MÉTODOS ITERATIVOS

CYNDY ARGOTE SIERRA

ESCUELA DE INGENIERIA DE PETRÓLEOS

MÉTODOS NUMERICOS

MÉTODO DE JACOBI

Este método junto con el de gauss Seidel comprenden losmétodos iterativos para la solución de sistemas deecuaciones lineales.

El método parte de un sistema de ecuaciones al cual se leaplicaran unos arreglos si es necesario para poderimplementar este método. Cuando se tiene el sistema deecuaciones definido se debe hacer lo posible para que lamatriz tenga la forma de diagonalmente dominante.

Es decir:

PASOS A SEGUIR…

1. Para emplear este método se nos debe proporcionar unvector inicial.

2. Este método se basa en el despeje de cada incógnita de unsistema de ecuaciones como el siguiente.

a11X1 + a12X2 +… + a1nXn = b1

a21X1 + a22X2 +… +a2nXn = b1. . .. . .

an1X1+ an2X2 + … + annXn = bn

3. Despejamos las incógnitas (variable x) de estas ecuaciones yempleamos el valor inicial para la primera iteración.

4. Realizamos una serie de iteraciones hasta lograr que el Easea menor de la tolerancia dada.

EJEMPLO

Con un vector inicial

X1 = 0X2 = 0X3 = 0

Resolver por el método de Jacobi, el siguiente sistema de ecuaciones.

6x1 + 2x2 + x3 = 22-x1 + 8x2 + 2x3 =30x1 - x2 + 6x3 =23

SOLUCIÓN

1. Despejamos la variable x de cada una de las ecuaciones como sigue:

x1 = (22-2x2-x3)/6

x2 = (30+x1-2x3)/8

x3 = (23-x1+x2)/6

2. Para un vector inicial (0 ; 0 ; 0) hallo los valores de x1, x2, x3.

x1 = [22-2(0)-(0)]/6

x2 = [30+(0)-2(0)]/8

x3 = [23-(0)+(0)]/6

3. Teniendo para nuestra primera iteración los siguientes valores:

X1= 3,66 X2= 3,75 X3= 3,83

4. Reemplazamos en las ecuaciones despejadasinicialmente los valores obtenidosanteriormente e iteramos hasta que Ea<1%

5. Observamos que en la 6 Iteración se alcanza laconvergencia.

Iteración x1 Ea x2 Ea x3 Ea0 0 0 01 3,67 100,00 3,75 100,00 3,83 100,002 1,78 106,25 3,25 15,38 3,85 0,363 1,94 8,46 3,01 7,96 4,08 5,684 1,98 2,08 2,97 1,26 4,01 1,685 2,01 1,18 3,00 0,73 4,00 0,336 2,00 0,26 3,00 0,21 4,00 0,01

GAUSS SEIDEL

El método de Gauss Seidel es casi idéntico almétodo de Jacobi. Este ultimo encuentravalores para cada incógnita del sistema deecuaciones lineales y en la siguiente iteraciónsustituye estos valores en el sistema. La únicadiferencia entre estos dos métodos esta en que,en el método de Gauss Seidel una vez que se hacalculado el valor de Xi, este valor se sustituyeinmediatamente en la misma iteración.

EJEMPLO

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones linealespor medio del método de Gauss Seidel, con unatolerancia de 0,1%

6x1 + 2x2 + x3 = 22-x1 + 8x2 + 2x3 =30x1 - x2 + 6x3 =23

Con un Vector inicial

X1=0X2=0X3=0

SOLUCIÓN

1. Al igual que en el método de Jacobi despejo en cada ecuación cada una de las incógnitas respectivamente.

x1 = (22-2x2-x3)/6

x2 = (30+x1-2x3)/8

x3 = (23-x1+x2)/6

2. Empleando el vector inicial, hallo el valor de la primera incógnita.

x1 = (22-2x2-x3)/6

x1=[(22-2(0)-(0)]/6

x1=3,66

3. Hallo la segunda incógnita (X2) empleando el valorhallado anteriormente.

x2 = (30+x1-2x3)/8

x2 = [30+(3,66)-2(0)]/8

x2= 4,21

4. De igual manera hallamos el valor de X3 empleando losvalores de X1 y x2 hallados anteriormente.

x3 = (23-x1+x2)/6

x3 = [23-(3,66)+(4,21)]/6

x3= 3,925

5. Con estos valores empiezo a iterar hasta alcanzar unEa<0,1%.

Realizamos la tabla de iteraciones en Excelcomo se muestra a continuación:

Observamos de esta manera que aunque tomamas iteraciones que el método de Jacobi esté esmucho mas preciso.

Iteración x1 Ea x2 Ea x3 Ea0 0 0 01 3,67 100,00 4,21 100,00 3,92 100,002 1,61 127,75 2,97 41,68 4,06 3,363 2,00 19,50 2,98 0,49 4,00 1,564 2,01 0,28 3,00 0,54 4,00 0,045 2,00 0,29 3,00 0,04 4,00 0,026 2,00 0,01 3,00 0,01 4,00 0,00

GAUSS SEIDEL CON RELAJACIÓN

Después de calcular un nuevo valor de x por laecuación de Gauss Seidel, ese valor se modificapor un promedio ponderado de los resultados delas iteraciones hechas con Gauss-Seidel, esto seconoce como técnica SOR o de relajación. Elesquema es el siguiente:

Pasos a seguir…

1. Para hallar los valores de X en el sistema de ecuaciones empleo la ecuación fundamental:

Xi=W*Xi + (1-W)*Xi

2. Reemplazo el W dado inicialmente, y obtengo un nuevo sistema de ecuaciones.

3. Reemplazo los valores iniciales, y empiezo a iterar hasta alcanzar un Ea menor a la tolerancia dada.

EJEMPLO

Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones empleando el método de Gauss Seidel Relajado (SOR).

6x1 + 2x2 + x3 = 22

-x1 + 8x2 + 2x3 =30

x1 - x2 + 6x3 =23

Con un vector inicial (0 ; 0 ; 0), y con factor de relajación de W=1,25

SOLUCIÓN

1. Planteo el sistema de ecuaciones de la siguiente forma:

X1= [22*W-2X2*W-X3*W+6X1*(1-W)]/6

X2=[30*W-2X3*W+X1*W+8X2*(1-W)]/8

X3=[23*W-X1*W+X2*W+6X3*(1-W)]/6

2. Reemplazo el valor del W dado y obtengo el nuevo sistema de ecuaciones.

X1= [22*(1,25)-2X2*(1,25)-X3*(1,25)+6X1*(1-1,25)]/6

X2=[30*(1,25)-2X3*(1,25)+X1*(1,25)+8X2*(1-1,25)]/8

X3=[23*(1,25)-X1*(1,25)+X2*(1,25)+6X3*(1-1,25)]/6

Llevando a cabo la operación anterior se tiene que:

X1= [27,5 - 2,5X2 - 1,25X3 - 1,5X1]/6

X2=[37,5 – 2,5X3 + 1,25X1 - 2X2]/8

X3=[28,75 – 1,25X1 + 1,25X2 – 1,5X3]/6

3. Empleo los valores iniciales para la primera iteración, teniendo en cuenta que este método trabaja de igual forma que Gauss Seidel.

X1= [27,5 - 2,5X2 - 1,25X3 - 1,5X1]/6

X1= [27,5 - 2,5(0) - 1,25(0) - 1,5(0)]/6

X1= 4,58

4. Realizo el mismo procedimiento para X2 y X3

X2=[37,5 – 2,5X3 + 1,25X1 - 2X2]/8

X2=[37,5 – 2,5(0) + 1,25(4,58) – 2(0)]/8

X2= 5,40

X3=[28,75 – 1,25X1 + 1,25X2 – 1,5X3]/6

X3=[28,75 – 1,25(4,58) + 1,25(5,40) – 1,5(0)]/6

X3= 4,962

5. Empiezo a iterar hasta alcanzar un Ea < a la tolerancia dada.

Realizamos la tabla de iteraciones en Excel como se muestra a continuación:

Al llegar a este punto claramente podemos decir que el método iterativo con mayor velocidad de convergencia es el de Gauss Seidel.

Iteración x1 Ea x2 Ea x3 Ea

0 0 0 0

1 4,58 100,00 5,40 100,00 4,96 100,00

2 0,15 2913,11 1,81 198,62 3,90 27,37

3 2,98 94,89 3,48 48,05 3,92 0,67

4 1,57 89,79 2,84 22,80 4,07 3,74

5 2,16 27,32 3,04 6,78 3,96 2,98

6 1,95 10,71 3,00 1,58 4,02 1,57

7 2,01 2,92 3,00 0,04 3,99 0,70

8 2,00 0,47 3,00 0,23 4,00 0,26