Mikenberg 2013 Algebra Intro Calculo

lgebra e Introduccin al Clculo

Dra. Irene F. Mikenberg

lgebra e Introduccin al Clculo

Dra. Irene F. Mikenberg

Facultad de Matemticas

Pontificia Universidad Catlica de Chile

2 de enero de 2013

Prlogo XVII

1 Lenguaje Matemtico 1

1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Lenguaje Matemtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1 Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2 Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3 Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.4 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Las Leyes de la Lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1 Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2 Verdad lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.3 Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.4 Equivalencia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Consecuencia lgica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.6 Verdades lgicas usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.1 Negacin de una proposicin dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4.2 Demostraciones por contradiccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.3 Demostraciones por contraposicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Autoevaluacin 1 36

2 Los Nmeros Reales 37

2.1 Sistemas Numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Operaciones Bsicas en los Nmeros Reales:Suma y Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 Orden de los Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Conjuntos de Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

III

2.5 Completud de los Nmeros Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.6 Ecuaciones e Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.1 Ecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.6.2 La ecuacin de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.3 La ecuacin de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.6.4 Inecuaciones en una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.6.5 Inecuacin de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.6.6 Inecuacin de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.7 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Autoevaluacin 2 74

3 Relaciones yFunciones 75

3.1 Pares Ordenados y Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.2 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.1 Nocin intuitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Grfico de Relaciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3.1 Ecuacin e inecuacin de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.4 Concepto de Funcin y Propiedades Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.5 Grficos de las Funciones Reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6 Estudio de una Funcin Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.7 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123


Autoevaluacin 3 130

4 Trigonometra 133

4.1 Las Razones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.2 Las Funciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.2.1 Estudio de la funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

4.2.2 La funcin coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.2.3 Las otras funciones trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

IV

4.3 Identidades Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4.4 Resolucin de Ecuaciones Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4.1 Funcin seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.4.2 Funcin coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.4.3 Funcin tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5 Funciones Trigonomtricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.5.1 Funcin inversa del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.5.2 Funcin inversa del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.5.3 Funcin inversa del tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.6 Resolucin de Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.6.1 rea de un tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.6.2 Teorema del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.6.3 Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.6.4 Problemas Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


Autoevaluacin 4 177

5 Nmeros Naturales 179

5.1 Propiedades Bsicas de los Nmeros Naturales . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.2 Induccin Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.3 Definiciones Recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

5.4 La Exponenciacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201


Autoevaluacin 5 208

6 Aplicaciones deInduccin 209

6.1 Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

6.2 Una Desigualdad Importante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

6.3 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230


V

Autoevaluacin 6 244

7 Polinomios y Nmeros Complejos 245

7.1 Nmeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.1.2 El sistema de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

7.2 Forma Polar de un Nmero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.2.1 Grfico de nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

7.2.2 Teorema de DeMoivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.3 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

7.3.1 Divisin de un polinomio por un polinomio de grado uno . . . . . . . 268

7.3.2 Teorema Fundamental del lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275


Autoevaluacin 7 283

8 Logaritmo yExponencial 285

8.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.2 La Funcin Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

8.2.1 Ejemplos de modelamiento con lafuncin exponencial natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

8.3 La Funcin Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

8.3.1 Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292


Autoevaluacin 8 299

9 Geometra Analtica 301

9.1 La Lnea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.1.1 Pendiente e inclinacin de una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9.1.2 Ecuacin de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

9.2 Distancia de un Punto a una recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

9.3 La Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

VI

9.3.1 Eje radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

9.4 La Parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

9.4.1 Ecuacin de la parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

9.4.2 Elementos de una parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

9.4.3 Translacin de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

9.5 La Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

9.5.1 La ecuacin de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

9.5.2 Los elementos de la elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

9.6 La Hiprbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

9.6.1 La ecuacin de la hiprbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

9.6.2 Elementos de la hiprbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

9.7 Ecuacin General de Segundo Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9.7.1 Rotacin de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340


Autoevaluacin 9 348

10 Axioma del Supremo y Limites de Sucesiones 349

10.1 Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

10.1.1 Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10.2 Limites de Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

10.2.1 Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372


Autoevaluacin 10 387

Autoevaluacin 11 389

A Respuestas a Algunos Ejercicios 397

A.1 Captulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

A.2 Autoevaluacin 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.3 Captulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

A.4 Autoevaluacin 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

A.5 Captulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

VII

A.6 Autoevaluacin 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416

A.7 Captulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

A.8 Autoevaluacin 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

A.9 Autoevaluacin 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

A.10 Captulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

A.11 Autoevaluacin 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

A.12 Captulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

A.13 Autoevaluacin 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

A.14 Captulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

A.15 Autoevaluacin 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

A.16 Captulo 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450

A.17 Autoevaluacin 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

A.18 Captulo 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456

A.19 Autoevaluacin 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

A.20 Autoevaluacin Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460

B BIBLIOGRAFA 463

B.1 TEXTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463

B.2 VIDEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

VIII

1.1 Verdades lgicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Ejemplo de una proposicin que no es verdad lgica. . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Contradiccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Proposiciones no lgicamente equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Consecuencia lgica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Tabla de verdad del Teorema 1.1 (XXVIII) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Tabla de verdad de la proposicin (( ) ) . . . . . . . . . . . . . 18

4.1 Valores para el seno y coseno de 0, 30, 45, 60 y 90 grados. . . . . . . . . . 136

6.1 Tringulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

IX

1.1 Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R de A. . . . . . . . . . . . . . 25

1.2 Modificacin de la figura 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Objeto a que pertenece a R y Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Diagrama de Venn para la proposicin Hay nmeros naturales pares queson racionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1 Recta con origen O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Semirecta positiva y semirecta negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.3 Trazo unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Nmero 0 en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Nmero 1 a una distancia unitaria del origen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6 Posicin del nmero n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.7 Posicin del nmero n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Posicin del racional positivo m/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.9 Posicin del racional negativo m/n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.10 Ejemplo de asignaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.11 Cuadrado de lado unitario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.12 Trazo de largo r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.13 Rectngulo de lados r y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.14 Volumen del paraleleppedo de arista r , 1 y 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.15 Suma de dos reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.16 Producto de dos nmeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.17 Conjunto solucin del problema 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.1 Grfico de las rectas `1 y `2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2 Grfico de Px , Py , los puntos asignados a x y a y . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Grfico del rectngulo OPxP(x , y )Py . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.4 Grfico de S0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.5 Grfico de S1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6 Grfico de S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.7 Grfico de S3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

XI

3.8 Grfico de la ecuacin 5x + 3y 1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.9 Grfico de la inecuacin 5x + 3y 1 < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.10 Grfico de la ecuacin 2x 1 = y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.11 Grfico de la inecuacin y 5 < 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853.12 Grfico de S = {(x , y ) R R : 2x 1 = y y 5 < 1}. . . . . . . . . . . 853.13 Grfico de F (x) = 2x + 5, x R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.14 Grfico de F (x) = 2x2 + 6x 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.15 Grfico de f (x) = |x |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993.16 Grfico de f (x)en cada regin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.17 Grfico de f (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.18 Grfico de f (x) =

1 x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.19 Grfico de f (x) = 3x + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1023.20 Simetra de funciones pares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.21 Simetra de funciones impares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.22 Grfico de la funcin peridica del Ejemplo 3.36. . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.23 Grfico de la funcin del Ejemplo 3.38 para el intervalo [0, 2]. . . . . . . . . 111

3.24 Grfico de la funcin del Ejemplo 3.38 para el intervalo [2, 2]. . . . . . . . 1123.25 Grfico de la funcin del Ejemplo 3.38 para todo R. . . . . . . . . . . . . . . 1123.26 Grfico de la funcin f (x) = x2 para [0,[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.27 Grfico de la funcin f (x) = x2 para R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.28 Grfico de la funcin inversa restringida f1(x) =

x , x 0. . . . . . . . . 113

3.29 Grfico de la funcin f (x) = x3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.30 Grfico de la funcin inversa f1(x) = 3

x , x R. . . . . . . . . . . . . . . . 114

3.31 Grfico de f (x) =1x

en [0,[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

3.32 Grfico de f (x) =1x

en R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.33 Grfico de f (x) =1x2

en [0,[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.34 Grfico de f (x) =1x2

en todo R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3.35 Grfico de la funcin parte entera de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.36 Grfico de las funciones f (x) = 2x + 5 y (f )(x) = 2x 5. . . . . . . . . . 1193.37 Grfico de f y de f + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

XII

3.38 Grfico de f (x) =

1 x2 y (4f )(x) = 4

1 x2. . . . . . . . . . . . . . . . . 1203.39 Grfico de f (x) = 2x y |f |(x) = 2|x |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.40 Grfico de f (x) = x2 y f (x 2) = (x 2)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.41 Grfico de f (x) =

1 x2 y g(x) = f (2x) =

1 4x2. . . . . . . . . . . . . . 122

3.42 Grfico de f (x) = 2x + 5 y f (x) = 2x + 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

3.43 Grfico de f (x) = 2x 3 y f1(x) = x + 32

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.1 Tringulo rectngulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.2 Tringulo equiltero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.3 Tringulo rectngulo issceles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.4 Diagrama para calcular el seno de la suma de dos ngulos. . . . . . . . . . 137

4.5 Punto P(ax , bx ) definido por el ngulo que mide x radianes en la circunfe-rencia de centro en el origen y radio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4.6 Grfico de la funcin seno en [0, 2[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

4.7 Grfico de la funcin seno en [2, 2[. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.8 Grfico de la funcin coseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.9 Grfico de la funcin tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.10 Grfico de la funcin cotangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4.11 Grfico de la funcin cosecante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.12 Grfico de la funcin secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4.13 Grfico de la funcin g(x) = 2 sen 3(

x +

3

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.14 Grfico de la funcin f (x) = 2 sen(3x + ) + 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.15 Grficos de las funciones del problema 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.16 Grfico de una funcin de la forma f (x) = A sen (Bx + C), Problema 4.4. . . 147

4.17 Desplazamiento de una masa atada a un resorte. . . . . . . . . . . . . . . . 148

4.18 Grfico del desplazamiento de la masa en funcin del tiempo. . . . . . . . . 149

4.19 Grfico de la variacin de la presin en funcin del tiempo. . . . . . . . . . 150

4.20 Soluciones a la ecuacin sen(x) = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.21 Soluciones a la ecuacin cos(x) = a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.22 Grfico de la funcin arc sen(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.23 Grfico de la funcin arc cos (x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

4.24 Grfico de la funcin arctan(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

XIII

4.25 Tringulo ABC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.26 Caso ngulo agudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.27 Caso ngulo no-agudo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.28 Demostracin del Teorema 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

4.29 Diagrama para el Problema 4.23. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

4.30 Diagrama del ejercicio 30. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175




5.1 Ejemplo de una definicin recursiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

7.1 Grfico de z1 = 1 + 2i y z2 = 2 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2567.2 Grfico de los nmeros complejos del Ejemplo 7.9. . . . . . . . . . . . . . . 257

7.2 Grfico de los nmeros complejos del Ejemplo 7.9 (cont.). . . . . . . . . . . 258

7.3 Grfico de las races cbicas de z = i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

8.1 Grfico de la funcin exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.2 Grfico de f1(x) = 2x , f2(x) = 3x , y f3(x) =(

12

)x. . . . . . . . . . . . . . . . . 286

8.3 Grfico de la funcin logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

9.1 Recta L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

9.2 Distancia de un punto P a una recta L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

9.3 Rectas tangentes a la circunferencia del problema 9.6 . . . . . . . . . . . . 314

9.4 Elementos de una parbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

9.5 Parbolas con su eje coincidendo con el eje X . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

9.6 Parbolas con su eje coincidendo con el eje Y . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

9.7 Elementos de una parbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

9.8 Translacin de un eje coordenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

9.9 Relacin entre las coordenadas de un sistema transladado. . . . . . . . . . 323

9.10 Parbola bajo la translacin de ejes coordenados. . . . . . . . . . . . . . . 325

9.11 Elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

9.12 Elementos de una elipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

XIV

9.13 Hiprbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

9.14 Hiprbola equiltera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

9.15 Sistemas ortogonales con el mismo origen O. . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

9.16 Tringulo rectngulo que cumple tan() = 1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . 341

9.17 Grfica de la ecuacin 5x2 + 4xy + 2y2 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

XV

PrlogoEl presente texto tiene por objetivo entregar los conocimientos necesarios al alumno

para que pueda tomar un primer curso de clculo en la Pontificia Universidad Catlicade Chile abarcando todos los temas de la asignatura lgebra e Introduccin al Clculo"que se imparte a diversas carreras y en diferentes formas.

Este volumen se preocupa de los temas ms formales permitiendo al alumno familia-rizarse con los lenguajes cientficos y con el mtodo deductivo, aspectos fundamentalesen la formacin de un profesional.

En el primer captulo se presenta el lenguaje matemtico, se introduce el uso de varia-bles y se desarrollan algunos de los principales conceptos lgicos: verdad, consecuencia,equivalencia y demostracin. Este captulo es el eje transversal de todo el texto, pues en-trega las herramientas necesarias para hacer demostraciones correctas en matemtica.

El segundo captulo se refiere a los nmeros reales. Aqu se hace una presentacinaxiomtica y en base a ella se estudian ecuaciones e inecuaciones.

En el tercer captulo se introducen los conceptos de relacin, funcin real, sus propie-dades y sus grficos.

El cuarto captulo est dedicado a las funciones trigonomtricas, sus propiedades,sus grficos y sus aplicaciones.

En el captulo cinco se presentan los nmeros naturales, basado en los axiomas de losnmeros reales. Aqu se estudian principalmente los conceptos de induccin y recursin.

En el captulo seis se desarrollan las principales aplicaciones de la induccin matem-tica, destacando las propiedades de sumatorias, progresiones, nmeros combinatorios yel Teorema del Binomio.

XVII

En el sptimo captulo se introducen los nmeros complejos y los polinomios.

En el captulo ocho se presentan las funciones exponencial y logaritmo, destacandolas propiedades de modelamiento de estas funciones.

En el captulo nueve se introducen los conceptos bsicos de la geometra analtica,estudiando rectas y las cnicas.

Finalmente, en el captulo diez se introducen los primeros conceptos del clculo di-ferencial, estudiando el concepto de completud de los nmeros reales y el de lmites desucesiones.

Al final de cada captulo se entrega una prueba de autoevaluacin de los conocimien-tos relevantes de cada captulo. Esta prueba consta de siete preguntas que el alumnodeber responder y autoevaluar cada pregunta con una nota entre cero y uno. El prome-dio de las diez evaluaciones ser el setenta por ciento de la nota del curso y el restantetreinta por ciento es la nota que se obtenga en el examen final que se encuentra en elcaptulo once. Con esta nota, el alumno podr saber si est en condiciones apropiadaspara tomar un primer curso de clculo universitario.

Las respuestas a muchos de los ejercicios propuestos en cada captulo, a las pruebasde autoevaluacin y al examen final se encuentran en el captulo doce.

Deseo agradecer muy especialmente a mi amiga y colega Mara Isabel Rauld por suscorrecciones, revisin del presente texto y su invaluable cooperacin.

Irene Mikenberg L.

Santiago, noviembre de 2012.

XVIII

1Lenguaje Matemtico

Introduccin 1.1

La matemtica estudia las propiedades de ciertos objetos, tales como nmeros, ope-raciones, conjuntos, funciones, relaciones, etc. y para ello, es necesario poder contarcon un lenguaje apropiado para expresar estas propiedades de manera precisa. Desa-rrollaremos aqu un lenguaje que cumpla estos requisitos, al cual llamaremos lenguajematemtico.

Aunque algunas de estas propiedades son evidentes, la mayora de ellas no lo son ynecesitan de una cierta argumentacin que permita establecer su validez. Es fundamen-tal por lo tanto conocer las principales leyes de la lgica que regulan la correccin deestos argumentos. Desarrollaremos aqu los conceptos de verdad, equivalencia y conse-cuencia lgica y algunas de sus aplicaciones al razonamiento matemtico.

Lenguaje Matemtico 1.2

El lenguaje matemtico est formado por una parte del lenguaje natural, al cual sele agregan variables y smbolos lgicos que permiten una interpretacin precisa de cadafrase.

1

2 Captulo 1. Lenguaje Matemtico

Proposiciones 1.2.1

Llamaremos proposiciones a aquellas frases del lenguaje natural sobre las cualespodamos afirmar que son verdaderas o falsas. Ejemplos de proposiciones son:

Dos es par.

Tres es mayor que siete.

Tres ms cuatro es nueve.

Si dos es mayor que cinco entonces dos es par.

Dos no es par .

En cambio las siguientes frases no son proposiciones:

Es dos nmero par?.

Dos ms tres.

Smale cinco!.

Usamos letras griegas , , ,. . . etc., para denotar proposiciones.

Conectivos 1.2.2

Una proposicin puede estar compuesta a su vez por una o varias proposiciones mssimples, conectadas por una palabra o frase que se llama conectivo.

Los conectivos ms usados son:

Negacin

Consideremos la proposicin

dos no es par.

sta est compuesta por la proposicin ms simple dos es par y por la palabrano, que constituye el conectivo negacin.

Si es una proposicin, denotar la proposicin no es verdad que .

1.2. Lenguaje Matemtico 3

Conjuncin


dos es par y tres es impar,

la cual est compuesta por las proposiciones ms simples dos es par y tres esimpar, conectadas por la palabra y, que constituye el conectivo conjuncin.

Si y son dos proposiciones, usamos ( ) para denotar la proposicin y .

Disyuncin


dos es mayor que siete o siete es mayor que dos.

Esta est compuesta por las proposiciones ms simples dos es mayor que siete y siete es mayor que dos, conectadas por la palabra o, que constituye el conectivodisyuncin.

Si y son dos proposiciones, usamos ( ) para denotar la proposicin o .

Implicacin


si dos es par entonces tres es impar.

sta est compuesta por las dos proposiciones ms simples dos es par y tres esimpar, conectadas por las palabras si. . . , entonces. . . , que constituyen el conec-tivo implicacin.

Como notacin usamos ( ) para la proposicin si entonces .

Bicondicional


dos es mayor que siete si y slo si siete es menor que dos.

sta est compuesta por las proposiciones ms simples dos es mayor que siete y siete es menor que dos, conectadas por las palabras si y slo si, que constituyenel conectivo bicondicional.

Denotamos por ( ) a la proposicin si y slo si .


Una proposicin es simple si ninguna parte de ella es a su vez una proposicin.Ejemplos de proposiciones simples son:

Dos es un nmero par.

Tres es mayor que cuatro.

Tres ms cinco es mayor que cuatro.

Se usan letras minsculas p, q, r , s,. . . etc., para denotar proposiciones simples.

Ejemplos

Ejemplo 1.1

Usando smbolos matemticos conocidos y smbolos para los conectivos, podemos ex-presar las siguientes proposiciones:

a) Si dos es par entonces tres es impar como (2 es par 3 es impar).b) No es verdad, que dos es par o impar como (2 es par 2 es impar).c) Si no es verdad que cinco es menor que siete, entonces cinco es mayor que siete

o cinco es igual que siete como ( (5 < 7) ( 5 > 7 5 = 7 )).

Ejemplo 1.2

Usando adems los siguientes smbolos:

p : 2 es par, q : 3 es impar,

r : 5 < 7, s : 5 > 7,

t : 5 = 7, u : 2 es impar,

podemos expresar:

a) Si dos es par entonces tres es impar como

(p q).b) No es verdad que dos es par o impar como

(p u).c) Si no es verdad que cinco es menor que siete, entonces cinco es mayor que siete

o cinco es igual que siete como

( r (s t)).


Predicados 1.2.3

Consideremos proposiciones en las que hemos reemplazado uno o ms nombres deobjetos por letras como: x , y , z, u, etc. Por ejemplo, las siguientes:

x es positivo

y es par

x es mayor que y

x es mayor que y ms z

Si x es mayor que 5, entonces x es positivo.

Estas frases se llaman predicados y las letras usadas se llaman variables. Los pre-dicados no son verdaderos ni falsos, pero al reemplazar las variables por nombres deobjetos se transforman en proposiciones.

Como en el caso de las proposiciones, los predicados pueden estar compuestos porotros ms simples ligados entre s por conectivos. Por ejemplo, el predicado: x es par ox es primo est compuesto por los predicados simples: x es par y x es primo unidospor el conectivo o.

Como notacin usamos:

Letras griegas seguidas de las variables correspondientes: (x), (x , y ), . . . etc.,para denotar predicados.

Letras minsculas seguidas de las variables correspondientes: p(x), q(x , y ),. . . etc.,para denotar predicados simples.

Ejemplos

Ejemplo 1.3

Usando smbolos matemticos conocidos y smbolos para los conectivos, podemos ex-presar los siguientes predicados:

a) Si x es par entonces x no es impar como (x es par (x es impar)).b) x es mayor que y si y solo si no es verdad, que x es menor que y o que x es igual

a y como (x > y (x < y x = y )).


Ejemplo 1.4

Usando adems los siguientes smbolos:

p(x) : x es par, q(x) : x es impar,

r (x , y ) : x > y , s(x , y ) : x < y ,

t : x = y ,

podemos expresar:

a) Si x es par entonces x no es impar como

(p(x) q(x)).

b) x es mayor que y si y slo si no es verdad, que x es menor que y o que x es iguala y como

(r (x , y ) (s(x , y ) t(x , y ))).

Cuantificadores 1.2.4

A partir de un predicado se puede obtener una proposicin anteponiendo una frasellamada cuantificador. Los cuantificadores mas usados son:

Cuantificador universal

Consideremos el predicado

x es positivo,

al cual le anteponemos la frase

para todo nmero x se tiene que.

Obtenemos la proposicin

para todo nmero x se tiene que x es positivo,

cuyo significado es equivalente al de la proposicin

todo nmero es positivo.

La frase para todo x constituye el cuantificador universal.


Cuantificador existencial

Si al mismo predicado

x es positivo,

le anteponemos la frase

existe un nmero x tal que,

obtenemos la proposicin

existe un nmero x tal que x es positivo,


existen nmeros positivos.

La frase existe un x constituye el cuantificador existencial.

Cuantificador existe un nico

Si anteponemos al mismo predicado

x es positivo,

la frase

existe un nico nmero x talque,

obtenemos la proposicin

existe un nico nmero x tal que x es positivo,


existe un nico nmero positivo.

La frase existe un nico x constituye el cuantificador existe un nico .

En todo cuantificador se debe especificar el tipo de objetos involucrados en la afirma-cin, y para hacer sto se usan colecciones o conjuntos de objetos que se denotan porletras maysculas: A, B, C,. . . etc.


Como notacin usamos:

x A(x) : para todo x elemento de la coleccin A, (x).x A(x) : existe al menos un elemento x de la coleccin A tal que (x).!x A(x) : existe un nico elemento x de la coleccin A tal que (x)..

(a) denota la proposicin obtenida de (x) al reemplazar x por a.

Notemos que si se tiene un predicado con dos variables diferentes, es necesario an-teponer dos cuantificadores para obtener una proposicin. Por ejemplo, a partir del pre-dicado x < y se pueden obtener entre otras:

x Ay A (x < y ),x Ay A (x < y ),x Ay A (x < y ),x Ay A (x < y ) ,y Ax A (x < y ).

Ejemplos

Ejemplo 1.5

Sea N el conjunto de los nmeros naturales. Entonces podemos expresar:

a) Todo nmero natural impar es primox N (x es impar x es primo).

b) Existen nmeros naturales impares que no son primosx N (x es impar (x es primo)).

c) Existe un nico nmero natural primo que no es impar!x N (x es primo (x es impar)).

Ejemplo 1.6

Sea N el conjunto de los nmeros naturales . Usando los smbolos matemticos usualesy los smbolos lgicos, podemos expresar las siguientes proposiciones:

1.3. Las Leyes de la Lgica 9

a) Dos ms dos es ocho:2 + 2 = 8.

b) Todo nmero natural es par:x N (x es par).

c) Si dos es par, todo nmero natural es par:(2 es par x N (x es par)).

d) Si uno es par, entonces 3 no es par:(1 es par (3 es par)).

e) Todo nmero natural mayor que cinco es par:x N (x > 5 x es par).

f) Hay nmeros naturales pares mayores que cinco:x N (x es par x > 5).

g) El producto de dos nmeros naturales pares, es par:x N y N ((x es par y es par) x y es par).

h) Existe un nico nmero natural cuyo cuadrado es cuatro:!x N (x2 = 4).

i) No hay un nmero natural que sea mayor que todo nmero natural: x N y N (x > y ).

j) El cuadrado de la suma de dos nmeros naturales es igual al cuadrado del primeroms el doble del producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo.

x N y N ((x + y )2 = x2 + 2xy + y2).

Las Leyes de la Lgica 1.3

Verdad 1.3.1

La verdad de una proposicin simple depende solamente de su contenido. Por ejem-plo las proposiciones 2 < 3, 2 es par y 3 es impar son verdaderas y por el contrario,4 = 5 y (2 5 + 1) > (32 10) son falsas.

En cambio la verdad de una proposicin compuesta depende adems de la verdad ofalsedad de sus componentes ms simples y est dada por las siguientes reglas, donde y son proposiciones, (x) es un predicado y A es un conjunto:

1. es verdadera si y solamente si es falsa.


2. ( ) es verdadera si y solamente si al menos una de ellas, o , es verdadera oambas son verdaderas.

3. ( ) es verdadera si y solamente si ambas y son verdaderas.

4. ( ) es verdadera si y solamente no puede darse el caso que sea verdaderay sea falsa.

5. ( ) es verdadera si y solamente si ambas, y son verdaderas o ambas sonfalsas.

6. x A (x) es verdadera si y solamente si para todo elemento a de A se tiene que(a) es verdadera.

7. x A (x) es verdadera si y solamente si existe al menos un elemento a de A talque (a) es verdadera.

8. !x A (x) es verdadera si y solamente si existe un nico elemento a de A tal que(a) es verdadera.

Observacin

Notemos que en el caso de la implicacin, si es falsa, automticamente ( )es verdadera y en este caso se dice que ( ) es trivialmente verdadera.

Ejemplos

Ejemplo 1.7

Sea N el conjunto de los nmeros naturales. Entonces,

a) (2 < 3 4 = 5) es verdadera porque 2 < 3 es verdadera.b) (2 < 3 4 = 5) es falsa porque 4 = 5 es falsa.c) (2 < 3 4 = 5) es falsa porque 2 < 3 es verdadera y 4 = 5 es falsa.d) (2 < 3 3 < 4) es verdadera porque ambas son verdaderas.e) (2 > 3 4 = 5) es trivialmente verdadera porque 2 > 3 es falsa.f) (2 < 3 5 > 1) es verdadera porque ambas son verdaderas.

g) (2 > 3 4 = 5) es verdadera porque ambas son falsas.h) x N (x > 2) es falsa porque 1 N y no se cumple que 1 > 2.


i) x N (x > 2) es verdadera porque por ejemplo, 3 N y 3 > 2.j) x N (x > 2 x 2) es verdadera, porque si a N entonces (a > 2 a 2) es

verdadera y esto ltimo es cierto porque o bien a > 2 o bien a 2.k) !x N (x > 2) es falsa, porque por ejemplo, 3 y 4 N, 3 > 2, 4 > 2 y 4 6= 3.l) x N (x > 4 x + 3 > 7) es verdadera porque si a N se tiene que (a > 4

a + 3 > 7) es verdadera, y esto ltimo es cierto porque si a > 4, sumando tres seobtiene que a + 3 > 7.

m) x N y N ((x > 1 y > 1) x y < 1) es falsa, porque por ejemplo,2 N, 3 N y ((2 > 1 3 > 1) 2 3 < 1) es falsa y esto ltimo se debe a que2 > 1 y 3 > 1 y no se cumple que 2 3 < 1.

n) x N y N (x < y ) es verdadera, pues si a N, entonces a + 1 N y a < a + 1,entonces si x = a exsite y = a + 1 tal que x < y .

) x N y N (y < x) es falsa porque si a N, entonces a + 1 N y no se cumpleque a + 1 < a.

Notemos que para ver que una proposicin de la forma x A (x) es falsa, basta en-contrar un objeto a de A que no cumpla con (a). Este objeto se llama un contraejemplode la proposicin dada.

Por ejemplo, en (h) del ejemplo anterior, x = 1 es un contraejemplo para la proposicinx N(x > 2).

Verdad lgica 1.3.2


((p q) p).

sta es verdadera, independientemente del valor de verdad de p y de q, como podemosver al hacer la siguiente tabla llamada tabla de verdad de la proposicin:

p q (p q) ((p q) p)

V V V V

V F F V

F V F V

F F F V

Tabla 1.1: Verdades lgicas.


Este tipo de proposiciones se llaman verdades lgicas.

Por el contrario si consideramos la proposicin

((p q) p),y hacemos su tabla de verdad:

p q (p q) ((p q) p)

V V V V

V F V V

F V V F

F F F V

Tabla 1.2: Ejemplo de una proposicin que no es verdad lgica.

Vemos que sta es verdadera slo para algunos valores de verdad de p y q. Estaproposicin no es una verdad lgica.

El mtodo de las tablas de verdad para verificar una verdad lgica sirve solamentecuando se trata de proposiciones sin variables ni cuantificadores. Por ejemplo, la propo-sicin

x A (p(x) p(x)),es lgicamente verdadera pues si a es un objeto de la coleccin A, o bien se cumple p (a)o bien su negacin p (a), y por lo tanto (p (a) p (a)) es siempre verdadera. En estecaso no se puede usar tablas de verdad porque la verdad de sta depende del universoA y de si para cada objeto a de A se cumple p (a) o no.

Contradicciones 1.3.3

Si consideramos la proposicin

(p p),vemos que sta es siempre falsa, cualquiera que sea el valor de verdad de p comopodemos observar al hacer la tabla de verdad de la proposicin:

p p (p p)

V F F

F V F

Tabla 1.3: Contradiccin.

Este tipo de proposiciones se llaman contradicciones.


Tambin existen contradicciones en el lenguaje con variables. Por ejemplo la proposi-cin

x A (p (x)) x A ( p (x)),

es siempre falsa pues si para todo a A se cumple p (a), entonces no puede existir una A tal que p (a).

Equivalencia lgica 1.3.4

La proposicin(x A (p (x))) x A (p (x))

es lgicamente verdadera pues (x A (p (x))) es verdadera si y slo si no es ciertoque para todo elemento a A se cumple p (a), lo cual equivale a que exista al menos unelemento a A que cumple p(a) que a su vez es equivalente a que x A (p (x)) seaverdadera.

En este caso se dice que las proposiciones x Ap(x) y x A p(x) son lgica-mente equivalentes, y como notacin usamos:

x A (p(x)) x A (p(x)).

Por el contrario, las proposiciones (p q) y ( p q) no son lgicamenteequivalentes porque la proposicin

( (p q) ( p q))

no es una verdad lgica como se puede deducir de su tabla de verdad:

p q p q (p q) (p q) (p q) ( (p q) ( p q))

V V F F V F F V

V F F V F V F F

F V V F F V F F

F F V V F V V V

Tabla 1.4: Proposiciones no lgicamente equivalentes.

Es decir,( (p q) 6 ( p q)).


Consecuencia lgica 1.3.5

La proposicin(p (p q)) q)

es lgicamente verdadera como se puede ver fcilmente al hacer su tabla de verdad:

p q (p q) (p (p q) ((p (p q)) q)

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Tabla 1.5: Consecuencia lgica.

En este caso se dice que q (el consecuente), es consecuencia lgica de p y (p q)(proposiciones que forman el antecedente).

Como notacin tambin se usa:

p

(p q)

premisas

q conclusin

Por el contrario, la proposicin x A (p (x) q (x)), no es consecuencia lgica dex A (p (x)) y x A (q (x)), porque la proposicin

(x A (p (x)) x A (q (x))) x A(p (x) q (x))

no es lgicamente verdadera.

Para verificar que no lo es, basta encontrar un conjunto A, y predicados particularesp(x) y q(x) que hagan falsa a la proposicin anterior, es decir, que hagan verdadero alantecedente y falso al consecuente.

Sea A = N, p(x) : x es par y q(x) : x es impar. Entonces, x A (p (x)) esverdadera porque existen nmeros naturales pares, x A (q (x)) es verdadera porqueexisten nmeros naturales impares y por lo tanto su conjuncin:

(x A (p (x)) x A (q (x)))


es verdadera.

Por otro lado no existe un nmero natural que sea par e impar simultneamente, porlo tanto la proposicin x A (p (x) q (x)) es falsa.

Verdades lgicas usuales 1.3.6

El siguiente teorema nos proporciona algunas de las verdades lgicas ms usadasen el razonamiento matemtico:

Teorema

Teorema 1.1 Sean , y proposiciones. Entonces, las siguientes proposicio-nes son lgicamente verdaderas:

(I) .(II) ( ).(III) .(IV) ( ) .(V) ( ) .(VI) (( ) ) .(VII) ( ).(VIII) ( ).(IX) ( ) .(X) ( ) .(XI) (( ) ( )) ( ).(XII) (( ) ( )) ( ).(XIII) (a A x A ((x))) (a).(XIV) ( ) ( ).(XV) ( ) ( ).(XVI) ( ( )) (( ) ).(XVII) ( ( )) (( ) ).(XVIII) (( ) ) (( ) ( )).(XIX) (( ) ) (( ) ( )).


(XX) ( ) ( ).(XXI) ( ) ( ).(XXII) ( ) (( ) ( )).(XXIII) ( ) ( ).(XXIV) ( ( )) (( ) ).(XXV) .(XXVI) ( ) ( ).(XXVII) ( ) ( ).(XXVIII) ( ) ( ).(XXIX) ( ) (( ) ( )).(XXX) (( ( )) ).(XXXI) (( ) ( ) ( )) (( ) ( )).(XXXII) (( ) ( )) .(XXXIII) (( ) ( )) (( ) ).(XXXIV) ( ( )) (( ) ( )).(XXXV) ( ( )) (( ) ( )).(XXXVI) (( ) ) ( ( )).(XXXVII) ( ) (( ) ( )).(XXXVIII) (( ) ( )) .

Teorema 1.2 Sean (x) y (x) predicados simples. Entonces las siguientes sonverdades lgicas:

(I) (x A ((x))) x A ( (x)).(II) (x A ((x))) x A ( (x)).(III) !x A ((x)) x A ((x) y A ((y ) x = y )).(IV) (!x A ((x)))

( x A ((x)) x A y A (x 6= y (x) (y ))).(V) x A ((x) (x)) (x A ((x)) x A ((x))).(VI) (x A ((x)) x A ((x))) x A ((x) (x)).(VII) x A ((x) (x)) (x A ((x)) x A ((x))).(VIII) x A ((x) (x)) (x A ((x)) x A ((x))).


Teorema 1.3 Sea (x , y ) predicado binario. Entonces las siguientes son verda-des lgicas.

(I) x A y A ((x , y )) y A x A ((x , y )).(II) x A y A ((x , y )) y A x A ((x , y )).(III) x A y A ((x , y )) y A x A ((x , y )).

Demostracin

La verificacin de todas aquellas que no contienen variables ni cuantificadores, puede ha-cerse usando tablas de verdad. Por ejemplo para demostrar Teorema 1.1 (XXVIII), cons-truimos la tabla de verdad de la proposicin

( ( ) ( )),

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))

V V V F F F V

V F F V V V V

F V V F F F V

F F V F V F V

Tabla 1.6: Tabla de verdad del Teorema 1.1 (XXVIII)

Esta tabla nos indica que independientemente de los valores de verdad de las pro-posiciones que la componen, ( y en este caso) la proposicin es siempre verdaderacomo puede observarse en la ltima columna.

Otra forma de demostrar una verdad lgica con o sin variables, es aplicar directamenteel concepto de verdad. Por ejemplo, para verificar Teorema 1.1(XX):

(( ) ( )),

tenemos que:

( ) es verdadera si y solamente si cada vez que sea verdadera, tambin esverdadera, si y slo si no es el caso que sea verdadera y sea falsa, es decir, si y slosi es falsa o es verdadera, o sea, si y slo si es verdadera o es verdadera, locul se cumple si y slo si ( ) es verdadera.

Este mtodo se aplica tambin para verificar verdades lgicas que contienen varia-bles.


Por ejemplo, para verificar Teorema 1.3 (III):

(x A y A ((x , y )) y A x A ((x , y ))),tenemos que si x A y A ((x , y )) es verdadera, entonces existe un elementoa de A tal que y A ((a, y )) es verdadera; luego, para todo elemento b de A setiene que (a, b) es verdadera. Pero entonces, para todo elemento b de A se tiene quex A ((x , b)) es verdadera, y por lo tanto, y A x A ((x , y )) es verdadera.

Observacin

Notemos que algunas de estas verdades lgicas son equivalencias en cambio otrasson consecuencias y la equivalencia falla.

Por ejemplo, la proposicin (VI) del Teorema 1.1, ((( ) ) ) es lgicamenteverdadera, pero no es cierta la equivalencia lgica

((( ) ) ),como puede verse al hacer su tabla de verdad:

( ) (( ) ) ((( ) ) )

V V V V V

V F F F V

F V V F F

F F V F V

Tabla 1.7: Tabla de verdad de la proposicin (( ) ) .Tambin la proposicin (VI) del Teorema 1.2:

(x A ((x)) x A ((x))) x A ((x) (x)),es lgicamente verdadera pero no se cumple la equivalencia:

(x A ((x)) x A ((x))) x A ((x) (x)).

Para verificar que esta equivalencia falla, consideremos A = N, (x) : x es par y(x) : x es impar.

Entonces x A ((x) (x)) es verdadera porque si a N, se tiene que((a) (a)) es verdadera pues a es par o impar. Pero x A(x) y x A (x) sonfalsas pues no todo nmero natural es par ni todo nmero natural es impar y por lo tantosu disyuncin es falsa.

1.4. Aplicaciones 19

Aplicaciones 1.4

Si en nuestro trabajo matemtico queremos establecer una propiedad que no es evi-dente, debemos dar un argumento acerca de su verdad, basado en todas las propiedadesobtenidas previamente. Este argumento se llama demostracin. Una demostracin esuna cadena de implicaciones y en cada paso de ella se obtiene una nueva verdad, yasea porque es una verdad lgica o porque es equivalente a otra anterior o porque esconsecuencia de verdades obtenidas anteriormente.

Si en nuestro trabajo matemtico queremos introducir nuevos objetos, debemos daruna explicacin de stos en trminos de los objetos ya conocidos. Esta explicacin sellama definicin. Las definiciones son igualdades entre nombres de objetos o equivalen-cias entre predicados y pueden ser usados como tales en las demostraciones.

Desarrollaremos a continuacin tres aplicaciones de la lgica al razonamiento mate-mtico que pueden ser muy tiles para el desarrollo de los captulos siguientes.

Negacin de una proposicin dada 1.4.1

Para interpretar ms fcilmente el smbolo de negacin es conveniente que ste apa-rezca siempre ante proposiciones simples. Para ver sta conveniencia, consideremos laproposicin que afirma que la operacin es conmutativa en el conjunto A:

x A y A (x y = y x).

Esta se interpreta por:

dado dos objetos cualesquiera a y b de A se tiene que a b = b a.

Su negacin, que afirma que la operacin no es conmutativa en A es:

(x A y A (x y = y x)),

que se interpreta por:

no es cierto que, dados dos objetos cualesquiera a y b de A se tiene que a b = b a,

la cual es equivalente a:

existen objetos a y b de A tales que no cumplen con a b = b a

y por lo tanto a


existen objetos a y b de A tales que a b 6= b a. (*)

Por otro lado en virtud de la equivalencia (I) del Teorema 1.2:

(x A ((x))) x A ( (x)).

Se tiene que (x A y A (x y = y x)) x A (y A (x y = y x)) x A y A (x y = y x) x A y A (x y 6= y x).

La interpretacin de sta ltima proposicin es precisamente la anteriormente obtenidaen (*).

Dada una proposicin, siempre es posible encontrar otra equivalente, tal que el sm-bolo de negacin aparezca slo ante proposiciones simples. sta se obtiene aplicandolas siguientes equivalencias del Teorema 1.1:

(XXV). .

(XXVI). ( ) ( ).

(XXVII). ( ) ( ).

(XXVIII). ( ) ( ).

(XXIX). ( ) (( ) ( )).

(XXX). (x A ((x))) x A ( (x)).

(XXXI). (x A ((x))) x A ( (x)).

Por ejemplo, la proposicin:

x A ( (x) ( (x) (x)))

x A ( (x) ( (x) (x))) x A ( (x) ( (x) (x)))

y esta ltima satisface las condiciones descritas anteriormente.

Negar una proposicin dada es encontrar una proposicin equivalente a su negacinque contenga el smbolo de negacin slo ante proposiciones simples. Por ejemplo, paranegar la proposicin:

x N(x 6= 0 y (x y = 1)),

1.4. Aplicaciones 21

aplicamos las equivalencias del teorema a

(x N(x 6= 0 y (x y = 1))),obteniendo:

x N (x 6= 0 y N(x y = 1)) x N(x 6= 0 y N(x y = 1)) x N(x 6= 0 y N(x y 6= 1)),

la ltima de las cuales satisface las condiciones requeridas.

Demostraciones por contradiccin 1.4.2

Supongamos que queremos demostrar la proposicin . En lugar de demostrarla di-rectamente, demostraremos la siguiente proposicin que es equivalente a en virtud delTeorema 1.1(XXX):

( ( )),cuyo consecuente es una contradiccin.

Si la proposicin es verdadera, como el consecuente es falso, podemos concluir queel antecedente debe ser falso y por lo tanto debe ser verdadera. Esto constituye elmtodo de demostraciones por contradiccin

Por ejemplo, para demostrar que el sistema:

x + y 2 = 02x + 2y 5 = 0

no tiene solucin, supongamos que la tiene y sean x = a y y = b nmeros quesatisfacen ambas ecuaciones. Entonces:

a + b = 2 y 2a + 2b = 5, de donde a + b = 2 y a + b =52

.

Por lo tanto se tiene que a + b = 2 y a + b 6= 2.Hemos demostrado que si el sistema tiene solucin entonces (a + b = 2 a + b 6= 2) y

sto, como es una contradiccin, equivale tal como vimos anteriormente a que el sistemano tenga solucin.

Demostraciones por contraposicin 1.4.3

Para demostrar la proposicin , demostraremos la siguiente proposicin que esequivalente a sta en virtud del Teorema 1.1(XXI):

( ).


Este procedimiento constituye el mtodo de demostraciones por contraposicin. Porejemplo para demostrar:

x R(x2 es par x es par),es ms fcil demostrar que:

x R(x es impar x2 es impar).

Efectivamente, si a R y a es impar, entonces a = 2n + 1 para algn natural n o biena = 1. Luego a2 = 4n2 + 4n + 1 o bien a2 = 1, es decir a2 = 2(2n2 + 2n) + 1 o bien a2 = 1,luego a2 es impar.

1.5. Problemas Resueltos 23

Problemas Resueltos 1.5

Problema 1.1

Luego de un crimen, se comprueban los siguientes hechos:

1. El asesino de Don Juan es su hijo Pedro o su sobrino Diego.2. Si Pedro asesin a su padre entonces el arma est escondida en la casa.3. Si Diego dice la verdad entonces el arma no est escondida en la casa.4. Si Diego miente entonces a la hora del crimen, l se encontraba en la casa.5. Diego no estaba en la casa a la hora del crimen.

Quin es el asesino?

Solucin

Usaremos los siguientes smbolos:

p : El asesino de don Juan es su hijo Pedro.

q : El asesino de don Juan es su sobrino Diego.

r : El arma est escondida en la casa.

s : Diego dice la verdad .

t : Diego estaba en la casa a la hora del crimen.

Entonces tenemos las siguientes proposiciones verdaderas:

(1) (p q),(2) (p r ),(3) (s r ),(4) (s t),(5) t .

Luego:

Como por (5), t es verdadera, podemos concluir que t es falsa y por (4) stambin es falsa, de donde s es verdadera. Por(3), obtenemos que r es tambinverdadera y por lo tanto r es falsa. Entonces por (2) p debe ser falsa. Y por (1), qes verdadera.

Podemos concluir que el asesino de don Juan es su sobrino Diego.


Problema 1.2

Consideremos el nuevo smbolo e interpretemos la proposicin (p q) por ni pni q. Es decir, (p q) es verdadera si y slo si p y q son ambas falsas. Demostrarlas siguientes equivalencias lgicas:

1. p (p p).2. (p q) ((p q) (p q)).3. (p q) ((p p) (q q)).

Solucin

Basta hacer las correspondientes tablas de verdad y verificar que los valores deverdad de las proposiciones de ambos lados de la equivalencia sean los mismos.

1.

p p (p p)

V F F

F V V

Aqu coinciden los valores de verdad de la segunda y tercera columnas.

2.

p q (p q) (p q) ((p q) (p q))

V V V F V

V F V F V

F V V F V

F F F V F

Aqu coinciden los valores de verdad de la tercera y quinta columnas.

3.

p q (p q) (p p) (q q) ((p p) (q q))

V V V F F V

V F F F V F

F V F V F F

F F F V V F

Aqu coinciden los valores de verdad de la tercera y sexta columnas.


Problema 1.3

Encontrar un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r (x) que satisfagan las proposi-ciones:

x A(p(x) q(x)) y x A(q(x) r (x)).

Solucin

En primer lugar construiremos el diagrama de Venn de este par de proposiciones,que consiste de un esquema general de todos aquellos conjuntos A y predicadosp(x), q(x) y r (x), que satisfacen dichas proposiciones.

Como primer paso representamos A como el universo y los predicados p(x), q(x) yr (x), como los subconjuntos P, Q y R de A respectivamente, obteniendo:

Figura 1.1: Diagrama de Venn para los conjuntos P, Q y R de A.

En segundo lugar modificamos este diagrama, eliminando regiones (achurando) odistinguiendo objetos en alguna regin, de modo que cada una de las proposicionesse verifique en el diagrama. La primera proposicin afirma que todo objeto de A queest en P, est tambin en Q. Eliminamos por lo tanto todas aquellas regiones queestando dentro de P, pero que estn fuera de Q, reduciendo el tamao de P ymovindolo para que quede dentro de Q:

Figura 1.2: Modificacin de la figura 1.1.


La segunda proposicin afirma que hay un objeto de A que est en Q y en R. Ubi-camos por lo tanto un objeto a en la interseccin de Q con R, y como no podemosdecidir si a est dentro o fuera de P lo ubicamos en la frontera:

Figura 1.3: Objeto a que pertenece a R y Q.

Este ltimo diagrama constituye el diagrama de Venn de las proposiciones dadas.

En tercer lugar construimos un conjunto A y predicados p(x), q(x) y r (x) que seajusten al diagrama y que por lo tanto satisfacen las proposiciones dadas.

El ms simple es:

A = {a} ; p(x) : x = a ; q(x) : x = a ; r (x) : x = a

Problema 1.4

Decidir si la proposicin:

:Hay nmeros naturales pares que son racionales

es o no consecuencia lgica de las proposiciones:

:Todo nmero natural par es positivo.

:Hay nmeros naturales positivos que son racionales.

En el lenguaje Aristotlico este problema consiste en decidir si el silogismo siguien-te es o no es vlido:

Todo nmero natural par es positivo

Hay nmeros naturales positivos que son racionales.

Hay nmeros naturales pares que son racionales


Solucin

Consideremos los siguientes predicados:

p(x): x es par.

q(x): x es positivo.

r(x): x es racional.

Sea N el conjunto de los nmeros naturales.

Entonces podemos expresar en smbolos:

: x N(p(x) r (x)), : x N(p(x) q(x)) y : x N(q(x) r (x)).El problema consiste por lo tanto en determinar si la proposicin:

((x N(p(x) q(x)) x N(q(x) r (x))) x N(p(x) r (x))).

es lgicamente verdadera. Para esto hay que probar que para todo x N,si p(x), q(x) y r (x)verifican las premisas, tambin verifican la conclusin. Esto puede hacerse usandodiagramas de Venn y el problema se reduce a verificar que en el diagrama de Vennde las premisas se satisface la conclusin.

En virtud del problema anterior este diagrama es:

Figura 1.4: Diagrama de Venn para la proposicin Hay nmeros naturales pares queson racionales.

y en l no se verifica necesariamente la conclusin puesto que el objeto a del dia-grama puede estar dentro o fuera de P, por lo que se puede concluir que la pro-posicin dada no es una verdad lgica. Con lo anterior se concluye que no esconsecuencia lgica de y .


Problema 1.5

Encuentre una proposicin que contenga las letras p, q y r y cuya tabla de verdadsea la siguiente:

p q r

V V V F

V V F F

V F V F

V F F V

F V V V

F V F V

F F V F

F F F V

Solucin

Mirando las lineas de la tabla de verdad en las cuales es verdadera, podemosinterpretar por:

O bien p es verdadera, q falsa y r falsa ; o bien p es falsa, q verdadera y r verda-dera; o bien p es falsa, q verdadera y r falsa; o bien p es falsa, q falsa y r falsa.

Esto equivale a interpretar la siguiente proposicin:

((p q r ) ( p q r ) ( p q r ) ( p q r )).

Esta ltima puede ser reducida aplicando las siguientes equivalencias:

( p q r ) ( p q r )

( p q) (r r ) ( p q).

Y tambin:((p q r ) ( p q r ))

((p p) ( q r )) ( q r ).


Obtenindose finalmente la proposicin:

(( p q) ( q r )),

que tiene la tabla de verdad pedida.

Problema 1.6

Determine si la frase:

Yo estoy mintiendo,

es o no una proposicin.

Solucin

Supongamos que lo es. Entonces es verdadera o falsa.

Si es verdadera, es cierto que est mintiendo y por lo tanto es falsa.

Si es falsa, es falso que est mintiendo y por lo tanto dice la verdad, esto es, ella esverdadera.

Pero esto es una contradiccin, por lo que nuestra suposicin es falsa: esta fraseno es una proposicin.

Esta situacin se conoce como La paradoja del mentiroso, y constituye una delas razones mas poderosas para desarrollar lenguajes formales y utilizarlos en lugardel lenguaje natural.


Ejercicios Propuestos 1.6

1. Exprese las siguientes proposiciones uti-lizando los smbolos matemticos y lgi-cos usuales:

(a) No es cierto que si el doble de cua-tro es diecisis entonces el cuadra-do de cuatro es treinta y dos.

(b) El cuadrado de menos tres es nuevey es mayor que siete.

(c) Dos es positivo o menos dos es po-sitivo; pero ninguno de los dos esmayor que diez.

(d) Existe un nmero entero mayor quedos.

(e) Existe un nmero natural cuyo cua-drado sumado con tres es uno.

(f) Todo nmero real cumple que l espositivo o su inverso aditivo es posi-tivo, excepto el cero.

(g) El cuadrado de todo nmero real esmayor que el triple del nmero.

(h) La suma de dos nmeros naturaleses mayor que cada uno de ellos.

(i) Todo nmero real es igual a s mis-mo.

(j) Existen nmeros enteros pares ynmeros enteros impares.

(k) Hay nmeros reales que son negati-vos y positivos a la vez.

(l) El cero no es ni positivo ni negativo.

(m) El cuadrado de un nmero real ne-gativo es un nmero real positivo.

(n) El uno es neutro del producto en elconjunto de los nmeros reales.

() Todo nmero real distinto de cerotiene un inverso multiplicativo real.

(o) El producto de dos nmeros enterosnegativos es negativo.

(p) Todo nmero real es positivo, nega-tivo o cero.

(q) Para todo nmero natural existe unnatural mayor.

(r) Si un nmero real es positivo, enton-ces su inverso multiplicativo es posi-tivo.

(s) No siempre la resta de dos nmerosnaturales es un nmero natural.

(t) No existe un nmero real negativoque sea mayor o igual que todo n-mero negativo.

(u) El cuadrado de la suma de dos n-meros reales es el cuadrado del pri-mero, ms el doble del producto delprimero por el segundo, ms el cua-drado del segundo.

(v) La raz cuadrada positiva de un n-mero real positivo es aquel nmeroreal positivo cuyo cuadrado es el n-mero dado.

(w) Dado cualquier nmero real existeotro nmero real cuyo cuadrado esel nmero inicial.

2. Exprese en el lenguaje natural las si-guientes proposiciones:

(a) x N(x > 3).(b) x N y N(x > y ).(c) x R(x > 3 x2 > 8).(d) x R(x + 0 = x).(e) x R(x > 0 y R(y2 = x)).(f) x N y N(x < y z R(x 2x x + y >2y ).

(j) x R(x 6= 0 y R(x y = 1)).(k) x R(x 6 N y N(x + y = 0)).(l) x R(x > 2 x + 1 > 3).

(m) x R(x > 1 x < 8).(n) x R(x = 2 x = 3).() (2 < 0 x R(x < 0)).

3. Dadas las proposiciones:

p: dos es par,

q: dos es impar,

r: tres es par,

s: tres es impar.

(a) Exprese en smbolos:

1) O bien dos es par o bien dos esimpar.

2) Si dos no es par entonces treses par y dos es impar.

3) No slo dos no es par sino quetampoco es impar.

4) El que tres sea par equivale aque no sea impar.

(b) Exprese en el lenguaje natural:

1) ( p q).2) (r s).3) ((p r ) ( q s)).

4. Dados los siguientes predicados:

p(x) : x es par,

q(x) : x es impar,

r (x) : x es mayor que cinco,

s(x) : x es menor que diez.

(a) Exprese en smbolos:

1) Todo nmero entero es mayorque cinco.

2) Existen nmeros enteros paresmayores que cinco.

3) Existen nmeros enteros entrecinco y diez.

(b) Exprese en el lenguaje natural:

1) x N(p(x) q(x)).2) x N( r (x) s(x)).3) x N(s(x) r (x)).

5. Sea A un conjunto, a un objeto de A y una operacin binaria en A.

Exprese en smbolos:

(a) es una operacin conmutativa enA.

(b) es una operacin asociativa en A.(c) a es neutro de por la derecha.(d) a no es neutro de por la izquierda.(e) No todo elemento operado por

consigo mismo resulta el mismo ele-mento.

(f) Hay dos elementos de A que noconmutan por .

6. Exprese los siguientes enunciados deteoremas, usando smbolos:

(a) La suma de las medidas de los n-gulos interiores de un tringulo es180.

(b) En un tringulo rectngulo, el cua-drado de la hipotenusa es igual a lasuma de los cuadrados de los cate-tos.

(c) El cuadrado de un binomio es igualal cuadrado del primer trmino msel doble del producto del primer tr-mino por el segundo ms el cuadra-do del segundo trmino.

7. A partir del predicado x + 5 = y , obten-ga tres proposiciones diferentes antepo-niendo cuantificadores e interprtelas enel lenguaje natural.


8. Sean a y b nmeros enteros y considere-mos las siguientes proposiciones:

p : a > 0,

q : b < 0,

r : a2 > 0,

s : b2 > 0.

Exprese las siguientes proposiciones enel lenguaje natural y determine su valorde verdad, sabiendo que p, q, r y s sonverdaderas:

(a) (p p) (b) (p r )

(c) (q s) (d) (s q)

(e) ( p r ) (f) ( r r )

(g) (r s) (h) p

(i) (r p) (j) (s p)

(k) (r p) (l) (s p)

(ll) (r p) (m) ( s p)

(n) (q r ) (o) ( r q s)

9. Decida si cada una de las siguientes pro-posiciones son verdaderas o falsas:

(a) (2 < 1 2 es impar).(b) (2 = 3 2 es par).(c) (2 > 0 3 > 1).(d) (2 > 0 3 < 1).(e) ((2 < 1 2 > 0) 2 es impar).(f) (2 < 1 (2 es impar 3 > 1)).(g) ((2 < 1 2 > 0) 2 es impar).(h) (2 > 1 (2 es impar 3 > 1)).

10. Sea A = {1, 2, 3}. Determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

(a) x A(x 6= 0).(b) x A(x > 1 x = 2).

(c) x A(x > 2 x2 6= 3).(d) x A(x 5).(e) x A y A(y > x).(f) x A y A(x y ).

(g) x A y A(x + y = 3).(h) x A y A(x + y A).(i) x A(x + 1 6 A).

11. Use contraejemplos para demostrar quecada una de las siguientes proposicionesson falsas:

(a) x R(x > 5 x > 6).(b) x R(x > 5 x < 6).(c) x R(x 6= 5).(d) x R y R(x < y x = y ).(e) x R y R(x < y x + 1

y ).

12. Determine el valor de verdad de las si-guientes proposiciones:

(a) x R(x2 x).(b) x R(2x = x).(c) x R(5x > 4x).(d) x R(x3 x x).(e) x R(x2 0).(f) x R(x2 0).

13. Si A = {1, 2, 3, 4}, determine el valor deverdad de las siguientes proposiciones:

(a) x A (x + 3 < 6).(b) x A (2x2 + x = 15).(c) x A y A ((x2 + y ) es par).(d) x A y A ((x2 + y ) es par ).(e) y A x A ((x2 + y ) es par ).(f) x A y A ((x2 + y ) es impar).

14. Demuestre todas las verdades lgicas delos Teoremas 1.1, 1.2 y 1.3.

1.6. Ejercicios Propuestos 33

15. Demuestre que las siguientes proposicio-nes no son lgicamente verdaderas.

(a) ((p q) (p q)).(b) ((p q) (p q)).(c) ((p q) (p q)).

16. Encuentre un conjunto A y predicadosp(x) y q(x), tales que la proposicin da-da sea verdadera:

(a) x A(p(x) q(x)).(b) x A( p(x) q(x)).

17. Encuentre un conjunto A y predicadosp(x) y q(x), tales que la proposicin da-da sea falsa:

(a) x A(p(x) q(x)).(b) x A(p(x) q(x)).

18. Encuentre un conjunto A y predicadosp(x), q(x) y r (x) tales que los siguientespares de proposiciones sean verdaderas:

(a) x A (p(x) q(x)) y x A p(x).

(b) x A ( p(x) q(x)) y x A (q(x) r (x)).

19. Demuestre que las siguientes proposicio-nes no son lgicamente verdaderas:

(a) (x A(p (q(x) r (x))) (x A(p q(x)) x A(p r (x)))).

(b) ((x A(x) x A(x)) x A ((x) (x))).

(c) (x A(x) x A ((x))).

20. Demuestre que las siguientes proposicio-nes son contradicciones:

(a) ((p q) ( p q)).(b) ((p q) (p q)).(c) ((p q) ( p q)).

(d) ((x A p(x) x A(p(x) q(x)))).

21. Demuestre sin usar tablas de verdad lassiguientes equivalencias donde es unaproposicin lgicamente verdadera:

(a) (p ) p(b) (p ) .(c) (p (q )) (p q).(d) (p (q )) .(e) ((p (q )) p.(f) (p (q )) (p q).

22. Demuestre sin usar tablas de verdad, quelas siguientes proposiciones son lgica-mente verdaderas:

(a) ((p q) (q p)).(b) ((p p) (p p)).(c) ((p (p q)) (p q)).

23. Demuestre sin usar tablas de verdad, quelas siguientes proposiciones son contra-dicciones:

(a) ((p q) (q p)).(b) ((p p) (p p)).(c) ((p q) (p q)).

24. Simplifique las siguientes proposiciones,es decir, obtenga proposiciones equiva-lentes a las dadas pero de menor largo:

(a) ((q r ) q).(b) (p (q p)).(c) (((p (q p)) q).(d) (((p q) (p q)) q).(e) (p (p p)).

25. Exprese las siguientes proposicionesusando solamente los conectivos e :

(a) (p q).(b) ((p q) p).(c) (p q).


(d) ((p q) (p r )).

26. Niegue las siguientes proposiciones:

(a) (p p).(b) (s q).(c) ( p r ).(d) ( r r ).(e) ( r q s).


(a) x A(x 6= 0).(b) x A(x > 1 x = 2).(c) x A(x > 2 x2 6= 3).(d) x A(x 5).(e) x Ay A (y > x).(f) x Ay A (x y ).

(g) x Ay A (x + y = 3).(h) x Ay A (x + y A).(i) x A (x + 1 6 A).


(a) x R y R(xy = 0 (x =0 y = 0)).

(b) (x R(x > 2) x R(x = 1)).(c) x A y A z A p(x , y , z).(d) x A y A(p(x , y ) q(y )).(e) x A p(x) x A q(x).(f) x N y N (x + y es par (x

es par y es par)).

29. Demuestre que p es consecuencia lgicade las premisas indicadas en cada uno delos siguientes casos:

(a) q, (p q).(b) (p q), (q r ), (p r ).(c) (p q r ), (q r ), (q r ), r .

30. Demuestre que p no es consecuencia l-gica de las premisas indicadas:

(a) q, (p q).(b) (p q), (q r ), (q r ).(c) (p q r ), (q r ), (p q).

31. Analice la validez de los siguientes argu-mentos:

(a) Si hoy es Martes entonces maanaes Mircoles. Pero hoy no es Mar-tes. Luego maana no es Mircoles.

(b) O bien hoy es Lunes o bien es Mar-tes. Pero hoy no es Lunes. Luegohoy es Martes.

32. Analice la validez de los siguientes argu-mentos:

(a) Todo hombre es mortal. Hay anima-les que son hombres. Luego, hayanimales que son mortales.

(b) Hay mujeres sabias. Hay profesorasmujeres. Luego hay profesoras sa-bias.

33. Hay tres hombres: Juan, Jos y Joaqun,cada uno de los cuales tiene 2 profesio-nes. Sus ocupaciones son las siguientes:chofer, comerciante, msico, pintor, jardi-nero y peluquero.

En base a la siguiente informacin, de-termine el par de profesiones que corres-ponde a cada hombre:

(a) El Chofer ofendi al msico rindo-se de su cabello largo.

(b) El msico y el jardinero solan ir apescar con Juan.

(c) El pintor compr al comerciante unlitro de leche.

(d) El chofer cortejaba a la hermana delpintor.

(e) Jos deba $ 1.000 al jardinero.

1.6. Ejercicios Propuestos 35

(f) Joaqun venci a Jos y al pintor ju-gando ajedrez.

34. Se tienen los siguientes datos acerca deun crimen:

(a) La asesina de la seora Laura fueuna de sus tres herederas: Mara,Marta o Mercedes.

(b) Si fue Mara, el asesinato sucediantes de media noche.

(c) Si el asesinato fue despus de lasdoce, no puede haber sido Marta.

(d) El asesinato fue despus de las do-ce.

Quin asesin a la seora Laura?

35. Considere el conectivo DOS (p, q, r ) cuyainterpretacin est dada por la siguientetabla:

p q r DOS(p, q, r )

V V V F

V V F V

V F V V

V F F F

F V V V

F V F F

F F V F

F F F F

Encuentre una proposicin equivalente aDOS(p, q, r ) que contenga los conectivosusuales.

36. La disyuncin excluyente entre p y q de-notada por: (p q) se interpreta por:(p q) es verdadera si y slo si p es ver-dadera o q es verdadera, pero ambas noambas.

(a) Construya una tabla de verdad para(p q).

(b) Demuestre que (p q) (p q) (p q).

(c) Demuestre que p (q r ) ((p q) (p r )).

37. Encuentre una proposicin que conten-ga las letras p, q y r cuya tabla de verdadsea:

p q r

V V V F

V V F F

V F V V

V F F V

F V V F

F V F F

F F V V

F F F V

Autoevaluacin 1

1. Traduzca al lenguaje matemtico la siguiente frase:

Los nmeros naturales tienen un menor elemento, pero no tienen un mayor ele-mento.

2. Traduzca al lenguaje natural la siguiente proposicin:

x N (x 6= 0 y (x = y + 1))

3. Niegue la siguiente proposicin:

x A (x 6= y z (y x x z))

4. Determine si el siguiente argumento es vlido:

Si no estudias este libro, entonces reprobars el curso de clculo.

Si no estudias este libro, entonces no podrs salir de vacaciones este verano.

Apruebas el curso de clculo o sales de vacaciones este verano.

Por lo tanto, estudiaste este libro.

5. Demuestre que la siguiente proposicin no es verdadera:

x A y A p(x , y ) y Ax A p(x , y )

6. Encuentre un conjunto A y dos predicados p(x) y q(x), tales que la siguiente pro-posicin sea verdadera:

x A(p(x) y A ((p(y ) q(y ))

)

7. Demuestre sin usar tablas de verdad la siguiente equivalencia:(

p (q (r r )))(

p q)

2Los Nmeros Reales

Sistemas Numricos 2.1

A travs de la historia de la Matemtica los nmeros han sido introducidos como uninstrumento para contar o ms precisamente para medir.

El sistema numrico ms simple es el de los nmeros naturales: uno, dos, tres, cua-tro, . . . , etc; el cual sirve para contar objetos. En el conjunto de los nmeros naturales sepuede sumar y multiplicar; pero no se puede restar. Para poder introducir la operacinde resta, es necesario agregar el cero y los negativos de los naturales obtenindose asel conjunto de los nmeros enteros, donde se puede sumar, multiplicar y restar; pero nose puede dividir. Para poder dividir se agregan las fracciones de nmeros enteros, queconstituyen el conjunto de los nmeros racionales donde se pueden efectuar las cuatrooperaciones.

Los racionales sirven para contar objetos y partes de objetos, considerando cantida-des tanto positivas como negativas. Desde un punto de vista geomtrico, estos tambinse pueden asociar a los puntos de una recta de la siguiente manera:

Consideremos una recta y un punto O en ella que llamaremos origen.

O

Figura 2.1: Recta con origen O.

37

38 Captulo 2. Los Nmeros Reales

Elijamos una de las semirectas determinadas por O y llammosla semirecta positivahacia la derecha y semirecta negativa hacia la izquierda.

++O

Figura 2.2: Semirecta positiva y semirecta negativa.

Y elijamos un trazo que llamaremos trazo unitario:

u

Figura 2.3: Trazo unitario.

Asociamos a cada nmero racional x un punto Px de la recta de la siguiente manera:

1. Al cero le asignamos el punto O.

++0

O

Figura 2.4: Nmero 0 en el origen.

2. Para asignar un punto de la recta al nmero 1 copiamos el trazo unitario desde Oen direccin positiva determinando el punto P1.

++ +0 P1

u

Figura 2.5: Nmero 1 a una distancia unitaria del origen.

3. Para asignar un punto al nmero n N, copiamos el trazo unitario n veces desdeel origen en direccin positiva, obtenindose el punto Pn.

++ + + + +0 P1 P2 Pn

u

u

... n veces u

Figura 2.6: Posicin del nmero n.

4. Para asignar un punto de la recta al entero negativo n, copiamos el trazo OPndesde O en direccin negativa, determinando el punto Pn.

++ + +0 Pn

n

Pn

n

Figura 2.7: Posicin del nmero n.

2.1. Sistemas Numricos 39

5. Para asignar un punto de la recta al racional positivomn

(donde m y n son naturales)dividimos el trazo unitario en n trazos iguales y lo copiamos m veces desde O endireccin positiva, determinando el punto Pm

n, y lo denotamos en la recta por

mn.

++ + + +0

mn m

n puntos iguales

Figura 2.8: Posicin del racional positivo m/n.

6. Para asignar un punto de la recta al racional negativo mn

(donde m y n son natura-

les) copiamos el trazo OP mn

desde O en direccin negativa, determinando el puntoPmn .

++ + +0

mnmn

Figura 2.9: Posicin del racional negativo m/n.

Como ejemplo de esta asignacin tenemos:

++ + + ++++0

12 1 31213

Figura 2.10: Ejemplo de asignaciones.

Observemos que cada nmero racional x corresponde a la medida del trazo OPxy entonces por esta construccin podemos concluir que los nmeros racionales efec-tivamente sirven para medir algunos trazos dirigidos en la recta numrica. Dado quecualquier trazo dirigido puede ser copiado sobre la recta numrica, podemos pensar enasociar medida a trazos arbitrarios, sin embargo, los nmeros racionales no nos bastanpara ello como veremos en el siguiente ejemplo:

La diagonal de un cuadrado de lado uno, no puede ser medida por un nmero racional,efectivamente supongamos que sta tiene medida racional q,

1

1

q

Figura 2.11: Cuadrado de lado unitario.

entonces por el Teorema de Pitgoras tenemos que: q2 = 12 + 12, es decir q2 = 2.


Veremos a continuacin que q no es un nmero racional.

Si q fuera un nmero racional, entonces tendra la forma q =mn

donde m y n sonenteros sin divisores comunes, entonces

q2 =m2

n2= 2 .

Por lo tanto, m2 = 2n2 (), de donde m2 es un nmero par y por lo tanto m tambin esun nmero par. Sea entonces, m = 2p, donde p es un entero. Reemplazando el valor dem en (*), tenemos que 4p2 = 2n2 y por lo tanto n2 = 2p2, es decir n2 es un nmero par, dedonde se obtiene que n tambin lo es.

Hemos concluido que m y n son nmeros pares, luego ambos son divisibles por dos,lo que contradice la eleccin de m y n. Con esto hemos demostrado por contradiccinque la medida de la diagonal del cuadrado no es un nmero racional.

Como ste, existe una infinidad de ejemplos de trazos que no pueden ser medidoscon nmeros racionales, pero como estos trazos pueden ser copiados sobre la recta nu-mrica determinando puntos de ella que no corresponden a nmeros racionales, nuestralimitacin es equivalente a no tener nmeros para todos los puntos de la recta.

Al agregar nmeros para todos los puntos de la recta se obtiene el conjunto de losnmeros reales. Los nmeros reales no slo sirven para medir todos los trazos dirigidossino tambin para medir todas las reas y volmenes.

Por ejemplo si r es un real y es la medida del trazo:

r

Figura 2.12: Trazo de largo r .

tambin es el rea del rectngulo de lados r y 1:

1

r

Figura 2.13: Rectngulo de lados r y 1.

A = r 1 = r . Tambin lo es el volumen del paraleleppedo de lados r , 1 y 1:1

1

r

Figura 2.14: Volumen del paraleleppedo de arista r , 1 y 1.

V = r 1 1 = r .

2.1. Sistemas Numricos 41

La suma de dos reales est asociada a la suma de trazos dirigidos:

r + s

r

s

Figura 2.15: Suma de dos reales.

El producto podemos asociarlo al rea de un rectngulo:

r

s

Figura 2.16: Producto de dos nmeros reales.

A = r s.El cero corresponde a la medida del trazo OO y el uno a la medida del trazo unitario.

La relacin menor que entre nmeros reales est dado por el orden de los puntosen la recta numrica en direccin de la semirecta positiva.

A una coleccin de nmeros reales la llamamos conjunto de nmeros reales.

Para formular las propiedades bsicas de los nmeros reales usamos los smbolos:+, , 0, 1,


Operaciones Bsicas en los Nmeros Reales:Suma y Producto 2.2

Las propiedades bsicas de la suma y el producto constituyen los axiomas de cam-po, los cuales son verdades evidentes, que no necesitan demostracin y que son la basepara demostrar todas las dems propiedades.

Axioma de Campo

Axioma 2.1 R es cerrado bajo la suma:

x R y R (x + y R).

Axioma 2.2 La suma de nmeros reales es conmutativa:

x R y R (x + y = y + x).

Axioma 2.3 La suma de nmeros reales es asociativa:

x R y R z R (x + (y + z) = (x + y ) + z).

Axioma 2.4 El cero es un nmero real y es neutro de la suma de nmerosreales:

(0 R x R (x + 0 = x)).

Axioma 2.5 Todo nmero real tiene un inverso aditivo real:

x R y R (x + y = 0).

Axioma 2.6 R es cerrado bajo el producto:

x R y R (x y R).

Axioma 2.7 El producto de nmeros reales es conmutativo:

x R y R (x y = y x).

2.2. Operaciones Bsicas en los Nmeros Reales: Suma y Producto 43

Axioma 2.8 El producto de nmeros reales es asociativo:

x R y R z R (x (y z) = (x y ) z).

Axioma 2.9 El uno es un nmero real diferente de cero y es neutro del pro-ducto de nmeros reales:

(1 R 1 6= 0 x R (x 1 = x)).

Axioma 2.10 Todo nmero real diferente de cero tiene un inverso multiplica-tivo real:

x R (x 6= 0 y R (x y = 1)).

Axioma 2.11 El producto de nmeros reales es distributivo sobre la suma denmeros reales:

x Ry R z R (x (y + z) = x y + x z).

Para expresar axiomas o proposiciones podemos omitir el cuantificador x R cuan-do no se preste a confusiones. As, por ejemplo, la conmutatividad de la suma se puedeexpresar simplemente por:

x + y = y + x .

Como ejemplo de propiedades que se pueden demostrar a partir de estos axiomastenemos el siguiente:

Teorema

Teorema 2.1 Las siguientes propiedades se cumplen en R:

(I) Cancelacin de la suma:

(x + z = y + z x = y ).

(II) Cancelacin del producto:

((x z = y z z 6= 0) x = y ).


(III) El producto de un nmero real por cero es cero:

x 0 = 0.

(IV) No existen divisores de cero:

(x y = 0 (x = 0 y = 0)).

(V) El neutro aditivo es nico:

(y R (x + y = y ) x = 0).

(VI) El neutro multiplicativo es nico:

(y R (x y = y ) x = 1).

(VII) El inverso aditivo es nico:

((x + y = 0 x + z = 0) y = z).

(VIII) El inverso multiplicativo es nico:

((x y = 1 x z = 1) y = z).

Demostracin

Demostraremos Teorema 2.1 (I) dejando el resto al lector.

Sean x , y , z R y supongamos que x + z = y + z. Por Axioma 2.5, existe z R talque z +z = 0, entonces, (x +z)+z = (y +z)+z y por Axioma 2.3, x +(z +z ) = y +(z +z ),pero como z + z = 0, tenemos que x + 0 = y + 0 y por Axioma 2.4 x = y .

En base a estas propiedades y a los conceptos primitivos se pueden definir nuevosconceptos:

Definicin

Definicin 2.1 Inverso aditivo

El inverso aditivo de un nmero real es aquel nmero real que sumado con lda cero:

x R y R (x = y x + y = 0).Esta definicin es correcta dado que hemos establecido la unicidad del inversoaditivo en Teorema 2.1 (VII).

2.2. Operaciones Bsicas en los Nmeros Reales: Suma y Producto 45

Definicin 2.2 Resta

x R y R (x y = x + (y )).Es decir, restar es sumar el inverso aditivo.

Definicin 2.3 Inverso multiplicativo

x R y R(

x 6= 0(1

x= y x y = 1

)).

Esta definicin es correcta por Teorema 2.1 (VIII).

Definicin 2.4 Divisin

x R y R(

y 6= 0 xy

= x (1

y

)).

Es decir, dividir es multiplicar por el inverso multiplicativo.

Definicin 2.5 Cuadrado

x R (x2 = x x).

En estas definiciones tambin se pueden omitir los cuantificadores cuando no se pres-te a confusin. Por ejemplo la Definicin 2.3 puede expresarse simplemente por:

x 6= 0(1

x= y x y = 1

).

Como ejemplos de propiedades de los nuevos conceptos que se pueden demostrar,tenemos:

Teorema

Teorema 2.2 Sean x , y R. Entonces:

(I) (x + y ) = (x) + (y ).(II) (1) x = x .(III) (x2 = 0 x = 0).


(IV) (x + y )2 = x2 + 2x y + y2.

Demostracin

Demostraremos Teorema 2.2 (I) dejando el resto al lector. Sean x , y R. Por Defini-cin 2.3, basta probar que

(x + y ) + ((x) + (y )) = 0 .

(x + y ) + ((x) + (y )) = (x + (x)) + (y + (y )), por Axioma 2.2 y 2.3= 0 + 0, por Definicin 2.3.

= 0, por Axioma 2.4.

Orden de los Nmeros Reales 2.3

Las siguientes son verdades evidentes que describen las propiedades bsicas de larelacin menor que en los nmeros reales. Toda otra propiedad del orden se puededemostrar a partir de stas.

Axioma de Orden

Axioma 2.12 El orden de los nmeros reales es lineal:

x R y R (x 6= y (x < y y < x)).

Axioma 2.13 El orden de los nmeros reales es asimtrico:

x R y R (x < y (y < x)).

Axioma 2.14 El orden de los nmeros reales es transitivo:

x R y R z R ((x < y y < z) x < z).

Axioma 2.15 El orden de los nmeros reales se preserva al sumar un nme-ro real:

x R y R z R (x < y x + z < y + z).

2.3. Orden de los Nmeros Reales 47

Axioma 2.16 El orden de los nmeros reales se preserva al multiplicar p

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Mikenberg 2013 Algebra Intro Calculo