Embed Size (px)
Citation preview
Miért van az, hogy a legtöbben
a szöveges feladatokkal nem boldogulnak?
Részletek a szövegértést fejleszt�, kidolgozott
feladatlapokból
El�szó
20 éves személyes tapasztalataim azt mutatják, hogy a tanulóknak egyre kevesebb idejük
marad arra, hogy olvassanak. Az információt a legrövidebb id� alatt kell megszerezniük, ezért
a különböz� online – keres�kb�l egyszer�en kimásolják a szükséges anyagokat és kész…
Azonban ha olyan helyzetbe kerülnek, hogy egy szöveg lényeges mondanivalóját megértsék,
akkor…
Miért van az, hogy a legtöbben a szöveges feladatokkal nem boldogulnak?
A válasz egyszer�: nem alakult ki a megfelel� szövegértés. (amikor valaki idegen nyelv�
szöveget olvas úgy, hogy a szavakat egymás után elolvassa, de semmit nem ért bel�le).
A következ� oldalakon néhány részletet találsz abból a több száz feladatlapból, amelyek a
lazamatek.hu oldalon találhatók, és a szövegértés kialakítására szolgálnak.
A feladatlapokat csak olvasni kell, a „Négyjegy� függvénytáblázat” segítségével, majd
lépésr�l–lépésre követni a levezetéseket úgy, hogy közben egy tollal vagy ceruzával a
kezünkben jegyzetelünk. A példákhoz szükséges összes magyarázat és képlet is mellé van
írva, amik a Négyjegy� függvénytáblázatban is szerepelnek. Továbbá minden feladathoz
vannak gyakorló példák, így más számokkal is lehet birkózni. Nincs több meglepetés a
dolgozatírásnál sem!
A dolgozatírásnál és az érettségin már a függvénytáblázat használata mellett a példamegoldás
is rutin lesz, és ezzel a tudással már komoly eséllyel tudsz harcba szállni.
„ Ne feledd: aki akar, az képes!”
Javaslatom: ne higgy el mindent, amit itt leírtam! Azonban azt kérem, hogy próbáld ki, hogy
m�ködik–e. Ha m�ködik, akkor használd, ha nem, akkor gyorsan felejtsd el!
Sok sikert és jó tanulást kívánok!
Kiss János
Részlet a „Térgeometria 4” feladatlapból
1. Egy téglatest térfogata 5184 cm³, az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya2 : 3 : 4.
Mekkora a téglatest felszíne?
Megoldás:
1. lépés: Nézzük a rajzot!
Adatok:
− Az A csúcsot válasszuk a téglatest egyik csúcsának.
− A három él : a, b és c. Ezek valóban az A csúcsban futnak össze.
− A téglatest térfogata: V = 5184 cm³
Tudjuk, hogy a térfogat:
V = alapterület · testmagasság = At · b
At = a · c (a fels� téglalap területe, vagyis a téglatest teteje)
V = a · b · c
5184 = a · b · c
2. lépés: Jelöljük az egységet x-el! Akkor az oldalak:
b = 2x ���� mert ez a legrövidebb
a = 3x ���� mert ez a közepes hosszúságú
c = 4x ���� mert ez a leghosszabb
3. lépés: Az így kapott mennyiségeket helyettesítsük be az 5184 = a · b · c egyenletbe!
3
3 3
5184 3 2 4
5148 24 : 24
216
6
x x x
x
x
x
= ⋅ ⋅
=
==
Az egység (vagyis az x) 6-al egyenl�, tehát az oldalak:
b = 2x = 2 · 6 = 12 cm
a = 3x = 3 · 6 = 18 cm
c = 4x = 4 · 6 = 24 cm
4. lépés: A téglatest felszíne a határoló téglalapok területeinek az összege! Mivel minden
lapból kett� egyforma van, így a következ� módon kell felírni az egyenletet:
A = 2 · (At + T1 + T2)
A téglatest tehát a következ�:
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
3
22
2
2 18 24 18 12 12 24 2 432 216 288
2 936 1872
tA A T T
a c a b b
c
c
m
= ⋅ + + =
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =� �� �
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + =� �� �
= =⋅
A téglatest felszíne tehát 1872 cm³
1. Gyakorló feladat:
a; Egy téglatest térfogata 3000 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya:
2 : 3 : 4. Mekkora a téglatest felszíne?
(A = 1300 cm2; a = 15 cm; b = 10 cm; c = 20 cm)
b; Egy téglatest térfogata 20 580 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya:
3 : 4 : 5. Mekkora a felszíne?
(A = 4606 cm2; a = 28 cm; b = 21 cm; c = 35 cm)
c; Egy téglatest térfogata 16 464 cm³. Az egyik csúcsában összefutó éleinek aránya:
1 : 2 : 3. Mekkora a felszíne?
( A = 4312 cm2; a = 28 cm; b = 14 cm; c = 42 cm)
Részlet az „Algebrai törtek 4” feladatlapból
5. Oldd meg a következ� feladatot! 2 2
2 2
x 25 x 5x: ?
x 3x x 9− + =− −
Megoldás:
1. lépés: A törtek között álló osztás−jel miatt, a jobb oldali tört reciprokát vesszük,
vagyis megfordítjuk a törtet, és kicseréljük a számlálót a nevez�vel, így a két kifejezés közé
már szorzás−jel kerülhet!
2 2 2
2 2
2
22
x 25 x 5x x 25:
x 3x x 9x 9
5x x x3x− + −= −⋅
− +− −
2. lépés: A következ�kben már az el�z� feladathoz hasonlóan járunk el! Megnézzük a
számlálókat és a nevez�ket, hogy milyen kiemeléseket illetve nevezetes szorzatokat
használhatunk fel annak érdekében, hogy egyszer�bb kifejezést kapjunk!
Kezdjük el�ször az els� tört számlálójával! Nevezetes azonosságot találtunk!
( )( )2
2 2 22
2 2
x 9
x
x 3x25
x 25 x 5 xx
x 55x
5−⋅ �
− − = − = −−
++
3. lépés: Mi a helyzet az els� tört nevez�jével? Emeljünk ki „x”−et!
( )2
22
2
2
x 25 x 9
x 5x 3x x x 3
x x3x− = −
−− −⋅ �
+
4. lépés: Következ� lépésként, a második tört számlálóját vizsgáljuk! Alkalmazzuk a 2.
lépében bemutatott azonosságot!
( )( )2
22
22 2
2
x 25
x 9x
x 3x x9 x 3 x 3
5xx 3
− ⋅ �−
− = − = −+− +
5. lépés: Mi a helyzet a második tört nevez�jével? Szintén emeljünk ki „x”−et!
( )2
22
2
2
x 25 x 9 x 5x x x 5
x 5x x3 x− −⋅ �−
+ = ++
6. lépés: Az eredeti kifejezésbe, annak is a szorzattá alakított formájába, helyettesítsük be,
az el�z� lépésekben kapott, kerettel ellátott kifejezéseket!
( )( )( )
( )( )( )
2 2
2 2
x 5 x 5 x 3 x 3x 25 x 9x 3x x 5x x x 3 x x 5
− + − +− −⋅ = ⋅− + − +
7. lépés: Keresztben tudunk egyszer�síteni!
( ) ( )x 55 x− +
( )x x 3−
( )x 3⋅
− ( )( )
x
5
3
x x
+
+( )( )
2
x 5 x 3
x=
− +
A feladatot tehát megoldottuk!
Gyakorló feladatok
5. Oldd meg a következ� feladatot!
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
x 49 x 7xa.) : ?
x 5x x 25
x 64 x 8xb.) : ?
x 7x x 49
x 9 x 3xc.) : ?
x
x 7 x 5
x
x 8 x 7
x
x 3 x
2 4
2
xx x
− + =− −
− + =− −
− +
� �− +� �
� �
=−
− +
−
� �
� �− +� �
Részlet az „Koordináta geometria 3” feladatlapból
3. Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái A(- 4 ; 6) , B(3 ; -4) és a C(5 ; 6). Hol
metszi a C csúcsból induló magasságvonal a koordináta tengelyeket?
Megoldás:
1. lépés: El kell készítenünk a feladat megoldásához szükséges ábrát!
Az ábrából láthat, hogy az „mc” magasságvonal mer�leges az AB oldalra. Az el�z�
feladathoz hasonlóan itt is el�állítjuk az AB����
irányvektort:
A(−−−− 4 ; 6) és B(3 ; −−−− 4)
( )( ) ( ) ( ){ }( )
A végpont B koordinátáiból kivonom a kezd�pont A koorAB 3 4 ; dinátái 4 6 t
AB 7 ; 10
− −
−
− −����
����
2. lépés: Tehát az ( )AB 7 ; 10−����
irányvektor lesz az „mc” normálvektora!
( )n 7 ; 10−
A normálvektor els� száma (koordinátája) lesz az „A”, míg a második a „B”!
3. lépés: Ismerjük most már a magasságvonal normálvektorát, és ha megnézzük az ábrát, az
átmegy a C(5 ; 6) csúcsponton (hiszen onnan indul ki), ezért a „Négyjegy�
függvénytáblázat”-ban is megtalálható, egyenes normálvektoros egyenletébe be tudunk
helyettesíteni!
0 0Ax By Ax By+ = +
( ) ( )0 0
c
A B Ax By
7 10 7 5 10 6
7x 10y 25 Az "m " magasságvonal egyenl
x y
x y
7x 10y 35ete!
60
+ = +
⋅ + − ⋅ = ⋅ + − ⋅
− = − �
− = −
4. lépés: Most nézzük meg, hogy a magasságvonal hol metszi az „y” tengelyt! Ilyenkor az a
lényeg, hogy ott van a metszéspont, ahol az „x” koordináta egyenl� „0”-val!
Tehát az „y” tengely metszéspontja, amit elneveztünk „M”-nek, a következ�képpen írható
fel:
5. lépés: Most pedig az „mc” magasságvonal egyenletébe ( )7x 10y 25− = − helyettesítsük be
az ( )yM 0 ; y metszéspont „x” koordinátáját, azaz a „0”-át!
7x 10y 257 10y 50 2
− = −⋅ − = −
6. lépés: Ebb�l az egyismeretlenes egyenletb�l kiszámítható az „y”!
7 0 10y 250 10y 25
10y 25 : 1025
y 2,5 10
y 2,5
⋅ − = −− = −− = − −
−= = �−
=
Tehát az „My” metszéspont a függ�leges tengelyt az „y = 2,5” pontban metszi! Ennek
koordinátái: My(0 ; 2,5)
7. lépés: Most nézzük meg, hogy ugyanez a magasságvonal, hol metszi az „x” tengelyt!
Ennek a pontnak a koordinátái a következ�képpen írhatók fel:
Ilyenkor tehát az a lényeg, hogy ott van a metszéspont, ahol az „y” koordináta egyenl�
„0”-val!
Megint behelyettesítünk az „mc” magasságvonal egyenletébe ( )7x 10y 25− = − :
7x 10y 257x 10 0 25
− = −− ⋅ = −
Ebb�l az egyismeretlenes egyenletb�l kiszámítható az „x”!
7x 10 0 257x 0 25
7x 25 : 725
x 25
7 7
− ⋅ = −− = −
= −− −= =
Tehát az „Mc” metszéspont a vízszintes tengelyt az 25
x7
� �= −� �
pontban metszi! Ennek
koordinátái: x
25M ; 0
7� �−� �
E két metszéspont tehát a feladat megoldásai!
3. Gyakorló feladatok
Egy háromszög csúcspontjainak koordinátái a következ�k:
a; A( -2 ; 5 ) ; B( 0 ; 1 ) ; C( 5 ; 6 ) { M(-7 ; 0) } { M(0 ; 3,5) } b; A( -5 ; 6 ) ; B( -1 ; 2 ) ; C( 3 ; 6 ) { M(-3 ; 0) } { M(0 ; 3) } c; A( -4 ; 3 ) ; B( - 2 ; 5 ) ; C( 6 ; 6 ) { M(12 ; 0) } { M(0 ; 12) }
Mindhárom esetben számítsd ki, hogy hol metszi a C csúcsból induló magasságvonal a
koordinátatengelyeket!
Részlet a „Szögfüggvények 1” feladatlapból
5. Egy derékszög� háromszög rövidebb befogója a 8cm.= Az átfogó hossza c 20cm.=
Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát!
Megoldás:
1. lépés: készítsük el a megfelel� ábrát a megfelel� adatok feltüntetésével:
2. lépés: Látható, hogy az „ α ”-val szembeni befogó van megadva. a = 8cm. A szöggel
szembeni befogó miatt a szinusz szögfüggvényt írjuk fel és ebb�l kiszámítjuk az „ α ”-t.
Nézzük a megadott β -ra vonatkozóan a szinusz szögfüggvény szabályát. A szinusz
alapszabálya a következ�:
öggel embeni befogóá
sz szsi
tfogn zsz
ós= �
αα
- val embeni befogó aátf
so
zs
gn
ói
cαα = =
a 8sin sin
c 208
sin = 0, = 234 2
70
,5 8
α = � α =
α α= � �
3. lépés: most használjuk fel az „ α ”koszinusz szögfüggvényét is a „b”oldal kiszámításához:
szög melletti befogóátf
bco
ós
cog= =αα
b bcos cos 23,578
c 20b
cos 23,578 / 2020
20 cos23,57 b 20 0,9165 18,38 b 3cm= ⋅
α = � =
= ⋅
⋅ = ≈�
�
�
�
Természetesen kiszámolhatjuk az „β ” szöget is, mert tudjuk, hogy a háromszög bels�
szögeinek az összege 180� :
90 180
23,578 90 180
+113,578 = 180 / -113,578
66, 4 2 2
α + β + =+ β + =
β =
β
� �
� � �
� � �
�
5. Gyakorló feladatok
5. a. Egy derékszög� háromszög rövidebb befogója a 6cm.= Az átfogó hossza c 20 cm.=
Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát!
(αααα = 17,457°; b = 19,07 cm; ββββ = 72,543°)
5. b. Egy derékszög� háromszög rövidebb befogója a 14cm.= Az átfogó hossza c 46 cm.=
Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát!
(αααα = 17,71°; b = 43,819 cm; ββββ = 72,29°)
5. c. Egy derékszög� háromszög rövidebb befogója a 10cm.= Az átfogó hossza c 36 cm.=
Határozd meg a háromszög szögeit és a hiányzó oldal hosszát!
(αααα = 16,127°; b = 34,583 cm; ββββ = 73,873°)
Részlet a „Szögfüggvények 1” feladatlapból
5. Egy 545 cm hosszú kötelet szeretnénk fonni. Az els� nap 23cm-t fonunk, majd minden
nap az el�z� napinál 7cm-rel hosszabb darabot készítünk, akkor hány nap alatt készül el
a kötél?
Megoldás:
1. lépés: Ebben a feladatban a számtani sorozat szöveges alakban történ� megadása látható. A
megoldás kulcsfontosságú menete, hogy a szöveget megfelel�en értelmezve az adatokat a
számtani sorozat valamelyik elemével azonosítsuk. Magyarul: meg kell határoznunk, hogy a
fenti adatok a számtani sorozat mely adatai!
Ha az egyes napokon font kötéldarabok hosszát összeadjuk, akkor a kötél teljes hosszát
kapjuk.
Tehát az egyes napokon font darabok a számtani sorozat egymást követ� tagjai. Az els�
napon font darab az els� elem, a második napon font a sorozat második eleme. Mivel tudjuk,
hogy naponta az el�z� napinál 7cm-rel többet fonunk, így a 7 lesz a differencia.
A magyarázat alapján vegyük fel az adatokat:
Az els� elem: a1 = 23, a differencia: d = 7, Sn = 545.
2. lépés: Azt azonban nem tudjuk, hogy ez a sorozat hány elemb�l áll, ezért ez lesz az „n”.
Vagyis, azt kell meghatározni, hogy 23-tól kezdve 7-tel növelve a számokat, mikor fogunk
545–t kapni!
A számtani sorozat „n” darab elem összegére az alábbi definíciót használhatjuk:
( )( )n 1
nS 2a n 1 d
2= ⋅ + − ⋅
Helyettesítsük be azt ismert adatokat a fenti összefüggésbe:
( )( )
( )( )
2
n545 2 23 n 1 7
2n
545 46 7n 7 / 22
1090 n 39 7n
1090 39n 7n
= ⋅ ⋅ + − ⋅
= ⋅ + − ⋅
= ⋅ +
= +
Tehát a következ� másodfokú egyenletet kell megoldani, 0–ra rendezés után:
7n2 + 39n – 1090 = 0
3. lépés: A megoldó képlet segítségével megoldjuk az egyenletet:
( ) ( )2
1
39 39 4 7 1090 39 179 140n
2 7 14 11
40
− + − ⋅ ⋅ − − += = = =⋅
Azért elegend� csak a megoldó képlet összeadás jelével dolgoznunk, mert nekünk most csak a
pozitív megoldás kell, mert az „n” a napok számát jelöli. S ugye negatív napok száma nem
létezik.
4. lépés: A feladat megoldásaként 10 adódott. Tehát, ha a fenti ütemezés szerint fonjuk a
kötelet, akkor 10 nap alatt készülünk el a munkával.
A feladatot tehát sikeresen megoldottuk.
5. Gyakorló feladatok
a; Egy sálat kötünk. Az els� nap megkötünk 15cm-t, majd minden nap az el�z�nél 5cm-
rel hosszabbat. A sál hosszát 315cm-re terveztük. Hány nap alatt lesz kész a sál?
(n = 9 nap)
b; Gyalogtúrán veszünk részt. Az els� nap 23 km-t gyalogoltunk, majd minden nap az
el�z� napi távnál 4 km-rel több utat teszünk meg. A túra teljes távja 296 km. Hány napos
a túra?
(n = 8 nap)
c; Vízi túrán indulunk el. Az els� napon 16 km-t eveztünk, majd minden nap az el�z�
napi távnál 5 km-rel többet kajakoztunk. Összesen 451 km-t tettünk meg. Hány napos
volt a túra?
(n =11 nap)
Részlet a „Szögfüggvények 1” feladatlapból
3. Két zsebemben összesen 35 Ft van. Ha az egyik zsebb�l átrakok 10 Ft-t a másikba,
akkor a másik zsebemben 6-szor annyi pénz lesz, mint az els�ben. Mennyi pénzem volt
eredetileg a zsebeimben?
Megoldás:
1. lépés: minden esetben célszer� készíteni egy rajzos vázlatot, amiben az egyes m�veletek
logikai sorrendjét tudjuk követni:
Ha megvan, hogy összesen 35 Ft van a két zsebben, ezt így célszer� jelölni:
2. lépés: az egyik zsebemb�l átrakok 10 Ft-t a másik zsebembe, ekkor az egyik zsebemben
10 Ft-tal kevesebb lesz, és a másik zsebemben 10 Ft-tal több lesz. Ezt így tudjuk jelölni:
3. lépés: szeretnénk egyenl�vé tenni a két zsebben lev� golyók számát azért, hogy egyenletet
tudjunk megoldani. Ezt úgy tudjuk megtenni, hogy a többet elosszuk 6-al, vagy a kevesebbet
megszorozzuk 6-al. Most azt válasszuk azt, hogy a kevesebbet szorozzuk 6-al:
( ) 356 x x 01 10 − +− =
4. lépés: végül oldjuk meg az egyenletet!
( )6 x 10 35 x 10
6x 60 45 x / +x 7x 60 45 / +60 7x = 105 / : 7 x = 15
− = − +− = −− =
Tehát az egyik zsebemben 15 Ft volt, a másikban pedig 35 – 15 = 20 Ft.
3. Gyakorló feladat
a.) Két zsebemben összesen 42 Ft van. Ha az egyik zsebb�l átrakok 3 Ft-t a másikba, akkor a
másik zsebemben 2-szer annyi pénz lesz, mint az els�ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a
zsebeimben? (17Ft és 25Ft)
b.) Két zsebemben összesen 80 Ft van. Ha az egyik zsebb�l átrakok 6 Ft-t a másikba, akkor a
másik zsebemben 3-szor annyi pénz lesz, mint az els�ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a
zsebeimben? (26Ft és 54Ft)
c.) Két zsebemben összesen 96 Ft van. Ha az egyik zsebb�l átrakok 16 Ft-t a másikba, akkor a
másik zsebemben 3-szor annyi pénz lesz, mint az els�ben. Mennyi pénzem volt eredetileg a
zsebeimben? (40Ft és 56Ft)
