Upload
danijel-kocijan
View
117
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
Danijel Kocijan, Andrea Grozdek, Daria
Grozdek
Miquelov teorem
Teorem 1. (Miquel) Dan je trokut ABC, te točke P 1,
P2,P3 na stranicama
Kružnice k1, k2, k3 opisane trokutima P1P2C, P1P3B i
P2P3A sijeku se u jednoj točki P.
Točku P nazivamo Miquelovom točkom, a trokut P1P2P3
Miquelovim trokutom.
.,, ABACBC
Teorem 2. Neka je P Miquelova točka i P1P2P3 Miquelov
trokut u trokutu ABC. Pravci PP1, PP2 i PP3 zatvaraju
jednake odgovarajuće kutove sa stranicama trokuta ABC.
Teorem 3. (Miquelova jednakost) Neka je P Miquelova
točka i P1P2P3 Miquelov trokut u trokutu ABC. Vrijedi
sljedeća jednakost:
BPC = BAC + P3P1P2 .
Teorem 4. Za fiksnu točku P u trokutu ABC moguće je
odrediti beskonačno mnogo Miquelovih trokuta.
Definicija. Miquelova kružnica je kružnica koja prolazi kroz
jedan vrh zadanog trokuta i dva vrha Miquelovog trokuta.
Slučaj kada su točke P1, P2, P3 kolinearne
Kružnice opisane trokutima ABC, AP3P2, P3BP1 i CP1P2 sijeku
se u jednoj točki.
Definicija. Neka su ABC i DEF slični trokuti te neka su G, H
i I sjecišta pravaca na kojima leže odgovarajuće stranice
trokuta. Kružnice kroz točke {C,G,F}, {A,D,H} te {B,I,E} (kao
na slici) sijeku se u točki S.
Točku S nazivamo centrom sličnosti trokuta ABC i DEF.
Definicija. Kažemo da su dva trokuta direktno slična ako
postoji preslikavanje među njima koje je kompozicija
homotetije i rotacije.
Teorem 5. Svi Miquelovi trokuti zadane Miquelove točke
P su direktno slični i P je centar njihove sličnosti.
Korolar. Vrijede slijedeće tvrdnje:
a) Središta bilo kojeg skupa Miquelovih kružnica su vrhovi
trokuta sličnog danom trokutu.
b) Direktno slični trokuti čiji odgovarajući vrhovi se nalaze
na odgovarajućim stranicama imaju istu Miquelovu
točku koja je i centar njihove sličnosti.
c) Ako su odgovarajući vrhovi nekoliko sličnih trokuta
kolinearni oni imaju zajednički centar sličnosti.
d) Ako se tri kružnice sijeku u jednoj točki, moguće je
početi konstruirati trokut u bilo kojoj točki bilo koje
kružnice čiji vrhovi leže na kružnicama, a stranice
prolaze sjecištima kružnica. Svi takvi trokuti su slični.
Nožišni trokut
Definicija. Neka je dan trokut ABC i fiksna točka P te neka su
P1,P2,P3 redom sjecišta okomica kroz točku P na pravce AB, BC,
AC. Trokut P1P2P3 zovemo nožišni trokut trokuta ABC obzirom
na točku P.
Teorem 6. Neka je P1P2P3 nožišni trokut trokuta ABC
obzirom na točku P. Vrijedi:
pri čemu je γ kut pri vrhu C, a R polumjer kružnice opisane
trokutu ABC.
R
ABCPCPPP
2sin
32
Korolar. Središte P opisane kružnice trokuta ABC je jedina
točka za koju vrijedi da je Miqelov trokut obzirom na P
sličan danom trokutu ABC.
Simsonov pravac
Definicija. Neka je ABC trokut, k kružnica opisana tom
trokutu i P neka točka na kružnici k. Pravac koji prolazi
nožištima okomica na stranice trokuta ABC iz točke P naziva
se Simsonov pravac.
Teorem 8. Nožišta okomica iz Miquelove točke na stranice
trokuta su kolinearna ako i samo ako se Miquelova točka
nalazi na trokutu opisanoj kružnici.
Teorem 9. Ako je P1P2P3 Simsonov pravac i P točka na
kružnici opisanoj trokutu ABC, onda su trokuti PP2P3 i PCB
direktno slični.