Miodrag Lalić - STEM Edukacija · Zanimljiva matematika ..... 38 Konkursni zadaci ..... 39 Štampanje ovog broja pomogli: ... 0,08 25 2 = . Broj 0,071428571 je manji od broja 0,08

Miodrag Lalić PROCENTI Svakodnevno se većina od nas susrijeće sa procentnim računom, pa ćemo se sigurnije osjećati ako znamo njegova osnovna svojstva. Primjene procenata ima naročito u proizvodnji, trgovini, bankarstvu, statistici, planiranju, itd. U našim školama učenici o procentu počinju da uče u šestom razredu osnovne škole. Kao uvod daćemo kraći istorijski osvrt. Riječ procenat potiče od latinske riječi pro centum, što bukvalno znači „na sto” ili „od sto”. Ideja za slično izražavanje dijela neke cijele veličine datira još iz starog Vavilona, no ne „od sto” već „od šezdeset”. Procenat je bio u sličnom smislu kao danas poznat i korišćen u starom Rimu. Naime, Rimljani su zvali procentima novce, koje bi dužnik platio zajmodavcu za svaku stotinu sestercija. Od Rimljana su procente preuzeli drugi narodi Evrope. Oni se, dakle, na početku primjenjuju kod novčanih transakcija i u trgovini. Zatim se oblast primjene raširila, sreće se kod poslovnih i finansijskih računa statistike, nauke i tehnike itd. Pretpostavlja se da znak % proizilazi od italijanske riječi cento (sto), koja se u procentnom računu zapisivala skraćeno cto, pa je, putem daljeg uprošćavanja, slovo t prešlo u kosu crtu (/), u aktuelni znak za označavanje procenta (sledeća shema, pokazuje mogući put nastanka simbola %). pro cento → cento → cto → c/o → % Druga verzija o nastanku znaka %, govori da je nastao kao rezultat štamparske greške slovoslagača. U Parizu je 1685. godine obajvljena knjiga – priručnik za komercijalnu matematiku, u kojoj je slovoslagač greškom umjesto cto odštampao %. Procenat se jednostavno definiše: Procenat bilo kojeg broja a je stoti dio tog broja, tj.

aaa 01,01001

100==

Upotreba znaka % može se posmatrati kao zamjena za riječ „procenat” ili za množilac 0,01. Pođimo od primjera iz svakodnevnog života:

Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za učenike osnovnih škola – „Dijagonala”, broj 5

Godina 2019. Cijena: 1,50 €

Glavni urednik: mr Radomir BožovićOdgovorni urednik: Danijela JovanovićRedakcija: Prof. dr Žarko Pavićević, Prof. dr Radoje Šćepanović, Miodrag Lalić, Prof. dr Milenko Mosurović, Snežana Irić, Aleksandra Vuković, Vanja Đurđić Kuzmanović, Irena Pavićević, Nevena Ljujić Lektura: Milja Božović, prof.Korektura: Danijela Jovanović, prof.Priprema za štampu: Branko GazdićTiraž: 1000Štampa: „Studio Branko“ d.o.o. – Podgorica

Zavod za školstvo je odlukom broj 01 – 1214/2 od 03.09.2018. godine preporučio ča-sopis „Dijagonala“ za korišćenje u osnovnim školama kao pomoćno nastavno sredstvo.

SadržajProcenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Logički operatori, logički veznici

i naredba if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Odabrani zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Rješenja konkursnih zadataka iz prošlog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Priprema za čas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Rad sa tekstualnim zadacima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Aristotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Zanimljiva matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Konkursni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Štampanje ovog broja pomogli: „Bemax doo“, „Domen doo“

3

Miodrag Lalić PROCENTI Svakodnevno se većina od nas susrijeće sa procentnim računom, pa ćemo se sigurnije osjećati ako znamo njegova osnovna svojstva. Primjene procenata ima naročito u proizvodnji, trgovini, bankarstvu, statistici, planiranju, itd. U našim školama učenici o procentu počinju da uče u šestom razredu osnovne škole. Kao uvod daćemo kraći istorijski osvrt. Riječ procenat potiče od latinske riječi pro centum, što bukvalno znači „na sto” ili „od sto”. Ideja za slično izražavanje dijela neke cijele veličine datira još iz starog Vavilona, no ne „od sto” već „od šezdeset”. Procenat je bio u sličnom smislu kao danas poznat i korišćen u starom Rimu. Naime, Rimljani su zvali procentima novce, koje bi dužnik platio zajmodavcu za svaku stotinu sestercija. Od Rimljana su procente preuzeli drugi narodi Evrope. Oni se, dakle, na početku primjenjuju kod novčanih transakcija i u trgovini. Zatim se oblast primjene raširila, sreće se kod poslovnih i finansijskih računa statistike, nauke i tehnike itd. Pretpostavlja se da znak % proizilazi od italijanske riječi cento (sto), koja se u procentnom računu zapisivala skraćeno cto, pa je, putem daljeg uprošćavanja, slovo t prešlo u kosu crtu (/), u aktuelni znak za označavanje procenta (sledeća shema, pokazuje mogući put nastanka simbola %). pro cento → cento → cto → c/o → % Druga verzija o nastanku znaka %, govori da je nastao kao rezultat štamparske greške slovoslagača. U Parizu je 1685. godine obajvljena knjiga – priručnik za komercijalnu matematiku, u kojoj je slovoslagač greškom umjesto cto odštampao %. Procenat se jednostavno definiše: Procenat bilo kojeg broja a je stoti dio tog broja, tj.

aaa 01,01001

100==

Upotreba znaka % može se posmatrati kao zamjena za riječ „procenat” ili za množilac 0,01. Pođimo od primjera iz svakodnevnog života:

4 Dijagonala

Primjer 1. Dva prijatelja su jednom prilikom testirali potrošnju goriva kod svojih automobila. Automobil prvog je potrošio 3 litra benzina na 42 km, a drugog 4 litra na 50 km. Koje auto je ekonomičnije? Rješenje: Da bi odgovorili na postavljeno pitanje treba naći količnike.

Prvi auto je potrošio 141

423= , l

141 /km, a drugi

l

252

504= /km. Sad imamo

dilemu koji od dva razlomaka je veći. Da bi odgovorili moramo računati, a to možemo uraditi na više načina: dovođenjem na jednake imenioce, jednake brojioce ili prelaskom u decimalni zapis.

Napišimo ove razlomke u decimalnom zapisu ...071428571,0141= i

08,0252= . Broj 0,071428571 je manji od broja 0,08 i na taj način smo riješili

problem. Saznali smo da je prvo auto ekonomičnije. No, da li smo u potpunosti zadovoljni. Potrebu za tačnošću u ovom slučaju zadovoljićemo ako uzmemo u obzir prve dvije cifre poslije decimalnog zareza 0,07; 0,08, odnosno 7 stotih i 8 stotih. Ovo poslednje su procenti 7% i 8%. Dakle, stigli smo do opšte prihvatljivog i uobičajenog odgovora u današnje vrijeme o potrošnji ova dva automobila 7 l, odnosno 8 l na 100 km. Razlomci sa imeniocem 100 pokazali su se u praksi vrlo primjenljivi u raz-

ličitim oblastima, na primjer 1 cent jednak je 1001 dijelu od 1 eura,

1 cm = 1% m, itd. Procentni račun čine zadaci sa procentima koji imaju veliki praktični značaj, a dijelimo ih na tri osnovna tipa. 1. Izračunavanje procenta od datog broja Primjer 2. U odjeljenju od 25 učenika 48% svih učenika su djevojčice. Koliko u tom odjeljenju ima djevojčica? Rješenje: Računamo 48% od 25 tj. 𝑥𝑥 = 25∙48

100 = 484 = 12. Dakle, u odjeljenju

ima 12 djevojčica. Na osnovu prethodnog možemo zapisati pravilo za izračunavanje procenta od datog broja:

Izračunati р% datog broja a znači broj a pomnožiti razlomkom 100p ,

što zapisujemo 100pax

= .

Dijagonala 5

Primjer 1. Dva prijatelja su jednom prilikom testirali potrošnju goriva kod svojih automobila. Automobil prvog je potrošio 3 litra benzina na 42 km, a drugog 4 litra na 50 km. Koje auto je ekonomičnije? Rješenje: Da bi odgovorili na postavljeno pitanje treba naći količnike.

Prvi auto je potrošio 141

423= , l

141 /km, a drugi

l

252

504= /km. Sad imamo

dilemu koji od dva razlomaka je veći. Da bi odgovorili moramo računati, a to možemo uraditi na više načina: dovođenjem na jednake imenioce, jednake brojioce ili prelaskom u decimalni zapis.

Napišimo ove razlomke u decimalnom zapisu ...071428571,0141= i

08,0252= . Broj 0,071428571 je manji od broja 0,08 i na taj način smo riješili

problem. Saznali smo da je prvo auto ekonomičnije. No, da li smo u potpunosti zadovoljni. Potrebu za tačnošću u ovom slučaju zadovoljićemo ako uzmemo u obzir prve dvije cifre poslije decimalnog zareza 0,07; 0,08, odnosno 7 stotih i 8 stotih. Ovo poslednje su procenti 7% i 8%. Dakle, stigli smo do opšte prihvatljivog i uobičajenog odgovora u današnje vrijeme o potrošnji ova dva automobila 7 l, odnosno 8 l na 100 km. Razlomci sa imeniocem 100 pokazali su se u praksi vrlo primjenljivi u raz-

ličitim oblastima, na primjer 1 cent jednak je 1001 dijelu od 1 eura,

1 cm = 1% m, itd. Procentni račun čine zadaci sa procentima koji imaju veliki praktični značaj, a dijelimo ih na tri osnovna tipa. 1. Izračunavanje procenta od datog broja Primjer 2. U odjeljenju od 25 učenika 48% svih učenika su djevojčice. Koliko u tom odjeljenju ima djevojčica? Rješenje: Računamo 48% od 25 tj. 𝑥𝑥 = 25∙48

100 = 484 = 12. Dakle, u odjeljenju

ima 12 djevojčica. Na osnovu prethodnog možemo zapisati pravilo za izračunavanje procenta od datog broja:

Izračunati р% datog broja a znači broj a pomnožiti razlomkom 100p ,

što zapisujemo 100pax

= .

Sad možemo riješiti i nešto složeniji zadatak. Zadatak 1. Nastavnik je na kontrolnom zadatku postavio tri zadatka. Nijedan zadatak nije riješilo 12,5% učenika, samo jedan je riješilo 25%, i isto toliko učenika je riješilo dva zadatka, dok je 12 učenika riješilo sva tri. Koliko je ukupno učenika radilo kontrolni zadatak? Rješenje: Tekstualni zadatak možemo zapisati u obliku jednačine 12,5%𝑥𝑥 + 2 ∙ 25%𝑥𝑥 + 12 = 100%𝑥𝑥, pri čemu je x broj učenika koji su radili kontrolni zadatak. Dalje je 12,5𝑥𝑥

100 + 2 ∙ 25𝑥𝑥100 + 12 = 𝑥𝑥, odakle rješavanjem jednačine dobijamao da je x = 32. Znači, ukupno 32 učenika je radilo kontrolni zadatak. 2. Izračunavanje broja iz njegovog procenta Primjer 3. Ako je 3,5% od nekog broja jednako 21. Izračunati taj broj. Rješenje: Označimo sa x traženi broj, pa je 3,5% od x jednako 21. Transformišemo tekst u jednačinu 3,5% x = 21, odakle je

6005,3

21001005,3:21 ===x . Provjera: 21600

1005,3

= .

Zaključimo da pravilo za izračunavanje broja, ako je poznat njegov procenat, glasi: Ako je p% od nepoznatog broja x jednako b, tada x izračunavamo tako

što b podijelimo sa razlomkom 100p , što zapisujemo

100: pbx = .

Zadatak 2. Poslije promjene radnog mjesta radniku je plata povećana za 15%. Kolika mu je bila plata, ako je to povećanje iznosilo 120 €? Rješenje: Slično kao u prethodnom primjeru dobijamo jednačinu 𝑥𝑥 = 120 ∶ 15

100, čije rješenje je x = 800. Dakle, radniku je bila plata 800 €. Ovaj zadatak možemo riješiti i na drugi način. Naime, u primjerima i zadacima koje smo dosad riješili srećemo se sa četiri veličine: 100 (konstantan broj), p (procent), G (glavnica) i P (procentni iznos). Veza među njima je opisana proporcijom (osnovnom jednačinom procentnog računa):

G : P = 100 : p Polazeći od osnovne jednačine procentnog računa uočavamo da je G prvobitna plata radnika, P = 120 € i p = 15%. Prema uslovima zadatka jednačina glasi: G : 120 = 100 : 15, a njeno rješenje je G = 800. I na ovaj način smo potvrdili već dobijeno rješenje.

6 Dijagonala

3. Izračunavanje procentnog odnosa dva broja Pođimo od primjera. Primjer 4. Količnik brojeva 35 i 25 izraziti u stotim djelovima. Rješenje: Nađimo količnik datih brojeva 35

25 = 1,4. Dobijeni količnik pomnožimo sa 100, pa zaključujemo da je 140% od broja 25 jednako 35. Na drugi način, ako traženi procentni odnos označimo slovom x iz proporcije

25: 35 = 100 : x, dobijamo da je %140%1002535

==x .

Zaključujemo, količnik dva broja se može izraziti u stotim djelovima, što predstavlja njihov procentni odnos i definiše se pravilom: Procentni odnos dva broja 𝒂𝒂 i b izračunavamo tako što njihov količnik

𝒂𝒂𝒃𝒃

pomnožimo sa 100, što zapisujemo 𝒑𝒑 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏%.

Zadatak 3. Izračunati procenat kisjeline u rastvoru ako je u 22l vode dodato 3l kisjeline. Rješenje: Izračunajmo količnik 3

22+3 = 0,12, i nakon množenja sa 100 dobijamo da je p = 12%, što predstavlja procenat kisjeline u rastvoru. Rješenje se može dobiti polazeći od odgovarajuće proporcije ili neposredno primjenom prethodnog pravila. Riješimo na dva načina još jedan, nešto složeniji zadatak: Zadatak 4. Svježe grožđe sadrži 80% vode, a suvo 10% vode. Koliko kilograma svježeg grožđa treba da bi se dobilo 44 kg suvog grožđa? Rješenje: Označimo sa x količinu svježeg grožđa potrebnog za dobijanje 44 kg suvog grožđa. U svježem grožđu ima 20% suve materije i 80% vode, dok u 44 kg suvog grožđa ima 90% suve materije i 10% vode. Količina suve materije je ista u svježem i suvom grožđu, što možemo opisati jednačinom

1004490

10020

=x . Rješenje jednačine je x = 198 kg. Da bi se dobilo 44 kg suvog

potrebno je 198kg svježeg grožđa. Riješimo ovaj zadatak. formiranjem proporcije. U 44kg suvog grožđa ima 10% vode, a to označimo sa P. Iz proporcije 44 : P = 100 : 10, dobijamo procentni iznos P = 4,4kg, što je količina vode u suvom grožđu. Suve materije u suvom grožđu ima 44 – 4,4 = 39,6kg.

Dijagonala 7

3. Izračunavanje procentnog odnosa dva broja Pođimo od primjera. Primjer 4. Količnik brojeva 35 i 25 izraziti u stotim djelovima. Rješenje: Nađimo količnik datih brojeva 35

25 = 1,4. Dobijeni količnik pomnožimo sa 100, pa zaključujemo da je 140% od broja 25 jednako 35. Na drugi način, ako traženi procentni odnos označimo slovom x iz proporcije

25: 35 = 100 : x, dobijamo da je %140%1002535

==x .

Zaključujemo, količnik dva broja se može izraziti u stotim djelovima, što predstavlja njihov procentni odnos i definiše se pravilom: Procentni odnos dva broja 𝒂𝒂 i b izračunavamo tako što njihov količnik

𝒂𝒂𝒃𝒃

pomnožimo sa 100, što zapisujemo 𝒑𝒑 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏%.

Zadatak 3. Izračunati procenat kisjeline u rastvoru ako je u 22l vode dodato 3l kisjeline. Rješenje: Izračunajmo količnik 3

22+3 = 0,12, i nakon množenja sa 100 dobijamo da je p = 12%, što predstavlja procenat kisjeline u rastvoru. Rješenje se može dobiti polazeći od odgovarajuće proporcije ili neposredno primjenom prethodnog pravila. Riješimo na dva načina još jedan, nešto složeniji zadatak: Zadatak 4. Svježe grožđe sadrži 80% vode, a suvo 10% vode. Koliko kilograma svježeg grožđa treba da bi se dobilo 44 kg suvog grožđa? Rješenje: Označimo sa x količinu svježeg grožđa potrebnog za dobijanje 44 kg suvog grožđa. U svježem grožđu ima 20% suve materije i 80% vode, dok u 44 kg suvog grožđa ima 90% suve materije i 10% vode. Količina suve materije je ista u svježem i suvom grožđu, što možemo opisati jednačinom

1004490

10020

=x . Rješenje jednačine je x = 198 kg. Da bi se dobilo 44 kg suvog

potrebno je 198kg svježeg grožđa. Riješimo ovaj zadatak. formiranjem proporcije. U 44kg suvog grožđa ima 10% vode, a to označimo sa P. Iz proporcije 44 : P = 100 : 10, dobijamo procentni iznos P = 4,4kg, što je količina vode u suvom grožđu. Suve materije u suvom grožđu ima 44 – 4,4 = 39,6kg.

Ponovo koristimo proporciju, pri čemu ćemo sa G označiti količinu sirovog grožđa G : 39,6 = 100 : 20. Rješavanjem proporcije dobijamo da je potrebna količina svježeg grožđa G = 198 kg. 4. Promili Razumljivo je da savremeni čovjek ima praktičnu potrebu za povećanjem stepena tačnosti, kao i da umjesto veoma malih procenata uvede jedinice 10 puta manje, tj. hiljadite djelove koji se označavaju znakom ‰ i zovu se „promili”. Promil potiče od latinske riječi pro mille što znači "od hiljadu" ili „na hiljadu”. Znak ‰ označava 0,001. Sada čitalac analogno procentu lako može definisati pojam promila, odnosno promilnog računa.

Primjer 5. Razlomak (razmjeru) 1005 kratko zapisujemo 5%. Ako razlomak

proširimo sa 10, dobijamo razlomak 50

1000 koji kratko zapisujemo 50‰, a čitamo „50 promila”. Zadatak 5. Troškovi su opteretili robu 15‰, tako da roba košta 2922 €. Koliko iznose troškovi? Rješenje: Označimo sa x osnovnu cijenu robe, pa postavimo jednačinu x + 15‰x = 2922. Rješenje jednačine je x = 2880 €, a troškovi su 2922 – 2880 = 42 €.

Zadaci za samostalan rad:

1. U jednoj čaši je 20% mlijeka, a ostalo je voda, a u drugoj isto takvoj čaši je 80% mlijeka, a ostalo je voda. Koliko će procenata mlijeka biti u šerpi ako se u nju sipaju obije čaše? 2. Na putu dužine s auto poveća brzinu v za 25%. Za koliko će se procenata smanjiti vrijeme potrebno da se pređe put s? 3. Svježa pečurka sadrži 90% vode, a suva 12%. Koliko se suvih pečurki može dobiti od 10 kg svježih, a koliko svježih treba osušiti da bi se dobilo 10 kg suvih? 4. Cijena jednog proizvoda u januaru je smanjena za 20%, a u februaru je snižena cijena povećana za 20%. Da li je novodobijena cijena veća ili manja od prvobitne? 5. Prilikom prevoza 3400 kg mandarina 5‰ se oštetilo. Koliko kilograma mandarina se oštetilo? 6. Za koliko procenata se izmijeni površina pravougaonika, ako se jedna stranica umanji za 10%, a druga se uveća za 10%?

Ponovo koristimo proporciju, pri čemu ćemo sa G označiti količinu sirovog grožđa G : 39,6 = 100 : 20. Rješavanjem proporcije dobijamo da je potrebna količina svježeg grožđa G = 198 kg. 4. Promili Razumljivo je da savremeni čovjek ima praktičnu potrebu za povećanjem stepena tačnosti, kao i da umjesto veoma malih procenata uvede jedinice 10 puta manje, tj. hiljadite djelove koji se označavaju znakom ‰ i zovu se „promili”. Promil potiče od latinske riječi pro mille što znači "od hiljadu" ili „na hiljadu”. Znak ‰ označava 0,001. Sada čitalac analogno procentu lako može definisati pojam promila, odnosno promilnog računa.

Primjer 5. Razlomak (razmjeru) 1005 kratko zapisujemo 5%. Ako razlomak

proširimo sa 10, dobijamo razlomak 50

1000 koji kratko zapisujemo 50‰, a čitamo „50 promila”. Zadatak 5. Troškovi su opteretili robu 15‰, tako da roba košta 2922 €. Koliko iznose troškovi? Rješenje: Označimo sa x osnovnu cijenu robe, pa postavimo jednačinu x + 15‰x = 2922. Rješenje jednačine je x = 2880 €, a troškovi su 2922 – 2880 = 42 €.

Zadaci za samostalan rad:

1. U jednoj čaši je 20% mlijeka, a ostalo je voda, a u drugoj isto takvoj čaši je 80% mlijeka, a ostalo je voda. Koliko će procenata mlijeka biti u šerpi ako se u nju sipaju obije čaše? 2. Na putu dužine s auto poveća brzinu v za 25%. Za koliko će se procenata smanjiti vrijeme potrebno da se pređe put s? 3. Svježa pečurka sadrži 90% vode, a suva 12%. Koliko se suvih pečurki može dobiti od 10 kg svježih, a koliko svježih treba osušiti da bi se dobilo 10 kg suvih? 4. Cijena jednog proizvoda u januaru je smanjena za 20%, a u februaru je snižena cijena povećana za 20%. Da li je novodobijena cijena veća ili manja od prvobitne? 5. Prilikom prevoza 3400 kg mandarina 5‰ se oštetilo. Koliko kilograma mandarina se oštetilo? 6. Za koliko procenata se izmijeni površina pravougaonika, ako se jedna stranica umanji za 10%, a druga se uveća za 10%?

8

Dr Goran Šuković Logički operatori, logički veznici i naredba if

Tip bool – može da ima vrijednosti true (tačno, u C++ je to broj 1) i false (netačno, u C++ je to broj 0). Najčešće se koristi za upoređivanje dvije vrijednosti, primjenom sljedećih operatora:

Matematički Operator u C++

Značenje Primjer

< < Manje od a < b > > Veće od a > b ≤ <= Manje ili jednako a <= b ≥ >= Veće ili jednako a >= b = == Jednako a == b ≠ != Nije jednako (različito) a! = b

Logički veznici: &&, || i !. Ako su p i q promjenljive (ili izrazi) tipa bool, tada važi sljedeće:

p q p&&q (p i q) p||q (p ili q) !p (nije p) false false false false True false true false true True true false false true False true true true true False

int a, b; a = 5; b = 8; bool f ; f = a<b; cout << f << endl; // stampa se 1 tj. true a = 15; f = a<b; cout << f << endl; // stampa se 0 tj. False

Primjer: Da li broj x leži između a i b tj. da li je a < x < b (ili, da li x pripada intervalu (a,b))? Primjer: Da li broj x ne leži između a i b (ili da li x ne pripada intervalu (a,b))?

Primjer: Da li postoji trougao čije su dužine stranica a, b i c?

Primjer: Da li je godina prestupna?

int x = 12, a = 5, b = 25; bool p; p = (a<=x) && (x<=b); // p ce biti true x = 38; p = (a<=x) && (x<=b); // p ce biti false

int x = 12, a = 5, b = 25; bool p; p = (x<a) || (x>b); // p ce biti false x = 100; p = (x<a) || (x>b); // p ce biti true

int a = 1, b = 2, c = 3; bool postoji, b1, b2, b3; b1 = a + b > c; b2 = b + c > a; b3 = c + a > b; postoji = b1 && b2 && b3; // postoji ce biti false a = 2; // bez upotrebe promjenljivih b1, b2 i b3; postoji = (a+b>c)&&(a+c>b)&&(b+c>a);// postoji ce biti true

int g = 1966; boolean prestupna; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti true g = 2000; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti true g = 1900; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti false g = 2003; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti false








Dijagonala 9

Dr Goran Šuković Logički operatori, logički veznici i naredba if

Tip bool – može da ima vrijednosti true (tačno, u C++ je to broj 1) i false (netačno, u C++ je to broj 0). Najčešće se koristi za upoređivanje dvije vrijednosti, primjenom sljedećih operatora:

Matematički Operator u C++

Značenje Primjer

< < Manje od a < b > > Veće od a > b ≤ <= Manje ili jednako a <= b ≥ >= Veće ili jednako a >= b = == Jednako a == b ≠ != Nije jednako (različito) a! = b

Logički veznici: &&, || i !. Ako su p i q promjenljive (ili izrazi) tipa bool, tada važi sljedeće:

p q p&&q (p i q) p||q (p ili q) !p (nije p) false false false false True false true false true True true false false true False true true true true False

int a, b; a = 5; b = 8; bool f ; f = a<b; cout << f << endl; // stampa se 1 tj. true a = 15; f = a<b; cout << f << endl; // stampa se 0 tj. False




































10 Dijagonala

Opšti oblik razgranate strukture (if sa else)

if (uslov) { Naredba 1 ili blok naredbi1 } else

{ Naredba 2 ili blok naredbi2 }

Učitati broj x i štampati vrijednost 𝑧𝑧 = {1, 𝑥𝑥 ≥ 00, 𝑥𝑥 < 0

double x, z; cin >> x; if (x>=0) { z = 1; } else

{ z = 0; } cout << x << " " << z;

Dijagonala 11

Učitati cio broj n i štampati njegovu recipročnu vrijednost. Ako je učitan broj 0, štampati „1/0“.

int n; cin >> n; if (n==0) { cout << "1/0"; } else

{ cout << 1.0/n; }

Učitati x1 i x2. Ako je x1 < x2 štampati x1 – x2, inače štampati x1 + x2.

double x1, x2, y; cin >> x1 >> x2; if (x1 < x2) { y = x1–x2; } else

{ y = x1 + x2; } cout<< x1 << " " << x2 << " " << y;

Opšti oblik razgranate strukture (if bez else)

if (uslov) { Naredba 1 ili blok naredbi1 }



{ y = x1 + x2; } cout<< x1 << " " << x2 << " " << y;





{ y = x1 + x2; } cout<< x1 << " " << x2 << " " << y;



12 Dijagonala



{ y = x1 + x2; } cout<< x1 << " " << x2 << " " << y;



Učitati broj a. Ako je a pozitivan, štampati poruku “Pozitivan”.

double a; cin >> a; if (a > 0) { cout << "Pozitivan" ; }

Dijagonala 13



{ y = x1 + x2; } cout<< x1 << " " << x2 << " " << y;



Opšti oblik višestruko razgranate strukture

if (Uslov 1) { Blok 1 } else if (Uslov 2)

{ Blok 2 } … else if (Uslov n) { Blok n } else { Blok 0 }

14 Dijagonala

Učitati broj a i štampati vrijednost izraza 𝑧𝑧 = {2, 𝑎𝑎 ≥ 7

1,4 < 𝑎𝑎 < 70, 𝑎𝑎 ≤ 4

double a, z; cin >> a; if (a >= 7) { z = 2; } else if (4 < a)

{ z = 1; }

else { z = 0; } cout<< a << " " << z;

Zadaci za vježbu (naredba if) 1. Napisati program koji učitava dva cijela broja m i n, štampa poruku „m je

djeljiv sa n” ili „m nije djeljiv sa n“. Npr. „15 je djeljiv sa 3“ ili „15 nije djeljiv sa 4“.

2. Napisati program koji učitava brojeve x, a i b a zatim provjerava da li x pripada intervalu [a,b] i štampa odgovarajuću poruku („Pripada“ ili „Ne pripada“).

3. Napisati program koji učitava trocifren prirodan broj i koji provjerava da li je zbir cifara datog trocifrenog broja dvocifren broj.

4. Napisati program koji učitava tri cijela broja x, y i z a zatim štampa najveći od njih.

5. Napisati program koji učitava četvorocifreni prirodan broj abcd . Štampati poruku „Super“ ako važi jednakost |a-c|=|b-d| .


1,4 < 𝑎𝑎 < 70, 𝑎𝑎 ≤ 4


{ z = 1; }

else { z = 0; } cout<< a << " " << z;







Zadaci za vježbu

VI razred

I nivo Pomoću šeme odrediti 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(36,48) i 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(12,15). Odrediti 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(540,720) i 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁(90,180,540).

3. Dat je skup 𝐴𝐴 = {121, 325, 130300, 145233, 150050, 365328, 270024}. Koji od ovih brojeva su djeljivi sa: a) 3; b) 5; c) 10; d) 4?

4. Rastaviti na proste činioce broj 3960. Da li postoji prirodan broj čiji je proizvod cifara 3960?

5. Da li je broj 128 složen broj? Dokazati. 6. Odrediti namanji broj kojim se mogu podijeliti brojevi 540 i 680. 7. Tri štapa dužina 48 cm, 60 cm i 90 cm redom treba isjeći na komade jednakih

dužina tako da budu maksimalne moguće dužine. Koliko takvih komada možeš dobiti?

8. Koliko najmanje klikera ima dječak tako da u svaki džep može da stavi 15, 18 ili 20 klikera?

9. Kojim najvećim brojem treba podijeliti brojeve 49 i 61 da bi ostatak pri oba dijeljenja bio 1?

10. Umjesto slova upisati cifre tako da važi:

a) 4|𝑏𝑏4𝑎𝑎8; 𝑏𝑏) 25|8𝑎𝑎𝑏𝑏5.

II nivo 1. Ako brojeve 263 i 245 podijelimo istim brojem dobićemo redom ostatke 8 i 7.

Koliki je djelilac? 2. Odrediti najveći prirodan broj čiji je proizvod cifara 8400, a u čijem zapisu se ne

pojavljuje cifra 1. 3. U broju 𝑋𝑋 = 𝑎𝑎1992𝑏𝑏 odrediti cifre 𝑎𝑎 i 𝑏𝑏 tako da broj 𝑋𝑋 bude djeljiv sa 45. 4. Broju 2009 dopisati i sa lijeve i sa desne strane jednu istu cifru tako da dobijeni

šestocifreni broj bude djeljiv sa 12. 5. Koliko se dvocifrenih brojeva može napisati pomoću cifarama 2, 3 i 6? Koji od

tih brojeva su djeljivi sa 3, a koji sa 4? 6. Pet učenika za pet minuta pojedu pet sendviča. Za koje će vrijeme 15 učenika

pojesti 15 takvih sendviča?

Zadaci za vježbu

VI razred
















Dijagonala 15


1,4 < 𝑎𝑎 < 70, 𝑎𝑎 ≤ 4


{ z = 1; }

else { z = 0; } cout<< a << " " << z;








1,4 < 𝑎𝑎 < 70, 𝑎𝑎 ≤ 4


{ z = 1; }

else { z = 0; } cout<< a << " " << z;







Zadaci za vježbu

VI razred
















Zadaci za vježbu

VI razred
















ZaDaCi Za vježbUvi razred

I nivo

II nivo

16 Dijagonala

7. Od 24 ruže, 60 karanfila i 72 gerbera napravljen je najveći mogući broj jednakih buketa. Koliko će biti napravljeno takvih buketa i koliko će buket koštati ako je cijena ruže 3 €, karanfila 2 € i gerbera 1 €?

8. Proizvod tri uzastopna broja je 120. Koji su to brojevi? 9. Dokazati da je broj 222...222 (1989 dvojki) djeljiv sa 18. 10. Odrediti prirodan broj n takav da važi jednakost: 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 + 1) ∙ (2𝑛𝑛 + 1) = 180.

Nikola Radojičić, JU OŠ „Milija Nikčević”, Nikšić

VII razred

I nivo

1) Na koordinatnoj osi prikazati tačke: A(–3); B(4); C(–1); D(0); E(5).

2) Cijele brojeve poređati od najmanjeg do najvećeg: a) –7, 5, 0, –24, –8, 25, –1, –6, 6; b) 14, 9, –12, –36 , 2, –22, 13, –9.

3) Izračunati: a) –3 + 5; b) 5 – 9; c) 2 + 12; d) –11 + 6; e) (–9) + (–7); f) (–19) – (–37); g) (+6) + (+7); h) (–2) – (+7).

4) Osloboditi se zagrada a zatim iračunati vrijednost izraza: a) (–7) + (–8) – (–5) + (–3) – (+9) + (–10); b) (–70) – (–18) – (–25) + (–13) – (+21) + (–11); c) –7 + (–8 – 12) – (–15 + 2) + (–23) – (+1 – 3) + (–17); d) (–23 + 2) – (–18 + 21) + (–3) – (+21 –13) + (6 – 7).

5) Od razlike brojeva 9 i –12 oduzeti zbir brojeva –12 i –6.

6) Zbiru brojeva 12 i –32 dodati njihovu razliku.

7) Izračunati: a) –3 · (+7); b) 5 · (–9); c) –8 · 12; d) –9 · (+6 ); e) (–9) · (–7); f) (–18) : (–3) ; g) (+36) : (–9); h) (–20) : (+4); i) 12 : (–4); j) –50 : 10.

8) Izračunati vrijednost izraza: a) (–7) · (–8) – (–15) : (–3); b) 5 – (–12 : 3) + (–8) : (–5 – 3); c) 25 : (–5) + (–27) : (–9) + (–8·2) – (–35) + (–21); d) –2 · (–8 – 2) – (–24 + 2) + (–3) · (1 – 3) + (–5) · (–9).




VII razred

I nivo









vii razred

I nivo

Dijagonala 17




VII razred

I nivo









9) Riješiti jednačine: a) –2x = 14; b) –12x = –24; c) x : (–9) = 3; d) 3x – 6 = 18; e) 6 – 2x = 12; f) x : (–4) –7 = –3.

10) Koji broj treba dodati broju –17 da bi se dobio proizvod brojeva –5 i 8?

11) Od kojeg broja treba oduzeti razliku brojeva 12 i –4 da bi se dobio količnik brojeva – 30 i 6?

12) Riješiti nejednačine: a) 3x – 10 ≥ –28; b) 25 – 4x < 13; c) x : (–7) + 19 > 8; d) x : (–9 + 4) + 4 = 3 · (–5).

II nivo

1) Izračunati vrijednost izraza: a) –12 + (–8 – 22 –5) – (–15 + 2) + (5 – 3) – (–12 – 13) + (–4 + 7); b) – (–6 – 5 + (–8)) – (–1 + (–2 – 9) – (5 – 3)) – ((–2 – 3) + (–14 + 8)).

2) Izračunati vrijednost izraza: a) – (16 : (–8)) – (–12) : (5 – 3) – 2 · (–5 – 5) + (–7); b) (–6: (–3)) – (–3) · (–5) · (–4) – 7 · (–2) – (–5) : (+5); c) –4 · (–3 – 5) – (–8 + 9) · (–5 – 2) + (–4) · (–7) · (–4 + 8 +(–6)).

3) Riješiti jednačine: a) –12 – 3 – x – 6 = –8 + 7; b) 9 – (2 – x) = 1 – 3; c) 10 + (x – 4) – 17 = –32+9; d) 3 · (x – 3) = –23 – 1; e) 23 – (2x + 7) = 12; f) 17 – 5 · (x : (–4) – 3) = –3; g) (12 – x : (–4)) · (–3) = 15.

4) Riješiti nejednačine: a) 13 – 2 · (2x – 16) < 37; b) (2x – 8) · (3x + 12) < 0; c) (6 – 3x) · (5x – 20) ≥ 0;

5) Izračunati vrijednost izraza: 16 – 3x – 2y ako je: 3 – 2x = 9 i 2 – (10 – y) = 18 : (–9).

6) Izračunati 5x – 4y ako je: x = 25: (–5) – 2·│4–6│–│–6│ i y = 4 – 3 · (–5) – 2·│–7│+│2–3 · (–4)│.

7) Ako se od broja 24 oduzme trostruka vrijednost nekog broja uvećana za 4 dobija se 5. Koji je to broj?

8) Ako se dvostrukom zbiru brojeva –7 i 10 doda dvostruka vrijednost nekog broja dobija se količnik brojeva 36 i –9. Koji je to broj?




VII razred

I nivo









II nivo

9) Riješiti jednačine: a) –2x = 14; b) –12x = –24; c) x : (–9) = 3; d) 3x – 6 = 18; e) 6 – 2x = 12; f) x : (–4) –7 = –3.

10) Koji broj treba dodati broju –17 da bi se dobio proizvod brojeva –5 i 8?

11) Od kojeg broja treba oduzeti razliku brojeva 12 i –4 da bi se dobio količnik brojeva – 30 i 6?

12) Riješiti nejednačine: a) 3x – 10 ≥ –28; b) 25 – 4x < 13; c) x : (–7) + 19 > 8; d) x : (–9 + 4) + 4 = 3 · (–5).

II nivo

1) Izračunati vrijednost izraza: a) –12 + (–8 – 22 –5) – (–15 + 2) + (5 – 3) – (–12 – 13) + (–4 + 7); b) – (–6 – 5 + (–8)) – (–1 + (–2 – 9) – (5 – 3)) – ((–2 – 3) + (–14 + 8)).

2) Izračunati vrijednost izraza: a) – (16 : (–8)) – (–12) : (5 – 3) – 2 · (–5 – 5) + (–7); b) (–6: (–3)) – (–3) · (–5) · (–4) – 7 · (–2) – (–5) : (+5); c) –4 · (–3 – 5) – (–8 + 9) · (–5 – 2) + (–4) · (–7) · (–4 + 8 +(–6)).

3) Riješiti jednačine: a) –12 – 3 – x – 6 = –8 + 7; b) 9 – (2 – x) = 1 – 3; c) 10 + (x – 4) – 17 = –32+9; d) 3 · (x – 3) = –23 – 1; e) 23 – (2x + 7) = 12; f) 17 – 5 · (x : (–4) – 3) = –3; g) (12 – x : (–4)) · (–3) = 15.

4) Riješiti nejednačine: a) 13 – 2 · (2x – 16) < 37; b) (2x – 8) · (3x + 12) < 0; c) (6 – 3x) · (5x – 20) ≥ 0;

5) Izračunati vrijednost izraza: 16 – 3x – 2y ako je: 3 – 2x = 9 i 2 – (10 – y) = 18 : (–9).

6) Izračunati 5x – 4y ako je: x = 25: (–5) – 2·│4–6│–│–6│ i y = 4 – 3 · (–5) – 2·│–7│+│2–3 · (–4)│.

7) Ako se od broja 24 oduzme trostruka vrijednost nekog broja uvećana za 4 dobija se 5. Koji je to broj?

8) Ako se dvostrukom zbiru brojeva –7 i 10 doda dvostruka vrijednost nekog broja dobija se količnik brojeva 36 i –9. Koji je to broj?

18 Dijagonala

9) Koji broj se dobija kada se četvorostrukoj vrijednosti razlike brojeva –25 i –5 doda njihov količnik?

10) Od količnika brojeva –120 i 15 oduzeti proizvod brojeva 4 i –6 umanjen za –8.

Mira Vidić i Dragoslav Spalević, JU OŠ „Milan Vukotić”, Golubovci

VIII razred I nivo

1. U jednoj kutiji je 36 kuglica od kojih su 24 crvene, a ostalo su plave.

Odrediti: a) razmjeru broja crvenih i broja plavih kuglica; b) razmjeru broja plavih i ukupnog broja kuglica; c) koji dio ukupnog broja kuglica čine crvene kuglice? d) za koliko ima manje plavih od crvenih kuglica?

2. Sledeće razmjere zapisati kao razmjere prirodnih brojeva: a) 1

8 : 512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2 3

5 ∶ 0,4; d) 2 34 ∶ 1 1

2 . 3. Darija je na karti urađenoj u razmjeri 1 : 400 000 izmjerila rastojanje

između dva grada 25,8 cm. Koliko je rastojanje između ta dva mjesta u prirodi?

4. Izračunati nepoznati član proporcije: 5 ∶ 𝑚𝑚 = 3 ∶ 2; b) 3

4 ∶ 58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (3

5 + 12) =

(3 12 − 1

4) ∶ 𝑥𝑥.

5. Marko, Nemanja i Uroš su zaradili 540 eura. Marko je radio 7 sati dne-vno, Uroš 6 sati, a Nemanja 5. Zaradu su podijelili proporcionalno svojim radnim satima.

a) Koliko novca je zaradio Uroš? b) Koliko puta je više zaradio Marko od Nemanje? c) Koliko novca manje od Uroša je zaradio Nemanja?

6. Od 8 kg jabuka dobije se 10 litara soka. Koliko je jabuka potrebno za 35 litara soka?

7. Trgovac je nabavio 37 kg robe za 740 eura. Koliko kilograma te robe se može nabaviti za 1100 eura?

8. Ako jedan posao 18 radnika završi za 35 dana, koliko dana će na istom poslu raditi 45 radnika?

9. Natalija i Isidora su pošle na izlet biciklima. Vozeći prosječnom brzinom od 20 km/h došli su do teta Nele za 1 sat i 20 min. Kojom bi brzinom trebale voziti da bi isti put prešle za 50 min?

10. Odrediti: a) 25% od broja 128; b) 3,4% broja 58; c) 5% od broja 7 3

5 ; d) 0,02 % od broja 24. 11. Crna čokolada sadrži 80% kakaoa. Koliko grama kakaoa ima u pakova-

nju od 90 gr crne čokolade? 12. Na prijemnom ispitu Nikola je od 17 zadataka tačno uradio 15. Koliki je

procenat tačno urađenih zadataka? 13. Prošle školske godine u prvi razred gimnazije upisano je 180 učenika.

Ove godine upisano je 20% više. Koliko je sada učenika upisanih u prvi razred?

14. Matija je osvojio 660 bodova, što je 75% bodova potrebnih za nagradu. Koliko je bodova potrebno za nagradu?

II nivo

1. Saturnu i Jupiteru je potrebno, redom, 9h 56 min i 10h 45 min da se se okrenu oko svoje ose. Odrediti razmjeru vremena potrebnog Saturnu i vremena potrebnog Jupiteru da se okrenu oko svoje ose. Razmjeru zapisati kao nesvodljivu.

2. U školi je razmjera broja velikih i broja malih prostorija 3:4. Ako je broj malih prostorija u ovoj školi 20, odrediti broj velikih prostorija.

3. Razmjera broja glasova za dva kandidata na predsjedničkim izborima je bila 5:7. Ako je uspješniji kandidat osvojio 20734 glasa koliko je glasova osvojio njegov protivnik?

4. Dužina i širina poda jedne sobe su 5 m i 3 m, redom. Keramičar je postavio 40 pločica, svaka površine od po 116𝑚𝑚

2, da bi djelimično popločao pod. Odrediti razmjeru popločanog i nepopločanog dijela poda.

5. Maja je preračunala da rastojanju od 40 km između mjesta A i B odgovara rastojanje od 2 cm na jednoj karti. a) U kojoj razmjeri je urađena karta? b) Maja želi da putuje iz mjesta A, u kom živi, do mjesta C. Kolika je uda-

ljenost između ovih mjesta ako su ona na ovoj karti udaljena 72 cm? 6. Jedan sportski klub može da kupi 12 dresova po cijeni od 30 eura po

komadu. Koliko će dresova moći da kupi za istu svotu novca ako prodavac smani cijenu za 6 eura?

7. Ako 6 radnika zaradi 1080 eura za 20 dana, koliko bi novca zaradilo 20 radnika za 8 dana?




VIII razred I nivo




8 : 512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2 3

5 ∶ 0,4; d) 2 34 ∶ 1 1




4 ∶ 58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (3

5 + 12) =

(3 12 − 1

4) ∶ 𝑥𝑥.













II nivo










viii razred

I nivo

Dijagonala 19




VIII razred I nivo




8 : 512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2 3

5 ∶ 0,4; d) 2 34 ∶ 1 1




4 ∶ 58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (3

5 + 12) =

(3 12 − 1

4) ∶ 𝑥𝑥.













II nivo













VIII razred I nivo




8 : 512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2 3

5 ∶ 0,4; d) 2 34 ∶ 1 1




4 ∶ 58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (3

5 + 12) =

(3 12 − 1

4) ∶ 𝑥𝑥.













II nivo










II nivo

20 Dijagonala

8. Petnaest robota može da napravi voz za 6 dana radeći dnevno po 5 sati. Za koliko dana bi 25 robota radeći dnevno po 6 sati završilo isti posao?

9. Fabrika sapuna proizvede 600 proizvoda za 9 dana uz pomoć 20 mašina. Koliko proizvoda se može napraviti za 3 dana uz pomoć 18 mašina?

10. U jednom odeljenju 30% učenika završilo je godinu sa odličnim uspjehom, 50% sa vrlo dobrim, a 6 učenika imalo je dobar uspjeh. Dovoljnih i nedovoljnih učenika nije bilo. a) Koliko je učenika u ovom odjeljenju? b) Koliko je učenika sa odličnim uspjehom?

11. Na sajmu knjiga Janko je knjigu s popustom od 15% platio 67,6 eura. Koliko je knjiga koštala prije pojeftinjenja?

12. Cijena patika je sa 120 eura snižena 10%. Za koliko procenata bi trebalo povećati novu cijenu da bi se dobila stara cijena?

13. Kako će se promijeniti površina pravougaonika ako njegovu duži-nu povećamo za 5% a širinu smanjimo za 2%?

14. Matija je odgovarao na pitanja iz matematike i istorije. On je tačno odgovorio na 72% od ukupno 200 pitanja. Kako god, Matija je tačno odgovorio na 53,3% matematičkih pitanja. Ako je 45% ukupnog broja pitanja bilo iz matematike, koji procenat pitanja iz istorije je Matija tačno odgovorio?

Milica Raičević, JU OŠ „Mirko Srzentić”, Petrovac

IX razred I nivo

1. Odrediti broj dijagonala i zbir unutrašnjih uglova mnogougla kod koga se

iz jednog tjemena može povući 11 dijagonala. 2. Odrediti broj dijagonala mnogougla čiji je zbir unutrašnjih uglova 2700º. 3. Da li uglovi 210º, 187º, 93º, 117º, 88º, 123º i 82º mogu biti uglovi sedmo-

ugla? 4. Odrediti obim pravilnog mnogougla čija dužina stranice iznosi 5 cm, a zbir

unutrašnjih uglova je 2340º. 5. Konstruisati pravilni šestougao čija je stranica dužine 4 cm. 6. Data je kocka ABCDA1B1C1D1.

a. Imenovati ravni određene tjemenima te kocke koje sadrže pravu p(C1,D1).

b. Imenovati ravni određene tjemenima te kocke koje sijeku ravan π(A,A1,D).

c. Odrediti međusobni položaj ravni π1(A,D,A1) i π2(B1, C1, D1).

7. Data je kocka ABCDA1B1C1D1. Imenovati: a. prave određene tjemenima te kocke koje su mimoilazne sa pravom

p(A1,B1); b. prave određene tjemenima te kocke koje sijeku pravu p(A,A1); c. ravni određene tjemenima te kocke normalne na pravu p(B,B1).

8. Neka je dat trougao ABC i na stranici BC tačka D tako da prava p sadrži tačku D. Nacrtati slike na kojima su prikazani svi mogući položaji prave p i q(A,C). Ispod svake slike dati objašnjenje.

9. Tačke A i B nalaze se sa iste strane ravni α. Odrediti dužinu duži AB, ako je rastojanje tačaka A i B do ravni α jednako redom 4cm i 9cm, a dužina njene ortogonalne projekcije iznosi 12 cm.

10. Kosa duž AB nagnuta je prema ravni α pod uglom od 45º i tačka A priprada ravni. Odrediti dužinu duži AB, ako njena ortogonalna projekcija iznosi 6 cm.

II nivo

1. Pokazati da nije tačno tvrđenje: ako je prava p mimoilazna sa pravom q, a prava q mimoilazna sa pravom r, tada su prave p i r mimoilazne.

2. Prava p je normalna na dva prečnika kružnice k(O,r) i prolazi kroz centar O. Dokazati da je prava p normalna na ravan te kružnice.

3. Tačka S ne pripada ravni kvadrata ABCD i jednako je udaljena od njegovih tjemena. Odrediti ortogonalnu projekciju tačke S na ravan tog kvadrata.

4. Tjeme C trougla ABC je normalna projekcija tačke D na ravan tog trougla. Odrediti rastojanje tačaka C i D do stranice AB, ako je AB = 44 cm, BC = 37 cm, CA = 15 cm i CD = 16 cm.

5. Kosa duž AB nagnuta je prema ravni α pod uglom od 60º i tačka A priprada ravni. Odrediti dužinu duži AB, ako je rastojanje tačke B do date ravni 6 cm.

6. Tačke A i B se nalaze sa različitih strana ravni α, a ugao između duži AB i njene ortogonalne projekcije je 30º. Odrediti dužinu duži AB, ako njena ortogonalna projekcija iznosi 5√5 cm.

7. Postoji li mnogougao koji ima 54 dijagonale? 8. Odrediti zbir unutrašnjih uglova mnogougla čiji je broj dijagonala 230. 9. Izračunati veličinu spoljašnjeg ugla pravilnog mnogougla ako je razlika

broja dijagonala i broja stranica 25. 10. Konstruisati pravilni osmougao čija je stranica dužine 3 cm.

Tanja Savić i Nikola Lješnjak, JU OŠ „Marko Miljanov“, Podgorica









IX razred I nivo













II nivo










iX razred

I nivo

Dijagonala 21









IX razred I nivo













II nivo


















IX razred I nivo













II nivo










II nivo

22 Dijagonala

Odabrani zadaci

VI razred

1) Pravougaonik je podijeljen na 12 jednakih kvadrata.

Izračunati obim pravougaonika ako mu je površina 48 𝑐𝑐𝑐𝑐2.

2) Naći najmanji četvorocifren broj djeljiv sa 3, 4 i 25 istovremeno? 3) Deset tačaka rasporediti na 5 pravih, tako da svakoj pravoj pripadaju po 4

tačke. Nacrtati sliku. 4) Ako se broj n podijeli sa 15 dobija se ostatak 9, a ako se broj k podijeli sa

15 ostatak je 2. Koliki je ostatak kada se razlika (n – k) podijeli brojem 15?

5) Odrediti elemente skupa X ako: A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5}, C = {2,4,5,6}, D = {1,5,6,7}, X⊂ 𝐴𝐴, X∩(B∪ 𝐷𝐷) ≠ ∅ i (A∩ 𝐶𝐶) ∖ 𝑋𝑋 = ∅.

VII razred

1) Šta je veće: |A| ili |B|, ako A označava rješenje jednačine |x – 2| + 3 = 7, a B vrijednost izraza (3 – 5) : 2 + 2 – (– ( –3))?

2) Broj –180 prikazati kao proizvod četiri različita cijela broja. Na koliko se načina to može uraditi?

3) Zbir uglova i ß (≥ ß) u trouglu ABC je 105°, a njihova razlika 51°. Odrediti uglove trougla ABC.

4) Neka su a, b, c proizvoljni pozitivni brojevi. Pokazati da postoji trougao za čije stranice p, q i r važi: p = a + b, q = b + c i r = a + c.

ODabRaNi ZaDaCi

vi razred

vii razred

Dijagonala 23

VIII razred

1) Cijena cipela je prvo povećana za 10%, a potom umanjena za 10%. Koliko su koštale cipele ako je razlika između te dvije cijene 4,8 eura?

2) Grupa od 9 radnika treba da završi posao za 46 dana. Nakon 6 dana rada, grupi se pridruži još 6 radnika. Koliko dana prije roka je završen posao?

3) Farmerice koštaju 48 eura. Poslije sniženja broj kupaca se povećao za 50%, a prihod uvećao za 25%. Kolika je nova cijena farmerki?

4) Dokazati da ako je kvadrat nekog prirodnog broja n paran broj, tada je i n paran broj.

IX razred

1) Izračunati površinu pravilnog osmougla ako je stranica dužine 4 cm, a srednja dijagonala 8 cm.

2) Kod kojeg je mnogougla broj dijagonala 9 puta veći od broja stranica? 3) Dva jednakokraka trougla ABC i ABD sa zajedničkom osnovicom AB

dužine 16 cm pripadaju stranama diedra čiji je ugao 60°. Odrediti rasto-janje između tačaka C i D ako je AC = 10 cm, a AD = 4√13 cm.

4) Data je funkcija f(x) = x10 – 12x9 + 12x8 – 12x7 + ... –12x3 + 12x2 – 12x + 2019. Odrediti f(11).

Konkursni zadaci iz prošlog broja VI razred

1) Goca i Nina imaju jednak broj jabuka. Goca svoje jabuke prodaje po cijeni 3 jabuke za 1 €, a Nina 2 jabuke za 1 €. Ako sastave jabuke i prodaju ih po cijeni 5 jabuka za 2 €, onda će zaraditi 4 € manje nego da jabuke prodaju pojedinačno. Koliko su jabuka imale Goca i Nina, ako i pri pojedinačnoj i pri zajedničkoj prodaji ne ostane nijedna jabuka?

2) Uporediti razlomke 399799 i

39997999 .

VII razred

1) Koliki je zbir prvih 450 decimala u decimalnom zapisu razlomka 70011

?

2) Zadat je jednakokraki trougao ABC (AB=AC ), tako da je 50BAC . Na stranici BC odabrana je tačka M tako da je 50=BAM , a na stranici AC tačka N tako da je AM=AN. Kolika je veličina ugla CMN ?

vii razred

viii razred

iX razred

KONKURSNi ZaDaCi iZ pROšlOG bROjavi razred

VIII razred





IX razred








39997999 .

VII razred


?


VIII razred





IX razred








39997999 .

VII razred


?


VIII razred





IX razred








39997999 .

VII razred


?


24 Dijagonala

VIII razred 1) Koliko uzastopnih prirodnih brojeva treba sabrati da bi se dobio broj 2019?

Odrediti sva moguća rješenja. 2) Neka je dat jednakostranični trougao ABC i proizvoljna tačka M koja pripada

tom trouglu. Dokazati da je zbir rastojanja tačke M do stranica trougla ABC jednak visini tog trougla.

IX razred 1) Mnogougao sa m stranica ima 1999 dijagonala više od mnogougla sa n stranica.

Odrediti m i n. 2) Tjemena A, B i C jednakostraničnog ΔABC, čija je stranica 4 cm, udaljena su od

ravni redom 1 cm, 2 cm i 3 cm. Ako su A, B i C normalne projekcije tačaka A, B i C na ravan , odrediti površinu trougla ABC.

Rješenja VI razred 1. Broj jabuka koje prodaje Goca djeljiv je sa 3, ali toliko jabuka ima i Nina,

pa taj broj mora biti djeljiv i sa 2. Taj broj mora biti djeljiv i sa 5, zbog uslova prodaje kad sastave obje količine. Kako je NZS za 2,3 i 5 broj 30, zaključujemo da su Goca i Nina prodavale po k30 jabuka. Pri prodaji 3 jabuke za 1 €, Goca bi zaradila k10 eura, dok bi Nina zaradila k15 eura. Ukupna zarada bila bi k25 eura. Ako bi sastavile obje gomile, imale bi k60 jabuka i pri prodaji 5 jabuka za 2 € zaradile bi ( ) kk 2425:60 = eura.

Onda je 42425 += kk , pa je .4=k Prema tome Goca i Nina su imale po 12043030 ==k jabuka.

2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .

Rješenja VII razred

RješeNja KONKURSNih ZaDataKaiZ pROšlOG bROja










2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .


viii razred

iX razred

vi razred

Dijagonala 25










2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .


1. Decimalni zapis razlomka 70011

je 57142801,0...14280157142857,0 = i

sastoji se od pretperioda 01 i šestоcifrenog perioda 571428 koji se ponavlja. Zbir prve dvije decimale je 1. Treba izračunati zbir preostalih 448. Budući da je 448 = 74 · 6 + 4, jer se grupa od 6 cifara pojavljuje 74 puta, a potom još prve četiri cifre perioda. Zbir cifara u periodu je 27, pa je traženi zbir 1 + 74 · 27 + 5 + 7 + 1 + 4 = 2016.

2.

CMA je spoljašnji ugao trougla AMB pa važi: 50+=+ yx (1). ANM je spoljašnji ugao trougla MCN pa važi: += xy (2).

Iz (1) i (2) imamo: 50+=++ xx , odnosno 2 x = 50°, odnosno x = 25°. Veličina ugla CMN je 25 .

Rješenja VIII razred

1. Neka su dati uzastopni brojevi x, x+1, x+2, … , x+n čiji zbir je 2019.

Dobijamo zbir: 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 2) + ⋯+ (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) = 2019, pa kada se oslobodimo zagrada i sredimo izraz, dobijamo (𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + (1 + 2 +⋯+ 𝑛𝑛) =2019. Kako je suma prvih n prirodnih brojeva jednaka je 1 + 2 +⋯+𝑛𝑛 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)

2 , dobija se sledeća jednačina:

(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)2 = 2019

(𝑛𝑛 + 1) [𝑥𝑥 + 𝑛𝑛2] = 2019, odnosno (𝑛𝑛 + 1)(2𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) = 4038.

Ako broj 4038 rastavimo na proste činioce, dobija se: (𝑛𝑛 + 1)(2𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) =2 ∙ 3 ∙ 673.










2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .



je 57142801,0...14280157142857,0 = i


2.







(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)2 = 2019




je 57142801,0...14280157142857,0 = i


2.







(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)2 = 2019




je 57142801,0...14280157142857,0 = i


2.







(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)2 = 2019



viii razred

vii razred

26 Dijagonala

Uviđamo da brojevi n+1 i 2x+n moraju biti djeljivi sa 2 ili sa 3 ili sa 673 ili sa nekim od proizvoda prethodnih brojeva. Imamo sledeće mogućnosti: 1. Za n + 1 = 2 dobijamo: 2 ∙ (2𝑥𝑥 + 1) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = 1009 pa je 1009 + 1010 = 2019 jedno rješenje. 2. Za n+1= 3 dobijamo : 3 ∙ (2𝑥𝑥 + 2) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = 672 pa je 672 + 673 + 674 = 2019 drugo rješenje. 3. Za n+1= 6 dobijamo: 6 ∙ (2𝑥𝑥 + 5) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = 334 pa je 334 + 335 + 336 + 337 + 338 + 339 = 2019 treće rješenje. 4. Za n + 1 = 673 dobijamo:

673 ∙ (2𝑥𝑥 + 672) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = −333, pa ovo nije traženo rješenje jer ne pripada skupu prirodnih brojeva.

2. A

z x M y

B C Treba dokazati da je 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = ℎ = 𝑎𝑎√3

2 . Obilježimo sa 𝑃𝑃1 površinu ΔABM , 𝑃𝑃2 površinu ΔBCM, i sa 𝑃𝑃3 površinu ΔACM. Tada je : 𝑃𝑃1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎

2 , 𝑃𝑃2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 i 𝑃𝑃3 = 𝑎𝑎𝑎𝑎

2 . Kako je 𝑃𝑃𝛥𝛥 = 𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃3 => 𝑎𝑎2√3

4 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎

2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 => 𝑎𝑎2√3

4 = 𝑎𝑎2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) => 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 =

𝑎𝑎√32 = ℎ što je i trebalo dokazati.

Dijagonala 27

Uviđamo da brojevi n+1 i 2x+n moraju biti djeljivi sa 2 ili sa 3 ili sa 673 ili sa nekim od proizvoda prethodnih brojeva. Imamo sledeće mogućnosti: 1. Za n + 1 = 2 dobijamo: 2 ∙ (2𝑥𝑥 + 1) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = 1009 pa je 1009 + 1010 = 2019 jedno rješenje. 2. Za n+1= 3 dobijamo : 3 ∙ (2𝑥𝑥 + 2) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = 672 pa je 672 + 673 + 674 = 2019 drugo rješenje. 3. Za n+1= 6 dobijamo: 6 ∙ (2𝑥𝑥 + 5) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = 334 pa je 334 + 335 + 336 + 337 + 338 + 339 = 2019 treće rješenje. 4. Za n + 1 = 673 dobijamo:

673 ∙ (2𝑥𝑥 + 672) = 2 ∙ 3 ∙ 673 => 𝑥𝑥 = −333, pa ovo nije traženo rješenje jer ne pripada skupu prirodnih brojeva.

2. A

z x M y

B C Treba dokazati da je 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = ℎ = 𝑎𝑎√3

2 . Obilježimo sa 𝑃𝑃1 površinu ΔABM , 𝑃𝑃2 površinu ΔBCM, i sa 𝑃𝑃3 površinu ΔACM. Tada je : 𝑃𝑃1 = 𝑎𝑎𝑎𝑎

2 , 𝑃𝑃2 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 i 𝑃𝑃3 = 𝑎𝑎𝑎𝑎

2 . Kako je 𝑃𝑃𝛥𝛥 = 𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2 + 𝑃𝑃3 => 𝑎𝑎2√3

4 = 𝑎𝑎𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎

2 + 𝑎𝑎𝑎𝑎2 => 𝑎𝑎2√3

4 = 𝑎𝑎2 (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧) => 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 =

𝑎𝑎√32 = ℎ što je i trebalo dokazati.

Rješenja IX razred

1. Iz uslova zadatka slijedi: 𝑚𝑚(𝑚𝑚−3)

2 ─ 𝑛𝑛(𝑛𝑛−3)2 = 1999

tj: m(m ─ 3) ─ n(n ─ 3) = 2 · 1999 𝑚𝑚2─ 3m ─ 𝑛𝑛2 + 3n = 2 · 1999 (m ─ n)(m + n) ─ 3(m ─ n) = 2· 1999 (m ─ n)(m + n ─ 3) = 2·1999 Dakle,moguća su dva slučaja: 1) Ako je m ─ n = 1 i m + n ─ 3 = 3998, onda je 2m = 4002 pa je m = 2001 i n = 2000. 2) Ako je m ─ n = 2 i m + n ─ 3 = 1999, onda je 2m = 2004, pa je m = 1002 i n = 1000. 2. Kako je po uslovu zadatka: AB=√42 − (2 − 1)2 = √15 , BC= √42 − (3 − 2)2 = √15 , CA= √42 − (3 − 1)2 = 2√3 (slika 1), to je BD= √15 − 3 = 2 √3 pa je P ΔABC= 2√3 ∙2√3

2 = 6 cm2 . (slika2) C B C √15 √15 A B α A B A D C slika 1. slika 2.

iX razred

α

AB

C

A' A' C'

B'

B'

C'

2

Slika 1 Slika 2

28

pRipRema Za ČaSpredmet Matematika

Nastavnica Marijana Đurnić

Razred VIII

tema Kvadriranje, korjenovanje i stepenovanje

pojmovi / sadržaji Kvadriranje

Obrazovno-vaspitni ishodi učenja

Tokom učenja učenici će moći da razumiju pojam kvadrata i razumiju kvadrat broja

vrijeme za realizaciju 1 čas

Oblici rada frontalni i grupni rad

Nastavne metode monološko-dijaloška

Nastavna sredstva– nastavni listići– hamer papir – auditivna, tekstualna

Korelacija Fizika (formula za pređeni put s početnom brzinom)

Uvodni dio časa (5 min)

– Učenici usvajaju pojam kvadriranja i njegove osobine kroz rad u grupama.– Nastavnik raspoređuje učenike u četiri grupe, bira kapitene grupa. Svaka

grupa dobija svoj nastavni listić, upustvo za rad kao i hamer papir na kojem izlažu svoja rješenja (zaključke).

Glavni dio časa (35 min)

– Prvih 5 min, učenici rješavaju zajednički zadatak koji dobija svaka grupa (Prilog 1) na nastavnom listiću.

Kroz izradu zajedničkog zadatka, učenici se upoznaju sa pojmom kvadri-ranja i kvadrata nekog broja. Računanjem površine kvadrata zaključuju da je P = a ∙ a = a2, odnosno da je kvadrat broja a proizvod broja a sa samim so-bom. Nastavnik zapisuje rješenje i definiciju na tabli a učenici prepisuju sadr-žaj sa table u svoje sveske.

– Nakon usvajanja pojma kvadrata nekog broja, svaka grupa kreće sa izra-dom svojih zadataka i za to imaju 5 min. Kapiteni svoja rješenja izlažu i zapi-suju na hamer papiru okačenom na tabli u vidu panoa; svaka grupa ima svoj hamer papir. Dodatnim potpitanjima nastavnik ih navodi na ispravne zaključ-ke koje bilježe u vidu pravila (svojstava) kvadriranja.

Dijagonala 29

– Članovi I grupe rješavanjem datog zadatka (Prilog 2) zaključuju da je kvadrat svakog broja a nenegativan broj, odnosno a2 ≥ 0.

Određivanjem kvadrata brojeva 0 i 1, uočavaju da su to jedini brojevi koji su jednaki svojim kvadratima.

02 = 0 12 = 1– Druga grupa (Prilog 3), upoređivanjem, dolazi do zaključka da su kvadrati

međusobno suprotnih brojeva jednaki, odnosno (– a)2 = a2.Kroz treći zadatak uočavaju da je (– a)2 ≠ – a2.– Treća grupa (Prilog 4) definiše redosljed operacija u izrazima bez zagrada.

U tom slučaju prvo kvadriraju, pa množe i dijele i na kraju sabiraju i oduzima-ju. Određuju vrijednosti izraza datih u drugom zadatku.

– Na kraju, članovi IV grupe, kroz konkretne primjere, uočavaju da je

*GLAVNI DIO: (35 min)

- Prvih 5min, učenici rješavaju zajednički zadatak koji dobija svaka grupa (Prilog 1) na nastavnom listiću. Kroz izradu zajedničkog zadatka, učenici se upoznaju sa pojmom kvadriranja i kvadrata nekog broja. Računanjem površine kvadrata zaključuju da je 𝑃𝑃 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2, odnosno da je kvadrat broja a proizvod broja a sa samim sobom. Nastavnik zapisuje rješenje i definiciju na tabli a učenici prepisuju sadržaj sa table u svojim sveskama. -Nakon usvajanja pojma kvadrata nekog broja, svaka grupa kreće sa izradom svojih zadataka i za to vrijeme imaju 5min. Kapiteni svoja rješenja izlažu i zapisuju na hamer papiru okačenog na tabli u vidu panoa; svaka grupa ima svoj hamer papir. Dodatnim potpitanjima nastavnik ih navodi na ispravne zaključke koje bilježe u vidu pravila (svojstva) kvadriranja. - Članovi I grupe rješavanjem datog zadatka (Prilog 2) zaključuju da je kvadrat svakog broja a nenegativan broj, odnosno 𝑎𝑎2 ≥ 0. Određivanjem kvadrata brojeva 0 i 1, uočavaju da su to jedini brojevi koji su jednaki svojim kvadratima. 02 = 0 12 = 1 - Druga grupa (Prilog 3), upoređivanjem, dolazi do zaključka da su kvadrati međusobno suprotnih brojeva jednaki, odnosno (−𝑎𝑎)2 = 𝑎𝑎2. Kroz treći zadatak uočavaju da je (−𝑎𝑎)2 ≠ −𝑎𝑎2. - Treća grupa (Prilog 4) definiše redosljed operacija u izrazima bez zagrada. U tom slučaju prvo kvadriraju, pa množe i dijele i na kraju sabiraju i oduzimaju. Određuju vrijednosti izraza datih u drugom zadatku. -Na kraju, članovi IV grupe, kroz konkretne primjere, uočavaju da je (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 ≠ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 i (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 ≠ 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 za 𝑥𝑥 ≠ 0 i 𝑦𝑦 ≠ 0. - Svi učenici zapisuju sve primjere i definicije sa panoa u svojim sveskama.

– Svi učenici zapisuju sve primjere i definicije sa panoa u svoje sveske.

Završni dio časa (35 min)

– Sažimanje pređenog gradiva.– Učenici dobijaju upustvo za izradu domaćeg zadatka koji se nalazi na

poleđini nastavnog listića svake grupe (Prilog 5).

Prilog 1Zajednički zadatakKolika je površina kvadrata ako je dužina njegove stranice 5 cm?Kako još zapisujemo formulu za površinu kvadrata? (Učio si u ranijim ra-zredima.)Šta zaključuješ?

Prilog 2I grupa

Izračunati: 1)

*ZAVRŠNI

DIO: (5 min)

-Sažimanje pređenog gradiva. -Dobijaju upustvo za izradu domaćeg zadatka koji se nalazi na poleđini nastavnog listića svake grupe (Prilog 5).

Prilog 1 Zajednički zadatak Kolika je površina kvadrata ako je dužina njegove stranice 5cm? Kako još zapisujemo formulu za površinu kvadrata? Učio si u ranijim razredima. Šta zaključuješ? Prilog 2 I grupa

1) Izračunaj: a) 82 b) (−3)2 c) ( 13 )2 d) (−1,3)2 .

2) Kakav je, po znaku, kvadrat svakog broja a ? 3) Odredi kvadrate brojeva 0 i 1. Šta zaključuješ?

Prilog 3 II grupa

1) Izračunaj kvadrate: a) 12 i (−1)2 b) 62 i (−6)2 c) 92 i (−9)2

2) Uporedi kvadrate suprotnih brojeva, šta zaključuješ? 3) Izračunaj (−3)2 i −32. Da li dobijaš isti rezultat?

Prilog 4 III grupa

1) Kada se u izrazu bez zagrada pojavljuju operacije: sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i kvadriranje, koju prvo računsku operaciju koristimo?

2) Izračunaj: a) 4 ∙ (−7)2 + (−5)2 b) −92: 3 − 4 + 3 ∙ 12 − (−8)2

Prilog 5 IV grupa

2) Kakav je, po znaku, kvadrat svakog broja a?3) Odrediti kvadrate brojeva 0 i 1. Šta zaključuješ?

30 Dijagonala

Dr Radoje Šćepanović

Rad sa tekstualnim zadacima Tekstualni zadaci, obično, opisuju realne situacije iz svakodnevnog života. Vezani su za zajednički rad, putovanja, izradu legura, koncentracije i temperature smješa, miješanje različitih cijena robe, godine starosti i sl. Rješavanju tekstualnih zadataka prethodi izrada matematičkog modela koji jednačinama ili nejednačinama opisuje realnu situaciju koju rješavamo. Zbog toga učenicima tekstualni zadaci mogu biti i teški. Ali, ako pročitate ovaj članak, na vas se neće odnositi prethodni zaključak. Da li se neki od ovakvih zadataka mogu rješavati na sličan način? Odgovor je: da. Navešćemo dvije grupe različitih realnih situcija koje imaju slične matematičke modele (slično se rješavaju).

1. Zajednički rad

Zadaci ovog tipa obično se svode na sljedeće: neki rad, čija količina nije navedena i ne traži se u zadatku, izvršava nekoliko radnika (ili mehanizama). Rad se odvija ravnomjerno, tj. radna sposobnost svakog od radnika je konstantna. Za količinu ukupnog rada, koji treba izvršiti, uzima se 1. Vrijeme t za koje treba izvršiti cio rad i radna produktivnost p (dio rada izvršenog u

jedinici vremena) povezani su jednakošću 1pt

= .

Razmotrimo standardnu šemu rješavanja zadataka ovoga tipa. Neka je x – vrijeme za koje rad izvrši prvi radnik; y - vrijeme za koje rad izvrši drugi radnik. Tada je:

1) 1x

- radna produktivnost prvog radnika;

2) 1y

- radna produktivnost drugog radnika;

3) 1 1x y+ - radna produktivnost oba radnika;

4) 11 1

xyx y

x y

=++

- vrijeme za koje radnici (zajedno) izvrše posao.

Prilog 3II grupa

1) Izračunati kvadrate:

*ZAVRŠNI

DIO: (5 min)



1) Izračunaj: a) 82 b) (−3)2 c) ( 13 )2 d) (−1,3)2 .


Prilog 3 II grupa



Prilog 4 III grupa


2) Izračunaj: a) 4 ∙ (−7)2 + (−5)2 b) −92: 3 − 4 + 3 ∙ 12 − (−8)2

Prilog 5 IV grupa

2) Uporediti kvadrate suprotnih brojeva. Šta zaključuješ?3) Izračunati (– 3)2 i –32. Da li dobijaš isti rezultat?

Prilog 4III grupa


2) Izračunati:

*ZAVRŠNI

DIO: (5 min)



1) Izračunaj: a) 82 b) (−3)2 c) ( 13 )2 d) (−1,3)2 .


Prilog 3 II grupa



Prilog 4 III grupa


2) Izračunaj: a) 4 ∙ (−7)2 + (−5)2 b) −92: 3 − 4 + 3 ∙ 12 − (−8)2

Prilog 5 IV grupa

Prilog 5IV grupa

1) Ako je 𝑥𝑥 = 10 i 𝑦𝑦 = 7, izračunati i uporediti: a) (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 i 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2; b) (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 i 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2.

2) Za koje vrijednosti x i y važi da je (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)2 ≠ 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 i (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2 ≠ 𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦2 ?

Prilog 6 Domaći zadatak

1) Brojevni izraz iz prve kolone poveži sa njegovom vrijednošću iz druge kolone:

(−3)2 + 42

−2 ∙ (−4)2 + 1

−2 ∙ (−42) + 1

17 − 42

(17 − 4)2

2) Od kvadrata broja −6 oduzmi trostruki kvadrat broja −4. Koji broj dobijaš?

33

-31

169

25

1

Prilog 6Domaći zadatak

1) Brojevni izraz iz prve kolone povezati sa njegovom vrijednošću iz druge kolone:

(–3)2 + 42 33

– 2 ∙ (– 4)2 + 1 – 31

– 2 ∙ (– 42) + 1 169

17 – 42 25

(17 – 4)2 1

2) Od kvadrata broja – 6 oduzeti trostruki kvadrat broja – 4. Koji broj dobijaš?

31

Dr Radoje Šćepanović

Rad sa tekstualnim zadacima Tekstualni zadaci, obično, opisuju realne situacije iz svakodnevnog života. Vezani su za zajednički rad, putovanja, izradu legura, koncentracije i temperature smješa, miješanje različitih cijena robe, godine starosti i sl. Rješavanju tekstualnih zadataka prethodi izrada matematičkog modela koji jednačinama ili nejednačinama opisuje realnu situaciju koju rješavamo. Zbog toga učenicima tekstualni zadaci mogu biti i teški. Ali, ako pročitate ovaj članak, na vas se neće odnositi prethodni zaključak. Da li se neki od ovakvih zadataka mogu rješavati na sličan način? Odgovor je: da. Navešćemo dvije grupe različitih realnih situcija koje imaju slične matematičke modele (slično se rješavaju).

1. Zajednički rad

Zadaci ovog tipa obično se svode na sljedeće: neki rad, čija količina nije navedena i ne traži se u zadatku, izvršava nekoliko radnika (ili mehanizama). Rad se odvija ravnomjerno, tj. radna sposobnost svakog od radnika je konstantna. Za količinu ukupnog rada, koji treba izvršiti, uzima se 1. Vrijeme t za koje treba izvršiti cio rad i radna produktivnost p (dio rada izvršenog u

jedinici vremena) povezani su jednakošću 1pt

= .

Razmotrimo standardnu šemu rješavanja zadataka ovoga tipa. Neka je x – vrijeme za koje rad izvrši prvi radnik; y - vrijeme za koje rad izvrši drugi radnik. Tada je:

1) 1x

- radna produktivnost prvog radnika;

2) 1y

- radna produktivnost drugog radnika;

3) 1 1x y+ - radna produktivnost oba radnika;

4) 11 1

xyx y

x y

=++

- vrijeme za koje radnici (zajedno) izvrše posao.

32 Dijagonala

Primjer 1. a) Kroz prvu slavinu bazen se napuni za 10 h, a kroz drugu za 15 h. Za koliko časova će se napuniti bazen ako su otvorene obje slavine? b) Jedna grupa radnika može da završi posao za 10 dana, a druga za 15 dana. Za koliko dana će ove dvije grupe, radeći zajedno, završiti taj posao? c) Prvi pješak može da pređe put između mjesta A i B za 10 minuta, a drugi za 15 minuta. Pješaci su krenuli istovremeno jedan prema drugom (jedan iz mjesta A u mjesto B, drugi iz mjesta B u mjesto A). Kroz koliko minuta će se oni sresti? Rješenje. Svaki od ovih zadataka se rješava na isti način:

1) 11:1010

= , 2) 11:1515

= , 3) 1 1 110 15 6

+ = , 4) 11: 66= .

U prvom slučaju slavine će zajedno napuniti bazen za 6 h, u drugom obje grupe radnika će (zajedno) završiti posao za 6 dana, a u trećem pješaci će se sresti poslije 6 minuta. Zadatak sa „bazenima“ možemo uopštiti, na slučajeve sa dvije i tri slavine:

Primjer 2. Kroz prvu slavinu bazen se napuni za a časova, kroz drugu za b časova. Za koliko časova će se bazen napuniti kroz obje slavine?

1) 11:aa

= , 2) 11:bb

= , 3) 1 1 a ba b ab

++ = , 4) 1: a b ab

ab a b+

=+

.

Označimo sa x vrijeme (u časovima) za koje će se napuniti bazen kroz obje slavine. Tada je

1 1 1a b x+ = (1)

odnosno, abxa b

=+

. Ako su poznate dvije od tri veličina a, b i x, tada se treća

može odrediti iz formule (1). Primjer 3. Kroz prvu slavinu bazen se napuni za a časova, kroz drugu za b časova, a kroz treću za c časova. Za koliko časova će se bazen napuniti ako su sve tri slavine istovremeno otvorene?

1) 11:aa

= , 2) 11:bb

= , 3) 11:cc

= , 4) 1 1 1 ab ac bca b c abc

+ ++ + = ,

5) 1: ab ac bc abcabc ab ac bc+ +

=+ +

.

Dijagonala 33

Označimo sa x vrijeme (u časovima) za koje će sve tri slavine, zajedno, napuniti bazen. Veza između a, b, c i x izražava se jednakošću

1 1 1 1a b c x+ + = (2)

odnosno abcxab ac bc

=+ +

.

Ako su poznate tri od ove četiri veličina, tada se četvrta može izračunati iz formule (2). Na primjer, ako su poznate vrijednosti za a, b i x, tada je

abccab ax bx

=− −

.

Slična uopštenja se mogu uraditi i u zadacima sa zajedničkim radom. Zadatak 1. Aleksa i Andrej mogu ofarbati ogradu za 3 h, Aleksa i Miloš istu tu ogradu za 2 h, Andrej i Miloš za 1,5 h. Za koje vrijeme ova tri dječaka mogu zajedno ofarbati ogradu? (R. 80 minuta) Zadatak 2 (starinski zadatak): Konj pojede tovar sijena za mjesec dana, koza za dva mjeseca, a ovca za tri mjeseca. Za koje vrijeme će konj, koza i ovca

zajedno pojesti tovar sijena? (R. 611

mjeseca)

Zadatak 3. Pješak može preći rastojanje između dva sela za 6 h, a biciklista

to rastojanje pređe za 3 h. Kroz koliko časova će se oni sresti, ako polaze

istovremeno iz sela u susret jedan drugom? (R. 2 h)

2. Legure i smješe Kod zadataka sa legurama i smješama pretpostavlja se da se masa ne gubi pri stapanju metala i miješanju raznih rastvora. Takođe, pri miješanju rastvora ne gubi se ni toplota. Primjer 4. Data su dva komada legure sa različitim procentima olova. Prvi, mase m1 gr, ima p1% olova, drugi mase m2 gr ima p2% olova. Odrediti procentni sastav olova u komadu nastao njihovim stapanjem?

34 Dijagonala

Prije stapanja komada legure u njima je bilo 1 21 2100 100p pm m +

gr

olova. Poslije stapanja komad ima masu (m1+m2) gr i u sebi istu količinu

olova: 1 21 2100 100p pm m +

gr. Neka se p% olova nalazi u novodobijenom

komadu. Tada je ( )1 21 21 2100 100 100

m m pp pm m+

+ = , tj.

( )1 1 2 2 1 2m p m p m m p+ = + . (3)

Slijedi, 1 1 2 2

1 2

m p m ppm m +

=+

. (4)

U formuli (3) figuriše 5 veličina. Ako su vrijednosti za četiri poznate, tada se vrijednost pete može izračunati. Na primjer, može se riješiti ovakav zadatak: Imamo dva komada legure koji sadrže p1% i p2% olova. Po koliko grama treba uzeti svakog od njih da bi se dobilo m gr legure sa p% olova? Rješenje: Neka je m1 = k. Tada je m2 = m – k. Saglasno (3) imamo da je

( )1 2kp m k pp

m+ −

= , odnosno ( )21

1 2

p p mm k

p p−

= =−

i ( )12

1 2

p p mm m k

p p−

= − =−

.

Formula (3) omogućava da se riješe mnogi zadaci sa različitim procentima kisjelosti (slanosti, sadržaja alkohola...). Na primjer: Imamo dva rastvora. Prvi mase m1 gr sadrži p1% kisjeline, drugi mase m2 gr sadrži p2% kisjeline. Procenat kisjelosti smiješanih rastvora određen je formulom (4). Formula (3), kao matematički model, pojavljuje se u raznim situacijama. Is-tina, umjesto procenata mogu se pojaviti temperature rastvora, cijene robe i sl. Primjer 5. U jednoj posudi nalazi se m1 l rastvora temperature t1, a u drugoj m2 l temperature t2. Kolika je temperatura smiješanih rastvora (iz obje posude)? Rješenje: Označimo sa t temperaturu smješe. Matematički model koji povezuje t1, t2, t, m1 i m2 je sličan formuli (3):

( )1 1 2 2 1 2mt m t m m t+ = + (5).

Slijedi, 1 1 2 2

1 2

m t m ttm m

+=

+. I ovdje, kao u i u prethodnim slučajevima, ako su

poznate vrijednosti četiri veličine u formuli (5), tada se vrijednost pete veličine može izračunati.

Dijagonala 35

Prije stapanja komada legure u njima je bilo 1 21 2100 100p pm m +

gr

olova. Poslije stapanja komad ima masu (m1+m2) gr i u sebi istu količinu

olova: 1 21 2100 100p pm m +

gr. Neka se p% olova nalazi u novodobijenom

komadu. Tada je ( )1 21 21 2100 100 100

m m pp pm m+

+ = , tj.

( )1 1 2 2 1 2m p m p m m p+ = + . (3)

Slijedi, 1 1 2 2

1 2

m p m ppm m +

=+

. (4)

U formuli (3) figuriše 5 veličina. Ako su vrijednosti za četiri poznate, tada se vrijednost pete može izračunati. Na primjer, može se riješiti ovakav zadatak: Imamo dva komada legure koji sadrže p1% i p2% olova. Po koliko grama treba uzeti svakog od njih da bi se dobilo m gr legure sa p% olova? Rješenje: Neka je m1 = k. Tada je m2 = m – k. Saglasno (3) imamo da je

( )1 2kp m k pp

m+ −

= , odnosno ( )21

1 2

p p mm k

p p−

= =−

i ( )12

1 2

p p mm m k

p p−

= − =−

.

Formula (3) omogućava da se riješe mnogi zadaci sa različitim procentima kisjelosti (slanosti, sadržaja alkohola...). Na primjer: Imamo dva rastvora. Prvi mase m1 gr sadrži p1% kisjeline, drugi mase m2 gr sadrži p2% kisjeline. Procenat kisjelosti smiješanih rastvora određen je formulom (4). Formula (3), kao matematički model, pojavljuje se u raznim situacijama. Is-tina, umjesto procenata mogu se pojaviti temperature rastvora, cijene robe i sl. Primjer 5. U jednoj posudi nalazi se m1 l rastvora temperature t1, a u drugoj m2 l temperature t2. Kolika je temperatura smiješanih rastvora (iz obje posude)? Rješenje: Označimo sa t temperaturu smješe. Matematički model koji povezuje t1, t2, t, m1 i m2 je sličan formuli (3):

( )1 1 2 2 1 2mt m t m m t+ = + (5).

Slijedi, 1 1 2 2

1 2

m t m ttm m

+=

+. I ovdje, kao u i u prethodnim slučajevima, ako su

poznate vrijednosti četiri veličine u formuli (5), tada se vrijednost pete veličine može izračunati.

Primjer 6. U dva bureta nalaze se dvije vrste vina. Iz jednog bureta, zapremine m1 l, vino se prodaje po cijeni c1 eura za litar, a iz drugog bureta, zapremine m2 l, vino se prodaje po cijeni c2 eura za litar. Kolika će biti cijena jednog litra vina ako se vina iz buradi pomiješaju? Rješenje: Označimo sa c cijenu litra smiješanih vina. Tada je

( )1 1 2 2 1 2mc m c m m c+ = + (6)

odnosno 1 1 2 2

1 2

m c m ccm m

+=

+. Ponovo smo dobili formulu sličnu formuli (3).

Napomena: Formule (3), (5) i (6) daju mogućnost formulisanju najmanje pet različitih zadataka. U svakom od njih zadaju se po 4 veličine, a peta se izra-čunava. Zadatak 5. Petar ima 50 l rakije sa 23% alkohola, i želi da joj doda čiste vode poslije čega bi rakija imala 20% alkohola. Koliko treba dodati čiste vode?

(R. 7,5 l)

Zadatak 6. Kakva mora biti temperatura 20 l vode, da bi se pri miješanju sa 10 l vode, čija je temperatura 20ºC, dobila voda čija temperatura nije manja od 30ºC niti veća od 40ºC?

(R. Od 35ºC do 50ºC)

Zadatak 7. Na pijaci se prodaju tri vrste brašna: 10 kg pšeničnog, 15 kg ječmenog i 8 kg heljdinog. Cijena pšeničnog brašna po kilogramu je 0,50 eura, a ječmenog 0,70 eura. Kolika je cijena kilograma heljdinog brašna, ako je cijena kilograma smješe ova tri brašna 1,2 eura?

(R. 3,01 euro)

pšeNiČNObRašNO

10 kg

jeČmeNObRašNO

15 kg

mješaviNabRašNa

heljDiNObRašNO

8 kg

1 kg – 0,50 € 1 kg – 0,70 €

1 kg – 1,20 €

1 kg – __?__ €

36

aristotel je bio filozof Antičke Grčke čija su učenja, zajedno sa Sokratovim i Platonovim,

postavila temelje filozofije zapadne civilizacije. Po-hađao je Platonovu Akademiju u Atini i bio učitelj Aleksandra Velikog. Svoj život proveo je učeći, predavajući i pišući.

Aristotel je rođen oko 384. godine p.n.e. u ma-log gradu Stagiru, na sjevernoj obali Grčke. Nje-gov otac, Nikomah, radio je za makedonskog kralja Amintasa III. Iako je Nikomah umro kada je njegov sin bio mali, Aristotel je održavao vezu sa make-donskim kraljevstvom do kraja svog života. O nje-govoj majci malo se zna, ali se pretpostavlja da je umrla kada je Aristotel bio mlad.

Nakon očeve smrti, brigu o dječaku preuzeo je njegov ujak. Kada je Aristotel napunio sedamnaest godina, ujak ga je poslao u Atinu kako bi stekao visoko obrazovanje. Atina se tada smatrala najvaž-nijim akademskim centrom. U Atini se upisao na Platonovu Akademiju, najbolju obrazovnu instituciju Grčke, i postao njegov učenik.

Nakon Platonove smrti Aristotelov prijatelj Hermijas, kralj Atarnije, pozvao ga je na svoj dvor. Tamo je proveo tri godine i upoznao Hermijasovu nećaku Pitiju, koju je i oženio. Par je imao kćer Pitiju, nazvanu po majci.

Makedonski kralj Filip II zaposlio je Aristotela 343. godine p.n.e. da podučava njego-vog trinaestogodišnjeg sina, Aleksandra Velikog. Filip II i Aleksandar veoma su ga poštova-li, pa je dobijao veliku novčanu nadoknadu za svoj rad na makedonskom dvoru.

Aristotel je otvorio svoju školu u Atini koju je nazvao Licej, 335. godine p.n.e. Većinu svog vremena provodio je u Liceju predavajući, istražujući i pišući. Pošto je volio da se šeta oko škole dok drži predavanja, njegovi učenici, koji su bili primorani da ga prate, dobili su nadimak „peripateti”, što znači „ljudi koji šetaju“. Učenici Liceja izučavali su matemati-ku, fiziku, filozofiju, politiku i mnoge druge predmete. Učenici su takođe zapisivali svoje nalaze, pa se tako u školi nalazila velika zbirka spisa koji su, prema riječima istoričara, činili jednu od prvih velikih biblioteka. Arislotelova škola stekla je brzo dobar glas i pre-stigla Akademiju. Dvanaestogošnji Aristotelov učiteljski rad u Liceju vrhunac je njegovog filozofskog razvitka. To je vrijeme njegove pune zrelosti i samostalnosti, kada je napisao gotovo sva svoja glavna djela.

Iste godine kada je Aristotel otvorio Licej, njegova supruga Pitija je umrla. Nedugo potom, stupio je u vezu sa Herpilijom, ženom koja je poticala iz mjesta u kom je i on rođen. Prema nekim istoričarima, ona je bila Aristotelova robinja, koju mu je poklonio makedonski kralj. Pretpostavlja se da ju je oslobodio, a potom oženio. Imali su sina kome su dali ime po

Dijagonala 37

Aristotelovom ocu Nikomahu. Svom sinu posvetio je filozofsko djelo „Nikomahova etika”.Kada je Aleksandar veliki iznenada umro 323. godine p.n.e. nova makedonska vlada

optužila je Aristotela za bezbožnost. Kako bi izbjegao suđenje, pobjegao je iz Atine na ostr-vo Eubeja, na kom je proveo ostatak svog života.

Aristotel je napisao oko 200 djela od kojih su većina bilješke i manuskripti (rukopisi). Njegov opus sastoji se od dijaloga, naučnih opservacija i sistematičnih radova. Njegovi učenici čuvali su ove spise sve dok ih nisu uzeli Rimljani. Od 200 djela, do danas je opstalo samo 31. Većina njegovih radova nastala je u vrijeme kada je boravio u Liceju.

Njegova najvažnija djela uključuju: „Kategorije”, „O tumačenju”, „Analitika prva” i „Analitika druga”. U njima diskutuje o sistemu racionalizovanja i razvijanju argumenata.

Aristotel je takođe napisao mnoge radove o umjetnosti, kao što je „Retorika“ i o astro-nomiji – „O nebu“. Zatim je napisao rad „O duši” u kom je sa diskusija o astronomiji prešao na diskusije o psihologiji čovjeka. Njegovo pisanje o tome kako ljudi vide svijet oko sebe postavilo je temelje moderne psihologije.

Samo godinu dana nakon što je pobjegao od makedonskih vlasti 322. godine p.n.e. Aristotel se teško razbolio i umro. U vijeku koji je uslijedio nakon njegove smrti, ljudi su prestali da čitaju Aristotelova djela, ali su ona potom ponovo ušla u upotrebu vijek kasnije. U narednih sedam vjekova ona su postala osnova filozofije. Svoj uticaj širila su tokom an-tičkih vremena pa sve do renesanse. Aristotelov doprinos zapadnoj kulturi može se porediti jedino sa doprinosima njegovog učitelja Platona i Platonovog učitelja Sokrata.

Prijateljstvo je jedna od najvažnijih etičkih tema u grčkim filozofskim školama, naroči-to kod pitagorejaca, a za Sokrata je prijateljstvo najdragocjenije dobro čovjeka. Aristotel je smatrao da je prijateljstvo vrlina neophodna za život čovjeka i zato ga je uveo u svoju etiku.

Aristotel je formulisao tri osnovna principa mišljenja: princip identiteta (ono što je istinito mora biti sa sobom identično), princip neprotivrječnosti (ne smije se u istom mo-mentu nešto i tvrditi i poricati) i princip isključenja trećeg (nešto je ili jedno ili drugo, trećeg nema). Iz ovoga dalje slijedi da je Aristotelova logika „dvovalentna”, jer u njoj su dvije osnovne saznajne vrijednosti istina i laž (neistina).

Aristotel u svojoj „Drugoj analitici“ izlaže detaljnu raspravu o upotrebi osnovnih prin-cipa u zasnivanju ili izlaganju deduktivnih nauka. Osnovne principe dijeli na definicije, aksiome i postulate.

Definicija traži samo razumijevanje pojmova koji se koriste. Definicija naprosto pred-stavlja rečenicu, iskaz, kojom se značenje jednog izraza opisuje nekim drugim rečenicama čije se značenje pretpostavlja razumljivim. Aksiome ili opšta saznanja su iskazi čija se istinitost uzima „zdravo za gotovo“, kao nešto što je istinito i primjenljivo, barem po analo-giji, u svim naukama. Konačno, postulati predstavljaju iskaze koji se smatraju istinitim bez dokazivanja u određenoj nauci ili disciplini.

Aristotelovi stavovi izražavanja su toliko precizni da ih je jednostavno prevesti u sa-vremeni matematičko-logički formalizam – osnovna logička pravila. Najveću pažnju obra-ća na dedukciju i kod njega se prvi put javljaju takozvani silogizmi koji, u krajnjoj liniji, odgovaraju savremenim pravilima izvođenja – iz dvije premise se izvodi zaključak.

Tako jedan tipični primjer silogizma glasi:Svaki Grk je čovjek.Svaki čovjek je smrtan. Dakle, svaki Grk je smrtan.

38

Zanimljiva matematika

DjeCa matematiČaRa

Razgovaraju dva matematičara:– Vi imate dvije kćerke?– Da, Veru i Nadu. – Koliko imaju godina? – Nada je 7 godina starija od Vere, a dogodine će Nada imati dva puta više

godina od Vere.– Moj sin Slobodan je tri puta stariji od Vaše Vere.Koliko godina imaju Vera, Nada i Slobodan?

hambURGeRi

Pet dječaka za pet minuta pojede pet hamburgera. Za koje će vrijeme 15 dječaka pojesti 15 hamburgera?

KaZaljKe

U 6 sati kazaljke časovnika obrazuju opružen ugao. Za koliko minuta će prvi put kazaljke sata obrazovati ugao od 70 stepeni?

mUKe S tROjKOm

Između dvije cifre broja 664422 upisati cifru 3 tako da dobijeni sedmoci-freni broj bude:

a) najveći; b) najmanji mogući.

KeNGURSKa pOSla

Za dvije sekunde mama kengur napravi tri skoka, a mali kengur pet. Du-žina skoka mame kengura je 6 metara, a dužina skoka malog kengura je tri puta manja. Mama kengur i njen sin igraju sledeću igru: Kengurčić napravi 12 skokova, a zatim mama počinje da ga juri, dok on skače dalje. Za koje vrijeme mama može da ga stigne?

DatUmi

Jedan dječak svakog dana zapisuje datume i računa zbir njegovih cifara. Na primjer, 15. septembra piše 15.09. i računa 1 + 5 + 0 + 9 = 15. Koji je naj-veći zbir koji se na ovaj način može dobiti tokom godine?

Mira Vidić, JU OŠ „Milan Vukotić”, Golubovci

Konkursni zadaci

VI razred 1. Tri žene i njihovi muževi

Neko je trojici svojih rođaka i njihovim ženama ostavio u nasljedstvo 1000 dolara. Sve tri žene dobile su ukupno 396 dolara. Dara je dobila 10 dolara više od Mare, a Sara 10 dolara više od Dare. Sajo je dobio koliko i njegova žena, Pavle je dobio za polovinu sume više od svoje žene, a Darko dvostruko više od svoje žene. Kako se zvala žena svakog od trojice pomenutih muškaraca?

2. Ispravite grešku

Često se dešava, kada djeca počinju da izučavaju aritmetiku, da pogriješe pri množenju brojeva u čijim zapisima se javljaju i nule. Tako se to dogodilo i malom Marku, kada je množio neki broj sa 409. Naime, prvu cifru pri množenju tog broja sa 4 on nije napisao ispod treće cifre sdesna, kao što treba, nego ispod druge. Otuda se pojavila greška, koja je iznosila, ni manje ni više, nego 328320. Koji broj je množio Marko sa 409?

VII razred

1. Odrediti sve cijele brojeve 𝑚𝑚 za koje je izraz 2𝑚𝑚 − 5𝑚𝑚 + 2 cio broj.

2. Svaki put kada pogriješi pri izradi domaćeg zadatka, Milan istrgne jedan list iz sveske. Tako mu se desilo da iz jedne sveske istrgne 25% listova, a iz druge, iste takve sveske, svaki deveti list. Koliko je bilo prvobitno u svakoj svesci i za koliko procenata se smanjio ukupan broj listova (u obje sveske zajedno) ako je Milan istrgao ukupno 26 listova?

VIII razred 1. Za proizvoljne cijele brojeve x i y važi da 11│((x + y)² + 7xy). Dokazati da je

razlika kvadrata brojeva x i y djeljiva sa 11. 2. Jakov je izjavio: “Na skupu je 1 999 učesnika pri čemu svako od njih ima tačno

3 kolege među njima.” Da li je ovo tačno tvrđenje?

IX razred 1. Odrediti sve parove prirodnih brojeva čija je razlika kvadrata 195. 2. Odrediti sa koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 81.

39

Konkursni zadaci

VI razred 1. Tri žene i njihovi muževi

Neko je trojici svojih rođaka i njihovim ženama ostavio u nasljedstvo 1000 dolara. Sve tri žene dobile su ukupno 396 dolara. Dara je dobila 10 dolara više od Mare, a Sara 10 dolara više od Dare. Sajo je dobio koliko i njegova žena, Pavle je dobio za polovinu sume više od svoje žene, a Darko dvostruko više od svoje žene. Kako se zvala žena svakog od trojice pomenutih muškaraca?

2. Ispravite grešku

Često se dešava, kada djeca počinju da izučavaju aritmetiku, da pogriješe pri množenju brojeva u čijim zapisima se javljaju i nule. Tako se to dogodilo i malom Marku, kada je množio neki broj sa 409. Naime, prvu cifru pri množenju tog broja sa 4 on nije napisao ispod treće cifre sdesna, kao što treba, nego ispod druge. Otuda se pojavila greška, koja je iznosila, ni manje ni više, nego 328320. Koji broj je množio Marko sa 409?

VII razred

1. Odrediti sve cijele brojeve 𝑚𝑚 za koje je izraz 2𝑚𝑚 − 5𝑚𝑚 + 2 cio broj.

2. Svaki put kada pogriješi pri izradi domaćeg zadatka, Milan istrgne jedan list iz sveske. Tako mu se desilo da iz jedne sveske istrgne 25% listova, a iz druge, iste takve sveske, svaki deveti list. Koliko je bilo prvobitno u svakoj svesci i za koliko procenata se smanjio ukupan broj listova (u obje sveske zajedno) ako je Milan istrgao ukupno 26 listova?

VIII razred 1. Za proizvoljne cijele brojeve x i y važi da 11│((x + y)² + 7xy). Dokazati da je

razlika kvadrata brojeva x i y djeljiva sa 11. 2. Jakov je izjavio: “Na skupu je 1 999 učesnika pri čemu svako od njih ima tačno

3 kolege među njima.” Da li je ovo tačno tvrđenje?

IX razred 1. Odrediti sve parove prirodnih brojeva čija je razlika kvadrata 195. 2. Odrediti sa koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 81.

KONKURSNi ZaDaCi

vi razred

vii razred

viii razred

iX razred

Uredništvo poziva nastavnike, učenike i sve čitaoce da nam šalju priloge za list:članke, odabrane zadatke, zanimljivosti, priloge za zabavnu matematiku itd.

Dio tiraža ovog broja „Dijagonale” će biti besplatno podijeljen svim bibliotekama osnovnih škola u Crnoj Gori.

Ovaj broj se može kupiti u „Gradskoj knjižari" i „Narodnoj knjizi".

Sve informacije o pretplati i porudžbini ovog i narednih brojeva možete naći na sajtu Udruženja. Narudžbe slati putem mejla.

Broj žiro računa UNMCG je 550-18240-71 kod Societe Generale Montenegro banke. Adresa redakcije je: Ul. Gojka Berkuljana br. 20, Podgorica.

Mejl: [email protected]

CIP - Каталогизација у публикацијиНационална библиотека Црне Горе, Цетиње

ISSN 2536-5851 = DijagonalaCOBISS.CG-ID 36769808

ISSN 2536–5851

pRiČa Sa NaSlOvNe StRaNe:

atinska škola (ital. Scuola di Atene) jedno je od najpoznatijih dijela ita-li-janskog renesanskog slikara Rafaela Santija. Ovu fresku je naslikao između 1510. i 1511. kao dio narudžbine da oslika sobe (danas poznate kao „Rafaelove sobe”) u Apostolskoj palati u Vatikanu.

Lijevo, Pitagora demonstrira učenicima svoje primjene proporcija, Diogen leži na sredini stuba, a desno matematičar Euklid objašnjava geometrijski cr-tež uz pomoć šestara. Na sredini gornje stube, uokvireni polukružnim lukovi-ma, nalaze se dva najvažnija grčka filozofa: Platon koji nosi svoju knjigu „Timej” (lijevo) i Aristotel koji nosi svoju „Etiku” (desno).

Spisak učenika koji su tačno riješili nagradni zadatak iz prošlog broja „Dijagonale”:1. jakovljević lena, VII-6, JU OŠ „Maksim Gorki”, Podgorica,2. vojvodić matija, VIII-2, JU OŠ „Blažo Jokov Orlandić”, Bar,3. alković emir, VIII-1, JU OŠ „Anto Đedović”, Bar,4. Đukanović Ognjen, VII-5, JU OŠ „Radojica Perović”, Podgorica,5. Grujić anđela, VII- 4, JU OŠ „Dušan Korać”, Bijelo Polje.

Redakcija pohvaljuje učenike Džejden bakstona iz JU OŠ „Anto Đedović” i vjeru Zarubicu iz JU OŠ „Meksiko” iz Bara za uspješno riješene Konkursne zadatke.

Documents

Miodrag Lalić - STEM Edukacija · Zanimljiva matematika ..... 38 Konkursni zadaci ..... 39 Štampanje ovog broja pomogli: ... 0,08 25 2 = . Broj 0,071428571 je manji od broja 0,08