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Integracao por Quadratura GaussianaFabricio C. Mota1, Matheus C.
Madalozzo1, Regis S. Onishi1, Valmei A. Junior1
1UDC ANGLO Faculdade Anglo Americano (FAA)Av. Parana, 5661, CEP:
85868-030 Foz do Iguacu PR Brasil
{caceres.mota,shindionishi}@hotmail.com,
[email protected]@terra.com.br
Abstract. The numerical calculation has several segments to
determine the va-lue of a definite integral where the function F
(x) is not known or is not easilyunderstood.For this purpose, we
highlighted the Gaussian Quadrature method,where we explain the
formulation of Gauss-Legendre through an example andan
algorithm.
Resumo. O calculo numerico possui varios segmentos para
determinar o valorde uma integral definida, onde a funcao F (x) nao
e conhecida ou nao e de facilentendimento. Para tanto, destacamos o
metodo da Quadratura Gaussiana,onde explicaremos a formulacao de
Gauss-Legendre atraves de um exemplo eum algoritmo.
1. IntroducaoA matematica pode ser dividida em dois seguimentos,
o calculo numerico e o algebrico.O calculo numerico ou analise
numerica e a area da matematica que trata da concepcaode processos
numericos e estuda sua execucao para encontrar aproximacoes da
solucaodo modelo matematico. Ja o calculo algebrico, esta
diretamente ligado a`s expressoesalgebricas, envolvendo equacoes,
inequacoes e sistemas de equacoes.
Para a resolucao numerica de integrais, dentre os metodos
existentes, iremosfocar a tecnica da Quadratura Gaussiana. Porem o
metodo possui varias derivacoescomo a Gauss-Chebyshev,
Gauss-Hermite, Gauss-Laguerre, Gauss-Legendre, entre ou-tros.
Todavia, esse artigo e focado na Gauss-Legendre, pois e de facil
implementacao emcomparacao com as demais.
2. ObjetivoA proposta desse artigo consiste no estudo sobre o
metodo numerico da Quadratura Gaus-siana para explicar o seu
funcionamento apresentar uma aplicacao pratica e, com o
co-nhecimento adquirido, desenvolver um algoritmo para melhor
entendimento.
3. Finalidade do metodoA estimativa de uma integral baseada em
valores da funcao uniformemente espacados,e uma caracterstica das
equacoes de Newton-Cotes. Consequentemente, a localizacaodos pontos
de base utilizadas nestas equacoes sao predeterminados ou fixos.
Conformeilustrado na figura (1a), a regra trapezio e baseada em
considerar a area sob a reta ligandoos valores da funcao nas
extremidades do intervalo de integracao. A formula usada
paracalcular esta area e:
I = (b a)f(a) + f(b)2
(1)
onde,
-
a, b sao os limites de integracao.b a e a largura do intervalo
de integracao.A regra do trapezio deve passar pelos pontos finais.
Ha casos, como na figura (1a) onde aformula resulta em um grande
erro quando, comparado com a solucao analtica. Supondoque a
restricao de base seja removida e se tem a liberdade para avaliar a
area sob uma linhareta que une dois pontos quaisquer da curva,
posicionando os pontos corretamente, pode-se definir uma linha reta
que ira equilibrar os erros positivos e negativos. Assim, como
nafigura (1b), pode-se chegar a uma melhor estimativa da integral.
Para implementar estaestrategia utiliza-se a Quadratura Gaussiana.
As formulas particulares da Quadratura deGauss utilizadas neste
artigo sao chamadas de formulas de Gauss-Legendre.
(a) Representacao grafica da regrado trapezio como a area sob a
retaque une os pontos finais fixos.
(b) Estimativa de uma integral me-lhorada obtida tomando a area
sob areta passando por dois pontos inter-mediarios.
Figura 1. Representacao grafica dos metodos de integracao.
Imagem adaptada[Chapra and Canale 2010]
4. Desenvolvimento do metodoPara determinar a formula da
quadratura gaussiana para n = 2 e necessario umamundanca no
intervalo de integracao de [a, b] para [1, 1], para isso faz-se uma
trocade variavel. Assim tem-se,
x =1
2(b a)t+ 1
2(b a),
que substituido na funcao,
f(x) = f[1
2(b a)t+ 1
2(b+ a)
],
de forma que,
I = baf(x)dx =
11F (t)dt,
onde,
F (t) =1
2(b a) f
[1
2(b a)t+ 1
2(b+ a)
]. (2)
O objetivo da quadratura de Gauss e determinar os coeficientes
de uma equacaoda forma:
I = 11F (t)dt = A0F (t0) + A1F (t1) (3)
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Onde A0 e A1 sao coeficientes desconhecidos. No entanto, os
argumentos x0 e x1nao sao fixados nas extremidades, mas sao
incognitas, figura (2). Assim, temos um totalde quatro incognitas
que devem ser avaliadas e, consequentemente, precisa-se de
quatrocondicoes para determina-las.
Figura 2. Representacao grafica das variaveis desconhecidas para
a integracaode Gauss. Imagem adaptada [Chapra and Canale 2010].
Pode-se obter duas destas condicoes, assumindo que a equacao (3)
representa exa-tamente a integral de uma constante e uma funcao
linear. Entao, para chegar as outras duascondicoes, assumindo que
ela tambem representa a integral de uma parabola e uma
funcaocubica. Com isso, determina-se as quatro incognitas e, em
troca, chega-se numa formulade integracao de dois pontos lineares
que e exata para funcoes cubicas. Entao, 1
1tkdt = A0F (t
k0) + A1F (t
k1). (4)
Considerando que:
k = 0 11t0dt = A0t
00 + A1t
01
k = 1 11t1dt = A0t0 + A1t1
k = 2 11t2dt = A0t
20 + A1t
21
k = 3 11t3dt = A0t
30 + A1t
31
ou ainda, 2 = A0 + A1
0 = A0t0 + A1t123= A0t
20 + A1t
21
0 = A0t30 + A1t
31
(5)
que resolvidas resultam,A0 = A1 = 1
t0 = 13= 0.5773503... (6)
t1 =13= 0.5773503....
substituindo estes resultados na equacao (3), tem-se a formula
de Gauss-Legendre paradois pontos:
IG = F
( 1
3
)+ F
(13
). (7)
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Assim, chega-se a uma formula que e exata para polinomios de ate
terceiro grau. Parapolinomios de graus superiores e para outras
funcoes, o erro de integracao, conformeabordado em Carnahan et al.
(1969), e geralmente dado por:
Et =22n+3[(n+ 1)!]4
(2n+ 3)[(2n+ 2)!]3f (2n+2) (8)
onde,n = numero de pontos menos um,f (2n+2)() = (2n+ 2)a e
derivada da funcao apos a mudanca de variavel, com () loca-
lizado em algum lugar no intervalo de [1, 1].Com um processo
semelhante ao adotado para a determinacao da formula para
dois pontos, e construda a formula geral para a Quadratura
Gaussiana, ou seja,
I = 11F (t)dt =
n1i=0
AiF (ti) (9)
onde,
n = numero de pontos,Ai = coeficientes,ti = razes.
Os valores de Ai e ti ate n = 6 sao dados na tabela abaixo:
Tabela 1. Tabela de pontosPontos Fator de peso(Ai) Argumentos da
funcao(ti)
1 A0 = 2.00000000 t0 = -0.00000000002 A0 = 1.00000000 t0 =
-0.5773502691
A1 = 1.00000000 t1 = 0.57735026913 A0 = 0.55555556 t0 =
-0.7745966692
A1 = 0.88888889 t1 = 0.0000000000A2 = 0.55555556 t2 =
0.7745966692
4 A0 = 0.34785484 t0 = -0.8611363115A1 = 0.65214516 t1 =
-0.3399810435A2 = 0.65214516 t2 = 0.3399810435A3 = 0.34785484 t3 =
0.8611363115
Pontos Fator de peso(Ai) Argumentos da funcao(ti)5 A0 =
0.23692688 t0 = -0.9061798459
A1 = 0.47862868 t1 = -0.5384693101A2 = 0.56888889 t2 =
0.0000000000A3 = 0.47862868 t3 = 0.5384693101A4 = 0.23692688 t4 =
0.9061798459
6 A0 = 0.17132450 t0 = -0.9324695142A1 = 0.36076158 t1 =
-0.6612093864A2 = 0.46791394 t2 = -0.2386191860A3 = 0.46791394 t3 =
0.2386191860A4 = 0.36076158 t4 = 0.6612093864A5 = 0.17132450 t5 =
0.9324695142
5. Algoritmo de Gauss-LegendrePara iniciar o calculo do metodo,
primeiramente precisa-se ter os valores de a, b, n, F (x)onde:
a Limite inferior;b Limite superior da integral;n Numero de
pontos a ser utilizado;F (x) Funcao a ser integrada;
E tambem deve-se possuir os pontos (point[]) e os pesos (A[])
predefinidos. Parafacilitar, o calculo foi divido em tres etapas
que sao realizadas (n-1) vezes para chegar aoresultado do calculo.
Sao elas:
I A variavel x e iniciada utilizando a formula (3). Todavia, a
variavel t nesta formula eutilizada como point[i];
-
II com o resultado da primeira etapa, chama-se uma funcao
denominada chamaCal-culo que, por sua vez, recebe como parametro a
funcao que sera integrada F (x)para F (x(t)) retornando o valor da
funcao;
III nesta ultima etapa, e feito o somatorio da formula do
calculo, como exibido na secao(4).
{a , b , x , n , F ( x ) , F , r e s u l t a d o , A[ ] , p o i
n t [ ]}INICIO
PARA i =0 a t e n1x = ( ( ( ba ) p o i n t [ i ] / 2 ) + ( ( b+a
) / 2 )F = chamaCalcu lo ( F ( x ) , x ) ( ( ba ) / 2 )r e s u l t
a d o = r e s u l t a d o +(A[ i ]F )
FIMSE p o l i n o m i o ( F ( x ))>(2 n1) FACA
e r r o = exp ( 2 ( 2 n + 1 ) ) ( f a t ( n ) ) 4e r r o = e r r
o / ( 2 n + 1 ) ( f a t (2 n ) ) 3
e r r o = e r r o ( F ( x ) 2 nE ) ;mo s t r a r e s u l t a d o
;mo s t r a e r r o ;
FIMSEmo s t r a r e s u l t a d o
FIMFUNCAO chamaCalcu lo ( F ( x ) , t )
r e t o r n a = Forma a n a l i t i c a de F ( x ) em r e l a c
a o a t FIM
6. AplicacaoPara mostrar uma aplicacao da Quadratura Gaussiana
pretende-se calcular, utilizando trespontos, o valor da integral
definida dada por: 2
2(x2 + 3x)dx (10)
Solucao:Pela definicao da equacao (4) tem-se,
IG = A0F (t0) + A1F (t1) + A2F (t2),
e pela formula (3)
F (t) =b a2
f
(b a2
t+b+ a
2
),
substituindo os valores,
F (t) =2 + 2
2f
(2 + 2
2t+
2 + (2)2
)
que resolvendo fica,
F (t) = 2f(2t+ 0) = 2f(2t) = 2((4t)2 + 6t) =
F (t) = 8t2 + 12t
com os dados da tabela (1) tem-se,A0 = A1 =
59= 0.55555556
t0 =35
t1 = 35
t2 = 0A2 =
89
e substituindo na equacao (4) fica,
I =5
9(8t20 + 12t0) +
5
9(8t21 + 12t1)
8
9(8t22 + 12t2)
-
I =5
9[8(
35)2 + 12(
35)] +
5
9[8(
35)2 + 12(
35)] == 5,33333333.
Resolvendo analiticamente a integral (11) encontra-se que: 22(x2
+ 3x) =
x3
3+
3x2
3
2
2=
16
3= 5,33333333
Em Barroso et al. (1987), e feita uma comparacao de precisao de
alguns metodos deintegracao numerica. Para isso foi utilizada a
integral:
I = 51lnxdx (11)
Onde o valor exato, com precisao de seis casas decimais, e dado
por:
I = 51lnxdx = xlnx
51dx = 4, 047190. (12)
Resultados:
(a) Metodo do trapezio (b) Metodo 1a de Simp-son
(c) Metodo da Quadra-tura Gaussiana
7. ConclusaoComparando os resultados obtidos pelo metodo da
Quadratura Gaussiana e o metodoanaltico, nota-se que ambos
resultados sao analogos. Entretanto, a tecnica da Qua-dratura
Gaussiana nao necessita do calculo de derivadas, o que pode vir a
facilitar suaimplementacao em sistemas computacionais.
Analisando a comparacao dos metodos de integracao numerica
podemos afir-mar que o metodo Gaussiano requer menor esforco
computacional para o calculo emrelacao aos outros e fornece
resultados com maior precisao. Contudo, isso nao e regrageral,
existem casos particulares em que outros metodos sao mais
vantajosos. Para osvalores de uma funcao que sao obtidos
experimentalmente, as formulas dos trapeziose Simpson podem ser
mais uteis, quando os pontos sao uniformemente distribudos.[Barroso
et al. 1987][Carnahan et al. 1969]
ReferenciasBarroso, L. C., Barroso, M. M. A., Campos, F. F., de
Carvalho, M. L. B., and Maia, M. L.
(1987). Calculo Numerico com aplicacoes. HARBRA Ltda, 2th
edition.
Carnahan, B., Wilkes, J. O., and Luther, H. A. (1969). Applied
Numerical Methods.Wiley, 1th edition.
Chapra, S. C. and Canale, R. P. (2010). Numerical Methods for
Engineers. McGraw-Hill,6th edition.
