Carlos Quintanilla

Sesión 1

Conceptos básicos de Probabilidad:

1. Experimento aleatorio: Un proceso o curso de acción que resulta en uno o varios resultados posibles. Casi todos lo eventos de un programa de MBA pueden ser modelados como experimentos aleatorios

2. Espacio de Probabilidad: Compuesto por: a. Espacio muestral: Es el conjunto de todos los resultados posibles. Se conoce como conjunto

universo. Por ejemplo, cara y cruz.b. Colección de Eventos: subconjuntos de un espacio muestral. POr ejemplo, en un dado se puede

decir “Evento A: Número de puntos menor que 4, Evento B que el número de puntos sea par, etc” Estos tienen un complemento del cual se toma en cuenta los que no satisfacen la regla del evento A.

c. Función de Probabilidad: nos informa que tan probable es un evento dado. Existen restricciones que podemos poner para el conjunto universo.

Sesión 2

Eventos Mutuamente excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.

Regla de Adición:● P(A U B) = P(A)+P(B)● Ejemplo: Si en un salón de clases hay 30% estudiantes sudamericanos, 20% son economistas. No hay

estudiantes que sean economistas y sudamericanos. Cuál es la probabilidad de que un estudiante tomado al azar sea sudamericano o economista.A = sudamericanoB = EconomistaA∩B=0P (A )=0.30P (B )=0.20P (A )+P (B )=0.30+0.20=0.50

Eventos colectivamente Exhaustivos: Dos eventos son exhaustivos si su unión es igual al conjunto universo. Esto sucede si la probabilidad de su unión es 1.

● A U B = Ω1Reglas de Adición: Si dos eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos:

● P(A U B) = P(A) + P(B) = 1 Independencia: Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro. P(A ∩ B) = P(A)*P(B)Dependencia:

Sesion 3

Probabilidades condicionales: Dados dos eventos A y B, compactamente P(A|B) es igual a la probabilidad conjunta de ambos dividida dentro de la probabilidad de B

Formula: P(A|B) = P(A∩B)/P(B)Ejemplo: Habitos de fumar en una ciudad por sexo. Punto de partida una tabla de contingencia:

NO FUMA FUMA

Mujer .3 .08 .38

Hombre .4 .22 .62

.7 .3 1

Cual es la probabilidad de que una persona tomada al azar fume? Sobre la probabilidad marginal (.3). Estas marginales se conocen también como probabilidades incondicionales, pq no importa las demás variables.

Cual es la probabilidad de que una mujer fume? Probabilidad conjunta (Probabilidad condicional) P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = P(Fume|Mujer) = P(Fume∩Mujer(/P(Mujer) = .08/.38 = .2105P(fume|hombre) = .22/.62=.3548

Independencia y probailidad condicional: Cual es la probabilidad condicional de A dado B cuando A y B son independientes?Probailidad condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(BIndepencia: P(A ∩ B) = P(A)*P(B)Combinando cuando A y B son independientes: P(A|B) = P(A)*P(B)/P(B) > P(A|B)=P(A)

Sesion 4 - Teorema de Bayes o LaplaceP(A|B) = P(B|A)*P(A)/P(B) Esto es en su expresion as simple

A nivel mundial HIV es 0.8. 99.2% no tiene HIV. Los tests son precisosSi usted tiene HIV el 98% el test sale positivoSi usted no tiene- en el 96% el test saldra negativoUd toma un test y el resultado sale positivo, cual es la probabilidad de que tenga HIVP(HIV|+)Segun el teorema de BayesA=HIVAc=no HIVB= Test Positivo (+)

P(HIV | +) = P(+|HIV)*P(HIV)/{P(+|HIV) * P(HIV)+P(+|no HIV)*P(no HIV)}Todo lo de amarillo es la probabilidad de este test +P(+|HIV) = .98P(+|no HIV) = .04P (HIV) = .008P(no HIV) = 0.992P(HIV | +) = (0.98*0.008)/{0.98*0.008+0.04*0.992)P(HIV | +) = 0.1649

P(

Sesion 5 Variables Aleatorias - Caso DiscretoVariable aleatoria es una variable cuyo valor en el futuro no conocemos con certeza. No es completa incertidumbre. No sabes que valor tomara, sabemos que valores puede tomar. Sabemos las probabilidades que asuma esta variable.

Ejemplos: PreciosREndimientos financierosCantidades demandadasDecisiones de compra (Se queda en esta empresa, se va a otra empresa)

Hay de dos tipos:Discretas: Cuanto toman un número finito o contable de valores Supone una tabla con dos columnas: Distintos valores que puede tomar la variable y las probabilidades asignadas a cada valor.

Variable Aleatoria Bernoulli:Es una variable aleatoria que puede tomar solamente dos valores: 1 y 0Toma el valor de 1 con probabilidad pToma el valor de 0 con probabiliadad 1-pEl valor de 1 es asociado con el exito de la prubea y 0 es el fracaso de la prueba.

Variable aleatoria POisson: Es una variable aleatoria discreta definida para valores de X enteros y no negativos (Sirve para conteos, ejemplo cuántos carrros tiene una familia.

Continuas: Cuando pueden tomar cualquier valor en un intervalo en una recta numérica

Sesión 6 - Valor Esperado - Varianza. Desviación StandardMedidas de Tendencia central

● El valor esperado de una variable aleatoria es el promedio ponderado de los valores que esta puede asumir.

● Las ponderaciones están dadas por las probabilidades de que tome los distintos valores.

● Se le conoce también como la esperanza de la variable aleatoria.

Medidas de dispersion● El valor esperado de una variable aleatoria nos habla de centro de la distribucion● Existe la varianza:

○ Se necesita conocer el valor esperado○ La varianza de X esta definida como el valor esperado de las desviaciones

alrededor del valo resperado de X (elevadas al cuadrado)○ Var (X)=E(X-E(X))2○ Var (X)=Σ ¿○ Os indica que tan concenrada o dispersa es la distribucion de una variable

aleatoria.○ La varianza es el promedio ponderado por sus probabilidades respetivas.○ Las unidades en que esta medida no son muy naturales.

● Desviacion standard: es una que se calcula a partir de la raiz cuadrada de la varianza. Esta en la misma unidad que la varianza.

●

Eventos Mutuamente Excluyentes: Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente.

Ejemplo: Si en un salón de clases hay 30% estudiantes sudamericanos, 20% son economistas. No hay estudiantes que sean economistas y sudamericanos. Cuál es la probabilidad de que un estudiante tomado al azar sea sudamericano o economista.

A = Sudamericano, B = EconomistaA∩B=0P (A )=0.30P (B )=0.20P (A )+P (B )=0.30+0.20=0.50

Eventos Colectivamente Exhaustivos: Dos eventos son exhaustivos si su unión es igual al conjunto universo. Esto sucede si la probabilidad de su unión es 1. A U B = Ω. P (AUB )=1 . Una forma de construir eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos es mediante la operación complemento. Si dos eventos son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos:

P (A∪B )=P ( A )+P (B )=1

Ejemplo: Tenemos dos grupos. A es igual a que un estudiante sea un hombre y B es un estudiante que es una mujer. Ω={hombre ,mujer }. Si la probabilidad de ser hombre en una población es 0.51, cual es la probabilidad de ser mujer?

P (A )=0.51P (A )+P (AC )=1

0.51+P ( AC )=1P (AC )=1−0.51=0.49

Ejemplo en el caso general cuando no podemos suponer que son colectivamente exhaustivos y mutuamente excluyentes se utiliza la siguiente formula. La razón por la que se resta es para evitar un doble conteo. A intersección B es la probabilidad conjunta.P (A∪B )=P ( A )+P (B )−P (A∩B)

Independencia: Dos eventos (A y B) son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

P (A ∩B )=P (A )∗P(B)Ejemplo: La probabilidad de ser mujer en una clase es de 0.50. La probabilidad de haber estudiado administración es de 0.3 (el resto estudiaron ingeniería). Si sexos y carrera son eventos independientes, podemos calcular la probabilidad de que una persona tomada al azar sea mujer y haya estudiado administración.

P (A∩B )=P (A )∗P (B )=0.5∗0.3=0.15

Dependencia: buscar violaciones de independencia.

Ejemplo: Preguntamos en una ciudad sobre el color de pelo y el color de los ojos de cada persona.P(Ojos Claros) = 0.30P(Ojos Oscuro)= 0.70P(Pelo Claro) = 0.20P(Pelo Oscuro)= 0.80

Ojos Claros Ojos OscurosPelo Claro 0.1 0.1 0.20Pelo Oscuro 0.2 0.6 0.80

0.3 0.7 1

Sesión 3 – Probabilidades condicionalesProbabilidades condicionales: Dados dos eventos A y B, compactamente P(A|B) es igual a la probabilidad conjunta de ambos dividida dentro de la probabilidad de B

Formula: P(A∨B)=P (A∩B)/P(B)Definición Independientes: P (A ∩B )=P (A )∗P(B)

Combinando (cuando A y B son independientes) =: P (A|B )=P (A )∗P (B )P (B )

=P(A )

Ejemplo: Hábitos de fumar en una ciudad por sexo. Punto de partida una tabla de contingencia:

NO FUMA FUMA

Mujer .3 .08 .38

Hombre

.4 .22 .62

.7 .3 1

¿Cuál es la probabilidad de que una persona tomada al azar fume? Sobre la probabilidad marginal (.3). Estas marginales se conocen también como probabilidades incondicionales, pq no importa las demás variables.

¿Cuál es la probabilidad de que una mujer fume? Probabilidad conjunta (Probabilidad condicional) P(A|B) = P(AB)/P(B) = P(Fume|Mujer) = P(FumeMujer(/P(Mujer) = .08/.38 = .2105P(fume|hombre) = .22/.62=.3548

Cuál es la probabilidad de A dado B, cuando A y B son independientes.

SESION 9 - Distribucion normal

El área bajo al curva es 1.

2/3 de los datos se encuentran 1 dsviacion standard alrededor de lamediaSi x es una desviación

Suponga que la demanda semanal de un producto puede ser caracterizada por una distribución normal con media 345 y desviación standard 17. Cuál es la probabilidad de que la demanda exceda 360 la próxima semana P(X>360)

σ=desviacion standardμ=mediax=Valor esperado

SESION 6 VALOR ESPERADO, VARIANZA, DESVIACION STANDARDMedidas de tendencia CentralValor esperado: Promedio ponderado que una variable aleatoria puede asumir, las ponderaciones están dadas por las probabilidades que tome los distintos valores. Se le conoce como la esperanza de una variable aleatoria.

E (X )=ΣX iP(X i) (Suma de unos productos)X P(X)3 .251.5 .45.75 .30E (X )=0.25∗3+0.45∗1.5+0.3∗.75 = 1.65 (Excel: Sumproduct)

X P(X)1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/66 1/6

Medidas de dispersión: El valor esperado de una de una variable aleatoria nos habla de centro de la distribución. La más famosa es varianzaVarianza: Necesitamos conocer primero el valor esperado, por lo cual esta se calcula primero, la varianza es otro valor esperado de las desviaciones alrededor del valor esperado de X elevado al cuadrado. Esta nos informa que tan concentrada o dispersa es la distribución de una variable aleatoria alrededor de su valor central.

Var ( x )=ε ¿

Mediana: Divide a la muestra en dos partes iguales. Para calcularla si el número de observaciones es impar, la mitad de esas observaciones es la mediana ordenados de mayor a menor. Cuando es par observamos ambos datos en medio y se suman y se promedian.Moda: La observación que ocurre con mayor frecuencia, el dato que mas se repite.

Media o Promedio Aritmético: Este es el promedio simple, la suma de todos los valores divididos en el número de observaciones. Media pondereada:

En muestras pequeñas la ediana es mas robusta, y se ve menos afectada.Si media > mediana, hay un sesgo a la derecha y el histograma tendrá una cola a la derechaSi la media < mediana, hay un sesgo hacia a la izuierda. Si la media es igual a la mediana, esta bien distribuido el histograma.

Promedio geométrico: Producto de n observaciones elevado a la n. Esto permite calcular rendimientos anualizados. Un instrumento financiero gana 20%, 30% y -50% en años respectivamente.(1.20*1.30*.5)^1/3=.92 perdí 8% por año en promedio