Numerická matematika

Mirko Horňák

2007

ii

c© Mirko Horňák 2007, 2013, 2019Elektronický súbor je vol’ne pŕıstupný záujemcom o numerickú matematikuna individuálne študijné účely.

Úvod

Tento učebný text vznikol na základe cyklu prednášok z numerických metódna Pŕırodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach. Pri pŕıprave prednášok sombol okrem iného vedený snahou ukázat’ študentom, že aj ked’ numerickámatematika pracuje (väčšinou) s približnými riešeniami problémov, nárokyna matematickú presnost’ sú v nej také isté ako v klasických axiomatickybudovaných matematických discipĺınach.

V prvej kapitole sú prezentované základné pojmy a označenia použ́ıvanév učebnom texte, ako aj jednoduché poznatky, ktoré sa na ne viažu. Druhákapitola o interpolácii má význam predovšetkým ako základňa pre numeric-ké derivovanie (krátka tretia kapitola) a pre numerické integrovanie. Štvrtákapitola o numerickom integrovańı je jednou z t’ažiskových. Zvláštna pozor-nost’ je v nej venovaná najmä Gaussovej kvadratúre. Piata kapitola o rie-šeńı nelineárnych rovńıc je najrozsiahleǰsia. Popri poznatkoch o základnýchmetódach (poltenie intervalu, regula falsi, Newtonova, metóda postupnýchaproximácíı) obsahuje aj Sturmovu vetu a jej využitie pri separácii reálnychkoreňov polynómu. Sústavy lineárnych rovńıc sú z pohl’adu numerickej mate-matiky skúmané v šiestej kapitole. Čitatel’ sa tam dozvie okrem iného o in-vertovańı matice, o LU -rozklade i o iteračných metódach. Záverečná siedmakapitola stručne pojednáva o hl’adańı vlastných č́ısel matice.

V súlade s rozsahom predmetu na fakulte (pôvodne dvojsemestrálna dvoj-hodinová prednáška, v súčasnosti jednosemestrálna štvorhodinová prednáš-ka) už v tomto učebnom texte nezostal priestor na numerické riešenie diferen-ciálnych rovńıc, hoci je to bezpochyby vel’mi dôležitá súčast’ numerickej mate-matiky. Navyše, prednáška bola v čase svojho vzniku určená pre študen-tov druhého ročńıka, a t́ı nemajú k dispoźıcii základy teórie diferenciálnychrovńıc.

Numerická matematika sa zaoberá štúdiom numerických metód. S is-tou dávkou zjednodušenia môžeme numerické metódy charakterizovat’ akokonštrukt́ıvne metódy matematickej analýzy a lineárnej algebry. Ak je mate-matická metóda konštrukt́ıvna, podáva riešenie problému algoritmicky, tedav konečnom počte krokov. Z toho vyplývajú rozsiahle možnosti využitia

iii

iv ÚVOD

výpočtovej techniky pri riešeńı problémov numerickej matematiky. Práveprudký rozvoj poč́ıtačov je v pozad́ı

”boomu“, ktorý v súčasnom obdob́ı

prež́ıva táto matematická discipĺına.Praktické skúsenosti z vyučovania numerickej matematiky ma priviedli

k záveru, že najefekt́ıvneǰsie študenti zvládnu tento predmet, ak si fungovanienumerických metód odskúšajú odladeńım samostatne vytvoreného programuna poč́ıtači. Zadania jednotlivých programov majú študenti k dispoźıcii vAkademickom informačnom systéme PF UPJŠ.

Košice, 2007 Mirko Horňák

Vydanie z roku 2013 sa len málo ĺı̌si od vydania pôvodného z roku 2007.K zmene došlo pri označovańı zret’azenia konkrétne nešpecifikovaného počtukonečných postupnost́ı. Opravené boli chyby zaregistrované pri použ́ıvańıoriginálu.

Košice, 2013 Mirko Horňák

Vo vydańı z roku 2019 boli odstránené d’aľsie nezrovnalosti nájdené pri prácis vydańım z roku 2013. Okrem iného tu bola venovaná väčšia pozornost’presnému zavedeniu pojmu numerický stupeň polynómu.

Košice, 2019 Mirko Horňák

Obsah

Úvod iii

1 Základné poznatky 1

1.1 Okruhy polynómov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Metrické priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Diferenčné rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Vektorové priestory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6 Vektorové a maticové normy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Interpolácia 27

2.1 Interpolačný polynóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Chyba interpolačného polynómu . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Zovšeobecnený interpolačný polynóm . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Numerické derivovanie 37

3.1 Ekvidǐstančne rozložené uzly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Koeficienty numerického derivovania . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Numerické integrovanie 41

4.1 Newtonova-Cotesova integrácia . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Cotesove koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Obd́lžniková formula a jej chyba . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 Lichobežńıková formula a jej chyba . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5 Rombergova integrácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.6 Gaussova kvadratúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6.1 Stupeň presnosti kvadratúrnej formuly . . . . . . . . . 53

4.6.2 Uzly v Gaussovej kvadratúre . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.3 Koeficienty v Gaussovej kvadratúre . . . . . . . . . . . 60

v

vi OBSAH

5 Riešenie nelineárnych rovńıc 675.1 Metóda poltenia intervalu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2 Metóda regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3 Newtonova metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.4 Aitkenov ∆2-proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.5 Metóda postupných aproximácíı . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.6 Riešenie polynomických rovńıc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.6.1 Sturmova veta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.6.2 Bernoulliho metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6 Sústavy lineárnych rovńıc 976.1 Gaussova-Jordanova redukcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 LU -rozklad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.3 Iteračné metódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3.1 Jacobiho metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.2 Gaussova-Seidelova metóda . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4 Metóda najmenš́ıch štvorcov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7 Vlastné č́ısla mat́ıc 1097.1 Mocninná metóda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.2 Symetrické matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Literatúra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Kapitola 1

Základné poznatky

V tejto kapitole si pripomenieme, pŕıpadne zavedieme niektoré pojmy a o-značenia, ktoré v učebnom texte budeme použ́ıvat’. Snaž́ıme sa pritom o dô-sledné rozlǐsovanie medzi obyčajnou rovnost’ou (matematických) objektov= a definitorickou rovnost’ou :=, ked’ nový objekt vl’avo od definitorickejrovnosti je definovaný pomocou už známych objektov vpravo od definitorickejrovnosti.

Množinu všetkých celých (racionálnych, reálnych, komplexných) č́ısel o-značujeme štandardne symbolom Z (Q, R, C). Ak a, b ∈ R, (a, b) je otvorenýa 〈a, b〉 uzavretý reálny interval s hranicami a, b, teda množina {r ∈ R : a <r < b}, resp. {r ∈ R : a ≤ r ≤ b}; analogicky sú definované zmiešané reálneintervaly (a, b〉 a 〈a, b). Ak p, q ∈ Z, [p, q] := {z ∈ Z : p ≤ z ≤ q} je konečnýceloč́ıselný interval s hranicami p, q a [p,∞) := {z ∈ Z : p ≤ z} je zhoraneohraničený celoč́ıselný interval s dolnou hranicou p.

Mohutnost’ množiny A označujeme ako cardA, pŕıpadne |A| (ak ide o ko-nečnú množinu). Nech A,B sú množiny. Symbolom A×B označujeme množi-nu všetkých usporiadaných dvoj́ıc (a, b), kde a ∈ A a b ∈ B. Zobrazeniez množiny a do množiny B je l’ubovol’ná množina f ⊆ A × B, ktorá sṕlňanasledovnú podmienku: pre každé a ∈ A existuje jediné také b ∈ B, že (a, b) ∈f ; b je obraz prvku a vzhl’adom na zobrazenie f a označuje sa f(a). SymbolomBA označujeme množinu všetkých zobrazeńı z A do B. Je známe, že ak(A,B) 6= (∅, ∅), tak cardBA = (cardB)cardA (a teda |BA| = |B||A| v pŕıpadekonečných množ́ın A,B). Pretože ∅∅ = {∅}, je prirodzená konvenčná defińıcia00 := 1, ktorá sa nám bude hodit’ na skompaktnenie niektorých zápisov. Akm ∈ [0,∞), miesto A[1,m] použ́ıvame zjednodušený zápis Am. Množina fje zobrazenie, ak existujú také množiny A,B, že f ∈ BA. Definičný oborzobrazenia f je množina dom(f) :=

⋃(a,b)∈f{a} a obor hodnôt zobrazenia

f je množina rng(f) :=⋃

(a,b)∈f{b}. Ak f je zobrazenie, tak zrejme f ={(a, f(a)) : a ∈ dom(f)}. Reálna funkcia je zobrazenie f , pre ktoré dom(f) ⊆

1

2 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

R aj rng(f) ⊆ R.Významným typom zobrazeńı sú konečné a nekonečné postupnosti. Zo-

brazenie s je konečná postupnost’, ak existuje také m ∈ [0,∞), že dom(s) =[1,m]. Ak s je konečná postupnost’, č́ıslo |s| = |dom(s)| je dĺ̌zka postupnostis a s(l), l ∈ [1, |s|], je l-tý člen postupnosti s. Ak |s| je nie pŕılǐs vel’ké č́ısloz množiny [0,∞), pre s sa bežne použ́ıva zápis, ktorého štruktúra je zrejmáz najjednoduchš́ıch pŕıkladov pre |s| = 0, 1, 2, 3: ( ), (s(1)), (s(1), s(2)),(s(1), s(2), s(3)). Ak |s| = 0, tak s = ∅, preto prirodzený názov pre po-stupnost’ d’́lžky 0 je prázdna postupnost’. Zret’azenie konečných postupnost́ıs, t (v danom porad́ı) je (konečná) postupnost’ u d́lžky |s| + |t| definovanátak, že u(l) = s(l) pre každé l ∈ [1, |s|] a u(|s| + l) = t(l) pre každél ∈ [1, |t|]. Zret’azenie postupnost́ı s, t budeme označovat’ st, máme tedanapŕıklad (3, 1)(1, 4, 4, 4) = (3, 1, 1, 4, 4, 4) a (1, 4, 4, 4)(3, 1) = (1, 4, 4, 4, 3, 1).Ak s je l’ubovol’ná konečná postupnost’, tak s( ) = ( )s = s; prázdna postup-nost’ je teda neutrálny prvok vzhl’adom na zret’azovanie konečných postup-nost́ı. Nekonečná postupnost’ prvkov množiny A je zobrazenie s, pre ktorédom(s) je nekonečná podmnožina množiny Z. Nekonečnú postupnost’ s za-pisujeme v tvare {sl}l∈dom(s), kde sl = s(l); v pŕıpade, ak dom(s) = [p,∞)(kde p ∈ Z), pre {sl}l∈[p,∞) je zauž́ıvané označenie {sl}∞l=p.

Nech M ∈ {Z,Q,R,C}, j, k ∈ Z a nech ml ∈M pre každé l ∈ [j, k]. Súčet

č́ısel ml pre l od j po k sa označuje akok∑l=j

ml, resp.∑l∈[j,k]

ml, a je to č́ıslo z M

definované rekurentne takto: Ak [j, k] = ∅, takk∑l=j

ml =∑l∈[j,k]

ml =∑l∈∅ml :=

0 ∈ M (čo je neutrálny prvok vzhl’adom na sč́ıtanie č́ısel v M), a ak j ≤ k,

pričom č́ıslok−1∑l=j

ml ∈M už je definované, takk∑l=j

ml :=

(k−1∑l=j

ml

)+mk.

Podobne súčin č́ısel ml pre l od j po k sa označuje akok∏l=j

ml, resp.∏l∈[j,k]

ml, a jeho rekurentná defińıcia je nasledovná: Ak [j, k] = ∅, takk∏l=j

ml =∏l∈[j,k]

ml =∏l∈∅ml := 1 ∈ M (čo je neutrálny prvok vzhl’adom na násobenie

č́ısel v M), a ak j ≤ k, takk∏l=j

ml :=

(k−1∏l=j

ml

)mk.

Nech teraz sl je konečná postupnost’ pre každé l ∈ [j, k]. Inšpirovańıpredchádzajúcimi zápismi zret’azenie postupnost́ı sl pre l od j po k budeme

označovat’ akok

Γl=jsl, resp. Γ

l∈[j,k]sl, a definovat’ rekurentne: Ak k < j, tak

1.1. OKRUHY POLYNÓMOV 3

k

Γl=jsl = Γ

l∈[j,k]sl = Γ

l∈∅sl := ( ), a ak j ≤ k, tak

k

Γl=jsl :=

[k−1Γl=jsl

]sk; tu použ́ıvame

hranaté zátvorky, aby bolo jasné, že prvou z dvoch postupnost́ı v zret’azeńı

vpravo od symbolu definujúcej rovnosti je postupnost’k−1Γl=jsl, a nie postup-

nost’

(k−1Γl=jsl

)d́lžky 1, ktorej jediným členom je postupnost’

k−1Γl=jsl (ako by to

bolo možné interpretovat’ pri použit́ı okrúhlych zátvoriek miesto hranatých).

V súlade s defińıciou pre l’ubovol’nú konečnú postupnost’ s plat́ı s =|s|Γl=1

(s(l))

(prirodzeným spôsobom sa dá vyjadrit’ ako zret’azenie |s| postupnost́ı d́lžky1). Pre n ∈ [0,∞) a konečnú postupnost’ s budeme ako sn označovat’ po-stupnost’

n

Γl=1s.

Kroneckerovo delta je také zobrazenie δ ∈ [0, 1]Z×Z, že obrazom uspo-riadanej dvojice (i, j) ∈ Z × Z vzhl’adom na δ (ktorý kvôli jednoduchostioznačujeme δi,j) je 0 v pŕıpade i 6= j a 1 v pŕıpade i = j.

Multimnožina prirodzeným spôsobom zovšeobecňuje základný matema-tický pojem množiny. Multimnožina s nosičom X je usporiadaná dvojica(X, fX), kde X je množina a fX ∈ [1,∞)X ; fX(x) je frekvencia prvku x ∈ Xv multimnožine (X, fX). Konečné multimnožiny zjednodušene zapisujemepodobne ako konečné množiny, napr. {a, b, b, 1, 1, 1, 1, π, π}. Ak množina Xje konečná, počet prvkov multimnožiny (X, fX) je |(X, fX)| =

∑x∈X fX(x).

1.1 Okruhy polynómov

Pre postupnost’ {cj}∞j=0 ∈ C[0,∞) označme

N({cj}∞j=0) := {n ∈ [0,∞) : ∀j ∈ [n+ 1,∞) cj = 0}.

Ďalej, pre M ∈ {Z,Q,R,C} nech

M[x] :=

{{(x,

∞∑j=0

ajxj

): x ∈M

}: {aj}∞j=0 ∈M[0,∞), N({aj}∞j=0) 6= ∅

}.

Prvok a = {(x,∑∞

j=0 ajxj) : x ∈ M} množiny M[x] je polynóm premennej

x s koeficientmi z M (stručne polynóm) a č́ıslo aj je koeficient polynómu apri xj. Č́ıslo nst(a) := minN({aj}∞j=0) je numerický stupeň polynómu a akoeficient nvk(a) := anst(a) je numerický vedúci koeficient polynómu a. Akan 6= 0 a aj = 0 pre každé j ∈ [n + 1,∞), tak n ∈ N({aj}∞j=0) a zároveňm /∈ N({aj}∞j=0) pre každé m ∈ [0, n − 1], čo znamená, že nst(a) = n a

4 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

nvk(a) = an. Ak aj = 0 pre každé j ∈ [0,∞), tak N({aj}∞j=0) = [0,∞),nst(a) = 0 a nvk(a) = a0 = 0. Matematickou indukciou vzhl’adom na k sa

l’ahko oveŕı, že pre každé k ∈ [nst(a),∞) plat́ı∑k

j=0 ajxj =∑nst(a)

j=0 ajxj,

preto∑∞

j=0 ajxj =

∑nst(a)j=0 ajx

j ∈ M. To znamená, že polynóm a ∈ M[x] je(špeciálne) zobrazenie z M do M.

Zobrazenie f je striktne definované (nepŕılǐs praktickým) zápisom

f = {(x, f(x)) : x ∈ dom(f)},

často sa preto vyskytuje zjednodušený zápis f = f(x) (s tým, že dom(f)je implicitne známe). V súlade s tým budeme pre polynómy použ́ıvat’ zjed-

nodušený zápis a =∑∞

j=0 ajxj alebo štandardný zápis a =

∑nst(a)j=0 ajx

j. Po-

lynóm a numerického stupňa 0 má potom štandardný zápis a =∑0

j=0 ajxj =

a0x0 = a0 a nazýva sa konštantný, lebo ide o konštantné zobrazenie, ktoré

každému č́ıslu z M prirad’uje č́ıslo a0. Symbol a0 teda môže označovat’ č́ısloz M aj (konštantný) polynóm z M[x], a to, o ktorý objekt (č́ıslo či polynóm)ide, treba rozĺı̌sit’ podl’a kontextu. Okrem iného teda 0 označuje aj konštantnýnulový polynóm. Videli sme už, že nst(0) = 0 aj nvk(0) = 0; nulový polynómteda má nulový numerický stupeň aj nulový numerický vedúci koeficient.Situácia je mierne iná ako v pŕıpade algebry, lebo vtedy sa (obyčajne) stupeňnulového polynómu bud’ nedefinuje vôbec alebo definuje ako −∞, a vedúcikoeficient je vždy nenulový. Polynóm je monický (použ́ıva sa aj názov nor-movaný), ak jeho numerický vedúci koeficient je 1.

Lema 1.1 Ak a ∈ C[x], tak nasledovné tvrdenia sú ekvivalentné:(i) a 6= 0;(ii) nst(a) ≥ 1 alebo a 6= 0;(iii) nvk(a) 6= 0.

Dôkaz. Nech a =∑∞

j=0 ajxj ∈ C[x] a nech n = nst(a), čo znamená, že

nvk(a) = an a aj = 0 pre každé j ∈ [n+ 1,∞).Implikácia (i)⇒ (ii) je triviálna.Implikáciu (ii) ⇒ (iii) dokážeme sporom. Predpokladajme, že n ≥ 1

alebo a 6= 0, pričom ale an = 0. Ak n ≥ 1, tak aj = 0 pre každé j ∈ [n,∞),n − 1 ∈ N({aj}∞j=0) a n = nst(a) = minN({aj}∞j=0) ≤ n − 1 < n = nst(a),spor. Na druhej strane, ak n = 0 a a 6= 0, tak aj = 0 pre každé j ∈ [0,∞);potom ale pre každé x ∈ C plat́ı a(x) =

∑∞j=0 0x

j = 0 a polynóm a je nulový,spor.

Implikáciu (iii)⇒ (i) dokážeme priamo. Nech teda an 6= 0. Ak n = 0, tak(dokonca) pre každé x ∈ C plat́ı a(x) =

∑0j=0 ajx

j = a0x0 +∑∞

j=1 0xj = a0 6=

0, preto polynóm a nie je nulový. Ak n ≥ 1, l’ahko sa vid́ı, že pre každé č́ıslo

1.1. OKRUHY POLYNÓMOV 5

x ∈ C s dostatočne vel’kou absolútnou hodnotou plat́ı |anxn| > |∑n−1

j=0 ajxj|

(využije sa fakt, že |an| > 0). Potom ale a(x) 6= 0, lebo z a(x) =∑n

j=0 ajxj =

0 by sme dostali |∑n−1

j=0 ajxj| = | − anxn| = |anxn|. Pretože existuje x ∈ C,

pre ktoré a(x) 6= 0, polynóm a nie je nulový.Pre polynómy a =

∑∞j=0 ajx

j, b =∑∞

j=0 ajxj ∈ M[x] je definovaný ich

súčet a+ b a súčin ab:

a+ b :=∞∑j=0

(aj + bj)xj, ab :=

∞∑j=0

(j∑

k=0

akbj−k

)xj.

Lema 1.2 Ak M ∈ {Z,Q,R,C} a a, b ∈M[x], tak1. a+ b ∈M[x] a nst(a+ b) ≤ max(nst(a), nst(b));2. ab ∈M[x] a nst(ab) ≤ nst(a) + nst(b);3. z predpokladu a 6= 0 a b 6= 0 vyplýva nst(ab) = nst(a) + nst(b);4. nvk(ab) = nvk(a)nvk(b).

Dôkaz. Nech a =∑∞

j=0 ajxj, nst(a) = m, b =

∑∞j=0 bjx

j, nst(b) = n, a+ b =

c =∑∞

j=0 cjxj a ab = d =

∑∞j=0 djx

j. To znamená, že nvk(a) = am, nvk(b) =bn, aj = 0 pre každé j ∈ [m+ 1,∞) a bj = 0 pre každé j ∈ [n+ 1,∞).

1. Ak j ∈ [max(m,n) + 1,∞), tak cj = aj + bj = 0 + 0 = 0, pretomax(m,n) ∈ N({cj}∞j=0), a+ b = c ∈ M[x] a nst(a+ b) = minN({cj}∞j=0) ≤max(m,n) = max(nst(a), nst(b)).

2. Ak j ∈ [m + n + 1,∞), sč́ıtance vo vyjadreńı dj =∑j

k=0 akbj−k súdvojakého typu: pre k ∈ [0,m] plat́ı j−k ≥ j−m ≥ (m+n+1)−m = n+1,j − k ∈ [n + 1,∞) a následne bj−k = 0, zatial’ čo predpoklad k ∈ [m + 1, j]dáva ak = 0. V súlade s tým dj =

∑mk=0 ak0 +

∑jk=m+1 0bj−k = 0, preto

m+ n ∈ N({dj}∞j=0), ab = d ∈ M[x] a nst(ab) ≤ minN({dj}∞j=0) ≤ m+ n =nst(a) + nst(b).

3. Za predpokladu a 6= 0 a b 6= 0 podl’a lemy 1.1 máme am 6= 0 a bn 6=0. V polynóme ab je pri xm+n koeficient dm+n =

∑jk=0 akbm+n−k. Ak k ∈

[0,m − 1], tak m + n − k ≥ m + n − (m − 1) = n + 1 a bm+n−k = 0;z predpokladu k ∈ [m + 1,m + n] zasa vyplýva am = 0. V dôsledku tohodm+n = 0 + ambm+n−m + 0 = ambn 6= 0. V dôkaze lemy 1.1.2 sme videli, žedj = 0 pre každé j ∈ [m + n + 1,∞). Máme teda nst(ab) = m + n a navyšeplat́ı nvk(ab) = dm+n = ambn = nvk(a)nvk(b).

4. Ak a 6= 0 aj b 6= 0, požadovanú rovnost’ sme už dokázali vyššie. Aka = 0 alebo b = 0, tak ab = 0 a bud’ nvk(a) = 0 alebo nvk(b) = 0; na základetoho nvk(ab) = 0 = nvk(a)nvk(b).

Ak j, k ∈ Z a pl ∈ M[x] pre každé l ∈ [j, k], polynómy∑k

l=j pl ∈ M[x]a∏k

l=j pl ∈M[x] definujeme rekurentne, a to podobne ako sme pre č́ısla ml ∈

6 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

M, l ∈ [j, k], definovali č́ısla∑k

l=jml ∈M a∏k

l=jml ∈M. Využijeme pritoml’ahko overitel’ný fakt, že neutrálny prvok vzhl’adom na sč́ıtanie (násobenie)polynómov v M[x] je 0 ∈M[x] (1 ∈M[x]). Ak a ∈M[x], plat́ı tiež a0 = 0a =0 ∈M[x].

Lema 1.3 Nech k ∈ [1,∞) a pj ∈ C[x] pre každé j ∈ [1, k]. Potom plat́ı:1. nst(

∑kj=1 pj) ≤ max(nst(pj) : j ∈ [1, k]);

2. nst(∏k

j=1 pj) ≤∑k

j=1 nst(pj);

3. ak pj 6= 0 pre každé j ∈ [1, k], tak nst(∏k

j=1 pj) =∑k

j=1 nst(pj);

4. nvk(∏k

j=1 pj) =∏k

j=1 nvk(pj).

Dôkaz. Pre l ∈ [1, 4] a m ∈ [1, k] označme ako Tl(m) tvrdenie, ktoré vznikne,ked’ v tvrdeńı lemy 1.3.l nahrad́ıme č́ıslo k č́ıslom m. Matematickou indukciouvzhl’adom na m dokážeme pravdivost’ výroku ∀m ∈ [1, k]

∧4l=1 Tl(m).

Ak m = 1, tvrdenie∧4l=1 Tl(1) triviálne vyplýva z toho, že

∑1j=1 pj =

p1 =∏1

j=1 pj, max(nst(pj) : j ∈ [1, 1]) = nst(p1),∑1

j=1 nst(pj) = nst(p1)

a∏1

j=1 nvk(pj) = nvk(p1).

Nech teraz k ≥ 2 (ináč niet čo dokazovat’) a m ∈ [2, k], pričom výrok∧4l=1 Tl(m− 1) je pravdivý.

Na základe lemy 1.2.1 a T1(m− 1) máme

nst

(m∑j=1

pj

)= nst

(m−1∑j=1

pj + pm

)≤ max

(nst

(m−1∑j=1

pj

), nst(pm)

)≤ max(max(nst(pj) : j ∈ [1,m− 1]), nst(pm))= max(nst(pj) : j ∈ [1,m]),

a tak T1(m) plat́ı.

Podobne využijúc lemu 1.2.2 a T2(m− 1) dostávame

nst

(m∏j=1

pj

)= nst

((m−1∏j=1

pj

)pm

)≤ nst

(m−1∏j=1

pj

)+ nst(pm)

≤m−1∑j=1

nst(pj) + nst(pm) =m∑j=1

nst(pj),

a tak aj T2(m) je pravdivý výrok.

1.1. OKRUHY POLYNÓMOV 7

Tvrdenie T4(m) vyplýva z lemy 1.2.4 a z T4(m− 1), lebo

nvk

(m∏j=1

pj

)= nvk

((m−1∏j=1

pj

)pm

)= nvk

(m−1∏j=1

pj

)nvk(pm)

=

(m−1∏j=1

nvk(pj)

)nvk(pm) =

m∏j=1

nvk(pj).

Napokon ak pj 6= 0 pre každé j ∈ [1,m], tak podl’a lemy 1.1 nvk(pj) 6= 0pre každé j ∈ [1,m]. V súlade s T3(m − 1) potom pre p =

∏m−1j=1 pj máme

nvk(p) =∏m−1

j=1 nvk(pj) 6= 0, a tak, znova podl’a lemy 1.1, p 6= 0. Na základelemy 1.2.3 preto

nst

(m∏j=1

pj

)= nst(ppm) = nst(p) + nst(pm) =

m−1∑j=1

nst(pj) + nst(pm)

=m∑j=1

nst(pj),

a to znamená, že plat́ı T3(m) a následne aj∧4l=1 Tl(m).

Z algebrického hl’adiska M[x] s binárnymi operáciami súčtu a súčinu pred-stavuje komutat́ıvny okruh.

Ak M ∈ {Q,R,C} a q, r ∈ M[x], r 6= 0, existuje jediná usporiadanédvojica (s, t) ∈ M[x] ×M[x], pre ktorú plat́ı q = rs + t a bud’ t = 0 alebonst(t) < nst(r); s je podiel a t zvyšok pri deleńı polynómu q polynómomr. Polynóm r je delitel’ polynómu q (označenie r|q), ak zvyšok pri deleńıpolynómu q polynómom r je 0 (a existuje teda s ∈M[x] tak, že q = rs).

Č́ıslo α ∈ C je koreň polynómu a ∈ C[x], ak a(α) =∑nst(a)

j=0 ajαj = 0.

Pretože zvyšok pri deleńı polynómu a polynómom x−α má numerický stupeň0, l’ahko sa vid́ı, že a(α) = 0 je ekvivalentné s tým, že x − α|a. Koreň αpolynómu a má násobnost’ (vzhl’adom na polynóm a; túto špecifikáciu vy-nechávame, ak je z kontextu jasné, o aký polynóm a ide) k ∈ [1, nst(a)],ak (x − α)k|a, ale (x − α)k+1 - a. Koreň polynómu a je l-násobný, ak jehonásobnost’ je l, a je jednoduchý, ak jeho násobnost’ je 1. Ak z koreňov po-lynómu a vytvoŕıme multimnožinu, v ktorej sa každý koreň vyskytuje s frek-venciou rovnou svojej násobnosti, podl’a základnej vety algebry táto mul-timnožina má nst(a) prvkov.

Lema 1.4 Ak α ∈ C, k ∈ [0,∞), p ∈ C[x], q = (x − α)kp a j ∈ [0, k − 1],tak

1. q(j)(α) = 0;2. q(k)(α) = k!p(α).

8 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Dôkaz. Matematickou indukciou vzhl’adom na m dokážeme, že pre každém ∈ [0, k] plat́ı tvrdenie

T (m) : [(x− α)k](m) = (x− α)k−mm−1∏l=0

(k − l).

Pre m = 0 máme

[(x− α)k](0) = (x− α)k = (x− α)k0−1∏l=0

(k − l).

Ak pre m ∈ [0, k − 1] je

[(x− α)k](m) = (x− α)k−mm−1∏l=0

(k − l),

tak plat́ı tiež

[(x− α)k](m+1) = (k −m)(x− α)k−m−1m−1∏l=0

(k − l)

= (x− α)k−(m+1)(m+1)−1∏

l=0

(k − l),

čo je tvrdenie T (m+ 1).Ak polynóm (x − α)k ∈ C[x] označ́ıme ako r, tak q = rp, podl’a T (k)

je r(k)(α) = k! a pre každé m ∈ [0, k − 1] podl’a T (m) plat́ı r(m)(α) = 0.Na základe Leibnizovho vzorca preto dostávame

q(j)(α) =

j∑m=0

(j

m

)r(m)(α)p(j−m)(α) =

j∑m=0

0 = 0,

q(k)(α) =k∑

m=0

(k

m

)r(m)(α)p(k−m)(α) =

k−1∑m=0

0 +

(k

k

)k!p(0)(α) = k!p(α).

Lema 1.5 Ak α ∈ C, k ∈ [0,∞), q ∈ C[x] a q(l)(α) = 0 pre každé l ∈ [0, k],tak (x− α)k+1|q.

Dôkaz. Matematickou indukciou vzhl’adom na l dokážeme, že pre každé l ∈[0, k+1] plat́ı (x−α)l|q. Pre l = 0 máme (x−α)0 = 1|q. Nech teda l ∈ [0, k] anech (x−α)l|q; to znamená, že existuje taký polynóm pl ∈ C[x], že q = (x−α)lpl. Z lemy 1.4 potom vyplýva 0 = l!pl(α), preto pl(α) = 0, x−α|pl, existujerl ∈ C[x], pre ktoré je pl = (x−α)rl, a tak q = (x−α)l(x−α)rl = (x−α)l+1rla (x− α)l+1|q.

1.1. OKRUHY POLYNÓMOV 9

Lema 1.6 Ak n ∈ [0,∞), f ∈ C[x], nst(f) = n a nvk(f) = fn, tak pre každél ∈ [0, n] plat́ı nst(f (l)) = n− l a nvk(f (l)) = fn

∏l−1k=0(n− k).

Dôkaz. Nech T (l) pre l ∈ [0, n] označuje konjunkciu výrokov nst(f (l)) =n− l a nvk(f (l)) = fn

∏l−1k=0(n− k). Matematickou indukciou vzhl’adom na l

ukážeme, že pre každé l ∈ [0, n] plat́ı T (l). Polynóm f (0) = f má numerickýstupeň n = n − 0 a vedúci koeficient fn = fn

∏0−1k=0(n − k), tvrdenie T (0) je

teda pravdivé.Predpokladajme, že l ∈ [0, n−1] a tvrdenie T (l) máme k dispoźıcii. Ked’̌ze

pre polynóm f (l) = g =∑∞

k=0 gkxk plat́ı nst(g) = n − l ≥ n − (n − 1) = 1,

podl’a lemy 1.1 máme gn−l = nvk(g) = nvk(f(l)) = fn

∏l−1k=0(n − k) 6= 0.

Polynóm g má teda štandardný zápis g =∑n−l

k=0 gkxk, a tak f (l+1) = g′ =

(g0 +∑n−l

k=1 gkxk)′ =

∑n−lk=1 gkkx

k−1, čo po zavedeńı nového sumačného indexu

j = k − 1 dáva f (l+1) =∑n−l−1

j=0 gj+1(j + 1)xj = h =

∑∞j=0 hjx

j, kde hj = 0pre každé j ∈ [n − l,∞) a hn−l−1 = gn−l(n − l) 6= 0 (ked’̌ze gn−l 6= 0 ajn− l 6= 0). To ale znamená, že nst(f (l+1)) = nst(h) = n− l− 1 = n− (l+ 1)a nvk(f (l+1)) = hn−l−1 = [fn

∏l−1k=0(n− k)](n− l) = fn

∏(l+1)−1k=0 (n− k), preto

výrok T (l + 1) je pravdivý.

Dôsledok 1.7 Ak n ∈ [0,∞), k ∈ [n + 1,∞) a polynóm f ∈ C[x] mánumerický stupeň n, tak f (k) = 0.

Dôkaz. Podl’a lemy 1.6 plat́ı nst(f (n)) = 0, preto f (n) je konštantný polynóma f (n+1) = 0. Odtial’ už priamo (matematickou indukciou vzhl’adom na l)vyplýva, že f (l) = 0 pre každé l ∈ [n+ 1,∞).

Tvrdenie 1.8 Ak α ∈ C, p ∈ C[x] a n ∈ [0,∞), tak (αp)(n) = αp(n).

Dôkaz matematickou indukciou vzhl’adom na n. Pre n = 0 máme (αp)(0) =αp = αp(0). Ak n ∈ [0,∞) a (αp)(n) = αp(n), tak (αp)(n+1) = [(αp)(n)]′ =[αp(n)]′ = α[p(n)]′ = αp(n+1).

Nech M ∈ {Q,R,C} a (q, r) ∈ (M[x] − {0}) × (M[x] − {0}). Najväčš́ıspoločný delitel’ q, r je monický polynóm a ∈M[x], pre ktorý plat́ı

a|q ∧ a|r ∧ (∀b ∈M[x] ((b|q ∧ b|r)⇒ b|a));

označujeme ho nsd(q, r). Je zrejmé, že nsd(r, q) = nsd(q, r), a ak r je nenulovýkonštantný polynóm, tak nsd(q, r) = 1. Preto pri hl’adańı nsd(q, r) môžemebez ujmy na všeobecnosti predpokladat’, že plat́ı nst(q) ≥ nst(r) ≥ 1.

Najväčš́ı spoločný delitel’ polynómov q, r sa dá nájst’ dobre známym Eu-klidovým algoritmom. Pre potreby numerickej matematiky využijeme jeho

10 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

modifikovanú verziu. Nech q, r ∈ C[x], pričom nst(q) ≥ nst(r) ≥ 1. Modi-fikovaný Euklidov algoritmus (označenie MEA(q, r)) je rekurentný postup,

ktorým sa vytvárajú postupnostin

Γj=0

(pj) an

Γj=1

(uj) nenulových polynómov

z C[x], a to na základe nasledovných pravidiel:

1. p0 = q, p1 = r.

2. Predpokladajme, že polynóm pk poznáme pre každé k ∈ [0, j] a poly-nóm uk poznáme pre každé k ∈ [1, j − 1], pričom j ∈ [1,∞). (Bezprostrednepo aplikácii pravidla 1. je tento predpoklad splnený pre j = 1.) Polynómyuj, pj+1 sú (jednoznačne) určené rovnost’ou pj−1 = pjuj−pj+1 a nerovnost’ounst(pj+1) < nst(pj): ide o delenie polynómu pj−1 polynómom pj, pričompodiel je uj a zvyšok −pj+1.

2.1. Ak pj|pj−1, polož́ıme uj = pj−1pj , n = j a MEA(q, r) je na konci.

2.2. Ak pj - pj−1, tak pj+1 6= 0 a MEA(q, r) pokračuje d’aľsou aplikácioupravidla 2 (s tým, že v poźıcii j je teraz j + 1).

Konečnost’ MEA(q, r) dokážeme sporom. Predpokladajme, že MEA(q, r)vytvoril (nekonečnú) postupnost’ {pj}∞j=0. Vzhl’adom na to, že postupnost’{nst(pj)}∞j=1 ∈ [0,∞)[1,∞) je klesajúca, pričom nst(p1) = nst(r), dostávamenst(pnst(r)+1) < 0, čo samozrejme nie je možné.

Matematickou indukciou vzhl’adom na j ukážeme, že pre každé j ∈ [1, n]je nsd(pj−1, pj) = nsd(q, r). Ak j = 1, tvrdenie vyplýva priamo z defińıcieMEA(q, r). Ak j ∈ [1, n−1] a nsd(pj−1, pj) = nsd(q, r), tak pj−1 = pjuj−pj+1a tiež

nsd(pj, pj+1) = nsd(pj,−pj+1) = nsd(pj−1, pj) = nsd(q, r).

Preto v súlade s pravidlom 2.2 defińıcie MEA(q, r) je aj nsd(q, r) =nsd(pn−1, pn) = λpn, kde λ ∈ C − {0} je vybraté tak, aby polynóm λpn bolmonický. Tak ako pri obyčajnom Euklidovom algoritme teda aj MEA(q, r)vedie k určeniu (nenulového násobku) polynómu nsd(q, r).

Lema 1.9 Ak a ∈ R a f ∈ R[t], tak∫ xaf(t) dt ∈ R[x].

Dôkaz. Nech nst(f) = n a f =∑n

i=0 fiti (kde fi ∈ R pre každé i ∈ [0, n]).

Polynóm F =∑n

i=0fii+1ti+1 ∈ R[t] je primit́ıvna funkcia k funkcii f , preto

pre každé x ∈ R plat́ı∫ xaf(t) dt = [F (t)]xa = F (x) − F (a). To znamená, že∫ x

af(t) dt ako funkcia premennej x patŕı do R[x], lebo je súčtom polynómov

F (x) a −F (a), ktoré oba patria do R[x].

1.2. METRICKÉ PRIESTORY 11

1.2 Metrické priestory

Metrický priestor je usporiadaná dvojica (X, d), kde X je neprázdna množina(nosič) a d ∈ 〈0,∞)(X2) je metrika, t. j. zobrazenie vyhovujúce axiómam(D1) ∀x, y ∈ X (d(x, y) = 0⇔ x = y);(D2) ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x);(D3) ∀x, y, z ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).Metrika je teda zobrazenie, ktoré je symetrické (D2) a sṕlňa trojuholńıkovúnerovnost’ (D3). Trojuholńıkovú nerovnost’ je možné prirodzeným spôsobomzovšeobecnit’:

Lema 1.10 Ak (X, d) je metrický priestor, m,n ∈ [1,∞), n ≥ m an

Γi=m

(xi) ∈Xn+1−m, tak d(xm, xn) ≤

∑n−1i=m d(xi, xi+1).

Dôkaz. Matematickou indukciou vzhl’adom na k dokážeme silneǰsie tvrdenie,že totiž pre každé k ∈ [m,n] plat́ı nerovnost’

T (k) : d(xm, xk) ≤k−1∑i=m

d(xi, xi+1).

Z axiómy (D1) máme

d(xm, xm) = 0 =m−1∑i=m

d(xi, xi+1),

T (m) teda plat́ı. Ak k ∈ [m,n− 1] a T (k) plat́ı, tak na základe axiómy (D3)dostávame

d(xm, xk+1) ≤ d(xm, xk) + d(xk, xk+1)

≤k−1∑i=m

d(xi, xi+1) + d(xk, xk+1) =

(k+1)−1∑i=m

d(xi, xi+1)

a T (k + 1) je tiež pravdivé tvrdenie.

Nech κ ∈ 〈0, 1); zobrazenie f ∈ XX je κ-kontraktibilné, ak pre všetkyx, y ∈ X je d(f(x), f(y)) ≤ κd(x, y). Postupnost’ {vn}∞n=1 ∈ X [1,∞) je kon-vergentná, ak existuje V ∈ X (limita postupnosti {vn}∞n=1, označenie V =limn→∞ vn) sṕlňajúce podmienku

∀ε ∈ (0,∞) ∃n1 ∈ [1,∞) ∀n ∈ [n1,∞) d(vn, V ) < ε.

12 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Zrejme tedalimn→∞

vn = V ⇔ limn→∞

d(vn, V ) = 0,

pričom na pravej strane ekvivalencie je obyčajná limita postupnosti z R[1,∞).Postupnost’ {vn}∞n=1 ∈ X [1,∞) je cauchyovská, ak sṕlňa podmienku

∀ε ∈ (0,∞) ∃n1 ∈ [1,∞) ∀m,n ∈ [n1,∞) d(vm, vn) < ε.

Je l’ahké vidiet’, že v metrickom priestore každá konvergentná postupnost’ jecauchyovská. Metrický priestor (X, d) je úplný, ak v ňom každá cauchyovskápostupnost’ je konvergentná.

1.3 Diferenčné rovnice

Hoci všeobecná teória diferenčných rovńıc je pomerne rozsiahla matematickádiscipĺına, pre potreby tohto učebného textu vystač́ıme s vel’mi jednoduchýmtypom diferenčnej rovnice.

Nech l ∈ [1,∞) a nechl

Γj=0

(aj) ∈ Cl+1, pričom al 6= 0. Diferenčná rov-

nica zodpovedajúca postupnostil

Γj=0

(aj) (budeme pre ňu použ́ıvat’ označenie

DRl

Γj=0

(aj)) je nekonečná sústava rovńıc

{l∑

j=0

ajyn+j = 0 : n ∈ [0,∞)

},

kde neznámou je postupnost’ {yn}∞n=0.

Partikulárne riešenie DRl

Γj=0

(aj) je postupnost’ {ỹn}∞n=0 ∈ C[0,∞) sṕlňajúcapodmienku

∀n ∈ [0,∞)l∑

j=0

aj ỹn+j = 0.

Všeobecné riešenie DRl

Γj=0

(aj) je postupnost’ {Yn}∞n=0 ∈(C(Cl)

)[0,∞)(to

znamená, že Yn ∈ C(Cl) pre každé n ∈ [0,∞)) s nasledovnými vlastnost’ami:

(i) akl

Γk=1

(x̂k) ∈ Cl, tak postupnost’{Yn

(l

Γk=1

(x̂k)

)}∞n=0

∈ C[0,∞) je par-

tikulárne riešenie DRl

Γj=0

(aj);

1.3. DIFERENČNÉ ROVNICE 13

(ii) ak {ỹn}∞n=0 ∈ C[0,∞) je partikulárne riešenie DRl

Γj=0

(aj), tak existuje

l

Γk=1

(x̃k) ∈ Cl, pre ktoré plat́ı ỹn = Yn(

l

Γk=1

(x̃k)

)pre každé n ∈ [0,∞).

Lema 1.11 Ak l ∈ [1,∞),l

Γj=0

(aj) ∈ Cl+1, al 6= 0 al−1Γk=0

(y̌k) ∈ Cl, tak

DRl

Γj=0

(aj) má práve jedno partikulárne riešenie {ỹn}∞n=0, pre ktoré plat́ı ỹn =y̌n pre každé n ∈ [0, l − 1].

Dôkaz. Ak {ỹn}∞n=0 je partikulárne riešenie DRl

Γj=0

(aj) a m ∈ [l,∞), takỹm je jednoznačne vyjadritel’né pomocou ỹn, n ∈ [m − l,m − 1], lebo plat́ı∑l

j=0 aj ỹm−l+j = 0, a tak ỹm = −1al

∑l−1j=0 aj ỹm−l+j. Preto ak od parti-

kulárneho riešenia {ỹn}∞n=0 budeme vyžadovat’, aby platilo ỹn = y̌n pre každén ∈ [0, l − 1], také partikulárne riešenie bude existovat’ nanajvýš jedno. Po-stupnost’ {y̌n}∞n=0, v ktorej y̌m = − 1al

∑l−1j=0 aj y̌m−l+j pre každé m ∈ [l,∞),

však je takým partikulárnym riešeńım, lebo pre ňu plat́ı∑l

j=0 aj y̌n+j = 0pre každé n ∈ [0,∞).

Podl’a lemy 1.11 teda DRl

Γj=0

(aj) má každé svoje partikulárne riešenie

jednoznačne určené počiatočným úsekoml−1Γk=0

(y̌k) d́lžky l.

Lema 1.12 Ak l ∈ [1,∞),l

Γj=0

(aj) ∈ Cl+1, al 6= 0 a polynóm∑l

j=0 ajxj má

l jednoduchých koreňov zk, k ∈ [1, l], tak plat́ı:

1. {∑l

k=1 xkznk}∞n=0 je všeobecné riešenie DR

l

Γj=0

(aj).

2. Ak {∑l

k=1 x̃kznk}∞n=0 je partikulárne riešenie DR

l

Γj=0

(aj) určené počiatoč-

ným úsekom (0)l−1(1), tak x̃k 6= 0 pre každé k ∈ [1, l].

Dôkaz. 1. Akl

Γk=1

(x̂k) ∈ Cl a n ∈ [0,∞), tak∑l

j=0(aj∑l

k=1 x̂kzn+jk ) =∑l

k=1(x̂kznk

∑lj=0 ajz

jk) =

∑lk=1(x̂kz

nk · 0) = 0, a to znamená, že podmienka

(i) defińıcie partikulárneho riešenia DRl

Γj=0

(aj) je splnená.

Nech teraz {ỹn}∞n=0 ∈ C[0,∞) je partikulárne riešenie DRl

Γj=0

(aj). Treba

nám nájst’ takél

Γk=1

(x̃k) ∈ Cl, že pre každé n ∈ [0,∞) je ỹn =∑l

k=1 x̃kznk .

14 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Uvážme nasledovnú sústavu l lineárnych algebrických rovńıc o l neznámychxk, k ∈ [1, l]: {

l∑k=1

znkxk = ỹn : n ∈ [0, l − 1]

}.

Maticový tvar tejto sústavy je Ax = b, kde

A =

1 1 . . . 1 1z1 z2 . . . zl−1 zl...

.... . .

......

zl−21 zl−22 . . . z

l−2l−1 z

l−2l

zl−11 zl−12 . . . z

l−1l−1 z

l−1l

,

a x, b sú matice typu l × 1, pričom v riadku k ∈ [1, l] má (neznáma) ma-tica x prvok xk a matica b prvok ỹk−1. Pretože determinant matice A je

známy Vandermondov determinant V

(l

Γk=1

(zk)

)=∏l−1

p=1

∏lq=p+1(zp−zq) 6= 0,

sústava je (dokonca jednoznačne) riešitel’ná, teda existujel

Γk=1

(x̃k) ∈ Cl tak,

že pre každé n ∈ [0, l − 1] je∑l

k=1 znk x̃k = ỹn. Podl’a toho, čo sme už

dokázali, {∑l

k=1 x̃kznk}∞n=0 je partikulárne riešenie DR

l

Γj=0

(aj). Pretože {ỹn}∞n=0

a {∑l

k=1 x̃kznk}∞n=0 sú partikulárne riešenia DR

l

Γj=0

(aj) a zhodujú sa v počiatoč-

nom úseku d́lžky l, podl’a lemy 1.11 musia byt’ totožné; to znamená, žepre každé n ∈ [0,∞) je

∑lk=1 x̃kz

nk = ỹn a aj podmienka (ii) defińıcie parti-

kulárneho riešenia DRl

Γj=0

(aj) je splnená. V súlade s Cramerovým pravidlom

pritom x̃k =detAkdetA

, kde

Ak =

1 1 . . . 1 ỹ0 1 . . . 1 1z1 z2 . . . zk−1 ỹ1 zk+1 . . . zl−1 zl...

.... . .

......

.... . .

......

zl−21 zl−22 . . . z

l−2k−1 ỹl−2 z

l−2k+1 z

l−2l−1 . . . z

k−2l

zl−11 zl−12 . . . z

l−1k−1 ỹl−1 z

l−1k+1 z

l−1l−1 . . . z

k−1l

.

2. Ak ỹn = 0 pre n ∈ [0, l− 2] a ỹl−1 = 1, rozvinut́ım detAk podl’a st́lpca

k dostávame detAk = (−1)l+kV

lΓj=1j 6=k

(zj)

= (−1)l+k l−1∏p=1p 6=k

l∏q=p+1q 6=k

(zp − zq) 6= 0,

a tak x̃k 6= 0 pre každé k ∈ [1, l].

1.4. VEKTOROVÉ PRIESTORY 15

1.4 Vektorové priestory

Reálny vektorový priestor je neprázdna množina X vektorov spolu s binárnouoperáciou sč́ıtania vektorov a so zobrazeńım z R×X do X (násobenie vektorareálnym č́ıslom), ktoré sṕlňajú doleuvedené axiómy (V1)–(V8). Ak x, y ∈ Xa α ∈ R, výsledok sč́ıtania vektorov x a y sa označuje x + y a výsledoknásobenia vektora x č́ıslom α sa označuje αx.

(V1) ∀x, y, z ∈ X (x+ y) + z = x+ (y + z);(V2) ∀x, y ∈ X x+ y = y + x;(V3) ∃o ∈ X ∀x ∈ X x+ o = x;(V4) ∀x ∈ X x+ (−1)x = o;(V5) ∀α ∈ R ∀x, y ∈ X α(x+ y) = αx+ αy;(V6) ∀α, β ∈ R ∀x ∈ X (α + β)x = αx+ βx;(V7) ∀α, β ∈ R ∀x ∈ X (αβ)x = α(βx);(V8) ∀x ∈ X 1x = x.Sč́ıtanie vektorov je teda asociat́ıvne (V1), komutat́ıvne (V2), nulový vektoro (z (V3) vyplýva, že je určený jednoznačne) je neutrálny vzhl’adom na sč́ı-tanie (V3) a vektor (−1)x je opačný k vektoru x vzhl’adom na sč́ıtanie (V4).Sč́ıtanie vektorov je možné prirodzene zovšeobecnit’ pre l’ubovol’ný konečný

počet vektorov. Ak k ∈ [0,∞), x =k

Γj=1

(xj) ∈ X k a l ∈ [0, k], tak l-tý

čiastočný súčet postupnosti vektorov x je vektor∑l

j=1 xj ∈ X definovanýrekurentne:

0∑j=1

xj := o,l∑

j=1

xj :=

(l−1∑j=1

xj

)+ xl pre l ∈ [1, k].

Súčet postupnosti vektorov x je vektor∑k

j=1 xj. Z asociat́ıvnosti a komu-

tat́ıvnosti sč́ıtania vektorov vyplýva, že pre l’ubovol’nú bijekciu π ∈ [1, k][1,k]plat́ı

∑kj=1 xπ(j) =

∑kj=1 xj.

Postupnost’ vektorovk

Γj=1

(xj) ∈ X k je lineárne nezávislá, ak plat́ı

∀k

Γj=1

(αj) ∈ Rk(

k∑j=1

αjxj = o⇒ (∀j ∈ [1, k] αj = 0)

).

Konečná postupnost’ vektorov je lineárne závislá, ak nie je lineárne nezávislá.Z defińıcie bezprostredne vyplýva, že prázdna postupnost’ vektorov ( ) jelineárne nezávislá. Pre každý reálny vektorový priestor X preto nastáva právejedna z nasledovných dvoch možnost́ı:

16 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

(i) Pre každé k ∈ [0,∞) existuje v X k postupnost’, ktorá je lineárne nezá-vislá. V takom pŕıpade X je nekonečnerozmerný reálny vektorový priestor.

(ii) Existuje také k ∈ [0,∞) a postupnost’ v X k, ktorá je lineárne nezávis-lá, pričom každá postupnost’ v X k+1 už je lineárne závislá. Vtedy X je k-rozmerný reálny vektorový priestor. Rozmer priestoru X je k a ide o konečne-rozmerný reálny vektorový priestor.

Postupnost’ x =k

Γj=1

(xj) ∈ X l je báza konečnerozmerného reálneho vekto-rového priestoru X , ak je lineárne nezávislá a pre každý vektor y ∈ X existuje

taká postupnost’k

Γj=1

(αj) ∈ Rl, že y =∑l

j=1 αjxj. L’ahko sa vid́ı, že postup-

nost’k

Γj=1

(αj) je jednoznačne priradená k vektoru y; jej členy sú súradnice vek-

tora y v báze x. Dá sa dokázat’, že každá báza konečnerozmerného reálnehovektorového priestoru má d́lžku rovnú rozmeru priestoru.

Za podpriestor reálneho vektorového priestoru X pokladáme množinu Y ⊆X , ktorá je uzavretá vzhl’adom na sč́ıtanie a na násobenie reálnym č́ıslom.Pre každé y1, y2 ∈ Y a každé α ∈ R v takom pŕıpade plat́ı y1 + y2 ∈ Ya αy1 ∈ Y , Y je teda reálny vektorový priestor (v ktorom sú sč́ıtanie vektorova súčin reálneho č́ısla s vektorom

”zdedené“ z X ).

Komplexný vektorový priestor dostaneme, ak v defińıcii reálneho vekto-rového priestoru zameńıme R za C. Terminológia reálnych vektorových pries-torov sa pritom prirodzene prenáša do komplexných vektorových priestorov.Štandardné pŕıklady reálnych, resp. komplexných vektorových priestorov súRk (euklidovský priestor), resp. Ck.

1.5 Matice

Nech m,n ∈ [1,∞) a M ∈ {R,C}. Matica typu m × n s prvkami z M jezobrazenie z množiny [1,m] × [1, n] do M znázornené pomocou obd́lžikovejtabul’ky a m riadkami a n st́lpcami, ktorá má na priesečńıku r-tého riadkua s-tého st́lpca obraz usporiadanej dvojice (r, s). L’ahko sa oveŕı, že množinaM(m,n) všetkých mat́ıc typu m × n s prvkami z M (s bežne definovanýmsč́ıtańım mat́ıc a súčinom č́ısla z M s maticou) je vektorový priestor, a toreálny (ak M = R), resp. komplexný (ak M = C).

Nech r ∈ [1,m], s ∈ [1, n], ∅ 6= J ⊆ [1,m], ∅ 6= K ⊆ [1, n] a A ∈M(m,n).Ako (A)r,s označujeme prvok matice A v r-tom riadku a s-tom st́lpci (tedaobraz usporiadanej dvojice (r, s) vzhl’adom na A) a ako A(J,K) podmaticumatice A typu |I| × |J | vytvorenú z prvkov (A)j,k, kde j ∈ J a k ∈ K,pričom usporiadanie prvkov v riadkoch a st́lpcoch sa prenáša z matice A

1.5. MATICE 17

do matice A(J,K). To znamená, že maticu A(J,K) źıskame z matice A vodvoch krokoch: najprv z matice A odstránime všetky riadky s indexmi zmnožiny [1,m]−J a potom z novovytvorenej matice odstránime všetky st́lpces indexmi z množiny [1, n] − K. Matica AT transponovaná k matici A jematica typu n × m s prvkami (AT)j,k = (A)k,j. Súčin matice A s maticouB ∈M(n, p), p ∈ [1,∞), je matica AB ∈M(m, p), ktorej prvky sú definovanéako

(AB)j,l =n∑k=1

(A)j,k(B)k,l.

Prirad’me matici A ∈ M(n, 1) postupnost’n

Γj=1

((A)j,1) ∈ Mn. Dostávametým bijekt́ıvne zobrazenie nosiča vektorového priestoru M(n, 1) na nosič Mnmetrického priestoru (Mn, d). Za d môžeme zvolit’ okrem iného euklidovskúmetriku

d(n

Γj=1

(xj),n

Γj=1

(yj)) =

(n∑j=1

|xj − yj|2)1/2

.

To znamená, že pri analýze mat́ıc z R(n, 1) môžeme alternat́ıvne využ́ıvat’ ajpoznatky o euklidovskom priestore Rn.

Štvorcová matica má počet riadkov rovný počtu st́lpcov. Determinantmatice A ∈ C(n, n) je č́ıslo

detA :=∑π∈Sn

σ(π)n∏j=1

(A)j,π(j),

kde sumácia prebieha cez množinu Sn všetkých bijekcíı z [1, n][1,n] (permutácíımnožiny [1, n]) a znamienko permutácie π je σ(π) := (−1)ε(π), pričom

ε(π) := |{(j, k) ∈ [1, n]2 : j < k ∧ π(j) > π(k)}|

je počet inverzíı permutácie π. Ak n ≥ 2, determinant matice A môžemevypoč́ıtat’ rozvojom podl’a l-tého st́lpca, l ∈ [1, n], čo predstavuje redukciu nadeterminanty mat́ıc z C(n− 1, n− 1):

detA =n∑j=1

(−1)j+l detA([1, n]− {j}, [1, n]− {l}).

Ak aj B ∈ C(n, n), tak det(AB) = detA detB. Matica A je regulárna, akdetA 6= 0. V takom pŕıpade existuje (jednoznačne určená) matica A−1 ∈C(n, n) inverzná k matici A, t. j. matica sṕlňajúca AA−1 = A−1A = In.

18 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Regulárna matica A je ortogonálna, ak A−1 = AT. Matica A je symetrická,ak AT = A.

Nech n ∈ [1,∞) a nechn

Γj=1

(dj) ∈ Cn. Ako diagn

Γj=1

(dj) budeme označovat’

diagonálnu maticuD ∈ C(n, n), v ktorej (D)j,k = djδj,k pre každé j, k ∈ [1, n].Vynásobit’ maticu A ∈ C(n, n) zl’ava diagonálnou maticou D je jednoduché,lebo (DA)j,k = (D)j,j(A)j,k pre každé j, k ∈ [1, n].

Pre p, q ∈ [1, n] nech P p,qn ∈ R(n, n) označuje permutačnú maticu s para-metrami n, p, q. Tá je definovaná nasledovne: ak p = q, tak P p,qn = In a akp 6= q, tak

(P p,qn )p,p = 0, (Pp,qn )q,q = 0

(P p,qn )p,q = 1, (Pp,qn )q,p = 1

(j, k) ∈ [1, n]2 − {(p, p), (p, q), (q, p), (q, q)} ⇒ (P p,qn )j,k = δj,k.

L’ahko sa oveŕı že detP p,qn = 1 a násobenie matice A ∈ C(n, n) zl’ava maticouP p,qn má za efekt vzájomnú výmenu riadkov p a q v matici A.

Matica A ∈ C(n, n) je dolná trojuholńıková, ak všetky jej naddiagonálneprvky (tie nad hlavnou diagonálou, teda s riadkovým indexom menš́ım nežje st́lpcový) sú nulové; analogicky je definovaná horná trojuholńıková matica(s nulovými poddiagonálnymi prvkami). Množinu všetkých dolných (horných)trojuholńıkových mat́ıc z M(n, n), M ∈ {R,C}, označujeme M∆(n, n), resp.M∆(n, n). M1∆(n, n) je podmnožina M∆(n, n) tvorená všetkými tými ma-ticami, ktoré majú každý diagonálny prvok rovný 1. Ak A ∈ C∆(n, n) ∪C∆(n, n), l’ahko sa vid́ı, že detA =

∏nj=1(A)j,j.

Nech M(α

Γp=1

(jp);β

Γp=1

(kp)) je množina všetkých blokových mat́ıc s prvkami

z M, ktorých blokové riadky majú rozmery tvoriace postupnost’α

Γp=1

(jp) a blo-

kové st́lpce zasa postupnost’β

Γp=1

(kp). Ak A ∈M(α

Γp=1

(jp);β

Γp=1

(kp)) a s ∈ [1, β],[A]r,s označuje blok matice A v r-tom blokovom riadku a s-tom blokovom

st́lpci (typu jr× ks). Blokovú maticu A ∈M(α

Γp=1

(jp);β

Γp=1

(kp)) možno násobit’

sprava blokovou maticou B ∈ M(β

Γp=1

(kl);γ

Γp=1

(lp)). Výsledkom násobenia je

bloková matica AB ∈M(α

Γp=1

(jp);γ

Γp=1

(lp)) sṕlňajúca [AB]r,t =∑β

s=1[A]r,s[B]s,t

pre každé r ∈ [1, α] a t ∈ [1, γ].Uvážme zobrazenie {(b, Ab) : b ∈ C(n, 1)} z C(n, 1) do C(n, 1). Vektor

(matica) x ∈ C(n, 1) − {On,1} je vlastný vektor matice A, ak existuje takéλ ∈ C, že spomenuté zobrazenie transformuje vektor x na vektor λx, t. j.

1.6. VEKTOROVÉ A MATICOVÉ NORMY 19

Ax = λx; č́ıslo λ je vlastné č́ıslo matice A zodpovedajúce vlastnému vektoru x(zjednodušene vlastné č́ıslo matice A). Pretože (A−λIn)x = Ax−λx = On,1a x 6= On,1, muśı byt’ det(A−λIn) = 0. To znamená, že vlastné č́ısla matice Asú totožné s nulovými bodmi charakteristického polynómu det(A−yIn) ∈ C[y]matice A. Násobnost’ vlastného č́ısla λ pre maticu A je násobnost’ koreňaλ charakteristického polynómu matice A. Spektrum matice A je množinaS(A) všetkých vlastných č́ısel matice A. Spektrálny polomer matice A ječ́ıslo ρ(A) := max(|λ| : λ ∈ S(A)).

Vlastné č́ıslo λ matice A môže zodpovedat’ viacerým vlastným vekto-rom matice A. Ak α ∈ C a pre x1, x2 ∈ C(n, 1) je Axj = λxj, j = 1, 2,tak A(αx1) = λ(αx1) a A(x1 + x2) = λ(x1 + x2). Preto množina všetkýchvlastných vektorov matice A, ktorým zodpovedá λ, doplnená o nulový vektorOn,1, je podpriestor komplexného vektorového priestoru C(n, 1). Je možnédokázat’, že rozmer tohto priestoru neprevyšuje násobnost’ vlastného č́ıslaλ pre maticu A. Navyše, priestory zodpovedajúce rôznym vlastným č́ıslammatice A majú spoločný jediný vektor, a to On,1.

Matica A ∈ C(n, n) je podobná matici B ∈ C(n, n), ak existuje taká regu-lárna matica P ∈ C(n, n), že B = PAP−1. Zobrazenie {(A,PAP−1) : A ∈C(n, n)} z C(n, n) do C(n, n) je podobnostná transformácia sprostredkovanámaticou P . Podobnostná transformácia zachováva charakteristický polynómmatice, lebo detP detP−1 = det(PP−1) = det In = 1 a

det(PAP−1 − yIn) = det(PAP−1 − PyInP−1) = det(P (A− yIn)P−1)= detP det(A− yIn) detP−1 = det(A− yIn).

Pri podobnostnej transformácii sa teda zachováva aj spektrum matice, a toaj vtedy, ak ho chápeme ako multimnožinu, v ktorých sa každé vlastné č́ıslovyskytuje s frekvenciou rovnou svojej násobnosti pre pŕıslušnú maticu. Po-

stupnost’n

Γj=1

(λj) vlastných č́ısel matice A je úplná, ak sa v nej každé vlastné

č́ıslo vyskytuje s frekvenciou rovnou svojej násobnosti pre maticu A.

1.6 Vektorové a maticové normy

Pojem vektorovej normy je možné zaviest’ pre l’ubovol’ný reálny, resp. kom-plexný vektorový priestor, my sa však v defińıcii obmedźıme len na priestorC(n, 1), n ∈ [1,∞). Vektorová norma je zobrazenie ν ∈ 〈0,∞)C(n,1), ktorésṕlňa axiómy

(N1) ∀x ∈ C(n, 1) (ν(x) = 0⇔ x = On,1);(N2) ∀x ∈ C(n, 1) ∀λ ∈ C ν(λx) = |λ|ν(x);

20 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

(N3) ∀x, y ∈ C(n, 1) ν(x+ y) ≤ ν(x) + ν(y).Matematickou indukciou vzhl’adom na m dokážeme, že pre každé m ∈ [1,∞)je pravdivé nasledovné zovšeobecnenie (N3.m) axiómy (N3):

∀m

Γj=1

(x(j)) ∈ (C(n, 1))m ν

(m∑j=1

x(j)

)≤

m∑j=1

ν(x(j)).

Tvrdenie (N3.1) je triviálne pravdivé a tvrdenie (N3.2) je len ináč preṕısanáaxióma (N3). Ak m ∈ [2,∞) a tvrdenie (N3.m) je pravdivé, tak pre každém

Γj=1

(x(j)) ∈ (C(n, 1))m+1 podl’a axiómy (N3) plat́ı

ν

(m+1∑j=1

x(j)

)≤ ν

(m∑j=1

x(j)

)+ ν(x(m+1))

≤m∑j=1

ν(x(j)) + ν(x(m+1)) =m+1∑j=1

ν(x(j)),

čo znamená, že aj tvrdenie (N3.m+ 1) je pravdivé.Ak vektorovú normu chápeme ako zobrazenie ν ∈ 〈0,∞)(Cn), ide o zobra-

zenie, ktoré je rovnomerne spojité v celom priestore Cn. Na to potrebujemeukázat’, že pre každé ε ∈ (0,∞) existuje také δ ∈ (0,∞), že pre všetkyx =

n

Γj=1

(xj) ∈ Cn, y =n

Γj=1

(yj) ∈ Cn plat́ı

d(x, y) =

[n∑j=1

(xj − yj)2]1/2

< δ ⇒ |ν(x)− ν(y)| < ε.

Podl’a axiómy (N3) je ν(x) = ν(y + x − y) ≤ ν(y) + ν(x − y), a pretoν(x) − ν(y) ≤ ν(x − y). Vzájomnou zámenou argumentov x a y a využit́ımaxiómy (N2) dostávame ν(y)− ν(x) ≤ ν(y − x) = ν(x− y) a následne

|ν(x)− ν(y)| = max(ν(x)− ν(y), ν(y)− ν(x)) ≤ ν(x− y). (1.1)

Ak polož́ımeenj = (0)

j−1(1)(0)n−j ∈ Cn, j ∈ [1, n],

tak podl’a axiómy(N1) je

σ =n∑j=1

ν(enj ) > 0.

1.6. VEKTOROVÉ A MATICOVÉ NORMY 21

Ak d(x, y) < δ, tak pre každé j ∈ [1, n] je

|xj − yj| = [(xj − yj)2]1/2 ≤ d(x, y) < δ,

a preto podl’a (N3.n) a (N2) je

ν(x− y) = ν

(n∑j=1

(xj − yj)enj

)

≤n∑j=1

ν((xj − yj)enj ) =n∑j=1

|xj − yj|ν(enj ) <n∑j=1

δν(enj ) = δσ.

Vzhl’adom na (1.1) teda stač́ı vziat’ δ = εσ∈ (0,∞) a rovnomerná spojitost’

zobrazenia ν v celom priestore Cn je dokázaná.Ak p ∈ 〈1,∞), je možné overit’, že zobrazenie νp ∈ 〈0,∞)C(n,1), ktoré je

určené predpisom

νp(x) =

(n∑j=1

|(x)j,1|p)1/p

,

je vektorová norma. V pŕıpade p = 1 ide o oktaédrickú normu a v pŕıpadep = 2 o euklidovskú normu ν2(x); máme teda

ν1(x) =n∑j=1

|(x)j,1|,

ν2(x) =

(n∑j=1

|(x)j,1|2)1/2

.

Limitným pŕıpadom normy νp pre p→∞ je kubická norma

ν∞(x) = max(|(x)j,1| : j ∈ [1, n]).

Nech ν ∈ 〈0,∞)C(n,1) je vektorová norma a nech ν̃ ∈ 〈0,∞〉C(n,n) jezobrazenie určené predpisom

ν̃(A) = sup

(ν(Ax)

ν(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

). (1.2)

Význam tohto zobrazenia vyplýva z toho, že je prirodzeným horným ohrani-čeńım pre spektrálny polomer. Plat́ı totiž:

Veta 1.13 Ak n ∈ [1,∞), A ∈ C(n, n) a ν ∈ 〈0,∞)C(n,1) je vektorovánorma, tak ρ(A) ≤ ν̃(A).

22 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Dôkaz. Nech λ ∈ S(A), pričom |λ| = ρ(A), a nech xλ ∈ C(n, 1) − {On,1} jevlastný vektor prislúchajúci vlastnému č́ıslu λ. V súlade s (1.2) a axiómou(N2) potom máme

ν̃(A) ≥ ν(Axλ)ν(xλ)

=ν(λxλ)

ν(xλ)=|λ|ν(xλ)ν(xλ)

= |λ| = ρ(A).

Ak x ∈ C(n, 1)− {On,1}, tak ν(x) > 0, pre y = 1ν(x)x ∈ C(n, 1) plat́ı

ν(y) = ν

(1

ν(x)x

)=

1

ν(x)· ν(x) = 1,

ν(Ax)

ν(x)= ν

(1

ν(x)Ax

)= ν

(A

(1

ν(x)x

))= ν(Ay),

a tak zrejme

ν̃(A) = sup(ν(Ay) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1). (1.3)

L’ahko sa oveŕı, že zobrazenie {(x,Ax) : x ∈ C(n, 1)} je spojité zobrazeniez C(n, 1) do C(n, 1) (prvky matice A sú konštantné, nezávisia od x), preto{(x, ν(Ax)) : x ∈ C(n, 1)} je spojité zobrazenie z C(n, 1) do 〈0,∞). Množina

Sn(C) := {x ∈ C(n, 1) : ν2(x) = 1}

(chápaná ako jednotková sféra v priestore Cn) je ohraničená a uzavretá.Pretože ν je spojité zobrazenie a ν(x) > 0 pre každé x ∈ Sn(C), ν(x) na-dobúda minimum na množine Sn(C) a plat́ı

min(ν(x) : x ∈ Sn(C)) > 0.

Lema 1.14 Ak n ∈ [1,∞) a ν ∈ 〈0,∞)C(n,1) je vektorová norma, tak prekaždé y ∈ C(n, 1), pre ktoré je ν(y) = 1, plat́ı ν2(y) ≤ (min(ν(x) : x ∈Sn(C)))−1.

Dôkaz. Ak ν(y) = 1, tak y 6= On,1 a ρ = ν2(y) > 0. Pre y′ = ρ−1y máme

n∑j=1

|(y′)j,1|2 = ρ−2n∑j=1

|(y)j,1|2 = ρ−2ρ2 = 1,

preto ν2(y′) = 1, y′ ∈ Sn(C),

min(ν(x) : x ∈ Sn(C)) ≤ ν(y′) = ρ−1ν(y) = ρ−1,

1.6. VEKTOROVÉ A MATICOVÉ NORMY 23

a odtial’ už dostávame dokazovanú nerovnost’.

Zo spojitosti normy ν sa l’ahko vid́ı, že množina

Sν = {y ∈ C(n, 1) : ν(y) = 1}

je uzavretá (lebo jej komplement C(n, 1)− Sν je otvorená množina). Ked’̌zepodl’a lemy 1.14 je aj ohraničená, spojitá funkcia ν(Ay) na nej nadobúdamaximum. S ohl’adom na (1.3) preto máme

ν̃(A) = max(ν(Ay) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1) ∈ 〈0,∞). (1.4)

Rozš́ırenou analógiou vektorovej normy je maticová norma ako zobrazenieµ ∈ 〈0,∞)C(n,n), ktoré sṕlňa axiómy

(M1) ∀A ∈ C(n, n) (µ(A) = 0⇔ A = On,n);(M2) ∀A ∈ C(n, n) ∀λ ∈ C µ(λA) = |λ|µ(A);(M3) ∀A,B ∈ C(n, n) µ(A+B) ≤ µ(A) + µ(B);(M4) ∀A,B ∈ C(n, n) µ(AB) ≤ µ(A)µ(B).

Ukážeme, že ak ν ∈ 〈0,∞)C(n,1) je vektorová norma, tak ν̃ ∈ 〈0,∞)C(n,n)je maticová norma. Ak x ∈ C(n, 1)− {On,1}, na základe (N1) je ν(On,nx) =ν(On,1) = 0 a následne ν̃(On,n) = 0. Ak A ∈ C(n, n) − {On,n}, (A)j,k 6= 0a matica enk ∈ C(n, 1) je určená tým, že (enk)l,1 = δk,l pre všetky l ∈ [1, n],tak enk 6= On,1, ν(enk) > 0,

(Aenk)j,1 =n∑l=1

(A)j,l(enk)l,1 =

n∑l=1

(A)j,lδk,l = (A)j,k 6= 0,

preto Aenk 6= On,1, ν(Aenk) > 0 a v súlade s defińıciou

ν̃(A) = sup

(ν(Ax)

ν(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

)≥ ν(Ae

nk)

ν(enk)> 0;

axióma (M1) teda plat́ı.

Ak λ ∈ C, z (N2) a (1.4) dostávame

ν̃(λA) = max(ν(λAy) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1)= max(|λ|ν(Ay) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1)= |λ|max(ν(Ay) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1) = |λ|ν̃(A),

a tým je ukázaná platnost’ axiómy (M2).

24 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Ak A,B ∈ C(n, n), z (N3) vyplýva, že

ν̃(A+B) = max(ν((A+B)y) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1)≤max(ν(Ay) + ν(By) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1)≤max(ν(Ay) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1)+ max(ν(By) : y ∈ C(n, 1), ν(y) = 1) = ν̃(A) + ν̃(B),

axióma (M3) je teda tiež splnená.Napokon pre A,B ∈ C(n, n) z nerovnosti ν̃(Ax) ≤ ν̃(A)ν(x), ktorá plat́ı

pre každé x ∈ C(n, 1), źıskavame

ν̃(AB) = sup

(ν(ABx)

ν(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

)≤ sup

(ν̃(A)ν(Bx)

ν(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

)= ν̃(A) sup

(ν(Bx)

ν(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

)= ν̃(A)ν̃(B),

a dokázali sme aj axiómu (M4).Maticovú normu ν̃ nazývame maticovou normou generovanou vektorovou

normou ν.

Veta 1.15 Ak n ∈ [1,∞) a A ∈ C(n, n), tak1. ν̃1(A) = max(

∑nj=1 |(A)j,k| : k ∈ [1, n]);

2. ν̃∞(A) = max(∑n

k=1 |(A)j,k| : j ∈ [1, n]).

Dôkaz. 1. Položme

σ1(A) = max(n∑j=1

|(A)j,k| : k ∈ [1, n]).

Potom pre l’ubovol’né x ∈ C(n, 1) je

ν1(Ax) =n∑j=1

|(Ax)j,1| =n∑j=1

∣∣∣∣∣n∑k=1

(A)j,k(x)k,1

∣∣∣∣∣≤

n∑j=1

n∑k=1

|(A)j,k||(x)k,1| =n∑k=1

|(x)k,1|n∑j=1

|(A)j,k|

≤n∑k=1

(|(x)k,1|σ1(A)) = σ1(A)n∑k=1

|(x)k,1| = σ1(A)ν1(x).

1.6. VEKTOROVÉ A MATICOVÉ NORMY 25

Ak je navyše x 6= On,1, tak ν1(x) > 0, ν1(Ax)ν1(x) ≤ σ1(A), a preto

ν̃1(A) = sup

(ν1(Ax)

ν1(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

)≤ σ1(A). (1.5)

Ďalej nech p ∈ [1, n] je také, že

σ1(A) =n∑j=1

|(A)j,p|

a nech x1 ∈ C(n, 1), pričom

∀j ∈ [1, n] (x1)j,1 = δj,p.

Potom plat́ı ν1(x1) = 1,

ν1(Ax1) =n∑j=1

|(Ax1)j,1| =n∑j=1

∣∣∣∣∣n∑k=1

(A)j,kδk,p

∣∣∣∣∣ =n∑j=1

|(A)j,p| = σ1(A)ν1(x1),

na základe defińıcie (1.2) je

ν̃1(A) ≥ν1(Ax1)

ν1(x1)= σ1(A)

a z (1.5) dostávame

ν̃1(A) = σ1(A) = max

(n∑j=1

|(A)j,k| : k ∈ [1, n]

).

2. Označme

σ∞(A) = max

(n∑k=1

|(A)j,k| : j ∈ [1, n]

).

Potom pre každé x ∈ C(n, 1) je

ν∞(Ax) = max(|(Ax)j,1| : j ∈ [1, n]) = max

(∣∣∣∣∣n∑k=1

(A)j,k(x)k,1

∣∣∣∣∣ : j ∈ [1, n])

≤ max

(n∑k=1

|(A)j,k||(x)k,1| : j ∈ [1, n]

)

≤ max

(n∑k=1

|(A)j,k|max(|(x)l,1| : l ∈ [1, n]) : j ∈ [1, n]

)

= ν∞(x) max

(n∑k=1

|(A)j,k| : j ∈ [1, n]

)= ν∞(x)σ∞(A).

26 KAPITOLA 1. ZÁKLADNÉ POZNATKY

Pri dodatočnom predpoklade x 6= On,1 je ν∞(x) > 0, ν∞(Ax)ν∞(x) ≤ σ∞(A), a tak

ν̃∞(A) = sup

(ν∞(Ax)

ν∞(x): x ∈ C(n, 1)− {On,1}

)≤ σ∞(A). (1.6)

Nech q ∈ [1, n] je také, že

σ∞(A) =n∑j=1

|(A)q,j|

a nech x∞ ∈ C(n, 1), pričom

(x∞)j,1 =

{1 (A)q,j = 0|(A)q,j|/(A)q,j (A)q,j 6= 0

}.

Potom ν∞(x∞) = 1 a pre každé k ∈ [1, n] je (A)q,k(x∞)k,1 = |(A)q,k|. V dô-sledku toho plat́ı

ν∞(Ax∞) = max

(∣∣∣∣∣n∑k=1

(A)j,k(x∞)k,1

∣∣∣∣∣ : j ∈ [1, n])

≥

∣∣∣∣∣n∑k=1

(A)q,k(x∞)k,1

∣∣∣∣∣ =n∑k=1

|(A)q,k| = σ∞(A)ν∞(x∞),

z defińıcie (1.2) vid́ıme, že

ν̃∞(A) ≥ν∞(Ax∞)

ν∞(x∞)≥ σ∞(A),

a preto z (1.6) máme

ν̃∞(A) = σ∞(A) = max

(n∑k=1

|(A)j,k| : j ∈ [1, n]

).

Bez dôkazu ešte uved’me, že pre n ∈ [1,∞) a A ∈ C(n, n) je

ν̃2(A) = ρ(ATA) ≤

(∑j=1

n∑k=1

|(A)j,k|2)1/2

. (1.7)

Kapitola 2

Interpolácia

Mnohé matematické problémy sú algoritmicky neriešitel’né. Pre prax to zna-mená, že vo všeobecnosti je nutné uspokojit’ sa s ich približným riešeńım.Jednou z možnost́ı ako nájst’ približné riešenie problému je nahradit’ matema-tický objekt, ktorý v probléme vystupuje, objektom jednoduchš́ım a riešenienového problému (ak sme schopńı ho nájst’) považovat’ za približné riešeniepôvodného problému.

2.1 Interpolačný polynóm

Často sa napŕıklad reálna funkcia reálnej premennej x nahrádza polynómompremennej x s reálnymi koeficientmi. Na to, aby približné riešenie bolo bĺızkeku skutočnému riešeniu (pričom pojem

”byt’ bĺızkym“ chápeme v intuit́ıvnom

zmysle slova) je”zrejme“ potrebné, aby polynóm L ∈ R[x], ktorý nahrádza

funkciu f , bol k nej bĺızky.

Jednou z možnost́ı je napŕıklad požadovat’, aby sa hodnoty funkcíı L a fzhodovali na určitej konečnej množine argumentov. V takom pŕıpade vybe-rieme n ∈ [0,∞), množinu {ui : i ∈ [0, n]} ⊆ R (jej prvky sa nazývajú inter-polačnými uzlami), a chceme, aby pre každé i ∈ [0, n] platilo L(ui) = f(ui).L’ahko sa vid́ı, že taký polynóm nemôže byt’ určený jednoznačne; ak totiž Lmá požadované vlastnosti, tak aj polynóm L+ a

∏nj=0(x−uj), kde a ∈ R[x],

ich má. Z hl’adiska minimalizácie výpočtovej náročnosti je potom prirodzenápožiadavka, aby numerický stupeň polynómu L bol najmenš́ı možný. Nasle-dovné tvrdenie ukazuje, že medzi polynómami s numerickým stupňom na-najvýš n je práve jeden polynóm s hodnotami predṕısanými pre n+ 1 argu-mentov. Vo vete sú (implicitne) pŕıtomné len predṕısané hodnoty vi = f(ui),i ∈ [0, n], samotná funkcia f v nej absentuje (jej hodnoty mimo interpolač-ných uzlov nie sú pre určenie hl’adaného polynómu dôležité).

27

28 KAPITOLA 2. INTERPOLÁCIA

Veta 2.1 Ak n ∈ [0,∞),n

Γi=0

(ui) ∈ Rn+1 je prostá postupnost’ an

Γi=0

(vi) ∈

Rn+1, tak existuje jediný polynóm L ∈ R[x] spĺňajúci nst(L) ≤ n a L(ui) = vipre každé i ∈ [0, n].

Dôkaz. Pre každé i, j ∈ [0, n], i 6= j, definujme polynómy Li,j, Li ∈ R[x]nasledovne:

Li,j =x− ujui − uj

,

Li =n∏j=0j 6=i

Li,j.

Je zrejmé, že potom Li,j(ui) = 1 a Li,j(uj) = 0. Preto

Li(ui) =n∏j=0j 6=i

Li,j(ui) =n∏j=0j 6=i

1 = 1

a pre každé k ∈ [0, n]− {i} plat́ı

Li(uk) =n∏j=0j 6=i

Li,j(uk) = Li,k(uk)n∏j=0j 6=i,k

Li,j(uk) = 0.

To znamená, že Li(uk) = δi,k pre všetky i, k ∈ [0, n].L’ahko oveŕıme, že polynóm

L =n∑i=0

viLi =n∑i=0

vi

n∏j=0j 6=i

x− ujui − uj

(2.1)

má vlastnosti požadované vo vete. Pre každé k ∈ [0, n] je

L(uk) =n∑i=0

viLi(uk) =n∑i=0

viδi,k = vk.

Okrem toho, podl’a lemy 1.3.3 je nst(Li) = n a nst(viLi) ∈ {0} ∪ {n}pre všetky i ∈ [0, n], a tak na základe lemy 1.3.1 máme

nst(L) = nst

(n∑i=0

viLi

)≤ max(nst(viLi) : i ∈ [0, n]) ≤ n.

2.1. INTERPOLAČNÝ POLYNÓM 29

Predpokladajme, že existuje taký polynóm p ∈ R[x]− {L}, že pre každéi ∈ [0, n] je p(ui) = vi a nst(p) ≤ n. Všimnime si polynóm q = L − p ∈R[x]−{0}. Pretože pre každé i ∈ [0, n] je q(ui) = L(ui)− p(ui) = vi− vi = 0,koreňový činitel’ x− ui je delitel’om polynómu q.

Ukážme, že {x− ui : i ∈ [0, n]} je množina po dvojiciach nesúdelitel’nýchpolynómov. Nech teda i, j ∈ [0, n], i 6= j, a nech nsd(x − ui, x − uj) = r.Pretože r|x − ui a r|x − uj, existujú také ri, rj ∈ R[x], že x − ui = rria x − uj = rrj, a to znamená, že polynómy r, ri, rj sú nenulové. Z 1 =nst(x−uk) = nst(r)+nst(rk) pre k ∈ {i, j} dostávame nst(r) = 1−nst(rk) ∈[0, 1]. Ak nst(r) = 1, tak nst(ri) = 0 = nst(rj), oba polynómy ri, rj súkonštantné, a tak plat́ı rovnost’ polynómov x−ui

ri= r =

x−ujrj

. Táto rovnost’

však po dosadeńı ui za x vedie k tomu, že 0 =ui−uiri

=ui−ujrj6= 0, čo je

evidentný spor. Máme teda nst(r) = 0, a tak, ked’̌ze r je monický polynóm,dostávame r = nsd(x− ui, x− uj) = 1.

Z toho, že {x − ui : i ∈ [0, n]} je množina po dvojiciach nesúdelitel’nýchpolynómov, pričom x−ui|q pre každé i ∈ [0, n], vyplýva, že aj r|q pre polynómr =

∏ni=0(x − ui) ∈ R[x]. Existuje teda taký polynóm s ∈ R[x], že q = rs.

Ked’̌ze q 6= 0, je tiež s 6= 0, z lemy 1.2.3 a lemy 1.3.3 preto vyplýva

nst(q) = nst(r) + nst(s) ≥ nst(r) = n+ 1. (2.2)

Na druhej strane, podl’a lemy 1.2.2 je nst(−p) ≤ nst(−1)+nst(p) ≤ 0+n = n,preto z lemy 1.2.1 dostávame

nst(q) ≤ max(nst(L), nst(−p)) ≤ max(n, n) = n

v spore s nerovnost’ou (2.2).

Jediný polynóm L ∈ R[x] sṕlňajúci nst(L) ≤ n a L(ui) = vi pre kaž-dé i ∈ [0, n], sa nazýva interpolačným polynómom určeným usporiadanou

dvojicou postupnost́ı

(n

Γi=0

(ui),n

Γi=0

(vi)

). Jednou z možnost́ı výberu postup-

nostin

Γi=0

(vi) je položit’ vi = f(ui) pre každé i ∈ [0, n], kde f je reálna fun-

kcia sṕlňajúca {ui : i ∈ [0, n]} ⊆ dom(f). Interpolačný polynóm určený

usporiadanou dvojicou postupnost́ı

(n

Γi=0

(ui),n

Γi=0

(f(ui))

)sa potom nazýva aj

interpolačným polynómom funkcie f na uzlovej množine {ui : i ∈ [0, n]}.Klasické označenie interpolačného polynómu ṕısmenom L pripomı́na Lag-rangeove zásluhy o rozvoj teórie interpolácie.

30 KAPITOLA 2. INTERPOLÁCIA

2.2 Chyba interpolačného polynómu

Ďaľsia veta odpovedá na prirodzenú otázku, akej chyby sa dopúšt’ame (v ne-jakom argumente), ked’ funkciu nahrad́ıme jej interpolačným polynómomna istej uzlovej množine.

Veta 2.2 Ak n ∈ [0,∞), U = {ui : i ∈ [0, n]} ⊆ R, x̃ ∈ R, m = min(U ∪{x̃}), M = max(U ∪ {x̃}), reálna funkcia f je (n+ 1)-krát diferencovatel’náv intervale 〈m,M〉 a L je interpolačný polynóm funkcie f na uzlovej množineU , tak existuje ξ ∈ 〈m,M〉, pre ktoré f(x̃)− L(x̃) = f

(n+1)(ξ)(n+1)!

∏ni=0(x̃− ui).

Dôkaz. Ak x̃ ∈ U , tak L(x̃) = f(x̃) a∏n

i=0(x̃ − ui) = 0, preto tvrdenie vetyplat́ı s l’ubovol’ným ξ ∈ 〈m,M〉 ⊇ {x̃}.

V d’aľsom teda môžeme predpokladat’, že x̃ /∈ U . Pre α ∈ R označme akofα reálnu funkciu reálnej premennej x definovanú predpisom

fα(x) = f(x)− L(x)− αn∏i=0

(x− ui).

Ak j ∈ [0, n], tak fα(uj) = f(uj)−L(uj)−α∏n

i=0(uj−ui) = f(uj)−f(uj)−0 = 0. Ak x ∈ R − U a y ∈ R, tak existuje α ∈ R, pre ktoré fα(x) = y,konkrétne α = f(x)−L(x)−y∏n

i=0(x−ui). Existuje teda aj také α̃ ∈ R, že fα̃(x̃) = 0, a to

α̃ =f(x̃)− L(x̃)n∏i=0

(x̃− ui). (2.3)

Z predpokladov našej vety vyplýva, že funkcia fα̃ je (n + 1)-krát dife-rencovatel’ná v intervale 〈m,M〉. Matematickou indukciou vzhl’adom na kukážeme, že pre každé k ∈ [0, n + 1] plat́ı tvrdenie T (k), podl’a ktoréhofunkcia f

(k)α̃ má v intervale 〈m,M〉 aspoň n+ 2− k nulových bodov. Každý

z n+ 2 prvkov množiny U ∪ {x̃} ⊆ 〈m,M〉 je nulový bod funkcie f (0)α̃ = fα̃,tvrdenie T (0) je teda pravdivé. Predpokladajme, že k ∈ [0, n] a existuje

rastúca postupnost’n+1−k

Γi=0

(ξ(k)i ) ∈ 〈m,M〉n+2−k nulových bodov funkcie g =

f(k)α̃ . Pretože k ∈ [0, n], funkcia g je diferencovatel’ná v intervale 〈m,M〉.

Podl’a Rolleho vety potom pre každé i ∈ [0, n − k] existuje také ξ(k+1)i ∈(ξ

(k)i , ξ

(k)i+1), že 0 = g

′(ξ(k+1)i ) = f

(k+1)α̃ (ξ

(k+1)i ). V súlade s tým pre každé

i ∈ [0, n− k − 1] máme m ≤ ξ(k)i < ξ(k+1)i < ξ

(k)i+1 < ξ

(k+1)i+1 < ξ

(k)i+2 ≤ M , a tak

n−kΓi=0

(ξ(k+1)i ) je rastúca postupnost’. To znamená, že funkcia f

(k+1)α̃ = g

′ má

2.3. ZOVŠEOBECNENÝ INTERPOLAČNÝ POLYNÓM 31

aspoň 1+n−k = n+2−(k+1) nulových bodov v intervale (m,M) ⊆ 〈m,M〉a tvrdenie T (k + 1) je pravdivé.

Na základe tvrdenia T (n+ 1) existuje také ξ ∈ 〈m,M〉, že f (n+1)α̃ (ξ) = 0.Pretože nst(L) ≤ n, v súlade s dôsledkom 1.7 je

L(n+1) = 0. (2.4)

Polynóm∏n

i=0(x−ui) má podl’a lemy 1.3.3 numerický stupeň n+ 1 a vedúcikoeficient 1; preto podl’a lemy 1.6 jeho derivácia rádu n + 1 má numerickýstupeň n+ 1− (n+ 1) = 0 a vedúci koeficient 1 ·

∏ni=0(n+ 1− i) = (n+ 1)!.

V súlade s tvrdeńım 1.8 sme teda dokázali, že[α̃

n∏i=0

(x− ui)

](n+1)= α̃

[n∏i=0

(x− ui)

](n+1)= α̃(n+ 1)!. (2.5)

Z (2.4) a (2.5) vyplýva 0 = f(n+1)α̃ (ξ) = f

(n+1)(ξ)−0−α̃(n+1)! a α̃ = f(n+1)(ξ)(n+1)!

.

Porovnańım poslednej rovnosti s (2.3) dostávame

f(x̃)− L(x̃) = f(n+1)(ξ)

(n+ 1)!

n∏i=0

(x̃− ui).

2.3 Zovšeobecnený interpolačný polynóm

Zovšeobecneńım interpolačného polynómu je polynóm minimálneho numeric-kého stupňa, ktorý má v interpolačných uzloch predṕısané nielen hodnoty(nulté derivácie), ale aj derivácie vyšš́ıch rádov. Pri zovšeobecňovańı inter-polačného polynómu reálnej funkcie f na uzlovej množine U = {ui : i ∈[0, n]} je prirodzené hl’adat’ zovšeobecnenie v množine polynómov

H(U, f) = {h ∈ R[x] : ∀i ∈ [0, n] h(ui) = f(ui)}.

Predpokladajme, že r ∈ [1,∞) a pre každé i ∈ [0, n] a každé k ∈ [0, r]existuje f (k)(x) pre všetky x z istého okolia uzla ui. Pre h ∈ H(U, f) označme

J(h, f, ui) = {j ∈ [0, r] : h(j)(ui) = f (j)(ui)},m(h, f, ui) = max(k ∈ [0, r] : [0, k] ⊆ J(h, f, ui);

defińıcia m(h, f, ui) je korektná, lebo [0, 0] ⊆ J(h, f, ui). Porovnanie Taylo-rovho rozvoja funkcíı h a f v okoĺı uzla ui ukazuje (bez väčš́ıch problémov),že kvalita aproximácie funkcie f funkciou h (aproximácia je tým lepšia, č́ımje menšia chyba aproximácie |f(x) − h(x)| pre x z okolia uzla ui) nezáviśı

32 KAPITOLA 2. INTERPOLÁCIA

od |J(h, f, ui)| (zhoda väčšieho počtu derivácíı nemuśı dávat’ lepšiu apro-ximáciu), ale od m(h, f, ui), a to v nasledovnom zmysle: Ak h0, h1 ∈ H(U, f)a m(h1, f, ui) > m(h0, f, ui), tak |f(x) − h1(x)| < |f(x) − h0(x)| pre všetkyx z dostatočne malého okolia uzla ui.

Z toho dôvodu je pri zovšeobecneńı interpolácie vhodné od hl’adaného po-lynómu h ∈ H(U, f) požadovat’, aby pre každý uzol ui bola splnená požiadav-ka h(j)(ui) = f

(j)(ui) pre každé j ∈ [0, ri], kde ri ∈ [0, r] záviśı (vo všeobecnos-ti) od i. Ukazuje sa potom (podobne ako v pŕıpade obyčajného interpolačnéhopolynómu), že medzi všetkými polynómami h ∈ H(U, f) sṕlňajúcimi hore-uvedené podmienky existuje práve jeden polynóm H minimálneho nume-rického stupňa.

Ak abstrahujeme od počiatočnej motivácie pre zovšeobecnenie interpolač-ného polynómu (ak

”zabudneme“ na funkciu f), požiadavky na polynóm

H môžeme zhrnút’ do postupnosti v =n

Γi=0

(riΓj=0

(v

(j)i

)), ktorá na poźıcii

i ∈ [0, n] obsahuje postupnost’riΓj=0

(v

(j)i

)hodnôt predṕısaných pre derivácie

v uzle ui (na poźıcii j je tam reálne č́ıslo v(j)i predṕısané akoH

(j)(ui)). Postup-nost’ v je potom derivačná postupnost’, neprázdna konečná postupnost’, kto-rej členy sú neprázdne konečné postupnosti reálnych č́ısel. Nech D označujemnožinu všetkých derivačných postupnost́ı, teda

D =∞⋃n=0

⋃nΓ

i=0(ri)∈[0,∞)n+1

n∏i=0

Rri+1.

Rád derivačnej postupnosti v =n

Γi=0

(riΓj=0

(v

(j)i

))∈ D je nezáporné celé č́ıslo

r(v) = max(ri : i ∈ [0, n]).

Veta 2.3 Ak n ∈ [0,∞),n

Γi=0

(ui) ∈ Rn+1 je prostá postupnost’ a postupnost’n

Γi=0

(riΓj=0

(v

(j)i

))patŕı do D, tak existuje jediný polynóm H ∈ R[x], pre ktorý

plat́ı nst(H) ≤ n+∑n

i=0 ri a H(j)(ui) = v

(j)i pre každé i ∈ [0, n] a j ∈ [0, ri].

Dôkaz. Vetu dokážeme matematickou indukciou vzhl’adom na r(v), kde v =n

Γi=0

(riΓj=0

(v

(j)i

)). Ak r(v) = 0, tak ri = 0 pre každé i ∈ [0, n] a n+

∑ni=0 ri =

n. Ked’̌zeH(0)(ui) = H(ui), v tomto pŕıpade stač́ı použit’ vetu 2.1 (o existenciia jednoznačnosti interpolačného polynómu).

2.3. ZOVŠEOBECNENÝ INTERPOLAČNÝ POLYNÓM 33

Predpokladajme teda, že r(v) ≥ 1 a tvrdenie vety plat́ı pre každú postup-nost’ v̂ ∈ D, pre ktorú r(v̂) = r(v)− 1. Pre i ∈ [0, n] definujme r̃i nasledovne:

r̃i =

{ri − 1 ak ri = r(v),ri ak ri ≤ r(v)− 1

}.

Pre ṽ =n

Γi=0

(r̃iΓj=0

(v

(j)i

))∈ D máme r(ṽ) = r(v)−1, a tak podl’a indukčného

predpokladu existuje polynóm H̃ ∈ R[x] sṕlňajúci nst(H̃) ≤ n +∑n

i=0 r̃ia H̃(j)(ui) = v

(j)i pre každé i ∈ [0, n] a j ∈ [0, r̃i] ⊆ [0, ri].

Ak hl’adaný polynóm H existuje, tak pre polynóm g = H − H̃ plat́ıg(j)(ui) = H

(j)(ui) − H̃(j)(ui) = v(j)i − v(j)i = 0 pre každé i ∈ [0, n] a j ∈

[0, r̃i] ⊆ [0, ri]. Podl’a lemy 1.5 to znamená, že (x − ui)r̃i+1|g, z nerovnostir̃i + 1 ≥ ri preto máme (x − ui)ri |g pre každé i ∈ [0, n]. V dôkaze vety 2.1sme videli, že {x − ui : i ∈ [0, n]} je množina po dvojiciach nesúdelitel’nýchpolynómov. Preto pre i, j ∈ [0, n], i 6= j, plat́ı tiež

nsd((x− ui)ri , (x− uj)rj) = (nsd(x− ui, x− uj))min(ri,rj) = 1,

a tak aj {(x − ui)ri : i ∈ [0, n]} je množina po dvojiciach nesúdelitel’nýchpolynómov, ktoré sú všetky delitel’mi polynómu g. Potom

∏ni=0(x − ui)ri |g

a existuje taký polynóm f ∈ R[x], že g = f∏n

i=0(x − ui)ri . Pre l’ubovol’nék ∈ [0, n] podl’a lemy 1.4.2 plat́ı

g(rk)(uk) = rk!f(uk)n∏i=0i 6=k

(uk − ui)ri ,

a ked’̌ze g(rk)(uk) = H(rk)(uk)− H̃(rk)(uk) = v(rk)k − H̃(rk)(uk), máme tiež

f(uk) =v

(rk)k − H̃(rk)(uk)

rk!n∏i=0i 6=k

(uk − ui)ri= vk. (2.6)

Ak f = 0, tak nst(f) = 0 ≤ n. Na druhej strane, ak f 6= 0, z lemy 1.2.1dostávame

nst(f) +n∑i=0

ri = nst(g) ≤ max(nst(H), nst(−H̃))

≤ max

(n+

n∑i=0

ri, n+n∑i=0

r̃i

)= n+

n∑i=0

ri,

34 KAPITOLA 2. INTERPOLÁCIA

a preto opät’ nst(f) ≤ n. Podl’a vety 2.1 potom f je interpolačný polynómurčený usporiadanou dvojicou postupnost́ı (

n

Γi=0

(ui),n

Γi=0

(vi)).

Pretože polynóm H = H̃+g, kde g = f∏n

i=0(x−ui)ri a f je horeuvedenýinterpolačný polynóm, je jediný kandidát na polynóm, korý má požadovanévlastnosti, stač́ı ukázat’, že H ich naozaj má. Ak k ∈ [0, n] a j ∈ [0, rk −1] ⊆ [0, r̃k], tak z lemy 1.4.1 vyplýva g(j)(uk) = 0, a teda tiež H(j)(uk) =H̃(j)(uk) = v

(j)k . Z lemy 1.4.2 vzhl’adom na (2.6) máme zasa

g(rk)(uk) = rk!f(uk)n∏i=0i 6=k

(uk − ui)ri = v(rk)k − H̃(rk)(uk),

a preto H(rk)(uk) = H̃(rk)(uk) + g

(rk)(uk) = v(rk)k . Navyše, z nerovnost́ı

nst(f) ≤ n a∑n

i=0 r̃i ≤∑n

i=0 ri na základe lemy 1.2.1 a lemy 1.3.3 vyplýva,že plat́ı

nst(H) ≤ max(nst(H̃), nst(g))

≤ max

(n+

n∑i=0

r̃i, nst(f) +n∑i=0

ri

)≤ n+

n∑i=0

ri.

Veta 2.3 ukazuje, že existuje práve jeden polynóm H ∈ R[x], ktorý sṕlňanst(H) ≤ n +

∑ni=0 ri a H

(j)(ui) = v(j)i pre každé i ∈ [0, n] a j ∈ [0, ri]; ten

sa nazýva zovšeobecneným interpolačným polynómom určeným usporiadanou

dvojicou postupnost́ı

(n

Γi=0

(ui),n

Γi=0

(riΓj=0

(v

(j)i

))). Klasické označenie H je

v tomto pŕıpade späté s menom francúzskeho matematika Hermita.Veta 2.3 poskytuje návod na nájdenie zovšeobecneného interpolačného

polynómu určeného usporiadanou dvojicou postupnost́ı (u, v) s u =n

Γi=0

(ui)

a v =n

Γi=0

(riΓj=0

(v

(j)i

)). Pre l ∈ [0, r(v)] nech Hl ∈ R[x] označuje zovšeobec-

nený interpolačný polynóm s postupnost’ou interpolačných uzlov u, pre ktorýsú derivácie predṕısané derivačnou postupnost’ou v, ale najviac ak do rádul; ide teda o zovšeobecnený interpolačný polynóm určený usporiadanou dvo-

jicou (u, v(l)), v ktorej v(l) =n

Γi=0

(r(i,l)

Γj=0

(v(j)i )

)∈ D, pričom r(i, l) = min(ri, l)

pre každé i ∈ [0, n]. Ak teda l ∈ [1, r(v)], tak derivačná postupnost’ v(l−1) saźıska z derivačnej postupnosti v(l)

”ignorovańım“ všetkých č́ısel tvaru v

(l)i vy-

skytujúcich sa v derivačnej postupnosti v(l). Z defińıcie bezprostredne vyplýva

2.3. ZOVŠEOBECNENÝ INTERPOLAČNÝ POLYNÓM 35

vr(v) = v, preto hl’adaný zovšeobecnený interpolačný polynóm H je rovnýHr(v).

Z dôkazu vety o zovšeobecnenom interpolačnom polynóme vieme, že po-lynóm H = Hr(v) je jednoznačne určený pomocou polynómu H̃ = Hr(v)−1.Podobne pre každé l ∈ [1, r(v)] je polynóm Hl jednoznačne určený pomo-cou polynómu Hl−1. Návod na konštrukciu hl’adaného polynómu H je tedatakýto: Najprv nájdeme polynóm H0 ako (obyčajný) interpolačný polynóm

určený usporiadanou dvojicou postupnost́ı

(u,

n

Γi=0

(v

(0)i

))a potom pre každé

l ∈ [1, r(v)] pomocou polynómu Hl−1 vytvoŕıme polynóm Hl.

36 KAPITOLA 2. INTERPOLÁCIA

Kapitola 3

Numerické derivovanie

Základná úloha, ktorú rieši numerické derivovanie, je aproximovat’ deriváciufunkcie, ktorá je daná iba tabul’kou svojich hodnôt pre niektoré argumenty.

Majme teda diferencovatel’nú reálnu funkciu f , ktorej hodnoty poznámelen pre argumenty z množiny U = {ui : i ∈ [0, n]}. Ked’̌ze funkciu f je možnéaproximovat’ interpolačným polynómom L funkcie f na uzlovej množine U ,č́ıslo f ′(x̃), x̃ ∈ R, je možné aproximovat’ č́ıslom L′(x̃).

3.1 Ekvidǐstančne rozložené uzly

Uvedený pŕıstup sa použ́ıva predovšetkým v pŕıpadoch, ked’ interpolačnéuzly sú rozložené na (časti) reálnej osi rovnomerne. Vtedy existuje také h ∈(0,∞), že u0 ∈ R, h ∈ (0,∞) a n ∈ [0,∞), že pre každé i ∈ [0, n] jeui = u0 + ih a uzlová množina U je ekvidǐstančná. Podl’a vety 2.1 možnopolynóm L(x) po zavedeńı substitúcie x = u0 + th previest’ na tvar

L(x) =n∑i=0

f(ui)n∏j=0j 6=i

x− ujui − uj

=n∑i=0

f(ui)n∏j=0j 6=i

u0 + th− (u0 + jh)u0 + ih− (u0 + jh)

=n∑i=0

f(ui)n∏j=0j 6=i

t− ji− j

=n∑i=0

f(ui)n∏j=0j 6=i

(t− j)/n∏j=0j 6=i

(i− j). (3.1)

37

38 KAPITOLA 3. NUMERICKÉ DERIVOVANIE

Ak m ∈ Z, tak (−1)m = (−1)m · (−1)m

(−1)m =((−1)2)m

(−1)m =1

(−1)m . Preto

n∏j=0j 6=i

(i− j) =i−1∏j=0

(i− j)n∏

j=i+1

(i− j) = i!n∏

j=i+1

[(−1)(j − i)]

= i!(−1)n−in∏

j=i+1

(j − i) = i!(−1)n−i(n− i)! = i!(n− i)!(−1)n−i

(3.2)

a z (3.1) vyplýva

L(x) = L(u0 + th) =n∑i=0

f(ui)(−1)n−i

i!(n− i)!

n∏j=0j 6=i

(t− j) = l(t).

Funkcia l(t) = L(u0 + th) je zloženou funkciou premennej t, preto dostávame

dl

dt=

dL(u0 + th)

dt=

[dL

dx

]x=u0+th

· d(u0 + th)dt

= L′(u0 + th)h,

L′(u0 + th) =1

h· dl

dt. (3.3)

Ak nás teda zauj́ıma aproximácia č́ısla f ′(x̃) pre nejaké x̃ ∈ R, trebanájst’ t̃ ∈ R sṕlňajúce x̃ = u0 + t̃h a f ′(x̃) možno aproximovat’ č́ıslom L′(u0 +t̃h) = 1

h·[

dldt

]t=t̃

. Najčasteǰsie sa takéto približné vyjadrenie derivácie použ́ıva

v pŕıpade x̃ = up ∈ U , čo znamená, že t̃ = p ∈ [0, n]. Vtedy máme

[dl

dt

]t=p

=

ddt n∑

i=0

f(ui)(−1)n−i

i!(n− i)!

n∏j=0j 6=i

(t− j)

t=p

=n∑i=0

f(ui)(−1)n−i

i!(n− i)!

n∑k=0k 6=i

[d(t− k)dt]t=p

·n∏j=0j 6=i,k

(p− j)

a z (3.3) dostávame

f ′(up) ≈ L′(up) =1

h·[

dl

dt

]t=p

=1

h

n∑i=0

D(p, i, n)f(ui), (3.4)

3.2. KOEFICIENTY NUMERICKÉHO DERIVOVANIA 39

kde vystupujú koeficienty numerického derivovania

D(p, i, n) :=(−1)n−i

i!(n− i)!

n∑k=0k 6=i

n∏j=0j 6=i,k

(p− j) ∈ Q (3.5)

a ≈ predstavuje približnú rovnost’.Ak i 6= p a súčasne k 6= p pre sumačný index k v (3.5), tak

n∏j=0j 6=i,k

(p−j) = 0,

a preto (využijúc analógiu vzt’ahu (3.2))

D(p, i, n) =(−1)n−i

i!(n− i)!

n∏j=0j 6=i,p

(p− j) = (−1)n−i

i!(n− i)!· 1p− i

n∏j=0j 6=p

(p− j)

=(−1)n−i

i!(n− i)!· 1p− i

· p!(n− p)!(−1)n−p

· n!n!

=(−1)p−i

p− i·(ni

)(np

) . (3.6)Na druhej strane, ak i = p, tak

D(p, p, n) =(−1)n−p

p!(n− p)!

n∑k=0k 6=p

n∏j=0j 6=p,k

(p− j)

=(−1)n−p

p!(n− p)!

n∑k=0k 6=p

[1

p− k· p!(n− p)!

(−1)n−p

]=

n∑k=0k 6=p

1

p− k. (3.7)

3.2 Koeficienty numerického derivovania

Na nájdenie aproximácíı n+ 1 č́ısel f ′(up) pre p ∈ [0, n] potrebujeme poznat’(n + 1)2 koeficientov D(p, i, n) pre všetky p, i ∈ [0, n]. Pri ich výpočte jevýhodné využit’ ich vzájomné vzt’ahy:

Tvrdenie 3.1 Ak n ∈ [0,∞) a j, p ∈ [0, n], tak1.∑n

i=0D(p, i, n) = 0;2. D(n− p, n− j, n) = −D(p, j, n).

Dôkaz. 1. Nech f ∈ RR, pričom f(x) = 1 pre každé x ∈ R. Nech d’alej u0 ∈ R,h ∈ (0,∞), U = {u0+ih : i ∈ [0, n]} a nech L ∈ R[x] je interpolačný polynómfunkcie f na uzlovej množine U . Ked’̌ze f ∈ R[x], pričom nst(f) = 0 ≤ n af(ui) = f(ui) pre každé i ∈ [0, n], v súlade s vetou 2.1 plat́ı L = f . V dôsledku

40 KAPITOLA 3. NUMERICKÉ DERIVOVANIE

toho aj L′ = f ′ = 0 a približná rovnost’ v (3.4) sa meńı na rovnost’ skutočnú.To znamená, že

0 = f ′(up) = L′(up) =

1

h

n∑i=0

D(p, i, n)f(ui) =1

h

n∑i=0

D(p, i, n), (3.8)

a tak∑n

i=0D(p, i, n) =