Embed Size (px)
Citation preview
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
Manuel Fidel Domınguez AzuetaDirector de tesis:
Dr. Gamaliel Ble GonzalezDACB - UJAT
Presentacion de Avance de TesisUniversidad Juarez Autonoma de Tabasco
DACBCunduacan Tabasco, Diciembre 14 de 2012
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Introduccion
Version Simplificada
En 1998 se publico una lista de 18 problemas, propuestos por S.Smale. El problema 13 de esa lista es una version simplificada delproblema 16 de Hilbert aplicado a la ecuacion de Lienard
x =y − f (x),
y =− x ,(1)
donde f es un polinomio y f (0) = 0. El problema es dar una cotapara el numero de ciclos lımites en terminos del grado de f .
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Introduccion
Version Simplificada
En 1998 se publico una lista de 18 problemas, propuestos por S.Smale. El problema 13 de esa lista es una version simplificada delproblema 16 de Hilbert aplicado a la ecuacion de Lienard
x =y − f (x),
y =− x ,(1)
donde f es un polinomio y f (0) = 0. El problema es dar una cotapara el numero de ciclos lımites en terminos del grado de f .
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Introduccion
La conjetura a la pregunta de Smale es que el numero de cicloslımites esta acotado por la cota propuesta por Lins, de Melo, yPugh [1] en (1). La cual es
[n−1
2
].
En este trabajo se analiza el progreso que se ha tenido entorno aesta conjetura. En particular consideraremos diferentesperturbaciones de la ecuacion (1) con el fin de encontrar unanueva cota.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Introduccion
La conjetura a la pregunta de Smale es que el numero de cicloslımites esta acotado por la cota propuesta por Lins, de Melo, yPugh [1] en (1). La cual es
[n−1
2
].
En este trabajo se analiza el progreso que se ha tenido entorno aesta conjetura. En particular consideraremos diferentesperturbaciones de la ecuacion (1) con el fin de encontrar unanueva cota.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ecuacion de Lienard
Conjentura de A. Lins, W. de Melo y C. C. Puhg (1977)
El numero de ciclos limites de (1) esta acotado por[
n−12
]Avances
1 Lins, Melo y Puhg, lo probaron para n=3.
2 F. Dumortier, D. Panazzolo y R. Roussarie (2007), mostraronque la conjetura es falsa para n = 7 y para n > 7 impar.
3 P. De Maesschalck y F. Dumortier (2011), mostraron que laconjetura es falsa para n ≥ 6.
4 C. Li y J. Llibre (2012) mostraron que la conjetura es validapara n = 4.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ecuacion de Lienard
Conjentura de A. Lins, W. de Melo y C. C. Puhg (1977)
El numero de ciclos limites de (1) esta acotado por[
n−12
]Avances
1 Lins, Melo y Puhg, lo probaron para n=3.
2 F. Dumortier, D. Panazzolo y R. Roussarie (2007), mostraronque la conjetura es falsa para n = 7 y para n > 7 impar.
3 P. De Maesschalck y F. Dumortier (2011), mostraron que laconjetura es falsa para n ≥ 6.
4 C. Li y J. Llibre (2012) mostraron que la conjetura es validapara n = 4.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ecuacion de Lienard
Conjentura de A. Lins, W. de Melo y C. C. Puhg (1977)
El numero de ciclos limites de (1) esta acotado por[
n−12
]Avances
1 Lins, Melo y Puhg, lo probaron para n=3.
2 F. Dumortier, D. Panazzolo y R. Roussarie (2007), mostraronque la conjetura es falsa para n = 7 y para n > 7 impar.
3 P. De Maesschalck y F. Dumortier (2011), mostraron que laconjetura es falsa para n ≥ 6.
4 C. Li y J. Llibre (2012) mostraron que la conjetura es validapara n = 4.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ecuacion de Lienard
Conjentura de A. Lins, W. de Melo y C. C. Puhg (1977)
El numero de ciclos limites de (1) esta acotado por[
n−12
]Avances
1 Lins, Melo y Puhg, lo probaron para n=3.
2 F. Dumortier, D. Panazzolo y R. Roussarie (2007), mostraronque la conjetura es falsa para n = 7 y para n > 7 impar.
3 P. De Maesschalck y F. Dumortier (2011), mostraron que laconjetura es falsa para n ≥ 6.
4 C. Li y J. Llibre (2012) mostraron que la conjetura es validapara n = 4.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ecuacion de Lienard
Conjentura de A. Lins, W. de Melo y C. C. Puhg (1977)
El numero de ciclos limites de (1) esta acotado por[
n−12
]Avances
1 Lins, Melo y Puhg, lo probaron para n=3.
2 F. Dumortier, D. Panazzolo y R. Roussarie (2007), mostraronque la conjetura es falsa para n = 7 y para n > 7 impar.
3 P. De Maesschalck y F. Dumortier (2011), mostraron que laconjetura es falsa para n ≥ 6.
4 C. Li y J. Llibre (2012) mostraron que la conjetura es validapara n = 4.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ecuacion de Lienard
Conjentura de A. Lins, W. de Melo y C. C. Puhg (1977)
El numero de ciclos limites de (1) esta acotado por[
n−12
]Avances
1 Lins, Melo y Puhg, lo probaron para n=3.
2 F. Dumortier, D. Panazzolo y R. Roussarie (2007), mostraronque la conjetura es falsa para n = 7 y para n > 7 impar.
3 P. De Maesschalck y F. Dumortier (2011), mostraron que laconjetura es falsa para n ≥ 6.
4 C. Li y J. Llibre (2012) mostraron que la conjetura es validapara n = 4.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Sistema de Lienard
Resultados Basicos Analizados
1 Teorıa Local de Sistemas Dinamicos.
2 Teorıa Global de Sistemas Dinamicos.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Sistema de Lienard
Resultados Basicos Analizados
1 Teorıa Local de Sistemas Dinamicos.
2 Teorıa Global de Sistemas Dinamicos.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Sistema de Lienard
Resultados Basicos Analizados
1 Teorıa Local de Sistemas Dinamicos.
2 Teorıa Global de Sistemas Dinamicos.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Orbita periodica
Definicion
Una orbita periodica Γ del sistema
x = f (x), (2)
es cualquier curva cerrada solucion del sistema (2) que no es unpunto de equilibrio del sistema (2).
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Trayectorias.
SeaΓx0 = {x ∈ E |x = φt(x0), t ∈ R}
Γ+x0
= {x ∈ E |x = φt(x0), t ≥ 0}
Γ−x0= {x ∈ E |x = φt(x0), t ≤ 0}
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Trayectorias.
SeaΓx0 = {x ∈ E |x = φt(x0), t ∈ R}
Γ+x0
= {x ∈ E |x = φt(x0), t ≥ 0}
Γ−x0= {x ∈ E |x = φt(x0), t ≤ 0}
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Trayectorias.
SeaΓx0 = {x ∈ E |x = φt(x0), t ∈ R}
Γ+x0
= {x ∈ E |x = φt(x0), t ≥ 0}
Γ−x0= {x ∈ E |x = φt(x0), t ≤ 0}
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El α y el ω lımite.
Definicion
p ∈ E esta en el ω− lımite de Γx0 si existe tn −→∞ tal que limn−→∞φtn (x0) = p.
Definicion
q ∈ E esta en el α− lımite de Γx0 si existe tn −→ −∞ tal que limn−→∞φtn (x0) = q.
Conjutos α y ω lımite.
El conjunto de todos los puntos
ω(Γx0 ) = {p ∈ E | p es ω − l ımite de Γx0}
es el conjunto ω− lımite.El conjunto de todos los puntos
α(Γx0 ) = {q ∈ E | q es α− l ımite de αx0}
es el conjunto α− lımite.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El α y el ω lımite.
Definicion
p ∈ E esta en el ω− lımite de Γx0 si existe tn −→∞ tal que limn−→∞φtn (x0) = p.
Definicion
q ∈ E esta en el α− lımite de Γx0 si existe tn −→ −∞ tal que limn−→∞φtn (x0) = q.
Conjutos α y ω lımite.
El conjunto de todos los puntos
ω(Γx0 ) = {p ∈ E | p es ω − l ımite de Γx0}
es el conjunto ω− lımite.El conjunto de todos los puntos
α(Γx0 ) = {q ∈ E | q es α− l ımite de αx0}
es el conjunto α− lımite.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El α y el ω lımite.
Definicion
p ∈ E esta en el ω− lımite de Γx0 si existe tn −→∞ tal que limn−→∞φtn (x0) = p.
Definicion
q ∈ E esta en el α− lımite de Γx0 si existe tn −→ −∞ tal que limn−→∞φtn (x0) = q.
Conjutos α y ω lımite.
El conjunto de todos los puntos
ω(Γx0 ) = {p ∈ E | p es ω − l ımite de Γx0}
es el conjunto ω− lımite.El conjunto de todos los puntos
α(Γx0 ) = {q ∈ E | q es α− l ımite de αx0}
es el conjunto α− lımite.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ciclo lımite.
Definicion
Un ciclo lımite Γ de un sistema planar es una orbita periodica de(2) el cual es el α u ω− lımite de alguna trayectoria de (2) que nosea Γ.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Ciclos lımites
Figura: Cıclos lımite a) Estable b) Inestable c) Semi estable.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Una de las herramientas basicas para el estudio de la estabilidad y
bifurcaciones de las orbitas periodicas es la transformacion de Poincare o
mapeo de primer retorno, definida por Henri Poincare en 1881.
La idea de la transformacion de Poincare es: Si Γ es una orbita periodicadel sistema
x = f (x) (3)
a traves del punto x0 y Σ es un hiperplano perpendicular a Γ en x0,
entonces para cualquier punto x ∈ Σ suficientemente cerca de x0, la
solucion de (3) a traves de x en t = 0, φt(x), cruzara Σ de nuevo en un
punto P(x) cerca de x0. Figura. La aplicacion x −→ P(x) se llama la
transformacion de Poincare.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Una de las herramientas basicas para el estudio de la estabilidad y
bifurcaciones de las orbitas periodicas es la transformacion de Poincare o
mapeo de primer retorno, definida por Henri Poincare en 1881.
La idea de la transformacion de Poincare es: Si Γ es una orbita periodicadel sistema
x = f (x) (3)
a traves del punto x0 y Σ es un hiperplano perpendicular a Γ en x0,
entonces para cualquier punto x ∈ Σ suficientemente cerca de x0, la
solucion de (3) a traves de x en t = 0, φt(x), cruzara Σ de nuevo en un
punto P(x) cerca de x0. Figura. La aplicacion x −→ P(x) se llama la
transformacion de Poincare.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Figura: La aplicacion de Poincare.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Teorema 1
Sea E un subconjunto abierto de Rn y sea f ∈ C 1(E ). Supongamos queφt(x0) es una solucion periodica de (3) de periodo T y que el ciclo
Γ = {x ∈ Rn|x = φt(x0), 0 ≤ t ≤ T}
se encuentra en E . Sea Σ el hiperplano ortogonal a Γ en x0; es decir, que
Σ = {x ∈ Rn|(x − x0) · f (x0) = 0} .
Existe un δ > 0 y una unica funcion τ(x), definida y continuamentediferenciable para x ∈ Vδ(x0), tal que τ(x0) = T y
φτ(x)(x) ∈ Σ
para todo x ∈ Vδ(x0).
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Definicion
Sea Γ, Σ, δ y τ(x) que se define como en el Teorema 1. Entonces,para x ∈ Vδ(x0) ∩ Σ, la funcion
P(x) = φτ(x)(x)
se llama la transformacion de Poincare para Γ en x0.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Ejemplo 1
El sistema
x = −y + x(1− x2 − y 2) (4)
y = x + y(1− x2 − y 2)
tiene un ciclo lımite Γ que es representado por γ = (cos(t), sen(t))T ′. Si
hacemos la transformacion a coordenadas polares al sistema (4), tenemos
r = r(1− r 2) (5)
θ = 1
cuando r = 1 tenemos una orbita periodica que es representado por
Γ = (cos(t), sen(t))T ′.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Figura: El mapeo de Poincare para el sistema en el Ejemplo 1.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
El mapeo de Poincare para Γ se puede encontrar por la solucion delsistema escrito en coordenadas polares con la condicion inicial r(0) = r0 yθ(0) = θ0. La primera ecuacion se puede resolver como un ecuaciondiferencial separable. La solucion es propuesta por
r(t, r0) =
[1 +
(1
r 20
− 1
)e−2t
]1/2
yθ(t, θ0) = t + θ0.
Si Σ la recta θ = θ0 a traves del origen, entonces Σ es perpendicular a Γ
y la trayectoria a traves del punto (r0, θ0) ∈ Σ ∩ Γ en t = 0 intersecta el
rayo en θ = θ0 nuevamente en el instante t = 2π. Donde el tiempo para
la orbita periodica es T = 2π. Entonces τ(x) = 2π. Figura .
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
De ello se desprende que la transformacion de Poincare espropuesta por
P(r0) = r(2π, r0) =
[1 +
(1
r 20
− 1
)e−4π
]1/2
.
Claramente P(1) = 1 correspondiente al ciclo Γ y se ve que
P′(r0) = e−4πr−3
0
[1 +
(1
r 20
− 1
)e−4π
]−3/2
y que P ′(1) = e−4π < 1.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Teorema 2
Sea E un subconjunto abierto de R2 y supongamos quef ∈ C 1(E ). Sea γ(t) una solucion periodica de (3) de periodo T .Entonces la derivada del mapeo de Poincare P(s) a lo largo de lalınea recta Σ normal a Γ =
{x ∈ R2|x = γ(t)− γ(0), 0 ≤ t ≤ T
}en x = 0 esta dada por
P ′(0) = exp
∫ T
0∇ · f (γ(t))dt.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Corolario
Bajo las hipotesis del Teorema 1, la solucion periodica de γ(t) esun ciclo lımite estable si∫ T
0∇ · f (γ(t))dt < 0
y es un ciclo lımite inestable si∫ T
0∇ · f (γ(t))dt > 0.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
El mapeo de Poincare
Ejemplo
Para el ejemplo 1 tenemos γ(t) = (cos(t), sen(t))T ,∇ · f (x , y) = 2− 4x2 − 4y 2 y∫ 2x
05 · f (γ(t))dt =
∫ 2π
0(2− 4 cos2 t − 4 sen2 t)dt = −4π.
Por lo tanto, con s = r − 1, se sigue del Teorema 2, que
P ′(0) = e−4π
que concuerda con el resultado encontrado en el ejemplo anteriorpor calculo directo. Puesto que P ′(0) < 1, el ciclo γ(t) es un ciclolımite estable en este ejemplo.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
Perko, L. (2000). Differential Equations and DynamicalSystems, Third Edition, Springer, New York.
J. Alavez, G. Ble, J.Llibre y J. Lopez (2011); On the maximumnumber of limit cycles of a class of generalized Lienarddifferential systems. Aceptado en el International Journal ofBifurcation and Chaos, 21.
Y. Ilyashenko (2002). Centennial history of Hilbert’s 16thproblem,Bull. Amer. Math. Soc. 39, 301-354.
J. Llibre, A.C. Mereu y M.A. Teixeira (2009). Limit cycles ofthe generalized Lienard differential equations. Math. Proceed.Camb. Phyl. Soc. 148, 363-383.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
Perko, L. (2000). Differential Equations and DynamicalSystems, Third Edition, Springer, New York.
J. Alavez, G. Ble, J.Llibre y J. Lopez (2011); On the maximumnumber of limit cycles of a class of generalized Lienarddifferential systems. Aceptado en el International Journal ofBifurcation and Chaos, 21.
Y. Ilyashenko (2002). Centennial history of Hilbert’s 16thproblem,Bull. Amer. Math. Soc. 39, 301-354.
J. Llibre, A.C. Mereu y M.A. Teixeira (2009). Limit cycles ofthe generalized Lienard differential equations. Math. Proceed.Camb. Phyl. Soc. 148, 363-383.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
Perko, L. (2000). Differential Equations and DynamicalSystems, Third Edition, Springer, New York.
J. Alavez, G. Ble, J.Llibre y J. Lopez (2011); On the maximumnumber of limit cycles of a class of generalized Lienarddifferential systems. Aceptado en el International Journal ofBifurcation and Chaos, 21.
Y. Ilyashenko (2002). Centennial history of Hilbert’s 16thproblem,Bull. Amer. Math. Soc. 39, 301-354.
J. Llibre, A.C. Mereu y M.A. Teixeira (2009). Limit cycles ofthe generalized Lienard differential equations. Math. Proceed.Camb. Phyl. Soc. 148, 363-383.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
Perko, L. (2000). Differential Equations and DynamicalSystems, Third Edition, Springer, New York.
J. Alavez, G. Ble, J.Llibre y J. Lopez (2011); On the maximumnumber of limit cycles of a class of generalized Lienarddifferential systems. Aceptado en el International Journal ofBifurcation and Chaos, 21.
Y. Ilyashenko (2002). Centennial history of Hilbert’s 16thproblem,Bull. Amer. Math. Soc. 39, 301-354.
J. Llibre, A.C. Mereu y M.A. Teixeira (2009). Limit cycles ofthe generalized Lienard differential equations. Math. Proceed.Camb. Phyl. Soc. 148, 363-383.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
Perko, L. (2000). Differential Equations and DynamicalSystems, Third Edition, Springer, New York.
J. Alavez, G. Ble, J.Llibre y J. Lopez (2011); On the maximumnumber of limit cycles of a class of generalized Lienarddifferential systems. Aceptado en el International Journal ofBifurcation and Chaos, 21.
Y. Ilyashenko (2002). Centennial history of Hilbert’s 16thproblem,Bull. Amer. Math. Soc. 39, 301-354.
J. Llibre, A.C. Mereu y M.A. Teixeira (2009). Limit cycles ofthe generalized Lienard differential equations. Math. Proceed.Camb. Phyl. Soc. 148, 363-383.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
A. Lins, W. de Melo and C.C. Pugh On Lienard’s Equation,Lecture Notes in Math 597, Springer, Berlin, (1977), pp.335–357.
S. Lynch, Limit cycles if generalized Lienard equations, AppliedMath. Letters 8 (1995), 15–17,
S. Smale (1998). Mathematical problems for the next century,Mathematical Intelligencer 20, 7-15.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
A. Lins, W. de Melo and C.C. Pugh On Lienard’s Equation,Lecture Notes in Math 597, Springer, Berlin, (1977), pp.335–357.
S. Lynch, Limit cycles if generalized Lienard equations, AppliedMath. Letters 8 (1995), 15–17,
S. Smale (1998). Mathematical problems for the next century,Mathematical Intelligencer 20, 7-15.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
A. Lins, W. de Melo and C.C. Pugh On Lienard’s Equation,Lecture Notes in Math 597, Springer, Berlin, (1977), pp.335–357.
S. Lynch, Limit cycles if generalized Lienard equations, AppliedMath. Letters 8 (1995), 15–17,
S. Smale (1998). Mathematical problems for the next century,Mathematical Intelligencer 20, 7-15.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
IntroduccionAvances
El Mapeo de Poicare
Bibliografia
A. Lins, W. de Melo and C.C. Pugh On Lienard’s Equation,Lecture Notes in Math 597, Springer, Berlin, (1977), pp.335–357.
S. Lynch, Limit cycles if generalized Lienard equations, AppliedMath. Letters 8 (1995), 15–17,
S. Smale (1998). Mathematical problems for the next century,Mathematical Intelligencer 20, 7-15.
M.F.D.A. Perturbaciones a la Ecuacion de Lienard
