MTODO DE LA SECANTEEste mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el clculo de la derivada usando la siguiente aproximacin:

Sustituyendo en la frmula de Newton-Raphson, obtenemos:

Que es la frmula del mtodo de la secante. Ntese que para poder calcular el valor de, necesitamos conocer los dos valores anterioresy.Obsrvese tambin, el gran parecido con la frmula del mtodo de la regla falsa. La diferencia entre una y otra es que mientras el mtodo de la regla falsa trabaja sobre intervalos cerrados, el mtodo de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximacin casi con la misma rapidez que el mtodo de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo riesgo de ste ltimo de no converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va a la segura.Ejemplo 1Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de, comenzando con,y hasta que.SolucinTenemos quey, que sustituimos en la frmula de la secante para calcular la aproximacin:

Con un error aproximado de:

Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

0

1100%

0.61269983763.2%

0.6534421336.23%

0.6529172650.08%

De lo cual concluimos que la aproximacin a la raz es:

Ejemplo 2Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de, comenzando cony, y hasta que.SolucinTenemos los valoresy, que sustituimos en la frmula de la secante para obtener la aproximacin:Con un error aproximado de:

Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

0

1100%

0.82331507321.4%

0.8523302803.40%

0.8531691210.09%

MTODO DE LA BISECCINEl mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema de Clculo:Teorema del Valor Intermedio. Seacontinua en un intervaloy supongamos que. Entonces para cadatal que, existe untal que. La misma conclusin se obtiene para el caso que. Bsicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda funcin continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanz ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular, siytienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente, y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existirtal que, es decir, debe haberpor lo menosuna raz deen el intervalo. El mtodo de biseccin sigue los siguientes pasos:Seacontinua,i)Encontrar valores iniciales,tales queytienen signos opuestos, es decir,

ii)La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio entrey:

iii)Evaluar. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos queytienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo.

En este caso, tenemos queytienen el mismo signo, y de aqu queytienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo.

En este caso se tiene quey por lo tanto ya localizamos la raz.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Es decir,

Ejemplo 1Aproximar la raz dehasta que.SolucinSabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la seccin anterior, que la nica raz dese localiza en el intervalo. As que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el mtodo de biseccin debemos checar queytengan signos opuestos.En efecto, tenemos que

Mientras que

Cabe mencionar que la funcins es continua en el intervalo. As pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el mtodo de biseccin. Comenzamos:i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximacin a la raz):

ii)Evaluamosiii)Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raz se encuentra en el intervalo. En este punto, vemos que todava no podemos calcular ningn error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximacin. As, repetimos el proceso con el nuevo intervalo.Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximacin a la raz):

Aqu podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximacin actual y la aproximacin previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso.Evaluamos, y hacemos la tabla:

As, vemos que la raz se encuentra en el intervalo. Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

1.25

1.3759.09%

1.31254.76%

1.281252.43%

1.2968751.20%

1.30468750.59%

As, obtenemos como aproximacin a la raz

Ejemplo 2Aproximar la raz dehasta que.SolucinComo vimos en el ejemplo 2 de la seccin anterior, la nica raz dese localiza en el intervalo. Para poder aplicar el mtodo de biseccin, es importante checar que s se cumplen las hiptesis requeridas.Sabemos quees continua en el intervalo, y checamos quey tengan signos opuestos.En efecto,

Mientras que,

Por lo tanto, s podemos aplicar el mtodo de biseccin. Calculamos el punto medio del intervalo,

Que es la primera aproximacin a la raz de. Evaluamos. Y hacemos nuestra tabla de signos,

Puesto queytienen signos opuestos, entonces la raz se localiza en el intervalo.En este punto, solo contamos con una aproximacin, a saber,, que es el primer punto medio calculado. Repetimos el proceso, es decir, calculamos el punto medio ahora del intervalo,

Que es la nueva aproximacin a la raz de. Aqu podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos. Y hacemos la tabla de signos:

Puesto queytienen signos opuestos, entonces la raz se localiza en el intervalo. Calculamos el punto medio,

Y el nuevo error aproximado:

El proceso se debe continuar hasta que se logre el objetivo.Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

0.5

0.7533.33%

0.62520%

0.562511.11%

0.531255.88%

0.5156253.03%

0.52343751.49%

0.519531250.75%

De lo cual, vemos que la aproximacin buscada esEl mtodo de biseccin por lo general es lento, y en casos como el de la siguiente grfica, puede ser demasiado lento.

En un caso como ste, el proceso de biseccin comienza a acercarse a la raz de forma muy lenta, ya que el mtodo solamente toma en cuenta que la raz se encuentra dentro del intervalo, sin importar si se encuentra ms cerca de alguno de los extremos del intervalo. Sera bueno implementar un mtodo que tome en cuenta este detalle.

MTODO DE NEWTON-RAPHSONEste mtodo, el cual es un mtodo iterativo, es uno de los ms usados y efectivos. A diferencia de los mtodos anteriores, el mtodo de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su frmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproximacina la razde,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto; sta cruza al ejeen un puntoque ser nuestra siguiente aproximacin a la raz. Para calcular el punto, calculamos primero la ecuacin de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente:

Y por lo tanto la ecuacin de la recta tangente es:

Hacemos:

Y despejamos:

Que es la frmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximacin:, si

Note que el mtodo de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raz, y de hecho no tenemos ninguna garanta de que nos aproximaremos a dicha raz. Desde luego, existen ejemplos donde este mtodo no converge a la raz, en cuyo caso se dice que el mtodo diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los mtodos preferidos por excelencia.Tambin observe que en el caso de que, el mtodo no se puede aplicar. De hecho, vemos geomtricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no interseca al ejeen ningn punto, a menos que coincida con ste, en cuyo casomismo es una raz de!Ejemplo 1Usar el mtodo de Newton-Raphson, para aproximar la raz de, comenzando cony hasta que.SolucinEn este caso, tenemos que

De aqu tenemos que:

Comenzamos cony obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidi.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

1

1.26894142121.19%

1.3091084033.06%

1.3097993890.052%

De lo cual concluimos que, la cual es correcta en todos sus dgitos!La misma idea puede aplicarse para crear algoritmos que aproximen races-simas de nmeros reales positivos.Observe que cuando el mtodo de Newton-Raphson converge a la raz, lo hace de una forma muy rpida y de hecho, observamos que el error aproximado disminuye a pasos agigantados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro objetivo establecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los mtodos que hemos estudiado, cabe mencionar que si existen estas cotas que miden con mayor precisin la rapidez lentitud del mtodo en estudio.

MTODO DEL PUNTO FIJOEste mtodo se aplica para resolver ecuaciones de la formaSi la ecuacin es, entonces puede despejarse bien sumaren ambos lados de la ecuacin para ponerla en la forma adecuada.Ejemplos:1) La ecuacinse puede transformar en.2) La ecuacinse puede transformar en.Dada la aproximacin, la siguiente iteracin se calcula con la frmula:

Supongamos que la raz verdadera es, es decir,

Restando las ltimas ecuaciones obtenemos:

Por el Teorema del Valor Medio para derivadas, sabemos que sies continua eny diferenciable enentonces existetal queEn nuestro caso, existeen el intervalo determinado porytal que:

De aqu tenemos que:

O bien,

Tomando valor absoluto en ambos lados,

Observe que el trminoes precisamente el error absoluto en lasima iteracin, mientras que el trminocorresponde al error absoluto en lasima iteracin.Por lo tanto, solamente si, entonces se disminuir el error en la siguiente iteracin. En caso contrario, el error ir en aumento.En resumen, el mtodo de iteracin del punto fijo converge a la raz siparaen un intervaloque contiene a la raz y dondees contnua y diferenciable, pero diverge sien dicho intervalo.Analicemos nuestros ejemplos anteriores:En el ejemplo 1,y claramente se cumple la condicin de que. Por lo tanto el mtodo s converge a la raz.En el ejemplo 2,y en este caso,. Por lo tanto, el mtodo no converge a la raz.Para aclarar el uso de la frmula veamos dos ejemplos:Ejemplo 1Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de, comenzando cony hasta que.SolucinComo ya aclaramos anteriormente, el mtodo s converge a la raz. Aplicando la frmula iterativa tenemos,

Con un error aproximado deAplicando nuevamente la frmula iterativa tenemos,

Y un error aproximado de.Intuimos que el error aproximado se ir reduciendo muy lentamente. En efecto, se necesitan hasta 13 iteraciones para lograr reducir el error aproximado menor al 1%. El resultado final que se obtiene es:

Con un error aproximado igual al.Ejemplo 2Usar el mtodo de iteracin del punto fijo para aproximar la raz de, comenzando cony hasta que.SolucinSi despejamos ladel trmino lineal, vemos que la ecuacin equivale a

De donde,En este caso, tenemos que. Un vistazo a la grfica,

Nos convence que, para, lo que es suficiente para deducir que el mtodo s converge a la raz buscada.Aplicando la frmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado del 100%.Aplicando nuevamente la frmula iterativa, tenemos:

Con un error aproximado igual al 28.41%.En este ejemplo, el mtodo solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error menor al 1%. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:Aprox. a la razError aprox.

0

-0.2100%

-0.155746150628.41%

-0.16630390756.34%

-0.1638263721.51%

-0.1644100640.35%

De donde vemos que la aproximacin buscada es:

MTODO POSICIN FALSAComo mencionamos anteriormente, sera bueno considerar si la raz de una ecuacin est localizada ms cerca de alguno de los extremos del intervalo.Consideremos nuevamente una grfica como la anterior,

Donde hemos agregado la lnea recta que une los puntos extremos de la grfica en el intervalo.Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al ejeesta recta, nos aproximaremos mucho ms rpido a la raz; sta es en s, la idea central del mtodo de la regla falsa y sta es realmente la nica diferencia con el mtodo de biseccin, puesto que en todo lo dems los dos mtodos son prcticamente idnticos.Supongamos que tenemos una funcinque es continua en el intervaloy adems,ytienen signos opuestos.Calculemos la ecuacin de la lnea recta que une los puntos,. Sabemos que la pendiente de esta recta est dada por:

Por lo tanto la ecuacin de la recta es:

Para obtener el cruce con el eje, hacemos:

Multiplicando pornos da:

Finalmente, de aqu despejamos:

Este punto es el que toma el papel deen lugar del punto medio del mtodo de biseccin.As pues, el mtodo de la regla falsa sigue los siguientes pasos:Seacontinua,i)Encontrar valores iniciales,tales queytienen signos opuestos, es decir,

ii)La primera aproximacin a la raz se toma igual a:

iii)Evaluar. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

En este caso, tenemos queytienen signos opuestos, y por lo tanto la raz se encuentra en el intervalo.

En este caso, tenemos queytienen el mismo signo, y de aqu que ytienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra en el intervalo.

En este caso se tiene quey por lo tanto ya localizamos la raz.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:

Ejemplo 1Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de, comenzando en el intervaloy hasta que.SolucinEste es el mismo ejemplo 1 del mtodo de la biseccin. As pues, ya sabemos quees continua en el intervalo dado y que toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el mtodo de la regla falsa.Calculamos la primera aproximacin:

Puesto que solamente tenemos una aproximacin, debemos seguir con el proceso.As pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo.Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva aproximacin:

En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.Evaluamos, y hacemos la tabla de signos:

De donde vemos que la raz se encuentra en el intervalo, con el cual, podemos calcular la nueva aproximacin:

Y el error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximacin buscada es:

Observe la rapidez con la cual converge el mtodo de la regla falsa a la raz, a diferencia de la lentitud del mtodo de la biseccin.Ejemplo 2Usar el mtodo de la regla falsa para aproximar la raz de, comenzando en el intervaloy hasta que.Solucinste es el mismo ejemplo 2 del mtodo de la biseccin. As pues, ya sabemos que se cumplen las hiptesis necesarias para poder aplicar el mtodo, es decir, quesea continua en el intervalo dado y quetome signos opuestos en los extremos de dicho intervalo.Calculamos pues, la primera aproximacin:

Como solamente tenemos una aproximacin, debemos avanzar en el proceso.EvaluamosY hacemos nuestra tabla de signos:

De lo cual vemos que la raz se localiza en el intervalo. As pues, calculamos la nueva aproximacin:

Y calculamos el error aproximado:

Puesto que no se cumple el objetivo, seguimos avanzando en el proceso.Evaluamos.Y hacemos nuestra tabla de signos:

De los cual vemos que la raz se localiza en el intervalo, con el cual podemos calcular a la siguiente aproximacin:

Y el siguiente error aproximado:

Como se ha cumplido el objetivo, concluimos que la aproximacin buscada es:

Nuevamente observamos el contraste entre la rapidez del mtodo de la regla falsa contra la lentitud del mtodo de la biseccin. Por supuesto que puede darse el caso en el que el mtodo de la regla falsa encuentre la aproximacin a la raz de forma ms lenta que el mtodo de la biseccin. Como ejercicio, el estudiante puede aplicar ambos mtodos a la funcin, comenzando en el intervalo, donde notar que mientras que el mtodo de biseccin requiere de 8 aproximaciones para lograr que, el mtodo de la regla falsa necesita hasta 16 aproximaciones.