Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
11. SINIF
‘’SORU BANKASI’’
Rafet Özdemir
MATEMATİK
Akıllı Tahta
Uygulaması
Video
Çözümlü
Kararında
Anlatım
Yeni
MEB
müfredatına
uyumlu
Kafadengi 11. Sınıf Matematik Soru Bankası
KA00-11.01MHK04
978-605-2387-63-4
Rafet ÖZDEMİR
Halil ASLAN
Necmi TOPAL
Mustafa KELEŞ
Buğra KÜÇÜK
Mehmet ESKİN
Ertem Basım Yayın Dağıtım San. Tic. Ltd. Şti.
Başkent Organize Sanayi Bölgesi 22. Cadde No: 6
Maliköy – Sincan / ANKARA tlf: 0 312 640 16 23
0 212 275 00 35 www.eksenyayinlari.com - [email protected]
Gülbahar Mah. Cemal Sururi Sk. No:15 / E Halim Meriç İş Merkezi Kat 9
Mecidiyeköy - İST.
Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’na göre, her hakkı Eksen Yayıncılık
ve Eğitim Malz. San. Tic. AŞ’ye aittir. Eksen Yayıncılık’ın yazılı izni
olmaksızın, kitabın herhangi bir şekilde kısmen veya tamamen
çoğaltılması, basım ve yayımı hâlinde gerekli yasal mevzuat uygulanır.
ürün adı
ürün no
isbn
yazar
redakte
dizgi-mizanpaj
grafik tasarım
editör
yayın yönetmeni
baskı
iletişim
copyright ©
MERHABAÖğretmen ve öğrencilerimize müjde!
Artık size yakın, sizin dünyanızı anlayan, iç dünyanıza seslenen, kısacası sizin dilinizle konuşan bir kitap var elinizde. Yüzü soluk, kuramsal, renksiz ve tekdüze kitaplarla daha fazla uğraşmanıza gerek kalmadı. Evde, okul-da veya serbest zamanlarınızda ders çalışmanın ötesinde, bir bilim dalına yönelik temel verileri zevkle öğreneceğiniz, elinizden bırakamayacağınız kitapları sizler için hazırladık. Severek ve neşeyle öğrenilen bilgilerin ka-
lıcı olduğunu göstermek istedik.
Soru bankasında üniteler öğrenmenin daha kolay gerçekleşmesi için alt başlıklara ayrıldı. Böylece her alt başlıktan ve detaylarından soruların yer alması sağlandı. Ünite sonunda yer alan ve ünitenin tamamını kapsayan testlerin çözümü bu yöntemle daha kolay hâle getirildi.
Testlere başlamadan önce hatırlanması gereken bilgiler “Kısa ve özlü ola-
rak” anlatıldı. Testler konunun ağırlığına ve önemine göre “Birim birim“
oluşturuldu ve isimlendirildi. Her ünitenin sonuna öğrenmede aktif rolü olan “Etkinlik” bölümü, sizleri klasik sınavlara hazırlayacak “Yazılı Sorula-
rım” bölümü ve kendini değerlendirebileceğin “Üniteyi Değerlendirelim”
bölümü konuldu. Bu bölümlerden sonra “Derken...” başlığı altında ünite-
ler sonlandırıldı. Ayrıca zorlandığın soruların sesli ve görüntülü çözümleri-ne ulaşabilmen için her testin üzerinde “Karekod” uygulaması var.
Bu ürünün şimdi akıllı tahta, bilgisayar ortamları ve tabletlerde kulla-
nılmak üzere dijital versiyonları da hazır. akillitahta.eksenyayinlari.com
adresine üye olup ücretsiz indirebilirsiniz.
Esenlik ve başarı dileklerimizle...
4
01
02
03
04
Ünite / Trigonometri
Yönlü Açılar ..................................................................................................................... 8
Trigonometrik Fonkisyonlar ............................................................................................ 18
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar .................................................................................. 42
Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri ................................................... 50
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ..................................................................................... 56
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 62
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 64
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 68
Derken ...................................................................................................................... 70
Ünite / Analitik Geometri
Noktanın Analitik İncelenmesi ........................................................................................ 72
Doğrunun Analitik İncelenmesi ....................................................................................... 78
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 92
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 94
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 96
Derken ...................................................................................................................... 98
Ünite / Fonksiyonlarda Uygulamalar
Fonksiyonlarla İlgili Uygulamalar .................................................................................... 100
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri ................................................................... 106
Fonksiyonların Dönüşümleri ........................................................................................... 124
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 132
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 134
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 136
Derken ...................................................................................................................... 138
Ünite / Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri
İkinci Dereceden Denklem Sistemleri ............................................................................. 140
İkinci Dereceden Eşitsizlikler ve Eşitsizlik Sistemleri ....................................................... 148
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 162
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 164
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 166
Derken ...................................................................................................................... 168
İÇİNDEKİLER
5
05
06
07
Ünite / Çember ve Daire
Çemberin Temel Elemanları ............................................................................................ 170
Çemberde Açılar .............................................................................................................. 174
Çemberde Teğet .............................................................................................................. 186
Dairenin Çevresi ve Alanı ................................................................................................ 194
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 204
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 206
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 208
Derken ...................................................................................................................... 210
Ünite / Uzay Geometri
Katı Cisimler (Silindir) ..................................................................................................... 212
Katı Cisimler (Koni) ......................................................................................................... 218
Katı Cisimler (Küre) ......................................................................................................... 224
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 230
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 232
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 234
Derken ...................................................................................................................... 236
Ünite / Olasılık
Koşullu Olasılık ................................................................................................................ 238
Bağımlı ve Bağımsız Olaylar ........................................................................................... 242
Deneysel ve Teorik Olasılık ............................................................................................. 248
Etkinlik Yapalım ........................................................................................................ 250
Üniteyi Değerlendirelim ........................................................................................... 252
Yazılı Sorularım ......................................................................................................... 254
Derken ...................................................................................................................... 256
Etkinlik Cevapları ve Yazılı Sorularının Çözümleri ................................................................. 258
6
1.
Ünite
TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar ............................................................................................ 8
Trigonometrik Fonksiyonlar ................................................................ 18
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar .................................................... 42
Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri .................... 50
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ...................................................... 56
8
YÖNLÜ AÇILARYÖNLÜ AÇILARBaşlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.A
B
O
Yukarıdaki şekilde O noktası açının köşesi, [OA ve [OB
ışınları da açının kenarlarıdır. Açıyı AOB, BOA veya O
şeklinde gösteririz.Bir açının kenarlarından birini başlangıç kenarı, diğerini
bitim kenarı olarak aldığımızda elde ettiğimiz açıya yönlü
açı denir. Saatin dönme yönünde olan açılar negatif yönlü,
saatin dönme yönünün tersi yönde olan açılar pozitif
yönlü açılardır.
Saatin dönme yönünün tersi
A
O
B
+
Pozitif yönlü açıBOA
[OB ışını başlangıç kenarı[OA ışını bitim kenarı
A
O
B
–Saatin dönme yönünde
Negatif yönlü açıAOB
[OA ışını başlangıç kenarı[OB ışını bitim kenarı
Açıları adlandırırken başlangıç kenarı üzerindeki harf,
açının köşesi ve bitim kenarı üzerindeki harf sırasını takip
ederiz.
Açı Ölçü BirimleriKullanılan açı ölçü birimleri derece ve radyandır.
DereceBir tam çember yayının 360'ta birini gören merkez açının
ölçüsüne 1 derece denir ve 1° şeklinde gösterilir.
A
0 B1°
Bir tam çember yayının ölçüsü
360° dir.
1° lik açının 60'da birine 1 dakika denir ve 1 ı ile gösterilir.
Benzer biçimde 1 ı lık açının 60'da birine 1 saniye denir ve
1ıı ile gösterilir.
1° = 60 ı ve 1 ı = 60 ıı
1° = 60 ı = 3600 ıı Kısaca, saniye 60 a bölünürse dakika, dakika 60 a bölünür-
se derece elde edilir.
q Örnek62475 saniyelik açıyı; derece, dakika ve saniye cinsinden
ifade edelim.
q Çözüm1° = 60 ı
= 3600 ıı olduğu için62475600
247 240 75
60 15
60
60
17
1041 60
441 420
21
–
–
–
–
–
62475 ıı = 17°21 ı
15 ıı olur.
RadyanBir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez
açının ölçüsüne 1 radyan denir.
B
r
AO
r
Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır.
Dereceyi D, radyanı R ile gösterirsekD
360°R
2π=
veya D
180°Rπ
= olur.
9
YÖNLÜ AÇILAR - 1
1. E 2. C
3. B 4. C
5. C 6. E
1.
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) Açının sembolle gösterimi AB ªC dir.
B) Açının başlangıç kenarı [BA dır.
C) Açının bitim kenarı [BC dir.
D) Açının yönü negatiftir.
E) Açının bitim kenarı [BA dır.
2.
Yukarıdaki şekilde verilen açı için, aşağıdakilerden
kaç tanesi doğrudur?
I. Açının sembolle gösterilişi BO ªA dır.
II. Açının bitiş kenarı [OB dır.
III. Açının başlangıç kenarı [OA dır.
IV. Açının yönü pozitiftir.
A) 0 B) 1
C) 2 D) 3
E) 4
3. Aşağıdaki açılardan hangisinin bitim kenarı [OA dır?
4. Aşağıdaki açılardan hangisinin yönü pozitiftir?
5. Aşağıda verilen açılardan kaç tanesi pozitif yönlü
açıdır?
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
6. Aşağıdaki koordinatları verilen noktalardan hangisi
birim çember üzerinde bulunmaz?
A) (–1, 0) B) f3
2,
1
2p C) (0, 1)
D) f3
5,
4
5p E) (1, –1)
Kolaydan zora
aşamalı
testlerin adını ve
numarasını
bildiren başlıklar
Kitabımızda neler var?
Ünite adı ve alt başlıklarınıanlatan sayfalar
Özet bilgilerin yer aldığı sayfalar
68
Soru 1
a) 210° lik bir açının radyan cinsinden değerini bulunuz.b) 5π
4 radyanlık bir açının derece cinsinden değerini bu-
lunuz.
Çözüm
Soru 2
sin3210° – tan(–675°)cos1200° + cos1620°işleminin sonucunu bulunuz.Çözüm
Soru 3
Aşağıdaki trigonometrik değerleri bulunuz.a) tan(41π)
b) cote 13π2
o c) cos17π4
Çözüm
Soru 4
π2
cos– sin(3π + a)
a –
tan(π – a) + cot 3π2
+ aişleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm
YAZILI SORULARIM
261
1. Ünite: Trigonometri
Çözüm 1
a) 180° π radyan ise
210° x
180x = 210π
x = 210π180
= 7π6
radyan
b) π radyan 180° ise
5π4
radyan x
x.π = 180. 5π4
x.π = 225π ⇒ x = 225°
Çözüm 2
3210° ≡ 8.360° + 330° ≡ 330°
–675° ≡ –2.360° + 45° ≡ 45°
1200° ≡ 3.360° + 120° ≡ 120°
1620° ≡ 4.360° + 180° ≡ 180°
sin3210° – tan(–675°)
cos1200° + cos1620° =
sin330° – tan45°
cos120° + cos180°
=
–1
2 – 1
–1
2 – 1
= 1 bulunur.
Çözüm 3
a) 41π ≡ 20.2π + π ≡ π
tan(41π) = tanπ = 0
b) 13π
2 ≡ 3.2π +
π2
≡ π2
cotf13π2p = cotfπ
2p = 0
c) 17π
4 = 2.2π +
π4
= π4
cosf17π4p = cos
π4
= 2
2
Çözüm 4
cosfa – π2p = cosfπ
2 – ap = sina
sin(3π + a) = sin(2π + π + a) = –sina
tan(π – a) = –tana
cotf3π2
+ ap = –tana
cosfa – π2p – sin(3π + a)
tan(π – a) + cotf3π2
+ ap =
sina – (–sina)
–tana – tana
= 2sina–2tana
= –sinasinacosa
= –cosa bulunur.
Çözüm 5
sinx
1 + cotx –
cosx
1 + tanx =
sinx
1 + cosx
sinx
– cosx
1 + sinx
cosx
=
sinx
sinx + cosx
sinx
– cosx
cosx + sinx
cosx
=
sin2x
sinx + cosx –
cos2x
sinx + cosx
=
sin2x – cos
2x
sinx + cosx
=
(sinx – cosx)(sinx + cosx)
sinx + cosx
= sinx – cosx bulunur.
Çözüm 6
Kosinüs teoremine göre,
|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 – 2. |AB|. |AC|.cos120°
142 = x
2 + 102 – 2.x.10. f– 1
2p
196 = x2 + 100 + 10x ⇒ x
2 + 10x – 96 = 0
x 16
x –6
(x + 16) (x – 6) = 0
x = 6 br bulunur.
(Uzunluk negatif olamayacağı için x = –16 alınmaz.)
YAZILI SORULARININ ÇÖZÜMLERİ
Konuyu pekiştirmek için yazılı sorularının
bulunduğu sayfalar
Yazılı sorularının
çözümlerinin bulunduğu
sayfalar
1.
Ünite
TRİGONOMETRİ Yönlü Açılar ............................................................................................ 8
Trigonometrik Fonksiyonlar ................................................................ 18
Üçgende Trigonometrik Bağıntılar .................................................... 42
Trigonometrik Fonksiyonların Periyotları ve Grafikleri .................... 50
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ...................................................... 56
8
YÖNLÜ AÇILAR
YÖNLÜ AÇILARBaşlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir.
A
BO
Yukarıdaki şekilde O noktası açının köşesi, [OA ve [OB ışınları da açının kenarlarıdır. Açıyı AOB, BOA veya O şeklinde gösteririz.
Bir açının kenarlarından birini başlangıç kenarı, diğerini bitim kenarı olarak aldığımızda elde ettiğimiz açıya yönlü açı denir. Saatin dönme yönünde olan açılar negatif yönlü, saatin dönme yönünün tersi yönde olan açılar pozitif yönlü açılardır.
Saatin dönme
yönünün tersi
A
OB
+
Pozitif yönlü açıBOA
[OB ışını başlangıç kenarı[OA ışını bitim kenarı
A
OB
–Saatin dönme
yönünde
Negatif yönlü açıAOB
[OA ışını başlangıç kenarı[OB ışını bitim kenarı
Açıları adlandırırken başlangıç kenarı üzerindeki harf, açının köşesi ve bitim kenarı üzerindeki harf sırasını takip ederiz.
Açı Ölçü BirimleriKullanılan açı ölçü birimleri derece ve radyandır.
Derece
Bir tam çember yayının 360'ta birini gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir ve 1° şeklinde gösterilir.
A0
B1°
Bir tam çember yayının ölçüsü 360° dir.
1° lik açının 60'da birine 1 dakika denir ve 1ı ile gösterilir. Benzer biçimde 1ı lık açının 60'da birine 1 saniye denir ve 1
ıı ile gösterilir.
1° = 60ı ve 1ı = 60ıı
1° = 60ı = 3600ıı
Kısaca, saniye 60 a bölünürse dakika, dakika 60 a bölünür-se derece elde edilir.
q Örnek
62475 saniyelik açıyı; derece, dakika ve saniye cinsinden ifade edelim.
q Çözüm1° = 60ı = 3600ıı olduğu için
62475600 247 240
75 60 15
6060
171041 60 441 420
21
–
–
–
–
–
62475ıı = 17°21ı15ıı olur.
Radyan
Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
B
r
AO
r
Bir tam çember yayının ölçüsü 2π radyandır.
Dereceyi D, radyanı R ile gösterirsek
D
360°R
2π= veya D
180°Rπ= olur.
9
YÖNLÜ AÇILAR - 1
1. E 2. C 3. B 4. C 5. C 6. E
1.
Yukarıdaki şekilde verilenlere göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Açının sembolle gösterimi AB ªC dir.
B) Açının başlangıç kenarı [BA dır.C) Açının bitim kenarı [BC dir.D) Açının yönü negatiftir.E) Açının bitim kenarı [BA dır.
2.
Yukarıdaki şekilde verilen açı için, aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I. Açının sembolle gösterilişi BO ªA dır. II. Açının bitiş kenarı [OB dır. III. Açının başlangıç kenarı [OA dır. IV. Açının yönü pozitiftir.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
3. Aşağıdaki açılardan hangisinin bitim kenarı [OA dır?
4. Aşağıdaki açılardan hangisinin yönü pozitiftir?
5. Aşağıda verilen açılardan kaç tanesi pozitif yönlü açıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
6. Aşağıdaki koordinatları verilen noktalardan hangisi birim çember üzerinde bulunmaz?
A) (–1, 0) B) f32
, 12p C) (0, 1)
D) f 35
, 45p E) (1, –1)
10
YÖNLÜ AÇILAR - 2
1. E 2. C 3. D 4. E 5. B 6. C
1.
Yukarıda verilen açılardan hangileri EOªF yönlü açı-sını göstermektedir?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III
2.
I. II.
III.
Yukarıdaki açılardan hangilerinin altında yönlü açı-lar doğru yazılmıştır?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III
3.
Yukarıdaki şekilde verilen x açısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 92° B) 105° C) 179° D) 185° E) 271°
4.
Yukarıda verilenlere göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Şekil 1 deki x açısı negatif yönlü olup başlangıç ke-narı [AB, bitim kenarı [AC dir.
B) Şekil 2 deki y açısı pozitif yönlü olup başlangıç kena-rı [EF, bitim kenarı [ED dir.
C) Şekil 1 deki x açısı pozitif yönlü olup başlangıç kena-rı [AC, bitim kenarı [AB dir.
D) Şekil 2 deki y açısı negatif yönlü olup başlangıç ke-narı [EF, bitim kenarı [ED dir.
E) Şekil 1 deki x açısı pozitif yönlü olup başlangıç kena-rı [AB, bitim kenarı [AC dir.
5. Birim çemberin üzerinde ve koordinat sisteminin ikinci bölgesinde bulunan bir noktanın ordinatı 3
2
olduğuna göre, bu noktanın apsisi kaçtır?
A) – 32
B) – 12
C) – 33
D) 12
E) 32
6.
m(AO ªK) =π3
radyan
O merkezli birim çember üzerindeki K noktasının apsisi kaçtır?
A) –3
2 B) –
3
2 C) –
1
2
D) –1
3 E) –
1
4
11
YÖNLÜ AÇILAR - 3
1. C 2. C 3. E 4. D 5. A 6. B 7. C 8. B
1. 7π6
radyan kaç derecedir?
A) 150 B) 180 C) 210 D) 240 E) 280
2. Ölçüsü 315° olan açı kaç radyandır?
A) 3π4
B) 6π5
C) 7π4
D) 8π5
E) 9π4
3. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) 4π5
rad = 144° B) π
12rad = 15°
C) π rad = 180° D) π4
rad = 45°
E) 3π2
rad = 315°
4. Aşağıdaki eşitliklerden kaç tanesi doğrudur?
I. 120° = 2π3
rad
II. 72° = 2π5
rad
III. 80° = 4π9
rad
IV. 250° = 25π36
rad
V. 360° = 2π rad
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. A = 30°
B = 45°
C = 75°
olduğuna göre, A + B + C toplamı kaç radyandır?
A) 5π6
B) π C) 7π6
D) 4π3
E) 2π
6. D, O, A doğrusal noktalar,
m(AO ªB) = π4
radyan
m(BO ªC) = 90°
Buna göre, m(CO ªD) = x kaç radyandır?
A) π3
B) π4
C) π2
D) 2π3
E) 4π5
7. Bir ABC üçgeninde;
m(A ª) = π4
radyan
m(B ª) – m(C ª) = 49°
olduğuna göre, m(C ª) kaç derecedir?
A) 41 B) 42 C) 43 D) 44 E) 45
8. Dik açının ölçüsü kaç radyandır?
A) π4
B) π2
C) 2π3
D) π E) 3π2
12
YÖNLÜ AÇILAR - 4
1. E 2. A 3. C 4. A 5. E 6. A 7. D 8. B
1. Tam açının ölçüsü kaç radyandır?
A) π4
B) π2
C) π D) 3π2
E) 2π
2. 12° 14ı 26ıı
açısının saniye cinsinden eşiti aşağıdakilerden han-
gisidir?
A) 44066 B) 42124 C) 41016
D) 40206 E) 39016
3. 28143ıı lik açının derece, dakika ve saniye olarak
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8° 17ı 43ıı B) 7° 59ı 3ıı C) 7° 49ı 3ıı
D) 6° 49ı 3ıı E) 6° 39ı 33ıı
4. Ölçüsü 64° 27ı 32
ıı olan açının tümlerinin ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 25° 32ı 28ıı B) 25° 32ı 18ıı
C) 25° 33ı 28ıı D) 25° 33ı 18ıı
E) 24° 32ı 18ıı
5. m(A ª) = 27° 14ı 43ıı
m(B ª) = 40° 52ı 19ıı
olduğuna göre,
m(A ª) + m(B ª)
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 66° 17ı 02ıı B) 67° 17ı 02ıı
C) 67° 17ı 12ıı D) 68° 06ı 02ıı
E) 68° 07ı 02ıı
6. m(A) = 4° 15ı 27ıı
m(B) = 15° 18ı 09ıı
olduğuna göre m(B ª) – 2m(A ª) farkı kaçtır?
A) 6° 47ı 15ıı B) 6° 15ı 47ıı
C) 5° 47ı 15ıı D) 5° 43ı 14ıı
E) 5° 43ı 15ıı
7. Bir ABC üçgeninin iç açıları A, B, C dir.
m(A ª) = 60° 47ı 52ıı
m(B ª) = 29° 49ı 18ıı
olduğuna göre, m(C ª) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 90° 37ı 10ıı B) 90° 27ı 10ıı
C) 89° 37ı 10ıı D) 89° 22ı 50ıı
E) 88° 22ı 50ıı
8.
Yukarıdaki şekilde, ABC üçgeninin dış açılarının ölçü-leri verilmiştir.
Buna göre, x aşağıdakilerden hangisidir?
A) 152° 18ı 27ıı B) 151° 19ı 27ıı
C) 151° 18ı 27ıı D) 150° 19ı 27ıı
E) 150° 18ı 27ıı
13
YÖNLÜ AÇILAR - 5
1. C 2. A 3. D 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C
1. Ölçüsü 410° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70
2. Ölçüsü 2170° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 10 B) 20 C) 80 D) 100 E) 110
3. Ölçüsü –55° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 275 B) 285 C) 300 D) 305 E) 315
4. Ölçüsü –180° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 90 B) 150 C) 180 D) 240 E) 270
5. Ölçüsü –310° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 55 B) 50 C) 45 D) 40 E) 35
6. Ölçüsü –630° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 70 B) 80 C) 85 D) 90 E) 100
7. Ölçüsü –7450° olan açının esas ölçüsü kaç derece-
dir?
A) 110 B) 150 C) 180 D) 210 E) 220
8. Ölçüsü 12π5
radyan olan açının esas ölçüsü kaç
radyandır?
A) 4π5
B) 3π5
C) 2π5
D) π5
E) π
10
14
YÖNLÜ AÇILAR - 6
1. D 2. E 3. A 4. B 5. E 6. B 7. C 8. D
1. Ölçüsü 353π radyan olan açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) π4
B) π3
C) π2
D) π E) 2π
2. Ölçüsü 40π7
radyan olan açının esas ölçüsü kaç
radyandır?
A) 4π7
B) 5π7
C) 9π7
D) 10π
7 E)
12π7
3. Ölçüsü – 2π5
radyan olan açının esas ölçüsü kaç
radyandır?
A) 8π5
B) 7π5
C) 6π5
D) 3π5
E) 2π5
4. Ölçüsü – 135π7
radyan olan açının esas ölçüsü
kaç radyandır?
A) π7
B) 5π7
C) 16π
7
D) 13π
7 E) 2π
5. Ölçüsü – 238π11
radyan olan açının esas ölçüsü
kaç radyandır?
A) 16π11
B) 15π11
C) 10π11
D) 7π11
E) 4π11
6. –1800° nin esas ölçüsü x ve – 52π9
radyanlık açının ölçüsü y dir.
Buna göre, x + y toplamı kaç radyandır?
A) π9
B) 2π9
C) π3
D) 4π9
E) 2π3
7. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Ölçüsü 5π2
radyan olan açının esas ölçüsü 90° dir.B) Ölçüsü –π radyan olan açının esas ölçüsü π dir.
C) Ölçüsü 412π radyan olan açının esas ölçüsü π dir.
D) Ölçüsü –9π2
radyan olan açının esas ölçüsü 3π2
dir.
E) Ölçüsü 7π radyan olan açının esas ölçüsü π dir.
8. Esas ölçüsü 150° olan açıların kümesi aşağıdakiler-den hangisine eşittir?
A) {xI x = 150° + k .180°, k ∈ Z}
B) {xI x = 30° + k .180°, k ∈ Z}
C) {xI x = 150° + k .90°, k ∈ Z}
D) {xl x = 150° + k .360°, k ∈ Z}
E) {xI x = 30° + k .360°, k ∈ Z}
15
YÖNLÜ AÇILAR - 7
1. B 2. E 3. B 4. E 5. D 6. D 7. B 8. A
1. 33524 saniyelik açının, derece, dakika ve saniye cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9° 19ı 44ıı B) 9° 18ı 44ıı
C) 10° 18ı 44ıı D) 9° 28ı 44ıı
E) 10° 28ı 34ıı
2. x = 72° 40ı 25ıı ve y = 25° 62ı 37ıı
olduğuna göre, x + y toplamı aşağıdakilerden hangi-sidir?
A) 97° 43ı 22ıı B) 98° 33ı 2ıı
C) 97° 44ı 2ıı D) 97° 43ı 12ıı
E) 98° 43ı 2ıı
3. Ölçüsü –44π5
radyan olan açının esas ölçüsü aşağı-dakilerden hangisidir?
A) 4π5
B) 6π5
C) 7π5
D) π2
E) π3
4. I. Ölçüsü 2545° olan açının esas ölçüsü 25° dir. II. Ölçüsü –100° olan açının esas ölçüsü 260° dir. III. Ölçüsü –3570° olan açının esas ölçüsü 30° dir.
Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III
5. Ölçüsü 32π7
radyan olan açının esas ölçüsü aşağı-dakilerden hangisidir?
A) π7
B) 2π7
C) 3π7
D) 4π7
E) 5π7
6. Aşağıdaki açılardan hangisinin esas ölçüsü 3π5
rad-
yandır?
A) π5
B) –11π5
C) –53π5
D) –57π5
E) –62π5
7. Ölçüsü –53π radyan olan açının esas ölçüsü aşağı-dakilerden hangisidir?
A) 0 B) π C) π3
D) π2
E) 3π2
8. A = 23π9
radyan ve B = 1400° olduğuna göre, A + B toplamının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) π3
B) π6
C) 2π9
D) π9
E) π
18
16
YÖNLÜ AÇILAR - 8
1. A 2. D 3. B 4. C 5. E 6. D
1.
A f 14
, 154p
y
x
1
1–1
–1
O B
a
m(BOA) = a
Şekildeki birim çember üzerinde verilen A noktasının
koordinatları f 14
, 15
4p olduğuna göre, cosa.sina çar-
pımının değeri kaçtır?
A) 1516
B) 1515
C) 15 D) 15 + 116
E) 1516
2.
A f– 45
, 35p
y
Bx
1
1–1
–1
O
a
m(BOA) = a
Şekildeki birim çember üzerinde verilen A noktasının
koordinatları f– 4
5, 3
5p olduğuna göre, sina – cota farkı
kaçtır?
A) – 115
B) – 15
C) 75
D) 2915
E) 2720
3.
A f– 32
, – 12p
y
Bx
1
1–1
–1
O
a
m(BOA) = a
Şekildeki birim çember üzerinde verilen A noktasının
koordinatları f– 3
2, – 1
2p olduğuna göre, cosa – tana
farkı kaçtır?
A) – 3 B) –53
6 C) –
32
D) –36
E) 36
4.
A
y
x
1
1B
–1
–1
O60°
Şekildeki birim çemberde m(BOA) = 60° olduğuna göre, bu çember üzerindeki A noktasının koordinat-ları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 3) B) f32
, 12p C) f 1
2,
32p
D) (3, 1) E) f22
, 22p
5.
A
y
x
1
1B
–1
–1
O
Şekildeki birim çemberde m(BOA) = 150° olduğuna göre, bu çember üzerindeki A noktasının koordinat-ları aşağıdakilerden hangisidir?
A) f– 22
, 22p B) f– 3
2,
32p C) f– 1
2,
12p
D) f– 12
, 32p E) f– 3
2,
12p
6.
A
y
x
1
1B–1
–1
O 45°
Şekildeki birim çemberde m(AOB) = 45° olduğuna göre, bu çember üzerindeki A noktasının koordinat-ları aşağıdakilerden hangisidir?
A) f 12
, –12p B) (2, –2) C) f– 2
2,
22p
D) f22
, –22p E) (1, –1)
17
YÖNLÜ AÇILAR - 9
1. A 2. C 3. B 4. D 5. E 6. D 7. E 8. A
1. sin 270° – sin 90°cos 0° – cos 180°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –1 B) –12
C) 0 D) 12
E) 1
2. tan 180° + cot 90° + cos 270°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
3. sin 120° + sin 240° + cos 135°tan 225° – cot 315°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –32
B) –24
C) –14
D) 24
E) 32
4. cos 150° + sin 300°sin 240° + cos 210°
işleminin sonucu kaçtır?
A) –3 B) –1 C) 0 D) 1 E) 3
5. sin π
3 + cos 11π
6
tan 5π6
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 12
C) –12
D) –1 E) –3
6. cos 5π
4 – sin 3π
4
cot 4π3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 6 B) 2 C) –2 D) –6 E) –3
7. cot 5π
4 – tan 3π
4
cos 7π4
+ sin π4
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
8. cosπ + sin 3π
2
tan 7π6
işleminin sonucu kaçtır?
A) –23 B) –3 C) 0 D) 3 E) 23
18
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARKosinüs ve Sinüs Fonksiyonları
y (sinüs ekseni)B(0, 1)
P(x, y)D
O C
A(1, 0) xθ
(kosinüs ekseni)
Birim çember üzerindeki P(x, y) noktası ile eşlenen açı m(A0ªP) = θ olsun.
P noktasının apsisine θ açısının kosinüsü denir ve cosθ şeklinde gösterilir.
P noktasının ordinatına da θ açısının sinüsü denir ve sinθ
şeklinde gösterilir. Buna göre,
cosθ = |0C| = x
sinθ = |0D| = y olur.
θ gerçel sayısını, cosθ ya dönüştüren fonksiyona kosinüs
fonksiyonu, sinθ ya dönüştüren fonksiyona da sinüs fonk-
siyonu denir.
Ayrıca, x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs eksenidir.
Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarıyla ilgili aşağıdaki sonuçlara ulaşılabilir:
1.
P(x, y)sinθ
cosθOx
y
1
1
1
–1
–1
θ
Birim çember üzerindeki bir P(x, y) noktası için
x2 + y2 = 1 dir. Buradan, x = cosθ ve y = sinθ
olduğundan cos2θ + sin2θ = 1 özdeşliği elde edilir.
Örneğin, • sin220° + cos220° = 1 dir.
• sin2 π5
+ cos2 π5
= 1 dir.
2. yB(0, 1)
A(1, 0)C(–1, 0)
D(0, –1)–1
–1 1
1
x
Yukarıdaki şekilde,
• A(1, 0) olduğundan cos0° = 1
sin0° = 0 dır.
• B(0, 1) olduğundan cos90° = 0
sin90° = 1 dir.
• C(–1, 0) olduğundan cos180° = –1
sin180° = 0 dır.
• D(0, –1) olduğundan cos270° = 0
sin270° = –1 dir.
3. sinüs ekseni
P(x, y)
O–1
1
–1
1θ
kosinüs ekseni
x
y
Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarının alabileceği en küçük değer –1, en büyük değer 1 dir.
–1 ≤ cosθ ≤ 1–1 ≤ sinθ ≤ 1
Buna göre, kosinüs ve sinüs fonksiyonları cos : R → [–1, 1] ve sin : R → [–1, 1] biçiminde tanımlanır.
asinx + bcosx toplamının alabileceği en büyük değer a
2 + b2, en küçük değer – a2 + b2dir.
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
YÖNLÜ AÇILAR - 1
19
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları
y = 1 (kontanjant ekseni)
x = 1 (tanjant ekseni)
C
BP
Oθ
Ax
ycotθ
tanθ
m(A0P) = θ ve P birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere, B noktasının ordinatına θ açısının tanjantı, C nokta-sının apsisine θ açısının kotanjantı denir.
tan: R – + kπ I k ∈ Z → R, f(x) = tanxπ2
cot: R – {kπ | k ∈ Z} → R, f(x) = cotx
Tanjant ve kotanjant fonksiyonları bütün ger-çel sayı değerlerini alır.
– ∞ < tanx < ∞ ve –∞ < cotx < ∞
Önemli bir tablo:
Buraya kadar öğrendiklerimizle, 0°, 90°, 180° ve 270° nin trigonometrik oranlarını aşağıdaki tabloda gösterelim.
Açı (x) 0 rad
0 0
0
0
0
tanımsıztanımsız tanımsız
tanımsız tanımsız
1 –1
1 1–10
0
0
0
0
π rad 2π radradFonksiyon
sinx
cosx
tanxcotx
π2
rad3π2
Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
K(0, b)y
x
P(x, y)
S(a, 0)
–1
–1 O
1
θ
Birim çember üzerinde P (x, y) noktası ile eşlenen açı θ ol-sun. Çembere P noktasında teğet olan doğrunun x eksenini kestiği noktanın (S noktasının) apsisine θ açısının sekantı denir ve secθ biçiminde gösteriler.
Aynı teğetin y eksenini kestiği noktanın (K noktasının) ordi-natına θ açısının kosekantı denir ve cscθ veya cosecθ bi-çiminde gösterilir.
secθ = a = |0S| = 1
cosθ dır.
cscθ = b = |0K| = 1
sinθ dır.
Trigonometrik Özdeşliklery sinüsekseni
kosinüsekseni
O
1
1
–1
–1
B
F
E
s
P
sx
Acθ
kotanjant ekseni
tanjant ekseni
T(1, t)
K(k,1)
Birim çemberin üzerindeki P noktasının apsisi kosinüs (c), ordinatı sinüs (s) olduğundan
c2 + s2 = 1 ⇒ cos2θ + sin2θ = 1 dir.
Buradan
• cos2θ = 1 – sin2θ
• sin2θ = 1 – cos2θ
eşitliklerini de yazabiliriz.
20
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Şekildeki birim çemberde,
|AT| = t = tanθ ve |BK| = k = cotθ dır.
Şekilden, 0FP ∼ 0AT ∼ KB0 benzerliklerini yazabiliriz. Bu benzerliklerden;
|0F||0A|
= |FP||AT|
⇒ c1
= st
⇒ t = sc
⇒ tanθ = sinθcosθ
|0F||KB|
= |FP||B0|
⇒ ck
= s1
⇒ k = cs
⇒ cotθ = cosθsinθ
Bulduğumuz bu eşitliklerlen
tanθ = 1
cotθ veya tanθ .cotθ = 1
yazabiliriz.
Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleriKoordinat düzlemindeki bölgeler ve bu bölgelere göre trigonometrik fonksiyonların işaretleri aşağıdaki birim çember üzerinde gösterilmiştir.
2. Bölge90° < θ < 180°
sinüs ekseni
sinθ(+)cosθ(–)tanθ(–)cotθ(–)
sinθ(+)cosθ(+)tanθ(+)cotθ(+)
sinθ(–)cosθ(+)tanθ(–)cotθ(–)
sinθ(–)cosθ(–)tanθ(+)cotθ(+)
1. Bölge0° < θ < 90°
4. Bölge270° < θ < 360°
3. Bölge180° < θ < 270°
kosinüsekseni0
< θ < 2π3π2
π < θ <3π2
0 < θ <π2
< θ < ππ2
90° c π2m den Büyük Açıların
Trigonometrik Oranları θ açısı d π
2 ± θo veya d 3π
2 ± θo şeklinde yazılmış ise ön-
celikle θ dar açı kabul edilip açının bulunduğu bölge tespit edilerek trigonometrik ifadenin işareti bulunur. Daha son-ra trigonometrik fonksiyonun adı sin ⇔ cos, tan ⇔ cot, sec ⇔ cosec şeklinde değiştirilir.
• cosc π2
– θn = sin θ
• sinc π2
– θn = cos θ
• tanc π2
– θn = cot θ
• cotc π2
– θn = tan θ
• cosc 3π2
– θn = –sin θ
• sinc 3π2
– θn = –cos θ
• tanc 3π2
– θn = cot θ
• cotc 3π2
– θn = tan θ
• cosc 3π2
+ θn = sin θ
• sinc 3π2
+ θn = –cos θ
• tanc 3π2
+ θn = –cot θ
• cotc 3π2
+ θn = –tan θ
• cosc π2
+ θn = –sin θ
• sinc π2
+ θn = cos θ
• tanc π2
+ θn = –cot θ
• cotc π2
+ θn = –tan θ
θ açısı (π ± θ) ve (2π ± θ) şeklinde yazılmış ise θ açısı dar açı kabul edilip bulunduğu bölge tespit edilerek trigonometrik ifadenin işareti bulunur. Trigonometrik fonksiyonun ismi değişmez.
• cos(π – θ) = –cos θ
• sin(π – θ) = sin θ
• tan(π – θ) = –tan θ
• cot(π – θ) = –cot θ
• cos(π + θ) = –cos θ
• sin(π + θ) = –sin θ
• tan(π + θ) = tan θ
• cot(π + θ) = cot θ
• cos(2π – θ) = cos(– θ) = cos θ
• sin(2π – θ) = sin(– θ) = –sin θ
• tan(2π – θ) = tan(– θ) = –tan θ
• cot(2π – θ) = cot(– θ) = –cot θ
cos(–x) = cosx, sin(–x) = –sinx,
tan(–x) = –tanx ve cot(–x) = –cotx
olduğundan cosx fonksiyonu çift fonksiyon, sinx, tanx ve cotx fonksiyonları tek fonksiyondur.