Metodos numericos 5

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

MÉTODOS ITERATIVOS

MÓNICA YAMILE CAMACHO

Los métodos iterativos representan una alternativa potente para solucionar esta dificultad, puesto que éstos se acercan más a la solución real esperada a medida que se itera, de manera que la calidad de la aproximación obtenida dependerá de la cantidad de iteraciones que se éste dispuesto a efectuar. El planteamiento consiste en suponer un valor inicial y luego usar un método sistemático para obtener una estimación refinada de la solución.

MÉTODOS ITERATIVOS

Carl Gustav Jakob Jacobi

MÉTODO DE JACOBI

MÉTODO DE JACOBI

método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistema de ecuaciones lineales del tipo Ax = b. El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi.

El método de Jacobi consiste en una secuencia de transformaciones ortogonales. Cada transformación la denominaremos una rotación de Jacobi; y realmente corresponde a una rotación cuyo objeto es eliminar un elemento de la matriz. Así vamos rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es lo suficientemente pequeño para ser considerada diagonal.

MÉTODO DE JACOBI

Supóngase que se tiene un sistema 3 x 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuación se puede resolver para x1, la segunda para x2 y la tercera para x3, para obtener:

En general, para un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n incógnitas, el Método de Jacobi para encontrar un valor k de una variable x es el siguiente:

MÉTODO DE JACOBI

El procedimiento consiste en asignar unos valores iniciales a las variables, usualmente se escoge "0" por simplicidad, de manera que para generar la siguiente iteración se sustituyen los valores obtenidos en la ecuación siguiente, con lo que se obtiene:

La convergencia del método de Jacobi esta dada por:

MÉTODO DE JACOBI

Ejemplo: dada el sistema de ecuaciones

12x1+5x2-x3=15

X1-6x2-4x3=9

2x1-3x2+8x3=5

Con valores iniciales x1= 1 , x2= 3 , x3= 2

Convergerá la solución usando el método de Jacobi?

Solución:

1. Se chequea si la matriz es diagonalmente dominante, si todas las desigualdades se cumplen la solución debe converger por este método.

12 5 -1

1 -6 -4

2 -3 8

12 >= 5 + -1 = 6

-6 >= 1 + -4 = 5

8 >= -2 + -3 = 5

MÉTODO DE JACOBI

5

9

15

x

x

x

8-32

-4-61

1512

3

2

1

12

515 321

xxx

-6

49 312

xxx

8

325 213

xxx

Despejamos x1 de la ecuación 1, x2 de 2 y x3 de 3.

Para los valores iniciales;

X1=1

X2= 3

X3=2

12

5151

2(3)x

= 0.1666

-6

492

(2)1x

= -2.6666

8

325 13

(3)(1)x

= 1.50

MÉTODO DE JACOBI

Iteración # 1

X1=0.1666

X2=-2.6666

X3=1.125

MÉTODO DE JACOBI

Ahora calculamos el error absoluto relativo aproximado:

%5001001

a

0.16666- 1

0.16666

%212.501002

a

2.6666-3

2.6666

%33.331003

a

1.50-2

1.50

El máximo error absoluto relativo aproximado después de la primera iteración es 86%.

MÉTODO DE JACOBI

Iter a1 e1 a2 e2 a3 e3

1,000 3,000 2,000

1 0,167 500,00 -2,667 212,50 1,500 33,33

2 2,486 93,30 -2,472 7,87 -0,417 460,00

3 2,245 10,72 -0,808 206,02 -0,924 54,89

4 1,510 48,73 -0,510 58,40 -0,239 285,97

5 1,443 4,65 -1,089 53,16 0,056 524,83

6 1,708 15,56 -1,297 16,06 -0,144 139,13

7 1,778 3,94 -1,119 15,89 -0,289 50,10

8 1,692 5,09 -1,011 10,68 -0,239 20,54

9 1,651 2,48 -1,058 4,45 -0,177 35,00

10 1,676 1,48 -1,107 4,35 -0,185 4,03

11 1,696 1,15 -1,097 0,83 -0,209 11,61

12 1,690 0,34 -1,078 1,80 -0,210 0,69

13 1,682 0,49 -1,078 0,00 -0,202 4,33

14 1,682 0,04 -1,085 0,66 -0,200 1,03

El Método de Gauss-Seidel Es una técnica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método es similar al método de Jacobi. Es un método iterativo, lo que significa que se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera.

GAUSS-SEIDEL

Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

GAUSS-SEIDEL

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando.

Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x2,…, xn; esto dará un primer valor para x1.

GAUSS-SEIDEL

Enseguida, se sustituye este valor de x1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero.

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo.

GAUSS-SEIDEL

Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio.

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas.

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas.

GAUSS-SEIDEL

LOS ERRORES APROXIMADOS

GAUSS-SEIDEL

100

nuevoi

anteriori

nuevoi

ia x

xx

siamax

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

Se finalizan las iteraciones cuando el máximo Error absoluto relativo aproximado es menor que la tolerancia especificada para todas las incógnitas.

El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones siempre?

Una matriz [A] es Diagonalmente dominante si:

n

jj

ijaa

i1

ii

n

ijj

ijii aa1

Para todo ‘i’ y Por lo menos un ‘i’

GAUSS-SEIDEL

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

12x1+5x2-x3=15X1-6x2-4x3=92x1-3x2+8x3=5Con valores iniciales x1= 1 , x2= 1 , x3= 1

Solución:

GAUSS-SEIDEL

12 5 -1

1 -6 -4

2 -3 8

5

9

15

x

x

x

8-32

-4-61

1512

3

2

1

12

515 321

xxx

-6

49 312

xxx

8

325 213

xxx

Valores iniciales: x1 = 1

x2=1

x3=1

GAUSS-SEIDEL

12

5151

1(1)x

= 0.917

-6

492

(1)0.9167x

= -2.014

8

32(0.917)5 13

(12.0833)x

= 0.359

Si seguimos iterando se tiene:


1,000 1,000 1,000

1 0,917 9,09 -2,014 149,66 -0,359 378,26

2 2,059 55,48 -0,917 119,56 -0,234 53,74

3 1,613 27,69 -1,075 14,71 -0,181 28,83

4 1,683 4,17 -1,099 2,11 -0,208 12,64

5 1,690 0,44 -1,080 1,74 -0,203 2,55

6 1,683 0,44 -1,084 0,43 -0,202 0,05

7 1,685 0,12 -1,084 0,02 -0,203 0,19

8 1,685 0,01 -1,084 0,02 -0,203 0,06

9 1,685 0,01 -1,084 0,01 -0,203 0,01

GAUSS-SEIDEL

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN

Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

Reacomodamos las ecuaciones por Pivote y despejamos cada ecuación con su variable para obtener:


Asuma que: x1=x2=x3=Xn=0

Y aplique la definición

xi(nuevo= wxi(nuevo) + (1-w)*xi(nuevo )

Donde w: •Puede variar entre 0 y 2.

•Si 0<w<1, lo que se pretende es acelerar la convergencia (método de subrelajación)

•Si 1<w<2, lo que se pretende es acelerar la convergencia(método de sobrerelajación sucesiva o SOR).


Ejemplo: se tiene el sistema

-4x1+10x3=70

2x1-x2-2x3=-3

6x1+8x2=45

Use el método de gauss Seidel con relajación para resolver w=0.80 y error =5%

Solución

2

-3 321

2xxx

8

45 12

6xx

10

470 13

xx


Asumo x1= x2= x3= 0

Y aplico la definición; xi(nuevo= wxi(nuevo) + (1-w)*xi(nuevo )

Para luego ir reemplazando en cada ecuación.

Para la primera iteración:

2

-3 31

00x

=1.5

1x (nuevo)= 0.80*1.5+(1-0.80)0 =1.2

8

452

0x

=5.625

2x (nuevo)= 0.80*5.625+(1-0.80)0 = 4.5

10

0703x

=7

3x (nuevo)= 0.80*7+(1-0.80)0 = 5.6


Y así sucesivamente realizamos las iteraciones donde de manera rápida encontraremos la solución.



0,000 0,000 0,000

1 1,5 100 5,625 100 7 100

2 1,2 25 4,5 25 5,6 25

3 1,26 4,761904762 4,725 4,761904762 5,88 4,761904762

4 1,248 0,961538462 4,68 0,961538462 5,824 0,961538462

5 1,2504 0,19193858 4,689 0,19193858 5,8352 0,19193858

6 1,24992 0,038402458 4,6872 0,038402458 5,83296 0,038402458

7 1,250016 0,007679902 4,68756 0,007679902 5,833408 0,007679902

8 1,2499968 0,001536004 4,687488 0,001536004 5,8333184 0,001536004

ttp://www.monografias.com/trabajos45/descomposicion-lu/descomposicion-lu2.shtml

Chapra, S.; P. Canale, R. Métodos Numéricos para Ingenieros. (3ª ed.). McGrawHill

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/course/view.php?id=229

BIBLIOGRAFÍA

Documents

Metodos numericos 5