Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering

SK 27. februar 2017 Side 1 af 9

Miniforløb i matematisk modellering Forløbet strækker sig over ca. 3 moduler á 90 min og er brugt i en matA, saB studieretningsklasse i efteråret

2016, hvor eleverne gik i 3.g og netop havde afsluttet en gennemgang af kernestoffet indenfor

differentialligninger.På dette tidspunkt var der ikke et oplagt ”samarbejdsfag”, da ikke alle elever havde

valgt at opgradere samfundsfag og de, der havde, gik på forskellige hold. Så i mangel af ”det andet fag”

valgte jeg i stedet at give eleverne den til modelleringen nødvendige viden i form af oplæg med kortfattet

info. Eleverne arbejdede i grupper med to ”cases”, hvor den første handlede om modellering af kroppens

indhold af henholdsvis THC (det aktive stof i hash) og alkohol, mens det andet var mindre realistisk og

handlede om tilløb til og afløb fra en sø. Undervejs var der fælles opsamling og gennemgang. Eleverne up-

loadede besvarelser til Lectio. Besvarelserne blev dog ikke rettet, men enkelte besvarelser blev diskuteret i

klassen via fremvisning på I-tavlen. Forløbet – og mange af de anvendte slides – bygger på/er taget fra

foredraget af Thomas Vils Pedersen ved kurset ”Differentialligninger fra andre fag”, september 2016,

Danske Science Gymnasier (DASG).

I det følgende beskrives, hvad der er foregået i modulerne. Undervisningsmaterialet/ beskrivelserne af de

to case findes i bilagene

Der er ikke foretaget en særskilt evaluering af forløbet. Det var mit indtryk, at alle eleverne både magtede

og fik udbytte af CASE 1, mens CASE 2 mere ”skilte vandene”, idét nogle ikke kom ret langt og fandt

opgaverne meget vanskelige, mens andre kom pænt frem og fik et godt udbytte i forhold til den afsatte tid,

idet der dog var afsat for lidt tid til arbejdet med CASE 2.

1.modul Modulet begyndte med en introduktion til arbejdet i miniforløbet og til CASE 1. Forløbet blev motiveret

ved, at matematisk modellering er en vigtig del af læreplanen/faget og desuden vigtigt i forhold til SRP.

Processen ”matematisk modellering” blev diskuteret ud fra figur på I-tavlen, ligesom ”CASE 1” blev

præsenteret på I-tavlen og udleveret på arbejdsark til grupperne. Resten af modulet blev brugt til

gruppernes arbejde under vejledning (og samtidige karaktersamtaler..)

1

2. modul Modulet begyndte med en gennemgang af lektieopgaverne, jf. nedenstående opgaver.

1 Figuren er udarbejdet af Jacob Allerelli og Marianne Weye Sørensen

Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering

SK 27. februar 2017 Side 2 af 9

Dernæst var der en opsamling på, hvorledes de to modeller kunne udtrykkes som differentialligninger: Den

alm. tavle blev delt i to, og under overskrifterne ”Alkohol”, ”THC” blev følgende skrevet op for de to

modeller: variable: (masse i gram/mg, tid i timer/døgn), vækst som differentialligning: (M’=-k (k=8 for

alkohol), M’=-k*M, (k bestemt af T½=ln(2)/k for THC), kompartmentmodel (tegninger), fuldstændig løsning

(løsningsformlerne), skitser af graferne

Den vigtige pointe, at diff-modellerne ku gælder kun indenfor nogle intervaller (de tidsperioder, hvor der

ikke indtages rusmidler), blev understreget.

Videre arbejde med CASE 1 i grupperne, ved afslutning af modulet blev et par af besvarelserne gennemgået

på I-tavlen

Modul 3 Modulet begyndte med en gennemgang af lektieopgaven, jf. nedenstående. Det blev understreget, at

denne modelleringsopgave vil være mindre realistisk end den foregående – i denne opgave er målet

principperne

Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering

SK 27. februar 2017 Side 3 af 9

Dernæst diskuterer eleverne to og to nedenstående spørgsmål, der blev præsenteret på I-tavlen:

Herefter blev differentialligningen for den simple model opstillet ud fra kompartmentmodel, hvor

udgangspunktet var, at vi så på, hvad der skete i løbet af tiden Δ𝑡 , jf. PP fra sidste DASG-kursus

Variable:

𝑡: tiden i døgn

𝑀 = 𝑀(𝑡): massen af stoffet i søen til tiden t.

Vi ser på, hvad der sker med 𝑀 i tiden fra t til 𝑡 + Δ𝑡 Pointen Δ𝑡 så lille, at M kan regnes konstant i løbet af

denne tid, blev forsøgt fremhævet

Beskrivelse af miniforløb i matematisk modellering

SK 27. februar 2017 Side 4 af 9

(Ved overgangen til differentialligningen blev begreberne differenskvotient og differentialkvotient

repeteret)

Herefter blev det kort repeteret, hvordan differentialligningen kan løses med CAS og med løsningsformel –

og elevernes svar på spørgsmålene kunne herved tjekkes. Herefter blev arbejdsmaterialet udlevereret, og

eleverne arbejdede eleverne videre med denne case – der var kun ½ time tilbage og af andre grunde kunne

vi ikke bruge længere tid på forløbet, så elevernes egen behandling af denne CASE blev ikke så dybtgående.

Elevmaterialet til ”CASE 1 – Nedbrydning af rusmidler”

SK 27. februar 2017 Side 5 af 9

CASE 1 - Nedbrydning af rusmidler

Opgaveformulering

Der ønskes en matematisk modellering af:

1. Mængden af alkohol i kroppen for en person, der indtager en øl hver halve time

2. Mængden af THC (det aktive stof i hash) i kroppen for en person, der indtager 12 mg THC hver

fjerde dag.

Dokumentér jeres løsning skriftligt. Tag i teksten læseren ved hånden, og beskriv overvejelser og metoder.

Sørg for, at der er en rød tråd fra formulering af problemet til konklusionen.

Up-load jeres besvarelse til ”opgaver” i Lectio, enten som et Word-dokument eller som en pdf-fil.

På næste side finder I oplysninger og opgaver, der kan hjælpe jer i jeres modellering. Start fx med at løse

alle opgaverne - det er dog ikke nødvendigvis alle opgavernes løsning der skal med i jeres endelige

besvarelse. Det handler om at udvælge det, der er relevant, for at løse opgaven.

Elevmaterialet til ”CASE 1 – Nedbrydning af rusmidler”

SK 27. februar 2017 Side 6 af 9

Oplysninger og opgaver, der kan hjælpe jer i modelleringen.

Om alkohol: A. Vurdér, hvor meget alkohol, der er i en øl. Tip: Se fx Sundhedsstyrelsen:

http://sundhedsstyrelsen.dk/~/media/4C85D030AF5F405BA411412EB34EF973.ashx, pdf s. 25

B. Alkohol nedbrydes som det eneste rusmiddel med konstant hastighed, dvs.

nedbrydningshastigheden er uafhængig af, hvor meget alkohol, man har i kroppen. Tegn en

kompartmentmodel, der illustrerer dette. Lad fx den afhængige variabel være massen af alkoholen

i kroppen målt i gram - og betegn fx denne med 𝑀. ”Oversæt” kompartmentmodellen til en

differentialligning, som 𝑀 vil opfylde. Hvilken type funktioner er løsninger til denne

differentialligning?

C. Normale personer forbrænder alkohol med en hastighed på ca. 8 gram i timen.

D. Forestil dig, at en person på én gang indtages 5 øl:

a) Hvor mange gram alkohol har personen i blodet lige efter indtagelsen

b) Hvor meget alkohol har personen tilbage i blodet efter 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 og 10 timer?

c) Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af alkohol anhænger af antallet af timer siden

indtagelsen af de 5 ør

d) Opstil en formel, der angiver, hvordan mængden af alkohol i kroppen afhænger af antallet af

timer siden indtagelsen af de 5 øl. Prøv både at komme frem til svaret ved at bruge din viden

fra 1.g - og ved at løse den differentialligning, som du opstillede i B.

e) Hvor lang tid går der, før personen ikke har noget alkohol tilbage i kroppen.

f) En anden person indtager én øl hver halve time (i en hurtig slurk). Tegn en graf, der viser,

hvordan mængden af alkohol i kroppen på denne person afhænger af antallet af timer, siden

indtagelsen begyndte

Om THC: A. THC nedbrydes som mange andre rusmidler sådan, at nedbrydningshastigheden er proportional

med massen af THC i kroppen. Tegn en kompartmentmodel, der illustrerer dette. Lad fx den

afhængige variabel være massen af THC i kroppen målt i mg, betegn fx denne med 𝑀, og kald

proportionalitetskonstanten for "𝑘" (så 𝑘 er et positivt tal og −𝑘 er et negativt tal). ”Oversæt”

kompartmentmodellen til en differentialligning, som 𝑀 vil opfylde. Hvilken type funktioner er

løsninger til denne differentialligning?

B. THC har en halveringstid på ca. 4 døgn. Bestem værdien af konstanten 𝑘 for opgaven herover.

C. Forestil dig, at en person på én gang indtager 12 mg THC

a. Hvor meget THC har personen tilbage i kroppen efter 4, 8, 12 og 16 døgn?

b. Tegn en graf, der viser, hvordan mængden af THC i kroppen afhænger af antallet af døgn

siden indtagelsen. Prøv både at komme frem til svaret ved at bruge din viden fra 1.g - og

ved at løse den differentialligning, som du opstillede i A.

c. Hvor lang tid går der, før mængden af THC i kroppen er faldet til 0,1 mg?

d. Hvad ser der, hvis personen personen indtager 12 mg THC hver fjerde dag? Teg en graf, der

viser, hvordan mængden af THC i kroppen på denne person afhænger af antallet dage siden

”første dosis”

Kilde: Oplysninger og opgaver efter Thomas Vils Pedersen, Vækst, Matematiklærerforeningen 2005, s.30

Elevmaterialet til ”CASE 2 – Forurening af sø”

SK 27. februar 2017 Side 7 af 9

CASE 2 - Forurening af sø

Opgaveformulering

Der ønskes en matematisk modellering af mængden af et forurenende stof i en sø, der løbende tilføres

et forurenende stof og friskt, rent vand, og som samtidigt leverer vand til en å, der løber fra søen.

Modelleringen skal foretages med henblik på en diskussion af, hvorledes koncentrationen af de

forurenende stof i søen kan holdes under en given grænseværdi.

Dokumentér jeres løsning skriftligt. Tag i teksten læseren ved hånden, og beskriv overvejelser og metoder.

Sørg for, at der er en rød tråd fra formulering af problemet til konklusionen.

Up-load jeres besvarelse til ”opgaver” i Lectio, enten som et Word-dokument eller som en pdf-fil.

På næste side finder I stikord og hints der kan hjælpe jer i jeres modellering. Start fx med at løse alle

opgaverne - det er dog ikke nødvendigvis alle opgavernes løsning, der skal med i jeres endelige besvarelse.

Det handler om at udvælge det, der er relevant, for at løse opgaven.

Elevmaterialet til ”CASE 2 – Forurening af sø”

SK 27. februar 2017 Side 8 af 9

Forslag og opgaver, der kan hjælpe jer i modelleringen.

Den eksperimentelle tilgang: Tag udgangspunkt i situationen fra lektieopgaven/ tavlegennemgangen.

Simplificeret model af virkeligheden Matematisk model og analyse af model

Løs differentialligningen med forskellige valg af parametrene - fortag ændringerne systematisk - skrift kun

én ting ad gangen! Hvad sker der fx, hvis både indstrømning og udstrømning øges til 4 m3/min? Hvad hvis

søen graves dybere?

Den analytiske tilgang: Indfør bogstaver for alle parametrene, opstil differentialligningen og løs den med disse bogstaver. Af jeres

løsning/jeres differentialligning bør I kunne aflæse den grænse, som stofmængden i søen vil nærme sig - og

ud fra denne finde et udtryk for koncentrationen af stoffet i søen - første del af en løsningen er vist

herunder

Simplificeret model af virkeligheden Matematisk model og analyse af model

Elevmaterialet til ”CASE 2 – Forurening af sø”

SK 27. februar 2017 Side 9 af 9

Hvad hvis indløb og udløb ikke er det samme? Prøv fx at arbejde videre med nedenstående situation - her vil I skulle bruge ”dsolve” for at løse

differentialligningen

Simplificeret model af virkeligheden Matematisk model og analyse af model

Kilde: Klippene i dette dokument er fra oplæg ved Thomas Vils Pedersen på kurset ”Differentialligninger fra andre fag”, september

2016, Danske Science Gymnasier (DASG)