Mini-video 1 de 5Materia: Algunos conceptos topológicos en la recta real

Concepto de función. DominioAlgunas funciones de interésComposición de funciones

Prácticas con

Introducción a Funciones de una variable

Conceptos topológicos en la recta real

Intervalo cerrado:

Introducción a Funciones de una variable

Conceptos topológicos en la recta real

Intervalo cerrado:

Intervalo abierto:

Introducción a Funciones de una variable

Conceptos topológicos en la recta real

Intervalo cerrado:

Intervalo abierto:

Otros:

Introducción a Funciones de una variable

Conceptos topológicos en la recta real

Intervalo cerrado:

Intervalo abierto:

Otros:

Entono de radio «r»:

Introducción a Funciones de una variable

A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a), como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el punto a:

Introducción a Funciones de una variable

A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a), como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el punto a:

De forma coloquial, cuando se habla del entorno de un punto se está indicando puntos cercanos a él.

Introducción a Funciones de una variable

A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a), como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el punto a:

De forma coloquial, cuando se habla del entorno de un punto se está indicando puntos cercanos a él.

Diremos que un punto es interior a un conjunto si existe al menos un entorno del punto totalmente contenido en el conjunto.

Introducción a Funciones de una variable

A veces se suele hablar, de forma coloquial: entorno de un punto a: N(a), como el conjunto de puntos que contiene un entorno abierto de centro el punto a:

De forma coloquial, cuando se habla del entorno de un punto se está indicando puntos cercanos a él.

Diremos que un punto es interior a un conjunto si existe al menos un entorno del punto totalmente contenido en el conjunto.

El conjunto de todos los puntos interiores a un conjunto A se llama Interior del conjunto y lo notamos Int(A). Cuando el conjunto coincide con su interior, se dice que es abierto.

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo contiene al menos un punto del conjunto.  

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo contiene al menos un punto del conjunto.  El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama Adherencia de A y se denota por Adh(A).  

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo contiene al menos un punto del conjunto.  El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama Adherencia de A y se denota por Adh(A).  

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo contiene al menos un punto del conjunto.  El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama Adherencia de A y se denota por Adh(A).  Cuando un conjunto coincide con su adherencia diremos que es cerrado. 

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo contiene al menos un punto del conjunto.  El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama Adherencia de A y se denota por Adh(A).  Cuando un conjunto coincide con su adherencia diremos que es cerrado. Por la propia definición, es obvio que todo punto interior es adherente. De hecho, para un conjunto A siempre se verifica la siguiente relación: 

 

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es adherente a un conjunto si todo entorno suyo contiene al menos un punto del conjunto.  El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama Adherencia de A y se denota por Adh(A).  Cuando un conjunto coincide con su adherencia diremos que es cerrado. Por la propia definición, es obvio que todo punto interior es adherente. De hecho, para un conjunto A siempre se verifica la siguiente relación: 

 De forma que sí se cumple la primera igualdad, el conjunto es abierto y si se cumple la segunda igualdad, el conjunto es cerrado. El único conjunto que es abierto y cerrado a la vez es la recta real. Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos y los intervalos cerrados son conjuntos cerrados.

Introducción a Funciones de una variable

Introducción a Funciones de una variable

Diremos que un punto es frontera si es adherente pero no es interior. En la figura anterior, los puntos frontera son los puntos a y b. Al conjunto de todos los puntos frontera de A se llama Frontera de A y se denota por Fr(A).

Introducción a Funciones de una variable

Concepto de función.

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B. 

Introducción a Funciones de una variable

Concepto de función.

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B. Ejemplo.Supongamos que consideramos la relación entre el conjunto de los números pares (A) y el conjunto de los números impares (B) 

A = { ... -4,-2,0,2,4, ... }, B = { ... -3,-1,1,3, ... }

y sea la relación que se establece entre ellos la siguiente: a todo elemento x de A le asociamos x+5. Si llamamos “y” al resultado, tendremos la relación definida de la forma:

y = x+5

Introducción a Funciones de una variable

Concepto de función.

Una función de un conjunto A en un conjunto B es una relación que se establece entre ambos conjuntos de tal forma que a todo elemento de A le corresponde un único de B. Ejemplo.Supongamos que consideramos la relación entre el conjunto de los números pares (A) y el conjunto de los números impares (B) 

A = { ... -4,-2,0,2,4, ... }, B = { ... -3,-1,1,3, ... }

y sea la relación que se establece entre ellos la siguiente: a todo elemento x de A le asociamos x+5. Si llamamos “y” al resultado, tendremos la relación definida de la forma:

y = x+5

Introducción a Funciones de una variable

La relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:

F(x) = y =x+5 queriendo con ello indicar que a esta función, a la que llamamos F, está definida de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese valor más 5 unidades, es decir:

 

Introducción a Funciones de una variable

La relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:

F(x) = y =x+5 queriendo con ello indicar que a esta función, a la que llamamos F, está definida de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese valor más 5 unidades, es decir:

 En la expresión F(x) = y, a x se denomina variable independiente, mientras que y se denomina variable dependiente, puesto que sus valores se calculan a partir de los valores de x.

Introducción a Funciones de una variable

La relación anterior es una función, la cual suele escribirse de la forma:

F(x) = y =x+5 queriendo con ello indicar que a esta función, a la que llamamos F, está definida de tal forma que para cualquier x del conjunto A le asocia ese valor más 5 unidades, es decir:

 En la expresión F(x) = y, a x se denomina variable independiente, mientras que y se denomina variable dependiente, puesto que sus valores se calculan a partir de los valores de x.

Ahora bien, hay funciones que no se pueden evaluar para cualquier valor arbitrario de x, sino que aparecen restringidas a ciertos conjuntos. Estos conjunto se llaman dominio de la función, que veremos más adelante.

Introducción a Funciones de una variable

Introducción a Funciones de una variable

Ejemplo:Sea p el precio variable de un determinado bien económico y sea una función que expresa la demanda de dicho bien que depende directamente de p:  

D(p) = 5 - p Calcular el valor de la demanda cuando el precio toma el valor p = 1 y cuando p = 2.  

Introducción a Funciones de una variable

Ejemplo:Sea p el precio variable de un determinado bien económico y sea una función que expresa la demanda de dicho bien que depende directamente de p:  

D(p) = 5 - p Calcular el valor de la demanda cuando el precio toma el valor p = 1 y cuando p = 2.  Solución:  

D(1) = 5 - 1 = 4; D(2) = 5 – 2 = 3

Introducción a Funciones de una variable

Dominio de una función.

Como ya hemos comentado, el conjunto donde podemos definir la función F se denomina dominio de la función y lo denotaremos por D. Por lo tanto, una función real de variable real la escribiremos siempre en la forma:

notando que F está definida en una parte D del conjunto de los números reales en los propios números reales.

Introducción a Funciones de una variable

Dominio de una función.

Como ya hemos comentado, el conjunto donde podemos definir la función F se denomina dominio de la función y lo denotaremos por D. Por lo tanto, una función real de variable real la escribiremos siempre en la forma:

notando que F está definida en una parte D del conjunto de los números reales en los propios números reales.

Introducción a Funciones de una variable

También podemos trabajar a veces con funciones “definidas a trozos”.

Por ejemplo

Introducción a Funciones de una variable

También podemos trabajar a veces con funciones “definidas a trozos”.

Por ejemplo

Introducción a Funciones de una variable

Algunas funciones interesantes:

Introducción a Funciones de una variable

Algunas funciones interesantes:

Una función racional es aquella que se puede expresar como cociente de dos polinomios. Un ejemplo sería:  

A la función anterior se le llama propia, ya que el grado de P(x) es menor que el de Q(x). En caso contrario, se llama impropia.

Introducción a Funciones de una variable

Algunas funciones interesantes:

Una función racional es aquella que se puede expresar como cociente de dos polinomios. Un ejemplo sería:  

A la función anterior se le llama propia, ya que el grado de P(x) es menor que el de Q(x). En caso contrario, se llama impropia.

Una función potencial es de la forma: 

F(x) = xn  siendo el dominio todo el conjunto de los reales.

n Î ¥

Introducción a Funciones de una variable

3) Una función exponencial es de la forma: 

F(x) = nx  siendo el dominio todo el conjunto de los reales.

n Î ¥

Introducción a Funciones de una variable

3) Una función exponencial es de la forma: 

F(x) = nx  siendo el dominio todo el conjunto de los reales.

EjemplosExisten algunas funciones que son muy utilizadas, cuyas gráficas es bueno conocer: 

n Î ¥

Introducción a Funciones de una variable

3) Una función exponencial es de la forma: 

F(x) = nx  siendo el dominio todo el conjunto de los reales.

EjemplosExisten algunas funciones que son muy utilizadas, cuyas gráficas es bueno conocer: a)

F(x) = Log(x)Su dominio de definición es: 

n Î ¥

{ }D x / x 0= Î >¡

Introducción a Funciones de una variable

b) F(x) = ex

Su dominio de definición es toda la recta real

 

Introducción a Funciones de una variable

b) F(x) = ex

Su dominio de definición es toda la recta real

c)

Su dominio de definición es cualquier valor distinto de cero

 

Introducción a Funciones de una variable

Composición de funciones.

Sean F y G dos funciones reales definidas:  Si se verifica que , entonces existe la composición definida de la forma: 

G: H Ì ®¡ ¡

Introducción a Funciones de una variable

Composición de funciones.

Sean F y G dos funciones reales definidas:  Si se verifica que , entonces existe la composición definida de la forma: 

Ejemplo:Sean las funciones:  Comprobar si existe la composición y determinar la imagen de x =10 mediante dicha composición. Solución:

G: H Ì ®¡ ¡

Introducción a Funciones de una variable

Solución: El dominio de F es el conjunto

mientras que el de G es

Vemos, evidentemente, que y por tanto existe la composición de ambas funciones. 

{ }D x / x 0= Î ³¡

H= ¡

Introducción a Funciones de una variable

Solución: El dominio de F es el conjunto

mientras que el de G es

Vemos, evidentemente, que y por tanto existe la composición de ambas funciones. Para calcular la composición, hacemos actuar una seguida de la otra:

Por lo tanto

{ }D x / x 0= Î ³¡

H= ¡

Introducción a Funciones de una variable

Solución: El dominio de F es el conjunto

mientras que el de G es

Vemos, evidentemente, que y por tanto existe la composición de ambas funciones. Para calcular la composición, hacemos actuar una seguida de la otra:

Por lo tanto

{ }D x / x 0= Î ³¡

H= ¡

Mini-video 2 de 5Materia: Límites de funciones

Continuidad de funciones

Prácticas con

Introducción a Funciones de una variable