Universidade de Tufts
Universidade de Michigan
Tradução Técnica Helena Castro
Professora Doutora do Instituto de Matemática e Estatística da
Universidade de São Paulo — IMEUSP
Versão impressa
Métodos Numéricos para Engenharia Tradução da Quinta Edição ISBN
978-85-86804-87-8
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Tradução da quinta edição em inglês de Numerical Methods for
Engineers, publicada pela McGraw-Hill, uma unidade de
negócios da McGraw-Hill Companies Inc., 1221 Avenue of the
Americas, New York, NY, 10020.
© 2006 by McGraw-Hill Companies, Inc.
Edições publicadas anteriormente sob o título Numerical
Methods for Engineers: With Software and
Programming Applications.
ISBN: 0-07-291873-X
Produção Editorial: Nilcéia Esposito
Preparação de Texto: Marcos Soel e Maria Alice da Costa Design
de Capa: Ron Bissell Ilustração de Capa: © Jack Novak/
SuperStock
Diagramação: ERJ Composição Editorial e Artes Gráficas
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você. Em Portugal use o endereço
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C467m Chapra, Steven C.
eletrônico] / Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ;
tradução técnica: Helena Castro. 5. ed. Dados
eletrônicos. Porto Alegre : AMGH, 2011.
Publicado também como livro impresso em 2008.
ISBN 978-85-8055-011-5
P. II. Título.
SOBRE OS AUTORES xxi
PARTE UM MODELAGEM, PT1.1 Motivação 2 COMPUTADORES, E PT1.2
Fundamentos Matemáticos 4
ANÁLISE DE ERROS 1 PT1.3 Orientação 6
CAPÍTULO 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de
Engenharia 9 1.1 Um Modelo Matemático Simples 9 1.2 Leis de
Conservação e Engenharia 15 Problemas 18
CAPÍTULO 2 Programação e Software 21
2.1 Pacotes e Programação 21 2.2 Programação Estruturada 22 2.3
Programação Modular 30 2.4 Excel 31 2.5 MATLAB 35 2.6 Outras
Linguagens e Bibliotecas 38 Problemas 39
CAPÍTULO 3 Aproximações e Erros de Arredondamento 43 3.1
Algarismos Significativos 41 3.2 Exatidão e Precisão 45 3.3
Definições de Erros 46 3.4 Erros de Arredondamento 49 Problemas
62
CAPÍTULO 4 Erros de Truncamento e Séries de Taylor 63
4.1 A Série de Taylor 63 4.2 Propagação de Erros 77 4.3 Erro
Numérico Total 81 4.4 Enganos, Erros de Formulação e Incerteza nos
dados 82 Problemas 83
vii
EPÍLOGO: PARTE UM 86 PT1.4 Prós e Contras 86 PT1.5 Relações e
Fórmulas Importantes 89 PT1.6 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 89
PARTE DOIS RAÍZES DE PT 2.1 Motivação 92 EQUAÇÕES 92 PT 2.2
Fundamentos Matemáticos 94
PT 2.3 Orientação 95
CAPÍTULO 5 Métodos que Isolam a Raiz em Intervalos 98
5.1 Métodos Gráficos 98 5.2 Método da Bisecção 101 5.3 O Método da
Falsa Posição 108 5.4 Buscas Incrementais e Determinação de
Aproximações Iniciais 113 Problemas 114
CAPÍTULO 6 Métodos Abertos 116 6.1 Iteração de Ponto Fixo Simples
116 6.2 O Método de Newton-Raphson 121 6.3 O Método da Secante 125
6.4 Raízes Múltiplas 130 6.5 Sistemas de Equações Não Lineares 132
Problemas 136
CAPÍTULO 7 Raízes de Polinômios 138
7.1 Polinômios na Engenharia e Ciência 138 7.2 Cálculos
Computacionais com Polinômios 140 7.3 Métodos Convencionais 143 7.4
O Método de Miller 144 7.5 O Método de Bairstow 147 7.6 Outros
Métodos 152 7.7 Localização de Raízes com Bibliotecas e Pacotes 152
Problemas 160
CAPÍTULO 8 Estudos de Caso: Raízes de Equações 162
8.1 Leis dos Gases Ideais e Não-Ideais (Engenharia Química e
Bioquímica) 162 8.2 Escoamento de Canal Aberto (Engenharia
Civil/Ambiental) 164 8.3 Projeto de um Circuito Elétrico 168 8.4
Análise de Vibração (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 170
Problemas 175
EPÍLOGO: PARTE DOIS 184 PT2.4 Prós e Contras 184 PT2.5 Relações e
Fórmulas Importantes 185 PT2.6 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 185
PARTE TRÊS EQUAÇÕES PT3.1 Motivação 188
ALGÉBRICAS PT3.2 Fundamentos Matemáticos 190 LINEARES 188
PT3.3 Orientação 196
viii SUMÁRIO
SUMÁRIO ix
CAPÍTULO 9 Eliminação de Gauss 199 9.1 Resolução de um Número
Pequeno de Equações 199 9.2 Eliminação de Gauss Ingênua 205 9.3
Armadilhas nos Métodos de Eliminação 211 9.4 Técnicas para Melhorar
Soluções 215 9.5 Sistemas Complexos 221 9.6 Sistemas de Equações
Não-Lineares 222 9.7 Gauss-Jordan 223 9.8 Resumo 225 Problemas
225
CAPÍTULO 10 Decomposição LU e Inversão de Matrizes 228 10.1
Decomposição LU 228 10.2 A Matriz Inversa 236 10.3 Análise de
Erro e Condicionamento do Sistema 239 Problemas 244
CAPÍTULO 11 Matrizes Especiais e Gauss-Seidel 246
11.1 Matrizes Especiais 246 11.2 Gauss-Seidel 250 11.3 Equações
Algébricas Lineares com Bibliotecas e Pacotes 256 Problemas
262
CAPÍTULO 12 Estudos de Caso: Equações Algébricas Lineares 264 12.1
Análise do Estado Estacionário de um Sistema de Reatores
(Engenharia Química/ Bioengenharia) 264 12.2 Análise de uma Treliça
Estaticamente Determinada
(Engenharia Civil/Ambiental) 267 12.3 Correntes e Voltagens em
Circuitos Resistores (Engenharia Elétrica) 269 12.4 Sistemas
Massa/Mola (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 271 Problemas
273
EPÍLOGO: PARTE TRÊS 282 PT3.4 Prós e Contras 282 PT3.5 Relações e
Fórmulas Importantes 283 PT3.6 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 283
PARTE QUATRO OTIMIZAÇÃO 285 PT4.1 Motivação 286
PT4.2 Fundamentos Matemáticos 290 PT4.3 Orientação 292
CAPÍTULO 13 Otimização Unidimensional sem Restrições 294
13.1 Busca da Razão Áurea 295 13.2 Interpolação Quadrática 300 13.3
O Método de Newton 302 Problemas 304
CAPÍTULO 15 Otimização Restrições 323 15.1 Programação Linear 323
15.2 Otimização com Restrições Não-lineares 332 15.3 Otimização com
Pacotes 333 Problemas 343
CAPÍTULO 16 Estudos de Caso: Otimização 345
16.1 Projeto de Menor Custo de um Tanque (Engenharia
Química/Bioengenharia) 345 16.2 Tratamento de Baixo Custo para
Dejetos Líquidos (Engenharia Civil/Ambiental) 349 16.3 Potência
Máxima Transferida para um Circuito (Engenharia Elétrica) 353 16.4
Projeto de Montain Bike (Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 356
Problemas 358
EPÍLOGO: PARTE QUATRO 363 PT4.4 Prós e Contras 363 PT4.5
Referências Adicionais 364
PARTE CINCO AJUSTE DE PT5.1 Motivação 366 CURVAS 366 PT5.2
Fundamentos Matemáticos 368
PT5.3 Orientação 376
CAPÍTULO 17 Regressão por Mínimos Quadrados 379 17.1 Regressão
Linear 379 17.2 Regressão Polinomial 393 17.3 Regressão Linear
Múltipla 396 17.4 Mínimos Quadrados Linear Geral 398 17.5 Regressão
Não Linear 403 Problemas 406
CAPÍTULO 18 Interpolação 409 18.1 Polinômios Interpoladores por
Diferenças Divididas de Newton 409 18.2 Polinômios Interpoladores
de Lagrange 419 18.3 Coeficientes de um Polinômio Interpolador 423
18.4 Interpolação Inversa 424 18.5 Comentários Adicionais 425 18.6
Interpolação por Splines 426 Problemas 436
CAPÍTULO 19 Aproximação de Fourier 438
19.1 Ajuste de Curvas com Funções Senoidais 439 19.2 Série de
Fourier Contínua 444 19.3 Domínios de Freqüência e Tempo 447 19.4
Integral e Transformada de Fourier 450 19.5 Transformada de Fourier
Discreta (TFD) 452 19.6 Transformada Rápida de Fourier (FFT) 454
19.7 O Espectro de Potência 459
x SUMÁRIO
SUMÁRIO xi
19.8 Ajuste de Curvas com Bibliotecas e Pacotes 460 Problemas
467
CAPÍTULO 20 Estudos de Caso: Ajuste de Curvas 470 20.1 Regressão
Linear e Modelos Populacionais
(Engenharia Química/Bioengenharia) 470 20.2 Uso de Splines para
Estimar Transferência de Calor
(Engenharia Civil/Ambiental) 473 20.3 Análise de Fourier
(Engenharia Elétrica) 475 20.4 Análise de Dados Experimentais
(Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 476 Problemas 477
EPÍLOGO: PARTE CINCO 486 PT5.4 Prós e Contras 486 PT5.5 Relações e
Fórmulas Importantes 487 PT5.6 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 489
PARTE SEIS INTEGRAÇÃO PT 6.1 Motivação 491 DERIVAÇÃO PT 6.2
Fundamentos Matemáticos 499 NUMÉRICAS 491 PT 6.3 Orientação
501
CAPÍTULO 21 Fórmulas de Integração de Newton-Cotes 504
21.1 A Regra do Trapézio 505 21.2 Regras de Simpson 513 21.3
Integração com Segmentos Desiguais 521 21.4 Fórmulas de Integração
Abertas 524 21.5 Integrais Múltiplas 524 Problemas 526
CAPÍTULO 22 Integração de Equações 528 22.1 Algoritmos de
Newton-Cotes para Equações 528 22.2 Integração de Romberg 530 22.3
Quadratura de Gauss 534 22.4 Integrais Impróprias 540 Problemas
543
CAPÍTULO 23 Derivação Numérica 545
23.1 Fórmulas de Derivação de Alta Precisão 545 23.2 Extrapolação
de Richardson 548 23.3 Derivadas de Dados Desigualmente Espaçados
549 23.4 Derivadas e Integrais para Dados com Erros 550 23.5
Integração e Derivação Numéricas com Bibliotecas e Pacotes 551
Problemas 554
CAPÍTULO 24 Estudos de Caso: Integração e Derivação Numéricas 545
24.1 Integração para Determinar a Quantidade Total de Calor
(Engenharia
Química/Bioengenharia) 545 24.2 Força Efetiva no Mastro de um
Veleiro de Corrida
(Engenharia Civil/Ambiental) 559 24.3 Corrente Eficaz por
Integração Numérica (Engenharia Elétrica) 561
Problemas 566
EPÍLOGO: PARTE SEIS 575 PT6.4 Prós e Contras 575 PT6.5 Relações e
Fórmulas Importantes 576 PT6.6 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 576
PARTE SETE EQUAÇÕES PT7.1 Motivação 578 DIFERENCIAIS PT7.2
Fundamentos Matemáticos 582 ORDINÁRIAS 578 PT7.3 Orientação
584
CAPÍTULO 25 Métodos Runge-Kutta 587
25.1 Método de Euler 588 25.2 Melhorias no Método de Euler 597 25.3
Métodos de Runge-Kutta 604 25.4 Sistemas de Equações 612 25.5
Métodos de Runge-Kutta Adaptativos 617 Problemas 623
CAPÍTULO 26 Rigidez e Métodos de Passo Mútiplo 625 26.1 Rigidez 625
26.2 Métodos de Passo Múltiplo 628 Problemas 646
CAPÍTULO 27 Problemas de Contorno e de Autovalor 648
27.1 Métodos Gerais para Problemas de Contorno 649 27.2 Problemas
de Autovalor 654 27.3 EDOs e Autovalores com Bibliotecas e Pacotes
664 Problemas 670
CAPÍTULO 28 Estudos de Caso: Equações Diferenciais Ordinárias 673
28.1 Usando EDOs para Analisar a Resposta Transiente de um
Reator
(Engenharia Química/Bioengenharia) 673 28.2 Modelos Predador-Presa
e Caos (Engenharia Civil/Ambiental) 788 28.3 Simulando Correntes
Transientes para um Circuito Elétrico
(Engenharia Elétrica) 682 28.4 O Pêndulo Oscilante (Engenharia
Mecânica/Aeroespacial) 686 Problemas 689
EPÍLOGO: PARTE SETE 695 PT7.4 Prós e Contras 695 PT7.5 Relações e
Fórmulas Importantes 696 PT7.6 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 696
PARTE OITO EQUAÇÕES PT8.1 Motivação 699 DIFERENCIAIS PT8.2
Orientação 702 PARCIAIS 699
xii SUMÁRIO
SUMÁRIO xiii
CAPÍTULO 29 Diferenças Finitas: Equações Elípticas 705 29.1 A
Equação de Laplace 705 29.2 Técnicas de Solução 707 29.3 Condições
de Contorno 712 29.4 A Abordagem por Volume de Controle 717 29.5
Software para Resolver Equações Elípticas 720 Problemas 721
CAPÍTULO 30 Diferenças Finitas: Equações Parabólicas 722
30.1 A Equação de Condução do Calor 722 30.2 Métodos Explícitos 723
30.3 Um Método Implícito Simples 726 30.4 O Método de
Crank-Nicolson 730 30.5 Equações Parabólicas em Duas Dimensões
Espaciais 732 Problemas 735
CAPÍTULO 31 Método dos Elementos Finitos 736
31.1 A Abordagem Geral 737 31.2 Aplicação de Elementos Finitos em
uma Dimensão Um 740 31.3 Problemas Bidimensionais 748 31.4
Resolvendo EDPs com Bibliotecas e Pacotes 751 Problemas 756
CAPÍTULO 32 Estudos de Caso: Equações Diferenciais Parciais 758
32.1 Balanço de Massa Unidimensional de um Reator
(Engenharia Química/Bioengenharia) 758 32.2 Deflexões em uma Placa
(Engenharia Civil/Ambiental) 762 32.3 Problemas de Campo
Eletrostáticos Bidimensionais (Engenharia Elétrica) 763 32.4
Solução por Elementos Finitos de uma Série de Molas
(Engenharia Mecânica/Aeroespacial) 766 Problemas 769
EPÍLOGO: PARTE OITO 771 PT 8.3 Prós e Contras 771 PT 8.4 Relações e
Fórmulas Importantes 771 PT 8.5 Métodos Avançados e Referências
Adicionais 772
APÊNDICE A: A SÉRIE DE FOURIER 773
APÊNDICE B: INICIAÇÃO AO MATLAB 774
BIBLIOGRAFIA 781
PREFÁCIO
Já se passaram 20 anos desde a publicação da primeira edição deste
livro. Nesse período,
nossa asserção de que os métodos numéricos e os computadores
figurariam mais proemi-
nentemente nos currículos de engenharia — particularmente em seus
primeiros anos —
se tornou dramaticamente verdadeira. Muitas universidades agora
oferecem cursos tanto
em introdução à computação quanto de métodos numéricos em seus
primeiros três anos.
Além disso, muitos de nossos colegas estão integrando problemas
orientados para o com-
putador em outros cursos em todos os níveis do currículo. Logo,
esta nova edição ainda
está fundamentada na premissa básica de que é preciso oferecer aos
estudantes de enge-
nharia uma introdução forte e o mais cedo possível aos métodos
numéricos. Conseqüen-
temente, embora tenhamos expandido nossa cobertura nesta nova
edição, tentamos man-
ter muitas das características que tornaram a primeira edição
acessível a estudantes tanto
do início quanto do final da graduação. Elas incluem:
• Orientação para problemas. Os estudantes de engenharia aprendem
melhor
quando motivados por problemas. Isso é particularmente verdadeiro
para matemá-
tica e computação. Então, adotamos uma abordagem de uma perspectiva
de reso-
lução de problemas.
• Pedagogia Orientada para o Estudante. Desenvolvemos diversas
características para
tornar este livro tão amigável ao estudante quanto possível. Elas
incluem a organização
geral, o uso das introduções e dos epílogos para consolidar os
tópicos principais e o uso
extensivo de exemplos trabalhados e estudos de casos de todas as
áreas da engenharia.
Tentamos também manter nossas explicações simples e orientadas para
a prática.
• Abordagem por “Caixas Transparentes”. Embora enfatizemos a
resolução de pro-
blemas, acreditamos que é autolimitante para os engenheiros abordar
os algoritmos
numéricos como “caixas pretas”. Assim, incluímos teoria suficiente
para permitir que
os usuários entendam os conceitos básicos por trás dos métodos. Em
particular, enfa-
tizamos a teoria relacionada à análise de erros, as limitações
desses métodos e os prós
e contras entre os métodos.
• Orientação para Computadores Pessoais. Inicialmente, quando
escrevemos este
livro, existia um grande abismo entre o mundo batch dos
computadores de grande
porte e o mundo interativo dos PCs. Hoje em dia, conforme o
desempenho dos PCs
aumenta, essa distinção está desaparecendo. Dito isso, este livro
ainda enfatiza as vi-
sualizações e os cálculos iterativos, que são os marcos dos
computadores pessoais.
• Capacitação dos Estudantes. Obviamente, introduzimos os
estudantes aos recursos-
padrão, prontos para o uso, de pacotes como o Excel e o software
MATLAB. Entre-
tanto, também é mostrado aos estudantes como desenvolver programas
simples, bem
estruturados, para estender os recursos básicos desses ambientes.
Esse conhecimento
se transporta para linguagens de programação padrão como Visual
Basic, Fortran 90
e C/C++. Acreditamos que a fuga da programação de computadores
representa um
pouco de uma queda nos currículos de engenharia. O ponto principal
é que, enquanto
os engenheiros não estiverem satisfeitos em ficar limitados pelas
ferramentas, preci-
sarão escrever códigos. Só que agora eles podem ser chamados de
“macros” ou
“M-files”. Este livro é projetado para capacitá-los a fazer
isso.
xv
Além desses cinco princípios originais, a principal melhoria da
quinta edição é uma
grande revisão e expansão dos conjuntos de problemas dos finais dos
capítulos. A maio-
ria dos problemas foi modificada, de modo que fornecem soluções
numéricas diferentes
das edições anteriores. Além disso, diversos novos problemas foram
incluídos. Como nas
edições anteriores, incluímos tanto problemas matemáticos quanto
aplicados de todos os
ramos da engenharia. Em todos os casos, nosso propósito é fornecer
aos estudantes exer-
cícios para verificarem seu entendimento e para ilustrar como os
métodos numéricos
podem ajudá-los a resolver problemas mais eficientemente.
Como sempre, nossa principal intenção ao escrever este livro é
fornecer aos estu-
dantes uma sólida introdução aos métodos numéricos. Acreditamos que
os estudantes
motivados que apreciem os métodos numéricos, a computação e a
matemática irão, no
final, tornar-se melhores engenheiros. Se nosso livro estimular um
entusiasmo por esses
assuntos, consideraremos nossos esforços um sucesso.
Agradecimentos. Gostaríamos de agradecer a nossos amigos na
McGraw-Hill. Em
particular, Amanda Green, Suzanne Jeans e Peggy Selle, que
forneceram uma atmosfera
positiva e de apoio para a criação desta edição. Como sempre,
Beatrice Sussman fez um
excelente trabalho na edição do manuscrito e Michael Ryder fez
importantes con-
tribuições durante a produção do livro. Agradecimentos especiais
aos professores Wally
Grant, Olga Pierrakos, Amber Phillips, Justin Griffee e Kevin Mace
(Virginia Tech) e à
professora Theresa Good (Texas A&M), que contribuiu com
problemas para nosso livro
ao longo dos anos. Como nas edições passadas, David Clough
(Universidade do Co-
lorado) e Jerry Stedinger (Universidade de Cornell) generosamente
compartilharam seu
discernimento e suas sugestões. Sugestões úteis também foram feitas
por Bill Philpot
(Universidade de Cornell), Jim Guilkey (Universidade de Utah),
Dong-Il Seo (Universi-
dade Nacional de Chungnam, Coréia) e Raymundo Cordero e Karim Muci
(ITESM, Mé-
xico). A presente edição também se beneficiou das revisões e
sugestões fornecidas pelos
seguintes colegas:
Betty Barr, University of Houston
Florin Bobaru, University of Nebraska–Lincoln
Ken W. Bosworth, Idaho State University
Anthony Cahill, Texas A&M University
Raymond C. Y. Chin, Indiana University–Purdue, Indianapolis
Jason Clark, University of California, Berkeley
John Collings, University of North Dakota
Ayodeji Demuren, Old Dominion University
Cassiano R. E. de Oliveira, Georgia Institute of Technology
Subhadeep Gan, University of Cincinnati
Aaron S. Goldstein, Virginia Polytechnic Institute and State
University
Gregory L. Griffin, Louisiana State University
Walter Haisler, Texas A&M University
Don Hardcastle, Baylor University
David J. Horntrop, New Jersey Institute of Technology
Tribikram Kundu, University of Arizona
Hysuk Lee, Clemson University
Jeffrey S. Marshall, University of Iowa
George Novacky, University of Pittsburgh
Dmitry Pelinovsky, McMaster University
Greg P. Semeraro, Rochester Institute of Technology
Jerry Sergent, Faifield University
xvi PREFÁCIO
Kumar Vemaganti, University of Cincinnati
Peter Wolfe, University of Maryland
Yale Yurttas, Texas A&M University
Nader Zamani, University of Windsor
Viktoria Zoltay, Tufts University
Devemos enfatizar que, embora tenhamos recebido sugestões úteis das
pessoas men-
cionadas, somos responsáveis por quaisquer imprecisões ou erros que
possam ser detec-
tados nesta edição. Por favor, contate Steve Chapra por e-mail se
detectar algum erro.
Finalmente, gostaríamos de agradecer a nossa família, amigos e
estudantes por sua
paciência e seu apoio permanentes. Em particular, Cyntia Chapra e
Claire Canale estão
sempre lá, fornecendo compreensão, perspectiva e amor.
Steven C. Chapra
informações unificadoras nos elementos Motivação,
Fundamentos Matemáticos, Orientação e Epílogo.
Todos os capítulos contêm problemas para casa
novos e revisados. Oitenta por cento dos problemas
são novos ou revisados. No texto, são incluídos
problemas desafiadores tirados de todas as
disciplinas de engenharia.
são dedicados à implementação de métodos
numéricos com o Excel da Microsoft e o software
MATLAB do The MathWorks, Inc.
PT 3.1
Orientação
Equações Algébricas Lineares
PT 3.6 Métodos
11.2 Gauss- Seidel
11.1 Matrizes especiais
Matrizes
10.3 Condicionamento
do sistema
18.6.4 Algoritmo Computacional para Splines Cúbicos
O método para calcular splines cúbicos delineados na seção anterior
é ideal para imple-
mentação computacional. Lembre-se de que, por algumas manipulações
engenhosas, o
método reduziu o problema à resolução de n − 1 equações
simultâneas. Um benefício
adicional da dedução é que, como especificado pela Equação (18.37),
o sistema de
equações é tridiagonal. Como descrito na Seção 11.1, estão
disponíveis algoritmos para
resolver tais sistemas de maneira extremamente eficiente. A Figura
18.18 esboça um es-
quema computacional que incorpora essas características.
Observe que a rotina na Figura 18.18 retorna um único valor
interpolado, yu, para
um dado valor da variável independente xu. Essa é apenas uma
das formas como a inter-
polação por splines pode ser implementada. Por exemplo, você
poderia querer determinar
os coeficientes uma única vez e então fazer muitas interpolações.
Além disso, a rotina re-
torna tanto a primeira (dy) quanto a segunda (dy2)derivadas
em xu. Embora não seja
necessário calcular essas quantidades, elas se mostram úteis em
muitas aplicações de in-
terpolação por splines.
PROBLEMAS
18.1 Faça uma estimativa do logaritmo comum de 10 usando
inter-
polação linear.
(a) Interpole entrelog 8 0,9030900e log12 1,0791812.
(b) Interpole entre log 9 0,9542425 e log 11 1,0413927. Para
cada interpolação, calcule o erro relativo percentual baseado
no
valor verdadeiro.
18.2 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 2o grau
para
fazer uma estimativa de log 10 usando os dados do Problema
18.1
em x 8, 9 e 11. Calcule o erro relativo percentual
verdadeiro.
18.3 Ajuste um polinômio interpolador de Newton de 3 o grau
usando os dados do Problema 18.1.
18.4 Considere os dados
x 1,6 2,5 3,2 4 4,5
18.9 Use interpolação inversa para determinar o valor d
e x que cor-
responde a f ( x ) 0,85 para os seguintes dados
tabulados:
x 0 1 2 3 4 5
f (x ) 0 0,5 0,8 0,9 0,941176 0,961538
Observe que os valores na tabela foram gerados com a função
f ( x ) x 3(2 x 3).
(a) Determine o valor correto analiticamente.
(b) Use interpolação cúbica de x em função
de y.
(c) Use interpolação inversa com interpolação quadrática e a
fór-
mula quadrática.
(d) Use interpolação inversa com interpolação cúbica e
bissecção.
Para as partes (b) a (d) calcule o erro relativo percentual
ver-
ad .
7.7.2 MATLAB
Como resumido na Tabela 7.1, o software MATLAB é capaz de localizar
raízes de uma
única equação algébrica ou transcendental. Ele é excelente na
manipulação e determi-
nação de raízes de polinômios.
A função fzero é projetada para localizar uma raiz de uma
única equação. Uma re-
presentação simplificada de sua sintaxe é
fzero(f ,x 0,options)
onde f é a função que você está analisando,
x 0 é a aproximação inicial, e options são os
parâmetros de otimização (estes são mudados usando-se a função
optimset ). Se options
for omitido, serão usados valores-padrão. Observe que podem ser
utilizadas uma ou duas
aproximações. Se forem usadas duas aproximações, é s uposto que
elas cerquem uma raiz.
O exemplo a seguir ilustra como fzero pode ser usado.
TABELA 7.1 Funções comuns no MATLAB relacionadas com a localização
de raízes e manipulação de polinômios.
Função Descrição
fzero Raiz de uma única função. r oo ts E nc ont ra ra íz es de p
olin ômi os . pol y Con st ró i pol in ôm io s com ra íz es especi
fi cada s. pol yval Cal cu la val or es de po li nômios . polyvalm
Calcula valores de polinômios com argumentos matriciais. res idue
Expansão em f rações parc ia is (res íduos) . polyder Deriva
polinômios. conv Multiplica polinômios. deconv Divide
polinômios.
7. Us o B p a L liza de Raíz
xviii
para fornecer ao estudante ilustrações passo a passo
de como os métodos numéricos são implementados.
Há 28 estudos de casos de engenharia para ajudar
os estudantes a ligar os métodos numéricos aos
principais campos da engenharia.
Recursos Disponíveis no Site
endereço www.mhhe.com/chapra oferece recursos para o estudante e
para o professor. Esses materiais estão disponíveis em inglês e
alguns
são comerciais, ou seja, você precisa comprá-los. Os
professores
brasileiros necessitam obter uma senha junto à McGraw-Hill do
Brasil
para acessarem os recursos on-line. Asenha deve ser solicitada
por
e-mail (
[email protected]). Na Europa, a senha deve
ser
obtida junto à McGraw-Hill de Portugal
(
[email protected]).
Todos os softwares utilizados nos recursos on-line foram
desenvolvidos pela McGraw-Hill dos EUA.
A McGraw-Hill Interamericana do Brasil não oferece suporte
para esses softwares nem se responsa-
biliza por qualquer falha que possa ocorrer durante o seu uso. Caso
tenha algum problema, acesse o
suporte técnico em www.mhhe.com/supportou ainda o site do produto
em www.cosmosm.com.
10.2 A MATRIZ INVERSA 237
EXEMPLO 10.3 Inversão de Matrizes
Enunciado do Problema. Utilize a decomposição LU para
determinar a inversa da
matriz do sistema do Exemplo 10.2.
[ A] =
Lembre-se de que a decomposição resultou nas seguintes matrizes
triangulares superior e
inferior:
[U ] =
Solução. A primeira coluna da matriz inversa pode ser determinada
efetuando-se o
procedimento de solução da substituição progressiva com um vetor
unitário (com o 1 na
primeira linha) como vetor do lado direito. Assim, a Equação
(10.8), o sistema triangular
inferior, pode ser escrito como
=
e resolvido com substituição progressiva para determinar
{ D}T = 1 −0,03333
=
a qual pode ser resolvida por substituição regressiva para
determinar
{ X }T = 0,33249 −0,00518 −0,01008,
que é a primeira coluna da matriz,
[ A]−1 0,33249 0 0
−0,00518 0
Estudos de Caso: Raízes de Equações O propósito deste Capítulo é
usar os procedimentos numéricos discutidos nos Capítulos
5, 6 e 7 para resolver problemas reais de engenharia. As técnicas
numéricas são impor-
tantes nas aplicações práticas porque a engenharia freqüentemente
encontra problemas
que não podem ser abordados usando-se técnicas analíticas. Por
exemplo, modelos
matemáticos simples que podem ser resolvidos analiticamente nem
sempre são aplicáveis
quando problemas reais estão envolvidos. Logo, modelos mais
complicados precisam ser
usados. Nesses casos, é apropriado implementar uma solução numérica
com o computa-
dor. Em outras situações, problemas de projeto de engenharia exigem
soluções para as
variáveis implícitas em equações complicadas.
Os estudos de caso a seguir são encontrados rotineiramente nos
cursos de graduação
mais avançados e nos de pós-graduação. Além disso, são
representativos dos problemas
tratados profissionalmente. Tais problemas são tirados de quatro
ramos importantes da
engenharia: química, civil, elétrica e mecânica. Essas aplicações
também servem para
ilustrar os prós e contras entre as diversas técnicas
numéricas.
A primeira aplicação, tirada da engenharia química, fornece um
exemplo excelente
de como os métodos para l ocalizar raízes permitem usar fórmulas
realísticas na prática da
engenharia. Além disso, também ilustra como a eficiência da técnica
de Newton-Raphson
é usada com vantagem quando um grande número de localizações de
raízes é necessário.
Os problemas de projeto em engenharia seguintes são tirados da
engenharia civil,
elétrica e mecânica. ASeção 8.2 usa tanto os métodos que isolam as
raízes em intervalos
quanto os métodos abertos para determinar a profundidade e a
velocidade da água es-
coando em um canal aberto. A Seção 8.3 mostra como as raízes das
equações transcen-
dentais podem ser utilizadas no projeto de um circuito elétrico. As
Seções 8.2 e 8.3 tam-
bém ilustram como os métodos gráficos fornecem percepção do
processo de localização
de raízes. Finalmente, a Seção 8.4 usa a localização de raízes de
polinômios para analisar
a vibração de um automóvel.
8C A P Í T U L O 8
.
Steve Chapra leciona no Departamento de Engenharia Civil e
Ambiental na Universi-
dade de Tufts, onde ocupa a posição de Louis Berger Chair na
Computação e Engenharia.
Seus outros livros incluem Surface Water-Quality Modeling and
Applied Numerical
Methods with MATLAB.
Dr. Chapra recebeu diplomas de engenharia do Manhattan College e da
Universi-
dade de Michigan. Antes de se juntar ao corpo docente da Tufts,
trabalhou para a Agência
de Proteção Ambiental e para a Administração Nacional Atmosférica e
Oceânica e lecio-
nou na Universidade A&M do Texas e na Universidade do Colorado.
Seus interesses
gerais em pesquisa se concentram na modelagem da qualidade da água
superficial e em
aplicações computacionais avançadas na engenharia ambiental.
Ele recebeu diversos prêmios por suas contribuições acadêmicas,
incluindo a
medalha Rudolph Hering (ASCE) de 1993 e o Prêmio de Autor Notável
da Meriam-
Wiley de 1987 (Sociedade Norte-Americana para Educação em
Engenharia). Também foi
reconhecido como um professor destacado entre o corpo docente tanto
da Universidade
A&M do Texas (Prêmio Tenneco de 1986) quanto da Universidade do
Colorado (Prêmio
Hutchinson de 1992).
Raymond P. Canale é professor emérito da Universidade de Michigan.
Durante sua
carreira de mais de 20 anos na universidade, e ministrou diversos
cursos na área de com-
putadores, métodos numéricos e engenharia ambiental. Também dirigiu
programas de
pesquisa extensivos na área de modelagem matemática e computacional
de ecossistemas
aquáticos. Ele foi autor ou co-autor de diversos livros e publicou
mais de cem artigos e re-
latórios científicos. Também projetou e desenvolveu software para
computadores pes-
soais para facilitar a educação em engenharia e a solução de
problemas de engenharia. Ele
ganhou o Prêmio de Autor Notável da Meriam-Wiley da Sociedade
Norte-Americana
para Educação em Engenharia por seus livros e software e diversos
prêmios por suas pu-
blicações técnicas.
O professor Canale está atualmente dedicando suas energias a
problemas aplica-
dos, nos quais trabalha com empresas e indústrias de engenharia e
agências governamen-
tais como consultor e perito.
SOBRE OS AUTORES
MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
Os métodos numéricos são técnicas pelas quais os problemas
matemáticos são formula- dos de modo que possam ser resolvidos com
operações aritméticas. Embora existam muitos tipos de métodos
numéricos, eles têm uma característica em comum: invariavel- mente
envolvem grande número de cálculos aritméticos tediosos. Não é nada
surpreen- dente que, com o desenvolvimento de computadores digitais
rápidos e eficientes, o papel dos métodos numéricos na resolução de
problemas de engenharia aumentou dramatica- mente nos últimos
anos.
PT1.1.1 Métodos Não-computacionais
Além de fornecer uma capacidade computacional aumentada, a
disponibilidade muito di- fundida dos computadores (especialmente
dos computadores pessoais) e a parceria com métodos numéricos vêm
tendo uma influência significativa na resolução moderna de
problemas de engenharia. Na era antes do computador, em geral havia
três formas dife- rentes pelas quais os engenheiros abordavam a
solução de problemas:
1. As soluções eram deduzidas para alguns problemas usando-se
métodos analíticos ou exatos. Essas soluções eram freqüentemente
úteis e forneciam uma visão excelente do comportamento de alguns
sistemas. Entretanto, as soluções analíticas podem ser deduzidas
apenas para uma classe limitada de problemas, que incluem os que
podem ser aproximados por modelos lineares e aqueles que têm uma
geometria simples e dimensão baixa. Conseqüentemente, as soluções
analíticas têm valor prático limitado porque, em sua maioria, os
problemas reais são não-lineares e envolvem formas e processos
complexos.
2. As soluções gráficas eram usadas para caracterizar o
comportamento dos sistemas; em geral, elas tinham a forma de
gráficos ou nomógrafos. Embora as soluções gráficas freqüentemente
possam ser usadas para resolver problemas complexos, os resultados
não são muito precisos. Além disso, soluções gráficas (sem a ajuda
de computadores) são extremamente tediosas e inconvenientes para
implementar. Finalmente, as técnicas gráficas, com freqüência, são
limitadas a problemas que podem ser descritos usando-se três
dimensões ou menos.
3. Calculadoras e regras de cálculos eram usadas para implementar
os métodos numéricos manualmente. Embora, em teoria, tais
abordagens fossem perfeitamente adequadas para resolver problemas
complexos, na realidade, eram encontradas muitas dificuldades. Os
cálculos manuais são lentos e tediosos. Além disso, resultados
consistentes são esquivos por causa de enganos simples que
acontecem quando tarefas manuais numerosas são realizadas.
Na era pré-computador, uma quantidade significativa de energia era
gasta na técnica de resolução propriamente dita, em vez de na
definição e interpretação do problema (Figura PT1.1a). Essa
situação lamentável existia porque muito tempo e trabalho pesado
eram necessários para obter respostas numéricas usando-se as
técnicas pré-computador.
Hoje em dia, os computadores e os métodos numéricos fornecem uma
alternativa para tais cálculos complicados. Usando o poder do
computador para obter diretamente soluções, é possível abordar
esses cálculos sem o recurso de hipóteses simplificadoras ou
PT1.1 MOTIVAÇÃO
PT1.1 MOTIVAÇÃO 3
técnicas para economizar tempo. Embora as soluções analíticas ainda
sejam extrema- mente valiosas tanto para soluções dos problemas
quanto para fornecer uma visão geral, os métodos numéricos
representam alternativas que aumentam enormemente os recursos para
confrontar e resolver problemas. Como resultado, mais tempo fica
disponível para ser usado em habilidades criativas. Portanto, mais
ênfase pode ser posta na formulação do problema e na interpretação
da solução e na incorporação do sistema total, ou percepção
“holística” (Figura PT1.1b).
PT1.1.2 MÉTODOS NUMÉRICOS E PRÁTICA DA ENGENHARIA
Desde o fim da década de 1940, a vasta disponibilidade dos
computadores digitais levou a uma verdadeira explosão no uso e
desenvolvimento dos métodos numéricos. Inicial- mente, esse
crescimento foi um pouco limitado pelo custo do acesso a
computadores de grande porte — conseqüentemente, muitos engenheiros
continuaram a usar a abordagem analítica simples em uma parte
significativa do seu trabalho. É claro que a recente evolução dos
computadores pessoais baratos forneceu pronto acesso a recursos
computa- cionais poderosos. Existem diversas razões adicionais
pelas quais se deve estudar méto- dos numéricos:
1. Os métodos numéricos são ferramentas extremamente poderosas na
resolução de problemas. Eles são capazes de lidar com um grande
número de equações, não- linearidades e geometrias complicadas que
não são incomuns na prática da engenharia e, em geral, são
impossíveis de resolver analiticamente. Dessa forma, eles aumentam
enormemente a capacidade de resolver problemas.
2. Durante a carreira, o profissional da engenharia freqüentemente
terá ocasião de usar pacotes comercialmente disponíveis, ou
programas de computador “enlatados” que envolvem métodos numéricos.
O uso inteligente desses programas depende, com freqüência, do
conhecimento da teoria básica fundamental dos métodos.
INTERPRETAÇÃO
Facilidade de cálculos permite o desenvolvimento de
pensamentos
holísticos e da intuição; a sensibilidade e o comportamento do
sistema podem ser estudados
FORMULAÇÃO
e as leis fundamentais
SOLUÇÃO
problemas tratáveis
(a)
3. Muitos problemas não podem ser abordados utilizando programas
enlatados. Se o engenheiro estiver familiarizado com métodos
numéricos e souber programar o computador, poderá projetar seu
próprio programa para resolver problemas sem ter de comprar ou
contratar softwares caros.
4. Os métodos numéricos são um veículo eficiente para o aprendizado
do uso de computadores. É bem conhecido que uma forma eficiente de
aprender a programar é realmente escrever um programa de
computador. Como os métodos numéricos são, na maior parte,
projetados para implementação em computadores, eles se mostram
ideais para esse propósito. Além disso, são especialmente adequados
para ilustrar o poder e as limitações dos computadores. Quando se
implementam com sucesso métodos numéricos em um computador e,
então, eles são aplicados para resolver problemas intratáveis de
outra forma, tem-se acesso a uma demonstração dramática de como os
computadores podem ajudar o desenvolvimento profissional. Ao mesmo
tempo, aprende-se a identificar e a controlar os erros das
aproximações, que são parte essencial de cálculos numéricos em
grande escala.
5. Os métodos numéricos fornecem um veículo para o profissional
reforçar seu entendimento da matemática. Como uma função dos
métodos numéricos é reduzir a matemática mais avançada a operações
aritméticas básicas, eles chegam aos detalhes práticos de alguns
tópicos que, de outra forma, seriam obscuros. Aprimoramento do
entendimento e da percepção pode resultar dessa perspectiva
alternativa.
4 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
PT1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS
Todas as partes deste livro usam alguns fundamentos matemáticos.
Conseqüentemente, o material introdutório para cada parte inclui
uma seção, como a presente seção, sobre fun- damentos matemáticos.
Como a Parte Um propriamente dita é devotada à revisão de ma-
terial em matemática e computadores, esta seção não envolve uma
revisão de um tópico matemático específico. Em vez disso,
aproveita-se a oportunidade para introduzir o tipo de assuntos da
matemática cobertos neste livro. Como resumido na Figura PT1.2,
esses assuntos são:
1. Raízes de Equações (Figura PT1.2a). Esses problemas dizem
respeito ao valor de uma variável ou a um parâmetro que satisfaz
uma única equação não-linear. Eles são especialmente importantes no
contexto de projetos de engenharia, em que freqüentemente é
impossível resolver explicitamente as equações para os parâmetros
do projeto.
2. Sistemas de Equações Algébricas Lineares (Figura PT1.2b). Esses
problemas são similares aos das raízes de equações, no sentido de
que dizem respeito aos valores que satisfazem tais equações.
Entretanto, em contraste a satisfazer uma única equação, é
procurado um conjunto de valores que satisfaça simultaneamente um
conjunto de equações algébricas lineares. Essas equações aparecem
em uma grande variedade de contextos de problemas e em todas as
disciplinas da engenharia. Em particular, elas se originam na
modelagem matemática de grandes sistemas de elementos
interconectados, como estruturas, circuitos elétricos e redes de
fluidos. Entretanto, também são encontradas em outras áreas dos
métodos numéricos, como ajustes de curva e equações
diferenciais.
I
(a) Parte 2: Raízes de equações
Resolva f ( x ) = 0 determinando x .
(c) Parte 4: Otimização
(b) Parte 3: Equações algébricas lineares Dados os a’s e os
c’s, resolva
a11 x 1 + a12 x 2 = c1
a21 x 1 + a22 x 2 = c2
para determinar os x ’s.
Determine x que dê o valor ótimo
de f ( x ).
(e) Parte 6: Integração
x
y
x
resolva, encontrando u como função
de x e y
= f ( x, y) 2u
y
t
( f ) Parte 7: Equações diferenciais ordinárias
Dada
resolva, encontrando y como função de t .
yi + 1 = yi + f (t i , yi
) t
= f (t, y) dy
4. Ajuste de Curvas (Figura PT1.2d ). Freqüentemente é
necessário ajustar curvas a conjuntos de dados. As técnicas
desenvolvidas para esse propósito podem ser divididas em duas
categorias gerais: regressão e interpolação. A regressão é
empregada quando existe um grau significativo de erro associado aos
dados. Os resultados experimentais são geralmente desse tipo. Para
tais situações, a estratégia é desenvolver uma única curva que
represente a tendência geral dos dados, sem necessariamente
coincidir com nenhum ponto individual. Em contraste, a interpolação
é usada quando o objetivo é determinar valores intermediários entre
dados relativamente livres de erros — usualmente, é o caso para
informações tabuladas. Para tais situações, a estratégia é ajustar
a curva diretamente pelos pontos dados e usar essa curva para
prever os valores intermediários.
5. Integração (Figura PT1.2e). Como descrito, uma
interpretação física de integração numérica é a determinação da
área sob a curva. A integração tem muitas aplicações na prática da
engenharia, variando da determinação de centróides de objetos de
forma estranha a cálculos de quantidades totais baseados em
conjuntos de medidas discretas. Além disso, as fórmulas de
integração numérica desempenham um papel importante na solução de
equações diferenciais.
6. Equações Diferenciais Ordinárias (Figura
PT1.2 f ). As equações diferenciais ordinárias têm um
grande significado na prática da engenharia, e isso ocorre porque
muitas leis físicas são descritas em termos da taxa de variação de
uma quantidade em vez do valor da quantidade propriamente dita. Os
exemplos variam de modelos de previsão populacional (taxa de
variação da população) à aceleração de um corpo em queda livre
(taxa de variação da velocidade). Dois tipos de problemas são
tratados: problemas de valor inicial e valor de contorno. Além
disso, o cálculo de autovalores também é coberto.
7. Equações Diferenciais Parciais (Figura PT1.2g). As
equações diferenciais parciais são usadas para caracterizar
sistemas de engenharia nos quais o comportamento de uma quantidade
física é determinado pela sua taxa de variação em relação a duas ou
mais variáveis independentes. Os exemplos incluem a distribuição
estacionária de temperaturas em uma chapa aquecida (duas dimensões
espaciais) ou a temperatura dependendo do tempo de uma haste
aquecida (tempo e uma dimensão espacial). Duas abordagens
fundamentalmente diferentes são empregadas para resolver equações
diferenciais parciais numericamente. Neste texto, serão enfatizados
os métodos de diferença finita, que aproximam a solução de maneira
pontual (Figura PT1.2 g). Entretanto, também será apresentada uma
introdução aos métodos de elementos finitos, que usam uma abordagem
por partes.
6 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
PT1.3 ORIENTAÇÃO
Alguma orientação pode ser útil antes de prosseguir com a
introdução aos métodos numéricos. O que segue deve ser visto como
uma visão geral do material na Parte Um. Além disso, alguns
objetivos foram incluídos para focalizar os esforços do aluno ao
estu- dar este material.
PT1.3.1 Escopo e Visão Geral
A Figura PT1.3 é uma representação esquemática do material na Parte
Um. Esse dia- grama foi projetado para fornecer uma visão global
desta parte do livro. O sentido de “perspectiva geral” é crítico no
desenvolvimento da intuição nos métodos numéricos. Quando se lê um
texto, é fácil perder-se nos detalhes técnicos. Sempre que o
estudante sentir que está perdendo a perspectiva geral, deve
consultar a Figura PT1.3 para se reorientar. Todas as partes deste
livro incluem uma figura similar.
PT1.3 ORIENTAÇÃO 7
bilidades computacionais que é necessário adquirir para aplicar de
forma eficiente as in- formações que vêm a seguir. Os Capítulos 3 e
4 dizem respeito ao importante tópico da análise de erros, que
precisa ser entendido para o uso eficiente dos métodos numéricos.
Além disso, é incluído um epílogo, no qual são introduzidos os prós
e contras, que têm um grande significado para a implementação
efetiva dos métodos numéricos.
PT1.3.2 Metas e Objetivos
Objetivos de Estudo. Após completar a Parte Um, o estudante deverá
estar adequada- mente preparado para embarcar em seus estudos sobre
os métodos numéricos. Em geral, deve ter adquirido um entendimento
fundamental sobre a importância dos computadores e sobre o papel
das aproximações e dos erros na implementação e no desenvolvimento
dos métodos numéricos. Além dessas metas gerais, deve ter dominado
cada um dos obje- tivos de estudo específicos listados na Tabela
PT1.1.
CAPÍTULO 1 Modelagem
PARTE 1 Modelagem,
CAPÍTULO 2 Programação
EPÍLOGO
importantes
4.3 Erro numérico
PT 1.3 Orientação
PT 1.1 Motivação
1.2 Leis de
conservação e engenharia
1.1 Um modelo
matemático simples
Objetivos Computacionais. Quando completar a Parte Um, o estudante
deve ter adquirido habilidades computacionais suficientes para
desenvolver seu próprio software para os métodos numéricos neste
texto. Deve ser capaz de desenvolver programas de com- putador bem
estruturados e confiáveis com base em pseudocódigo, fluxogramas e
outras formas de algoritmos. Também deve ter desenvolvido a
capacidade de documentar seus programas de forma que eles possam
ser usados efetivamente pelos usuários. Finalmente, além dos seus
próprios programas, o aluno pode usar pacotes de softwares
juntamente com este livro. Os pacotes como Excel ou The MathWorks,
Inc. MATLAB ® são exemplos de tais softwares. O estudante deve
estar familiarizado com esses pacotes, de forma que possa usá-los
confortavelmente para resolver problemas numéricos mais adiante
neste texto.
8 MODELAGEM, COMPUTADORES E ANÁLISE DE ERROS
TABELA PT1.1 Objetivos de estudo específicos para a Parte Um.
1. Reconhecer a diferença entre soluções analítica e numérica. 2.
Entender como as leis de conservação são empregadas para
desenvolver modelos matemáticos do
sistema físico. 3. Definir projeto por refinamento e modular. 4.
Definir as regras que fundamentam a programação estruturada. 5. Ser
capaz de compor programas estruturados e modulares em uma linguagem
de computação de
alto nível. 6. Saber como traduzir fluxogramas estruturados e
pseudocódigos para códigos em uma linguagem de
alto nível. 7. Começar a se familiarizar com todos os pacotes de
software que serão usados junto com este texto. 8. Reconhecer a
distinção entre erros de truncamento e de arredondamento. 9.
Entender os conceitos de algarismos significativos, acurácia e
precisão.
10. Reconhecer a diferença entre erro relativo verdadeiro εt ,
erro relativo aproximado εa, e erro aceitável εs, e entender
como εa e εs são usados para finalizar um cálculo
iterativo.
11. Entender como os números são representados em computadores
digitais e como essa representação induz a erros de arredondamento.
Em particular, saber a diferença entre precisão simples e
estendida.
12. Reconhecer como a aritmética do computador pode introduzir e
ampliar erros de arredondamento nos cálculos. Em par ticular,
analisar o problema do cancelamento na subtração.
1C A P Í T U L O 1 Modelagem Matemática e Resolução de Problemas de
Engenharia O conhecimento e o entendimento são pré-requisitos para
a implementação efetiva de qualquer ferramenta. Não importa quão
incrível seja sua caixa de ferramentas, você terá dificuldades para
consertar um carro se não entender como ele funciona.
Isso é particularmente verdade quando se usam computadores para
resolver proble- mas de engenharia. Embora tenham uma utilidade
potencial imensa, os computadores são praticamente inúteis sem um
entendimento fundamental de como os sistemas da engenha- ria
funcionam.
Esse conhecimento é adquirido inicialmente de forma empírica — isto
é, por obser- vação e experiência. Entretanto, embora tal
informação adquirida empiricamente seja essencial, ela é apenas
metade da história. Durante anos e anos de observação e experiên-
cia, os engenheiros e cientistas notaram que certos aspectos dos
seus estudos empíricos ocorrem repetidamente. Tal comportamento
geral pode então ser expresso como leis fun- damentais que
essencialmente representam o conhecimento acumulado da experiência
passada. Portanto, a resolução da maioria dos problemas de
engenharia usa uma abor- dagem com as duas vertentes, a do
empirismo e a da análise teórica (Figura 1.1).
Deve ser enfatizado que as duas vertentes são intimamente ligadas.
Conforme novas medidas são feitas, as generalizações podem ser
modificadas, ou novas generalizações desenvolvidas. Analogamente,
as generalizações podem ter uma forte influência nas experiências e
observações. Em particular, as generalizações podem servir como
princí- pios organizatórios empregados para resumir resultados de
observações e experiências em uma estrutura coerente e abrangente,
a partir das quais são tiradas conclusões. Da perspectiva de
resolução de problemas de engenharia, tal estrutura é mais útil
quando expressa na forma de um modelo matemático.
O objetivo primário deste capítulo é introduzi-lo à modelagem
matemática e ao seu papel na resolução de problemas de engenharia.
Vamos também ilustrar como os métodos numéricos figuram no
processo.
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES
Um modelo matemático pode ser definido, de forma geral, como uma
formulação ou equação que expressa as características essenciais de
um sistema ou processo físico em termos matemáticos. Em um sentido
muito geral, ele pode ser representado como uma relação funcional
da forma
Variável dependente
(1.1)
onde a variável dependente é uma característica que usualmente
reflete o comportamento ou estado do sistema; as variáveis
independentes usualmente são dimensões, como tempo e espaço, ao
longo das quais o comportamento do sistema está sendo determinado;
os parâmetros refletem propriedades ou composição do sistema; os
termos forçantes são as influências externas agindo sobre o
sistema.
9
A expressão matemática real da Equação (1.1) pode variar de uma
simples relação algébrica a um conjunto grande e complicado de
equações diferenciais. Por exemplo, com base em suas observações,
Newton formulou sua segunda lei do movimento, que afirma que a taxa
de variação no tempo do momento de um corpo é igual à força resul-
tante agindo nele. A expressão matemática, ou modelo, da segunda
lei é a equação bem conhecida
F = ma (1.2)
onde F é a força resultante agindo no corpo (N, ou kg m/s 2),
m massa do objeto (kg) e a é a sua aceleração (m/s2).
A segunda lei pode ser reescrita na forma da Equação (1.1)
simplesmente dividindo ambos os lados por m para obter
a = F
m (1.3)
onde a é a a variável dependente refletindo o comportamento do
sistema, F é o termo forçante e m é um parâmetro representando
uma propriedade do sistema. Observe que, para esse caso simples,
não há nenhuma variável independente, porque não estamos pre- vendo
como a aceleração varia no tempo ou no espaço.
A Equação (1.3) tem diversas características que são típicas de
modelos matemáticos do mundo físico:
1. Ela descreve um processo ou sistema natural em termos
matemáticos. 2. Ela representa uma idealização e simplificação da
realidade. Isto é, o modelo ignora
detalhes desprezíveis do processo natural e se concentra nas suas
manifestações essenciais. Portanto, a segunda lei não inclui os
efeitos da relatividade, que são de importância mínima quando
aplicados a objetos e forças que interagem sobre a ou perto da
superfície da Terra, com velocidades e em escalas visíveis aos
humanos.
10 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
ENGENHARIA
Implementação
FIGURA 1.1 O processo de resolver problemas de engenharia.
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES 11
3. Finalmente, ela produz resultados que podem ser reproduzidos e,
conseqüentemen- te, ser usados para propósitos de previsão. Por
exemplo, se a força sobre um objeto e a massa de um objeto são
conhecidas, a Equação (1.3) pode ser usada para calcular a
aceleração.
Por causa de sua forma algébrica simples, a solução da Equação
(1.2) é facilmente obtida. Entretanto, outros modelos matemáticos
de fenômenos físicos podem ser muito mais complexos e, ou não podem
ser resolvidos exatamente, ou exigem técnicas matemáticas mais
sofisticadas que a álgebra simples para sua solução. Para ilustrar
um modelo mais complexo deste tipo, a segunda lei de Newton pode
ser usada para deter- minar a velocidade terminal de um corpo em
queda livre, perto da superfície da Terra. Nosso corpo em queda
livre será um pára-quedista (Figura 1.2). Um modelo para esse caso
pode ser deduzido expressando a aceleração como taxa de variação no
tempo da velocidade (d v / dt ) e
substituindo-a na Equação (1.3) para obter
d v
m (1.4)
onde v é a velocidade (m/s) e t é o tempo (s). Portanto, a
massa multiplicada pela taxa de variação da velocidade é igual à
força resultante agindo no corpo. Se a força resultante for
positiva, o objeto irá acelerar. Se for negativa, o objeto vai
desacelerar. Se a força resul- tante for nula, a velocidade do
objeto permanecerá em um nível constante.
A seguir, vamos expressar a força resultante em termos das
variáveis e parâmetros mensuráveis. Para um corpo em queda livre na
vizinhança da Terra (Figura 1.2), a força resultante é composta de
duas forças opostas: a força gravitacional, para baixo,
F D e a força da resistência do ar, para cima,
F U :
F = F D + F U (1.5)
Se associarmos um sinal positivo à força para baixo, a segunda lei
pode ser usada para escrever a força devida à gravidade como
F D = mg (1.6)
onde g é a constante gravitacional, ou a aceleração devida à
gravidade, que é aproxi- madamente igual a 9,8 m/s2.
A resistência do ar pode ser formulada de diversas maneiras. Uma
abordagem sim- ples é assumir que ela é linearmente proporcional à
velocidade 1 e age no sentido para cima, como em
F U = −cv (1.7)
onde c é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente
de arrasto (kg/s). Portanto, quanto maior a velocidade de queda,
maior a força para cima devida à resistên- cia do ar. O parâmetro c
representa as propriedades de objetos em queda livre, como a forma
ou a aspereza da superfície, que afetam a resistência do ar. No
caso presente, c
poderia ser uma função do tipo de macacão ou da orientação usada
pelo pára-quedista du- rante a queda livre.
A força resultante é a diferença entre a força para baixo e a força
para cima. Portanto, as Equações (1.4) até (1.7) podem ser
combinadas para fornecer
d v
d v
dt = g −
F U
F D
FIGURA 1.2 Diagrama esquemático das forças agindo em um pára-
quedista em queda livre. F D é a força devida à
gravidade, para baixo. F U é a força devida à resistência
do ar, para cima.
A Equação (1.9) é um modelo que relaciona a aceleração do objeto em
queda às forças agindo nele. Ela é uma equação diferencial porque é
escrita em termos da taxa de variação diferencial
(d v/dt ) da variável que estamos interessados em prever.
Entretanto, em contraste com a solução da segunda lei de Newton na
Equação (1.3), a solução exata da Equação (1.9) para a velocidade
de um pára-quedista em queda livre não pode ser obtida usando
manipulação algébrica simples. Em vez disso, técnicas mais
avançadas como aquelas do cálculo devem ser aplicadas para se obter
uma solução exata ou analítica. Por exemplo, se o pára-quedista
estiver inicialmente em repouso ( v = 0 em t = 0),
o cálculo pode ser usado para resolver a Equação (1.9),
fornecendo
v(t ) = gm
(1.10)
Observe que a Equação (1.10) está escrita na forma geral da Equação
(1.1), onde v(t ) é a variável independente, t é a
variável independente, c e m são parâmetros, e g é o termo
forçante.
12 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
ENGENHARIA
EXEMPLO 1.1 Solução Analítica para o Problema do Pára-quedista em
Queda Livre
Enunciado do Problema. Um pára-quedista de massa 68,1 kg pula de um
balão de ar quente parado. Use a Equação (1.10) para calcular a
velocidade anterior à abertura do pára-quedas. O coeficiente de
arrasto é igual a 12,5 kg/s.
Solução. Inserindo os parâmetros na Equação (1.10), obtemos
v(t ) = 9,8(68,1)
t, s v, m/s
0 0,00 2 16,40 4 27,77 6 35,64 8 41,10
10 44,87 12 47,49 53,39
De acordo com o modelo, o pára-quedista acelera rapidamente (Figura
1.3). Uma veloci- dade de 44,87 m/s (100,4 mi/h) é atingida após 10
s. Observe também que, após um tempo suficientemente longo, é
atingida uma velocidade constante, chamada de veloci-
dade terminal, de 53,39 m/s (119,4 mi/h). Essa velocidade é
constante porque, eventual- mente, a força da gravidade estará em
equilíbrio com a resistência do ar. Portanto, a força resultante é
nula e a aceleração deixa de existir.
A Equação (1.10) é chamada uma solução analítica ou exata porque
ela satisfaz exatamente a equação diferencial original.
Infelizmente, existem muitos modelos matemáticos que não podem ser
resolvidos exatamente. Em muitos desses casos, a única alternativa
é desenvolver uma solução numérica que aproxime a solução
exata.
Como mencionado previamente, os métodos numéricos são aqueles nos
quais os problemas matemáticos são reformulados de forma que possam
ser resolvidos por ope- rações aritméticas. Isso pode ser ilustrado
para a segunda lei de Newton, observando que a taxa de variação no
tempo da velocidade pode ser aproximada por (Figura 1.4):
d v
t i +1 − t i (1.11)
1.1 UM MODELO MATEMÁTICO SIMPLES 13
ondev et são diferenças na velocidade e no tempo,
respectivamente, calculados sobre intervalos
finitos, v(t i) é velocidade em um instante inicial
t i , e v(t i +1) é velocidade em um instante
posterior t i +1. Observe que d v/dt ∼=
v/t é aproximado porque t é finito. Lembre-se, do
cálculo, que
d v
dt = lim
t →0
v
t
A Equação (1.11) representa o processo reverso. A Equação (1.11) é
chamada de aproximação por diferença dividida finita da
derivada no instante t i . Ela pode ser substituída na
Equação (1.9) para fornecer
v(t i+1)− v(t i)
t i +1 − t i = g −
c
v(t i +1) = v(t i) +
0 0
Velocidade terminal
FIGURA 1.3 A solução analítica do problema do pára-quedista em
queda livre, como calculada no Exemplo 1.1. A velocidade aumenta
com o tempo e se aproxima assintoticamente da velocidade
terminal.
v(t i +1)
=
t
Observe que o termo entre colchetes é o lado direito da equação
diferencial propri- amente dita [Equação (1.9)]. Isto é, ela
fornece um meio de calcular a taxa de variação ou a inclinação de
v. Portanto, a equação diferencial foi transformada em uma equação
que pode ser usada para determinar algebricamente a velocidade em
t i +1 usando a incli- nação e os valores anteriores de v e t.
Se for dado um valor inicial para a velocidade em algum
instante t i , pode-se facilmente calcular a velocidade
em um instante posterior t i +1. Esse novo valor da
velocidade em t i+1 pode, por sua vez, ser usado para estender
o cál- culo da velocidade a t i +2, e assim por diante.
Portanto, em qualquer instante ao longo do caminho,
Valor novo valor velho inclinação tamanho do passo
Observe que essa abordagem é chamada oficialmente de método de
Euler .
14 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
ENGENHARIA
EXEMPLO 1.2 Solução Numérica para o Problema do Pára-quedista em
Queda Livre
Enunciado do Problema. Faça os mesmos cálculos que no Exemplo 1.1,
mas use a Equação (1.12) para calcular a velocidade. Use um passo
de tamanho 2 s para os cálculos.
Solução. No início dos cálculos (t i = 0), a velocidade
do pára-quedista é zero. Usan- do essa informação e os valores dos
parâmetros do Exemplo 1.1, a Equação (1.12) pode ser utilizada para
calcular a velocidade em t i +1 = 2 s:
v = 0 +
2 = 19,60 m/s
Para o intervalo seguinte (de t 2 a 4 s), os cálculos são
repetidos, com o resultado
v = 19,60 +
2 = 32,00 m/s
Continua-se os cálculos, de forma análoga, para se obter valores
adicionais:
t , s v , m/s
0 0,00 2 19,60 4 32,00 6 39,85 8 44,82
10 47,97 12 49,96 53,39
O resultado está representado graficamente na Figura 1.5,
juntamente com a solução exata. Pode-se ver que o método numérico
retrata as características essenciais da so- lução exata.
Entretanto, como foram usados segmentos de retas para aproximar uma
função que se curva continuamente, existe alguma discrepância entre
os dois resultados. Uma forma de minimizar tais discrepâncias seria
usar um passo de tamanho menor. Por exemplo, a aplicação da Equação
(1.12) em intervalos de 1 s resulta em um erro menor,
já que os segmentos de retas seguem a solução verdadeira mais
de perto. Fazendo-se os cálculos à mão, o esforço associado ao uso
de passos cada vez menores tornaria tais soluções numéricas
não-práticas. Entretanto, com o auxílio do computador, grandes
números de cálculos podem ser feitos facilmente. Portanto, pode-se
modelar com exati- dão a velocidade do pára-quedista em queda livre
sem ter de resolver a equação diferen- cial exatamente.
1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA 15
há um balanceamento entre a acurácia e o esforço computacional.
Tais prós e contras figuram de forma proeminente nos métodos
numéricos e constituem um tema importante neste livro.
Conseqüentemente, devotamos o Epílogo da Parte Um a uma introdução
a mais desses prós e contras.
0 0
Solução analítica, exata
Solução numérica, aproximada
FIGURA 1.5 Comparação das soluções numéricas e analíticas do
problema do pára-quedista em queda livre.
Além da segunda lei de Newton, existem outros princípios de
organização importantes na engenharia. Entre os mais importantes
deles estão as leis de conservação. Embora elas formem a base para
uma variedade de modelos matemáticos complicados e poderosos, as
grandes leis de conservação da ciência e da engenharia são
conceitualmente fáceis de en- tender. Todas elas se reduzem a
Variação aumento diminuição (1.13)
Essa é precisamente a forma empregada quando se usa a lei de Newton
para deduzir o balanço de forças para um pára-quedista em queda
livre [Equação (1.8)].
Embora simples, a Equação (1.13) engloba uma das formas mais
fundamentais nas quais as leis de conservação são usadas em
engenharia — isto é, para predizer variações com relação ao tempo.
Dá-se à Equação (1.13) o nome especial de cálculo dependente
do
tempo (ou transiente). Além de predizer variações, uma outra forma
na qual as leis de conservação são
aplicadas é no caso em que não existe a variação. Se a variação for
nula, a Equação (1.13) se torna
Variação 0 aumento diminuição
Aumento diminuição (1.14)
Portanto, se não ocorrer nenhuma variação, o aumento e a diminuição
devem estar balanceados. Esse caso, que também possui um nome
especial — o cálculo de estado
estacionário — tem muitas aplicações em engenharia. Por exemplo,
para escoamentos de fluidos incompressíveis e estacionários em
tubos, o escoamento entrando em uma junção deve ser balanceado pelo
escoamento saindo, como em
Escoamento entrando escoamento saindo
Para a junção na Figura 1.6, o balanço pode ser usado para calcular
que o escoamento saindo do quarto tubo deve ser 60.
Para o pára-quedista em queda livre, as condições estacionárias
corresponderiam ao caso em que a força resultante fosse nula ou
[Equação (1.8) com d v/dt = 0]
mg = cv (1.15)
Desse modo, no estado estacionário, as forças para baixo e para
cima estão balan- ceadas e a Equação (1.15) pode ser resolvida para
se determinar a velocidade terminal
v = mg
c
Embora as Equações (1.13) e (1.14) possam parecer trivialmente
simples, elas en- globam as duas formas fundamentais nas quais as
leis de conservação são empregadas em engenharia. Assim, elas
constituirão uma parte importante de nossos esforços nos capítu-
los subseqüentes para ilustrar a conexão entre os métodos numéricos
e a engenharia. Nos- sos veículos primários para fazer essa conexão
são as aplicações em engenharia que aparecem no final de cada parte
deste livro.
A Tabela 1.1 resume alguns dos modelos simples de engenharia e as
leis de conser- vação associadas que formarão a base para muitas
dessas aplicações em engenharia. A maioria das aplicações em
engenharia química será focalizada no balanço de massa para
reatores. O balanço de massa é deduzido da conservação de massa.
Ele especifica que a variação de massa de um produto químico no
reator depende da diferença da quantia de massa escoando para
dentro e da quantia de massa escoando para fora.
As aplicações tanto em engenharia civil quanto em engenharia
mecânica serão foca- lizadas em modelos desenvolvidos a partir da
conservação do momento. Para a enge- nharia civil, os balanços de
força são utilizados para analisar estruturas como a treliça
simples na Tabela 1.1. Os mesmos princípios são usados nas
aplicações em engenharia mecânica para analisar o movimento
transiente para cima e para baixo ou as vibrações de um
automóvel.
Finalmente, as aplicações em engenharia elétrica usam tanto balanço
de corrente quanto de energia para modelar os circuitos elétricos.
O balanço de corrente, que resulta da conservação da carga, é
parecido — em essência — com o balanço de escoamento mostrado na
Figura 1.6. Da mesma forma como o escoamento deve ser balanceado em
uma junção de tubos, a corrente elétrica deve ser balanceada em uma
junção de fios elétri- cos. O balanço de energia especifica que a
variação de voltagem ao redor de qualquer laço de um circuito deve
totalizar zero. As aplicações em engenharia são planejadas para
ilus- trar como os métodos numéricos são realmente empregados no
processo de resolução de problemas de engenharia. Assim, elas vão
permitir explorar questões práticas (Tabela 1.2) que aparecem em
aplicações do mundo real. Fazer essas conexões entre as técnicas
matemáticas, como os métodos numéricos, e a prática da engenharia é
um passo crítico para usar seu verdadeiro potencial. Um exame
cuidadoso das aplicações de engenharia vai ajudá-lo a dar esse
passo.
16 MODELAGEM MATEMÁTICA E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE
ENGENHARIA
Tubo 2 Escoamento para dentro = 80
Tubo 3 Escoamento para fora = 120
Tubo 4 Escoamento para fora = ?
Tubo 1 Escoamento para dentro = 100
1.2 LEIS DE CONSERVAÇÃO E ENGENHARIA 17
TABELA 1.1 Dispositivos e tipos de balanços que são comumente
usados nas quatro áreas principais da engenharia. Para cada caso, a
lei de conservação na qual o balanço é baseado está
especificada.
Estrutura
Conservação da massa
Balanço de força:
Engenharia elétrica Conservação da carga Balanço de corrente:
Conservação da energia Balanço de voltagem:
Balanço de massa
Reatores Entrada Saída
massa = entrada – saída
Em cada nó
Para cada nó
corrente (i ) = 0
por resistores = 0
= força para baixo – força para cima
TABELA 1.2 Algumas questões práticas que serão exploradas nas
aplicações de engenharia no final de cada parte deste livro.
1. Não-linear versus linear . Muito da engenharia clássica
depende da linearização para permitir soluções analíticas. Embora
muitas vezes isso seja apropriado, pode-se aumentar a percepção ao
se examinar os problemas não-lineares.
2. Sistemas grandes versus pequenos. Sem um computador, em geral
não é possível examinar sistemas com mais de três componentes
interagindo. Com computadores e métodos numéricos, sistemas com
muitos componentes, mais realistas, podem ser examinados.
3. Não-ideal versus ideal. As leis idealizadas abundam em
engenharia. Em geral, existem alternativas não-idealizadas que são
mais realistas, mas que exigem mais do ponto de vista
computacional. Abordagens numéricas apropriadas podem facilitar a
aplicação dessas relações não-ideais.
4. Análise de sensibilidade. Como esse tipo de análise é bastante
complicado, muitos cálculos manuais requerem uma grande quantidade
de tempo e esforço para uma implementação bem-sucedida. Algumas
vezes, isso desencoraja o analista de implementar os cálculos
múltiplos que são necessários para examinar como o sistema responde
sob diferentes condições. Tais análises de sensibilidade são
facilitadas quando os méto- dos numéricos permitem que o computador
assuma toda a carga computacional.
1.1 A água é responsável por aproximadamente 60% do peso total do
corpo. Assumindo que ela pode ser categorizada em seis regiões, as
percentagens são como a seguir. O plasma é respon- sável por 4,5%
do peso do corpo e por um total de 7,5% da água total do corpo. O
tecido conectivo denso e as cartilagens ocupam 4,5% do peso total
do corpo e 7,5% da água total do corpo. O tecido intersticial é 12%
do peso do corpo, o que dá 20% da água total