Microsoft Office 2000...អ រម ភកថ វស មភ ពជ ផ ន ក យដស ខ ងគ ណតវទ យ ។ ត ប ណទ យ ណ យស រផ តលកខណ ព ណសសជ

Augustin Louis Cauchy

អារមភកថា

វសមភាពជាផនែកមយដសខានកែងគណតវទយា ។ មនតតមផតប ណ ណ ោះ ណទយ ណោយសារផតលកខណៈពណសសជាណតរើនននវសមភាពបានណ វើឲយលហាតតប ណេទយណនោះណលររបរាងណ ើងជាញកញាបណៅកែងការតប ងតបផែងនានាពណសស ណនាោះ គ ការតប ងសសសពផកកតមតជាត នង អនតរជាតជាណដើម ។ ណេតណនោះ ការយលដងពើវសមភាពពតជាមានសារៈសខាន សសតមាបបអនៗផដលរង កាា យជាសសសពផកមយរប ។ ណសៀវណៅវសមភាព 360 ណនោះតតវបានណរៀបណរៀងណ ើងសតមាបនតលជា មលោា នតគោះណលើផនែកវសមភាពណៅដលមតតអែកអាន ។ ណសៀវណៅណនោះតតវបាន ណរៀបណរៀងណ ើងជាលកខណៈណមណរៀនននវសមភាពផដលកែងណនាោះខបាទយបានណរៀបណរៀង ណតត តសខានណៅណលើវសមភាពជាមលោា នមយរននផដលណពញនយមណៅកែងការ តប ងតបផែងដរជាវសមភាពននមយម (QM-AM-GM-HM), វសមភាព Cauchy-Schwarz, វសមភាពននតណតមៀប (Rearrangement), វសមភាព Jensen នង វសមភាពជាណតរើនណទយៀត ។ ណលើសពើណនោះណៅណទយៀតខបាទយបាន បញច លនវតរនរមយរននដរជា ការតាងផបបពើែគណត ការតាងផបបតតើ ណកាណមាតត នង ការតាងផបប Ravi ជាណដើម ។ គរកតសមាា លនងផដរថា ណដើមើបទាញយកតបណោែនឲយបានណតរើនពើលហាតមយ រ កណសៀវណៅមយការសណងេតណលើលកខណៈទយណៅរបសលហាតទាងណនាោះពតជាមាន សារៈសខានខាា ងស ។ ការយលពើលកខណៈទយណៅណនោះណតបៀបដរជាគនាោះ រ កនណសារមយផដលែយអែកឲយចាកណសារណបើកទាវ រណរញណៅរកភាពរ ើករណតមើន ។ ណទាោះបើជាមានការតតតពនតយោ ងម តរតោ ងកណោយកេសឆាង ណោយអណរតនាមយរននតបាកដជាណកើតមានណ ើង ។ ណេតណនោះ ណយើងខសមអរ គណទយកជាមនរាលមតរោះគនពើតគបមែឈោា នអែកសកាទាងអសណដើមើបផកលអឲយ ណសៀវណៅមយកាលណនោះកាា យជាណសៀវណៅវសមភាពដលអតបណសើរ ។

េែណពញ នងៃទយើ ១៦ ផខ សើហា ឆែ ២០១៤ ណរៀបណរៀងណោយ ជា ពសដា

មាតកា

1. ការេជាចននវជជមាន……………………………………………………. ទពេ ១

2. វសមភាពងាយ………………………………………………………….. ទពេ ១០

3. ទមមង Engel ននវសមភាព Cauchy-Schwarz………………... ទពេ ១៦

4. វសមភាពននមធយម……………………………………………………... ទពេ ២៦

5. វសមភាព Cauchy-Schwarz………………………………………. ទពេ ៥៣

6. វសមភាពននតរមមៀប…………………………………………………... ទពេ ៥៩

7. វសមភាព Jensen………………………………………..…………... ទពេ ៧៤

8. វសមភាពស រមមទ………………………………………………………. ទពេ ៩០

9. វធសាសរសតជនស…………………………………………………………. ទពេ ៩៨

10. ភាពអ ម សសន……………………………………………………………. ទពេ ១៣២

| 1

រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360

ការេជាចននវជជមាន

ចព ោះ xជាចននពត ពេបាន 0

2x សមភាព ល ោះតរាតត 0x ។

វសមភាពតររោណ (Triangle Inequality) ព ើ a , b ជាពើរចននពត ពេបាន baba សមភាពពពល 0ab ។ សមរមាយ ព ើមើប ងហា ញថាសព ើ ខាងពលើពតព ើងតរានតត ងហា ញថា

22baba

ព ើងមាន 222222

22 bbaababababa 2ba

សមភាពព ើតព ើងពពល 0 ababab រ a , b មានសញញា ចាា ។

ទតមងទរៅនៃវសមភាពតររោណ ចព ោះ 1x , 2x , … , nx ជាចននពត ព ើងបាន

nn xxxxxx ...... 2121 សមភាពព ើតព ើងពពល

ix , ni ,1 មានសញញា ចាា ។

| 2


លហាត ១ ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពត ពពញល ខខ ឌ cbda ។ ងហា ញថា 0 cbaddbcadcba ។

(Czech and Slovak Republics,2004) ចរ លើយ ព ើងមាន dcbacbda ពេបាន cbaddbcadcba

acabcdbdcdbcadabbdbcadac bdbcadac 2222 dcbdca 22

0222 badcba

សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត dcba លហាត ២ ពេឲយ 2222

,,, addccbbadcbaf ។ ចព ោះ dcba ងហា ញថា

cdbafdcbafdbcaf ,,,,,,,,, ។ ចរ លើយ ព ើងមាន dcbafdbcaf ,,,,,,

2222dcdbbaca

dcbcbcbacb 22 02 dacb

| 3


ពេបាន dcbafdbcaf ,,,,,, (1) មយាងព ៀត cdbafdcbaf ,,,,,,

2222acaddbcb

adccddcbcd 22 02 abcd

ពេបាន cdbafdcbaf ,,,,,, (2) ាម (1),(2) ព ើងបាន cdbafdcbafdbcaf ,,,,,,,,, លហាត ៣ ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានព ទៀងផទទ ត 1abc ។ ងហា ញថា

1555555

caac

ca

bccb

bc

abba

ab ។

(IMO Shortlist,1996) ចរ លើយ ព ើងមាន bababababa

225522330

ពេបាន 2222

2

2255abcbacba

abc

abbaba

ab

abba

ab

cba

c

ពតរ ោះ 1abc

តរា ចាា ព ើងបាន cba

a

bccb

bc

55

cba

b

caac

ca

55

| 4


ពេត ពនោះ caac

ca

bccb

bc

abba

ab

555555

1

cba

cba

លហាត ៤ ងហា ញថា 0 cbaaccbbacba (*) ។ ចរ លើយ ព ើ a , b រ 0c ពេបាន (*) ពត

ពតរៅពើពនោះ WLOG1 សនមតថា 0 cba ពេបាន 1a

b , 1a

c

ព ើងបាន (*) សមមល

01111 a

c

a

b

a

c

a

c

a

b

a

b

a

c

a

b

01111 a

c

a

b

a

c

a

c

a

b

a

b

a

c

a

b

011

a

c

a

b

a

c

a

b

a

c

a

b

a

c

a

b ពត

ពតរ ោះ a

c

a

b

a

c

a

b ,

a

c

a

b

a

c

a

b 11

លហាត ៥

រ តមមៃតច តមន

100

1i

ix ចព ោះ xជាចននពត ។

ចរ លើយ ចព ោះ 50,1k ព ើងបាន kkxkx 2101101

1 Without Loss of Generality

| 5


ពតរ ោះ baba សមភាពពពល 0101 kxkx kkx 101, ពេបាន 991001 xx

97992 xx …………………………

15150 xx

អងគ នង អងគពេបាន 2500509997...312

100

1

i

ix

សមភាពពពល

50

1

51,50101,

k

kkx

ចពនោះ តមមៃតច តមន

100

1i

ix េ 2500 សមភាពល ោះតរាតត 51,50x

លហាត ៦

ព ោះតរា វសមើការ

92211

42

2

xx

x ។

(IMO,1960) ចរ លើយ

92

211

42

2

xx

x មានន កាលណា

0211

021

x

x

,00,

2

1x

| 6


ព ើងមាន

92211

42

2

xx

x

92211211

211422

22

x

xx

xx

92211

21142

22

x

x

xx 922112

xx

92212121 xxx2

721 x

4

4921 x

8

45 x

ចពនោះ

8

45,00,

2

1x

លហាត ៧

ងហា ញថា 4

14

2 nn , INn ។ x ាងឲយត ា សភាេមន x ។

ចរ លើយ ព ើងមាន 14444

222 nnnnn

12422

nnnn ពេបាន nnn 24

2

ព ើងបាន nnnnnnn 2444222

nnnnn 24422

ងហា ញថា 4

124

2 nnn

| 7



124

4

124

22 nnnnnn

16

144

22 nnnn

16

10 ពត

ចពនោះ 4

14

2 nn

លហាត ៨ ចព ោះ a , b , 0c នង p , q ព ទៀងផទទ ត 1 qp ។ ងហា ញថា a , b , cជារងហា សតរជងមនតរតើពកា ម កាលណា 222

pqcqbpa ។ ចរ លើយ ព ើងមាន pqqp 11 ព ើងបាន 222

pqcqbpaQ 222

11 cppbppa 222222

bpcbapc ពេបាន 222222

4 cbcba bccbabccba 22

222222

2222cbacba

cbacbacbacba 0Q កាលណា 0 ( ពតរ ោះ 0

2c )

0 cbacbacbacba

| 8


0 baccbaacb (*) ព ើពើរ ា ងចពណាម acb , cba , bac អវជជមាន

0 a , 0b រ 0c ទ ពើសមមត មម ពេត ពនោះ (*) ពត កាលណា

0 acb , 0 cba នង 0 bac acb , cba នង bac ចពនោះ a , b , cជារងហា សតរជងមនតរតើពកា ម កាលណា

222pqcqbpa

លហាត ៩ ពេឲយ 0 cba នង 1 cba ។ ងហា ញថា 153

222 cba ។

( មព ជា,2014) ចរ លើយ ព 0 cba នង 1 cba ព ើងបាន 222222222

22253 ccbcbacba

cabcabcba 222222

11

22 cba

ចពនោះ 153222 cba

លហាត ១០ ពេឲយអន េមន f តព n

n xaxaaxf ...10 មានពមេ

ia ពពញល ខខ ឌ 00 aai ចព ោះ ni ,1 ។

| 9


n

n

n

n xbxbxbbxf2

210

2...... ។

ងហា ញថា 21 12

1fbn ។

( មព ជា,2008) ចរ លើយ

ព ើងមាន n

n xaxaaxf ...10 210

2...

n

n xaxaaxf ព n

n

n

n xbxbxbbxf2

210

2......

ពតរ ៀ ព ៀ ពមេ មន 1nx ព ើងបាន

0020111211 ...... aaaaaaaaaaaab nnnnn 10102011 ...2 aaaaaaaaab nnnn nnnn aaaaaaaaa ............ 00201

nn aaaaaa ...... 2110 22

10 1... faaa n

ចពនោះ 21 12

1fbn

| 10


វសមភាពងាយ

ដដើមើបឈានដៅដលវសមភាពងាយដនេះ ដយើងសដងេតដមើលសមភាពពើជគណត ដមានសារៈសខានមយជាមនសន គ

222333

2

13 accbbacbaabccba (*)

សមរាយ រដបៀបទើ ១ ដយើងមាន abccba 3

333

cbaabcba 333

cbaabcbacbacba 322

bcacabcbacba 222

222

2

1accbbacba

រដបៀបទើ ២ យក xP ជាពហធាដដកទើ ៣ ដដលមានរស cba ,, ដយើងបាន

cxbxaxxP abcxcabcabxcbax

23 ជនស cba ,, កនង xP ដគបាន

023

abcacabcabacbaa 0

23 abcbcabcabbcbab

| 11


023

abcccabcabccbac បក អងគ នង អងគ cbacbacba

222333

03 abccbacabcab

abccba 3333 0

222 cabcabcbacba

abccba 3333 bcacabcbacba

222

abccba 3333 222

2

1accbbacba

រដបៀបទើ ៣

ដបើដដដទមើណងលដាប ៣ abccba

b

a

c

a

c

b

c

b

a

D 3333 (1)

មយាងដទៀត b

a

c

a

c

b

cba

cba

cba

D

Dcba

b

a

c

a

c

b

1

1

1

cabcabcbacba 222

(2) តាម (1),(2) ដយើងបាន

abccba 3333 bcacabcbacba

222

222

2

1accbbacba

សដងេតដលើសមភាព (*) ដបើ 0 cba ដគបាន abccba 3

333 (i)

| 12


ដបើ a , b , 0c ដគបាន abccba 3333 1

សមភាពដកើតដ ើងលេះតាដត cba លហាត ១ ដាក 333

xzzyyx ជាផលគណកតាា ។ ចមមលើយ ដបើយក yxa , zyb , xzc ដគបាន 0 cba តាម (i) ដយើងបាន xzzyyxxzzyyx 3

333 លហាត ២

សាយបញជា កថា 33 5252 ជាចននសនទាន ។ ចមមលើយ

យក IR5252 33 x 05252 33 x

ដបើយក xa , 3 52 b , 3 52 c

ដគបាន 0 cba

តាម (i) ដយើងបាន 33525235252 xx

0433

xx 041

2 xxx

ដយើងបាន 1x ជាចននសនទាន 1 វសមភាព Cauchy រ AM-GM ចដ េះបើចននពតវជាមាន

| 13


លហាត ៣ ឧបមាថា cba ,, ជារងាា ស ជងននតើដោណមយ ។ សាយបញជា កថា

cbaabccba

,,max2

33

333

។

ចមមលើយ ដដាយ វសមភាពមានលកខណៈសើដមទើដ ៀបនងអដេរ a , b , c WLOG ឧបមាថា cba

ដយើងបាន cbaabccba

,,max2

33

333

aabccba

3

333

2

303

333 abccba

03333

bcacba

02

1 222 cbcabacba ពត

ដ េះ cba ,, ជារងាា សជងននតើដោណមយ

| 14


លហាត 1. ដគឲយ zyx ,, ជាបើចននគតបដពញលកខខណឌ

xyzxzzyyx 222 ។ សាយបញជា កថា

333zyx ដចកដាចនង 6 zyx ។

2. យក cba ,, ជាបើចននពតបដពញលកខខណឌ 042 33 cba ។ បងាា ញថា 0 cba ។

3. រកសណចណច yx, ដដលបដពញលកខខណឌ 1333

xyyx ។ 4. តាង S ជាសណននចននគត x ដដល abccbax 3

333

( cba ,, ជាចននគត ) ។ បងាា ញថា ដបើ Syx , ដគបាន Sxy ។ 5. ដគដោយ cba ,, ជាបើចននគតវជាមានដផេងគនន នង k ជាចននគតវជាមាន ។ បងាា ញថា ដបើ 13

2 kcabcab ដគបាន

kabccba

33

333

។

6. ចដ េះគបចននពត x , y , z បងាា ញថា zxyzxyzyx 222 ។

7. ដបើ a , b , cជាចននពតវជាមាន បងាា ញថា cbaabc

cba 111222

។

8. (Romania,2007) ចដ េះគប x , y , zជាចននពតវជាមាន សាយបញជា កថា

xzzyyxxyzzyx

4

3

3

333

។

9. (UK,2008) រកតនមៃអបបបរមានន 222

zyx ដបើដគដងថា x , y , zជាបើចននពត

| 15


បដពញលកខខណឌ 13333

xyzzyx ។ 10. ដដាេះសាយសមើោរ 011 333 xxx ។

11. ដគឲយ r ជាចននពតបដពញលកខខណឌ 31

3

3 r

r ។

គណនា 3

3 1

rr ។

| 16


ទមរង Engel នៃវសរភាព Cauchy-Schwarz (Arthur Engel’s Minima Principle)

ទរសតបរ ចព ោះ 1a , 2a ,…, na ជាចននពត នង 1x , 2x , … , nx

ជាចននពតវជជមានពេបាន

n

n

n

n

xxx

aaa

x

a

x

a

x

a

...

......

21

2

21

2

2

2

2

1

2

1 ,

2n ។

សទាយ ចព ោះ 2n ព ើងបាន

21

2

21

2

2

2

1

2

1

xx

aa

x

a

x

a

21

2

21211

2

2212

2

1 xxaaxxxaxxxa

0

2

1221 xaxa សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត 2

2

1

1

x

a

x

a

ឧបមាថា ពតដល kn េ

k

k

k

k

xxx

aaa

x

a

x

a

x

a

...

......

21

2

21

2

2

2

2

1

2

1

ស ា រណើ 1 kn

ព ើងមាន

k

k

k

k

xxx

aaa

x

a

x

a

x

a

...

......

21

2

21

2

2

2

2

1

2

1

1

2

1

21

2

21

1

2

1

2

2

2

2

1

2

1

...

......

k

k

k

k

k

k

k

k

x

a

xxx

aaa

x

a

x

a

x

a

x

a

| 17


121

2

121

...

...

kk

kk

xxxx

aaaa

សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត 1

1

2

2

1

1 ...

k

k

x

a

x

a

x

a

លហាត ១ ចព ោះ 1a , 2a , … , na នង 1b , 2b , … , nb ជាចននពត បងហា ញថា 2

2211 ... nnbababa 22

2

2

1

22

2

2

1 ...... nn bbbaaa ។ (វសមភាព Cauchy-Schwarz)

ចមរលើយ


2

2

2

2

22

2

1

2

1122

2

2

1 ......n

nn

nb

ba

b

ba

b

baaaa

22

2

2

1

2

2211

...

...

n

nn

bbb

bababa

ពេបាន 2

2211 ... nnbababa 22

2

2

1

22

2

2

1 ...... nn bbbaaa

សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត n

n

b

a

b

a

b

a ...

2

2

1

1

លហាត ២

ចព ោះ a , b , cជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា2

3

ba

c

ac

b

cb

a ។

(វសមភាព Nesbitt)

| 18


ចមរលើយ

ព ើងមាន bcac

c

abbc

b

acab

a

ba

c

ac

b

cb

a

222

cabcab

cba

2

2

ពោ cabcabcbacabcabcba 302222

ពេបាន 2

3

2

3

cabcab

cabcab

ba

c

ac

b

cb

a

លហាត ៣ 1a , 2a , … , na , 1b , 2b , … , nb ជាចននពតវជជមានបពពញល ខខណឌ

nn bbbaaa ...... 2121 ។ បងហា ញថា

n

nn

n aaaba

a

ba

a

ba

a

...

2

1... 21

2

22

2

2

11

2

1 ។

(APMO,1991) ចមរលើយ

ព ើងមាន nn

n

ba

a

ba

a

ba

a

2

22

2

2

11

2

1 ...

nn

n

bbbaaa

aaa

......

...

2121

2

21

2

...

...2

... 21

21

2

21 n

n

n aaa

aaa

aaa

| 19


លហាត ៤ ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញល ខខណឌ 1abc ។

បងហា ញថា 2

3111333

bacacbcba

។

(IMO,1995) ចមរលើយ

ព ើងមាន bacacbcba

333

111

bcac

c

bcab

b

acab

a

222

111

cabcab

cba

2

1112

22 abc

cabcab

2

3

2

33 2

abc

លហាត ៥ ចព ោះ a , b , cជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា

1222

ba

c

ac

b

cb

a ។

(Czech and Slovak Republics,1999) ចមរលើយ

ព ើងមាន bcac

c

abbc

b

acab

a

ba

c

ac

b

cb

a

222222

222

| 20


13

2

cabcab

cba

ពតរ ោះ cabcabcba 3

2 លហាត ៦ ពេឲយ w , x , y , zជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា

3

2

32323232

yxw

z

xwz

y

wzy

x

zyx

w ។

(Moldova,2007) ចមរលើយ

ព ើងមាន yxw

z

xwz

y

wzy

x

zyx

w

32323232

xywyyz

y

wxxzxy

x

wzwywx

w

323232

222

yzxzwz

z

32

2

xzwyzwyzxywx

zyxw

4

2


2

4

2

xzwyzwyzxywx

zyxw


2

4

2

xzwyzwyzxywx

zyxw

xzwyzwyzxywxzyxw 232222 ពត

ពតរ ោះ ាម AM-GM ពេបាន wxxw 222 , xyyx 2

22

| 21


yzzy 222 , zwwz 2

22

wyyw 222 , xzzx 2

22

ប អងគ នង អងគព ើងបាន xzwyzwyzxywxzyxw 23

2222 លហាត ៧ x , y , zជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា

4

3222

yzxz

z

xyzy

y

zxyx

x ។

(Croatia,2004) ចមរលើយ

ព ើងមាន yzxz

z

xyzy

y

zxyx

x

222

zxyzxyzyx

zyx

3222

2


3

3222

2

zxyzxyzyx

zyx


3

3222

2

zxyzxyzyx

zyx

zxyzxyzyx 222 ពត

លហាត ៨ ចព ោះតរេប a , b , cជាចននពតវជជមាន ។ តរា បញជជ ថា

| 22


7

1

111011101110

ba

c

ac

b

cb

a ។

(ភនពពញ,2009) ចមរលើយ

ព ើងមាន ba

c

ac

b

cb

a

111011101110

bcac

c

abbc

b

acab

a

111011101110

222

cabcab

cba

21

2

ពោ cabcabcba 32

ព ើងបាន ba

c

ac

b

cb

a

111011101110

7

1

21

3

cabcab

cabcab

| 23


លហាត i. (វសមភាព QM-AM )

ចព ោះតរេបចននពតវជជមាន 1x , 2x , … , nx បងហា ញថា

n

xxx

n

xxx nn

...... 21

22

2

2

1 ។

ii. (Hungry,1996) ពេឲយ a , b ជាចននពតវជជមានបពពញល ខខណឌ 1 ba ។


1

11

22

b

b

a

a ។

iii. (MOSP,2000) a ,b , x , y , zជាចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា

babyax

z

bxaz

y

bzay

x

3 ។

iv. (South Africa,1995) a , b , c , d ជាបនចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា

dcbadcba

6416411 ។

v. ចព ោះ a ,b , c , d ជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា / 444

8 baba

ខ/ 1. cbaaccbba

9222

2.

cbaaccbba

111

2

1111 (Ireland,1998)។

| 24


េ/ cbaac

ac

cb

cb

ba

ba

222222

ឃ/ 2

ba

d

ad

c

dc

b

cb

a

ង/ 2

5

ba

e

ae

d

ed

c

dc

b

cb

a ។

vi. (Belarus 1999) ពេឲយ a ,b , 0c តដល 3

222 cba ។ បងហា ញថា

2

3

1

1

1

1

1

1

cabcab ។

vii. (IMO Shortlist,1990) ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពតវជជមានតដល 1 dacdbcab ។


13333

cba

d

bad

c

adc

b

dcb

a ។

viii. (Thailand,2006) a , b ជាចននពតវជជមាន នង ,0k ។ ណត M ធបផ ត

ពបើពេដងថា ba

M

akbbka

11 ។

ix. (Greece,2007) ពេឲយ a , b , cជារងហា សតរជងននតរតើពោណម ។ បងហា ញថា

cabcabbacc

acb

acbb

cba

cbaa

bac

444

។

x. (Korea,2007) ណតតនមៃវជជមាន k ទងអសតដលអាចមានពបើពេដងថា

| 25


2007

1

kab

c

kca

b

kbc

a ពតចព ោះតរេបចននពតវជជមាន

a , b , c ។ xi. (Greece,2008)

ពេឲយ 1x , 2x , … , nx ជាចននេតវជជមាន ។ បងហា ញថា

n

t

kn

n

n xxxxxx

xxx...

...

...21

21

22

2

2

1

តដល nxxxk ,...,,max 21

នង nxxxt ,...,,min 21 ។ ពតើសមភាពព ើតព ើងពៅពពលណា ?

| 26


វសមភាពនៃមធយម (Mean Inequalities)

ទរសតបរ ចព ោះ 1a , 2a , … , na ជាចននពតវជជមាន ពេយក

n

xxxQM n

22

2

2

1 ... , n

aaaAM n

...21 ,

nnaaaGM ...21 នង

naaa

nHM

1...

11

21

ពយើងបាន HMGMAMQM សមភាពល ោះតរាតត

naaa ...21 ។ QM ពៅថា មធយមរសកាពរ (Quadratic Mean) AM ពៅថា មធយមនពវនត (Arithmetic Mean) GM ពៅថា មធយមធរណើ មាតរត (Geometric Mean) HM ពៅថា មធយមអាម នច (Harmonic Mean) ។ សទាយ ពយើងនងតរាយបញជជ ក AM-GM ពោយពតរបើវចារកពណើ នតបបកស ើ (Cauchy) សតរមាបតនែកពៅសល(QM-AM នងGM-HM)សមមតតអែកអានាកលបងតរាយ ពោយខលនឯង។ ទតរមងននវចារកពណើ នតបបកស ើ

| 27


ក/ បងហា ញថា 2p ពត ខ/ ឧបមាថា np ពត រច ទាញថា np 2 ពត នង 1np ពត ពេបាន np ពត ចព ោះតរេប 2n ។

ចព ោះ 2n ពេបាន វសមភាពឲយ 2121 2 aaaa

02

21 aa ពត សមភាពល ោះតរាតត 21 aa

ឧបមាថា ពតដល kn េ kkk aaakaaa ...... 2121

បងហា ញថា kkkk aaakaaaa 2

221221 ...2...... ពយើងមាន kkk aaaaa 2121 ......

kkkk

kk aaakaaak 22121 ......

kkkk

kk aaaaaak 22121 ......

kkk aaaak 2

221 ......2 ពត បងហា ញថា 1

121121 ...1... k

kk aaakaaa ចព ោះ 1a , 2a , … , 01 ka ាង 1

121 ... k

kk aaaa

ពយើងបាន kkk aaakaaa ...... 2121

kk

k

kk aakaaa1

21 ...

kk kaaaa ...21 ពេបាន 1

121121 ...1... k

kk aaakaaa ពត ដចពនោះ n

nn aaanaaa ...... 2121

| 28


សមភាពល ោះតរាតត naaa ...21 លហាត ១ ពេឲយ naaa ,...,, 21 ជាចមាល សមយនន

IR,...,, 21 nbbb ។

បងហា ញថា nb

a

b

a

b

a

n

n ...2

2

1

1

na

b

a

b

a

b

n

n ...2

2

1

1 ។

ចមមលើយ ពោយ naaa ,...,, 21 ជាចមាល សមយនន nbbb ,...,, 21 ពយើងបាន

n

i

i

n

i

i ba11

ាម AM-GM ពយើងបាន n

b

a

nb

a

b

a

b

an

i

i

n

i

i

n

n

1

1

2

2

1

1 ...

នង n

a

b

nb

a

b

a

b

an

i

i

n

i

i

n

n

1

1

2

2

1

1 ...

លហាត ២ ពេឲយ a , b , 0c បពពញលកខខណឌ 1abc ។


1

1

1

1

1

c

ca

b

bc

a

ab ។

ចមមលើយ

| 29


ពយើងមាន c

ca

b

bc

a

ab

1

1

1

1

1

1

cabc

ca

babc

bc

aabc

ab

111

ab

ca

cca

bc

bbc

ab

a 1

11

1

11

1

11

ាម AM-GM ពយើងបាន c

ca

b

bc

a

ab

1

1

1

1

1

1

3

1

11

1

11

1

113

ab

ca

cca

bc

bbc

ab

a

31

33 abc

ដចពនោះ 31

1

1

1

1

1

c

ca

b

bc

a

ab

លហាត ៣ ពេឲយ a , b , 0c ។

បងហា ញថា cbaaccbbacba

91112

111 ។

ចមមលើយ

ាម AM-HM ពយើងបាន bababa

ba

4112

2

11

(1)

ដចគនែ តដរ cbcb

411 (2)

acac

411 (3)

បក (1),(2),(3) ពេបាន

accbbacba

1114

1112

| 30


accbbacba

1112

111 (*)

ម ាងពទៀត cba

accbba

2

3

3

111

cbaaccbba

91112 (**)

ាម (*),(**) ពយើងបាន

cbaaccbbacba

91112

111

លហាត ៤ យក a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 1 cba ។

បងហា ញថា ក/ 6411

11

11

cba

ខ/ 811

11

11

cba ។

ចមមលើយ ក/ រពបៀបទើ ១

ពយើងមាន 11111

a

c

a

b

a

cba

a

ាម AM-GM ពយើងបាន 42

411

a

bc

a

| 31


តរាយដចគនែ ពេបាន 42

411

b

ca

b , 4

241

1

c

ab

c

64641

11

11

14

222

cba

abcabc

cba

រពបៀបទើ ២

abccabcabcbacba

111111111

11

11

1

ាម AM-GM ពយើងបាន

abcabcabccba

13311

11

11

1

3 23

3

3

11

abc

មា ងពទៀត 31

33

3 abc

abccba


11

11 3

cba

ខ/

ពយើងមាន a

c

a

b

a

cb

a

cba

a

1111

1

ាម AM-GM ពយើងបាន a

bc

a

21

1

តរាយដចគនែ ពេបាន b

ca

b

21

1 ,

c

ab

c

21

1

| 32



81

11

11

1

abc

abcabc

cba

លហាត ៥

ចព ោះតរេប a , b , 0c បងហា ញថា 2

3

ba

c

ac

b

cb

a (*)។

(វសមភាព Nesbitt) ចមមលើយ ាង cbx , acy , baz

ពយើងបាន 2

2zyx

cbacbazyx

ពេបាន 2

xzya

,

2

yxzb

,

2

zyxc

(*) 2

3

2

1

z

zyx

y

yxz

x

xzy

6z

y

z

x

y

x

y

z

x

z

x

y ពត ាម AM-GM


3

ba

c

ac

b

cb

a

រពបៀបទើ ២ ាម AM-GM ពយើងបាន 33 baaccbbaaccb

332 baaccbcba (1)

| 33


ព ើយ 3111

3111

baaccbbaaccb (2)

េ ណ (1),(2) ពយើងបាន 9111

2

baaccbcba

2

9111

ba

c

ac

b

cb

a

2

3

ba

c

ac

b

cb

a

លហាត ៦ ពេឲយ 1x , 2x , … , nx ជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ

11

1...

1

1

1

1

21

nxxx

។ បងហា ញថា nn nxxx 1...21 ។

ចមមលើយ

ាង 1

1

i

ix

y ចព ោះ ni ,1

i

i

i

iy

y

yx

11

1

ព ើយ

ij

ji

i

i yyy 11


n

ij

ji yny

ពេបាន

i

i

i

i

i

i

i

i

i

y

y

y

yx

11

| 34


i

i

i

n

ij

j

y

yn 11 n

i

i

i

i

n

n

y

yn

1

1

ដចពនោះ nn nxxx 1...21 លហាត ៧ ពេឲយ 2n នង 1x , 2x , … , nx ជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ

1998

1

1998

1...

1998

1

1998

1

321

xxx

។


...21

n

xxxnn ។

(Vietnam,1998) ចមមលើយ


1

1998

1...

1998

1

1998

1

321

xxx

11998

1998...

1998

1998

1998

1998

321

xxx

ាង ii yx

1

1

1998

1998 ចព ោះ ni ,1


i

i

xy នង

i iy1

1

1

ាមលហាត ១ ពេបាន nn nyyy 1...21

nn nxxx

11998

...19981998

21

| 35


nn

n nxxx

11998

...21


...21

n

xxxnn

លហាត ៨ ពេឲយ 1a , 2a , … , na ជាចននពតវជជមាន តដល 1...21 naaa ។


2121

2121 1

1...11...

...1...

n

nn

nn

naaaaaa

aaaaaa (*)។

(IMO Shortlist,1998) ចមមលើយ ាង nn aaaa ...1 211

ij

ji aa1 នង 1i

ia

យក 1

1

i

ix

a ចព ោះ 1,1 ni i

i

ia

ax

1

ពេបាន i ix

11

1

ាម លហាត ១ ពយើងបាន 1

121 ...

n

nn nxxxx

1

1

1

2

2

1

1 1...

11

n

n

n na

a

a

a

a

a

1

1

1

2

2

1

1 1

11...

11

n

n

n

n

n

na

a

a

a

a

a

a

a

1

2121

2121 1

1...11...

...1...

n

nn

nn

naaaaaa

aaaaaa

| 36


លហាត ៩

ពេឲយ x , 1y ។ តរាយបញជជ កថា 811

22

x

y

y

x ។

(Russia,1992) ចមមលើយ រពបៀបទើ ១ ាង 1 xa , 01 yb 1 ax , 1 by

ពេបាន a

b

b

a

x

y

y

x2222 11

11

ាម AM-GM ពយើងបាន aaaa 412122

ដចគនែ តដរ bbbb 412122


22

a

b

b

a

x

y

y

x

រពបៀបទើ ២


112

11

22

y

y

x

x

x

y

y

x (*)

ចព ោះ 1a ពយើងបាន 21

0112

a

aa

ព ត ពនោះ (*) 822211

22

x

y

y

x

លហាត ១០ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 3 zyx ។

| 37


បងហា ញថា zxyzxyzyx ។ (Russia,1994)

ចមមលើយ ាម AM-GM ពយើងបាន xxxx 3

2

yyyy 32

zzzz 32

បកអងគ នង អងគពយើងបាន

zyxzyxzyx 32222

22222 zyxzyxzyx

zxyzxyzyx លហាត ១១ ពេឲយ x មនតមនជាចននេត ព ើយ 1x ។ តរាយបញជជ កថា

2

9

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx (*)។

(Mediterranean,2007) ចមមលើយ ាង xa , xr

ពយើងបាន (*) សមមល 2

9

2

2

2

2

ra

r

r

ra

ra

a

a

ra

2

5

222

ra

r

ra

a

r

a

a

r

| 38


ពោយ 2r

a

a

r

ព ើយ rara 2 , rara 2 សមភាពពកើតព ើងតរពមគនែ កាលណា 0 ra ( ជាករណើ មនអាច )

ពេបាន 2

31

22

ra

r

ra

a

ra

r

ra

a


5

2

34

222

ra

r

ra

a

r

a

a

r ពត

ដចពនោះ

2

9

xx

x

x

xx

xx

x

x

xx

លហាត ១២

ពេឲយ a , b , 0c ។ បងហា ញថា

abcabcacabccbabcba

1111333333

។

(USAMO,1997) ចមមលើយ ពយើងមាន 0

2 baba ចព ោះ a , b , 0c

022

baba baabba

33

ពេបាន cbaababcba

1133

(1)

ដចគនែ តដរ ពយើងបាន cbabcabccb

1133

(2)

| 39


cbacaabcac

1133

(3)

បក (1),(2),(3)ពយើងបាន

abcacabccbabcba

333333

111

cbacacbabccbaab

111

abccbaabc

cba 1

ដចពនោះ abcabcacabccbabcba

1111333333

លហាត ១៣ ពេឲយ 0ix ចព ោះ ni ,1 ។ តរាយបញជជ កថា

2

21

21

1...

11... n

xxxxxx

n

n

។

ចមមលើយ ាម AM-GM ពយើងបាន

nn xxxnxxx ...... 2121

នង nn xxx

n

xxx ...

1...

11

2121

ពេបាន

n

nxxx

xxx1

...11

...21

21

| 40


2

21

21

...... n

xxx

nxxxn

n

n

លហាត ១៤ ពេឲយ 1a , 2a , … , 0na នង naaas ...21 ។

បងហា ញថា ក/ 1

2

1

n

n

as

sn

i i

ខ/ 11

nna

asn

i i

i

េ/

n

i i

i

n

n

as

a

1 1 ។

(Australia,1993) ចមមលើយ

ក/ ពយើងមាន 1

2

1

n

n

as

sn

i i 2

1

1 nas

sn

n

i i

(*) ពោយ

n

i

ias1

ពេបាន

n

i

in

n

i

i

s

as

s

as

s

as

s

as

s

a

nn1

211 ...1

ពយើងបាន (*) សមមល 2

11

nas

s

s

as n

i i

n

i

i

ពត

ាម លហាត ១០

| 41



2

1

n

n

as

sn

i i ខ/ ពយើងមាន 1

1

nna

asn

i i

i

nna

sn

i i

2

1

1 2

1

na

sn

i i

(*)

ពោយ

n

i

i

s

a

1

1 ពតរ ោះ

n

i

ias1

ពេបាន (*) សមមល 2

11

na

s

s

a n

i i

n

i

i

ពត ាម លហាត ១០

េ/ ាម ក ពយើងបាន 1

11

2

1

2

1

n

n

as

a

n

n

as

s n

i i

in

i i

1

2

1

n

nn

as

an

i i

i

nn

n

as

an

i i

i

1

2

1

1

n

n

ដចពនោះ

n

i i

i

n

n

as

a

1 1

លហាត ១៥

ចព ោះ 1n ជាចននេត បងហា ញថា 3

2

2

1...

1

11

nnn ។

ចមមលើយ

| 42


ាម AM-HM ពយើងបាន nnn

n

n

nnn

2...1

1

1

2

1...

1

11

nnnn

n

3

2

2

21

1

nnnn

11

3

2

2

1...

1

11 ពោយ 11

1 n


2

2

1...

1

11

nnn

លហាត ១៦ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានពនទៀងផទទ ត 1xyz ។


3

111111

333

yx

z

xz

y

zy

x ។

(IMO Shortlist.1998) ចមមលើយ


3

8

1

8

1

11

3xzy

zy

x

ពេបាន

cyccyccyc

xx

zy

x

4

3

4

31

4

1

11

3

4

312

4

1

11

3

cyccyc

xzy

x

សមភាពល ោះតរាតត 1 zyx

| 43


លហាត ១៧ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា

3

22111

xyz

zyx

x

z

z

y

y

x

។

(APMO,1998) ចមមលើយ

ពយើងមាន

3

22111

xyz

zyx

x

z

z

y

y

x

3

2

xyz

zyx

x

z

z

y

y

x

x

y

y

z

z

x ពត

ពតរ ោះ ាម AM-GM ពយើងបាន

yxz

xzy

zyx

x

z

z

y

y

x

x

y

y

z

z

x 111111

3111

zyxzyx

3

3

3

xyz

zyx

3

332

xyz

xyzzyxzyx

3

2

xyz

zyx

| 44



22111

xyz

zyx

x

z

z

y

y

x

សមភាពល ោះតរាតត zyx លហាត ១៨ ពេឲយ a , b , c , 0d ។ បងហា ញថា

3

2222

44

abdcdabcdabcdcba

។

ចមមលើយ ាម AM-GM ពយើងបាន

abdcdabcdabc cbaddabc

cbda

dacb

22

22

4

dcbadacb

42

2dcbadcba

16

3dcba

ពេបាន 44

3dcbaabdcdabcdabc

ម ាងពទៀត ាម AM-QM ពេបាន 44

2222dcbadcba

| 45



2222

44

abdcdabcdabcdcba

សមភាពល ោះតរាតត dcba លហាត ១៩ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 3

555 zyx ។


4

3

4

3

4

x

z

z

y

y

x ។

ចមមលើយ

ពយើងមាន 5510551055102555222 xzzzyyyxxzyx

9


100

1055

3

4

193610 xxyxy

x

19

100

1055

3

4

193610 yyzyz

y

19

100

1055

3

4

193610 zzxzx

z

បកអងគ នង អងគពយើងបាន

19

100

19

100

19

1002555

3

4

3

4

3

4

19310 zyxzyxx

z

z

y

y

x

19

100

19

100

19

100

3

4

3

4

3

4

192710 zyxx

z

z

y

y

x


100

19

100

19

100

zyx

| 46


ាម AM-GM ពយើងមាន

5

19

19

100

19

100

19

100

19

100

20...1191 xxxxx tY

ពយើងបាន

cyccyc

xx519

100

20191 57332019 19

100

cyc

x

ពេបាន 319

100

19

100

19

100

zyx


4

3

4

3

4

x

z

z

y

y

x សមភាពល ោះតរាតត 1 zyx

លហាត ២០ ពេឲយ ABCជាតរតើពកាណសមសងមានរងហវ សតរជង a ។ យក M ជាចណ ចមយ ពៅកែ ងតរតើពកាណពនោះ ព ើយ D , E , F ជាចពណាលតកងនន M ពលើតរជង BC , CA នង AB ពរៀងគនែ ។ បងហា ញថា

ក/ aMFMEMD

36111

ខ/ aMDMFMFMEMEMD

33111

។

| 47


សទាយ ក/ ាង MDx , MEy , MFz ពយើងមាន ABMCAMBCMABC

azayaxah តដល ah2

3 (កមពសតរតើពកាណ ABC )

zyxh 1


zyxzyx

zyxh

111111

993 xyz

xyz

ពេបាន ahzyx

369111

សរ បមក aMFMEMD

36111

ខ/ ាម AM-GM ពយើងបាន

xzzyyxxzzyyx

111

993

xzzyyx

xzzyyx

1 Viviani’s lemma

| 48



2

xzzyyxh

ahxzzyyx

33

2

9111

លហាត ២១ យក ah , bh , ch ជាកមពសេសពចញពើកពល A , B , C ពរៀងគនែ ននតរតើពកាណ ABC តដលចារកពតរៅរងវងតដលមាននចត I កា r ។

បងហា ញថា ក/ 1cba h

r

h

r

h

r

ខ/ rhhh cba 9 ។

សមរាយ ក/

ពយើងមាន aa h

r

ah

ra

ABC

IBC

ដចគនែ តដរ bh

r

ABC

ICA ,

ch

r

ABC

IAB

ពយើងបាន

1ABC

ABC

ABC

IAB

ABC

ICA

ABC

IBC

h

r

h

r

h

r

cba

| 49


ខ/


cba

cbahhh

hhh

91

cba hhhr

ដចពនោះ rhhh cba 9 លហាត ២២ ពេឲយ ABC មយមានកមពស AD , BE , CF ព ើយ Hជាអរតសងននតរតើពកាណ

ពនោះ ។ បងហា ញថា ក/ 9HF

CF

HE

BE

HD

AD

ខ/ 2

3

HC

HF

HB

HE

HA

HD ។

សមរាយ ក/ ាង ABCS , HBCS 1 , HCAS 2 នង HABS 3

| 50


ABC នង HBC ជាតរតើពកាណតដលមានបាតរម

ពយើងបាន AD

HD

S

S1

ដចគនែ តដរ BE

HE

S

S2 ,

CF

HF

S

S3


S

S

S

SSS

CF

HF

BE

HE

AD

HD


HF

CF

HE

BE

HD

AD

CF

HF

BE

HE

AD

HD

សរ បមក 9HF

CF

HE

BE

HD

AD

ខ/


1

1

1

SS

S

SS

S

HDAD

HD

HA

HD

ដចគនែ តដរ 13

2

SS

S

HB

HE

,

21

3

SS

S

HC

HF


3

13

2

32

1

SS

S

SS

S

SS

S

HC

HF

HB

HE

HA

HD

ាមវសមភាព Nesbitt 2

3

21

3

13

2

32

1

SS

S

SS

S

SS

S


3

HC

HF

HB

HE

HA

HD

| 51


លហាត 1. កណតតនមលតចបន តនន 3

1 xx ពបើ 10 x ។ 2. យក a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 1 cba ។

រកតនមលអបបបរមានន cba

abc111

។

3. យក a , b , cជារងហវ សតរជងននតរតើពកាណមយ ។ បងហា ញថា

cabcabbacacbcba

9111 ។

4. ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 1abc ។


c

ac

b

cb

a

ba ។

5. ឧបមាថា a , b , cជារងហវ សតរជងននតរតើពកាណមយ ។ បងហា ញថា cbacba

cbabacacbcba ។ 6. ពេឲយ a ,b , cជាចននពតមនអវជជមានតដល 2 cba ។

បងហា ញថា 2222222 accbba ។

7. ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា

bdacdadcdcbcbaba

411112222

។

8. ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពតមនអវជជមានបពពញលកខខណឌ 5 edcba ។ បងហា ញថា

5 eabdeacdebcdabc ។ 9. ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានពនទៀងផទទ ត 3 cba ។

| 52



3

111222

a

c

c

b

b

a ។

| 53


វសមភាព Cauchy-Schwarz ទរសតបរ ចព ោះ 1a , 2a , … , na , 1b , 2b , … , nb ជាចននពត ពេបាន

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba1

2

1

2

2

1

។

សទាយ

យក

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

ii bbaxaxbxaxf1

2

11

22

1

22

ព ោះ 0xf ពោយ 01

2

n

i

ia

ពយើងបាន 00'

2

1

2

1

2

1

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba

n

i

i

n

i

i

n

i

ii baba1

2

1

2

2

1 សមភាពពពល 0 ii bxa ii bxa ចព ោះ ni ,1 ព ល េ naaau ,...,, 21

, nbbbv ,...,, 21 កលើពនអ ែគនា

លហាត ១ ពេឲយ a , b , 0c ។ បងហា ញថា

0222

222

2

222

2

222

2

bac

abc

acb

cab

cba

bca ។

ចមមលើយ

| 54



222

2

222

2

222

2

bac

abc

acb

cab

cba

bca

3

2222

2

cyc cba

ba ពត

ព ោះ តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពេបាន

22

2

22

2

222

2

2 cb

b

ca

a

cba

ba


222

2

22

2

222

2

cyccyccyc cb

b

ca

a

cba

ba

លហាត ២

ពេឲយ x , y , 1z ព ទៀងផទទ ត 2111

zyx។ បងហា ញថា

111 zyxzyx ។ (Iran MO,1998)

ចមមលើយ


2111

z

z

y

y

x

x

zyx

តាម វសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន 2

11

cyccyccyccyc

xx

xxx

ដចពនោះ 111 zyxzyx

| 55


លហាត ៣

ពេឲយ a , b , 0c ។ កណតតមមៃតចបតមនba

c

ac

b

cb

a

543 ។

ចមមលើយ តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន

55

44

33

ba

c

ac

b

cb

a

baaccbcba

543

baaccbbaaccb

543

2

1

25432

1

ពេបាន ba

c

ac

b

cb

a

543 125432

1 2

ដចពនោះ តមមៃតចបតមន ba

c

ac

b

cb

a

543 េ

125432

1 2

សមភាពលោះតាអត 523

baaccb

លហាត ៤ យក a , b , cជារងហា សរងមនតើពោណមយ ។ បងហា ញថា

cbabacacbcba ។ (APMO,1996)

ចមមលើយ

| 56


តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន bacbcbaacbcba 22

ាយដចគនា ពយើងបាន cbacacb 2

acbabac 2 បក ងគ នង ងគពេបាន cbabacacbcba 22

ដចពនោះ cbabacacbcba សមភាពលោះតាអត cba

លហាត ៥ ពេឲយ a ,b , cជាចននពត ។

ពេយក 22cbcbx , 22

acacy នង 22

babaz ។ បងហា ញថា 222

cbazxyzxy (VMEO,2006)

ចមមលើយ


22

24

3

cb

ccbcbx

ព ើយ 22

22

24

3

ca

cacacy

តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន

| 57


2222

24

3

24

3 ca

ccb

cxy

cacbc

224

1

4

32

ពេបាន cyccyccyccyc

acacbcxy22

224

1

4

3

ដចពនោះ 222cbazxyzxy

លហាត ៦ ពបើសមើោរ 012

234 bxxaxx មានរសជាចននពតយា ងពោច

ណាសមយ ។ ាយបញជា កថា 822 ba ។

(Tournament of the Towns,1993) ចមមលើយ ពបើ xជារសមនសមើោរ ពយើងបាន 012

234 bxxaxx

12243 xxbxax

តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពេបាន

22423222612 xxbxaxbaxx

36

22422 12

xx

xxba


1226

224

xx

xx


1226

224

xx

xx 0122 x ពត

| 58


ដចពនោះ 822 ba

| 59


វសមភាពនៃតមមៀប (Rearrangement Inequalities)

វសមភាពនៃតមមៀបមៃេះអាចតវបាៃមៅថា វសមភាពនៃចមលា ស ។

ទរសតបរ មេមលៃ n2 ចៃៃពតដែលកណតមោយ naaa ...21 ៃង nbbb ...21 ។ ចម េះេបចមលា ស naaa ,...,, 21 នៃ

naaa ,...,, 21 មេបាៃវសមភាព

n

i

ii

n

i

ii baba11

(1)

n

i

iin

n

i

ii baba1

1

1

(2)

ចម េះ (1) សមភាពមកើតម ើងល េះាដត ii aa , ni ,1 ចដណក (2) សមភាពមកើតម ើងល េះាដត ini aa 1 , ni ,1

សទាយ ចម េះ nbbb ...21 ៃង 1a , 2a , … , na ជាចៃៃពត ាង nnssrr bababababaS .........2211 ៃង nnsrrs bababababaS .........2211 ( S ជាផលបក S ដែលបតរទើាងរវាង ra ៃង sa ) មយើងបាៃ srrsssrr babababaSS

rsrs aabb មេបាៃ SS កាលណា rs aa

| 60


ាមលកខណៈមៃេះ មេបាៃ S មលៃតនមាធបផ ត មពល naaa ...21 ៃង មលៃតនមាតចបផ តមពល naaa ...21

ែចមៃេះ ទសតើបទតវបាៃាយបញជា ក ករ ដល ១ (Corollary) ចម េះេបចមលា ស naaa ,...,, 21 នៃ naaa ,...,, 21 មេបាៃ

nnn aaaaaaaaa ...... 2211

22

2

2

1 ។ ករ ដល ២ (Corollary) ចម េះេបចមលា ស naaa ,...,, 21 នៃ naaa ,...,, 21 មេបាៃ

na

a

a

a

a

a

n

n

...2

2

1

1 ។

| 61


លហាត ១ យក a , b , cជារងវា ស រងនៃតើមកាណមយ ។ បងវា ញថា

abccbacbcabacba 3222

។ (IMO,1964)

ចមមលើយ មោយ វសមភាពមលៃលកខណៈស ើមមទើមធៀបៃង a ,b , c WLOG ឧបមលថា abc មេបាៃ cbacbcabacba

(ការាយទ កជាលហាត) ាមវសមភាពនៃតមមៀប មយើងបាៃ

cbacbacbacba 222

cbaacbaccbacbba (1) cbacbacbacba

222 cbabcbacabacbca (2)

បក (1) ៃង (2) មយើងបាៃ abccbacbacbacba 62

222

ែចមៃេះ abccbacbcabacba 3222

លហាត ២ ចម េះ a ,b , cជាចៃៃពតវរាមលៃ ។ ាយបញជា កថា

2

3

ba

c

ac

b

cb

a ។

| 62


(វសមភាព Nesbitt) ចមមលើយ រមបៀបទើ ១ មោយ វសមភាពមលៃលកខណៈស ើមមទើមធៀបៃង a , b , c WLOG សៃមតថា cba

មយើងបាៃ baaccb

cbacba

111

ាមវសមភាពនៃតមមៀបមេបាៃ

ba

a

ac

c

cb

b

ba

c

ac

b

cb

a

(1)

ba

b

ac

a

cb

c

ba

c

ac

b

cb

a

(2)

បក (1),(2) មយើងបាៃ 32

ba

c

ac

b

cb

a

ែចមៃេះ 2

3

ba

c

ac

b

cb

a

រមបៀបទើ ២ ាមករ ដល ២ នៃវសមភាពតមមៀបមេបាៃ

3

ba

cb

ac

ba

cb

ac (1)

3

ba

ac

ac

cb

cb

ba (2)

បក (1) ៃង (2) មយើងបាៃ

62

12

12

1

ba

c

ac

b

cb

a

| 63



3

ba

c

ac

b

cb

a

លហាត ៣ មបើ naaa ...21 ៃង nbbb ...21 បងវា ញថា

n

bbb

n

aaa

n

bababa nnnn

......... 21212211 ។

(Tchebyshev’s Inequality) ចមមលើយ ាមវសមភាពនៃតមមៀបមយើងមលៃ

nnnn babababababa ...... 22112211

132212211 ...... babababababa nnn

242312211 ...... babababababa nnn …………………………………………………………………….

11212211 ...... nnnnnn babababababa បកអងគ ៃង អងគមេបាៃ nnnn bbbaaabababan ......... 21212211

ែចមៃេះ n

bbb

n

aaa

n

bababa nnnn

......... 21212211

សមភាពមកើតម ើងល េះាដត naaa ...21 រ nbbb ...21 លហាត ៤ មេឲយចៃៃពត nxxx ...21 ៃង nyyy ...21 ។

| 64


មបើ nzzz ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ nyyy ,...,, 21 ។ បងវា ញថា

n

i

ii

n

i

ii zxyx1

2

1

2 ។

(IMO,1975) ចមមលើយ

មោយ nzzz ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ nyyy ,...,, 21 មេបាៃ

n

i

i

n

i

i zy1

2

1

2

មយើងបាៃ

n

i

ii

n

i

ii zxyx1

2

1

2

n

i

n

i

iii

n

i

i

n

i

n

i

iii

n

i

i zzxxyyxx1 1

2

1

2

1 1

2

1

222

n

i

ii

n

i

ii zxyx11

ពត ាមវសមភាពនៃតមមៀប

លហាត ៥ មេឲយ 1x , 2x , … , nx ជា n ចៃៃេតវរាមលៃមផេងគនា ។ បងវា ញថា

nn

xxx n 1...

2

1

1

1...

2122

2

2

1 ។

(IMO,1978) ចមមលើយ យក naaa ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ nxxx ,...,, 21 ដែល naaa ...21

222211

1,...,

1

1,

1,...,,

nnbbb n

ចម េះ naaa ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ naaa ,...,, 21 ដែល ini xa 1 ,

| 65


,ni 1 ាមវសមភាពនៃតមមៀបមយើងបាៃ

nn

n bababan

xxx ......

21221122

2

2

1

nnn bababa 1211 ...

22

2

2

1 ...21 n

aaa n

មោយ 11 a , 22 a , …, nan មយើងបាៃ

nn

n

n

xxx n 1...

2

1

1

1...

2

2

1

1...

2122222

2

2

1

លហាត ៦ យក a ,b , cជារងវា សរងនៃតើមកាណមយ ។ បងវា ញថា

0222

acaccbcbbaba ។ (IMO,1983)

ចមមលើយ សកាករណើ abc (ករណើ មផេងមទៀតាយែចគនា ) មេបាៃ cbacbacbacba

ៃង cba

111


c

cbac

b

bacb

a

acba

| 66


b

cbac

a

bacb

c

acba

cba

b

cac

a

bcb

c

abacba

0

b

cac

a

bcb

c

aba


acaccbcbbaba លហាត ៧ ចម េះចៃៃពត 1x , 2x , … , nx ៃង 1y , 2y , … , ny ។ បងវា ញថា

n

i

i

n

i

i

n

i

ii yxyx1

2

1

2

2

1

សមភាពមកើតម ើងល េះាដត IR

ដែល ii yx , ni ,1 ។ (វសមភាព Cauchy-Schwarz)

ចមមលើយ មបើ 0...21 nxxx រ 0...21 nyyy មេបាៃ 00 ពត

ករណើ មផេងពើមៃេះ ាង n

i

ixS ៃង n

i

iyT

យក S

xa i

i ៃង T

ya i

in ចម េះ ni ,1

ាមករ ដល ១ នៃវសមភាពតមមៀបមយើងបាៃ

n

i

i

n

i

in

i

i aT

y

S

x 2

1

2

12

2

12

2

2

| 67


nnnnnnn aaaaaaaaaa 21122211 ......

ST

yxn

i

ii

12

ែចមៃេះ

n

i

i

n

i

i

n

i

ii yxyx1

2

1

2

2

1

សមភាពមកើតម ើងល េះាដត

, ដែល

សមគា ល វសមភាព Cauchy-Schwarz កអាចមធាើការាយបញជា កាមសមភាព Lagrane (Lagrane’s Identity) បាៃផងដែរ េ

មេបាៃ ម េះ

លហាត ៨ យក , , ជាចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ ។

បងវា ញថា ។

(IMO,1995) ចមមលើយ

ini aa ii yx ni ,1T

S

n

i

n

j

ijji

n

i

i

n

i

i

n

i

ii yxyxyxyx1 1

2

1

2

1

2

2

1 2

1

n

i

i

n

i

i

n

i

ii yxyx1

2

1

2

2

1

01 1

2

n

i

n

j

ijji yxyx

a b c 1abc

2

3111333

bacacbcba

| 68


មោយវសមភាពមលៃលកខណៈស ើមមទើមធៀបៃង a , b , c WLOG សៃមតថា

ាង , , ៃង

មយើងបាៃ

មោយ


(1)

(2)

បក (1) ៃង (2) មយើងបាៃ

ាម AM-GM មេបាៃ ពត

abc

ax

1

by

1 zyx

cz

11xyz

bacacbcba

333

111

yx

z

xz

y

zy

x

111111

333

yx

z

xz

y

zy

x

222

yx

z

xz

y

zy

xzyxzyx

yx

zx

xz

yz

zy

xy

yx

z

xz

y

zy

x

222

yx

zy

xz

yx

zy

xz

yx

z

xz

y

zy

x

222

2

222zyx

yx

z

xz

y

zy

x

2

3

2

33

222

xyzyx

z

xz

y

zy

x

| 69


លហាត ៩ យក , , ជាចៃៃពតវរាមលៃ ។ បងវា ញថា

។

(APMO,1998) ចមមលើយ

មយើងមលៃ

(*)

ាង , , ( ម េះ ជាបមលណវធើកា ងនៃ )

(*)

មបើយក

មយើងបាៃ ៃង មលៃលោបែចគនា

(មបើមកើៃ មកើៃែចគនា មបើច េះ ច េះែចគនា )

a b c

312111

abc

cba

a

c

c

b

b

a

312111

abc

cba

a

c

c

b

b

a

3

2

abc

cba

a

b

b

c

c

a

a

c

c

b

b

a

3xa

3yb 3

zc

IR

xyz

zyx

x

y

y

z

z

x

x

z

z

y

y

x333

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

32

x

y

y

z

z

x

x

z

z

y

y

xaaaaaa ,,,,,,,,,, 654321

z

x

x

y

y

z

y

x

x

z

z

yaaaaaa ,,,,,,,,,, 654321

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

654321 ,,,,,,,,,,x

y

y

z

z

x

x

z

z

y

y

xbbbbbb

654321 ,,,,, aaaaaa 654321 ,,,,, bbbbbb

| 70


ម ើយ ជាចមលា សមយនៃ ាមវសមភាពនៃតមមៀបមេបាៃ

xyz

zyx333

2 ពត

654321 ,,,,, aaaaaa 654321 ,,,,, aaaaaa

yx

xz

xz

zy

zy

yx

x

y

y

z

z

x

x

z

z

y

y

x2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

3

zx

xy

xy

yz

yz

zx2

2

2

2

2

2

xy

z

zx

y

yz

x222

xz

y

yx

z

zy

x222

| 71


លហាត i. ចម េះេប , , ជាចៃៃពតវរាមលៃ បងវា ញថា

។ ii. មេឲយ , , ជាបើចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ ។

ាយបញជា កថា ក/

ខ/ ។

iii. ចម េះេប , , ជាបើចៃៃពតវរាមលៃមៃសៃយ បងវា ញថា

ក/

ខ/ ។

iv. យក , , ជារងវា សរងនៃតើមកាណមយ ។ បងវា ញថា

។

v. មបើ ៃង ។

បងវា ញថា ក/

ខ/ ។

vi. មបើ ៃង ។

a b c

accbbacba222333

a b c 1abc

accbbacabcabcba222333333

2

cbaa

c

c

b

b

a

a b c

c

a

b

c

a

b

a

c

c

b

b

a

2

2

2

2

2

2

abc

cba

cba

222

111

a b c

3

cba

c

bac

b

acb

a

IR,...,, 21 naaa naaaS ...21

1...

2

2

1

1

n

n

as

a

as

a

as

a

n

n

1...

2

21

n

n

as

s

as

s

as

s

n

IR,...,, 21 naaa 1...21 naaa

| 72


បងវា ញថា

vii. (វសមភាព QM-AM) ចម េះេបចៃៃពតវរាមលៃ , , … , បងវា ញថា

។

viii. (វសមភាព AM-GM-HM) យក , , … , ។ ាយបញជា កថា

សមភាពមកើតម ើងមពល ។ ix. មេឲយ , , … , ជាចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ

។


x. (China,1989) មេឲយ , , … , ជាចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ

។ បងវា ញថា

។

xi. មេឲយ , , ជាបើចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ ។

122...

22 2

2

1

1

n

n

a

a

a

a

a

a

n

n

1x 2x nx

n

xxx

n

xxx nn

...... 21

22

2

2

1

1x 2x IRnx

n

xxxxxx

xxx

n nnn

n

......

1...

1121

21

21

nxxx ...21

1a 2a na

1...21 naaa

n

n

n

nn

aaaaaa

1...

11...

21

11

2

1

1

1a 2a na

1...21 naaa

n

n

n aaana

a

a

a

a

a

...

1

1

1...

1121

2

2

1

1

a b c 1 cba

| 73


បងវា ញថា ក/ ខ/ ។

xii. (IMO Shortlist,1990) មេឲយ , , , ជាចៃៃពតវរាមលៃដែល ។


xiii. មេឲយ , , … , ( ) ជាចៃៃពតដែលផលបកនៃ កា ងចមណាម ចៃៃមៃេះធជាងចៃៃមយមទៀតដែលមៅសល ។

ាង ។ បងវា ញថា ។

5141414 cba

21141414 cba

a b c d 1 dacdbcab

3

13333

cba

d

bad

c

adc

b

dcb

a

1x 2x nx 2n 1n

n

n

k

kxs1

n

k k

k

n

s

xs

x

1

2

22

| 74


វសមភាព យនសន (Jensen’s Inequalities)

នយមនយ អនគមន ហៅថា ផតហ ើចហ ល ោះ ហបើចហ ោះគគប

នង ហគបាន ។

មាននយថាគាបនន ចហ ល ោះអាបសើស នង សថតហៅហគាមអងកតដែ ភជា បពើចណច ហៅចណច (ែចរប)។ Lemma

ហបើ ផតហ ើ ហគបាន ចហ ។

សមរាយ ហយើងមាន ផតហ ើ ហយើងបាន ចហ ោះ

IR,: baf baI ,

1,0t byxa

xftytfxttyf 11

f x y

xfx, yfy,

f ba,

22

yfxfyxf

bayx ,,

f ba,

xftytfxttyf 11 bayx ,,

| 75


ហបើ ហគបាន

មររសតបរ (វសមភជព Jensen)

ហបើ ផតហ ើ នង , , … , ដែ ហគបាន

(១) ចហ ោះគគប , , … , ។ សមរាយ ហយើងមាន ផតហ ើ ហយើងបាន

…………………………………………………………………

សាា ល តាម (១) ហបើយក ហគបាន

n

xfxfxf

n

xxxf nn

...... 2121 (*)

2

1t

22

yfxfyxf

f ba, 1t 2t 1,0nt 11

n

i

it

nnnn xftxftxftxtxtxtf ...... 22112211

1x 2x baxn ,

f ba,

nn xtxtxtf ...2211

nn

n

nn

nn

n xtt

xt

t

xt

t

xttf

1...

111 112211

nn

n

nn

nn

n xtt

xt

t

xt

t

xtft

1...

111 112211

nn

n

nn

nn

n xtt

xft

t

xft

t

xftt

1...

111 2211

nn xftxftxft ...2211

nttt ...21

| 76


គរកតសមាា ផងដែរថា (*) កអាចគាយបញជា កហោយហគបើ Lemma ខាងហ ើ នង វចារកហណើ នដបបកសើផងដែរ ។ អនគមនហបាោ ងកមាន កខណៈែចគនា ដែរ គគគននដតបតរទសហៅ ហៅ ។ ហគអាចហគបើហែរ ើហវ ោប ២ ហែើមើបបងហា ញថា អនគមនមយហបាោ ង រ ផត គ ហបើ 0 xf ចហ ោះ fIx ហបាោ ងហ ើ I ហបើ 0 xf ចហ ោះ fIx ផតហ ើ I ។

លហាត ១ ហបើ , , បងហា ញថា ក/ ខ/ ។

ចមលើយ អនគមន ជាអនគមនផតហ ើ ,0 តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន

ក/ 22

333baba

ហេតហនោះ

ខ/ 33

3333cbacba

ែចហនោះ

a b IRc

3334 baba

33339 cbacba

3xxf

22

bfafbaf

3334 baba

33

cfbfafcbaf

33339 cbacba

| 77


លហាត ២ រកតនមលតចបផតនន ហបើចហ ោះ ហយើងបាន

។

ចមលើយ

អនគមន

ចហ ោះ ហគថា ហបាោ ងហ ើ តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន

3

33

22

baba

3333 4 baba ហែើមើបឲយ ចហ ោះ ោះគតាដត 3333 44 kbakba ហេតហនោះ

លហាត ៣ ហគឲយ , , ។

បងហា ញថា ។

ចមលើយ អនគមន ជាអនគមនផតហ ើ

ហគ ោះ , 0t

k 0, ba

333 bakba

09

2

3

13

5

3

2

3

xxfxxfxxf

0x f ,0

22

baf

bfaf

333 bakba 0, ba

3

min 4k

x y 0z

zyxzyx 6111222

12 ttf ,0

0

1

13

2

t

tf

| 78


តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន

133

1112222

zyxzyx

91112222 zyxzyx

បងហា ញថា ហយើងមាន

ពត


លហាត ៤ យក ជាអនគមនផតហ ើ ។ ចហ ោះគគប , , ហយើងបាន

(*)។

( វសមភជព Popoviciu)

សមរាយ (*) ជាវសមភជពសើហមគទើហ ៀបនង x , y , z

33

zyxf

zfyfxf

zyxzyx 692

zyxzyx 692

0962

zyxzyx

032 zyx

zyxzyx 6111222

f ba, x y baz ,

33

zfyfxfzyxf

2223

2 xzf

zyf

yxf

| 79


WLOG សនមតថា

ហបើ នង

ហោះ ហផទៀងផទទ ត

នង

បកអងា នង អងាហយើងបាន tszyxzyx

3

2

2

2

ហោយ ផតហ ើ ហេតហនោះ ហគបាន

ហេើយ

បកអងា នង អងាហគបាន

គាយែចគនា ករណើ

zyx

zzxzyxzyx

y

233

zzyzyx

23

1,0, ts szszyxzx

1

32

tztzyxzy

1

32

2

3 ts

f ba, bazyx ,,,

zfszyx

sfzx

f

1

32

zftzyx

tfzy

f

1

32

22

yfxfyxf

33

zfyfxfzyxf

2223

2 xzf

zyf

yxf

3

zyxy

| 80


លហាត ៥ ចហ ោះ , , បងហា ញថា

។

ចមលើយ

អនគមន

ចហ ោះគគប f ជាអនគមនផតហ ើ ,0 តាមវសមភជព Popoviciu ហយើងបាន

ែចហនោះ

ba

c

ac

b

cb

a

c

ba

b

ac

a

cb4

លហាត ៦ យក , , ជាចននពតវជាមាន ។ បងហា ញថា

(*)។

ចមលើយ (*) ជាវសមភជពអមោដសន WLOG សនមតថា

ហគបាន (*) សមម

a b 0c

ba

c

ac

b

cb

a

c

ba

b

ac

a

cb4

021

11

32

xxf

xxf

xxxf

0x

baaccbcbacba

4449111

a b c

cbaba

c

ac

b

cb

a

4

9222

1 cba

4

9

111222

c

c

b

b

a

a

| 81


ពនតយ ជាអនគមនផតហ ើ

ហគ ោះ


3

13 fcfbfaf

ហោយ


ែចហនោះ

លហាត ៧

ចហ ោះ , បងហា ញថា (*)។

ចមលើយ ហបើ រ ហគបាន (*) ពត ហបើ , ហគបាន , ចហ ោះ ,

ហយើងបាន (*) សមម

21 x

xxf

,0

01

244

x

xxf

33

cfbfafcbaf

4

3

3

11

3

1

3

12

f

4

9

111222

c

c

b

b

a

a

cbaba

c

ac

b

cb

a

4

9222

x0 y 1xyyx

1

2

1

1

1

1

22

0x 0y

x0 1yu

ex

v

ey

u 0v

vuvueee

1

2

1

1

1

1

22

| 82


អនគមន កណតហោយ ជាអនគមនហបាោ ងហ ើ

ហគ ោះ

0

1

1

524

2

xx

x

ee

exf ចហ ោះគគប


vuvueee

1

2

1

1

1

1

22

ែចហនោះ

លហាត ៨

ហគឲយ , , … , , , , … , ជាចននពតវជាមានដែ ។

បងហា ញថា (*)។ (វសមភជព Weighted AM-GM)

ចមលើយ ហោយ ជាអនគមនផត ហគ ោះ 0 x

exf ចហ ោះគគប 0x តាម វសមភជព Jensen ហយើងបាន

f x

exf

1

1 ,0

0x

22

vuf

vfuf

xyyx

1

2

1

1

1

1

22

1x 2x nx 1t 2t nt 11

n

i

it

nn

t

n

tttxxtxtxxx n ...... 221121

21

xexf

nnn xtxtxtt

n

tteeexxx

lnlnln

21 ...... 221121 nn xtxtxte

ln...lnln 2211

221 ln

1

ln

2

ln

1 ...xxx

etetet

nn xtxtxt ...2211

| 83


សាា ល

ហបើ ហគបាន (*) ាល យជាវសមភជព AM-GM ។

លហាត ៩ យក , , ជារងហា សគជងននគតើហាណមយ ។ បងហា ញថា

។

ចមលើយ ហោយ a , b , cជារងហា សគជងននគតើហាណមយ ហយើងបាន 0 cba , 0 acb នង 0 bac តាម Weighted AM-GM ហយើងបាន

ែចហនោះ

លហាត ១០

ហគឲយ , ជាចននពតវជាមាន ។ ហបើ , ហផទៀងផទទ ត ។


(វសមភជព Young )

nttt n

1...21

a b c

cbacbacbabacacbcba

cba

c

cba

b

cba

a

c

bac

b

acb

a

cba

c

bacc

b

acbb

a

cbaa

cba

1

1

cba

cba

cbacbacbabacacbcba

x y a 0b 111

ba

bay

bx

axy

11

| 84


សមរាយ

តាម Weighted AM-GM ហយើងបាន

លហាត ១១ យក , , … , នង , , … , ជាចននពតវជាមានហេើយ ,

បហពញ កខខណឌ ។ បងហា ញថា

។

(វសមភជព Holder)

ចមលើយ

ហបើ នង តាម វសមភជព Young

ហយើងបាន

យក , , នង

ហគបាន ,

bba

ayxxy

11

bay

bx

a

11

1x 2x nx 1y 2y ny a

0b 111

ba

bn

i

b

i

n

i

an

i

a

iii xxyx

1

11

1

1

11

n

i

a

ix 11

n

i

b

iy

b

i

a

iii yb

xa

yx11

n

i

i

n

i

i

n

i

ii yb

xa

yx111

11

111

ba

n

i

a

i Ax1

n

i

a

i By1 a

i

i

A

xx

1

b

i

i

B

yy

1

11

1

A

x

x

n

i

a

in

i

a

i 11

1

B

y

y

n

i

b

in

i

a

i

| 85



ែចហនោះ

លហាត ១២ ហគឲយ , , … , , , , … , ជាចននពតវជាមាន នង ។


(វសមភជព Minkowski)

ចមលើយ ហយើងមាន

ចហ ោះ , តាម វសមភជព Holder ហយើងបាន

ហគបាន

n

i

ii

ba

n

i ba

iin

i

ii yx

BABA

yxyx

111

111

1

11

bn

i

b

i

n

i

an

i

a

iii xxyx

1

11

1

1

1a 2a na 1b 2b nb 1p

pn

i

p

k

pn

i

p

k

pn

k

p

kk baba

1

1

1

1

1

1

11

p

kkk

p

kkk

p

kk babbaaba

n

k

p

kkk

n

k

n

k

p

kkk

p

kk babbaaba1

1

1 1

1

0q 111

qp

qn

k

pq

kk

pn

k

p

k

n

i

p

kkk baabaa

1

1

1

1

11

1

qn

k

pq

kk

pn

k

p

k

n

i

p

kkk babbab

1

1

1

1

11

1

| 86


ចហ ោះ


សាា ល ហបើ សមភជពហកើតហ ើង

ហបើ ហគបាន

លហាត ១៣ ចហ ោះ , បងហា ញថា

។

(IMO Shortlist,1998)

ចមលើយ

អនគមន កណតហោយ ផតហ ើ

ហគ ោះ ,

ហោយ យក , , តាមវសមភជពJensen ហយើងបាន

pn

k

p

k

pn

k

p

k

qn

k

pq

kk

n

k

p

kk bababa

1

1

1

1

1

1

1

1

ppq 1

pn

i

p

k

pn

i

p

k

pn

k

p

kk baba

1

1

1

1

1

1

1p

10 p pn

i

p

k

pn

i

p

k

pn

k

p

kk baba

1

1

1

1

1

1

1ir ni ,1

1...1

1...

1

1

1

1

2121

nnn rrr

n

rrr

f x

exf

1

1 IR

0

1

1

132

x

xx

x

x

e

eexf

e

exf

IRx

1irix

i er 0ix ni ,1

| 87


ែចហនោះ

លហាត ១៤ ហគឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ បងហា ញថា

។

(IMO,2001)

ចមលើយ

ហោយ 1888

222

abc

c

cab

b

bca

a ជាវសមភជពអមោដសន

WLOG សនមត

អនគមន ជាអនគមនផតហ ើ

តាម វសមភជព Jensen ហយើងបាន Mfabccfcabbfbcaaf 888

222 ដែ

cyccyc

aabcbcaaM32

248

បងហា ញថា ហយើងមាន

nnxxx

n

xxx eeene

1

1...

1

1

1

11

1

1

2121 ...

1...1

1...

1

1

1

1

2121

nnn rrr

n

rrr

a b c

1888

222

abc

c

cab

b

bca

a

1 cba

x

xf1

IR

1Mf

11 MMf

| 88


3

324

cyccyc

aaabc

02

cyc

bac សមភជពហព

ែចហនោះ

លហាត ១៥

ហគឲយ , , … , ជាចននពតវជាមានហផទៀងផទទ ត ។


(China,1998)

ចមលើយ

ជាអនគមនផតហ ើ ហគ ោះ

តាម វសមភជពJensen


cba

1888

222

abc

c

cab

b

bca

a

1x 2x nx 11

n

i

ix

11

1

1

n

x

x

x

n

i

in

i i

i

x

xxf

1 1,0 0 xf

n

fxn

fxfnx

x

n

n

i

i

n

i

i

n

i i

i 111

1

1

111

1

1

nn

111

n

n

x

xn

i i

i

| 89


បងហា ញថា

តាម វសមភជព Cauchy-Schwarz ហយើងបាន

ែចហនោះ

n

i

ixn1

nxnxn

i

i

n

i

i 11

11

1

1

n

x

x

x

n

i

in

i i

i

| 90


វសមភាព ស មមទរ (Symmetric Inequalities)

នយមនយ អនគមន nអថេរ naaaf ,...,, 21 មានលកខណៈសថមទរ រ ឆះ លះទាតែ nn aaafaaaf ,...,,,...,, 2121 ចថ ះទគបចមាស n ,...,2,1 នន n,...,2,1 ។ ថេែថនះ ថប naaaf ,...,, 21

ថ ទៀងផទទ ែលកខខណឌ ណាមយ ថ ះ naaaf ,...,, 21 កថ ទៀងផទទ ែ លកខខណឌ ថ ះតែរ ។ វសមភាពននអនគមនសថមទរ ថៅថាវសមភាពសថមទរ ។ ថោយ ជារ ករនងលោបទគបថល ( មាននយថាទគបធាែទងអសនន

សរធតែអាចថទបៀបថ ៀបគនា បានថោយរ ករនង ) ថេែថនះ ថែមបទាយ វសមភាពសថមទរថយងអាចថរៀបអថេរទងអសននវសមភាពាមលោប (ឧទេរណ ) ថ ល គ ការសនមែថនះមន ថអាយបាែបង នវលកខណរថៅរបសវសមភាពថរ (WLOG: Without loss of generality) ។ ទរសតបរ (វសមភាព Schur) ចថ ះ , , នង ថយងបាន

រ 0

cyc

rzxyxx សមភាពលះទាតែ រ ,

(នង ចមាសថេងថរៀែ) ។ សទាយ ថោយ វសមភាពសថមទរចថ ះអថេរ , ,

IR

IR

naaa ...21

x y 0z IRr

0 yxxzzzyxyyyxzxxrrr

zyx yx 0z

x y z

| 91


WLOG សនមែថា ចថ ះ ថយងបាន (1) ថេយ

(2) ាម (1),(2) ថគបាន 0

cyc

rzxyxx

ចថ ះ ថយងបាន (3) នង

(4) ាម (3),(4) ថយងបាន 0

cyc

rzxyxx

ែចថនះ 0cyc

rzxyxx សមភាពថពល

រ , (នង ចមាសថេងថរៀែ) សាា ល ចថ ះ , វសមភាព Schur សមមល ក/ accacbbcbaababccba 3

333 ខ/ bacacbcbaabccba

2223333

គ/ ។ (សមាកលបងរករាងពថសសថេងថរៀែននវសមភាព Schur)

ថោយវសមភាព Schur ជាវសមភាពតែលទែវបានទញថចញពលកខណៈសថមទរ ែចថនះ ភាគថទចនននវសមភាពសថមទរ(ែថទក ជាង រ ថសមនង ៣)សរធតែអាចថទប

វសមភាព Schur ថែមបទាយបញជា ក ។

zyx

0r

0 yzxzzr

011

rrrrrr

yxzyxzyyzxx

0 zyxyyzxyxxrr

0r

0 zxyxxr

yxyyxzyxyzxzrrrr

0 yxyzrr

zyx

yx 0z

1r

bacacbcbaabc

| 92


លហាត ១ ថគឲយ a , b , cជារងវា សទរងននទែថកាណមយ ។ បងវា ញថា

abcscscbsbasa 333 ។

( sជាកនះបរមាទែននទែថកាណ ) សទាយ ថយងមាន abcscscbsbasa

333 0

222 bcaccabcbbcabaa ពែ

ាមវសមភាព Schur លហាត ២ ថគឲយ a , b , cជាចននពែវរាមាន ។ បងវា ញថា

cbacba

ab

c

ca

b

bc

a 111622227

222

។

សទាយ

ថយងមាន

cbacba

ab

c

ca

b

bc

a 111622227

222

bcaccbabcabaabccbaabc222222333

32 23232323222333333

3 acbcabcbabcacbaaccbba 2323

abcbac 0 ពែ ាមវសមភាព Schur ចថ ះអថេរ a , b , c នង ab , bc , ca លហាត ៣ ថគឲយ a , b , cជាចននពែវរាមាន ។ បងវា ញថា

bcac

abc

cbab

cab

caba

bca

ba

c

ac

b

cb

a

222

។

សទាយ

| 93


ថយងមាន

bcac

abc

cbab

cab

caba

bca

ba

c

ac

b

cb

a

222

03

333

accbba

accacbbcbaababccba

0 bcacccbabbcabaa ជាវសមភាព Schur

លហាត ៤ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា

cbababa

c

acac

b

cbcb

a

1

444444222222

។

សទាយ ាម វសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន

222222444444 baba

c

acac

b

cbcb

a

abcbacacbcba

cba

3444222222

2

បងវា ញថា cbaabcbacacbcba

cba

1

3444222222

2

ថយងមាន cbaabcbacacbcba

cba

1

3444222222

2

abcbacacbcbacba 34442222223

2222223333 bacacbcbaabccba

ជាវសមភាព Schur

| 94


លហាត ៥ ថគឲយ a , b , cជាបចននពែ ។បងវា ញថា

bacacbcbacbacba 555222666

3

2 ។

សទាយ ាមវសមភាព AM-GM នង Schur ថយងបាន

cyccyccyc

cbaacbaa22462226

233

cyccyc

caabaa246246

cyc

cba5

2

លហាត ៦ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមានថ ទៀងផទទ ែ 2 cba ។ បងវា ញថា 333444

cbaabccba ។ សទាយ ាមវសមភាព Schur ថយងបាន

0 bcaccabcbbcbbaarrr

ចថ ះ 2r ថយងបាន bacacbcbacbaabccba

333444 cbacbacbaabccba

3334442

ថោយ 2 cba ែចថនះ 333444

cbaabccba លហាត ៧ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា

| 95


1222222

22

2

22

2

22

2

baba

c

acac

b

cbcb

a (1)។

សទាយ ាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន

cyc cbcb

a22

2

22

cyc

cyc

cbcba

a

222

2

2

22

ថែមបបងវា ញថា(1)ពែថយងទគននតែបងវា ញថា

cyccyc

cbcbaa222

2

222

cyccyccyc

baaabca224

2

ាមវសមភាព Schur ចថ ះ 2r នង AM-GM ថយងបាន

cyccyccyccyc

babaabaabca22224

2 ពែ

ែចថនះ 1222222

22

2

22

2

22

2

baba

c

acac

b

cbcb

a

លហាត ៨ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា

cbababa

c

acac

b

cbcb

a

22

3

22

3

22

3

(*)។


cyc cyc

cyc

cbcba

cba

cbcba

a

bbcb

a22

2222

22

4

22

3

| 96


ថែមបបងវា ញថា (*) ពែ ថយងទគននតែបងវា ញថា

cyccyccyc

acbcbaa22

2

2

ថយងមាន

cyccyccyc

acbcbaa22

2

2

cyccyccyccyc

aabccbacbabaa 322224

cyccyccyc

cbaaabca34 ជាវសមភាព Schur

លហាត ៩ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា

333222222222cbababacacacbcbcba

(*) ។ សទាយ ាម វសមភាព AM-GM ថយងបាន

cyccyc

cbcbaacbcba222222

cyc

bccbaa222

2

1

ថែមបបងវា ញថា (*) ពែថយងទគននតែបងវា ញថា

cyc

bccbaa222

2

1cyc

a3

ថយងមាន cyc

bccbaa222

2

1cyc

a3

022223

cyccyc

bccbaaa

| 97


cyccyc

baababca 033 ពែាមវសមភាព Schur

លហាត ១០ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា

222

22

3

22

3

22

3

cbababa

c

acac

b

cbcb

a

។


cyc

cyc

cbcba

cba

cbcb

a

22

2222

22

3

ថេែថនះ ថែមបបងវា ញថា វសមភាពពែថយងទគននតែបងវា ញថា 22222

cbacbcbacyc

ាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន

cyccyccyc

cbcbaacbcba22

2

22

តែ ាមវសមភាព Schur ថយងបាន

cyccyccyc

cbcbaaa22

2

2

034

cyccyccyc

cbaaabca

2

222

cyccyccyc

acbcbaa

ែចថនះ 22222cbacbcba

cyc

| 98


វធសាសរតជន (The Substitution Strategy)

វធសាសរតជនជាវធសាសរតមយដមានសារៈខានបផតកនងការដ ោះ

សរសាយលហាតវ មភាពដដលមានភាពមគសាម ញខាល ង ។ ប ដនតមនដមនរាល ការជនទងអទធដតផតលមកវញនវភាពងាយសរលដ ោះដទ ។ កនងដផនកដនោះដយងមដលកយកនវរដបៀបននការជមយចននសរមាបមនអនក អានដដមបទកជាមល ា ន ។ i. ការជនបែែពជគណត ( Algebraic Substitution ) លហាត ១ ដប , , ជាចននពតវជជមានតចជាង 1 ដដល ។

បងាា ញថា (*) ។

ចម លើយ តាង , , , , ដយងបាន ដគបាន , ,

ដេតដនោះ (*)

ពត តាម AM-GM

a b c 2 cba

8111

c

c

b

b

a

a

ax 1 by 1 cz 1 x y 0z

13 cbazyx

zyxa 1 xzyb 1 yxzc 1

8

z

yx

y

xz

x

zy

xyzxzzyyx 8

| 99


លហាត ២ យក , , ជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ ។

បងាា ញថា ។

(IMO,1995) ចម លើយ យក , 0

ដយងបាន

តាម វ មភាព Cauchy-Schwarz នង AM-GM ដយងបាន

ដចដនោះ មភាពលោះសរតាដត

a b c 1abc

2

3111333

bacacbcba

1,,2 abcxyzcazbcyabx zyx ,,

bacacbcba

333

111

zyyz

x

yxxy

z

zxxz

y

yx

z

zx

y

zy

x

222

2222

zyxyxzxzyyx

z

zx

y

zy

x

2

3

22

2222

zyx

zyx

zyx

yx

z

zx

y

zy

x

2

3111333

bacacbcba

1 cba

| 100


លហាត ៣ ដគដអាយ ជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ ។ បងាា ញថា

។

(IMO,2000) ចម លើយ

តាង , ,

ដយងបាន (*) មមល

(1) ដប (1) ពត ដប (1) អាចរដរ ពត ដសររោះ

ដចដនោះ មភាពលោះសរតាដត

លហាត ៤ ដគឲយ , , ជាចននពតវជជមាន ។ បងាា ញថា

cba ,, 1abc

11

11

11

1

ac

cb

ba

y

xa

z

yb

x

zc

1111

x

y

x

z

z

x

z

y

y

z

y

x

xyzyxzxzyzyx

0 yxzxzyzyx

0 yxzxzyzyx

222222zyxyxzxzyzyx

222xzyxxzyzyx

222yxzyyxzxzy

222zyxzzyxyxz

11

11

11

1

ac

cb

ba

1 cba

a b c

| 101


(*) ។

(India,2002) ចម លើយ

តាង , , ដគបាន

ដយងបាន

ដេយ

ដគបាន (*)

(1)

តាម AM-GM ដយងមាន ដសរបទសរមង Engel ននវ មភាព Cauchy-Schwarz នង AM-GM ដយងបាន

ដេតដនោះ (1) ពត ii. ការជនបែែតតមកាណមាតត ( Trigonometric Substitution ) មភាពសរតដកាណមាសរតងាយៗមយចនន ។

ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដយងបាន

ab

cb

ca

ba

bc

ac

a

c

c

b

b

a

b

ax

c

by

a

cz 1xyz

zyxa

c

c

b

b

a

x

z

z

y

y

xzyx

ab

cb

ca

ba

bc

ac

1

1

1

1

1

1

01

1

1

1

1

1

x

z

z

y

y

x

0111111222

yzxyzx

3222222

zyxzyxyzxyzx

3222

yzxyzx

zyx

xyzzyxzyxzyx

3

3

3

32

222

2sin

2sin

2sin41coscoscos:1

I

| 102


វ មភាពសរតដកាណមាសរតមយចននជយកនងការសរសាយបញជជ ក ។ ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដគបាន

2cos

2cos

2cos4sinsinsin:2

I

sinsinsin42sin2sin2sin:3 I

coscoscos22sinsinsin:222

4 I

12

sin2

sin2

sin22

sin2

sin2

sin:222

5

I

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan:6

I

tantantantantantan:7 I

2cot

2cot

2cot

2cot

2cot

2cot:8

I

2

33sinsinsin:1 N

8

33sinsinsin:2 N

2

3

2sin

2sin

2sin:3

N

8

1

2sin

2sin

2sin:4

N

2

3coscoscos:5 N

8

1coscoscos:6 N

| 103


សមរាយ

ដយងមាន ជាអនគមនដបា ងដល

តាមវ មភាព Jensen ដយងបាន

តាម AM-GM ដយងបាន

2

3

2cos

2cos

2cos:7

N

8

33

2cos

2cos

2cos:8

N

4

9sinsinsin:

222

9 N

4

3

2sin

2sin

2sin:

222

10

N

4

3coscoscos:

222

11 N

4

9

2cos

2cos

2cos:

222

12

N

32

tan2

tan2

tan:13

N

332

cot2

cot2

cot:14

N

3cotcotcot:15 N

1N xxf sin ,0

33

f

fff

3sin

3

sinsinsin

2

33sinsinsin

:2N

| 104


ដច ដយងបាន

ដសរប នង AM-GM ដគបាន

ដយងមាន

ដចដនោះ

3

3

sinsinsinsinsinsin

8

33

3

2

333

:3N 1N

63

222

f

fff

6sin3

2sin

2sin

2sin

2

3

2sin

2sin

2sin

:4N3N

8

1

2sin

2sin

2sin:4

N

2

3coscoscos:5 N

coscoscos23

coscoscos23

coscoscos23

sinsincoscoscoscos23

2222coscos1sinsin2sinsin

coscos2cos2cos2

0coscos1sinsin22

2

3coscoscos

| 105


ដយងមាន

ដចដនោះ

ដយងមាន ជាអនគមនដបា ងដល

ដ យ


ដចដនោះ

:6N

coscoscos2

1coscoscos

2cos

2

1coscos

2

1

2

2

cos8

1cos

2

1cos

2

1

8

1cos

8

1 2

8

1coscoscos:6 N

2

3

2cos

2cos

2cos:7

N

xxf cos

2,0

2,0

2,

2,

2

63

222

f

fff

2

3

6cos3

2cos

2cos

2cos

2

3

2cos

2cos

2cos

| 106


ដ យ

ដសរប នង AM-GM ដយងបាន

តាម នង ដយងបាន

តាម នង ដយងបាន

ដយងមាន

តាម

ដយងបាន

ដយងមាន

តាម

ដយងបាន

ដយងមាន xxf tan ជាអនគមនផតដល


8

33

2cos

2cos

2cos:8

N 0

2cos,0

2cos,0

2cos

7N8

33

2cos

2cos

2cos

:9N 4I6N

4

9sinsinsin

222

:10N 5I 4N4

3

2sin

2sin

2sin

222

:11N

222222sinsinsin3coscoscos

:9N4

9sinsinsin

222

4

3

4

93coscoscos:

222

11 N

:12N

2sin

2sin

2sin3

2cos

2cos

2cos

222222

:10N4

3

2sin

2sin

2sin

222

4

9

4

33

2cos

2cos

2cos

222

32

tan2

tan2

tan:13

N

2,0

| 107


ដចដនោះ

ដយងមាន xxf cot ជាអនគមនផតដល


ដចដនោះ

ដយងមាន នង បកអងគ នង អងគដយងបាន

sincos1sinsinsin2 sincos1sinsinsin2

sinsin

sin

cos1

sin2

ដគបាន

3

1

6tan

6tan

3

2tan

2tan

2tan

32

tan2

tan2

tan

332

cot2

cot2

cot:14

N

2,0

36

cot6

cot3

2cot

2cot

2cot

332

cot2

cot2

cot

3cotcotcot:15 N

sinsincoscoscos1

sinsincoscoscoscos

cos1sinsin2

sin

cos

sinsin

sincotcotcot

| 108


មណើ ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមសរច1មយ ដគបាន

។ តមាយ

, , ជារងាា មននសរតដកាណសរច

ដគបាន , ,

ដ យ ជាអនគមនផតដល


ដេតដនោះ

1 ជាសរតដកាណដដលមានមទងបជាមសរច

sin

cos

cos1

sin2

sincos1

cos2cos2sin4

2

122

sincos1

cos1sin3

2

122

3

sincos1

cos1sin3

2

122

33tantantan:16 N

2,0

xxf tan

2,0

333

tan3

tan3

tantantan

33tantantan

| 109


តរតែរ ដប , , ដគបាន , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ

លោះសរតាដត ។

តមាយ ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដ ោះ

ដយងបាន

ដេតដនោះ

ដប

ដប ដគបាន ដសររោះ

ដ ោះ

ដយងបាន , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ WLOG នមតថា ដ យ

ដគបាន

,0

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan

22cot

22tan

2tan

2tan

2tan

2tan

2tan1

2cot

2cot

12

cot2

cot

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan

3

3

2tan1

2tan3

2

0

2tan

3

:,20

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan

| 110


ដត

ដ ោះ ចដរោះ

ដ យ

ដយងបាន ដរល គ ដេតដនោះ , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ រមែៀែជនបែែតតមកាណមាតត ដបបចននពត , , ដផទៀងផទទ តលកខខណឌ មានទសរមងដចមភាពសរត ដកាណមាសរតណាមយ ដេយមានដដនកណតដចអនគមនសរតដកាណមាសរតដ ោះ ដគអាចជនចននទងដ ោះដ យអនគមនសរតដកាណមាសរត។ ការជនដនោះមន ដធាឲយបាតបងលកខណៈទដៅដ ោះដទ ដេយដែមទងដធាដអាយវ មភាពដដល មគសាម ញពបាកដ ោះសរសាយដសរបជាមានរាងងាយ ។

ដេតដនោះការចងច មភាពសរតដកាណមាសរតពតជាខានណាដដមប ឈានដៅដលការតាងដបបសរតដកាណមាសរត ។

i. ចដរោះ ដគអាចតាង sinkx ,

រ coskx ចដរោះ ii. ដប ដគអាចតាង , iii. ដប , , ដផទៀងផទទ ត

12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan

2tan

2tan

k

2

Zk

222220 kk

'

x y z

2xk

2,

2

,0

122 yx sinx cosy

x y 0z 1 zxyzxy

| 111


ដគអាចតាង , , ដដល , ,

ជារងាា មននសរតដកាណមយ រ តាង , , ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណមសរចមយ

iv. ដប , , បដពញលកខខណឌ

រ ដគអាចតាង , ,

ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ រ តាង , , ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណ

មសរចមយ v. ដប , , បដពញលកខខណឌ

ដគអាចតាង , , ដដល , ,

ជារងាា មននសរតដកាណមយ រ តាង , , cosz ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណមសរចមយ

vi. ដប

2

21

k

akak ដគអាចតាង tanka

vii. ដបមានរាង 2

1

2

x

x

,

21

2

x

x

,

2

2

1

1

x

x

ដគអាចតាង tanx

ដគបាន 2sin1

22

x

x , 2tan1

22

x

x , 2cos1

12

2

x

x

2tan

x

2tan

y

2tan

z

cotx coty cotz

x y 0z xyzzyx

1111

zxyzxy 2cot

x

2cot

y

2cot

z

tanx

tany tanz

x y 0z 12222

xyzzyx

2sin

x

2sin

y

2sin

z

cosx cosy

| 112


លហាត ១ ដប , , បងាា ញថា (1) ។

(Romania,2002) ចម លើយ

តាង , , ចដរោះ , ,

ដយងបាន (1) មមល ពត ដសររោះ

លហាត ២ ដគឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ 1 cba ។ បងាា ញថា 12

222 abccba ។

តមាយ យក xya , yzb នង zxc ដយងបាន

12222

abccba 132222222

xyzxzzyyx ដដល x , y , zជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ 1 zxyzxy (*) ដយងមាន 132

222222 xyzxzzyyx

zyxxyzxyzzxyzxy 21322

3 zyx (1)

តាម (*) ដយងយក 2

tanA

x , 2

tanB

y , 2

tanC

z

a b 1,0c 1111 cbaabc

xa2

cos yb2

cos zc2

cos x y

2,0

z

1sinsinsincoscoscos zyxzyx

zyxzyx sinsinsincoscoscos

yxyx sinsincoscos 1cos yx

| 113


ដដល A , B , C ជារងាា មននសរតដកាណមយ

ដយងបាន (1) 32

tan2

tan2

tan CBA ពត តាម 13N

លហាត ៣ ដគឲយ a , b , 1,0c បដពញលកខខណឌ 1 cabcab ។

បងាា ញថា

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a222

222

111

4

3

111 ។

ចម លើយ ដ យ a , b , 1,0c បដពញលកខខណឌ 1 cabcab

យក 2

tanA

a , 2

tanB

b , 2

tanC

c ដដល A , B , C ជារងាា មនន

សរតដកាណមសរច

ដយងបាន 2

tan

2tan1

2tan2

2

1

1 22

A

A

A

a

a

ដចគនន ដដរ 2

tan

12

B

b

b

,

2

tan

12

C

c

c

ដគបាន

c

c

b

b

a

a

c

c

b

b

a

a222

222

111

4

3

111

CBACBA

tan

1

tan

1

tan

13tantantan (*)

តាម 7I CBACBA tantantantantantan: ដយងបាន (*) មមល

| 114


ACCBBACBA tantantantantantan3tantantan2

0tantantantantantan2

1 222 ACCBBA ពត

លហាត ៤

ដគឲយ x , y , 0z ។ បងាា ញថា zxyxx

x

xyzyy

y

1

yzxzz

z (*)។

ចម លើយ

ដយងមាន zxyxx

x

xyzyy

y

1

yzxzz

z

1

1

1

1

1

1

1

222

z

yzxz

y

xyzy

x

zxyx

ជាវ មភាពអម ដន WLOG នមតថា 1 zxyzxy

យក 2

tanA

x , 2

tanB

y , 2

tanC

z ដដល A , B , C ជារងាា មនន

សរតដកាណមយ

ដយងបាន

2tan

2tan

2tan

2tan

2tan

22 A

CABA

x

zxyx

| 115


2sin

1

2 A

ដចគនន ដដរ ដគបាន

2sin

1

22 By

xyzy

ដយងបាន (*) មមល 1

2sin1

2sin

2sin1

2sin

2sin1

2sin

C

C

B

B

A

A

2

2sin1

1

2sin1

1

2sin1

1

CBA

ពត

ដសររោះ តាម AM-HM ដគបាន

2sin1

1

2sin1

1

2sin1

1

CBA

2sin

2sin

2sin3

9

CBA

2

2

33

9

តាម 2

3

2sin

2sin

2sin:3

CBAN

លហាត ៥ ដគឲយ x , y , 0z បដពញលកខខណឌ xyzzyx ។ បងាា ញថា

| 116


ក/ 2

3

1

1

1

1

1

1

222

zyx (1)

ខ/ 2

33

111222

z

z

y

y

x

x (2)។

ចម លើយ ក/ ដ យ x , y , 0z បដពញលកខខណឌ xyzzyx តាង Ax tan , By tan , Cz tan ដដល A , B , C ជារងាា មននសរតដកាណមសរច

ដយងបាន AAx

costan1

1

1

1

22

ដចគនន ដដរ BB

costan1

1

2

, C

Ccos

tan1

1

2

ដគបាន (1) 2

3coscoscos CBA ពត តាម 5N

ដេតដនោះ 2

3

1

1

1

1

1

1

222

zyx

ខ/ ដចគនន ដដរ (2) 2

33sinsinsin CBA ពត តាម 1N

ដេតដនោះ 2

33

111222

z

z

y

y

x

x

| 117


លហាត ៦

ដគឲយ a , b , c , 0d ដផទៀងផទទ ត 11

1

1

1

1

1

1

14444

dcba។

បងាា ញថា 3abcd ។ (Latvia,2002)

ចម លើយ តាង Aa tan

2 , Bb tan

2 , Cc tan

2 នង Dd tan

2

ចដរោះ A , B , C ,

2,0

D

ដគបាន 11

1

1

1

1

1

1

14444

dcba

1coscoscoscos2222

DCBA តាម AM-GM ដយងបាន

DCBAA22222

coscoscoscos1sin 3 2

coscoscos3 DCB (1)

ដចគនន ដដរ ដគបាន B2

sin 3 2coscoscos3 ADC (2)

C2

sin 3 2coscoscos3 BAD (3)

D2

sin 3 2coscoscos3 CBA (4)

គណអងគ នង អងគនន (1),(2),(3),(4) ដគបាន DCBADCBA

222242222coscoscoscos3sinsinsinsin

422223tantantantan DCBA

| 118


443 abcd

ដេតដនោះ 3abcd លហាត ៧ ដគឲយ a , b , cជាចននពតមនអវជជមានបដពញលកខខណឌ

4222

abccba ។ បងាា ញថា 20 abccabcab ។ (USA,2001)

ចម លើយ ដប a , b , 1c 4

222 abccba

ដេតដនោះ ដដមបឲយ 4222

abccba លោះសរតាដតមានយ ងដហាច ណាមយចននតចជាង រ ដមនង 1 ដ យ 4

222 abccba ដមសរទដធៀបនង a , b , c

WLOG ឧបមថា 1a ដគបាន 01 bcaabccabcab (1) យក pa 2 , qb 2 , rc 2 ដគបាន 124

222222 pqrrqpabccba (*)

តាម (*) ដគបាន Ap cos , Bq cos , Cr cos

រ Aa cos2 , Bb cos2 , Cc cos2 ចដរោះ

2,0,,

CBA

ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដយងបាន 2 abccabcab

| 119


2

1coscoscos2coscoscoscoscoscos CBAACCBBA

ដយងមាន 0cos21 A ដយងបាន CBAACCBBA coscoscos2coscoscoscoscoscos

ACBCBA cos21coscoscoscoscos

ដ យ ACB cos2

3coscos

ដេយ 2

cos1coscos

2

1coscos

ACBCBCB

ដយងបាន

CBAACCBBA coscoscos2coscoscoscoscoscos

2

1cos21

2

cos1cos

2

3cos

A

AAA

ដ ោះ 2 abccabcab (2) តាម (1),(2) ដយងបាន 20 abccabcab លហាត ៨ ដគឲយ a , b , c បដពញលកខខណឌ 1 cba ។ បងាា ញថា

4

331

abc

abc

cab

b

bca

a ។

ចម លើយ យក xya , yzb នង zxc ដដល x , y , 0z

ដយងបាន 4

331

abc

abc

cab

b

bca

a

| 120


4

331

yzxyzx

xyz

xyzxyz

yz

zxyzxy

xy

4

331

1

1

11

1222

zy

y

x (**)

ដដល 1 zxyzxy

តាង 2

tanA

x , 2

tanB

y , 2

tanC



ដេតដនោះ (**) 4

331

2tan1

1

2tan1

2tan

2tan1

1

222

CB

B

A

4

331

2cossin

2

1

2cos

22

CB

A

4

331

2

sin

2

cos1

2

cos1

BCA

2

33cossincos CBA ពត

ដសររោះ CACACBA sincoscoscossincos

CA cos

2

3cos

2

3

3

2

CACA sincos3cossin33

1

CA

22cos

4

3cos

4

3

3

1

| 121


CACA2222

sin3coscossin332

1

BBAA2222

sincos2

3sincos

2

3

2

3

2

33

លហាត ៩ ដគឲយ a , b , cជាចននពតវជជមាន ។ បងាា ញថា cabcabcba 9222

222 ។ ចម លើយ តាង Aa tan2 , Bb tan2 នង Cc tan2

ដដល

2,0,,

CBA

ដយងបាន cabcabcba 9222222

ACCBBACBA

tantan2tantan2tantan29coscoscos

8222

CBACBACBA sincossinsinsincoscoscoscos

CBA cossinsin9

4 (*)

ដ យ CBACBACBA sinsincoscoscoscoscos

CBACBA cossinsinsincossin

(*) 9

4coscoscoscoscoscoscos CBACBACBA

តាង 3

CBA ដ យ 0cos,cos,cos CBA

| 122


នង xxf cos ជាអនគមនដបា ងដល

2,0

តាម AM-GM នង វ មភាព Jensen ដយងបាន

3

3

cos3

coscoscoscoscoscos

CBACBA

បងាា ញថា 9

43coscoscos

33

ដ យ cos3cos43cos3

33cos3cos33coscos

ដគបាន 9

43coscoscos

33

27

4cos1cos

24 ពត

ដសររោះ តាម AM-GM ដយងបាន

3

1

222

24cos1

2

cos

2

coscos1cos

3

1cos1

2

cos

2

cos

3

1 222

មភាពលោះសរតាដត 12

1tantantan cbaCBA

លហាត ១០

ដគឲយ x , y , 1z ដផទៀងផទទ ត 2111

zyx។

បងាា ញថា 111 zyxzyx ។ (Iran 1998)

| 123


ចម លើយ តាង 1 xa , 1 yb នង 1 zc

ដគបាន 122111 222222222

cbaaccbbazyx

យក abp , bcq , car ដ ោះ 12222

pqrrqp តាង Ap cos , Bq cos , Cr cos ដដល A , B , C ជារងាា មនន សរតដកាណមសរចមយ ដយងបាន 111 zyxzyx

cbacba 3222

2

3 rqp

2

3coscoscos CBA ពត

ដេតដនោះ 111 zyxzyx លហាត ១១ ដគឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានបដពញដដល 1 zxyzxy ។ បងាា ញថា

9

34111111

222222 yxzxzyzyx (1)។

(Hong Kong,1994) ចម លើយ ដ យ x , y , 0z ដដល 1 zxyzxy

តាង 2

tanA

x ,2

tanB

y ,2

tanC


| 124



ដយងបាន

2tan1

2tan1

2tan11

2222 CBAzyx

តាម

2tan

tan2tan1

tan1

tan22tan

2

2

ដគបាន

CB

CBAzyx

tantan

1

2tan

2tan

2tan411

22

ដចគនន ដដរ

AC

CBAxzy

tantan

1

2tan

2tan

2tan411

22

BA

CBAyxz

tantan

1

2tan

2tan

2tan411

22

ដ ោះ (1)មមល9

3

tantantan

tantantan

2tan

2tan

2tan

CBA

CBACBA (2)

ដ យ CBACBA tantantantantantan ( A , B , C ជារងាា មននសរតដកាណមយ)

ដេតដនោះ (2) មមល 9

3

2tan

2tan

2tan

CBA ពត

ដសររោះ តាម AM-GM ដយងបាន2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tanACCBBA

3

2

2tan

2tan

2tan3

CBA

ដ យ 12

tan2

tan2

tan2

tan2

tan2

tan ACCBBA

ដចដនោះ 9

3

2tan

2tan

2tan

CBA

| 125


iii. ការជនបែែ Ravi ( Ravi Transformation ) ការជនដបប Ravi គជាការជនដដមបបដលងពវ មភាពននសរជង

សរតដកាណឲយដៅជាវ មភាពននចននពតវជជមាន ។ ដងេតដលរងាង ចរកកនងសរតដកាណ ដដលរងាងដនោះប ោះដៅនង

សរជង , នង សរតង , នង ដរៀងគនន ។ យក , ,

តាមរបដយងបាន , , , ,

នង ដដល

របមក ដប , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ បដពញលកខខណឌ , នង ។

លហាត ១ ដប , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ សរសាយបញជជ កថា

(*)។ ចម លើយ

rI , ABC

BC CA AB X Y Z

YAAZx BXZBy CYXCz

zya xzb yxc asx

bsy csz 2

cbas

a b c 0,, zyx

yxa xzb yxc

a b c

abccbabacacb

| 126


យក , នង ចដរោះ , , ដយងបាន នង (*) ពតតាម AM-GM លហាត ២ ដគឲយ , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា

(*)។ (APMO,1996)

ចម លើយ យក , នង ចដរោះ , , (*) ពត ដសររោះ តាម QM-AM ដយងបាន

មភាពដកតដ ងលោះសរតាដត

មនសរតមដតរងាា សរជងននសរតដកាណប ដណាណ ោះដទដដលដយងអាចរដរជា

អនគមននន , , 0 ដតដយងកអាចរដរឲយជាបអនគមន , ,

yxa xzb yxc x y 0z

xyzcbabacacb 8

xzzyyxabc

xzzyyxxyz 8

a b c

cbabacacbcba

yxa xzb yxc x y 0z

xzzyyxzyx 222

zyx 222

2

22

2

22

2

22 xzzyyx

2

22

2

22

2

22 xzzyyx

xzzyyx

cbazyx

x y z x y

| 127


0 ផងដដរនវ សរកឡានផទសរតដកាណ ការងាងចរកកនងសរតដកាណ ការងាងចរក ដសរៅសរតដកាណ នង កនលោះបរមាសរត ។ ដ យ , នង

ដយងបាន

តាមរបមនតដេរង (Heron’s formula)

តាមរបមនតសរកឡានផទ

ដេយ តាម

លហាត ៣ ដគឲយ , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណ ។ ដបដគងសរតដកាណ

មយដទៀតដដលមានរងាា សរជង , , ។

បងាា ញថា ។

(India,2003)

ចមលើយ យក , នង ដយងបានរងាា សរជងននសរតដកាណ សរតវបានដមតងដ យ

z

yxa xzb yxc

zyxcba

s

2

xyzzyxcsbsassABC

zyx

xyz

s

ABCrsrABC

xyzzyx

xzzyyxR

R

abcABC

44

a b c ABC

CBA 2

ba

2

cb

2

dc

ABCCBA4

9

yxa xzb yxc

CBA

| 128


, ,

ដយងបាន

តាម AM-GM ដយងបាន ,

នង

ដគបាន

2

32 zyxa

2

23 zyxb

2

32 zyxc

16

2223 xzzyyxzyxCBA

3 232 yxyx 3 2

32 zyzy

3 232 xzxz

ABCxyzzyx

CBA4

9

16

273

| 129


លហាត 1. ដគឲយ x , y , zជាចននពតវជជមាន ។ បងាា ញថា

1222

33

3

33

3

33

3

xz

z

zy

y

yx

x ។

2. យក x , y , zជាចននពតវជជមានដផទៀងផទទ ត 1xyz ។


3111

yxyxzxzyz ។

(Kazakhstan,2008) 3. ដប 3n នង 1x ,

2x , … , nx ជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ 1...21 nxxx ។ បងាា ញថា

11

1...

1

1

1

1

1322211

xxxxxxxxx nn

។

(Russia,2004) 4. a , b , cជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ abccabcab ។

បងាា ញថា

133

44

33

44

33

44

acca

ac

cbbc

cb

baab

ba ។

(Poland,2006) 5. ចដរោះ a , b , cជាចននពតវជជមាន បងាា ញថា

333

1222

cbacba

c

ab

b

ca

a

bc

។

(Ireland,2007) 6. ដគឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានដផទៀងផទទ ត 8abc ។

| 130



2

1

2

1

2

c

c

b

b

a

a ។

7. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា ក/ cabcabcbacabcab 43

2 ខ/ cabcabcbacabcab 2

222

គ/ 22

3

ba

c

ac

b

cb

a ។

8. យក a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា abccbacbacbacba 3

222 ។

(IMO,1964) 9. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា

abccbacbacbacba 3222222222 ។

10. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា 0

222 acaccbcbbaba ។

(IMO,1983) 11. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា

8

1

ac

ac

cb

cb

ba

ba ។

12. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយបដពញលកខខណឌ 3 cabcab ។ បងាា ញថា 323 cba ។

13. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ដេយ rជាការងាង

| 131


ចរកកនងសរតដកាណដ ោះ ។ បងាា ញថា rcba 2

3111 ។

14. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ដេយ sជាកនលោះ បរមាសរតននសរតដកាណដ ោះ ។ បងាា ញថា ក/ abbsas ខ/ ascscsbsbsas

4

cabcab ។

15. យក a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណសរចមយ ។ បងាា ញថា 222222222

cbacbacbacyc

។

| 132


ភាពអម សែន

(The Homogeneity) នយមនយ គេថា អនេមន ជាអនេមនអម សែន (homogenous) គ ើចគ ោះ គេបាន ។

ឧទាហរណ ជាអនេមនអម សែន គ ោះ

ចសណក មនសមនជាអនេមនអម សែនគេ ។

ែមគា ល nn xxxgxxxf ,...,,,...,, 2121 គៅថាវែមភាពអម សែន គ ើ ជាអនេមន អម សែន រ អាចនយាយម ាងគេៀតថាតនើមយៗនន នង nxxxg ,...,, 21 មានដគកគែមើគនា ។

ឧទាហរណ ជាវែមភាពអម សែន គ ោះ តនើមយៗនន

នង មានដគក 2 ដចគនា ។

nxxxf ,...,, 21

1-IRt n

k

n xxxfttxtxtxf ,...,,,...,, 2121

yx

yxyxf

2,

22

yxtftytx

ytxttytxf ,

2,

2222

zxyxzyxf 3,,2

nnn xxxgxxxfxxxh ,...,,,...,,,...,, 212121

nxxxf ,...,, 21

yzzxyyx 222

2

xyyx 222 yzz

2

| 133


ដចគនា សដរ ជាវែមភាពអម សែន ។ ចសណកឯ មនសមនជាវែមភាពអម សែនគេ ។ គ ើវែមភាពមយជាវែមភាពអម សែន គ ោះគេអាច គងកើតលកខខណឌ សនែម។ លកខខណឌ សនែមគនោះមនបានគ វើឲយវែមភាពបាត ងលកខណៈេគៅគេ ។ គលើែពើគនោះគៅ គេៀតការ គងកើតលកខខណឌ ថមើគនោះអាចជយឲយវែមភាពមាន េមងងាយជាងមន ។ ដគណើ រការននការ សនែមលកខខណឌ នង គ វើឲយវែមភាព មានេមងងាយជាងមនគនោះ តវបានគៅថា Normalization ។ ចគ ោះវែមភាពនន ើអគថរ , , អាចតវបាន Normalized ( សនែម លកខខណឌ ) គសេងៗដចជា រ រ …។ រគ ៀ Normalization តវបានគ វើគ ើងគៅតាមលហាតនើមយៗ គ ល េ គ វើយា ងណាឲយលហាតវែមភាពសដលតវគ ោះាយមានេមងងាយ(ែល ាយ ញជា ក) ។ ែគងកតវែមភាព ជាវែមភាពអម សែន គយើងអាច Normalize គ យយក គ ោះ គ ើគេយក នង , , គយើងបាន

មាននយថា គ ើ ចគ ោះ គេបាន

3322baabba

ababb 1515

a b c

1 cba 1abc 1 cabcab

cabcabcba 222

1abc 3kabc

kxa kyb 1 xyzkzc

cabcabcba 222

zxyzxyzyx 222

zxyzxyzyx 222

1xyz

cabcabcba 222

| 134


លហាត ១ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា

។

ចមមលើយ WLOG ែនមតថា តាម AM-GM គយើងបាន នង គ ោះ

3

81

3

accbbacabcab

ដចគនោះ (*)

ពនយល សនែម គហតអើវបានជាគយើងអាច សនែមនវលកខខណឌ ? គ ោះ គ ើ គេបាន (*) ពត

សទយពើគនោះ តាង , នង ( )

គយើងបាន (*) ពតចគ ោះេ , , លោះតាសត(*)ពតចគ ោះេ ,

, គ ើគយើងយក

តាមែមាយខាងគលើ (*) ពតចគ ោះេ , ,

a b c

3

83

accbbacabcab

3 cabcab

3 cba 1abc

abccabcabcbaaccbba

83 abccba

3

83

accbbacabcab

3 cabcab

0 cba

t

aa

t

bb

t

cc 0t

a b c a

b c 33

accbbacabcab

t

a b c

| 135


គហតគនោះ (*) កពតចគ ោះេ , , សដរ ។ លហាត ២

ចគ ោះ , , ងាា ញថា ។

ចមមលើយ

គ យ ជាវែមភាពអម សែន

WLOG ែនមតថា

គយើងបាន ពត

គ ោះ តាម AM-HM គេបាន

ដចគនោះ

លហាត ៣ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា

។

(USA,2003) ចមមលើយ WLOG ឧ មាថា

គយើងបាន

a b c

a b 0c2

3

ba

c

ac

b

cb

a

2

3

ba

c

ac

b

cb

a

1 cba

2

3

ba

c

ac

b

cb

a

2

9111

accbba

2

9

2

9111

cbaaccbba

2

3

ba

c

ac

b

cb

a

a b c

8

2

2

2

2

2

222

2

22

2

22

2

bac

bac

acb

acb

cba

cba

3 cba

22

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

2

bac

bac

acb

acb

cba

cba

| 136


គ យ

គេបាន

លហាត ៤ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា

។

(Japan,2002) ចមមលើយ WLOG ែនមតថា


22

2

22

2

22

2

32

3

32

3

32

3

cc

c

bb

b

aa

a

21

681

32

96

32

3322

2

22

2

a

a

aa

aa

aa

a

442

681

a

a

8412

3

1

32

322

2

cyccyc

aaa

a

a b c

5

322

2

22

2

22

2

cba

cba

bac

bac

acb

acb

3 cba

5

322

2

22

2

22

2

cba

cba

bac

bac

acb

acb

5

3

3

2322

2

cyc aa

a

5

3

962

12

cyc aa

| 137


គ យ

ែមា វែមភាពភាា មកជាមយនវលកខខណឌ វញ គេកអាច សលងវែម

ភាពគ ោះឲយគៅជាវែមភាពអម សែនសដរ គ យគ ើការតាងមយចននដចជា

គ ើ គេតាង , ,

គ ើ គេតាង , នង

គ ើ គេតាង ,

នង

ទ ពើ អម សែន1 គហើយ គយើងអាច Normalize វែមភាពទាងគ ោះឲយមាន េមងងាយ ។ លហាត ៥ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន គពញលកខខណឌ ។

1 អម សែន េជាការ សលងវែមភាពមយឲយកាា យជាវែមភាពអ ម សែនគ យគ ើ លកខខណឌ សដលគេឲយ ។

cyc cyc aa

aa

aa 962

2121

962

522

cyc aa

aaa

9625

121

5

122

2

cyc

a0

5

12

1abcy

xa

z

yb

x

zc

1 cbazyx

xa

zyx

yb

zyx

zc

1222 cba

222zyx

xa

222zyx

yb

222zyx

zc

x y z 1 zyx

| 138


ងាា ញថា ។ ចមមលើយ គយើងអាចអម សែនវែមភាពគនោះតាមលកខខណឌ

តាង , ,


(*) (*) ជាវែមភាពអម សែន ែនមតថា (*)ែមមល ពត គ ោះ តាម AM-GM គយើងមាន

ដចគនោះ

xyzzxyzxy 9

1 zyx

cba

ax

cba

by

cba

cz

xyzzxyzxy 9

3222

9

cba

abc

cba

ca

cba

bc

cba

ab

abccabcabcba 9

1abc

9 cbacabcab

cbacabcab

abcacbccbabcaba 3222222

3b

c

a

c

a

b

c

b

b

a

c

a936

xyzzxyzxy 9

| 139


លហាត 1. គេឲយ a , b , c ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា

cbabac

bac

acb

acb

cba

cba

12

4

2

4

2

4

233

3

33

3

33

3

។

2. គេឲយ a , b , c , d ជាចននពតមនអវជាមាន ។ ងាា ញថា

222222222bad

c

adc

b

dcb

a

2222222

1

2

33

dcbacba

d

។

3. គេឲយ a , b , cជាចននពតមនអវជាមាន ។ ងាា ញថា

2

2

33

cba

abc

ba

c

ac

b

cb

a ។

4. គេឲយ a , b , c , d ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា

dacaba

bcd

cdbdad

abc

2

1

dcbcac

dab

dbcbab

cda ។


ក/ 222

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

abc

abc

cab

cab

bca

bca

ខ/ 222

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

abc

abc

cab

cab

bca

bca ។


| 140


9444444

cba

bac

ca

acb

bc

cba

ab

។

7. គេឲយ ia ជាចននពតវជាមានចគ ោះ ni ,1 ។ ងាា ញថា n

nn aaanaaa ...... 2121 ។ 8. គេឲយ a , b , cជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា

3

5

2333

cba

abc

ba

c

ac

b

cb

a ។

Documents

Microsoft Office 2000...អ រម ភកថ វស មភ ពជ ផ ន ក យដស ខ ងគ ណតវទ យ ។ ត ប ណទ យ ណ យស រផ តលកខណ ព ណសសជ