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MISE EN PLACE D’AJUSTEMENTS FINANCIERS DANS UN CADRE ORSA
30 MAI 2016
BENJAMIN CHÂTAIGNER 1, ELÉONORE HAGUET 2
ACTUARIS
Résumé
Dans le cadre du pilier 2 de la Directive Solvabilité 2, les assureurs sont amenés à évaluer et à projeter leursengagements (provision technique Best Estimate) de façon Market Consistent en prenant en compte le coût desoptions et garanties financières.
Cela induit la génération de jeux de scénarios économiques en univers Risque Neutre pour chacun des pas deprojection du plan stratégique.
Dans cet article "Mise en place d’ajustements financiers dans un cadre ORSA", nous présentons une méthodebasée sur les ajustements financiers qui permet, sans utilisation de jeux de scénarios économiques supplémen-taires par rapport au pilier 1, de projeter les engagements de l’assureur tout en prenant en compte l’évolution desconditions économiques.
Cette méthode sera également utilisée pour établir les bilans économiques choqués de l’assureur, ce qui faci-litera considérablement le calcul du SCR prospectif et la mise en place du processus ORSA.
1. [email protected], Actuaris, 13/15 Bd de la Madeleine, 75 001 Paris, France2. [email protected], Actuaris, 13/15 Bd de la Madeleine, 75 001 Paris, France
Table des matières1 Evaluation des engagements prospectifs 2
1.1 Evaluation des engagements de l’assureur sous Solvabilité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Mise en place d’un business plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Evaluation des engagements prospectifs dans l’ORSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Recalibrage du générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 La méthode des ajustements financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Mise en place des ajustements financiers 72.1 Définition d’une nouvelle mesure de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Ajustement des indices économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Propriétés des ajustements financiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.1 Propriétés de réconciliation des éléments ajustés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Propriétés de martingalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3.3 Vérification de la stabilité des volatilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Mise en place des ajustements financiers "Smith Wilson improved" 133.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2 Mise en place des ajustements "Smith-Wilson improved" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Mise en place de la méthode de référence hors ajustements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4 Résultats numériques 164.1 Modèles utilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.1 Générateur de scénarios économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.1.2 Modèle ORSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Ajustements des indices économiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.1 Vérification de la réconciliation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2.2 Vérification de la martingalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Comparaison des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
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1 Evaluation des engagements prospectifs
1.1 Evaluation des engagements de l’assureur sous Solvabilité 2Sous Solvabilité 2, le bilan de l’assureur doit être établi en vision économique. Les actifs sont valorisés en valeur demarché et le passif est évalué en vision Best Estimate comme défini par l’article 77 de la Directive 2009/138/CE :"La meilleure estimation correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité des flux de trésorerie futurs,compte tenu de la valeur temporelle de l’argent (valeur actuelle attendue des flux de trésorerie futurs), estimée surla base de la courbe des taux sans risque pertinents".
Afin de prendre en compte le coût des options et des garanties financières, les assureurs sont amenés à utiliserdes scénarios stochastiques obtenus à l’aide d’un générateur de scénarios économiques.Le Générateur de Scénarios Economiques (GSE) en univers Risque Neutre, permet de simuler des chroniquesd’indices économiques sur un horizon de temps donné, en cohérence avec les prix d’instruments financiers obser-vés sur le marché ainsi que la courbe des taux sans risque à la date du calibrage. Ces indices économiques sont parexemple le rendement action, le rendement immobilier, les taux d’intérêts, les taux d’inflation, etc.
La provision Best Estimate Liabilities (BEL) peut s’écrire mathématiquement de la manière suivante :
BEL = EQ
∑i≤1
CashF lowi × δi
Où δi est le coefficient d’actualisation correspondant à la ième période,Q, la probabilité Risque Neutre induite par les scénarios stochastiques,Fluxi , les flux de passif de la ième période : prestations, cotisations, frais, etc.
La probabilité Risque Neutre est construite de manière à conserver les conditions de marché initiales dans ladiffusion des indices économiques, la propriété de Market Consistency est ainsi vérifiée. L’existence de cetteprobabilité Risque Neutre induit également la propriété de martingalité des actifs actualisés et permet de vérifierl’absence d’opportunité d’arbitrage dans le modèle.
La mise en place du calcul de la provision Best Estimate stochastique peut être représentée graphiquement dela manière suivante :
FIGURE 1 – Mise en place d’un Best Estimate stochastique
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La construction de jeux de scénarios stochastiques est un exercice difficile dans le sens où les assureurs doiventvalider que le processus de calibrage a été correctement effectué (qualité des données utilisées, contrôles des para-mètres de volatilité et des corrélations des indices). Ils doivent également documenter les modèles mathématiquessous-jacents et mettre en place des tests leur permettant de s’assurer de l’exactitude, de la robustesse et de la cohé-rence avec le marché.
1.2 Mise en place d’un business planDans le cadre de la mise en place de leur processus Own Risk and Solvency Assessment (ORSA), les entreprisesd’assurance doivent démontrer leur solvabilité sur un horizon à moyen terme. Cet horizon correspond générale-ment à celui du plan stratégique, variant entre 3 et 5 ans.
Les facteurs économiques doivent évoluer au cours de ce plan stratégique afin de prendre en compte les antici-pations de l’entreprise en termes d’évolution de la structure par terme des taux d’intérêts, des rendements actionset immobiliers, de l’évolution de l’inflation, etc.Ces anticipations sont fondées sur l’analyse des rendements historiques.
Cela entraîne la compagnie à inscrire dans son business plan les évolutions anticipées de ces différents facteurs età définir le scénario central.Ce scénario représente le scénario le plus probable anticipé par l’assureur et celui-ci n’est pas forcément déterminéà partir des conditions de marché actuelles.
Lors de la mise en place de leur processus ORSA les assureurs sont également amenés à définir des scénariosde stress permettant de mesurer l’ampleur des pertes potentielles et d’anticiper les actions à mettre en œuvre pourmaintenir la solvabilité de l’organisme si de telles situations venaient à se réaliser.Lors de l’exercice ORSA 2015, les entreprises ont dû tester leur solvabilité face à des évolutions probables dela structure des taux par terme, avec notamment le maintien de taux durablement bas voire négatifs ou bien unehausse brutale des taux d’intérêt.
Afin d’évaluer leurs engagements (provision Best Estimate) tout au long du plan stratégique, les assureursdoivent être en mesure de prendre en compte l’évolution de ces facteurs économiques dans les processusd’actualisation et de revalorisation des flux futurs.
Les projections des facteurs de risque et l’imbrication avec les simulations Risque Neutre sont présentées dansle graphe ci-dessous :
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Les projections Monde Réel contiennent l’évolution des facteurs de risque tout au long du plan stratégique et per-mettent la prise en compte des affaires nouvelles. Ces projections Monde Réel sont constituées du scénario centralet de l’ensemble des stress tests.Les simulations stochastiques Risque Neutre permettent quant à elles de calculer le Best Estimate de façon MarketConsistent tout en prenant en compte le coût des options et garanties financières futur.
Une des difficultés majeures de la mise en place d’un modèle ORSA repose sur l’évaluation des engagementsfuturs des assureurs. En effet, les simulations Risque Neutre générées à chaque pas de projection doivent dépendredes évolutions des facteurs de risque définis dans le scénario central et dans chacun des stress tests.
1.3 Evaluation des engagements prospectifs dans l’ORSA1.3.1 Recalibrage du générateur de scénarios économiques
La prise en compte de l’évolution des facteurs économiques au cours du plan stratégique dans l’évaluation desengagements futurs nécessiterait théoriquement le recalibrage du GSE à chaque pas de projection.
Pour cela, il serait nécessaire de déterminer les prix futurs des instruments financiers permettant le calibrage duGSE à chaque pas de projection du plan stratégique, et ce, pour chacun des stress tests mis en place dans le cadrede l’ORSA.
La difficulté de mise en pratique et l’augmentation des temps de traitement rendent très difficile le recalibragedes jeux de scénarios.
La méthode de référence utilisée dans cet article permet de réajuster le niveau des taux au cours du plan stra-tégique, tout en respectant la faisabilité des calculs. Celle-ci servira de référence aux calculs effectués dans unmodèle ORSA.
Les paramètres de calibrage sont supposés constants au cours du plan stratégique, et seules les anticipations descourbes des taux sont prises en compte dans la diffusion des scénarios économiques.Cette méthode permet de générer des scénarios économiques consistants avec les courbes des taux réelles définiesdans le plan stratégique en considérant un niveau de volatilité homogène à celui des scénarios économiques dupilier 1.Il est cependant nécessaire de générer les scénarios économiques à chaque pas de temps et pour chacun desscénarios définis dans le business plan.
Ainsi le nombre de scénarios à générer est le suivant :
3* × Nombre années Plan Stratégique× Nombre de stress tests
* Les scénarios up et down devront être également générés afin d’effectuer le calcul du SCR à l’aide de la formule standard àchaque pas de projection ORSA.
Cette méthode présente donc l’inconvénient de générer une volumétrie importante de fichiers due au grand nombre de scé-narios à générer ; et donc un fort risque opérationnel.
Une méthode alternative permettant la génération de scénarios économiques ORSA est maintenant présentée, fondée sur lamise en place d’ajustements financiers.
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1.3.2 La méthode des ajustements financiers
La méthode des ajustements financiers permet de réajuster les scénarios économiques générés dans le cadre du pilier 1 au traversde l’application d’un facteur stochastique dépendant des nouvelles conditions de marché obtenues à chaque pas de projectionet pour chacun des stress tests.L’application de ce facteur permet la déformation de l’aléa stochastique contenu dans les scénarios économiques du pilier 1 eneffectuant un changement de numéraire induit par l’évolution des indices économiques définie dans le Business Plan.
L’utilisation des ajustements financiers permet de définir une nouvelle mesure de probabilité sous laquelle la propriété demartingalité des actifs actualisés et la propriété de Market Consistency sont conservées à chaque pas de temps du planstratégique.
Cette méthode a été utilisée dans la thèse de (Dbabis, 2013) pour l’ajustement des facteurs économiques dans le cadre dela mise en place de la méthode des simulations dans les simulations pour la détermination du capital économique sous Solvabi-lité 2.
La mise en place de ces ajustements repose sur trois étapes distinctes :
Etape 1 : Définition du Business Plan ORSA
— Définition du scénario central avec la prise en compte de l’évolution des indices économiques.
— Définition des scénarios de stress mis en place dans le cadre du processus ORSA.
Etape 2 : Récupération des jeux de scénarios stochastiques du pilier 1
Dans le cadre du pilier 1, le calcul des engagements est effectué à l’aide de scénarios stochastiques.Cette table d’indices économiques est nommée "Table de base" et est simplement récupérée pour la mise enplace des ajustements.
Etape 3 : Ajustement de la "Table de base"
La "Table de base" Risque Neutre est ajustée à l’aide d’un facteur stochastique dépendant des évolu-tions du Business Plan.
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Les étapes de mise en place des ajustements financiers peuvent être représentées par le graphique suivant :
Mise en place des ajustements des scénarios stochastiques au sein du modèle ORSA
Ainsi aucun jeu de scénarios stochastiques supplémentaire par rapport au pilier 1 n’est nécessaire pour l’évaluation desengagements futurs.
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2 Mise en place des ajustements financiers2.1 Définition d’une nouvelle mesure de probabilitéL’évolution des facteurs de risque au cours du plan stratégique détermine de nouvelles conditions de marché. Le but des ajuste-ments financiers est de déformer les scénarios économiques utilisés dans le cadre du pilier 1, en prenant en compte l’évolutionde ces conditions de marché, et plus précisément l’évolution de la courbe des taux.
L’évolution de la courbe des taux étant également contenue dans celle des prix de zéro-coupons, nous allons chercher à dé-finir une nouvelle mesure de probabilité sous laquelle l’unité monétaire est définie à partir de ces instruments financiers.
Pour cela, nous effectuons un changement de probabilité permettant de définir le facteur d’actualisation à partir des prixforward d’échéance future, en nous plaçant en univers forward-neutre. Sous cet univers de probabilité, l’unité monétaire deréférence étant le prix forward, nous pouvons directement prendre en compte l’évolution de la courbe des taux à partir del’évolution des prix forward définie dans le scénario central ainsi que pour chacun des stress tests.
Le lecteur intéressé pourra consulter (Devolder, 2001) pour plus d’informations sur l’univers forward neutre et le change-ment de numéraire associé.
La définition de cette nouvelle mesure de probabilité permet de valoriser les portefeuilles tout au long du plan stratégiqueet de calculer les Best Estimate prospectifs, en tenant compte de l’information contenue dans le scénario central et les scénariosde stress.
Une nouvelle mesure de probabilité sera également définie pour chacun des chocs de la formule standard, et plus précisé-ment pour les chocs de taux up et down où les niveaux des taux seront différents du scénario central.La définition de ces mesures de probabilité permettra de prendre en compte les chocs de la formule standard à chaque pas deprojection du plan stratégique et de calculer les SCR prospectifs.
Il est maintenant possible de s’intéresser à la formule d’ajustement en elle-même, qui découle de ces considérations.
2.2 Ajustement des indices économiquesAvant de définir la formule d’ajustement, les notations utilisées dans la suite de cet article sont présentées ci-dessous :
— P représente le prix de zéro-coupon ajusté par la méthode des ajustements financiers.
— PMR et PRN représentent les prix de zéro-coupons issus respectivement des projections Monde Réel (contenues dansle business plan) et de la table Risque Neutre.
— H correspond au pas de projection du Business Plan.
Les prix de zéro-coupons obtenus à partir du changement de probabilité défini dans la partie précédente sont alors donnés parla formule suivante :
P (H +m,n) = PRN (H +m,n)×PMR(H,m+n)
PMR(H,m)
PRN (H,m+n)
PRN (H,m)
Où m et n évoluent respectivement jusqu’à l’horizon temporel Risque Neutre.
Les ajustements financiers considérés dans cet article sont des ajustements de niveau, c’est-à-dire que seul le niveau des tauxest pris en compte ; la volatilité est alors homogène à celle générée dans les scénarios du pilier 1. Pour satisfaire cette propriété,il est nécessaire que les volatilités des modèles sous-jacents soient déterministes.
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La formule d’ajustement se traduit graphiquement de la manière suivante :
Le déflateur est le facteur d’actualisation des flux futurs pour le calcul de la provision Best Estimate. Celui-ci est déterminé àpartir des prix de Zéro-coupons de maturité 1 an et est donné par la formule suivante :
DRN (H,n) =
n−1∏i=0
PRN (H + i, 1)
Le déflateur ajusté, induit par la nouvelle mesure de probabilité s’exprime alors :
D(H,n) =
n−1∏i=0
P (H + i, 1)
Les autres facteurs financiers sont également ajustés afin de tenir compte de la nouvelle mesure de probabilité.La formule d’ajustement de l’indice action, utilisée également pour l’ajustement de l’indice immobilier, est la suivante :
S(H + n) = SRN (H + n)× DRN (H,n)
D(H,n)
Cette méthode permet d’obtenir des courbes des taux, ainsi que des chroniques d’indices actions et immobiliers, ajustées àchaque pas de temps du plan stratégique, et ce, sans nécessiter de jeu de simulations Risque Neutre supplémentaire par rapportà ceux utilisés dans le pilier 1.
Il convient maintenant d’analyser les propriétés mathématiques vérifiées par ces grandeurs ajustées.
2.3 Propriétés des ajustements financiers2.3.1 Propriétés de réconciliation des éléments ajustés
L’actualisation des flux futurs sous Solvabilité 2 s’effectue en univers Risque Neutre de façon Market Consistent ; ainsi lesconditions de marché initiales doivent être conservées.
La propriété de Market Consistency doit être vérifiée tout au long du plan stratégique dans la mise en place du processusORSA. Ainsi, à chaque pas de projection, les facteurs économiques ajustés doivent coïncider avec les facteurs économiquesanticipés et définis dans le scénario central.
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Ajustements de taux
Dans le cadre du pilier 1, la propriété de Market Consistency se traduit notamment par le fait que la courbe des taux dif-fusée par le générateur de scénarios économiques à l’instant initial doit être cohérente avec la courbe des taux fournie parl’European Insurance Occupational Pensions Authority (EIOPA).
Dans l’ORSA, les courbes des taux utilisées pour la valorisation des engagements futurs doivent être cohérentes avec l’évolu-tion de la courbe des taux définie dans le scénario central, et ce à chaque pas du plan stratégique.Il s’agit donc de vérifier que les prix de zéro-coupons ajustés se réconcilient avec les prix des zéro-coupons induits par le scé-nario central.
Soit H , le pas de projection du plan stratégique, les prix de zéro-coupons ajustés s’expriment de la façon suivante :
P (H,n) = PRN (H,n)×PMR(H,n)
PMR(H,0)
PRN (H,n)
PRN (H,0)
= PRN (H,n)× PMR(H,n)
PRN (H,n)= PMR(H,n)
Il y a bien réconciliation entre la courbe ajustée initiale et la courbe des taux de marché à chaque pas de temps du plan straté-gique.
Ajustements action (et immobilier)
Les prix des actifs définis dans le nouvel univers de probabilité doivent être égaux aux prix observés dans le scénario cen-tral, et ce à chaque pas de projection.Soit H, le pas de projection du plan stratégique, la valeur de l’indice action ajustée s’exprime de la façon suivante :
S(H) = SRN (H)× DRN (H, 0)
D(H, 0)= SRN (H) = SMR(H)
La même propriété est vérifiée dans le cadre de l’indice immobilier.
2.3.2 Propriétés de martingalité
Sous Solvabilité 2, l’actualisation des flux futurs pour l’évaluation des engagements doit être effectuée en univers RisqueNeutre. Sous cet univers de probabilité, le rendement des actifs actualisés évolue au taux sans risque et celui-ci vérifie la pro-priété de martingalité. Ainsi, sous la nouvelle mesure de probabilité introduite précédemment, la propriété de martingalité doitêtre conservée.
Nous allons vérifier cette propriété pour les différentes formules d’ajustement énoncées précédemment.
Martingalité du déflateur
La propriété de martingalité du déflateur DRN en univers Risque Neutre est donnée par la relation suivante :
EQ(DRN (H,n) |FH ) = PRN (H,n)
Où FH est la filtration engendrée par l’information connue en H .
Sous la nouvelle mesure de probabilité, la martingalité du déflateur ajusté se traduit par la réconciliation avec les conditions demarché en H , c’est-à-dire avec la structure des taux par termes induites par les prix des zéro-coupons PMR :
EQ(D(H,n)|FH) = PMR(H,n)
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La démonstration de cette propriété est la suivante :
EQ(D(H,n)|FH) = EQ
(n−1∏i=0
P (H + i, 1)|FH
)
= EQ
n−1∏i=0
PRN (H + i, 1)×PMR(H,i+1)
PMR(H,i)
PRN (H,i+1
PRN (H,i)
|FH
= EQ
(n−1∏i=0
PRN (H + i, 1)× PMR(H,n)
PRN (H,n)|FH
)
=PMR(H,n)
PRN (H,n)× EQ(DRN (H,n)|FH)
= PMR(H,n)
Le déflateur ajusté conserve donc bien le caractère martingale du déflateur Risque Neutre.
Martingalité des prix de zéro-coupons
La propriété de martingalité des prix de zéro-coupons PRN (H + m,n) sous l’univers Risque Neutre est donnée par la re-lation suivante :
EQ(PRN (H +m,n)×D(H,m)|FH) = PRN (H,m+ n)
Sous la nouvelle mesure de probabilité, les prix de zéro-coupons actualisés à partir du déflateur ajusté doivent être martingalesavec les nouvelles conditions de marché, c’est-à-dire avec la nouvelle structure des taux par terme induite par l’évolution duscénario central :
EQ(P (H +m,n)× D(H,m)|FH) = PMR(H,m+ n)
Cette propriété se démontre de la manière suivante :
EQ(P (H +m,n)× D(H,m)|FH) = EQ
(P (H +m,n)×
m−1∏i=0
P (H + i, 1)|FH
)
= EQ
PRN (H +m,n)×PMR(H,m+n)
PMR(H,m)
PRN (H,m+n)
PRN (H,m)
× PMR(H,m)
PRN (H,m)×m−1∏i=0
PRN (H + i, 1)|FH
=PMR(H,m+ n)
PRN (H,m+ n)× EQ
(PRN (H +m,n)×
m−1∏i=0
PRN (H + i, 1)|FH
)
=PMR(H,m+ n)
PRN (H,m+ n)× EQ(PRN (H +m,n)×D(H,m)|FH)
=PMR(H,m+ n)
PRN (H,m+ n)× PRN (H,m+ n)
= PMR(H,m+ n)
Le prix de zéro-coupon ajusté conserve donc bien le caractère martingale du prix zéro-coupon Risque Neutre.
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Martingalité des indices actions et immobiliers
La propriété de martingalité des indices actions SRN (H + n) sous l’univers Risque Neutre est donnée par la relation sui-vante :
EQ(S(H + n)×D(H,n)|FH) = SRN (H)
Sous la nouvelle mesure de probabilité, l’indice action actualisé à partir du déflateur ajusté doit être martingale avec les nou-velles conditions de marché, c’est-à-dire avec la valeur en H de l’indice action notée SMR(H) :
EQ(S(H + n)× D(H,n)|FH) = SMR(H)
Cette propriété se démontre de la manière suivante :
EQ(S(H + n)× D(H,n)|FH) = EQ
(D(H,n)× SRN (H + n)× DRN (H,n)
D(H,n)|FH
)= EQ(SRN (H + n)×DRN (H,n)|FH)
= EQ(SRN (H + n)×n−1∏i=0
PRN (H + i, 1)|FH)
= SRN (H)
= SMR(H)
La même démonstration reste valable pour l’ajustement immobilier.
2.3.3 Vérification de la stabilité des volatilités
Les ajustements financiers considérés dans cet article sont des ajustements de niveau, ce qui nécessite que les volatilités desmodèles sous-jacents soient déterministes.La vérification de la stabilité des volatilités étant directement liée aux modèles sous-jacents, nous nous placerons sans perte degénéralité, dans le cadre d’un modèle de Hull and White à un facteur pour la diffusion des taux et dans le cadre d’un modèle deBlack-Scholes pour les rendements Action et Immobilier.
Prix de zéro-coupon
Le modèle utilisé dans le GSE pour générer la table de base contenant les courbes des taux, est un modèle de Hull & White àun facteur. Le prix de zéro-coupon vérifie la dynamique suivante :
PRN (H +m,n) =PRN (H,m+ n)
PRN (H,m)e−
A(m,n)σ2n2
+B(m,n)Xm
Où σ est la volatilité du taux court instantané etA,B etX des fonctions qui sont explicitées dans l’ouvrage (Brigo & Mercurio,2006).
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En utilisant le prix ajusté, la dynamique est la suivante :
P (H +m,n) = PRN (H +m,n)× (
PMR(H,m+n)
PMR(H,m)
PRN (H,m+n)
PRN (H,m)
=PMR(H,m+ n)
PMR(H,m)e−
A(m,n)σ2n2
+B(m,n)Xm
Les volatilités restent donc stables par application des ajustements.
Indice action
Le modèle utilisé dans le GSE pour générer l’indice action est un modèle de Black Scholes, la dynamique de l’indice ac-tion est la suivante :
SRN (H + n) =SMR(H)
DRN (H,n)e−
nσ2
2+σ√n×Wt
Avec Wt ∼ N (0, 1).
En utilisant l’indice ajusté cette relation devient :
S(H + n) = SRN (H + n)× DRN (H,n)
D(H,n)
=DRN (H,n)
D(H,n)× SMR(H)
DRN (H,n)e−
nσ2
2+σ√n×Wt
=SMR(H)
D(H,n)e−
nσ2
2+σ√nWt
Les volatilités restent donc inchangées, il y a bien stabilité par application des ajustements. Ce résultat est identique pour l’in-dice immobilier.
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3 Mise en place des ajustements financiers "Smith Wilson improved"3.1 MotivationLes propriétés de réconciliation des indices économiques ajustés nous ont permis de démontrer que les conditions de marchésont conservées après application des ajustements sur les facteurs financiers, et ce, à chaque pas de projection du plan straté-gique. Ainsi les courbes des taux utilisées pour la valorisation des engagements futurs sont consistantes avec les anticipationsdes courbes des taux de marché définies dans le Business Plan.
Cependant l’EIOPA préconise l’utilisation d’une courbe des taux différente de la courbe des taux de marché pour l’actuali-sation des flux futurs dans le cadre du pilier 1. En effet, la courbe des taux fournie par l’EIOPA pour les calculs du pilier 1 estobtenue à partir de la courbe des taux de marché après application de la méthode d’extrapolation de Smith Wilson recomman-dée par l’EIOPA dans le QIS 5, Risk-free interest rates Extrapolation method. Cette méthode permet notamment d’obtenir uneconvergence à long terme des taux forward vers l’Ultimate Forward Rate (UFR). La valeur de l’UFR est actuellement fixée à4,2 % par l’EIOPA. Cette valeur correspond à la somme des anticipations du taux de rendement de long terme des obligationssans risque (2,2%) et de la valeur de l’inflation cible de la Banque Centrale Européenne (2 %).
Comparaison de la courbe des taux marché et de la courbe des taux EIOPA au 31/12/2014 :
* Les écarts obtenus entre les deux courbes sur les 20 premières années sont dus à la prise en compte du Credit Risk Adjustment(CRA) dans le calcul des engagements sous Solvabilité 2.
Afin de mettre en place une méthode homogène entre les évaluations des engagements des assureurs dans le cadre du pilier 1et de l’ORSA, la méthode de Smith Wilson doit être également utilisée pour le calcul des engagements prospectifs de l’assureur.
Ainsi, les courbes des taux définies dans le scénario central et dans chacun des stress tests du business plan doivent êtreextrapolées en amont des évaluations des Best Estimate prospectifs.
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Exemple d’extrapolation des courbes des taux pour l’évaluation des engagements futurs :
−→Extrapolationpar la méthode
de Smith-Wilson
3.2 Mise en place des ajustements "Smith-Wilson improved"La méthode des ajustements peut être directement appliquée à la structure des taux par terme extrapolée par la méthode deSmith-Wilson, et ce, à chaque pas de projection du plan stratégique.
En notant PSW (m,n) le prix de zéro-coupon de date de départ m et de maturité n issu de la méthode de Smith Wilson, laformule d’ajustements "Smith Wilson improved" est la suivante :
P (H +m,n) = PRN (H +m,n)×PSW (H,m+n)
PSW (H,m)
PRN (H,m+n)
PRN (H,m)
Les ajustements "Smith Wilson improved" définissent un nouveau changement de probabilité ; le changement de numéraire re-posant cette fois sur la courbe des taux extrapolée.Les mêmes formules d’ajustements que celles présentées précédemment sont appliquées pour les déflateurs et les indices Im-mobilier et Action.
Ainsi, les propriétés de réconciliation et de martingalité des courbes des taux ajustées sont désormais obtenues à partir del’évolution des courbes des taux extrapolées par la méthode de Smith-Wilson.
3.3 Mise en place de la méthode de référence hors ajustementsLes ajustements "Smith Wilson improved" ont pu être reproduits à partir de la méthode de référence introduite dans la partie 2.Pour rappel, cette méthode consiste à rediffuser les scénarios stochastiques à chaque pas de projection et pour chacun des stresstests avec les courbes définies dans le Business Plan.Ainsi, la méthode d’extrapolation de Smith-Wilson devra être préalablement appliquée à l’ensemble des courbes des taux demarché anticipées avant de procéder à la diffusion des scénarios économiques.
La méthode de référence nécessite donc les étapes supplémentaires suivantes :
— Extrapolation des courbes des taux définies dans le Business Plan
— Génération des scénarios stochastiques à chaque pas du plan stratégique et pour chacun des stress tests
— Incorporation de ces scénarios stochastiques dans le modèle ORSA
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Nous présentons désormais à l’aide d’un graphique la méthode de référence afin de mettre en exergue les gains de temps induitspar l’utilisation des ajustements financiers.
La mise en place des ajustements financiers ne nécessite, quant à elle, aucune étape supplémentaire car les ajustements sontréalisés dans le modèle. Il est important de noter que les temps de calculs du modèle ORSA ne sont pas impactés par l’ajoutdes ajustements.
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4 Résultats numériques4.1 Modèles utilisés4.1.1 Générateur de scénarios économiques
Les scénarios utilisés dans le cadre du pilier 1 ont été calibrés avec des prix d’instruments financiers au 31/12/2014.Les modèles considérés afin de générer ces scénarios sont décrits ci-dessous.
Modèle de diffusion des Taux : Modèle de Hull and White à 1 facteur
drt = a(bt − rt)dt+ σdWt
— a : vitesse de retour à la moyenne du processus
— bt : fonction déterministe choisie de manière à retrouver la courbe des taux initiale
— σ : volatilité du taux court instantané
Modèle de diffusion Action et Immobilier : Modèle de Black-Scholes
dSt = rtStdt+ σStdWt
— rt : le taux de rendement espéré (taux 1 an issu du modèle Hull & White dans notre cas)
— σ : volatilité
Modèle de diffusion de l’inflation : Modèle de Gadmer
it = α+ β × rt + σεt
— α, β et σ : les paramètres du modèle, et εt suivant une loi normale centrée réduite
Ces modèles sont à volatilité déterministe, ainsi la propriété de conservation de la volatilité sera vérifiée dans la mise en placedes résultats numériques présentés ci-après.
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4.1.2 Modèle ORSA
Le modèle ORSA sur lequel les ajustements financiers ont été utilisés est un modèle de projection permettant de prendre encompte les interactions Actif/Passif. Le passif modélisé représente des engagements de long terme.
Les courbes des taux utilisées dans le business plan sont les courbes des taux suivantes :
Ces courbes des taux ont été calibrées de manière à obtenir les taux suivants :
Périodes Pas 1 Pas 2 Pas 3 Pas 4 Pas 5Taux 1 an 0,050% 0,050% 0,150% 0,250% 0,500%Taux 10 ans 1,000% 1,300% 1,800% 2,500% 3,000%Taux Long Terme 2,000% 2,100% 2,200% 2,30% 2,400%
Ces courbes des taux sont directement inscrites dans le business plan du modèle ajusté ; la méthode d’extrapolation de SmithWilson étant mise en place dans le modèle.Pour la méthode de référence, il est nécessaire de renseigner également en entrée du modèle, les courbes préalablement extra-polées.
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4.2 Ajustements des indices économiques4.2.1 Vérification de la réconciliation
Les courbes des taux utilisées dans la valorisation des engagements prospectifs doivent se réconcilier avec l’évolution de lacourbe des taux définie dans le scénario central, et ce à chaque pas du plan stratégique.
Cette propriété est vérifiée graphiquement en comparant les courbes des taux du scénario central et les courbes des taux ajustésdu modèle.
Une parfaite réconciliation est obtenue entre les courbes renseignées dans le business plan et celles obtenues dans le modèleaprès ajustement.
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4.2.2 Vérification de la martingalité
Les scénarios économiques ajustés doivent vérifier la propriété de martingalité.
La martingalité, dans le cas des déflateurs, se traduit par l’égalité suivante :
EQ(D(H,m)|FH) = PMR(H,m+ n)
Cette propriété peut être analysée sur les graphiques suivants :
Testmartingale déflateur ajusté
Le test martingale est donc bien vérifié en pratique.
La martingalité pour les indices action et immobilier se traduit par l’égalité suivante :
EQ(S(H + n)× D(H,n)|FH) = SMR(H)
Les tests de martingalité pour l’indice action sont présentés par les figures suivantes :
Testmartingalité indice action ajusté
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Il est ainsi possible de constater que l’indice action ajusté actualisé est, en moyenne, très proche de l’indice action initial.
De même nous pouvons analyser les tests de martingalité sur la durée du plan stratégique relatifs à l’indice immobilier surles graphiques suivants :
Testmartingalité indice immobilier ajusté
Le test de martingalité est également vérifié pour l’indice immobilier. Rappelons que l’indice immobilier a été ajusté d’après lamême formule que l’indice action.
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4.3 Comparaison des résultatsLes ajustements financiers ont été étudiés à l’aide du modèle de projection ORSA et du GSE présentés précédemment. Pourcela, 1000 scénarios économiques ont été considérés afin de prendre en compte le coût des options et garanties financières.
Les résultats sont détaillés dans le tableau ci-dessous (en milliers d’euros) :
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Les graphiques correspondants à ces résultats sont les suivants :
Les résultats obtenus à l’aide de la méthode de référence et de la méthode des ajustements financiers sont extrêmement proches,en effet les écarts relatifs des ratios de couverture sont inférieurs à 0.5 Les écarts obtenus en stochastiques sont expliqués parla convergence sur 1000 simulations des modèles de diffusion, ainsi que par le coût des options et garanties financières car lesécarts obtenus sur le scénario théorique sont nuls.
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ConclusionLa méthode présentée dans cet article permet d’ajuster les scénarios stochastiques utilisés dans le cadre du pilier 1 afin de calcu-ler les Best Estimate et les SCR prospectifs. La génération de scénarios économiques supplémentaires n’est alors pas nécessaire.
Afin de tester les résultats de ces ajustements, une méthode de référence a été mise en place, fondée sur la génération descénarios économiques à chaque pas de projection avec les nouvelles conditions de marché.
Les résultats obtenus avec la méthode de référence et la méthode des ajustements sont extrêmement proches et les seulesdifférences sont expliquées par la convergence des scénarios économiques, ainsi que par le coût des options et garanties finan-cières.
La mise en place de la méthode des ajustements financiers n’induit pas de temps de calculs supplémentaire et le risque opé-rationnel est drastiquement diminué par l’absence de manipulations de fichiers, contrairement à la méthode de référence quinécessite la génération d’un grand nombre de jeux de scénarios.
Enfin, la mise en place de tests automatiques permet de valider efficacement les scénarios économiques ajustés dans le mo-dèle.
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Références[1] Ben Dbabis, 2013, Modèles et méthodes actuarielles pour l’évaluation quantitative des risques en environnement solvabilité
II, Thèse.
[2] Brigo, D. & Mercurio, F., 2006. Interest Rate Models - Theory and Practice - Second Edition. 2nd ed. Springer Finance,pp 71-80.
[3] DEVOLDER P., [2001], Les Univers Virtuels de la Finance, Belgian Actuarial Bulletin, Vol. 1, No. 1.
[4] EIOPA, 2014, Directive 2009/138/CE du Parlement Européen et du Conseil
[5] QIS 5, Risk-free interest rates – Extrapolation method
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