Metric  Spaces  –  Important  Theorems  and  Definitions    Chapter  3:  Sets  and  Functions    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟏:  𝑇ℎ𝑒  𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒  𝑓 𝐴  𝑜𝑓  𝐴  𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟  𝑓  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝒴  𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛  𝑏𝑦    𝑦 ∈ 𝒴 ∶ 𝑦 = 𝑓 𝑎 𝑓𝑜𝑟  𝑠𝑜𝑚𝑒  𝑎 ∈ 𝐴 .      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟐:  𝑇ℎ𝑒  𝑝𝑟𝑒𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒  𝑓!! 𝒞  𝑜𝑓  𝒞  𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟  𝑓  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝒳  𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛  𝑏𝑦    𝑥 ∈ 𝒳 ∶ 𝑓 𝑥 ∈  𝒞 .      𝐴  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑖𝑛𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒  𝑖𝑓  𝑓 𝑥 =  𝑓 𝑥! ⟹ 𝑥 = 𝑥!.    𝐴  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑠𝑢𝑟𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒  (𝑜𝑟  𝑜𝑛𝑡𝑜)  𝑖𝑓  ∀𝑦 ∈ 𝒴  ∃𝑥 ∈ 𝑋   ∶    𝑦 = 𝑓 𝑥 .    𝐴  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑖𝑠  𝑖𝑛𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑐𝑒  𝑎𝑛𝑑  𝑠𝑢𝑟𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒  𝑖𝑠  1 − 1  𝑜𝑟  𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒.    𝑇ℎ𝑒  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑑  𝑡𝑜  𝑎  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝐴 ∈ 𝒳, 𝑓|!:  𝐴 → 𝒴, 𝑖𝑠  𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑  𝑠𝑢𝑐ℎ  𝑡ℎ𝑎𝑡    ∀𝑎 ∈ 𝐴    𝑓|! 𝑎 ≔  𝑓 𝑎 .    𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟔:  𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑎  𝑚𝑎𝑝  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝐴,𝐵  𝑎𝑟𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝒳    𝑎𝑛𝑑  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝐶,𝐷  𝑎𝑟𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝒴.      𝑇ℎ𝑒𝑛:  

- 𝑓 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑓 𝐴 ∪ 𝑓 𝐵 ,      - 𝑓 𝐴 ∩ 𝐵 ⊆ 𝑓 𝐴 ∩ 𝑓 𝐵 ,      - 𝑓!! 𝐶 ∪ 𝐷 = 𝑓!! 𝐶 ∪ 𝑓!! 𝐷 , 𝑎𝑛𝑑    - 𝑓!! 𝐶 ∩ 𝐷 = 𝑓!! 𝐶 ∩ 𝑓!! 𝐷 .  

   𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟖:  𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑎  𝑚𝑎𝑝  𝑎𝑛𝑑  𝐵 ⊆ 𝒳,𝐷 ⊆ 𝒴.    𝑇ℎ𝑒𝑛    

- 𝑓 𝒳 \𝑓 𝐵 ⊆ 𝑓 𝒳\𝐵 ,  - 𝑓!! 𝒴\𝐷 = 𝒳\𝑓!! 𝐷 .  

   𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟗:  𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑎  𝑚𝑎𝑝  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝐴,𝐵  𝑎𝑟𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝐶,𝐷    𝑎𝑟𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝒴.    𝑇ℎ𝑒𝑛:  

- 𝑓 𝐴 \𝑓 𝐵 ⊆ 𝑓 𝐴\𝐵 ,  - 𝑓!! 𝐶\𝐷 = 𝑓!!(𝐶)\𝑓!! 𝐷 .  

   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟏𝟕:    𝐴  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒  𝑖𝑓  ∃  𝑎  𝑚𝑎𝑝  𝑔:𝒴 → 𝒳  𝑠. 𝑡  𝑡ℎ𝑒  𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛    𝑔 ∘ 𝑓  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑦  𝑚𝑎𝑝  𝑜𝑓  𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝑡ℎ𝑒  𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛  𝑓 ∘ 𝑔  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑦  𝑚𝑎𝑝  𝑜𝑓  𝒴.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟏𝟖:𝐴  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑏𝑙𝑒 ⇔ 𝑓  𝑖𝑠  𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑖𝑡𝑣𝑒.        𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟑.𝟐𝟎:  𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑎  𝑜𝑛𝑒 − 𝑜𝑛𝑒  𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑜𝑓  𝑠𝑒𝑡𝑠  𝒳𝑎𝑛𝑑  𝒴    𝑎𝑛𝑑  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝒱 ⊆ 𝒳.𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑡ℎ𝑒  𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒  𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒  𝑜𝑓  𝒱  𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟  𝑡ℎ𝑒  𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑒  𝑚𝑎𝑝  𝑓!!:𝒴 → 𝒳  𝑒𝑞𝑢𝑎𝑙𝑠  𝑡ℎ𝑒    𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒  𝑠𝑒𝑡  𝑓 𝒱 .        

   Chapter  4:  Real  Analysis    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏:  𝐴𝑛  𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑  𝑓𝑜𝑟  𝑎  𝑠𝑒𝑡  𝒮 ⊆ ℝ  ,𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒  𝒮 ≠ ∅, 𝑖𝑠  𝑥 ∈ ℝ  𝑠. 𝑡.∀𝑦 ∈ 𝒮, 𝑦 ≤ 𝑥.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏:  𝐴  𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑  𝑓𝑜𝑟  𝑎  𝑠𝑒𝑡  𝒮 ⊆ ℝ  ,𝑤ℎ𝑒𝑟𝑒  𝒮 ≠ ∅, 𝑖𝑠  𝑥 ∈ ℝ  𝑠. 𝑡.∀𝑦 ∈ 𝒮, 𝑦 ≥ 𝑥.        𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟒.𝟐:  𝑇ℎ𝑒  𝑟𝑒𝑎𝑙  𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟  𝑏  𝑖𝑠  𝑎  𝑙𝑒𝑎𝑠𝑡  𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑  𝑜𝑓  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑒𝑡  𝒮 ≠ ∅  𝑖𝑓:  

- 𝑏  𝑖𝑠  𝑎𝑛  𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑,  - 𝑓𝑜𝑟  𝑎𝑛𝑦  𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟  𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑, 𝑏!, 𝑏 ≤ 𝑏!,  

𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑏 = 𝑠𝑢𝑝𝒮.    𝑵𝒐𝒕𝒆: 𝑏 = sup 𝒮  𝑖𝑠  𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒.      𝑳𝒆𝒎𝒎𝒂  𝟏:  𝑏 = 𝑠𝑢𝑝𝒮 ⇔ 𝑏  𝑖𝑠  𝑎𝑛  𝑢𝑝𝑝𝑒𝑟  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑  𝑓𝑜𝑟  𝒮  𝑎𝑛𝑑  ∀𝑎 < 𝑏  ∃𝑥 ∈ 𝒮  𝑠. 𝑡. 𝑎 < 𝑥.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟒.𝟏𝟐:  𝑇ℎ𝑒  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒   𝑠! → 𝑙 ∈ ℝ  𝑖𝑓  ∀𝜖 > 0    ∃𝑁 ∈ ℕ  𝑠. 𝑡. 𝑠! − 𝑙 < 𝜖    ∀𝑛 ≥ 𝑁.  𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑙 = lim

!→!𝑠!.  

   𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟒.𝟏𝟑:    𝐿𝑒𝑡   lim

!→!𝑠! = 𝑙,  𝑡ℎ𝑒𝑛  𝑙  𝑖𝑠  𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒.  

   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟒.𝟏𝟓:    𝐴  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒   𝑠! 𝑖𝑠  𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑖𝑐    

- 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔   𝑛𝑜𝑛𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔  𝑖𝑓  𝑠! ≤ 𝑠!!!  - 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔   𝑛𝑜𝑛𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑎𝑠𝑖𝑛𝑔  𝑖𝑓  𝑠! ≥ 𝑠!!!  .  

   𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎  𝟒.𝟏𝟔:    𝐴𝑛𝑦  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  𝑚𝑜𝑛𝑜𝑡𝑜𝑛𝑖𝑐  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑛𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡.      𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎  𝟒.𝟏𝟗:     𝐵𝑜𝑙𝑧𝑎𝑛𝑜  𝑊𝑒𝑖𝑒𝑟𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠𝑠  𝐹𝑜𝑟  𝑎𝑛𝑦  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑛𝑐𝑒   𝑠! ⊆ ℝ, 𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒  𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠  𝑎𝑡    𝑙𝑒𝑎𝑠𝑡  𝑜𝑛𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒  ((𝑠!!), 𝑘 ∈ ℕ).      Lots  more  theorems  and  definition  covered  in  the  book  that  are  not  in  the  lecture  notes.      

Chapter  5:  Metric  Spaces  and  Open  sets  and  Open  balls.    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏: 𝑓:ℝ → ℝ  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑎𝑡  𝑎 ∈ ℝ  𝑖𝑓  ∀𝜖 > 0  ∃𝛿 𝜖 > 0  𝑠. 𝑡.∀𝑥  𝑖𝑓   𝑥 −  𝑎 < 𝛿    𝑡ℎ𝑒𝑛   𝑓 𝑥 −  𝑓 𝑎 < 𝜖.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏:𝐴  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛  𝑑𝒳:𝒳×𝒳 → ℝ  𝑚𝑢𝑠𝑡  𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑦  𝑡ℎ𝑒  𝑓𝑜𝑙𝑙𝑜𝑤𝑖𝑛𝑔  𝑎𝑥𝑖𝑜𝑚𝑠:  

𝑨𝒙 𝟏 :∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝒳,              𝑑𝒳 𝑥, 𝑦 ≥ 0  𝑤𝑖𝑡ℎ  𝑑𝒳 𝑥, 𝑦 = 0⇔ 𝑥 = 𝑦.   𝑨𝒙 𝟐 :∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝒳,                  𝑑𝒳 𝑥, 𝑦 =  𝑑𝒳 𝑦, 𝑥 .   𝑨𝒙 𝟑 :∀𝑥, 𝑦, 𝑥 ∈ 𝒳,        𝑑𝒳 𝑥, 𝑧 ≤ 𝑑𝒳 𝑥, 𝑦 + 𝑑𝒳 𝑦, 𝑧 .  

   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐:𝐴  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝑎  𝑛𝑜𝑛 − 𝑒𝑚𝑝𝑡𝑦  𝑠𝑒𝑡  𝒳  𝑡𝑜𝑔𝑒𝑡ℎ𝑒𝑟  𝑤𝑖𝑡ℎ  𝑎  𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛    𝑑:𝒳×𝒳 → ℝ  𝑠𝑢𝑐ℎ  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝐴𝑥 1 ,𝐴𝑥 2  𝑎𝑛𝑑  𝐴𝑥 3  ℎ𝑜𝑙𝑑.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟑: 𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒   𝒳,𝑑𝒳 𝑎𝑛𝑑   𝒴,𝑑𝒴 𝑎𝑟𝑒  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠  𝑎𝑛𝑑  𝑙𝑒𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑏𝑒  𝑎  𝑚𝑎𝑝.      𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑓  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑎𝑡  𝑥! ∈ 𝒳  𝑖𝑓  ∀𝜖 > 0    ∃𝛿 > 0    𝑠. 𝑡.    𝑑𝒳 𝑥, 𝑥! < 𝛿 ⟹ 𝑑𝒴 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑥! < 𝜖.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏:𝑇ℎ𝑒  𝑚𝑎𝑝  𝑓  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑖𝑓  𝑓  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑎𝑡  𝑒𝑣𝑒𝑟𝑦  𝑥! ∈ 𝒳.        𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟏𝟕: 𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑓,𝑔:𝒳 → ℝ  𝑎𝑟𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑟𝑒𝑎𝑙  𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒𝑑  𝑓𝑢𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠    𝑜𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒   𝒳,𝑑 .    𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑠𝑜  𝑎𝑟𝑒:  (i) 𝑓  (ii) 𝑓 + 𝑔  (iii) 𝑓 ⋅ 𝑔  (iv) !

!   ;    𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑑𝑒𝑑  𝑔  𝑖𝑠  𝑛𝑒𝑣𝑒𝑟  𝑧𝑒𝑟𝑜  𝑜𝑛  𝒳.  

   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟎:𝑇ℎ𝑒  𝑝𝑟𝑜𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠  𝑝𝒳:𝒳×𝒳 → 𝒳, 𝑎𝑛𝑑  𝑝𝒴:𝒴×𝒴 → 𝒴  𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑  𝑏𝑦  𝑝𝒳 𝑥, 𝑦 = 𝑥    𝑎𝑛𝑑  𝑝𝒴 𝑥, 𝑦 = 𝑦  𝑎𝑟𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟏:𝑇ℎ𝑒  𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙  𝑚𝑎𝑝  𝛥:𝒳 → 𝒳×𝒳  𝑜𝑓  𝑎𝑛𝑦  𝒳  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑚𝑎𝑝  𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑑  𝑏𝑦    𝛥 𝑥 = 𝑥, 𝑥 .      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟑:𝐴  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝒮  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒   𝒳,𝑑  𝑖𝑠  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  𝑖𝑓  ∃𝑥! ∈ 𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝑅 ∈ ℝ  𝑠. 𝑡.    ∀𝑥 ∈ 𝒮, 𝑑𝒳 𝑥!, 𝑥 < 𝑅.    𝑵𝒐𝒕𝒆:∅  𝑖𝑠  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  𝑏𝑦  𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜𝑛.        𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟒: 𝐼𝑓  𝒮  𝑖𝑠  𝑎  𝑛𝑜𝑛𝑒𝑚𝑝𝑡𝑦  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒   𝒳,𝑑𝒳 , 𝑡ℎ𝑒𝑛  𝑡ℎ𝑒    𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟  𝑜𝑓  𝒮  𝑖𝑠:    𝑑𝑖𝑎𝑚𝒮 = sup 𝑑𝒳 𝑥, 𝑦 .    𝑵𝒐𝒕𝒆:𝑑𝑖𝑎𝑚∅ = 0  (𝑏𝑢𝑡  𝑑𝑖𝑎𝑚𝐴 = 0   ⇏ 𝐴 =  ∅.        𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟓: 𝐼𝑓  𝑓: 𝒮 → 𝒳  𝑖𝑠  𝑎  𝑚𝑎𝑝  𝑓𝑟𝑜𝑚  𝑎  𝑠𝑒𝑡  𝒮  𝑡𝑜  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳, 𝑡ℎ𝑒𝑛    𝑓  𝑖𝑠  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  𝑖𝑓  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑓 𝒮  𝑜𝑓  𝒳  𝑖𝑠  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑.        

𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟔: 𝐼𝑓  𝒮!  𝑖𝑠  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑  ∀𝑖 = 1,2,… ,𝑁, 𝑡ℎ𝑒𝑛  𝒮 =   𝒮!

!!!

!!!

 𝑖𝑠  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑒𝑑.  

𝑵𝒐𝒕𝒆:𝑇ℎ𝑖𝑠  𝑑𝑜𝑒𝑠  𝑛𝑜𝑡  ℎ𝑜𝑙𝑑  𝑓𝑜𝑟  𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑒𝑙𝑦  𝑚𝑎𝑛𝑦  𝑠𝑒𝑡𝑠  𝒮.    

   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟐𝟕:𝐹𝑜𝑟  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒   𝒳,𝑑𝒳 , 𝑥! ∈ 𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝑟 ∈ ℝ  𝑤𝑖𝑡ℎ  𝑟 > 0, 𝑎𝑛  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑏𝑎𝑙𝑙,    𝐵, 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑑  𝑎𝑡  𝑥!  𝑤𝑖𝑡ℎ  𝑟𝑎𝑑𝑖𝑢𝑠  𝑟  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑒𝑡    

𝐵! 𝑥! = 𝑥 ∈ 𝒳 ∶ 𝑑𝒳 𝑥, 𝑥! < 𝑟 .          𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟑𝟎: 𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒   𝒳,𝑑𝒳 𝑎𝑛𝑑   𝒴,𝑑𝒴 𝑎𝑟𝑒  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠  𝑎𝑛𝑑  𝑙𝑒𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑏𝑒  𝑎    𝑚𝑎𝑝.    𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑓  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑎𝑡  𝑥! ∈ 𝒳  ⟺ ∀𝜖 > 0    ∃𝛿 > 0  𝑠. 𝑡. 𝑓(𝐵!

!𝒳 𝑥!) ⊆  𝐵!!𝒴 𝑓(𝑥!) .  

   𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟑𝟏:𝐺𝑖𝑣𝑒𝑛  𝑎𝑛  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑏𝑎𝑙𝑙  𝐵! 𝑥  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒   𝒳,𝑑𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝑎  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑦 ∈ 𝐵! 𝑥 ,    ∃𝜖 > 0  𝑠. 𝑡.𝐵! 𝑦 ⊆ 𝐵! 𝑥 .                    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟑𝟐: 𝐿𝑒𝑡   𝒳,𝑑𝒳  𝑏𝑒  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑎𝑛𝑑  𝒰 ⊆ 𝒳.    𝒰  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳  𝑖𝑓  ∀𝑥 ∈ 𝒰    ∃𝜖! > 0  𝑠. 𝑡.𝐵!! 𝑥 ⊆ 𝒰.    𝑵𝒐𝒕𝒆: 𝐼𝑛  𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟  𝑤𝑜𝑟𝑑𝑠, 𝑒𝑣𝑒𝑟𝑦  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑜𝑓  𝒰  𝑐𝑎𝑛  𝑏𝑒  𝑒𝑛𝑐𝑖𝑟𝑐𝑙𝑒𝑑  𝑏𝑦  𝑎𝑛  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑠𝑝ℎ𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑙  𝑛𝑒𝑖𝑔ℎ𝑏𝑜𝑢𝑟ℎ𝑜𝑜𝑑.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟑𝟕: 𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑎  𝑚𝑎𝑝  𝑏𝑒𝑡𝑤𝑒𝑒𝑛  𝑡𝑤𝑜  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠,𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝒴,    𝑎𝑛𝑑  𝒰 ⊆ 𝒴.    𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑓  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  ⟺ 𝑓!! 𝒰 𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳  𝑤ℎ𝑒𝑛𝑒𝑣𝑒𝑟  𝒰  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒴.    𝑵𝒐𝒕𝒆:𝑃𝑟𝑒𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒  𝑜𝑓  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛.    𝑵𝒐𝒕𝒆: 𝑓  𝑚𝑎𝑦  𝑏𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑎𝑛𝑑  𝑉  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑏𝑢𝑡  𝑓 𝑉  𝑖𝑠  𝑛𝑜𝑡  𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑟𝑖𝑙𝑦  𝑜𝑝𝑒𝑛.      

𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟑𝟗:    𝐼𝑓  𝒰!,𝒰!,… ,𝒰!  𝑎𝑟𝑒  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑡ℎ𝑒𝑛  𝑠𝑜  𝑖𝑠   𝒰!

!

!!!

.  

 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟓.𝟒𝟏:    𝑇ℎ𝑒  𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛  𝑜𝑓  𝑎𝑛𝑦  𝑐𝑜𝑙𝑙𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛  𝑜𝑓  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳.      

Chapter  6:  Metric  Spaces  and  Closed  Sets,  Closure  and  Limit  Points    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏:    𝐴  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝒱  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝒳  𝑖𝑓  𝒳\𝒱  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟒:    𝐴𝑛𝑦  𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛  𝑜𝑓  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟓:    𝐹𝑜𝑟  𝑎𝑛𝑦  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳, 𝑡ℎ𝑒  𝑒𝑚𝑝𝑡𝑦  𝑠𝑒𝑡  ∅  𝑎𝑛𝑑  𝑡ℎ𝑒  𝑤ℎ𝑜𝑙𝑒  𝑠𝑒𝑡  𝒳  𝑎𝑟𝑒  𝑏𝑜𝑡ℎ  𝑜𝑝𝑒𝑛    𝑎𝑛𝑑  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟔:    𝐿𝑒𝑡  𝒳,𝒴  𝑏𝑒  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠  𝑎𝑛𝑑  𝑙𝑒𝑡  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑏𝑒  𝑎  𝑚𝑎𝑝.    𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑓  𝑖𝑠    𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠 ⇔ 𝑓!! 𝑉  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝒳  𝑤ℎ𝑒𝑛𝑒𝑣𝑒𝑟  𝑉  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝑌.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟕:    𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝐴  𝑖𝑠  𝑎  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳, 𝑎𝑛𝑑  𝑥 ∈ 𝒳.      𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑥  𝑖𝑠  𝑎  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑜𝑓  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑢𝑟𝑒  𝑜𝑓  𝐴  𝑖𝑛  𝒳  𝑖𝑓  ∀𝜖 > 0  ,𝐵! 𝑥 ∩ 𝐴 ≠ ∅.    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏:    𝑇ℎ𝑒  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑢𝑟𝑒  𝐴  𝑜𝑓  𝐴 ⊆ 𝒳, 𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝑎𝑙𝑙  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑢𝑟𝑒  𝑜𝑓  𝐴  𝑖𝑛  𝒳.        𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟗:    𝐴  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝐴  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑠𝑎𝑖𝑑  𝑡𝑜  𝑏𝑒  𝑑𝑒𝑛𝑠𝑒  𝑖𝑛  𝒳  𝑖𝑓  𝐴 = 𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟏:    𝐿𝑒𝑡  𝐴,𝐵  𝑏𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳.𝑇ℎ𝑒𝑛,  (a) 𝐴 ⊆ 𝐴;  (b) 𝐴 ⊆ 𝐵⟹  𝐴 ⊆ 𝐵;  (c) 𝐴  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝒳 ⟺ 𝐴 = 𝐴;  (d) 𝐴   = 𝐴;  (e) 𝐴  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝒳;  (f) 𝐴  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑚𝑎𝑙𝑙𝑒𝑠𝑡  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝒳  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑛𝑖𝑛𝑔  𝐴.  

   𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟐:𝐴  𝑚𝑎𝑝  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑜𝑓  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒𝑠  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠⟺ 𝑓 𝐴 ⊆ 𝑓 𝐴      ∀𝐴 ⊆ 𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟑: 𝐿𝑒𝑡  𝐴!,𝐴!,… ,𝐴!  𝑏𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳.    𝑇ℎ𝑒𝑛  

𝐴!

!

!!!

=   𝐴!

!

!!!

.  

 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟒: 𝐿𝑒𝑡  𝐴!  𝑏𝑒  𝑎  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑓𝑜𝑟  𝑒𝑎𝑐ℎ  𝑖  𝑖𝑛  𝑎𝑛  𝑖𝑛𝑑𝑒𝑥𝑖𝑛𝑔  𝑠𝑒𝑡  𝐼.    𝑇ℎ𝑒𝑛  

𝐴!!∈!

⊆   𝐴! .!∈!

 

 𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟓:𝐴  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑥  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑠𝑎𝑖𝑑  𝑡𝑜  𝑏𝑒  𝑎  𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑜𝑓  𝑎  𝑠𝑒𝑡  𝐴 ⊆ 𝒳  𝑖𝑓,    ∀𝜖 > 0  𝑡ℎ𝑒𝑟𝑒  𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑠  𝑎  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑖𝑛  𝐵! 𝑥 ∩ 𝐴  𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟  𝑡ℎ𝑎𝑛  𝑥  𝑖𝑡𝑠𝑒𝑙𝑓, 𝑖. 𝑒. (𝐵! 𝑥 \{𝑥}) ∩ 𝐴 ≠ ∅.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟕:𝐴  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝐴 ⊆ 𝒳  𝑖𝑠  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑 ⇔ 𝑖𝑡  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑛𝑠  𝑎𝑙𝑙  𝑖𝑡𝑠  𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠  𝑖𝑛  𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟖: 𝐿𝑒𝑡  𝐴 ⊆ 𝒳.    𝑇ℎ𝑒𝑛  𝐴  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑢𝑛𝑖𝑜𝑛  𝑜𝑓  𝐴  𝑤𝑖𝑡ℎ  𝑎𝑙𝑙  𝑖𝑡𝑠  𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠  𝑖𝑛  𝒳.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟏𝟗:𝑇ℎ𝑒  𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟, 𝑖𝑛𝑡 𝐴 , 𝑜𝑓  𝑎  𝑠𝑒𝑡  𝐴 ⊆ 𝒳  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠  𝑎 ∈ 𝐴  𝑠𝑢𝑐ℎ  𝑡ℎ𝑎𝑡    

𝐵! 𝑥 ⊆ 𝐴  𝑓𝑜𝑟  𝑠𝑜𝑚𝑒  𝜖 > 0.        𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟏:    𝐿𝑒𝑡  𝐴,𝐵  𝑏𝑒  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳.𝑇ℎ𝑒𝑛,  (a) 𝑖𝑛𝑡(𝐴) ⊆ 𝐴;  (b) 𝐴 ⊆ 𝐵⟹  𝑖𝑛𝑡(𝐴) ⊆ 𝑖𝑛𝑡(𝐵);  (c) 𝐴  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳 ⟺ 𝑖𝑛𝑡(𝐴) = 𝐴;  (d) 𝑖𝑛𝑡(𝑖𝑛𝑡 𝐴 ) = 𝑖𝑛𝑡(𝐴);  (e) 𝑖𝑛𝑡(𝐴)  𝑖𝑠  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳;  (f) 𝑖𝑛𝑡 𝐴 𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑙𝑎𝑟𝑔𝑒𝑠𝑡  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝒳  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎𝑖𝑛𝑒𝑑  𝑖𝑛  𝐴.  

   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟐:𝑇ℎ𝑒  𝑏𝑜𝑢𝑛𝑑𝑎𝑟𝑦  𝜕𝐴  𝑜𝑓  𝑎  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝐴  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑡ℎ𝑒  𝑠𝑒𝑡  𝐴∫ 𝐴 .      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟒:𝐹𝑜𝑟  𝑎  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝐴 ⊆ 𝒳, 𝑎  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑥 ∈ 𝒳  𝑖𝑠  𝑖𝑛  𝜕𝐴⇔ ∀𝜖 > 0  𝑏𝑜𝑡ℎ  𝐴 ∩ 𝐵! 𝑥    𝑎𝑛𝑑   𝒳\𝐴 ∩ 𝐵! 𝑥  𝑎𝑟𝑒  𝑛𝑜𝑛𝑒𝑚𝑝𝑡𝑦.            Convergence  in  Metric  Spaces    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟓:  𝐴  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒   𝑥!  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠  𝑡𝑜  𝑎  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑥 ∈ 𝒳  𝑖𝑓  ∀𝜖 > 0  ∃𝑁  𝑠. 𝑡. 𝑥! ∈ 𝐵! 𝑥  𝑤ℎ𝑒𝑛𝑒𝑣𝑒𝑟  𝑛 ≥ 𝑁.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟔:𝐴  𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡  𝑜𝑓  𝑎  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑖𝑠  𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒.      𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟕:𝐴  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒   𝑥!  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒   𝒳,𝑑  𝑖𝑠  𝑎  𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑖𝑓  ∀𝜖 > 0  ∃𝑁 ∈ ℕ  𝑠. 𝑡.𝑑 𝑥!, 𝑥! < 𝜖  𝑤ℎ𝑒𝑛𝑒𝑣𝑒𝑟  𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟖:𝐴𝑛𝑦  𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑖𝑛  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑖𝑠  𝐶𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟔.𝟐𝟗: 𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝑌 ⊆ 𝒳  𝑎𝑛𝑑   𝑦!  𝑖𝑠  𝑎  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑖𝑛  𝑌  𝑤ℎ𝑖𝑐ℎ  𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑠  𝑡𝑜  𝑎  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡  𝑎 ∈ 𝒳.    𝑇ℎ𝑒𝑛  𝑎 ∈ 𝑌.      𝑪𝒐𝒓𝒐𝒍𝒍𝒂𝒓𝒚  𝟔.𝟑𝟎: 𝐼𝑓  𝑌  𝑖𝑠  𝑎  𝑐𝑙𝑜𝑠𝑒𝑑  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡  𝑜𝑓  𝑎  𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑎𝑛𝑑   𝑦! 𝑖𝑠  𝑎  𝑠𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑜𝑓  𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠    𝑖𝑛  𝑌  𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑖𝑛𝑔  𝑡𝑜  𝑎 ∈ 𝒳  𝑡ℎ𝑒𝑛  𝑎 ∈ 𝑌.        

Chapter  12:  Connected  Spaces    𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟏𝟐.𝟐:𝐴  𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛   𝐴,𝐵  𝑜𝑓  𝑎  𝑡𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑙  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝒳  𝑖𝑠  𝑎  𝑝𝑎𝑖𝑟  𝑜𝑓  𝑛𝑜𝑛𝑒𝑚𝑝𝑡𝑦  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑒𝑡𝑠  𝐴,𝐵  𝑜𝑓    𝒳  𝑠𝑢𝑐ℎ  𝑡ℎ𝑎𝑡  𝒳 = 𝐴 ∪ 𝐵,𝐴 ∩ 𝐵 ≠ ∅, 𝑎𝑛𝑑  𝑏𝑜𝑡ℎ  𝐴  𝑎𝑛𝑑  𝐵  𝑎𝑟𝑒  𝑜𝑝𝑒𝑛  𝑖𝑛  𝒳.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟏𝟐.𝟑:𝐴  𝑡𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑙  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 ⇔ 𝑖𝑡  𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑠  𝑛𝑜  𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛.      𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎  𝟏𝟐.𝟖,𝟏𝟎:𝐴𝑛𝑦  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑  𝑠𝑢𝑏𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑆 ⊆ ℝ  𝑖𝑠  𝑎𝑛  𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙, 𝑎𝑛𝑑  ℎ𝑒𝑛𝑐𝑒  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟏𝟐.𝟏𝟏: 𝐼𝑓  𝑓:𝒳 → 𝒴  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑎𝑛𝑑  𝒳  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑  𝑡ℎ𝑒𝑛  𝑓 𝒳  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑.      𝑻𝒉𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎  𝟏𝟐.𝟏𝟖:𝑇ℎ𝑒  𝑡𝑜𝑝𝑜𝑙𝑜𝑔𝑖𝑐𝑎𝑙  𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡  𝒳×𝒴  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 ⇔ 𝒳  𝑎𝑛𝑑  𝒴  𝑎𝑟𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑.      𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏  𝟏𝟐.𝟐𝟑:𝐴𝑛𝑦  𝑝𝑎𝑡ℎ  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑  𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  𝑖𝑠  𝑐𝑜𝑛𝑛𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑.