Métodos de Descomposición de

Dominio

“Multipliers-Free”

Consideraciones enla Implementación

Robert YatesAlternativas en Computación

( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( )

( ) ( )

u u y c u f x

u g

= −∇⋅ ∇ +∇⋅ + = ∈Ω= ∈∂Ω

a x b x x x

x x x

L

ΩαΩ∂Ω

Γ

Problema a ResolverDescomposición de Dominio

Acomplamiento por Γ

1 , . . . , 2 5Ω =

∂Ω

A u b⋅ =

Elemento Finito Estandar

∂Ω

Γ

Ω

1Ω 2Ω

3Ω 4Ω

Descomposición de Dominio con Funciones Discontínuas

taA u f⋅ = 0ju = , ( )u f D∈ Ωɶ

Dual

Interior

( , )p p α=

∂Ω

Γ

Ω

1Ω 2Ω

3Ω 4Ω

Descomposición de Dominio con Funciones Discontínuas

taA u f⋅ = 0ju = , ( )u f D∈ Ωɶ

Dual

Primal

Interior

( , )p p α=

tA A α

α= ∑

( ) ( )tu A w u A wτ τ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

,( , ) ( , )pq p q p q p qA dx A dxα

αϕ ϕ ϕ ϕΩ Ω

= =∫ ∫B B

( ), ( , ), ( , )min ( ), ( )

p q pqA A p p q qm p m q

αβα δα β≡ = =

FEM:

OTRO:(FDM)

Relación entre A y tA

Descomposición Schur

A B u aA

C D v b

=

( )( )

1 1

1

D CA B v b CA a

u A a Bv

− −

−

− = −

= −

Entonces

invertible

Descomposición Schursin Primales

(1) (1),

(2) (2),

( ) ( ),

(1) (2) ( )

....

I I I

I I I

N NI I I

NI I I

A A

A A

A

A A

A A A A

∆

∆

∆

∆ ∆ ∆ ∆∆

=

1 I Iu bA

u b−

∆ ∆

=

( )( )

1 1, ,

1,

I I I I I I I I

I I I I I

A A A A u b A A b

u A b A v

α α α α α α

α α

α α α α α

− −∆∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆

−∆ ∆

− = −

= −

∑ ∑⇒

1 1aS aS u aS f− −∆ ∆⋅ =

1 1 1FTS jSj u S jSjS f− − −∆ ∆⋅ = −

t t t tS A A A A∆∆ ∆Π ΠΠ Π∆≡ − [Dual Primal Schur]

[Round-Trip Schur]

[Preconditioned FETI]

Ecuaciones Matriciales Precondicionadas “Multipliers-Free”

Solution Algorithms

Caso 1: A simétrica

( )( )

1

1

simétrica: es simétrica con , ,

es simétrica con , ,

S aS aS u w u w

SjS j u w Su w

−

−

⇒ =

≡

Caso 2: A no-simétrica

Método de Gradiente Conjugado apropiado

Variante de GMRES o algun otro método iterativo

Método del Gradiente Conjugado

; ;

while ( > )

[una aplicación de per iteración]

/

r b A u p r r r

v A p A

p v

u u p

r r v

r r

p r p

µµ ε

µα

αα

µβ µ µ

βµ µ

← − ⋅ ← ← ⋅

← ⋅

←⋅

← +← −′ ← ⋅

′←← +

′←

Resolver: simétrico, positivo definidoA u b A⋅ =

Computacion de S y -1S

1A AA S A A A A

A AΠΠ Π∆ −

∆∆ ∆Π ΠΠ Π∆∆Π ∆∆

= = −

, , (1) 1, , , ,

, ,

I I I

I I I II

A AA S A A A A

A Aπ

π π π π ππ π π

−ΠΠ

= = −

1 1 0S u A

u− −

∆∆ ∆

=

Computación de S

( )( )( )

1

1,1

(1) 1 1,

I I I II

I I I I

S u A u A A A u

A b A vvA

v S b A A b

α α α

α

π π

π π π π

−∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Π Π Π Π ∆ ∆

−

−Π Π − −

= −

− = −

∑

Involucra:1. Construcción e Inverso de 2. Application of 3. Inverse application of

(1)Sπ

Aα

,I IA

Computación de -1S

( )1 1

, ; , , ; (2) 1; , , ; , , ;

; ,

I I I

I I I II

S u A u

A AA S A A A A

A Aπ

π ππ π ππ ππ

− −∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆ −∆ ∆ ∆ ∆

∆

=

= = −

( )( )

1, , , ;1

(2) 1 1; , , ; , ,

I I I

I I I I

A b A bS u

S b A A b

π π

π π π

−∆ ∆ ∆−

∆ − −∆ ∆ ∆ ∆

− = −

Involucra:1. Construcción e inverso de 2. Application of 3. Inverse application of

(2)SπAα

, ; ,I IA ∆ ∆

Cálculo Alterno de S

( )( ), , 1(1) 1, , , , , ,

, ,

I I I

I I I I I I I II

A AA S A A A A A A A A

A Aπ αα α α

π π π π π ππ π παπ π π

−−ΠΠ

= = − = −

∑

(1)

0

a S u b

j u

ππ π

ππ

=

=

Cálculo Alterno de -1S

, ; , , ; (2) 1; , , ; , , ;

; ,

I I I

I I I II

A AA S A A A A

A Aπ

π ππ π ππ ππ

∆ ∆ ∆ −∆ ∆ ∆ ∆

∆

= = −

(2)

0

a S u b

j u

ππ π

ππ

=

=

Computación e Inverso de (1) (2),S Sπ π

Computación Global de Grados de Libertad Duales de la Frontera Interior

(CGM, GMRES, …)

Subdominio 1

Subdominio 2

Subdominio N( )

( )

1

,

1

, ; ,

I I

I I

A

A

A

α

α

α

−

−

∆ ∆

Aplicación de:

Algoritmo de Solución

Objetivos de laImplementación

Código Independiente de la Geometría

Código Independiente de la Dimensión

Implementación Eficiente en Paralelo

Poder Utilizar Resolvedores Diferentes en Cada Subdominio

Algoritmo Global Debilmente Acoplado a Subdominios

Rutina “Global”

Implementar CGM o GMRES para duales

Resolver problema de primales

Implementar operador

a través de llamadas en paralelo a los

subdominios invocando métodos para:

1

1

aS aSA

S jSj

−

−

=

( ) ( )1 1

, , ; ,I I I IA u A Aα α α α− −

∆ ∆

Rutina “Subdominio”

Implementar :

( ) ( )1 1

, , ; ,, ,I I I IA u A Aα α α α− −

∆ ∆

0

0

uA u A A u A

u

αα α α α α α

αΠ

Π∆ ∆ ∆Π Π∆ Π ∆

= =

observando que:

Interacción Global-Subdominio

u u

uu

u

α

α

∆ ∆

∆

Π

→

→

Intercambio de Información

Estructura de Datos

( )índice, subdominio, nodo, multiplicidad ,...primales

duales

Conclusiones

Algoritmos “Multiplier-Free” son efectivos, eficientes y fáciles de programar

Código aplicable a 2-D y 3-D (sin cambio)

Matriz puede provenir de FEM, FDM, etc.

Método funciona igual para matrices simétricas y no-simétricas

Solo tres cálculos requeridos del subdominio:

( ) ( )1 1

, ,, ,I I I IA A Aα α α− −

∆ ∆