SUKLADNOST I SLIČNOST

1.Četiri karakteristične točke trokuta

• Središte opisane kružnice – točka u kojoj se sijeku simetrale stranica trokuta

• Središte upisane kružnice – točka u kojoj se sijeku simetrale unutarnjih kutova stranice

• Težište - točka u kojoj se sijeku težišnice trokuta

• Ortocentar – točka u kojoj se sijeku pravci na kojima leže visine trokuta.

Simetrala dužine

Simetrala dužine je pravac koji je okomit na dužinu i prolazi njezinim polovištem.

Poučak o simetrali dužine: Svaka točka simetrale dužine jednako je udaljena od krajnjih

točaka dužine.

Obrat poučka o simetrali dužine: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krajnjih

točaka dane dužine, onda ta točka pripada simetrali te dužine.

Kružnica opisana trokutu:

Oko svakog trokuta se može opisati kružnica. Simetrale stranica trokuta sijeku se u njezinom

središtu O.

Simetrala kuta

Simetrala kuta je pravac koji prolazi vrhom kuta i dijeli taj kut na dva sukladna dijela.

Poučak o simetrali kuta: Svaka točka simetrale kuta jednako je udaljena od njegovih krakova.

Obrat poučka o simetrali kuta: Ako je neka točka ravnine jednako udaljena od krakova danog

kuta, onda ona pripada simetrali kuta.

Kružnica upisana trokutu:

Za dani trokut postoji točno jedna kružnica koja dira sve tri njegove stranice. Njezino središte

je sjecište triju simetrala kutova trokuta.

Svojstvo srednjice

Srednjica trokuta je dužina koja spaja polovišta dviju stranica trokuta.

Poučak o srednjici trokuta:

1. Dužina koja prolazi polovištem jedne stranice trokuta i paralelna je s drugom

stranicom srednjica je trokuta.

2. Srednjica trokuta paralelna je sa stranicom i dvostruko je kraća od nje.

Ortocentar

Pravci koji sadrže visine trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivamo ortocentar trokuta.

Težište trokuta

Dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne stranice naziva se težišnica.

Težišnice trokuta sijeku se u jednoj točki koju nazivsmo težište trokuta.

Težište trokuta dijeli svaku težišnicu u omjeru 2:1, tj.

1:2::: 111 === TCCTTBBTTAAT

Heronova formula za površinu trokuta

Površina trokuta ABC jednaka je

))()(( csbsassP −−−= ,

gdje smo sa s označili poluopseg trokuta ( )cbas ++=2

1

3. Proporcionalnost dužina. Talesov teorem

Svojstvo paralela: Ako paralele na jednom kraku kuta odsijecaju sukladne dužine, onda one

odsijecaju sukladne dužine i na drugom kraku kuta.

Talesov teorem o proporcionalnosti:

Neka paralelni pravci a i b sijeku krakove kuta 'pVp< u točkama A i 'A , te B i 'B . Onda je

i '' :: VBVAVBVA = . ''' :: BAVAABVA =

Kraće kažemo: paralelni pravci na krakovima kuta odsijecaju proporcionalne dužine.

Obrat Talesovog teorema: Ako dva pravca odsijecaju na krakovima kuta proporcionalne

dužine, onda su ti pravci paralelni.

Poučak o simetrali kuta u trokutu: Simetrala kuta trokuta dijeli nasuprotnu stranicu u omjeru

duljina stranica koje zatvaraju taj kut.

4. Sličnost trokuta

Kažemo da su dva trokuta ABC i '''

CBA slična ako se podudaraju u svim trima kutovima: 'αα = , 'ββ = , 'γγ = . Pišemo ABC∆

'''CBA∆ .

Temeljno svojstvo sličnih trokuta: Ako su dva trokuta slična, onda su im odgovarajuće

stranice proporcionalne:

ABC∆ '''

CBA∆ ':':': ccbbaa ==⇒ .

Koeficijent sličnosti:

Neka su trokuti ABC∆ i '''

CBA∆ slični. Omjer duljina njihovih stranica c

c

b

b

a

ak

'''===

zove se koeficijent sličnosti.

Kriterij za sličnost trokuta:

1. poučak o sličnosti trokuta: S-S-S: Ako su duljine dvaju trokuta proporcionalne, onda

su ti trokuti slični.

2. poučak o sličnosti trokuta: S-K-S: Ako se dva trokuta podudaraju u jednom kutu, a

stranice uz taj kut su prpoprcionalne, onda su ti trokuti slični.

3. poučak o sličnosti trokuta:K-K: Ako se dva kuta dvaju trokuta podudaraju, onda su ti

trokuti slični.

Svojstvo sličnih trokuta: Neka su trokuti ABC∆ i '''CBA∆ slični uz koeficijent sličnosti k.

Svi elementi trokuta '''CBA∆ (težišnice, simetrale kutova, visine, polumjeri opisane i upisane

kružnice) proporcionalni su odgovarajućim elementima trokuta ABC∆ uz isti faktor

proporcionalnosti k.

Ako je k=1, onda su trokuti sukladni.

Opsezi i površine sličnih trokuta:

Omjer opsega sličnih trokuta jednak je koeficijentu sličnosti tih trokuta.

Površine sličnih trokuta odnose se kao kvadrati duljina odgovarajućih stranica.

Euklidov poučak

Neka je ABC∆ pravokutni trokut i D nožište visine položene iz vrha C na hipotenuzu.

Označimo ., ADqBDp == Onda vrijedi

cpa = , cqb = , pqv = .

Duljina katete pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina hipotenuze i

odgovarajućeg odsječka.

Duljina visine pravokutnog trokuta geometrijska je sredina duljina odsječaka na hipotenuzi.