sur le ratio de solvabilité des compagnies. Dans ce cadre Pacifica a souhaité se doter d’un outil lui permettant d’abord d’optimiser sa consommation de fonds propre à niveau de rendement donné, puis de pouvoir projeter son actif sur un horizon moyen terme. Le champ d’application couvre principalement la détermination de la politique financière, la réalisation de stress test, l’ORSA et permet un premier axe de réflexion pour le développement d’un modèle interne. L’outil présenté permet donc la construction d’une frontière efficiente proposant l’allocation optimale du portefeuille pour un niveau de risque de donné (ou pour un niveau de rentabilité fixée). La mesure de risque choisie est naturellement basée sur le SCR et la mesure de rentabilité intègre quant à elle le résultat financier, les plus ou moins-values latentes et l’état des provisions de fin de période. Outre l’obtention d’une frontière efficiente, l’outil permet une projection déterministe (fonction d’un ensemble de données économiques) sur un horizon donné, de l’évolution du ratio de solvabilité, de la déformation du SCR de marché, de celle de l’allocation du portefeuille et de la duration de l’actif. En considérant les résultats obtenus, nous avons observé que les paramètres économiques d’entrée étaient de grandes influences sur les résultats, motivant ainsi le thème de la dernière partie de ce mémoire sur les générateurs de scénarios économiques. L’implémentation de l’un d’eux a été effectué et pourra donc servir de base pour alimenter, voire faire évoluer, l’outil dans ses prochaines utilisations. Même si cela constitue une première sophistication, il reste évidemment de nombreuses voies d’améliorations. La première serait l’intégration du générateur de scénario dans l’outil même, la seconde serait de travailler sur la modélisation de la structure de dépendance du générateur de scénario économique choisi (cf. le mémoire de (Armel, 2010) et l’article de (Kamega, 2011)). Finalement l’ensemble de ces évolutions constitueraient un pas important vers le développement d’un modèle interne chez Pacifica, c'est-à-dire vers une compréhension et une modélisation encore plus précise de nos risques.


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Annexe 1 : Analyse statistique de la calibration d’Ahlgr im

Ci-dessous des statistiques plus détaillées des séries de données (réalisée sous SAS).

Figure 41 : Statistique descriptive de la série des "Taux réel long terme"

Figure 42 : QQ-plot des résidus pour les taux réels long terme

Figure 43 : Histogramme de la distribution empiriqu e des résidus des "Taux réel long terme"


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Figure 44 : Statistique descriptive de la série de l’inflation

Figure 45 : QQ-plot des résidus pour l'inflation

Figure 46 : Histogramme de la distribution empiriqu e des résidus de l'inflation


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Figure 47 : Statistique descriptive de la série des rendements de l'immobilier

Figure 48 : QQ-plot des résidus pour l'immobilier

Figure 49 : Histogramme de la distribution empiriqu e des résidus de l'immobilier


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Figure 50 : Statistique descriptive de la série des "Taux réels court terme"

Figure 51 : QQ-plot des résidus pour les « Taux rée ls court terme »

Figure 52: Histogramme de la distribution empirique des résidus des "Taux réels court terme"


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Annexe 2 : Tests de normalité de Shapiro-Wilk et Kolmogo rov-Smirnov

Nous présentons ici succinctement les deux tests de normalité utilisé dans notre étude. Cette présentation se base sur l’article de (Rakotomalala, 2011). Test de Shapiro-Wilk : Ce test permet de trancher, sur la base d’un échantillon, entre les hypothèses suivantes : Ho : X suit une loi normale H1 : X ne suit pas une loi normale Le test porte sur la valeur de la variable de décision W qui est le rapport de deux estimateurs liés à la variance de la population. Cette statistique compare donc la forme de la distribution observée à celle de la loi normale. La valeur de la probabilité critique (p-value : Pr [W<Wobs]) permet de conclure sur le rejet ou non de Ho. Pour une valeur α donné du risque de première espèce, nous obtenons : Si p-value > α on conserve Ho sinon on rejette. Test de Kolmogorov-Smirnov : Ce test d’hypothèse permet de déterminer si un échantillon suit une certaine loi, ou si deux échantillons suivent la même loi. D’un vecteur d’observations nous pouvons obtenir sa fonction de répartition empirique notée telle que :

La statistique de Kolmogorov-Smirnov est alors définie par :

Le test rejette l’hypothèse nulle si la valeur de la statistique est trop grande. La valeur de la probabilité critique (p-value) permet de conclure sur le rejet ou non de Ho. Pour une valeur α donné du risque de première espèce, nous obtenons : Si p-value > α on conserve Ho sinon on rejette.


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Annexe 3 : Présentation du code R du calcul de la vrai semblance

#Suppression des objets en mémoire rm(list=ls(all=TRUE)) #chargement des librairies library(timeSeries) library(zoo) #Declaration des chemins d'accès aux fichiers sourc es DirMkt="D:\\chauveau\\Gerald\\Isfa\\Memoire\\Calibration Hardy\\Input" #Instantation de la "directory" par defaut setwd(DirMkt) #Lecture des données de marchés MarketData <-read.table(file="CAC_TR_MONTHLY_96_12.csv", sep = ";",header=FALSE) #******* Structure du vecteur de paramètre ******** ******************* #******* x[1]=p12 probabilité de transition de l'et at 1 à 2 ******* #******* x[2]=p21 probabilité de transition de l'et at 2 à 1 ******* #******* x[3]=m1 moyenne des log rendements dans l 'état 1 ******* #******* x[4]=s1 volatilité des log rendements dan s l'état 1 ******* #******* x[5]=m2 moyenne des log rendements dans l 'état 2 ******* #******* x[6]=s2 volatilité des log rendements dan s l'état 1 ******* RSLN2_LIKELIHOOD<-function(x){ # Vérification de la cohérence des paramètres d'ent rées # Cohérence des probabilités de transition # Positivité des volatilités if ((x[1]>1)|(x[1]<0)|(x[2]>1)|(x[2]<0)) return(1000000000000) if ((x[4]<0)|(x[6]<0)) return(1000000000000) # Chargement des données de marché et calculs des l og rendements closing_p<-data.matrix(MarketData[, 1:dim(MarketData)[2]]) mat_rend<-array(0,dim=c((nrow(MarketData)-1),1)) mat_rend<-log(closing_p[2:nrow(closing_p),]/closing_p[1:(nrow(closing_p)-1),]) # Affectation des probabilités de transitions au ve cteur p # Calcul de la valeur de la distribution invariante p<-c(x[1],x[2]) pi1<-MarkovDistribution(1,p) pi2<-MarkovDistribution(2,p) # Affectation des paramètres des distributions LN d ans les deux régimes DistribParam<-matrix(c(x[3],x[4],x[5],x[6]),ncol=2,byrow=F) # Création du vecteur de stockage des résultats pou r la récurrence n<-length(mat_rend) F1_Array<-array(0,dim=n) F2_Array<-array(0,dim=c(n,4)) F3_Array<-array(0,dim=c(n,2)) # Initialisation de la récurrence- y1=mat_rend[1]


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F2_Array[1,1]=F2_Init(1,y1,p,DistribParam) F2_Array[1,2]=F2_Init(2,y1,p,DistribParam) F2_Array[1,3]=F2_Array[1,1] F2_Array[1,4]=F2_Array[1,2] F1_Array[1]=F2_Array[1,1]+F2_Array[1,2] F3_Array[1,1]=F2_Array[1,1]/F1_Array[1] F3_Array[1,2]=F2_Array[1,2]/F1_Array[1] F3_Array[2,1]=F3_Array[1,1] F3_Array[2,2]=F3_Array[1,2] # Calculs itératifs for (k in 2:n) #******* Boucle sur le nombre d'observations { y_k=mat_rend[k] if (k!=2) { F3_Array[k,1] = (F2_Array[k-1,1]+F2_Array[k-1,3]) /F1_Array[k-1] F3_Array[k,2] = (F2_Array[k-1,2]+F2_Array[k-1,4]) /F1_Array[k-1] } for (j in 1:2) { for (i in 1:2) { F2_Array[k,i-2*(1-j)] = F3_Array[k,j] * F4(i,j,p) * F5(y_k,i,DistribParam) F1_Array[k] = F1_Array[k] + F2_Array[k,i-2*(1-j)] } } result=result-log(F1_Array[k]) } # Renvois de la Log Vraisemblance de l'échantillon (signe négativement pour pouvoir la maximiser par minimisation return(result-log(F1_Array[1])) } #Fonction vérifier : OK F4<-function(q_n,q_nMoins1,p){ if (q_n==q_nMoins1) { if (q_n==1) return(1-p[1]) else return(1-p[2]) } else return(p[q_nMoins1]) } #Fonction vérifier : OK F5<-function(y,q_,DistribParam){ result=dnorm((y-DistribParam[1,q_])/DistribParam[2,q_],mean = 0, sd = 1, log = FALSE) return(result)


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} #Distribution stationnaire Markov : OK MarkovDistribution<-function(q_,p){ if (q_==1) result=(p[2]/(p[1]+p[2])) else result=(1-(p[2]/(p[1]+p[2]))) return(result) } #Fonction initiale F3_Init<-function(q_1,y1,p,DistribParam){ result=F2_Init(q_1,y1,p,DistribParam)/F1_Init(y1,p,DistribParam) return(result) } F2_Init<-function(q_1,y1,p,DistribParam){ result=MarkovDistribution(q_1,p)*F5(y1,q_1,DistribParam) return(result) } F1_Init<-function(y1,p,DistribParam){ for (i in 1:2) { result=result+F2_Init(i,y1,p,DistribParam) } return(result) }


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Annexe 4 : Historique S&P 500 Total Return

La calibration du modèle de changement de régime sur le S&P 500 Total Return avait pour but de pouvoir comparer les résultats que nous obtenons à ceux décrit dans l’article de (Hardy, 2001). Hardy calibre ce modèle sur l’historique mensuel de cet indice, pour une période allant de 1957 à 1999. L’une des principales difficultés réside dans la recherche des données. Pour ce faire, nous avons récupéré, en libre accès sur le site de « Standard & Poors »8, une première partie de cet historique couvrant la période de décembre 1987 à aujourd’hui. Puis nous avons récupéré les données du S&P 500 (mais pas en Total Return) de R.Shiller9 disponible, en pas mensuel, depuis janvier 1871. Voici un extrait de ces données :

Figure 53 : Données du S&P 500 depuis 1871 (source R.Shiller site web)

Sur le site, nous trouvons le détail de la significativité, des sources et du mode de calcul de ces données. En particulier nous notons que les prix de l’indice sont des moyennes mensuelles des prix de clôtures du mois. A partir des dividendes (en points d’indices) fournis, nous avons reconstitué un proxy de l’historique manquant. Ci-dessous, une illustration graphique de cette reconstitution et de la volatilité un an glissant associée.

8 http://www.standardandpoors.com/indices/sp-500/en/us/?indexId=spusa-500-usduf--p-us-l-- 9 http://www.econ.yale.edu/~shiller/data.htm


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Annexe 6 : Sensibilités aux données économiques

Déformation de la structure d’allocation efficiente due :

� A une baisse du rendement action de 100 bp

� A une hausse du rendement action de 100 bp


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� A une baisse du rendement immobilier de 100 bp

� A une hausse des taux de 100 bp


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� A une baisse des taux de 100 bp


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Bibliographie

[1] Alaeddine Faleh, Frédéric Planchet, Didier Rulliere. Les générateurs de scénarios économiques : Quelle utilisation en assurance, 2009. [2] Winter & Associés. La lettre actuariat et finance, 2010 [3] Kevin C. Ahlgrim, Stephen p. D’Arcy, Richard W. Gorvett. Asset-Liability modeling for Insurers: Incorporating a regime switching process for equity returns into a Dynamic Financial Analysis model. [4] Kevin C. Ahlgrim, Stephen p. D’Arcy, Richard W. Gorvett. A comparison of actuarial financial scenario generators. [5] P. Embrechts. Modeling Dependence with Copulas and applications to risk management, 2001. [6] Frédéric Planchet. Cours ISFA : Dépendance stochastique, Introduction à la théorie des copules. [7] Kamal Armel. Mémoire actuariat : Structure de dépendance des générateurs de scénarios économiques, Modélisation et simulations, 2010. [8] Banque de France. Interdépendance des marchés d’actions : Analyse de la relation entre les marchés boursiers Américain et Européens, 2004. [9] Frédéric Planchet, Pierre-E.Thérond. Allocation d’actifs selon le critère de maximisation des fonds propres économiques en assurance non-vie : présentation et mise en œuvre dans la réglementation Française et dans un référentiel de type Solvabilité II, 2009. [10] Lilia Allag. Mémoire actuariat : Modélisation et allocation stratégique d’actifs dans le référentiel de Solvabilité II, 2008. [11] Clélia Sauvet. Mémoire actuariat : Solvency II – Quelle modélisation stochastique des provisions techniques prévoyance et non-vie, 2006. [12] EIOPA: www.eiopa.europa.eu/ [13] ACAM: http://www.acam-france.fr [14] Casualty Actuarial Society http://www.casact.org/about/ [15] Philipp J.Schönbucher, Credit derivatives Pricing Models, Wiley Edition 2003

Documents

Mémoire présenté devant l’Institut de Science Financière ... · In the first section of the paper, we outline the current regulatory framework and then introduce the upcoming