Metodos Estadisticos-hidrologia Gumbel y Pearson

8/18/2019 Metodos Estadisticos-hidrologia Gumbel y Pearson

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METODOS ESTADÍSTICOS.

Los métodos estadísticos, se basan en considerar que el caudal máximo anual, esuna variable aleatoria que tiene una cierta distribución. Para utilizarlos serequiere tener como datos, el registro de caudales máximos anuales, cuanto

mayor sea el tamaño del registro, mayor será también la aproximación delcálculo de caudal de diseño, el cual se calcula para un determinado periodo deretorno.

Por lo general, en los proyectos donde se desea determinar el caudal de diseño,se cuenta con pocos años de registro por lo que la curva de distribución deprobabilidades de los caudales máximos, se tiene que prolongar en su extremo sise requiere inerir un caudal con un periodo de retorno mayor al tamaño delregistro. !l problema se origina en que existen muc"os tipos de distribucionesque se apegan a los datos, y sin embargo, di#eren en los extremos. !sto "a dadolugar a diversos métodos estadísticos, dependiendo del tipo de distribución que

considere.

$ continuación se explican los métodos de%

• &umbel• Log'Pearson (((

&umbel consideran una distribución de valores extremos, con la )nica dierencia,que el criterio de *as" es menos rígido que el de &umbel, pues permite a+ustar ladistribución por mínimos cuadrados. Por otra parte, considera una distribuciónPearson tipo (((. !n orma práctica, se recomienda escoger varias distribuciones y

ver cual se a+usta me+or esto requiere que se tengan los datos necesarios parapoder aplicar alguna prueba estadística, como la prueba de bondad de a+uste.


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MÉTODO DE GUMBEL.

Para calcular el caudal máximo para un periodo de retorno determinado se usa laecuación%

Qmax=Qm−σ Q

σ N (Y N −lnT ) -

/iendo%

σ Q=

√

∑i=1

N

Qi2− N Qm

2

N −1-0

1onde%

Qmax=¿ Caudal máximo para un periodo de retorno determinado

en m!"#.$% n&mero de a'o# de re(i#tro.)i %Caudale# máximo# anuale# re(i#trado# en m!"#.

Qm= ∑i=1

N

Qi

N Caudal promedio en m!"#

T% *eriodo de retorno.σ N , Y N =¿ Con#tante# +un,i-n de $ tala /.0! 12ariale#

redu,ida#3σ Q % De#4ia,i-n e#tándar de lo# ,audale#.

Para calcular el intervalo de con#anza, o sea, aquel dentro del cual puede variar

Qmax dependiendo del registro disponible se "ace lo siguiente%

. /i 23'45 varía entre 6.06 y 6.76, el intervalo de conianza se calcula conla órmula%


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∆ Q=±√ Nα σ mσ Q

σ N √ N …3

1onde%

$% n&mero de a'o# de re(i#tro√ Nα σ m %,on#tante en +un,i-n de 5 tala /.06.

σ N % Con#tante# +un,i-n de $ tala /.0!

σ Q % De#4ia,i-n e#tándar de lo# ,audale# 1e,ua,i-n 73

5abla 8.9. :alores de Y N y σ N en unción de $.


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5abla 8.; :alores de √ Nα σ m en unción de 2.

0. /i 2


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∆ Q=±1.14σ Q

σ N …4

La zona de 2 comprendida entre 6.7 y 6.= se considera la transición, donde

∆ Q es proporcional al cálculo con las ecuaciones 9 y ;, dependiendo del valorde 2.

!l caudal máximo de diseño para un cierto periodo de retorno, será igual alcaudal máximo con la ecuación >?, más el intervalo de con#anza, calculado con>9? ó >;?.

Qd=Qmax+ ∆Q …5

E8EM*LO DEL METODO DE GUMBEL.

/e tiene el registro de caudales máximos de 96 años para la estación ='9$ngostura, como se muestra en la tabla 8.@.


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!n este río se desea construir una presa de almacenamiento.

Aalcular el caudal de diseño para el vertedor de demasías, para períodos deretorno @6 y 66 años respectivamente.

$ño>?

Aaudal

m94s>0? $ño>?

Aaudal

m94s>0?=B6 886 =7@ @89=B =B =78 @06=B0 9766 =7B 986=B9 ;6 =77 98B=B; 0076 =7= 8@7=B@ 87 ==6 70;=B8 879 == 7@6=BB =9; ==0 096=B7 BB= ==9 @00=B= =0 ==; @7=76 7B8 ==@ @@B=7 B;6 ==8 77=70 06 ==B 696=79 86 ==7 ;7=7; @6 === =@9

SOLUCI9$.

$ño>?Aaudalm94s>0? C0>D94/?

=B6 886 0B@@866=B =B 7;677=

=B0 9766;;;666

6=B9 ;6 =7766=B; 0076 @=7;66=B@ 87 97=0;

=B8 879 ;88;7==BB =9; 7B09@8=B7 BB= 8687;=B= =0 7;70;=76 7B8 B8B9B8=7 B;6 @;B866=70 06 0@;;66=79 86 9B066


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=7; @6 900@66=7@ @89 98=8==78 @06 0B6;66=7B 986 0=866=77 98B 9;87=

=7= 8@7 ;90=8;==6 70; 8B7=B8== 7@6 B00@66==0 096 @0=66==9 @00 0B0;7;==; @7 99B@8==@ @@B 960;===8 77 88=0;==B 696 686=66==7 ;7 B;B0;=== =@9 =6706=

/ED$5FG($ 07B;=

;6@=@68@

*a#o 0.

Aalcular el caudal promedio.

Qm=∑i=1

N Qi

N

Qm=28749

30 [email protected] Qm

2=958.32=¿ =7997.7=

*a#o 7.

Aálculo de la 1esviación estándar de los caudales. σ Q

σ Q=

√

∑i=1

N

Qi2− N Qm

2

N −1

σ Q=√ 40595065−30(918338.89)

30−1 =670.6893

*a#o !.


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Aálculo de los coe#cientes H*, I*

H* .097 I* 6.@9800


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*a#o 6.

Aálculo del Aaudal Dáximo.

Qmax=Qm−σ Q

σ N (Y N −lnT )

Para los periodos de retorno de @6 y 66 años.

• Para 53@6

Qmax=958.3−670.6893

1.11238 (0.53622−ln50)

Qmax=2993.68 m94s

• Para 5366

Qmax=958.3−670.6893

1.11238 (0.53622−ln100)

Qmax=3411.60 m94s

*a#o :.

Cál,ulo de 5.

23'45

*ara T%:;a'o#

23'4@636.=7

*ara T%0;;a'o#

53'46636.==

*a#o /.Aálculo del intervalo de con#anza. Aomo en ambos casos vemos que 2 es mayorque 6.=6, Etilizaremos la ecuación%

∆ Q=±1.14σ Q

σ N


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∆ Q=±1.14∗670.6893

1.11238 =687.34 m94s

*a#o


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´ LogQ=∑ logQi/ N

1onde%

QT 3 Dáxima avenida correspondiente al periodo de retorno 5.

´ LogQ 3 promedio de los logaritmos de la serie Ci, siendo%

K 3 actor de recuencia correspondiente a un 5 dado.

H Log C 3 desviación estándar de los logaritmos de la serie Ci, cuya órmula es%

σ log Q=[∑ ( logQi− ´ LogQ)2/( N −1)]1 /2

!ste actor se obtiene de cuadro mediante el Aoe#ciente de /esgo 1C#3.

!l Aoe#ciente de sesgo, se calcula mediante la órmula%

Cs logQ= N ∑ ( logQi− ´logQi )

3

( N −1 )( N −2)( σ logQ)3

2alore# de > M?todo de Lo( *ear#on Tipo III


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E8EM*LO DEL MÉTODO DE LOG *EA=SO$ TI*O III


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Para los mismos datos de la tabla 8.@, del e+emplo 8.B, calcular el caudal dediseño utilizando el método de Log ' Pearson (((, para periodo de retorno de @6 y66 años.

TABLA /.0:. CAUDALES M@IMOS

A'o103 Caudal m!"#173 A'o103 Caudal m!"#173=B6 886 =7@ @89=B =B =78 @06=B0 9766 =7B 986=B9 ;6 =77 98B=B; 0076 =7= 8@7=B@ 87 ==6 70;=B8 879 == 7@6=BB =9; ==0 096=B7 BB= ==9 @00

=B= =0 ==; @7=76 7B8 ==@ @@B=7 B;6 ==8 77=70 06 ==B 696=79 86 ==7 ;7=7; @6 === =@9

SOLUCIO$

.' Aálculos Previos

m CAUDAL1m!"#e(3log Q

9766 9.@B=7 6.;97B 6.0=680 0076 9.9@B= 6.=; 6.67@@9 886 9.006 6.6=8 6.60BB; ;6 9.;=0 6.6@9B 6.60@@ 096 9.67== 6.60=7 6.66@8 @6 9.686B 6.606@ 6.660=B 06 9.6;=0 6.6B; 6.66097 696 9.607 6.66= 6.666=

= =@9 0.=B= 6.6697 6.66606 =9; 0.=B69 6.6607 6.666 =0 0.=8;9 6.6600 6.6660 =B 0.=80; 6.6606 6.6669 7B8 0.=;0@ 6.6668 6.6666; 7@6 0.=0=; 6.666 6.6666@ 70; 0.=@= 6.6666 6.6666

´ ´


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8 77 0.=07 6.6666 6.6666B BB= 0.7=@ 6.666B 6.66667 B;6 0.78=0 6.6609 '6.666= 879 0.79;; 6.668= '6.666806 8@7 0.770 6.66=7 '6.666

0 87 0.B=6 6.686 '6.660600 86 0.B7@9 6.6B; '6.660909 @7 0.B8;0 6.609@ '6.66980; @89 0.B@6@ 6.60B= '6.66;80@ @@B 0.B;@= 6.60=; '6.66@608 @00 0.BBB 6.69== '6.66760B @06 0.B86 6.6;68 '6.667007 ;7 0.800 6.67B7 '6.60860= 98B 0.@8;B 6.0;; '6.6;9=96 986 0.@@89 6.96; '6.6;B

#umatoria 7 ?

σ log Q= ( logQi− ´ LogQ)2/( N −1)

1 /2

Lo()% ;.770/

;.' Aalculo del Aoe#ciente de sesgo >/c?

Cs logQ= N ∑ ( logQi− ´logQi )

3

( N −1 )( N −2)(σ logQ)3

C# lo() ;.!//

@.' Aalculo de K >actor de recuencia correspondiente a un 5 dado?.


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* ¿(1/T ) 0;

;

*eriodo de =etorno *roailidad > 53 @6 años 7.;;F 7.:0!

53 66 años 0.;;F 7.;6

8.' Aalculo del Aaudal de 1iseño

logQT = ´ LogQ+ K σ LogQ

*eriodo de =etorno )d unidad 53 @6 años !.6


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6 06 ;6 86 76 666.66

@66.66

666.66

@66.66

0666.66

[email protected]

9666.66

[email protected]

;666.66

&EDJ!L

Linear >&EDJ!L?

LF& ' P!$G/F* (((

Linear >LF& ' P!$G/F* (((?

G!&(/5GF

TIEM*O 1AOS3

CAUDAL 1M!"S3

En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribución que más se acerca a la distribución registrada, esla distribución por el Método de Levediev, por lo cual asumiremos esta distribución para calcular elQd.

CAUDAL DE DISEO

T (años) Qd (m3/s)

@6 9;86.0766 ;;=.=6BIBLIOG=AHÍA

• :illón Je+ar, Dáximo% "idrología. /egunda !dición% editorial :illón, Nebrerodel 0660. Lima'Per)

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• "ttp%44ocO.upm.es4ingenieria'agroorestal4climatologia'aplicada'a'la'

ingenieria'y'medioambiente4contenidos4tema'B4D!5F1F'1!'&EDJ!L.pd

http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppthttp://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppthttp://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppthttp://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdfhttp://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdfhttp://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdfhttp://ocw.upm.es/ingenieria-agroforestal/climatologia-aplicada-a-la-ingenieria-y-medioambiente/contenidos/tema-7/METODO-DE-GUMBEL.pdfhttp://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppthttp://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppthttp://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:QFuPMyK8k50J:intranet.catie.ac.cr/intranet/posgrado/Hidro2006/Presentaciones/Capitulo%25206b.ppt


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CO$CLUSIO$ES COME$TA=IOS

$FG$ 1!5!GD(*$/ !L A$E1$L 1! 1(/!MF $A(!*1F L$ &G$N(A$ 1! 5F1F/LF/ 1$5F/ FJ5!*(1F/ 1! A$1$ D!5F1F I LF AFDP$G$DF/ AF* LF/A$E1$L!/ 1 G!&(/5GF I FJ5!*!DF/

MET.GUMBEL

MET.*EA=SO$

T1a'o#3Caudal1m

!"#3 T 1a'o#3

Caudal1m!"#3

/; !0:./ /; 77!.70:; !/;.


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5>años?Aaudal>m

94s?86 08=.;B

@6 0=9.87@6 0=9.87

96 [email protected]@96 [email protected]@

&EDJ!L

PGFD!1(

Caudal1m

En el gráfico T vs. Q, se observa que la distribuciones por ambos métodos estadísticos no tienencaudales similares por lo cual sacaremos un promedio de caudales de ambos métodos por losTa!os" respectivos.

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