PROYECTO FINAL ESTADISTICA III

ING. MANUEL CAMPUZANO

OSCAR OSPINO AYALA

KEVIN BRUZON GRANADOS

ANDREA IGLESIAS PARDO

UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA

FACULTAD DE INGENIERIA

INGENIERIA INDUSTRIAL

SANTA MARTA

2013

ContenidoINTRODUCCIÓN..................................................................................................................3

OBJETIVOS...........................................................................................................................4

GENERALES.....................................................................................................................4

ESPECÍFICOS...................................................................................................................4

REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA...............................................................................................5

METODOLOGÍA BOX JENKINS.............................................................................5

Identificación:.............................................................................................................6

Estimación de Parámetros.......................................................................................6

Verificación de el modelo.........................................................................................6

Uso del modelo..........................................................................................................7

MODELOS ESTADÍSTICOS....................................................................................7

Modelo de Auto regresión (AR)...............................................................................7

Condiciones de estacionariedad......................................................................................8

Condiciones de invertibilidad............................................................................................8

Modelo de medias móviles MA(q)....................................................................................8

Condición de estacionariedad.........................................................................................9

Condición de invertibilidad...............................................................................................9

Modelo autoregresivo integrado de media móvil (ARIMA).....................................9

Algunas Propiedades de un modelo ARIMA óptimo..................................................11

Parsimonia (Parquedad).....................................................................................11

Estacionariedad...................................................................................................11

Buenos coeficientes estimados.............................................................................11

Los residuos son ruido blanco...............................................................................12

Debe ajustarse bien a los datos............................................................................12

Debe dar buenas predicciones..............................................................................12

ANALISIS CRÍTICO............................................................................................................13

CONCLUSION.................................................................................................................13

INTRODUCCIÓN

Desde sus principios se ha visto que el hombre, y su mentalidad competitiva a buscado siembre sobresalir ante las personas que lo rodean; de aquí nace su curiosidad por anticiparse a los eventos que están por suceder, y así poder tomar decisiones eficientes. Con el pasar de los años los conocimientos de la humanidad fueron creciendo y una parte de ellos se fue enfocando este interés en particular y se fueron mesclando con otras ramas del conocimiento como la probabilidad, hasta llegar a lo que hoy conocemos como modelos de series de tiempos.

Las series de tiempo se han convertido en una herramienta fundamental para el desarrollo empresarial, eso se puede ver reflejado y ejemplificado en las predicciones realizadas que determinan las ventas influyen sustancialmente en el funcionamiento de los departamentos que conforman las empresas, ya que dependiendo de la proyección se deberá aumentar o disminuir la producción para poder cumplir con las demandas establecida al mismo tiempo que se minimizan los costos.

Denotar al tiempo como una variable de independiente representa la base del estudio de las series temporales, ya que a medida que el tiempo avanza los cambios dentro de la variable que se ha denominado como dependiente se hacen cada vez más comunes: la variación en un precio en determinado momento del año obligado a un cambio en la demanda o tal vez por acto de algún agente externo, son consideraciones que se deben tomar en cuenta ya que existe una gran cantidad de variables que pueden afectar un análisis de seres de tiempos. Con el pasar de los años se ha visto un gran avance en este área del conocimiento hasta el punto en las últimas décadas se han desarrolla varias metodologías que permiten hacer pronósticos con un alto grado de exactitud como lo es la metodología a metodología de Box-Jenkins, nombrada así en honor a los estadísticos George Box y Gwilym Jenkins, la cual se aplica a los modelos autorregresivos de media móvil ARMA o a los modelos autorregresivo integrados de media móvil para encontrar el mejor ajuste de una serie temporal de valores, a fin de que los pronósticos sean más acertados.

El interés de este trabajo es netamente académico y busca profundizar mas en temáticas que si bien son difíciles de tratar en las aulas de clases no deben estar distantes al contenido eje teórico de un profesional en formación.

OBJETIVOS

GENERALES

Analizar los distintos modelos de series de tiempo a través de su implementación para resolver problemas de la vida cotidiana.

ESPECÍFICOS

Recopilar información precisa haciendo uso de las distintas bases de datos que la Universidad del Magdalena brinda.

Indagar acerca de la correcta elección y adecuación de los modelos utilizados en la investigación consultada.

Describir las metodologías implementadas por los investigadores en el desarrollo de su trabajo.

REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

METODOLOGÍA BOX JENKINS

Esta metodología diseñada en 1970, por box y Jenkins propone estrategia para la construcción de modelos, los cuales no solo deben ser adecuados para representar el comportamiento de los datos observados, sino que la elección debe ser sugerida para los datos mismos, lo que se contrapone en el enfoque tradicional, que simplemente busca lograr el mejor ajuste de modelos según los datos que se manejen.

La estrategia para construcción de modelos para serie de tiempo desarrollado por Box y Jenkins consta de cuatro etapas:

1. Identificación2. Estimación3. Verificación4. Uso del modelo

La unión de estas etapas da origen a un proceso iterativo, el cual es ilustrado en el siguiente esquema:

ETAPA 1

Identificación del modelo

ETAPA 4

Estimación de los parámetros

Verificación

ETAPA 3ETAPA 2

Es adecuado el modelo

SiNo

Identificación:

El objetivo principal es determinar si es necesario realizar transformación a los datos para estabilizar la varianza (si lo requiere), es decir convertirla en una serie estacionaria. Para verificar si realmente la serie es estacionaria o no, es utilizada la prueba DickeyFuller o raíces unitarias que tiene como hipótesis a aceptar, las siguientes:

Ho: El proceso es no estacionario.Hi: El Proceso es estacionario

Para la determinación del modelo es necesario mirar el correlograma y la variable de diferencia (d), en caso de que lo requiere, para verificar si el modelo seleccionado cumple con las especificaciones se debe de realizar la prueba de Box Pierce la cual corrobora dicha elección.

Estimación de Parámetros

Después de la elección del modelo se pasa a buscar el valor de los parámetros a través de técnica de estimaciones no lineales, con el objetivo que el modelo represente apropiadamente a la serie. Una de las técnicas para la realización de lo anteriormente mencionado es el método de Gauss-Newton.

Verificación de el modelo

Antes de la utilización del modelo con fines de predicciones, se debe de someter a pruebas partiendo de que todo modelo es erróneo puesto que son representaciones de la realidad. La forma de aprobar el modelo es a través del análisis de los residuales(at) debido a que son estos los que no son explicados por él, planteándose 8 supuestos donde los primeros cincos hacen referencia a los términos del error y los otros a los coeficientes.

Supuesto 1: La serie de lo at debe tener media cero. Supuesto 2: La serie de lo at debe tener varianza constante. Supuesto 3: La variaciones aleatorias son independientes Supuesto 4: Los at se destruye normalmente par toda t Supuesto 5: No puedes existir observaciones aberrantes

Uso de modelo

Supuesto 6: El modelo es parsimonioso Supuesto 7: El modelo es admisible Supuesto 8: El modelo es estable en los parámetros.

Uso del modelo

Al verificar que el modelo es adecuado se procede hacer los pronósticos, el control y darle explicación al fenómeno de estudio.

MODELOS ESTADÍSTICOS

Los modelos ARIMA tratarán de expresar la evolución de una variable Yt de un proceso estocástico en función del pasado de esa variable o de impactos aleatorios que esa variable sufrió en el pasado. Para ello, se utilizarán dos tipos de formas funcionales lineales sencillas: los modelos AR (Modelos Autoregresivos), y los modelos MA (de Medias Móviles).

Modelo de Auto regresión (AR)

Definimos un modelo AR (autoregresivo) como aquel en el que la variable endógena de un período t es explicada por las observaciones de ella misma correspondientes a períodos anteriores (parte sistemática) más un término de error ruido blanco (innovación).

Los modelos autoregresivos se abrevian con la palabra AR tras la que se indica el orden del modelo: AR (1) si es de primer orden y así sucesivamente. El orden del modelo expresa el número de observaciones retasadas de la serie temporal analizada que intervienen en la ecuación. Así, por ejemplo, un modelo AR (1) tendría la siguiente expresión:

La expresión genérica de un modelo autoregresivo, no ya de un AR(1) sino de un AR(p) sería la siguiente:

Donde at son las variables aleatorias independientes las cuales son denominadas como ruido blanco. Esta forma funcional se acompaña de una serie de restricciones conectadas con importantes hipótesis analíticas:

El proceso no debe ser anticipante (hipótesis de recursividad temporal); lo que quiere decir que los valores de una variable en un momento t no dependerán de los que esta misma tome en t+j.

La correlación entre una variable y su pasado va reduciéndose a medida que nos alejamos más en el tiempo (proceso ergódico).

La magnitud de los coeficientes está limitada en valor absoluto: así, por ejemplo, en el caso de un AR(1), el coeficiente autoregresivo de un proceso estocástico estacionario ha de ser inferior a 1 en valor absoluto; en el caso de un Ar(2), es la suma de los dos coeficientes la que no puede exceder la unidad. Estas restricciones expresadas en los coeficientes conectan con las propiedades de estacionalidad del proceso analizado o, dicho de otro modo: sólo los modelos cuyos coeficientes respetan una serie de condiciones (que dependen del orden “p” del modelo) representan procesos estocásticos estacionarios y, por tanto, tienen utilidad analítica.

Y t=φ0+φ1Y t-1+a t

Y t=φ0+φ1Y t-1+φ2Y t-2+. .. .. .+φ pY t-p+a t

Condiciones de estacionariedad El requisito de estacionariedad en varianza para un modelo AR es que las raíces del polinomio característico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es estacionario en varianza se calcula las raíces del polinomio característico del modelo.

Condiciones de invertibilidad La condición de invertibilidad en los modelos autoregresivos de un número finito de términos se cumple siempre de forma automática.

Modelo de medias móviles MA(q)

Un modelo de los denominados de medias móviles es aquel que explica el valor de una determinada variable en un período t en función de un término independiente y una sucesión de términos de error, de innovaciones correspondientes a períodos precedentes, convenientemente ponderados. Estos modelos se denotan normalmente con las siglas MA, seguidos, como en el caso de los modelos autoregresivos, del orden entre paréntesis. Así, un modelo con q términos de error MA (q) respondería a la siguiente expresión:

Donde at son las variables aleatorias independientes las cuales son denominadas como ruido blanco. A su vez puede abreviarse utilizando el polinomio de retardos (como en el caso de los modelos AR):

Este modelo se caracteriza por ser un proceso estacionario, invertible con cuando su secuencia es constante.

Y t=μ+at+θ1a t-1+θ2at-2+ .. ..+θqa t-q

Y t=θq (L )at+μ

Condición de estacionariedad.La modelización de una serie a través de un modelo MA exige que el modelo sea estacionario en media y varianza. La condición de estacionariedad en media exige que la a(Yt) no sea función del tiempo y, además, la a(Yt) debe ser finita y determinada. El requisito de estacionariedad en varianza para un modelo MA finito se cumple automáticamente ya que la varianza de un MA finito será siempre finita.

Condición de invertibilidad . Invertir un modelo MA consiste en transformarlo en su modelo AR equivalente. El requisito para que se pueda invertir un modelo MA es que las raíces del polinomio característico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de comprobar si el modelo es invertible se calculan las raíces del polinomio característico del modelo.

Modelo autoregresivo integrado de media móvil(ARIMA)

En 1970, Box y Jenkins desarrollaron un cuerpo metodológico destinado a identificar, estimar y diagnosticar modelos dinámicos de series temporales en los que la variable tiempo juega un papel fundamental. Una parte importante de esta metodología está pensada para liberar al investigador de la tarea de especificación de los modelos dejando que los propios datos temporales de la variable a estudiar nos indiquen las características de la estructura probabilística subyacente.

A partir de una misma estructura, con el modelo ARIMA (p;d;q) se pueden obtener infinitas realizaciones. Un modelo autoregresivo integrado de media móvil o ARIMA es un modelo estadístico que utiliza variaciones y regresiones de datos estadísticos con el fin de encontrar patrones para una predicción hacia el futuro. Se trata de un modelo dinámico de series temporales, es decir, las estimaciones futuras vienen explicadas por los datos del pasado y no por variables independientes.

Los modelos ARIMA se construyen a partir de los modelos ARMA, pero considerando que la serie en estudio para que sea estacionaria en media tendrá que diferenciarse una serie de veces. Un modelo ARIMA (p,d,q) es un modelo ARMA(p,q) sobre la serie diferenciada d veces.

El comportamiento de un modelo ARIMA, se puede definir como un modelo de regresión lineal múltiple, donde la variable dependiente es la propia serie (diferenciada o no) y las variables independientes son valores de la serie y valores de los errores de ajuste retrasados hasta unos órdenes p y q, respectivamente. Una vez identificado el modelo, que equivale a identificar los órdenes p, q y el orden de diferenciación (si es requerido), la determinación de los p+q parámetros usados en el modelo (φ’s y θ’s) se realiza de igual forma que en el caso de la regresión múltiple, es decir, mediante minimización del error cuadrático.

La gran ventaja de los modelos ARIMA con respecto a los ARMA es la incorporación de esta diferenciación dentro del modelo, dentro de la parte de integración.

Algunas Propiedades de un modelo ARIMA óptimoA continuación se verán las características generales que ha de tener un buen modelo ARIMA. Estas características nos servirán para posteriormente poder identificar, estimar y verificar el comportamiento de un modelo ARIMA que ha sido optimizado.

Parsimonia (Parquedad)

Box y Jenkins ponen énfasis en que la clave de un buen modelo ARIMA es que cumpla el principio de parsimonia, que significa sencillez. Así, un modelo se dice que esparsimonioso si se ajusta a la serie de forma adecuada sin usar coeficientes innecesarios. Por ejemplo, si un modelo AR(1) y un modelo AR(2) se comportan de forma prácticamente idéntica, elegiremos el modelo AR(1) ya que así tendremos que estimarun coeficiente menos.

El principio de parsimonia es importante porque, en la práctica, un modelo parsimonioso suele generar mejores predicciones. La idea de la parsimonia nos da una fuerte orientación práctica a la hora de modelar e identificar una modelo ARIMA. Así, no tendremos que buscar el proceso ARIMA que realmente genera la serie temporal, sino que nos conformaremos con encontrar un modelo que se aproxime correctamente,

Estacionariedad

Otra condición de gran importancia para lograr un buen modelo ARIMA es que la serie sea estacionaria. Asumir que una serie sea estacionaria nos permite desarrollar un marco de trabajo bastante simple y usar herramientas estadísticas de muestreo de gran potencia. Así, si la media de un proceso es constante, podremos usar N observaciones para estimarla, mientras que sería mucho más complicado si la media no fuese estacionaria.

Las técnicas más comunes para conocer si una serie temporal es estacionaria son los contrastes de existencia de raíces unidad. Si una serie no es estacionaria podemos modificar dicha serie para convertirla en estacionaria.

Buenos coeficientes estimados

Que un modelo tenga unos buenos coeficientes estimados, está relacionado con dos vertientes distintas. La primera es que los coeficientes, tanto los de la componente autoregresiva (φ’s) como los de la componente de media móvil (θ’s) sean significativamente distintos de cero. Esto se realiza mediante contrastes de hipótesis. La segunda es que las estimaciones de los coeficientes φ’s y θ’s no deben estar altamente correladas entre sí. Si están muy correladas, tienden a ser inestables, incluso siendo estadísticamente significativos.

Los residuos son ruido blanco

Esta proposición es muy importante a la hora de verificar un modelo ARIMA, una vez se han realizado las etapas de identificación y ajuste.

La hipótesis crítica es la de incorrelación. Para comprobar esta hipótesis se utilizan distintos métodos de inferencia estadística (típicamente contrastes t y chi cuadrado) aplicados a cada coeficiente de la función de autocorrelación y a la función de autocorrelación completa.

Debe ajustarse bien a los datos

Que un modelo se ajuste todo lo bien posible a los datos de los que es generado, es una hipótesis asumible y lógica. Esta bondad del ajuste se

mide en términos de error. Distintas medidas de error son computables en la etapa de ajuste y se han analizado previamente.

Los márgenes asumibles del valor de estos errores de ajuste dependen, ciertamente, de la naturaleza de la serie, por lo que no hay un criterio unívoco de comprobación de la adecuación del ajuste

Debe dar buenas predicciones

Aunque el modelo haya sido ajustado y prediga el pasado de una forma suficientemente correcta, lo que realmente se requiere de cualquier modelo de predicción es que realice predicciones satisfactorias.

La evaluación de un modelo según este criterio se debe realizar mediante el uso durante un periodo de prueba o de verificación

ANALISIS CRÍTICO“Time Series Analysis Forecasting in Sugar Cane Production”

The study by Juan Ruiz -Ramirez , Gabriela Erendira Hernandez - Zuleta - Rodriguez and Ramon Rodriguez , in his research "Time Series Analysis Forecasting in Sugar Cane Production" will implement the methodology BOX- JENKINS as a strategy for obtaining model would be adjusted effective and efficient in determining the production of sugar cane harvest in Mexico during the years (2006-2007) , for this took the monthly figures of production volume between years (1949-2006) , with to optimize and plan the use of technical, human and financial , for adequate investment .

The purpose for conducting this research was the importance of economic resources to the processing of sugar cane in the agricultural sector contributes , as this causes 0.5% of Mexican GDP , which at the time one of the activities that generates employment more . It is for this reason that it was necessary to know how was the behavior of the sugar collects in Mexico , to minimize the maximum factors that could have negative effects in this production area.

In the past certain investigations were not sufficient to achieve production determine future dates, because studies revolved around variables as such

gave no explanation of this behavior , which could not provide quantitative predictions about the making of the cane sugar .

 In response to the aforesaid problem , the authors decided to use the modeling methodology proposed by Box and Jenkins 1970 , starting with Step 1, the identification of the model reaching ARIMA model selection . The choice of this model was the most accurate decision because they were facing a non-stationary series , which would not let him get to get really specific predictions due to the variability of the variance and its mean.

Through this transformation model achievement data passing from one series to a stationary non-stationary , which was based on a logarithmic transformation with two degrees of differentiation ln ( x ) D (-1 ), D (-1 ) , havingwith the values of the mean and standard deviation with predictions maximum and minimum values of the average faraway not obtained , thus allowing stabilization of variance , making obtaining a simpler and more accurate model , complying with the principle of parsimony .

Proceeding with the other stages of this methodology corroborate that the selection was correct because the postulated model was appropriate because it could comply with the following assumptions: constant variance of the residuals , independence of residuals , normality of the residuals , observations not aberrant , the model is parsimonious , the model is admissible and the model is stable . Taking even more certain to obtain precise predictions and actual production harvests.

Certainty that was ratified by taking forecasts on production volumes sugar cane in recent months previously known , which allow us to observe whether it was good model fit in time. When this process was found that point forecasts over the past almost fit of actual , giving as evidence that equation modeling was very good , with a level of explanation of the total variance of 94%.

From this methodology was able to obtain precise predictions for sugar cane crops in the years desired , noting that planting sugar harvests diminished year after year , implying expected low demand for this . One reason why the results obtained may be due to the fact that 6% have ignored for other factors such as price , supplies and other not measured , though this is a very significant percentage for the explanation of this process manufacturing . Moreover it makes the treatment to be less labor intensive to implement , unless corrective action is taken , which is a very significant analysis because it offers a forecast that gives optimal solutions suited to the production of sugar in future years

CONCLUSION

Es fácil ver cómo avanza el mundo a pasos agigantados, por las sendas del conocimiento y de la mano del desarrollo, esto ha traído grandes beneficios para el área industrial lo cual se puede ver fácilmente reflejado en el planteamiento de nuevos modelos o series de tiempos que ayudan a hacer predicciones y pronósticos cada día más puntuales y cercanos a la realidad. Dichos modelos tienen la particularidad de poder ser utilizados en cualquier ámbito de la economía como lo es el enfoque financiero, agrícola, demográfico entre otros.

El tiempo es un recurso que siempre es nombrado como uno de los tres recursos de toda empresa, pero muchas veces es tomado como un tópico de relevancia por ser tomado como solo un patrón de medidas. El las series de tiempo y predicciones esto no es así ya que en estas temáticas juega un papel sumamente importante en la que muchas veces es considerado como la variable independiente, dando muestra de que es su valor el que condiciona a las predicciones. En este ejercicio académico no fue la excepción ya que se pudo observar cómo, a través del tiempo las cosechas de una empresa que se dedicaba al cultivo de caña de azúcar iban decayendo; el investigador pudo llegar a esta conclusión llevando a cabo los distintos métodos y procedimientos estadísticos para poder dar con los pronósticos adecuado. Es importante resaltar que todos estos pronósticos se dan a través de una adecuada ejecución del modelo ARIMA el cual permite la estabilización de la varianza debido a la aplicación del operador de diferencia, logrando así tener un modelo más simple y preciso; este modelo pudo ser escogido gracias a la metodología box- jenkins.

El anterior trabajo fue muy enriquecedor para cada uno de los estudiantes ya que se pudo confrontar cada una de las teorías consignadas por los autores con la realidad, comprobando así su veracidad y eficiencia. Además es la muestra de que si es posible un aprendizaje autónomo yendo mas halla de los conocimientos impartidos en clase, donde se resalta la importancia del ingeniero industrial como agente de mejoramiento en la industria.

BIBLOGRAFÍA

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