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REPÚBLICA DE CUBA
UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RÍO “HERMANOS SAÍZ MONTES DE OCA”
CENTRO DE ESTUDIOS DE CIENCIAS DE LA EDUCACION DE PINAR DEL RÍO
(CECE-PRI)
Metodología para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del
Espacio con el empleo de medios tecnológicos en la carrera Licenciatura en
Educación Matemática en la Universidad de Pinar del Río
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MÁSTER EN
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Autor(a): Lic. Meiyelis Cabrera Columbié
Pinar del Río
2019
REPÚBLICA DE CUBA
UNIVERSIDADDE PINAR DEL RÍO “HERMANOS SAÍZ MONTES DE OCA”
CENTRO DE ESTUDIOS DE CIENCIAS DE LA EDUCACION DE PINAR DEL RÍO
(CECE-PRI)
Metodología para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del
Espacio con el empleo de medios tecnológicos en la carrera Licenciatura en
Educación Matemática en la Universidad de Pinar del Río
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL TÍTULO ACADÉMICO DE MÁSTER EN
CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
Autor(a): Lic. Meiyelis Cabrera Columbié
Tutor(a):Dr. C. Carlos Luis Fernández Peña
Pinar del Río
2019
AGRADECIMIENTOS
Mis agradecimientos infinitos a:
A toda mi familia, en especial a mi madre fuente de inspiración y guía en todo momento.
A mi tutor Dr. C. Carlos Luis Fernández Peña, por acompañarme en este camino de la
ciencia y la investigación.
A mi segunda madre y amiga Letycia, que no escatimó tiempo y esfuerzo para brindarme
siempre su oportuna ayuda.
Al comité académico de la maestría de Ciencias de la Educación de la Universidad de
Pinar del Río, por su dedicación y entrega a mi formación como investigadora.
A mis compañeros del Departamento Carrera Licenciatura en Educación Matemática, en
especial a Yamila, Lázara Raimelys, Ivys, Iris y Rubén.
A mis compañeros de la 11na edición de la Maestría en Ciencias de la Educación por los
buenos momentos pasados y apoyo en los momentos difíciles.
A los estudiantes de primer año de la carrera Licenciatura en Educación Matemática.
A todos los que confiaron en mí.
A todos muchas gracias.
DEDICATORIA
A todos los que disfrutan de enseñar y aprender.
A mis padres por la vida y educación.
A mis profesores, no importa dónde, cuándo y cómo me enseñaron, porque el
esfuerzo valió la pena.
SÍNTESIS
Uno de los aspectos que ha ocupado a los investigadores en el área de las matemáticas, tanto nacional
como internacionalmente, es la enseñanza de la geometría espacial, en particular los enfoques del
tratamiento de los contenidos geométricos espaciales. La investigación que se presenta se dirige al
perfeccionamiento del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio en la carrera
Licenciatura en Educación Matemática de la Universidad de Pinar del Río. El objetivo es elaborar una
metodología que permita el uso adecuado de los medios tecnológicos en este proceso, con el fin de
favorecer una aproximación flexible, sistémica e integral y la participación activa de los estudiantes
durante su desarrollo; sustentado en el papel dinamizador de los medios tecnológicos para contribuir al
logro de la capacidad de visualización, pues se pudo constar que los estudiantes de la carrera
presentan limitaciones para enfrentar el contenido geométrico espacial. El tratamiento metodológico
general se basa en la concepción dialéctica de investigación, usando como método el dialéctico
materialista. Para evaluar la viabilidad de la metodología se utilizó el método de consulta a
especialistas, que permitió el perfeccionamiento de la metodología propuesta, la que resulta novedosa y
pertinente para el contexto educativo de la carrera.
TABLA DE CONTENIDOS
Pág.
INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... 1
CAPÍTULO I. “EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO EN LOS
ESTUDIANTES DE LA CARRERA LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE LA UNIVERSIDAD DE
PINAR DEL RÍO”.......................................................................................................................................... 9
1.1 Desarrollo histórico de la geometría como ciencia y de su enseñanza ..................................................... 9
1.2 Geometría del Espacio. Importancia de su enseñanza - aprendizaje en la escuela .................................14
1.2.1 La visualización en Geometría del Espacio ...................................................................................16
1.3 Enfoque dinámico de la geometría .....................................................................................................18
1.4 Papel de los medios tecnológicos en la enseñanza de la Geometría del Espacio....................................21
1.5 El proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio en la formación de profesores en la
Carrera Licenciatura en Educación Matemática ........................................................................................24
1.5.1 Caracterización de la disciplina “Geometría” en la carrera de Matemática .......................................26
1.5.2 La Geometría del Espacio en la formación de profesores de Matemática ........................................28
1.6 Diagnóstico de la situación actual del proceso de enseñanza- aprendizaje de la Geometría del Espacio en
la carrera Matemática de la Universidad de Pinar del Río ..........................................................................30
1.6.1 Operacionalización de la variable en estudio ................................................................................33
1.6.2 Estructuración del proceso de búsqueda de información ................................................................35
1.6.3 El análisis de los resultados de cada instrumento. .........................................................................36
1.6.4 Las regularidades que caracterizan el estado actual de la variable en estudio .................................38
Conclusiones del capítulo I .....................................................................................................................39
CAPÍTULO II. “CARACTERIZACIÓN DEL ROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA DEL
ESPACIO CON EL USO DE MEDIOS TECNOLÓGICOS EN LA CARRERA EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE LA
UPR” .........................................................................................................................................................41
2.1. Aportes de las Ciencias de la Educación a la reestructuración del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Geometría del Espacio basado en el uso de medios tecnológicos ..............................................................41
2.1.1 Las bases filosóficas. .................................................................................................................41
2.1.2 Las bases sociológicas ...............................................................................................................43
2.1.3 Las bases psicológicas ...............................................................................................................44
2.1.4 Las bases pedagógicas y didácticas ............................................................................................46
2.1.5 Las bases de la tecnología educativa ...........................................................................................49
2.1.6 Las bases de gestión educacional ...............................................................................................52
2.2 Análisis de los componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio en
correspondencia con la influencia que ejerce sobre ellos los medios tecnológicos ........................................53
2.3 Estructuración didáctico-metodológica del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio
con empleo de medios tecnológicos .........................................................................................................58
CAPÍTULO III. “METODOLOGÍA PARA EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
DEL ESPACIO CON EL EMPLEO DE MEDIOS TECNOLÓGICOS EN LA CARRERA LICENCIATURA EN
EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RÍO” ......................................................67
3.1 Estructura de la metodología para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio con
el empleo de medios tecnológicos en la carrera Licenciatura en Educación Matemática en la Universidad de
Pinar del Río ..........................................................................................................................................68
3.1.1 Componente teórico de la metodología ........................................................................................69
3.1.2 El componente instrumental de la metodología .............................................................................73
3.2 Valoración de la validez de la metodología para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del
Espacio con empleo de medios tecnológicos ............................................................................................80
Conclusiones del capítulo III ....................................................................................................................83
CONCLUSIONES GENERALES..................................................................................................................84
RECOMENDACIONES ...............................................................................................................................85
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA ..................................................................................................................86
BIBLIOGRAFÍA GENERAL .........................................................................................................................89
ANEXOS ...................................................................................................................................................93
INTRODUCCIÓN
1
INTRODUCCIÓN
La Geometría es el modelo matemático del espacio físico en que el hombre se desarrolla, el centro de
su atención es el estudio de las propiedades relativas a la forma y al tamaño de los objetos y las
relaciones de posición entre ellos (Álvarez, Almeida y Villegas, 2014)
Como asignatura la Geometría prepara al hombre para orientarse en el entorno espacial, percibir sus
proporciones y dimensiones, desarrollar una memoria visual, captar semejanzas y diferencias,
regularidades y manipular mentalmente figuras geométricas, entre otros aspectos, lo que debe servirles
para la apreciación estética de la realidad, y desenvolverse en su medio natural y productivo. La
Geometría contribuye al desarrollo de importantes convicciones y cualidades de la personalidad, lo que
se refleja en actitudes como la curiosidad científica.
La Geometría ofrece numerosas posibilidades para experimentar, mediante medios adecuados, sus
métodos, conceptos, propiedades y problemas. La Geometría del Espacio en particular, ofrece grandes
posibilidades de emplear métodos productivos y medios de enseñanza, entre ellos los interactivos, que
favorezcan un aprendizaje desarrollador, colocando al estudiante como protagonista fundamental en la
construcción del conocimiento (Ballester, et al., 1992).
La enseñanza-aprendizaje de la Geometría ha ocupado a muchos investigadores, en esa dirección la
Comisión Internacional de Educación Matemática (ICMI), en 1995, centró su tema de estudio en “las
perspectivas sobre la enseñanza de la Geometría para el siglo XXI”.
En el documento de discusión la ICMI, destaca la necesidad de discutir sobre la identificación de los
retos más importantes y las tendencias emergentes para el futuro; así como los impactos didácticos
potenciales en la enseñanza y el aprendizaje de la geometría, a partir del aprovechamiento y la
aplicación de nuevos métodos de enseñanza. Se destaca, además, el interés en el uso de materiales
2
didácticos (manipulables y visuales) como un recurso para mejorar la calidad de la enseñanza de la
Geometría (Roldan, 2008).
El uso de estos materiales didácticos presupone la existencia de un profesor capaz de asimilar y
comprender los avances actuales de la didáctica de la Geometría, comprometido con su encargo social
y que respondan a las necesidades del medio que lo rodea, capaz de enfrentar los continuos cambios y
transformaciones sobre la base de los principios del materialismo dialéctico e histórico así como la
tradición ética heredada. El profesional de la educación Matemática que se forma en las universidades
cubanas debe responder al modelo pedagógico cubano, portador de sólidas convicciones ideológicas,
con pleno conocimiento sobre el papel que le corresponde jugar en la formación de un hombre
comprometido con su historia, responsable, reflexivo, creador, con una amplia cultura científica y
pedagógica y con un alto desarrollo de habilidades profesionales, capaz de dar soluciones creativas y
novedosas.
Si de Geometría se trata el futuro profesional de la Educación Matemática debe estar preparado para
desarrollar un trabajo intuitivo y experimental como base para la formación de conceptos y el
establecimiento de relaciones unido a la resolución de problemas en la escuela, logrando que el estudio
de la Geometría permita la ubicación espacial y la visualización.
Sin embargo, en la carrera Licenciatura en Educación Matemática en la Universidad de Pinar del Río,
los resultados de las evaluaciones y controles a la práctica laboral desarrollados en los últimos cinco
años han permitido conocer que hay un conjunto de problemáticas relacionadas con el aprendizaje de la
Geometría del espacio que se arrastran de una cohorte a otra. Dentro ellas se desatacan:
Limitaciones en el poder de imaginación espacial.
Dificultades en la representación geométrica de cuerpos.
3
Dificultades en la resolución de problemas geométricos a partir del limitado desarrollo de la
capacidad de visualización.
Estas limitaciones contrastan con las exigencias del modelo del profesional que plantea que el
profesional de la educación matemática debe prepararse para explicar estos contenidos según las
exigencias del modelo educativo cubano. También entran en contradicción con la respuesta que, desde
el punto de vista del conocimiento y el desarrollo de habilidades, se debe lograr mediante la Disciplina
Geometría, del plan de estudio de la carrera Licenciatura en Educación: Especialidad Matemática.
Las limitaciones mencionadas muestran que la contribución desde esta disciplina con el problema
profesional que plantea “Fundamentar desde la ciencia geometría los contenidos geométricos que se
estudian en la asignatura Matemática en la enseñanza media” no alcanza los estándares esperados
MES (2016).
La Universidad de Pinar del Río “Hermanos Saíz Montes de Oca” se encuentra inmersa en el
perfeccionamiento de las concepciones actuales del Proceso de Enseñanza - Aprendizaje (PEA) de la
Geometría en la carrera Licenciatura en Educación Matemática, redimensionando el PEA de la
geometría del espacio con enfoque profesional desde la formación inicial.
A partir de estas condiciones y las manifestaciones antes señaladas la autora realiza un estudio
exploratorio preliminar en el que se lleva a cabo, análisis documental, entrevistas a profesores,
directivos, estudiantes, así como la observación a estudiantes en el desarrollo del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio, constatando un grupo de fortalezas y debilidades
en dicho proceso.
Como resultados de esta exploración se encontró como fortaleza que la carrera cuenta con un modelo
del profesional de una sólida formación general y especializada, específicamente el plan de estudio E,
MES (2016) Modelo del profesional. Lic. Educación Matemática, aparecen una serie de objetivos
4
específicos, uno de ellos dirigido a: aplicar los métodos de búsqueda, selección y procesamiento de la
información científica para el trabajo con los contenidos de las asignaturas que conforman la disciplina,
apoyándose para ello en las tecnologías de la información y las comunicaciones, en asistentes
matemáticos, plataformas interactivas, gestores de referencias bibliográficos, bases científicas de datos
y textos escritos en idioma inglés.
Se encontró también, existe un colectivo docente altamente preparado y comprometidos con la tarea de
formar un profesional de la educación competente, y existe una infraestructura que facilita la interacción
social con medios tecnológicos.
Se constataron como debilidades las siguientes:
• Los docentes establecen un escaso vínculo con las situaciones que enfrenta el estudiante en la
vida cotidiana y con sus intereses profesionales.
• Es insuficiente el uso de los medios tecnológicos, en especial los conocidos Software de
Geometría Dinámica (SGD) y otros medios manipulables que ofrece la infraestructura de la
Universidad de Pinar del Río (UPR).
• No se asume en el departamento una metodología o estrategia que permita la implementación
adecuada de los diferentes medios tecnológicos que en el PEA de la geometría del espacio se
pueden utilizar.
Por tanto, esta investigación pretende contribuir al perfeccionamiento del Proceso de Enseñanza
Aprendizaje de la Geometría del Espacio (PEAGE) en la carrera Licenciatura en Educación Matemática
(carrera Matemática), de la UPR durante la formación inicial.
El PEAGE manifiesta limitaciones e insuficiencias en el empleo de medios tecnológicos que propicien el
desarrollo del pensamiento geométrico espacial y la capacidad de visualización. Se necesita entonces
desarrollar un PEAGE integral que permita desde la formación inicial, aprender y enseñar geometría del
5
espacio, para enseñar a enseñar con empleo de medios tecnológicos en aras de lograr el desarrollo del
pensamiento geométrico espacial y la visualización.
Producto a que se establece una contradicción entre la realidad y la necesidad, la situación
problemática está centrada en que el PEAGE en la carrera Licenciatura en Educación Matemática de
la UPR revela insuficiencias en el empleo de medios tecnológicos que permiten el desarrollo del
pensamiento geométrico espacial y la capacidad de visualización para resolver problemas geométricos,
no tributando a la configuración del objeto de la profesión; lo que determina un inadecuado proceso
formativo, en los profesores en formación.
De ahí que se asuma como problema de investigación: ¿cómo perfeccionar el PEAGE en la carrera
Licenciatura en Educación Matemática de la Universidad de Pinar del Río?
Se reconoce así que el objeto de investigación es: el PEAGE en la carrera Licenciatura en Educación
Matemática de la UPR. Y como objetivo de investigación: elaborar una metodología para el PEAGE
con el empleo de medios tecnológicos en la carrera Licenciatura en Educación Matemática de la UPR,
que permitan el desarrollo del pensamiento geométrico espacial y la capacidad de visualización para
resolver problemas geométricos.
Para alcanzar el objetivo de la investigación se plantean un grupo de preguntas científicas asociadas a
tareas que se realizan mediante el empleo de métodos teóricos, empíricos y estadísticos. Usando como
eje transversal y rector del enfoque de la investigación: el método dialéctico materialista.
Las preguntas científicas son las siguientes:
1-¿Cuáles son los elementos que componen el marco teórico referencial del PEAGE en la carrera
Matemática en la Universidad?
2- ¿Cuál es el estado actual del PEAGE en la carrera Matemática en la UPR?
6
3- ¿Cuáles son las bases teóricas y fundamentos que sustentan el PEAGE en la carrera Matemática en
la UPR?
4- ¿Cuál debe ser la estructura de una metodología para la implementación de medios tecnológicos en
el PEAGE en la carrera Matemática en la UPR?
5-¿En qué medida es viable la implementación de una metodología basada en el empleo de medios
tecnológicos en el PEAGE en la carrera Matemática en la UPR?
Por consiguiente las tareas de investigación son:
1- Sistematización de los principales elementos del marco teórico referencial del PEAGE en la carrera
de Matemática en la Universidad.
2- Caracterización del estado actual del PEAGE en la carrera de Matemática en la UPR
3- Determinación de las bases teóricas y fundamentos que sustentan el PEAGE en la carrera de
Matemática en la UPR.
4.-Diseño de una metodología para implementar medios tecnológicos en el PEAGE en la carrera de
Matemática en la UPR.
5. Estudio de la viabilidad de la implementación de una metodología basada en el empleo de medios
tecnológicos en el PEAGE en la carrera de Matemática en la UPR.
Los métodos teóricos que se emplearán en la presente investigación son los siguientes:
Histórico-lógico: para la sistematización de los referentes, bases y fundamentos teóricos relacionados
con el PEAGE en la formación inicial del profesional de la educación Matemática con énfasis en las
posiciones filosóficas, escuelas psicológicas y tendencias pedagógicas que lo han abordado en el
contexto internacional y nacional, en su desarrollo histórico y las regularidades que presenta en la
carrera de Matemática, en la Universidad de Pinar del Río “Hermanos Saíz Montes de Oca”.
7
Análisis y síntesis: para determinar los aspectos esenciales del PEAGE, descomponiéndolo en sus
partes y cualidades para el análisis teórico, las cuales se unificarán teniendo en cuenta aquellos
elementos comunes, lo que posibilita entender su estructura y poder así posteriormente modelarlo.
Método sistémico-estructural: para la determinación de los componentes que articulan el PEAGE, las
interrelaciones dialécticas que en él se establecen, así como las etapas de la metodología para su
puesta en práctica.
Modelación: para realizar las abstracciones necesarias en la explicación del PEAGE en la carrera de
Matemática de la UPR.
Los métodos empíricos:
La observación: posibilita un acercamiento a la problemática de investigación durante la etapa
exploratoria y sus principales manifestaciones en el contexto social- educativo en la UPR, a partir de la
observación de clases de geometría del espacio en la carrerade EducaciónMatemática.
Análisis documental: facilita el estudio mediante una guía elaborada, de las diferentes clases
planificadas por el docente para la dirección del PEAGE en la carrera de Matemática.
La entrevista: se realiza a profesores universitarios, estudiantes y especialistas sobre el tema a partir
de criterios de selección para la constatación empírica del problema de investigación.
Prueba pedagógica: se empleó para constatar el estado de conocimiento de los estudiantes en los
contenidos geométricos espaciales.
Consulta a especialistas: Para la obtención de criterios especializados acerca de la viabilidad del uso
de una metodología para el PEAGE con el empleo de medios tecnológicos en la carrera Matemática,
que permitan el desarrollo del pensamiento geométrico espacial y la capacidad de visualización para
resolver problemas geométricos.
8
Para el procesamiento de las informaciones cualitativas derivadas del análisis de documentos, la
observación y la entrevista se utilizaron los procedimientos de la teoría fundamentada.
Para el procesamiento de la información cuantitativa se emplearon métodos de la estadística
descriptiva: se trabajó con el cálculo de números índices y el trabajo con tablas de frecuencias,
principalmente usando el porcentaje. Además se utilizó una escala empírica para asignar una categoría
a cada dimensión.
Además se empleó la técnica de triangulación de tipo metodológica para la confirmación de las
informaciones obtenidas, a través de la aplicación de los métodos y la determinación de puntos
coincidentes y discrepancias.
El uso de estos métodos permitió establecer regularidades en el comportamiento del proceso objeto de
estudio, lo que facilitó la toma de decisiones en la investigación.
La contribución teórica radica en la sistematización y fundamentación del estado de la ciencia con
respecto al PEAGE en la carrera de Matemática. También el sistema de relaciones coherente entre los
fundamentos teórico-metodológicos y el componente instrumental de la metodología, que permite
potenciar el PEAGE.
La contribución práctica: la metodología para implementar medios tecnológicos en el PEAGE en la
carrera Matemática en la UPR, desde su componente instrumental a partir de sus etapas,
procedimientos y acciones.
La novedad científica consiste en concebir el PEAGE para la carrera Matemática de modo sistémico,
integral y contextualizado, logrando la dinamización de sus componentes; al promover desde una visión
diferente el PEAGE a partir del empleo de medios tecnológicos.
CAPÍTULO I
“EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
GEOMETRÍA DEL ESPACIO EN LOS ESTUDIANTES DE LA
CARRERA LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
DE LA UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RÍO”
9
CAPÍTULO I. “EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO
EN LOS ESTUDIANTES DE LA CARRERA LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE LA
UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RÍO”
Este capítulo se propone abordar las principales manifestaciones del objeto de investigación, se realiza
el análisis de los elementos del marco teórico referencial del PEAGE, desde el estudio de sus
antecedentes y los enfoques actuales para su desarrollo, así como mostrar los resultados del
diagnóstico realizado sobre dicho proceso en la carrera de Licenciatura en Educación Matemática de la
Universidad de Pinar del Río.
1.1 Desarrollo histórico de la geometría como ciencia y de su enseñanza
La Matemática ha tenido una larga y controvertida historia, que va desde su surgimiento con la
comunidad primitiva hasta las matemáticas contemporáneas. La parte teórica de la Matemática tiene
sus orígenes en las escuelas científicas y filosóficas de la Grecia Antigua y su contribución al desarrollo
de las ciencias es tan significativa que incluso en la actualidad “... las ciencias si quieren seguir la
historia del surgimiento y desarrollo de sus tesis generales actuales, están obligadas a dirigirse a los
griegos” (Engels,1970, p.340).
El establecimiento de la Matemática como ciencia independiente, en el antiguo imperio griego, donde
sobresalen los aportes de Pitágoras (580 a. n. e – 495 a. n. e) en el arte numérico, Arquímedes
(Siracusa,287 a. n. e. – 212 a. n. e.) con los métodos aproximados, Apolonio (Perge, a. n. e262 -
Alejandría, 190 a. n. e.) con el trabajo de las cónicas, Diofanto con su aritmética, Ptolomeo (Ptolemaida,
Tebaida, 100 – Cánope, 170) con su trigonometría y Euclides (325 a. n. e - . 265 a. n. e ) con su
geometría, recibió de los egipcios y los babilonios la formación de las primeras representaciones
matemáticas, que impulsadas por necesidades prácticas o sociales como el comercio, la astronomía, la
10
ornamentación y la agrimensura constituyeron los primeros sistemas numéricos y las representaciones
geométricas.
La concepción de la Geometría de Euclides, que a decir de Diudonné (1959) constituye la realización
intelectual quizás más extraordinaria alcanzada por la humanidad y es merced a Euclides que se ha
podido erigir la elevada estructura del presente, se mantuvo por cerca de 22 siglos; la llegada de las
Geometrías no euclidianas en el siglo XIX por Gauss, Bolyai y Lobachewski da un viraje al pensamiento
geométrico, se derrumba la idea absoluta del espacio defendida por Kant y se estructura una teoría
geométrica opuesta a las concepciones euclidianas.
En esta evolución histórica un hecho ocurrido en la década del 60, que tenía como antecedente un
importantísimo evento, el Seminario de Rayaumout en 1959, dio un viraje a lo que se consideraba
esencial en la Matemática (Diudonné, 1959).
La introducción de la Matemática Moderna trajo a las escuelas el formalismo y la absolutización de la
teoría de conjunto; lo que limitó el trabajo con la Geometría Elemental; en particular, la intuición espacial
en la estereometría, ya que por su carácter formalista la Matemática Moderna abogaba por la
profundización en el rigor lógico y no en la intuición ni en la visualización.
En los años 70 se empezó a percibir que muchos de los cambios introducidos no habían resultado muy
acertados. Con la sustitución de la Geometría por el Álgebra la matemática elemental se vació
rápidamente de contenidos y de problemas interesantes. La carencia de intuición espacial fue otra de
las consecuencias del alejamiento de la geometría de los programas de la escuela. Se puede decir que
los inconvenientes surgidos con la introducción de la llamada «matemática moderna» superaron con
mucho las cuestionables ventajas que se había pensado conseguir, como el rigor en la fundamentación,
la comprensión de las estructuras matemáticas, la modernidad y el acercamiento a la matemática
contemporánea (Álvarez, et al., 2014).
11
Como reacción a un abandono injustificado de la geometría intuitiva en los programas escolares, del
que fue culpable la corriente hacia la «matemática moderna», Guzmán (1992) hace alusión a que,
desde el punto de vista didáctico, científico e histórico, se hace incuestionable la necesidad de, volver a
recuperar el contenido espacial e intuitivo en toda la matemática, no ya sólo en lo que se refiere a la
geometría. “(…) se constató una pérdida de la intuición geométrica espacial y el abandono por
solucionar problemas interesantes e instructivos relacionados con la vida.” (Rodríguez, 1999, p.10).
Esto ha sido favorecido desde los finales del siglo XX debido al alcance de las Tecnologías de la
Información y las Comunicaciones (TIC), con las aplicaciones informáticas que permiten el tratamiento
visual de la geometría en varias dimensiones y la facilidad de poder mover las figuras. Con estos
adelantos tecnológicos comienzan a predominar los aspectos visuales sobre los aspectos conceptuales
que epistemológicamente habían caracterizado el conocimiento geométrico en las primeras
civilizaciones respondiendo a necesidades utilitarias y prácticas.
Las reflexiones anteriores evidencian que los enfoques en la enseñanza de la geometría a escala
internacional se han centrado en el aspecto intuitivo sobre el aspecto formal o viceversa en
correspondencia con su devenir histórico. Campos (1979) acentuó que: en la actualidad hay un acuerdo
bastante unánime en todos los países, sobre los principios siguientes:
1. Para los más jóvenes, la enseñanza de la geometría no puede ser deductiva, debe ser una
instrucción basada en la observación; su objetivo es la elaboración de los conceptos
fundamentales a partir de la experiencia (es decir, geometría euclidiana).
2. Para el matemático, la manera más elegante, la más profunda, la más rápida, de definir el plano
(o el espacio), es definirlo como espacio vectorial sobre R, con dos (o tres) dimensiones, provisto
de un producto escalar, es decir, de una forma bilineal simétrica u.v tal que u.v>o para todo
vector u ≠ o.
12
Cuba ha estado en el centro de esas discusiones y Escalona (1944) declaró como objetivos del
aprendizaje de la geometría los siguientes:
• Dominio de los teoremas esenciales y de sus aplicaciones prácticas.
• Comprensión clara de la naturaleza de la prueba geométrica y del significado del rigor
matemático.
• Creación de hábitos de expresión suscita del pensamiento y de organización lógica de las ideas.
• Transferencia de los hábitos adquiridos a situaciones no geométricas, de modo que el alumno
adquiera la capacidad del pensamiento cuidadoso e independiente.
Se considera que la concepción del currículo de Geometría en la escuela cubana (Rizo, 1987, 1989,
2000) se sustenta, con plena vigencia, en estos objetivos generales para el aprendizaje de los
contenidos geométricos y se organiza en tres etapas fundamentales: un ciclo inicial o propedéutico que
abarca la enseñanza preescolar y hasta el cuarto grado de la escuela primaria, con un estudio intuitivo;
una de estudio racional o deductiva que comienza en los grados quinto y sexto de la escuela primaria y
se extiende hasta los grados de secundaria básica; y una tercera etapa de complementación. Es un
logro que el curso de Geometría actual de la escuela cubana no hace una construcción axiomática
rigurosa en ninguna de las tres etapas mencionadas, aunque sí incluye elementos muy intuitivos de los
sistemas de Euclides y de Hilbert.
No se pretende dar un sistema de axiomas completo que posibilite formar el curso; sino sólo algunos
axiomas de incidencia, orden y movimiento. Simplemente se hizo una selección de aquellos, que, a
modo de propiedades, tengan alguna utilización en el trabajo posterior (Rizo, 1990).
Según lo expresado, han sucedido muchas cosas en el ámbito de la enseñanza aprendizaje de la
Matemática en estos últimos treinta años que han determinado cambios en la enseñanza de la
13
Geometría, sobre todo, la tendencia a no presentarla solo como una ciencia deductiva a partir de los
Elementos de Euclides.
La conveniencia de mantener su enseñanza se debe a considerar:
• La geometría como fuente de intuiciones.
Varias ramas de la Matemática se han encontrado o construido mediante profundizaciones de
intuiciones geométricas. La visualización de un sistema de ecuaciones lineales como rectas o planos
facilita la compresión y ayuda a aprehender la teoría. Muchas veces en la primera etapa de la
resolución de problemas se hace uso de los dibujos que ayudan a intuir las posibles soluciones.
• La geometría como iniciación en el pensamiento formal.
Quizás ninguna rama de la Matemática se presta como la Geometría para pasar de lo concreto a lo
abstracto y de ello a lo formal, es en ella donde se refiere a algo tan concreto como el espacio físico.
• La geometría como fuente para el desarrollo de diferentes formas de pensamiento.
La elección de problemas tanto abiertos como la demostración para ejercitar al alumno en el
razonamiento formal pueden aportar distintas estrategias o modo de razonamiento: generalización,
inducción y analogía.
• La geometría como una esfera sensible a multitud de procedimientos y habilidades.
Ejemplos de procedimientos y habilidades son, entre otros: la percepción, la deducción, la imaginación,
la intuición, y entre las habilidades: dibujar, representar, construir figuras y modelos, armar y desarmar.
El tratamiento de la geometría en la escuela cubana actual, se caracteriza por el trabajo intuitivo y
experimental como base para la formación de conceptos y el establecimiento de relaciones unido a la
resolución de problemas. El estudio de la Geometría permite la percepción espacial y la visualización.
14
1.2 Geometría del Espacio. Importancia de su enseñanza - aprendizaje en la escuela
La geometría es el modelo matemático del espacio físico en que el hombre se desarrolla; es el centro
de su atención es el estudio de las propiedades relativas a la forma y al tamaño de los objetos y las
relaciones de posición entre ellos.
Ella prepara a los estudiantes para orientarse en el entorno espacial, percibir sus proporciones y
dimensiones, desarrollar una memoria visual, captar semejanzas y diferencias, regularidades y
manipular mentalmente figuras geométricas, entre otros aspectos, lo que debe servirles para la
apreciación estética de la realidad, y desenvolverse en su medio natural y productivo, pero también
contribuye al desarrollo de importantes convicciones y cualidades de la personalidad, lo que se refleja
en actitudes como la curiosidad científica (Álvarez, et al., 2014).
Una de las líneas directrices relativas a conocimientos, habilidades y formas de pensamiento
matemático específicas, es “Geometría”. Esta línea directriz pretende que los estudiantes adquieran
conocimientos y habilidades y desarrollen un pensamiento geométrico – espacial que refuerce incluso el
saber adquirido en otras áreas y consolide y amplíe sus capacidades, hábitos y cualidades de la
personalidad, como el gusto por la belleza, la limpieza y la exactitud.
Afirma Ballester et al. (2018), que en particular este tipo de pensamiento exige que los alumnos sean
capaces de representar figuras conocidas y hacer la representación de imágenes no vistas con
anterioridad, capacidad esta última que se asocia con el desarrollo de la imaginación espacial.
En la escuela cubana, desde el primer ciclo, se abordan en la enseñanza de la Matemática contenidos
de la geometría del espacio, y se plantean exigencias en relación con el desarrollo del pensamiento
geométrico espacial. El concepto de espacio se interpreta de manera diferente dentro de las ciencias.
Como categoría filosófica, es una de las formas de existencia de la materia. En la ciencia Matemática se
15
interpreta como la forma del medio real, incluyendo sus relaciones cuantitativas, que son su objeto de
estudio (Comenius, 1983).
En relación con la enseñanza de la geometría del espacio, son objetivos comunes en las diferentes
educaciones:
• Obtener fórmulas para el área lateral, el área total y el volumen de cuerpos geométricos que se
estudian.
• Formular y resolver ejercicios y problemas intra- y extramatemáticos que conduzcan a la
estimación, medición y cálculo aproximado de magnitudes geométricas de figuras en el espacio.
• Esbozar y construir figuras geométricas en el espacio y desarrollar cuerpos geométricos,
haciendo una adecuada utilización de los instrumentos de dibujo y los asistentes de geometría
dinámica y apreciando la utilidad de lo aprendido para la vida cotidiana, otras asignaturas, la
ciencia, la técnica y el arte.
Los estudiantes deben comprender la importancia del método axiomático para la matemática y evaluar
a partir de los conceptos básicos y algunos axiomas cómo se deducen otros teoremas. Por ejemplo,
pueden valorar cómo de los axiomas de incidencia y del axioma de las paralelas se obtienen
proposiciones acerca de las posiciones relativas de rectas y de rectas y planos en el espacio,
apreciándolo en la demostración de algunos teoremas.
En el tratamiento de los contenidos se deben crear nexos entre la geometría sintética y la analítica, la
del plano y del espacio. En particular, los estudiantes deben valorar cuándo es más racional resolver un
problema por vía analítica y cuándo, por vía sintética. Además, deben establecer conexiones con otras
áreas matemáticas y asignaturas del currículo. Deben ser cada vez más capaces de usar razonamiento
deductivo para establecer o rechazar conjeturas, y usar conocimientos ya establecidos para deducir
16
información sobre otras situaciones. Los estudiantes deben empezar a organizar su conocimiento sobre
familias de objetos más formalmente.
Los estudiantes deben aprender a utilizar los instrumentos de trazado, lo cual contribuye a que
desarrollen hábitos para planificar su trabajo, realizarlo con orden y limpieza. Deben aprovechar las
ventajas que brindan los asistentes de geometría dinámica, pero eso no excluye de que planifiquen los
pasos de las construcciones que pretenden realizar. Los asistentes de geometría dinámica propician la
visualización de propiedades y relaciones, la elaboración de conjeturas y la simulación de experimentos.
A partir de las reflexiones anteriores, se pueden categorizar en tres tipos, las tareas que se realizan en
las clases al estudiar las figuras geométricas de dos y tres dimensiones: conceptualización,
investigación y demostración, con las que se espera que los estudiantes desarrollen su razonamiento
geométrico.
Por medio de las tareas de conceptualización, investigación y demostración que se propongan a los
estudiantes, las habilidades básicas por desarrollar en las clases de geometría del espacio son:
Visuales, comunicación, construcción, lógicas o de razonamiento, de aplicación o transferencia.
1.2.1 La visualización en Geometría del Espacio
Desde hace mucho tiempo se reconoce la estrecha relación entre visualización (visión espacial o
imaginación espacial) y geometría espacial. Más recientemente, se ha ampliado el campo de estudio al
análisis de la importancia de la visualización en otras áreas de las matemáticas, pero se sigue
investigando sobre su influencia en los procesos de aprendizaje y comprensión de los conceptos
geométricos, sobre todos de los relativos a la geometría espacial.
El uso de objetos físicos, modelos y figuras es la principal arma de los profesores para ayudar a los
estudiantes a comprender los conceptos geométricos, de aquí que la capacidad de visualización sea
imprescindible para aprender geometría.
17
Es conveniente usar representaciones gráficas para comprender los conceptos geométricos. En ese
contexto según Gutiérrez (1998), la visualización es el conjunto de tipos de imágenes, procesos y
habilidades necesarios para que los estudiantes puedan producir, analizar, transformar y comunicar
información visual relativa a objetos reales, modelos y conceptos geométricos.
La relación entre visualización y geometría es más estrecha cuando se trata de la geometría espacial,
pues el manejo de representaciones planas de cuerpos espaciales es inevitable. Las capacidades de
creación de imágenes mentales dinámicas y de interpretación de representaciones planas de cuerpos
espaciales son imprescindibles para progresar en el aprendizaje de la geometría espacial. Hay varias
formas de representación plana de cuerpos geométricos espaciales usados en los libros de textos. Las
más frecuentes son la perspectiva y la proyección paralela, aunque es frecuente encontrar
representaciones mediante proyección isométrica y proyecciones ortogonales.
Teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, Gutiérrez (1998) afirma que para implementar
metodologías activas de enseñanza de la Geometría Espacial, es necesario disponer de:
• Sólidos, con la estructura física adecuada (opacos, transparentes, desmontables, macizos,
huecos, movibles, etc.) para el profesor y los estudiantes.
• Actividades variadas: Dibujo de representaciones planas de sólidos reales, construcción,
descripción, clasificación de los mismos a partir de sus representaciones planas, comparación,
dibujo de una representación plana de un sólido a partir de otra representación plana del mismo,
desarrollo de cuerpos.
• Materiales originales o desechables para construir sólidos de manera fácil y barata.
• Programas de ordenador que permiten ver en la pantalla sólidos y manipularlos virtualmente.
18
1.3 Enfoque dinámico de la geometría
La enseñanza de la geometría se ha ido enmarcando en un enfoque dinámico para su aprendizaje,
donde si bien se mantienen los contenidos clásicos, la manera de aprender geometría ofrece nuevas
posibilidades con el uso de medios de enseñanza que favorecen su tratamiento y en especial, los
recursos tecnológicos productos del desarrollo acelerado de las TIC.
El enfoque dinámico permite distinguir una construcción geométrica de un dibujo, pero no en función de
la apariencia, sino de las relaciones geométricas, que se preservan después de aplicarle un movimiento
a una figura.
Cuando a una construcción geométrica se le aplican diferentes movimientos y las relaciones que la
originaron se mantienen se está en presencia de la geometría dinámica. En otras palabras el estudio de
la geometría con este enfoque dinámico recibe el nombre de geometría dinámica. Es decir, la
realización de construcciones considerando determinadas relaciones geométricas y el dinamismo que
estas adquieren dado por la posibilidad de interactuar con los distintos objetos que las componen de
forma que se conserven las relaciones geométricas que subyacen a los dibujos.
Sobre las bondades de este enfoque Villiers (1996) plantea que: “(…) la característica más apreciada de
la geometría dinámica es su potencial para estimular la experimentación, (…) además de constituir un
medio poderoso para verificar conjeturas verdaderas, y también es en extremo útil para construir
contraejemplos” (p.2). De ahí la importancia de considerar, el enfoque dinámico, siempre que sea
oportuno, para el tratamiento de la geometría.
La enseñanza de la geometría con este enfoque dinámico puede entenderse como:
“(…) la postura o manera de concebir la enseñanza de este contenido desde el supuesto de que
las figuras pueden adquirir la cualidad del dinamismo a partir del movimiento de sus puntos o
19
lados manteniendo alguno de ellos fijos, lo cual origina transformaciones en las mismas.”(Roldan,
2008, p.33).
Con esta concepción para la enseñanza y el aprendizaje de la geometría se cambia la forma clásica de
trabajarla, en las que se presentan y estudian las figuras estáticas, evitando que el estudiante forme en
su imaginación esta idea de figuras rígidas, que se corresponde con una única forma de representación.
Esto hace en ocasiones que el estudiante pierda el nivel de generalidad que caracteriza a los conceptos
geométricos y en la práctica que asocie el concepto de la figura que estudia y sus propiedades a una
sola representación de la misma (Rizo & Campistrous, 2007).
La geometría dinámica le proporciona al estudiante vivir todas las etapas de un procedimiento científico
como: ensayar, elaborar y verificar, o sea, llegar a conclusiones sobre la base de la experimentación
que requieren en un estadio superior, la necesidad de ser demostradas. Esto ayuda a que el estudiante
interiorice el concepto geométrico y al mismo tiempo desarrolle su potencial creativo mediante la
manipulación, la observación, la experimentación, entre otras. Además les permite cometer errores, los
cuáles contribuyen a la toma de conciencia en la forma en que el estudiante razona.
Este cambio de visión en el tratamiento de la geometría implica un cambio en el trabajo de los docentes
y de los estudiantes. Este debe estar orientado fundamentalmente a lograr una mayor activación en el
aprendizaje con el empleo de procedimientos heurísticos y de medios y recursos tecnológicos que
potencien el desarrollo de un pensamiento reflexivo, crítico y valorativo.
El proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría dinámica proporciona nuevos métodos, ya que
facilita: la construcción de las figuras a través de métodos heurísticos, la adquisición por vía inductiva de
los conceptos y las relaciones, la resolución de problemas, la generación directa de lugares geométricos
mediante el movimiento de un punto sujeto a ciertas condiciones, así como la simulación de los
movimientos y las transformaciones del plano.
20
El tratamiento de la geometría con un enfoque dinámico favorece el desarrollo del pensamiento lógico y
del pensamiento geométrico en particular, ya que permite a los estudiantes formarse conceptos mucho
más generales acerca de las figuras geométricas y comprender de una forma más completa sus
propiedades a partir del trabajo con varios ejemplos (Rizo & Campistrous, 2007).
Rizo & Campistrous (2007) reconocen que este enfoque también posibilita aprovechar plenamente una
de las estrategias de trabajo con carácter heurístico en la solución de problemas: la de “mover la figura”
que resulta muy difícil de desarrollar con los medios convencionales.
Se propicia igualmente el empleo de procedimientos heurísticos como: “considerar casos particulares”,
“considerar casos límite”, “medir y comparar”, así como la “búsqueda de relaciones y dependencias” en
las cuales al darle movilidad a las figuras se logra de una manera natural el análisis de lo que ocurre al
hacer variaciones, es decir, determinar qué varía y qué se mantiene, así como la dependencia
existente entre los elementos analizados, formándose en los estudiantes de esta manera una idea de
cuál puede ser la solución del problema.
Permite fijar las propiedades básicas esenciales de las figuras porque al moverlas, con esta intención,
se garantiza que las propiedades que la caracterizan no varíen. En este sentido hay que saber qué
puntos se pueden mover y cómo, para que la figura no se transforme en otra diferente a ella. Además,
cuando los estudiantes tienen que construir las figuras, deben hacerlo sobre la base del conocimiento
de sus propiedades características.
Potencia el desarrollo de la vista geométrica en lo referido a la percepción de las figuras y sus
propiedades, así como el reconocimiento de las invariantes por el movimiento.
El proceso de visualización en la solución de problemas geométricos se favorece con la movilidad de
las figuras ya que a partir de la manipulación y la observación los estudiantes pueden analizar las
condiciones dadas, establecer conjeturas sobre lo que se observa y sentir la necesidad de probar los
21
resultados así obtenidos. Esto da un cambio en el aprendizaje de la geometría en la que los estudiantes
pueden, de alguna manera, sentir que “descubren” las propiedades y relaciones en las figuras.
El tratamiento de la geometría con un enfoque dinámico debe iniciarse desde las edades tempranas con
el empleo de medios de enseñanza que, desde la óptica de la actividad lúdica, inviten al escolar a
explorar ciertas relaciones entre las figuras elementales y que son la base para introducir en fases
superiores de su desarrollo las TIC.
1.4 Papel de los medios tecnológicos en la enseñanza de la Geometría del Espacio
En los últimos años, a partir de la revolución relacionada con los medios de enseñanza; a los que se
han utilizado tradicionalmente en el PEA para la trasmisión y apropiación de la información y para la
experimentación, se han incorporado nuevos medios para el entrenamiento con la inclusión en especial
de las TIC en la educación. El estado cubano ha dotado a las escuelas y universidades de
computadoras, videos y televisores, con el objetivo principal de elevar la calidad del PEA.
Con la informatización, la televisión y otros medios que el propio desarrollo científico–técnico, ha puesto
en manos del profesor y de los estudiantes en el sector educacional, se ha favorecido la naciente
revitalización de enfoques de enseñanza en la geometría dirigidos al desarrollo del pensamiento y la
imaginación espacial, basados en el rescate de formas de trabajo intuitivas y menos formales, mediante
la experiencia directa con los objetos del mundo/entorno circundante para enriquecerse a través de
actividades de construcción, dibujo, medida, visualización, comparación, transformación, discusión de
ideas, conjetura y comprobación de hipótesis.
El trabajo de los docentes en el tratamiento de la geometría según Roldan (2008) tiene que estar
orientado fundamentalmente a lograr una mayor activación en el aprendizaje con el empleo de
procedimientos heurísticos y de medios y recursos tecnológicos que potencien el desarrollo de un
pensamiento reflexivo, crítico y valorativo.
22
El empleo de medios en la clase de geometría, en particular en las clases de Geometría del Espacio, se
justifica por el elevado nivel de abstracción que poseen los contenidos y por los fines que se persiguen
en cuanto a su aprendizaje en los diferentes grados, referidos esencialmente al desarrollo del
pensamiento geométrico espacial. Para la presentación y análisis de las propiedades que son objeto de
estudio, deben emplearse medios de enseñanza que permitan visualizar las propiedades y relaciones,
(Ballester, et al., 1992).
.El uso combinado de medios por el profesor para la transmisión y apropiación de la información,
medios para la experimentación y medios de entrenamiento, potencian la interactividad del alumno en
los procesos de visualización para llegar a generalizaciones empíricas y propician cambios de
actividades en el desarrollo de la clase que ayuda a sostener la atención sobre la exposición del
contenido.
La utilización de las TIC en la enseñanza de la geometría, tiene como propósito la mediación del
proceso, convirtiéndose así, en un medio para dinamizar y optimizar la actividad y la comunicación de
los docentes con los estudiantes, de estos entre sí y de ellos con el contenido de enseñanza.
En la última década del siglo pasado surgieron programas para dinamizar la geometría y en su conjunto
se denominan SGD (Software de Geometría Dinámica), estos procesadores geométricos son
interactivos y dinámicos, permitiendo manipular gráficos, realizar cálculos y construcciones geométricas
ofreciendo la posibilidad de representar los objetos y procesos geométricos en diferentes sistemas de
representación. CabriGeometry II y Geometer'sSketchpad, GeoGebra, Geómetra son actualmente
utilizados en el terreno educativo internacional y en experiencias pedagógicas en la escuela cubana, en
correspondencia con el contenido del actual currículo escolar. En la enseñanza de la Geometría del
Espacio es posible su utilización (Roldan, 2008).
23
De estos programas existen varios que no requieren equipos sofisticados para ser ejecutados, y su
estrategia de manejo sigue las normas comúnmente aceptadas de amigabilidad y sencillez, como
GeoGebra y CabriGeometry.
GeoGebra es un software interactivo de matemática que reúne dinámicamente geometría, álgebra y
cálculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, para
la enseñanza de matemática escolar.
El CabriGeometry II es uno de los primeros procesadores geométricos elaborado en Francia y
presentado a la comunidad internacional de educación matemática en una conferencia en Budapest en
1988. Fue desarrollado por Jean-Marie Laborde y Frank Ballemain, destacados investigadores del
laboratorio de estructuras discretas y de didáctica del Instituto de Informativa y Matemáticas Aplicadas
de la Universidad Joseph Fourier de Grenoble, con el apoyo del centro Nacional de Investigación
Científica de Francia.
Posibilitan el aprendizaje de relaciones visuales y geométricas. Los fenómenos visuales tienen gran
importancia en la dimensión dinámica de ellos y son controlados por la teoría, pues son resultado de
una modelización gráfica de un modelo analítico de propiedades geométricas.
Además, las propiedades de las situaciones geométricas pueden ser visualizadas considerando un gran
número de objetos de forma precisa. Entre sus ventajas para el trabajo con conceptos y teoremas
geométricos, Salmerón (2006) destaca los aspectos siguientes:
• Admite construir y explorar objetos geométricos de forma interactiva como puntos, rectas,
triángulos, polígonos y círculos.
• Traslada, amplía, reduce y gira los objetos geométricos respecto a su centro o a un punto
especificado.
• Posibilita la simetría de los objetos geométricos construidos.
24
• Construye cónicas y explora conceptos avanzados de la Geometría Descriptiva e Hiperbólica.
• Dispone de coordenadas cartesianas y polares.
• Proporciona las ecuaciones de los objetos geométricos representados.
• Posibilita la creación de macros para las construcciones que se repiten con frecuencia.
• Comprueba las propiedades geométricas de los objetos, confirmando las hipótesis
correspondientes.
• Oculta los objetos que se utilizan en las construcciones para una mejor organización de las
representaciones en la pantalla.
• Permite al usuario guardar los dibujos y macros desarrollados.
1.5 El proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio en la formación de
profesores en la Carrera Licenciatura en Educación Matemática
La formación de profesores de Matemática tiene una rica y ya larga historia en nuestro país. Al triunfo
de la Revolución, surgieron diversos planes de formación de maestros y profesores para garantizar la
extensión de los servicios educacionales a todo el país, con carácter público y gratuito.
Al proyectar la formación de los profesionales se ha tenido en cuenta las condiciones y exigencias
sociales del momento, en algún plan más centrado en la práctica docente y el desarrollo de nuevos
conceptos sobre el papel que puede desempeñar la escuela en la formación del profesional.
El perfeccionamiento continuo del currículo escolar, la necesidad de priorizar el aprendizaje,
garantizando que los estudiantes puedan dedicar más horas a la autogestión de este, la tendencia
mundial a acortar los estudios para obtener un primer título universitario y dar una respuesta más rápida
a las demandas y la necesidad de estimular el ingreso a las carreras pedagógicas condujo a la decisión
de diseñar el Plan de Estudio “E” en el que en lugar de formarse un profesor de Matemática y Física
en cinco años ( Plan D), se desarrollen en ambas modalidades dos carreras, de cuatro años en Curso
25
Diurno, y de cinco en el curso encuentro, una para formar profesores de Matemática y otra para formar
profesores de Física (MES, 2016).
El Modelo del Profesional de la carrera Licenciatura en Educación Matemática, responde a las
características de la profesión de educador, y presenta elementos comunes con el resto de las carreras
pedagógicas en cuanto al ideal educativo, las características de la profesión, las instituciones
educativas, los problemas profesionales y las funciones profesionales pedagógicas.
El profesional de la carrera de Licenciatura en Educación Matemática tiene que solucionar los
problemas más generales y frecuentes inherentes al proceso pedagógico que transcurre en las
instituciones educativas en general y al proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura
Matemática, en particular, en la educación media básica (Secundaria Básica) y media superior
(Educación Preuniversitaria, Técnico Profesional y Adultos). Asignatura que se imparte con el propósito
de promover el desarrollo integral de la personalidad de los educandos.
De las necesidades del proceso pedagógico como el eslabón de base de la profesión, de los
fundamentos teóricos y las características de la profesión se derivan los problemas profesionales, se
determinan los objetivos generales de la formación en el pregrado y los contenidos que realmente son
necesarios para lograrlos.
A partir de los lineamientos generales orientados por el Ministerio de Educación Superior, la carrera se
ha diseñado tratando de propiciar una mayor flexibilidad. Se incluye un currículo base, un currículo
propio y uno optativo-electivo.
La carrera se ha concebido con un enfoque sistémico, a partir de las determinaciones generales
recogidas en el modelo del profesional, de modo que cada actividad académica, laboral, investigativa o
de extensión universitaria desempeñe una función importante en la formación del profesional, al
propiciar la adquisición de los conocimientos, y el desarrollo de las habilidades, capacidades, hábitos,
26
cualidades, convicciones y actitudes necesarias para el cumplimiento de las funciones docente-
metodológica, de orientación educativa y de investigación-superación.
A partir de las características del egresado que se desea formar, precisadas en el modelo del
profesional, se determinan los contenidos del plan de estudio que permiten contribuir a la formación
integral de los estudiantes.
Para el logro de la formación integral es fundamental el papel del profesor, modelo de ejemplo en
cuanto al dominio de los contenidos de las asignaturas que imparte, las habilidades profesionales y los
valores que se pretenden formar, de manera que se propicie desde la dirección del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la asignatura, la adquisición por parte de los futuros profesionales del
sistema de conocimientos, de habilidades y valores.
El enfoque metodológico de la Matemática basado en problemas, facilita la vinculación con la realidad,
con problemas reales de la práctica, de la vida social, la economía, el medioambiente, etcétera; lo que
permite al mismo tiempo en que se asimilan conocimientos y habilidades, aportar elementos
sustanciales a la formación de valores y el desarrollo integral de la personalidad.
El currículo base de la carrera consta de 12 disciplinas en la modalidad presencial. La disciplina
“Geometría” es una de las disciplinas que se desarrolla en esta modalidad y en el Plan del proceso
docente tiene asignado cuatro asignaturas con un total de 248 horas en el curso diurno y 96 en el curso
por encuentros.
1.5.1 Caracterización de la disciplina “Geometría” en la carrera de Matemática
Con esta disciplina aspira a que los estudiantes fundamenten la base conceptual de la geometría
escolar. Aporta significativamente al desarrollo de la lógica del pensamiento, en general, y de la
imaginación espacial, como característica del pensamiento geométrico, en particular. Por una parte,
permite estudiar los lugares geométricos que se describen a través de ecuaciones, con el estudio de la
27
geometría analítica; y por otra, ejemplifica la potencia de los métodos matemáticos en la construcción
axiomática de la geometría sintética.
Sobre la base de la resolución de problemas matemáticos y de otros relacionados con la vida cotidiana,
la ciencia y la técnica y del aprovechamiento de las potencialidades de las tecnologías de la información
y las comunicaciones, contribuye a la sistematización de los contenidos geométricos y permite
consolidar modos de actuación en correspondencia con las necesidades del entorno pedagógico y
medioambiental en que se desarrolla la formación inicial. El problema profesional de la disciplina está
dado en la necesidad de fundamentar desde la ciencia geometría los contenidos geométricos que se
estudian en la asignatura Matemática de la enseñanza media.
El objeto de estudio de la disciplina Geometría está dado en los conceptos, procedimientos y teoremas
que caracterizan cuantitativa y cualitativamente a los objetos geométricos del plano y espacio
euclidiano, los problemas geométricos y los modos de actuación para resolver y formular problemas.
El propósito de la disciplina es que los estudiantes sean capaces de demostrar un adecuado
pensamiento lógico en general y geométrico espacial en particular, característicos del profesor de
Matemática mediante actividades académicas, laborales e investigativas que integren los contenidos de
la geometría analítica, sintética y axiomática y que fundamentan la geometría escolar, para lograr un
desempeño profesional integral exitoso y dar solución a los problemas más comunes relacionados con
la formación integral de los educandos en el eslabón de base.
Dentro de los contenidos de la disciplina se precisan: conocimientos esenciales sobre Geometría
Sintética del Plano y del Espacio, Geometría Analítica (espacio/plano) y Geometría Axiomática.
Como habilidades principales:
• Resolver problemas y ejercicios geométricos de cálculo, demostración y de representación
gráfica.
28
• Formular problemas y ejercicios geométricos de cálculo, demostración y de representación
gráfica.
• Explicar estrategias de trabajo utilizadas en el proceso de resolución y formulación de problemas
geométricos.
• Evaluar estrategias de trabajo utilizadas en el proceso de resolución y formulación de problemas
geométricos.
• Explicar los contenidos geométricos escolares.
• Utilizar el GeoGebra para dar tratamiento a diferentes contenidos de la geometría que son objeto
de estudio en los programas de Matemática de la Educación General y de la carrera.
Para el estudio de la geometría, el profesional en formación debe disponer de la tecnología de la
información y la comunicación para la construcción, redescubrimiento de los contenidos escolares de
una manera más motivante con la finalidad de lograr los objetivos generales de la disciplina y el uso de
los programas de Geometría Dinámica, en especial el GeoGebra, como herramienta o de forma
didáctica para el tratamiento de contenidos de casi todas las ramas de la matemática.
1.5.2 La Geometría del Espacio en la formación de profesores de Matemática
Los contenidos de geometría del espacio se imparten en la asignatura Geometría II, con 50 horas clase,
en el primer año de la carrera. Esta asignatura aspira a que los estudiantes fundamenten la base
conceptual de la geometría escolar. Aporta significativamente al desarrollo de la lógica del pensamiento,
en general, y de la imaginación espacial, como característica del pensamiento geométrico, en particular.
Sobre la base de la resolución de problemas matemáticos y de otros relacionados con la vida cotidiana,
la ciencia y la técnica y del aprovechamiento de las potencialidades de las tecnologías de la información
y las comunicaciones, contribuye a la sistematización de los contenidos geométricos y permite
29
consolidar modos de actuación en correspondencia con las necesidades del entorno pedagógico y
medioambiental en que se desarrolla la formación inicial.
El problema profesional de la asignatura coincide con el de la disciplina, el objeto de estudio está dado
en los conceptos, procedimientos y teoremas que caracterizan cuantitativa y cualitativamente a los
objetos geométricos del plano y espacio euclidiano, los problemas geométricos y los modos de
actuación para resolver y formular problemas.
El propósito de la asignatura es que los estudiantes sean capaces de demostrar un adecuado
pensamiento lógico en general y geométrico espacial en particular, característicos del profesor de
Matemática mediante actividades académicas, laborales e investigativas, para lograr un desempeño
profesional integral exitoso y dar solución a los problemas más comunes relacionados con la formación
integral de los educandos en el eslabón de base.
El enfoque metodológico general de la asignatura lo constituye la formulación y resolución de problemas
a partir de los cuales se fundamentan y consolidan los conceptos, proposiciones y procedimientos, para
propiciar la motivación, la activación-regulación y la significatividad del aprendizaje con vista a elevar el
carácter desarrollador del proceso.
Siendo consecuente con los elementos expuestos, se reconoce la importancia que se le atribuye en la
enseñanza de la geometría del espacio a la estructuración sistémica de la base conceptual y
procedimental de esta rama de la geometría; y a la resolución y formulación de problemas.
Los conceptos son una categoría especial en la enseñanza de la geometría del espacio, constituyen la
forma fundamental con la que opera el pensamiento matemático y en particular el pensamiento
geométrico espacial. La elaboración de los conceptos y sus definiciones tienen gran importancia pues
contribuyen a la comprensión de relaciones geométricas, desarrollan la capacidad de aplicar lo
aprendido de forma segura y creativa, es esencial para el logro del adiestramiento lógico lingüístico.
30
Por su parte los procedimientos bien estructurados en la geometría del espacio contribuyen a lograr un
trabajo racional, planificado y orientado hacia el objetivo, juegan un papel fundamental en la dirección y
desarrollo de la actividad mental de los estudiantes y favorecen el uso de las formas de trabajo y de
pensamiento geométrico.
El aprendizaje de la geometría del espacio como el resto de las ramas de la Matemática, se realiza por
medio de la actividad de formular y resolver problemas, de modo que estos se utilicen no solo para la
fijación de los contenidos, sino también para aprender otros nuevos, lo cual subyace a una enseñanza
basada en problemas según se aspira.
Para poder darle cumplimiento a esta idea clave es muy importante considerar la forma en que se
estructuran los contenidos geométricos, pues estos se reactivan mejor en función de la resolución de
problemas si están bien estructurados y si la persona tiene un vínculo motivacional - afectivo con ellos.
En este sentido hay que tener en cuenta que hay ciertas habilidades intelectuales y geométricas que se
llevan de frente en todas temáticas y determinan ciertas clases de problemas que se deben tomar en
consideración en todas ellas, pues lo único que varía en cada una son los recursos matemáticos que se
emplean para resolverlos.
1.6 Diagnóstico de la situación actual del proceso de enseñanza- aprendizaje de la Geometría del
Espacio en la carrera Matemática de la Universidad de Pinar del Río
El diagnóstico del PEAGE en los estudiantes de la carrera Matemática de la UPR permite hacer una
caracterización del estado en que se encuentra esa variable en estudio.
Este estudio-diagnóstico tiene en consideración los siguientes procedimientos:
1. Conceptualización del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del Espacio en la
formación inicial del profesor de Matemática.
31
2. Definición operacional de la variable: proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del
Espacio en la formación inicial del profesor de Matemática.
3. Estructuración del proceso de búsqueda de la información empírica.
3.1-La selección de los instrumentos a utilizar.
3.2-Determinación de la lógica de proceso de búsqueda de la información.
3.3-La selección de la población y la muestra a la que se le aplicó los instrumentos.
4. Determinación de los procedimientos para la búsqueda de la información.
5. Realización del trabajo de campo para la búsqueda de la información.
6. Análisis de los resultados de cada instrumento.
7. Determinación de las regularidades que caracterizan el estado actual de la variable en estudio.
La didáctica estudia el PEA, del cual existen variados razonamientos sobre elementos que sería
necesario plantear para lograr conformar una definición aceptada.
En tal sentido Ginoris (2003) define PEA como “la formación científicamente planeada, desarrollada y
evaluada de la personalidad de los estudiantes que transcurre de manera sistémica y progresiva para la
apropiación activa y creadora de la cultura” (p.6).
Para Fátima Addine (2004) el PEA “es un proceso pedagógico escolar, que es sistemático, planificado,
dirigido y específico, por cuanto la interrelación entre los componentes personales deviene en un
accionar didáctico cuyo único fin es el desarrollo integral de la personalidad de los educandos” (p.4).
Las definiciones citadas por estos autores tienen puntos coincidentes sobre el PEA como: el proceso
científicamente dialéctico y didáctico-crítico, encaminado a la transformación sistemática y
desarrolladora de la personalidad de los educandos (profesionales en formación), sujeta a los
componentes didácticos para la enseñanza y el aprendizaje del sistema de conocimientos, habilidades,
32
actitudes y valores éticos, morales y económicos, para ser capaces de transformarse y transformar su
realidad en el contexto histórico concreto.
Se asume en esta investigación al PEA como “la formación científicamente planeada, desarrollada y
evaluada de la personalidad de los profesores en formación que transcurre de manera sistémica y
progresiva, donde la relación entre los componentes personales deviene en un accionar didáctico para
la apropiación activa y creadora de la cultura” (Fabé, 2016, p.27). Esta definición permite concebir este
proceso como planificado, sistemático y que desarrolla integralmente la personalidad de los estudiantes
que a criterios de la autora este desarrollo implica la apropiación activa y creadora de la cultura.
Desde la Didáctica de la Matemática se entiende este proceso como:
“…un sistema en el cual tanto la enseñanza como el aprendizaje son subsistemas que garantizan
la apropiación activa, creadora, reflexiva, significativa y motivada del contenido como parte de la
cultura general integral, teniendo en cuenta el desarrollo actual, con el propósito de ampliar
continuamente los límites de la zona de desarrollo próximo potencial” (Ballester et al., 2018, p.8).
El PEAGE ha sido objeto de estudio de varios autores, Mitchelmore (1980), Presmeg (1986), Gutiérrez
(1998), Rojas (2009), Campistrous y Rizo (2012). Rojas et al. (2012) considera que el PEAGE es:
“el proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría, en particular la del espacio, en la
formación de profesores de Matemáticas, es el proceso sistémico de transmisión y apropiación
activa y creadora del contenido geométrico espacial mediante la utilización de métodos y
procedimientos adecuados, el empleo de las TICs y medios activos” (p.1305).
En función de todas las definiciones antes planteadas, se define el Proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Geometría del Espacio como: la sucesión de etapas a través de las cuales se
estructuran y ejecutan las acciones del estudiante y el docente para la apropiación de los contenidos
33
geométricos espaciales en la formación del profesor de Matemática, lo que incluye comprender la
importancia del dominio de estos contenidos para su actividad profesional.
1.6.1 Operacionalización de la variable en estudio
La operacionalización de esta variable tiene como finalidad la descomposición de ella en otras variables
de menor grado de generalidad (dimensiones) hasta llegar a variables que puedan ser medidas en la
práctica (indicadores). La definición operacional de la variable condujo a la autora de esta investigación
a establecer dos dimensiones, que están claramente expresadas en los rasgos distintivos que
conforman su conceptuación.
Es por ello que se consideran como dimensiones las siguientes:
Dimensión 1. Preparación para dirigir científicamente el PEAGE en la carrera Matemática.
En la evaluación de la variable se tendrá en cuenta el nivel que muestra el docente para establecer las
relaciones entre los componentes o categorías del PEA durante la concepción y ejecución de la clase
de geometría del espacio en correspondencia con los objetivos y fines de la formación del profesional
de educación matemática.
Esta dimensión está compuesta por dos subdimensiones:
1.1- Concepción de la clase, definida como la actividad metodológica desarrollada por el profesor para
lograr la estructuración coherente de la clase en correspondencia con los objetivos y fines de la
formación del profesional. Esta subdimensión está compuesta por los indicadores siguientes:
1.1 a. Determinación del contenido a partir del objetivo.
1.1 b. Determinación de las formas organizativas a partir del objetivo.
1.1 c. Selección de las actividades de la clase en correspondencia con el objetivo y el contenido.
1.1 d. Selección de los métodos para el desarrollo de las actividades en correspondencia con el objetivo
y el contenido.
34
1.1 e. Selección de los medios a partir de los métodos.
1.1 f. Papel asignado a los medios tecnológicos.
1.1 g. Diseño de las actividades de control de los resultados, en correspondencia con el objetivo y el
contenido.
1.2-Ejecución de la clase, definida como el sistema de acciones desarrolladas por el profesor para la
puesta en práctica de la clase planificada. Compuesta por los indicadores:
1.2 a. Aseguramiento de condiciones para el desarrollo de la clase.
1.2 b. Aseguramiento de condiciones previas específicas (ANP).
1.2 c. Motivación hacia el estudio de los contenidos geométricos espaciales.
1.2 d. Orientación hacia el objetivo.
1.2 e. Desarrollo de actividades geométricas espaciales.
1.2 f. Integración de métodos y medios en el desarrollo de las actividades geométricas espaciales para
el cumplimiento de los objetivos.
1.2 g. Manejo adecuado de medios tecnológicos para el tratamiento de los contenidos geométricos
espaciales
1.2 h. Control sistemático del aprendizaje en correspondencia con los objetivos.
Dimensión 2.Apropiación del contenido geométrico espacial.
Se define como la medida en que los profesionales en formación son capaces de comprender la
importancia del dominio de estos contenidos para su actividad profesional lo cual se manifiesta a través
de las posibilidades mostradas para la estructuración sistémica, conceptual y procedimental de la
geometría del espacio y para resolver y formular tareas propias de la geometría escolar. Integrada por
los indicadores siguientes:
35
2.1-Posibilidades de estructuración sistémica de la base conceptual y procedimental de la geometría del
espacio.
2.2- Posibilidades para la resolución de tareas de la geometría del espacio.
2.3- Posibilidades para formular tareas de la geometría del espacio.
2.4- Comprensión de la importancia de dominio de los contenidos geométricos espaciales para su
actividad profesional.
1.6.2 Estructuración del proceso de búsqueda de información
Las acciones dentro del proceso de búsqueda de la información empírica fueron estructuración
ordenadas y ejecutadas según la lógica investigativa siguiente:
1. Análisis del plan de clase del docente que imparte geometría del espacio (Anexo 1) con el
objetivo de valorar estructuración coherente de la clase en correspondencia con los objetivos y
fines de la formación del profesional.
2. Observación a clases de geometría del espacio (Anexo 2) con el objetivo de valorar la armonía
que establece el docente entre los componentes del PEAGE, durante la ejecución de la clase.
3. Prueba pedagógica a estudiantes de primer año (Anexo 3) con el objetivo de valorar la medida en
la que el profesional en formación logra la estructuración sistémica, conceptual y procedimental
de la geometría del espacio, resuelve y formula tareas propias de la geometría escolar así como
comprende la importancia del dominio de estos contenidos para su actividad profesional.
4. Entrevista al docente que imparte geometría del espacio (Anexo 4) con el objetivo de explicar los
resultados obtenidos en la observación de las clases y en el análisis del plan de clases.
5. Entrevista grupal a los estudiantes de primer año (Anexo 5) con el objetivo de identificar cuáles
son las causas que originan las dificultades que tienen en la prueba pedagógica y en qué medida
reconocen la importancia de dominar el contenido geométrico espacial.
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La selección de la población a la que se le aplicará los instrumentos estuvo formada por estudiantes y
docentes. El estrato estudiantes estuvo constituido por los 66 estudiantes de la carrera objeto de
estudio, de ellos fueron seleccionados, de manera intencional, como muestra a los 19 estudiantes de
primer año (perteneciente al plan de estudios E). Los criterios que permitieron determinar esta selección
están dados en que responde a las etapas identificadas y fundamentadas en esta investigación para el
desarrollo del proceso objeto de estudio.
Se seleccionan los estudiantes de primer año porque constituye la etapa de iniciación para el
aprendizaje de la profesión, la génesis universitaria, donde el estudiante se aproxima por primera vez a
un proceso totalmente distinto al preuniversitario, además es en este año donde se trabaja la Geometría
II cuyos contenidos responden a la geometría del espacio.
Como población profesoral se toma un total de 10 docentes (desglosados en tres doctores en ciencias,
cinco másteres en ciencias y dos licenciados en educación) de la carrera objeto de atención, se
selecciona como muestra el docente que imparte la geometría del espacio en el primer año de la
carrera. Esta población perteneciente al curso escolar 2018 – 2019.
Para el análisis del plan de clases y las observaciones de las clases que el docente que dirige el PEA
de la geometría del espacio, se consideró como población a las 50h/c planificadas para impartir en la
asignatura, de las que se analizaron y observaron 19h/c; seleccionadas mediante el método de
muestreo aleatorio estratificado, los estratos fijados fueron los tipos de clase, para una selección de
cuatro conferencias, cinco clases prácticas y 10 seminarios.
1.6.3 El análisis de los resultados de cada instrumento.
Resultados del análisis del plan y observación de clases.
Luego del procesamiento de los resultados (Anexo 6), se constata que las principales dificultades en el
proceso se encuentran alrededor de los indicadores que evalúan el uso de los medios en el PEAGE y el
37
papel que se le asigna a los medios tecnológicos, el cálculo de los índices de calidad arrojó 0,35 y 0,2
respectivamente para estos indicadores lo que otorga una categoría de no adecuado, y que se
corroboró nuevamente en la ejecución de la clase al obtener índices de, 0,58 el indicador de integración
de métodos y medios y 0,16 el uso de los medios tecnológicos, obteniendo categoría de poco y no
adecuado respectivamente. De forma general como muestra la tabla del anexo 6, en el caso de la
subdimensión de concepción de la clase solo el 28,7 % de sus indicadores obtuvieron categoría de
adecuado, y en la ejecución de la clase el 37,5 %.
Se puede precisar que en la dirección del PEA de la geometría del espacio de en la carrera Matemática,
de la UPR, se evidencian problemas que se concretan en que:
• No es adecuada la selección de los medios para el tratamiento de los contenidos geométricos
espaciales.
• Limitado uso de medios tecnológicos en el tratamiento de los contenidos geométricos espaciales,
se emplean solo materiales audiovisuales en las conferencias.
• No se usan los sistemas de Gestión de Geometría Dinámica SGD.
Resultados de la prueba pedagógica
Se realizó la prueba pedagógica a los estudiantes de primer año, se pueden exponer como resultados
luego del procesamiento de los datos como muestra el (Anexo 7), que al otorgar una calificación de cero
a cinco puntos para cada indicador, atendiendo al porcentaje de respuestas correctas, la dimensión
obtuvo solo el 36% del total de puntos a alcanzar, resaltando como indicadores de mayor dificultad, las
posibilidades de estructuración sistémica de la base conceptual y procedimental de la geometría del
espacio, y las posibilidades para formular tareas de la geometría del espacio cada uno con un 20% del
total de puntos y con un 40% la formulación de tareas de geometría del espacio. Las principales
dificultades de la dimensión estuvieron en el orden de:
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• Limitaciones para estructurar sistémicamente la base conceptual y procedimental de la geometría
del espacio.
• Dificultades para resolver y formular problemas geométricos espaciales.
Resultados de la entrevista
Se realizó una entrevista al docente que imparte la geometría del espacio, dónde luego de exponerle los
resultados que arrojó el análisis del plan de clases, y la observación de estas, el mismo refiere que las
causa principales por las cuál se dieron las dificultades están relacionadas con:
• Se usan medios tradicionales en las clases de geometría del espacio.
• Se desconocen las potencialidades de los SGD para el desarrollo del pensamiento geométrico
espacial.
• Se desconoce cómo poner los SGD en función del contenido geométrico.
Resultados de la entrevista grupal
Luego del procesamiento de los datos de la prueba pedagógica, se socializaron con el grupo de primer
año las mayores dificultades, y en el desarrollo de la entrevista grupal prevista, se identifican como
causas que originan estas dificultades:
• Baja capacidad de visualización que poseen
• Deficiencias en la representación espacial
• En los recursos que usan para estudiar, los SGD no son una opción
1.6.4 Las regularidades que caracterizan el estado actual de la variable en estudio
La caracterización del PEAGE en la carrera Matemática, de la UPR, se presenta por medio de
regularidades que recogen las dos dimensiones con sus correspondientes indicadores. Se utilizó la
técnica de la triangulación metodológica para establecer las correspondencias y discrepancias de los
39
resultados de los instrumentos aplicados, que se presentan de forma integrada como regularidades del
diagnóstico.
Las dos dimensiones estuvieron evaluadas en el rango de poco adecuadas, por lo que la variable, de
igual manera, se evaluó de poco adecuada.
Las regularidades más significativas del PEAGE en la carrera Matemática, de la UPR, fueron:
1. En la preparación de los docentes para dirigir científicamente el PEAGE en la carrera Matemática
se presentan limitaciones para utilizar los medios tecnológicos que ofrece la infraestructura de la
UPR en las diferentes formas de organización en que se desarrolla este proceso.
2. En la dirección del PEAGE se presentan limitaciones en la integración de los sistemas de medios
audiovisuales e informáticos, lo que trae como consecuencia la falta de ilustración de modos de
actuación profesional adecuados para el trabajo con este contenido en la escuela.
3. En la apropiación del contenido geométrico espacial, los estudiantes presentan limitaciones para
lograr la estructuración de la base conceptual y procedimental de la geometría del espacio.
4. Insuficiente desarrollo de la capacidad de visualización en los estudiantes en la apropiación del
contenido, lo que limita la resolución y formulación de problemas geométricos espaciales.
Conclusiones del capítulo I
A manera de conclusión y a partir del estudio teórico realizado en este capítulo acerca del desarrollo y
evolución de la enseñanza de la geometría del espacio a lo largo de la historia y en el contexto en que
se desarrolla esta investigación, se ha podido determinar como una tendencia actual para el tratamiento
de este contenido, un enfoque al que se ha denominado dinámico que tiene su base en el surgimiento
de la geometría dinámica y en el empleo de medios tecnológicos.
Se puede concluir además, como parte del estado actual del objeto de investigación, que existen
dificultades tanto en el aprendizaje como en la enseñanza de los contenidos geométricos espaciales.
40
Estas dificultades en el aprendizaje se centran fundamentalmente en lograr la estructuración sistémica
de la base conceptual, la resolución de problemas geométricos espaciales, por el limitado desarrollo de
la capacidad de visualización. En la enseñanza puede decirse que se centran en lo fundamental en una
inadecuada comprensión de la concepción de trabajo con el contenido geométrico espacial, así como
en el empleo de métodos y medios que favorezcan una actividad más productiva de los profesionales
en formación, incluyendo las nuevas tecnologías.
CAPÍTULO II
“CARACTERIZACIÓN DEL ROCESO DE ENSEÑANZA-
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO CON EL USO
DE MEDIOS TECNOLÓGICOS EN LA CARRERA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA DE LA UPR”
41
CAPÍTULO II. “CARACTERIZACIÓN DEL ROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
GEOMETRÍA DEL ESPACIO CON EL USO DE MEDIOS TECNOLÓGICOS EN LA CARRERA
EDUCACIÓN MATEMÁTICA DE LA UPR”
En el presente capítulo se muestra la caracterización del PEAGE con el uso de medios tecnológicos en
la carrera Licenciatura en Educación Matemática. Para cumplir el objetivo que se propone este capítulo,
se presentan las bases teóricas que sustentan el PEAGE en la carrera Licenciatura en Educación
Matemática, se exponen cómo se redimensionan los componentes del PEAGE a partir de las
potencialidades del componente medio, mediante el uso de los asistentes de geometría dinámica, se
establece la estructura didáctica-metodológica del PEAGE con empleo de medios tecnológicos.
2.1. Aportes de las Ciencias de la Educación a la reestructuración del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Geometría del Espacio basado en el uso de medios tecnológicos
Han sido medulares los aportes realizados desde las ciencias de la educación para con el objeto de
esta investigación. La geometría del espacio es una arista de la enseñanza de la geometría en el
currículo, y encuentra sus bases desde otras ciencias que la enriquecen y propician un mejor estudio de
la misma. Son considerados en esta tesis los siguientes.
2.1.1 Las bases filosóficas.
Para el análisis del objeto de esta investigación desde esta ciencia se parte de considerar al método
dialéctico materialista como método rector, el cual se asumen porque permite observar el carácter de
sistema entre los componentes de la investigación pues uno se deriva del otro pero también lo
contradictorio entre ellos que a su vez esto es lo que permite el desarrollo del objeto.
Se asume también el aporte de la teoría del conocimiento del materialismo dialéctico, que destaca el
papel de la práctica en la obtención del conocimiento, en ese sentido se asumen los planteamientos de
42
Lenin (1967, p.165) quien señala que este camino parte… “de la contemplación viva al pensamiento
abstracto y de este a la práctica, tal es el camino dialéctico del conocimiento de la verdad objetiva”
Desde esta perspectiva hay que señalar que el camino del conocimiento antes referido, devuelve un
objeto en condiciones cualitativamente superiores, después que ha sido enriquecida por un proceso de
elaboración intelectual del hombre. Este regreso de nuevo a la práctica constituye, además, el único
criterio de verdad. Lenin resume en ella la importancia de los medios de enseñanza en cualquier
proceso de enseñanza- aprendizaje que se desarrolle.
Por otra parte, desde una perspectiva filosófica hay que reconocer que al hacer referencia al objeto de
estudio de la investigación el docente se enfrenta al objeto a investigar en un campo socio-cultural e
históricamente determinado, donde el objeto no puede concebirse como un ente abstracto, al margen
del medio en el cual existe y se desarrolla; creándose en la misma el marco contextual, el cual no está
enmarcado en la mera relación entre el objeto a investigar y el sujeto que investiga, sino que hay que
tener en cuenta las relaciones del objeto con el medio (condiciones sociales, económicas, políticas,
científicas y culturales bajo las cuales se realiza la investigación).
Desde esta perspectiva la Filosofía de la Educación según Chávez, Fundora y Pérez (2011) es la guía
orientadora y el instrumento rector para la actividad práctica educativa, cuyo método guía al
pensamiento y la acción educativa. Desde este punto de vista, el hombre es concebido como una
realidad viva, biológica, psíquica, individual, social e históricamente condicionado por cada época,
poseedor de una estructura interna intrínseca para ser educado, capaz de desarrollarse y transformarse
a partir de un proceso de socialización que conlleva a su individualización mediada por la educación,
cuyo fin es su formación integral.
Es decir, la Filosofía de la Educación permite entender cuál es el profesional de la Educación
Matemática que se quiere formar, permite entender que el PEAGE se debe organizar en función del
43
encargo social, permitiendo el tránsito hacia niveles superiores de desarrollo, con el objetivo de formar
una personalidad integral; capaz de aplicar los conocimientos geométricos espaciales en la solución de
problemas, para transformar la realidad y convertirlo en modo de actuación profesional.
2.1.2 Las bases sociológicas
En el proceso de formación del profesional de la educación Matemática como proceso social tienen
lugar un conjunto de relaciones sociales históricamente determinadas, donde ocurre el desarrollo
individual y colectivo, a lo cual no escapa el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría
Euclidiana del Espacio.
Para entender este proceso se toman de la Sociología de la Educación los elementos señalados por
Blanco (2001):
“(…) desarrollo del individuo, bajo la influencia de la educación y el medio social, que tiene lugar
como unidad dialéctica a la asimilación y objetivación de los contenidos socialmente válidos. Los
individuos se constituyen en personalidades, que establecen relaciones sociales concretas entre
sí y con los objetos, medios y resultados del trabajo mediante la actividad práctica el individuo es
tanto más socializado cuanto más completa es la asimilación y objetivación de los contenidos
sociales (…)” (p.38).
Todo lo cual se entiende a partir de la creación y aplicación de los medios tecnológicos desde el propio
PEAGE que supone como base de conocimiento las creencias, experiencias, contexto social, cultural e
ideológico bajo el cual se produce la interacción entre el alumno-profesor con estos recursos que
propician la formación del profesor de Matemática. Es importante también desde esta perspectiva
reconocer el papel de la escuela como agencia socializadora: Rol de la universidad en la formación del
profesional.
44
2.1.3 Las bases psicológicas
Desde la psicología educativa la propuesta se sustenta en el enfoque histórico-cultural defendido por
Vigotsky. En primer lugar, la zona de desarrollo próximo entendida como la distancia entre el nivel de
resolución de una tarea que una persona puede alcanzar actuando independientemente y el nivel que
puede alcanzar con la ayuda de un compañero más competente o experto en esa tarea (Vigotsky,
1978).
Aquí se consideran dos niveles en la capacidad de un alumno: por un lado el límite de lo que él solo
puede hacer, denominado nivel de desarrollo real, y por el otro, el límite de lo que puede hacer con
ayuda. El nivel de desarrollo potencial, siempre que se trabaja con estos dos niveles se piensa en un
límite máximo, porque en relación con un contenido, habrá actividades que el alumno puede hacer solo
y otras que puede hacer con ayuda. Un aspecto fundamental es la responsabilidad por parte del
profesor en el uso adecuado de los métodos pedagógicos que conduzcan al aprendizaje del estudiante
a través de ejemplos relevantes y con la creación de contextos sociales donde participe de manera
activa.
El segundo aporte significativo por Vigotsky y sus seguidores es el papel central de los instrumentos de
mediación en la constitución del psiquismo: Desde el enfoque Histórico Cultural el profesor en formación
requiere la acción de un agente mediador (el docente) quien será responsable de lograr un andamiaje
que proporcione seguridad y permita que este se apropie del conocimiento y lo transfiera a su propio
entorno. Además del profesor otro agente mediador lo constituyen los medios tecnológicos, pues
desempeñan un rol importante como herramientas para pensar, sentir, actuar solos y con otros, es
decir, como instrumentos psicológicos en el sentido vigotskiano de la expresión. Este argumento se
apoya en las posibilidades inéditas que ofrecen los medios tecnológicos para buscar información,
acceder a ella, procesarla, representarla, transmitirla y compartirla.
45
En este sentido las potencialidades de los medios tecnológicos son para planificar y regular la actividad
y los procesos psicológicos propios y ajenos, en consecuencia, su potencialidad como instrumentos
psicológicos mediadores de los procesos internos y externos implicados en el PEA es enorme. La
potencialidad mediadora de los medios tecnológicos solo se actualiza y se hace efectiva cuando es
utilizada por docentes y profesores en formación para planificar, dirigir, orientar y controlar o evaluar las
actividades, introduciendo modificaciones importantes en los procesos psicológicos implicados en el
PEA, en función de los usos que los diferentes actores hacen de ellas (Fabé, 2016)
Otro presupuesto a destacar para la investigación es el aporte teórico principal de Leontiev (1981) teoría
de la actividad; al definir la actividad como proceso originado y dirigido por un motivo, dentro del cual ha
tomado forma de objeto, determinada necesidad. En otros términos, detrás de la correlación entre
actividades se descubre la correlación entre motivos.
Para Leontiev (1981) toda actividad responde a un motivo, lo que le da orientación, sentido e intensión a
la misma, donde a su vez se persigue un fin conscientemente planteado, que se constituye en su
objetivo y la misma relación que existe entre motivo y actividad, es la que existe entre objetivo y acción,
no hay acción en que el individuo no tenga un fin consciente, “sin embargo”, las operaciones que
conforman las acciones van a depender de las condiciones concretas en que se realiza y de los medios
que en el proceso de enseñanza–aprendizaje de la geometría del espacio el estudiante tenga a su
disposición para su realización.
También es de considerar que en el proceso de aprendizaje se dan los procesos de interiorización del
conocimiento del plano externo al interno y este ocurre por etapas en las cuales hay que considerar el
paso de lo interpsicológico a lo intrapsicológico del sujeto que aprende.
46
2.1.4 Las bases pedagógicas y didácticas
Se asumen los postulados de la Pedagogía cubana y las denominadas relaciones legítimas de la
Pedagogía: la unidad entre el proceso educativo que se ofrece en la escuela y el que dimana de otras
agencias educativas de la sociedad en un momento histórico determinado; todo proceso educativo tiene
como fin la formación y desarrollo del hombre y contribuir a su socialización; reconociendo el carácter
condicionado y condicionante de la educación, (Llantada et al.,2004), lo cual permitirá precisarla
necesidad de desarrollar el PEAGE desde un enfoque dinámico.
Otro referente importante lo constituye la materialización del principio de la unidad entre instrucción y
educación y entre los componentes del proceso que se investiga. Se tiene en cuenta también la relación
formación-desarrollo para una adecuada aplicación de los medios tecnológicos en el PEAGE.
Se asume como fundamento la concepción científica- crítica y reflexiva de la Didáctica propuesta
por varios autores, Álvarez de Zayas, C. M, (1995); Álvarez de Zayas, R.M (1997); Quesada (2003);
Díaz (2008, 2016). Dicha concepción plantea la necesidad de utilizar métodos hermenéuticos y críticos.
Esta es una ciencia que se alimenta de la reflexión colectiva, del análisis, de la participación y la
observación de una realidad compleja y el uso de estos métodos y técnicas contribuyen al
esclarecimiento de los problemas y el enriquecimiento de sus soluciones teórico-prácticas. El carácter
crítico de esta didáctica supone un pensamiento y una actitud colectiva de reflexión y transformación
educativa. Los objetivos que se persiguen con esta didáctica son: enseñar a construir el conocimiento,
enseñar a pensar críticamente la realidad social, formar un pensamiento dirigido a la acción y
transformación de la realidad.
A partir de una sistematización realizada por Díaz (2016), las regularidades que rigen y dinamizan un
PEA desarrollador son:
• La relación del proceso curricular con la sociedad, con el contexto.
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• La relación en el currículo entre las dimensiones instructiva, educativa y desarrolladora.
• La relación entre derivación e integración de los subsistemas curriculares y sus componentes.
• La relación entre los componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje en el marco curricular.
Ello justifica que el PEAGE se caracterice por la relación dialéctica entre sus categorías, y aunque hasta
el momento se asume una categoría rectora o principal que es el objetivo, las restantes no tienen un
carácter pasivo pues de ellas parten impulsos retroactivos que enriquecen la determinación y el
cumplimiento de los objetivos de la educación. La categoría medios siempre ha sido de gran
importancia, en los últimos tiempos, con el desarrollo que ha alcanzado la tecnología y su
implementación, ha pasado a ocupar un lugar privilegiado y hay investigadores que la consideran
integrada a la tríada objetivo-contenido-método, pudiendo ser la categoría rectora del proceso, pues los
medios tecnológicos potencian la participación activa del estudiante en la obtención del conocimiento,
un medio tecnológico adecuado permite mover las figuras y obtener un dinamismo que propicia una
adecuada ubicación espacial.
Otra base teórica que sustenta al PEAGE es la Teoría de los Procesos Conscientes de Álvarez de
Zayas (1989) a partir de considerar lo educativo, la formación del hombre para la vida; lo instructivo, la
formación del hombre como trabajador, para vivir; y el desarrollador, la formación de sus
potencialidades funcionales o facultades, esta teoría permite explicar el proceso de formación de
profesionales, aplicando los enfoque sistémico-estructural, dialéctico y genético, apoyándose en las
teorías de la actividad y la comunicación.
Se asume como soporte el Currículo Integral y contextualizado (Álvarez de Zayas R. M., 1997), que
define el carácter integral del mismo teniendo en cuenta el carácter sistémico y dialéctico, por las
aspiraciones a formar, por la naturaleza del proyecto curricular, metodología, estructura organizativa y
contextual, por tener en cuenta además el contexto.
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Asumir este modelo curricular significa concebir el currículo como un instrumento de auto formación
profesional de carácter flexible y abierto a continuas adecuaciones, alejado de todo enfoque
academicista, por lo que se considera al docente como un profesional del currículo, como un
investigador del proceso que dirige sobre bases científicas, que lo armoniza, sistematiza, valida en la
práctica pedagógica y lo rediseña a partir de las nuevas exigencias, concretas asumiéndolo como un
proyecto que incluye la planificación, la organización, la ejecución y control del PEAGE con el empleo
de medios tecnológicos.
La Didáctica de la Matemática aportó concebir el PEAGE desde un enfoque desarrollador como se ha
descrito anteriormente, lo que implica una comunicación afectiva y el desarrollo de actividades
intencionales, cuyo accionar didáctico genere estrategias de aprendizaje que permitan aprender a
aprender (Ballester et al., 2018).
Los estudios de Álvarez et al. (2014) permiten entender Geometría como una de las líneas directrices
relativas a conocimientos, habilidades y formas de pensamiento matemático específicas, que posibilita
la dirección del proceso de enseñanza-aprendizaje, a partir de que explicita lo esencial a lograr desde el
punto de vista de los objetivos en cada uno de los niveles.
Por otro lado se asume el enfoque dinámico que permite distinguir una construcción geométrica de un
dibujo, pero no en función de la apariencia, sino de las relaciones geométricas, que se preservan
después de aplicarle un movimiento a una figura.
La enseñanza de la geometría con este enfoque dinámico puede entenderse como:
“(…) la postura o manera de concebir la enseñanza de este contenido desde el supuesto de que
las figuras pueden adquirir la cualidad del dinamismo a partir del movimiento de sus puntos o
lados manteniendo alguno de ellos fijos, lo cual origina transformaciones en las mismas” (Roldan,
2008, p.33).
49
2.1.5 Las bases de la tecnología educativa
Con una mirada a lo tecnológico se destaca: La Teoría del efecto cognitivo de los medios de Gabriel
Salomón, autor con resultados significativos en la tecnología educativa, se refirió a los medios
didácticos como el resultado de la interacción de tres elementos: el sistema simbólico, el mensaje y la
tecnología de transmisión que pueden concretarse en tres grandes teorías explicativas: la teoría de la
suplantación, la del esfuerzo mental invertido por los sujetos en la interacción cognitiva que establecen
con los medios, y la de la transferencia cognitiva vía medios, (Cabero, 1998).
La teoría de la suplantación, citada por Cabero (1998) consiste en la operación mental que debe llevar
a cabo un sujeto, pero que debido a su capacidad para el dominio de la habilidad no es capaz de
realizarla por sí mismo y requiere de códigos y sistemas simbólicos externos al individuo (p.28).
El uso de los medios tecnológicos en el PEA constituye una herramienta cognitiva que permite
extender y ampliar estos procesos mentales superiores sobre la geometría a los estudiantes en la
carrera de Matemática, propiciando ayuda en cuanto a resolver problemas complejos al facilitarles
información y oportunidades de investigar y crear un nuevo conocimiento y el desarrollo del
pensamiento geométrico espacial.
El aprendizaje se puede mejorar cuando la utilización de las TIC tiene en cuenta el diseño pedagógico y
didáctico, el contexto en el que se desarrolla, las características del estudiante y su experiencia previa.
Las TIC han ido incorporando un cambio en la forma de organizar el PEA, de acuerdo con Martínez
(2018), conviene que tal transformación e integración se comporte como un auténtico cambio en el
docente en la manera de comprender los procesos y de disponer los contenidos de aprendizaje, de
forma que la integración de tecnologías sea un cambio de escenario en el espacio de aprendizaje
universitario, menos presencial, más virtual, más centrado en el aprendizaje autónomo del estudiante.
50
En ese sentido el docente es quien propone cómo abordar los contenidos, sugiere ritmos y estilos de
estudio, planifica con el profesor en formación, aclara sus dudas, resuelve sus dificultades de
comprensión, formula criterios de evaluación, evalúa los resultados y les ayuda a superar con éxito los
aprendizajes. Para conseguir este propósito, “el profesorado deberá estar preparado para interactuar
más con las tecnologías favoreciendo escenarios de aprendizaje distintos, rompiendo con situaciones
de aprendizaje pasivo y acumulativo y dependiente del profesor” (Área, 2005, p. 12).
El profesorado es un colectivo en continuo proceso de formación para el que las TIC constituyen un reto
por su velocidad de cambio. Para ello según (Fabé, 2016) es necesario ver la Educación Superior
Pedagógica como la máxima posibilidad de desarrollo, para lo cual hay que apoyarse en una
experiencia educativa de pensamiento complejo desde la perspectiva de la didáctica y la forma de
abordar el conocimiento que permita constituir la enseñanza en un acto de formar profesionales con una
debida formación integral.
Las posibilidades que brinda la informática dadas por Azinian (1998) en la clase de geometría son
necesarias para la comprensión de las posibilidades de estas tecnologías en el PEAGE:
a) Interactividad e inmediatez.
La posibilidad de producir modificaciones, dar respuestas y requerir acciones, con inmediatez y fluidez,
permite, entre otras cosas, la exploración dinámica de representaciones y el control de una secuencia
de acciones.
b) Capacidad de almacenamiento y de recuperación de la información
Esto posibilita el almacenamiento, para su posterior revisión, de la traza del trabajo de los estudiantes,
de la ruta que han seguido. Esta capacidad, facilita la visualización del proceso dinámico de obtención
de un producto después de una serie de transformaciones, y no sólo la imagen final con todos los
elementos acumulados.
51
c) Múltiples formas de representación en un mismo medio: textual, gráfica, tabular, auditiva, icónica,
espacial.
Dado que los conceptos se materializan mediante una representación y el aprendizaje de un concepto
está asociado al desarrollo de la capacidad de traducir de uno a otro tipo de representación, la
exploración dinámica, el paso de uno a otro tipo, puede permitir que el alumno descubra información
que estaba implícita o puede obligarle a crear información para mejorar la precisión. Esta capacidad
permite la creación de un entramado de relaciones dinámicas de gran riqueza conceptual.
d) Polivalencia, versatilidad
El mismo medio puede usarse de diversas maneras, ampliando enfoques.
Programas de geometría dinámica:
Los programas de geometría dinámica permiten realizar dos categorías de acciones interdependientes:
• Tratamiento y controles perceptivos fundados en el reconocimiento de formas o de fenómenos
como la alineación, la perpendicularidad, el paralelismo
• Tratamiento y controles por los conocimientos teóricos de geometría, que permiten explicar,
predecir, producir.
• La interacción fuerte entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones de los
programas para verificar las observaciones.
Características importantes de estos programas son:
• Holística: poder ver una situación en forma global, visualizando configuraciones con relaciones
entre diversos elementos.
• Dinamismo: permite animar las configuraciones y observar los cambios.
Estos programas permiten generar figuras por su nombre, construirlas especificando partes y
propiedades o dando las medidas, realizar transformaciones en forma interactiva, medir y utilizar las
52
medidas (para realizar operaciones aritméticas, para usarlas en la misma construcción). Su utilización
fuerza a los estudiantes a ser precisos y a conocer la taxonomía y las definiciones, y genera conflictos
entre su intuición y la construcción que aparece en la pantalla.
Los estudiantes pueden plantear conjeturas y verificarlas. La prueba, más que por su función tradicional
de verificación, es percibida como útil y necesaria por los estudiantes como actividad explicativa de la
evidencia experimental.
Otra ventaja importante es la posibilidad de visualización de un lugar geométrico, concepto dejado de
lado tradicionalmente por la dificultad de visualizar trayectorias recorridas por objetos que cumplen
ciertas propiedades.
Los programas que tienen la posibilidad de registrar una secuencia de operaciones (crear un algoritmo
sin escribirlo) para luego reproducirla, son de especial utilidad para la enseñanza.
2.1.6 Las bases de gestión educacional
De la teoría de la gestión se tiene en cuenta lo planteado por Ruíz (2003) en el sentido de que la
gestión es un proceso que tiende a definir la acción y el efecto de integración de los procesos de una
organización; lo que favorece el desarrollo del PEAGE. Este autor enfatiza en que:
“En la gestión o dirección de una escuela de cualquier tipo o nivel de enseñanza se distinguen
dos dimensiones principales: el trabajo de dirección de los directivos institucionales, que dirigen o
gestionan el proyecto educativo, los aseguramientos necesarios, su utilización racional y en
consecuencia pueden tomar decisiones y, por otro lado, el trabajo de dirección docente y
educativo de los maestros o profesores que expresa la influencia educativa y de formación, que
ejercen los maestros y profesores en la formación de los educandos” (Ruíz, 2003, p.7)
Desde esta misma teoría se tiene en cuenta que “(…) los procesos educativos, analizados como
procesos de dirección o gestión, donde todos los que participan son dirigidos y dirigentes al propio
53
tiempo, es decir, se manifiestan como sujetos de la dirección” (Ruíz, 2003, p.7), lo cual contribuye a
establecer los roles en el PEAGE.
2.2 Análisis de los componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del
Espacio en correspondencia con la influencia que ejerce sobre ellos los medios tecnológicos
En el PEA se establece la interrelación docente-profesor en formación mediante un accionar didáctico
cuyo único fin es el desarrollo de la personalidad de los educandos. Es imprescindible para ello
determinar las interacciones que se producen entre los componentes que intervienen en el PEAGE con
el empleo de medios tecnológicos y que a su vez permiten la dinamización del proceso.
El tema de las interacciones es abordado por diferentes autores como Bernal (1989), Fraga (1995),
Abreu (2004), Castellanos (2005), Soler (2006), Addine (2007) entre otros, estos autores en sentido
general coinciden en que las interacciones son formas de conexión universal de los fenómenos y
expresan la dependencia funcional entre estos. La interacción es la relación que existe entre personas o
cosas de manera recíproca (Mijares, 2008) por lo que podemos afirmar que en todo fenómeno o
proceso se manifiestan las interacciones. Desde el punto de vista del PEAGE las interacciones que se
establecen entre sus categorías o componentes están presentes en las estrategias curriculares del plan
de estudio vigente y dinamizan dicho proceso, pues fortalece a su vez el proceso de formación
profesional.
Se asume un enfoque integral del PEAGE que sin dejar de considerar el carácter rector de los objetivos
cobran significación los medios; a partir del presupuesto de que éstos ofrecen nuevas posibilidades
para la enseñanza y el aprendizaje del contenido geométrico espacial. Los medios son el componente
didáctico que actúa como soporte material de los métodos y permiten la optimización del aprendizaje si
se concibe esencialmente con estos fines (Díaz, 2016, p.27).
54
En el PEAGE los medios tecnológicos se tomarán como referente, para explicar y comprender las
diferencias entre la manera clásica de enseñar y aprender la geometría del espacio con los medios e
instrumentos clásicos de trabajo y la forma de hacerlo a partir de la posibilidad que adquieren las figuras
y/o cuerpos de moverse con el empleo de los SGD.
En este sentido y entendiendo problema como “la necesidad que tiene la sociedad de aprendizaje del
sujeto y, a su vez, su propia necesidad de aprendizaje, en relación con el contexto” (Díaz, 2016, p. 20)
se parte de determinar, como problema profesional fundamental el empleo de medios tecnológicos para
formar un nuevo profesional que desde la formación inicial logre una interacción mayor con estos
medios, partiendo de este presupuesto se considera que otros problemas profesionales se pueden
resolver, para fundamentar desde la ciencia geometría los contenidos geométricos que se estudian en
la asignatura Matemática de la enseñanza media.
El objeto de estudio, considera Díaz (2016), es la parte de la realidad que se debe aprender. Establece
los límites epistemológicos del conocimiento y de él se derivan los conocimientos que se deben
aprender. Es la base del qué de la formación curricular (p. 20-21). El objeto de conocimiento en el
PEAGE con empleo de medios tecnológicos tiende a cambiar, en este sentido se pretende que los
medios tecnológicos no solo deben ser empleados como recursos facilitadores de aprendizajes
académicos, sino también deben convertirse en objeto de conocimiento para los profesores en
formación. En nuestro caso se trata de adquirir conocimientos, habilidades y valores desde la geometría
del espacio con el empleo de la tecnología, potenciando el desarrollo de la visualización e imaginación
espacial.
Es necesario que los objetivos estén en función del profesor en formación, de forma tal que puedan
desarrollar habilidades (definir, identificar, ejemplificar, comparar, clasificar, generalizar, limitar, resolver
problemas y ejercicios geométricos de cálculo y demostración), además de habilidades profesionales
55
con el empleo de medios tecnológicos y en función de la formación de valores humanos. Díaz (2016)
señala que el objetivo, “es lo que se aspira a lograr dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje. Es el
para qué de la formación curricular” (p.21). Los objetivos deben entonces orientar hacia el papel de la
visualización como elemento esencial para el aprendizaje de la geometría del espacio con un enfoque
dinámico; desde la arista afectiva los objetivos deben estar dirigidos a que el profesional en formación
sienta placer por el aprendizaje de la Geometría del Espacio a través de las actividades que se
desarrollan con los SGD.
Finalmente el propósito a lograr debe estar encaminado a que el profesional en formación sea capaz de
demostrar un pensamiento lógico en general y geométrico espacial en particular, mediante actividades
académicas, laborales e investigativas con empleo de los diferentes medios tecnológicos, para lograr un
desempeño profesional exitoso.
Según Díaz (2016) el contenido “es la parte de la cultura acumulada alrededor de un objeto de estudio
que refleja los conocimientos, el modo de interactuar de las personas con estos, o sea, las habilidades y
el significado social que le damos a esos conocimientos y habilidades, es decir, los valores que se
reflejan en actitudes en la misma realidad contextual” (p.23)
En correspondencia con los objetivos es necesario reformular también el contenido, pues en su
selección y secuenciación se deben expresar los generados por los medios tecnológicos, relacionados
con el manejo de los SGD, dentro de ellos se encuentran: el dominio de las herramientas y comandos
de los asistentes matemáticos, las construcciones básicas y avanzadas, y la aplicación de las funciones
del asistente básicas, avanzadas y complementarias.
Además el contenido reflejará la relación entre lo conceptual, lo procedimental y lo actitudinal tomando
como punto de partida el sistema de conocimientos geométricos espaciales, de forma tal que los
profesores en formación aprendan a estudiar la geometría del espacio de forma integrada. Partiendo del
56
estudio de los conocimientos esenciales; paralelismo en el espacio, relaciones de posición entre rectas,
entre rectas y planos y entre planos, poliedros y superficies (cuerpos), cálculo de cuerpos, perspectiva
caballera; se debe lograr que las transformaciones que se deriven del movimiento en las figuras y/o
cuerpos propicien siempre la obtención de un conocimiento geométrico espacial y con ello su
sistematización. Así como el sistema de valores asociados al cumplimiento de sus futuras funciones
profesionales tales como patriotismo, antiimperialismo, dignidad, responsabilidad, laboriosidad,
solidaridad, humanismo, honestidad, honradez y justicia; que desde el PEAGE se deben potenciar.
De los componentes del proceso, el más dinámico de ellos lo constituye el método, estos están
centrados en los profesores en formación y pudieran definirse como el sistema de procedimientos de
aprendizaje, que reflejan las regularidades del mismo, que están condicionadas por la problemática
propuesta por el docente y adoptada por el profesor en formación (Fabé, 2016).
Con el empleo de medios tecnológicos se favorece la utilización de métodos que promuevan la
actividad productiva sin desconocer la necesaria utilización de los métodos que promueven la actividad
reproductiva como premisa para la utilización de los primeros. En este sentido se hace necesario
destacar la utilización de métodos y procedimientos heurísticos que propicien la intervención directa de
los profesionales en formación en la elaboración del conocimiento y reflejen la naturaleza interna del
proceso del pensamiento mediante las tareas que ellos deben realizar (Roldan, 2008, p. 61) así como el
apoyo que brindan los SGD para el logro de estos fines. Se considera al estudiante participe activo en la
búsqueda del conocimiento en interacción y colaboración con el docente y con los otros profesionales
en formación.
Los métodos que se utilicen por parte del docente para la dirección de la actividad cognoscitiva, en esta
propuesta, deben dirigirse no solo a la obtención de conocimientos y al desarrollo de habilidades
matemáticas específicas sino a convertirlos en formas y procedimientos de trabajo para la obtención de
57
otros conocimientos y la solución de problemas geométricos espaciales, y en modo de actuación del
futuro profesor de Matemática.
Las formas organizativas, constituyen la expresión externa del proceso de enseñanza-aprendizaje para
lograr su organización en tiempo y espacio y otorgarle a este la consistencia organizativa que se
requiere para trazar la metodología por modalidades, relaciones grupales, actividad individual y los
tiempos necesarios para cumplir los objetivos. (Díaz, 2016 p. 28)
El proceso se concreta en las formas de organización docente (FOD), que con el empleo de los medios
tecnológicos se desarrollan en la modalidad presencial y semipresencial, donde la clase sigue siendo la
FOD por excelencia, con su tipología de conferencias, clases prácticas y seminarios. Con la premisa de
que la realización de las tareas conciba tanto la actividad individual como colectiva en ambientes que
propicien la comunicación como un proceso que permita el intercambio de ideas y la socialización del
conocimiento como expresión de un PEA desarrollador.
El uso de los SGD con las tareas debe permitir en todo momento la interacción mutua sobre la base del
respeto, considerar toda idea como válida e interesante para reflexionar sobre ella, de manera que unos
las producen, otros las ordenan y otros las transforman. Estas consideraciones deben ser tenidas en
cuenta al elaborar los conceptos geométricos espaciales, sobre todo en el proceso de búsqueda de las
propiedades y las relaciones entre ellas y en los procesos de búsqueda de procedimientos para la
solución de problemas geométricos y de ideas o vías para argumentar o demostrar proposiciones.
En ese sentido, el docente en la conferencia debe trasmitir al profesional en formación un modelo de
cómo emplear adecuadamente los medios tecnológicos en función del contenido geométrico espacial;
para que posteriormente en las clases prácticas y seminarios el estudiante logre una interacción directa
con el medio, y que le permita el desarrollo de las diferentes habilidades específicas de la asignatura,
58
del pensamiento geométrico espacial y la capacidad de visualización, para el logro de una exitosa
apropiación del contenido geométrico espacial.
El cumplimiento de los objetivos trazados se concretan en la evaluación, propiciadora de la formación,
que logra hacer más consciente los logros o resultados del aprendizaje (Díaz, 2016, p.29), con el
empleo de los medios tecnológicos se favorece evaluar con mayor nivel de profundidad por parte del
docente el dominio del contenido, la propia autoevaluación de los profesores en formación y el
desarrollo de habilidades profesionales. Esta es además objetiva, pues debe garantizar en la medida de
lo posible la objetividad de las evaluaciones, a lo que contribuirá la existencia de diversas fuentes de
información, en este caso el SGD visto como un medio que brinda posibilidades para la autoevaluación
y corrector de errores posibles; es también participativa, ya que toda la organización, empezando por el
propio profesor en formación, debe ser en función de la implementación de la evaluación con el SGD,
es flexible ya que se trata de un sistema, no de una técnica, ello significa que debe elegirse el método
de evaluación en función de las características de los profesores en formación, donde debe estar
presente además de lo presencial, lo semipresencial, pues desde la comunicación en línea y las
posibilidades de conservar los trabajos realizados en el asistente, se establece una relación entre los
actores que facilita la retroalimentación en las evaluaciones.
2.3 Estructuración didáctico-metodológica del proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Geometría del Espacio con empleo de medios tecnológicos
El PEAGE con empleo de medios tecnológicos se estructura atendiendo a la concepción didáctica
basada en el tratamiento de las situaciones típicas de la enseñanza de la Matemática que en el
tratamiento de la geometría del espacio según Ballester et al. (1992) intervienen directamente: el
tratamiento de conceptos y sus definiciones, teoremas y sus demostraciones, construcciones
geométricas y la solución de ejercicios de aplicación y con texto (resolución de problemas).
59
Para el tratamiento de cada una de estas situaciones típicas dando un lugar especial a las tecnologías
en el PEAGE, es imprescindible para la planificación y dirección efectiva de dicho proceso el empleo del
llamado Programa Heurístico General (PHG), para lograr en el estudiante una orientación adecuada en
el trabajo. El (PHG) constituye para el profesor un instrumento universal de dirección y para el
estudiante una base de orientación para el trabajo, que permite el tratamiento de cada una de las
situaciones típicas. A partir del desarrollo de sus fases fundamentales y las tareas asociadas a cada
fase dadas por Ballester et al. (1992):
Orientación hacia el problema: Comprensión del problema
Trabajo en el problema: Búsqueda de la idea de solución, reflexión sobre los medios, reflexión
sobre la vía
Solución del problema: Ejecución del plan de solución
Evaluación de la solución y de la vía: Comprobación de la solución, reflexión sobre los métodos
aplicados
En el tratamiento de cada situación típica inherente al PEAGE haciendo un seguimiento de las fases del
PHG se deben tener en cuenta los elementos siguientes:
Tratamiento de conceptos y sus definiciones
En la enseñanza de la Matemática el proceso de apropiación de un concepto se realiza a largo plazo,
otros en un plazo breve o se pueden introducir en la fijación de un concepto superior. Este proceso total
de elaboración de conceptos tiene tres fases; consideraciones y ejercicios preparatorios, formación del
concepto, asimilación del concepto o fijación del concepto (Ballester et al. 1992).
En la fase de orientación hacia el problema en el tratamiento de los conceptos geométrico espaciales,
se debe realizar un tratamiento de los conocimientos ya existentes en relación con el concepto
geométrico espacial (nivel de partida), lograr motivar el trabajo (introducir, asimilar) con el concepto o la
60
definición del concepto y precisar las exigencias de lo que se pretende lograr, definir o fijar en el
contenido geométrico espacial (objeto, relación, operación).
Durante el trabajo en el problema logra el éxito si se arriba a la construcción del concepto geométrico
espacial o a la asimilación del mismo atendiendo al objetivo trazado y estrategias seleccionadas para su
cumplimiento.
Establecer las características comunes y no comunes de los objetos geométricos, la búsqueda de
relaciones, la formulación de una definición o de una explicación del concepto, la reducción de
características comunes a un sistema de características necesarias y suficientes, la identificación,
realización y aplicación del concepto de la geometría del espacio tratado, constituye el eje de la tercera
fase del programa heurístico general para el tratamiento de conceptos.
La evaluación de la solución y la vía, en esta situación típica se materializa en la realización de
consideraciones retrospectivas y perspectivas es la esencia de esta fase en el tratamiento de los
conceptos de la geometría del espacio, a través de; el análisis de casos límite y casos especiales del
concepto, de la conveniencia de la definición, ordenamiento del sistema de conceptos y la explicación
de la estrategias aplicadas.
Tratamiento de teoremas y sus demostraciones
Se señaló que junto a la formación de conceptos y sus definiciones otra de las situaciones típicas que
sobresale en el tratamiento de la geometría, es el trabajo con los teoremas y sus demostraciones. Dicha
situación típica se caracteriza por tres procesos parciales: la búsqueda del teorema, búsqueda de una
demostración y representación de la demostración.
Los procesos parciales para Ballester et al. (1992) en el tratamiento de teoremas y sus demostraciones
se caracterizan por:
61
Búsqueda del teorema: Proceso en el cual se dirigen las acciones de los estudiantes a establecer una
suposición, aplicando recursos heurísticos.
Búsqueda de la demostración: Proceso orientado a encontrar la idea de la demostración, así como a
trazar un plan de solución, de acuerdo con los medios disponibles (figura de análisis, definiciones,
teoremas, etc.)
Representación de la demostración: Proceso encaminado a la realización de la idea y el plan de
solución, destacando las inferencias y fundamentaciones necesarias en una exposición comprensible.
Ocupa un lugar central, la creación de motivos en los estudiantes basada en encontrar una regularidad
desconocida para ellos hasta el momento en la geometría del espacio. En el proceso de búsqueda del
teorema la orientación hacia el problema culmina con el planteamiento de la regularidad que se desea
encontrar y en el caso de la demostración con la necesidad de demostrar la suposición obtenida.
El trabajo en el problema consiste en encontrar una idea de solución y preparar un plan para su
realización. Requiere de la precisión del objetivo de la búsqueda o de la demostración geométrica
teniendo en cuenta las condiciones en que se desarrolla (medios de que se dispone y tareas que se han
resuelto con anterioridad) A esta fase corresponde la reflexión sobre los métodos que se emplearan
(reductivo o deductivo)
Aplicando los métodos elegidos la solución del problema en el tratamiento de teoremas, conduce a la
suposición deseada, a través del desarrollo de la idea y del plan de solución, en la búsqueda de la
demostración constituye la reproducción oral o mental de los pasos de la demostración del teorema de
la geometría del espacio, que se estudia.
Finalmente se ejecuta un análisis retrospectivo de los métodos empleados, con la finalidad de valorar
críticamente la vía utilizada para la búsqueda del teorema y la necesidad de emprender una
demostración.
62
Tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con texto (resolución de problemas)
La resolución de ejercicios y problemas es una vía fundamental para realizar la enseñanza de la
matemática. El hecho de ser el reflejo de relaciones reales entre objetos, procesos y fenómenos, hace
que se conviertan en una fuente importante de conocimientos científicos acerca de la realidad.
A través de éstos se asimilan nuevos conocimientos, se comprueba la validez de los que posee; y
desarrollan formas peculiares de interacción con la realidad social y natural. Con la resolución de los
problemas deben ser fijados conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos; todo lo expuesto
justifica considerar esta situación típica en el tratamiento de la geometría espacial.
El proceso de solución de los problemas comienza con la creación de una motivación, que no es
necesaria para un solo problema geométrico espacial independiente, es razonable la motivación para
un grupo de ejercicios de un corte geométrico determinado. Luego se requiere realizar el planteamiento
del problema y la comprensión del mismo.
Se hace un análisis del problema de la geometría espacial encaminado a la búsqueda de la idea de
solución, se reflexiona sobre los métodos, donde se determina la vía principal de solución a través de
establecer relaciones entre los datos y las incógnitas. Se elabora un plan de solución, donde estén
presentes las determinaciones de los medios matemáticos concretos y la aplicación de estrategias de
trabajo.
En la solución del problema se debe realizar el plan de solución trazado y representación de la solución
con marcada presencia de los procedimientos heurísticos.
Realizar la comprobación del problema, de acuerdo con las relaciones que se establecen en el
enunciado, comprobación de la posible solución con la estimación, el cálculo aproximado y la práctica,
constituye la esencia de la fase de evaluación de la solución y la vía.
Tratamiento de las construcciones geométricas
63
Se destaca dentro de la enseñanza de la Geometría los ejercicios de construcción. Las construcciones
geométricas juegan un papel importante entre los ejercicios de aplicación en la enseñanza de la
matemática, pues los estudiantes deben aplicar teoremas, definiciones y las construcciones básicas ya
conocidas; contribuyéndose a una mejor fijación del saber y el poder de los estudiantes.
En los estudios realizados por Ballester et al. (1992) se concluye que los métodos de resolución de los
ejercicios de construcción son estrategias heurísticas especiales, adecuadas para determinados tipos
de ejercicios, clasificados como, lugares geométricos, transformación de figuras y algebraico.
La orientación hacia el problema en esta situación típica comprende la creación de una motivación, el
planteamiento del problema de construcción geométrica espacial y la orientación hacia el objetivo, es
importante lograr que los estudiantes perciban mentalmente el ejercicio planteado, que comprendan en
esencia su enunciado.
En la segunda fase se realiza el análisis del problema de construcción geométrico espacial
considerando otros ejercicios de construcción similares como principio heurístico fundamental. Reducir
el ejercicio planteado a la construcción de puntos, de someter la figura o cuerpo geométrico o parte de
ella a una transformación que conduzca a la solución o de expresar mediante fórmulas los elementos de
la figura a construir y luego interpretar geométricamente el proceso algorítmico de construcción.
Realización de la construcción a partir del plan trazado es el objetivo principal de la solución del
problema, se realiza una descripción de la construcción geométrica espacial donde se diferencian las
acciones de construcción, como trazar, bisecar, unir, etc., de las acciones de denotar.
Determinar la veracidad de la construcción geométrica realizada. Señalar casos especiales y
consideraciones sobre la realizabilidad y unicidad de la construcción geométrica, es la fase final de esta
situación típica.
64
Esta situación típica en el tratamiento de los contenidos geométricos espaciales con empleo de medios
tecnológicos, tiene marcado lugar y es imprescindible en el tratamiento de las situaciones anteriores.
Empleo de los SGD en el tratamiento de los contenidos geométricos espaciales
Los medios tecnológicos juegan un papel importante en el tratamiento de los contenidos geométricos
espaciales de cada situación típica y en cada fase del PHG el medio tecnológico ofrece potencialidades
para lograr el dinamismo de las figuras y cuerpos y contribuir al desarrollo del pensamiento geométrico
y la capacidad de visualización.
Orientación hacia el problema.
Con el uso de las tecnologías en esta fase se debe garantizar las condiciones necesarias para la
asimilación o fijación de la materia de geometría del espacio a partir de que los asistentes se usen para
la construcción y exploración avanzada de objetos geométricos espaciales, trasladar, ampliar, reducir y
girar los objetos geométricos respecto a su centro o a un punto especificado. Los asistentes son de
utilidad para la representación de situaciones de enseñanza que permitan revelar contradicciones
inherentes al nuevo contenido que se va a desarrollar.
Trabajo en el problema
Esta es a consideración de la autora la fase del programa heurístico en el cual los medios tecnológicos
alcanzan su mayor expresión. Pues con los SGD se debe lograr economía de recursos materiales y de
tiempo (en comparación con las construcciones de lápiz y papel); en ellos cobran trascendencia: el
empleo del color, la movilidad de la figura y el cálculo electrónico (en la pantalla del ordenador), todo lo
cual potencia sensiblemente la actividad de búsqueda cognitiva de los estudiantes. Es válido señalar
que cuando se trata de fijar los conocimientos geométricos espaciales con los SGD no es recomendable
inducir la idea de que las TIC pueden llegar a sustituir totalmente al resto de los medios de enseñanza;
65
el libro de texto, los cuadernos y el pizarrón, por señalar algunos, son igualmente importantes en la
clase de Geometría.
Solución del problema
Los medios tecnológicos utilizados adecuadamente en las fases anteriores sirven de guía para llegar a
la solución del problema. Los asistentes en esta fase pueden utilizarse en función de, comprobar las
propiedades geométricas de los objetos, de forma que se conformen hipótesis correspondientes y
permitir al usuario guardar los dibujos y macros desarrollados.
Evaluación de la solución y la vía
Las exigencias didácticas en esta fase pueden ser potenciadas con el empleo de los SGD, no sólo con
ayuda de la opción “Revisar construcción” (que permite revisar paso a paso las acciones realizadas
sobre la “hoja de trabajo”), sino además porque, con sus facilidades de movilidad y el cambio de las
condiciones de las figuras geométricas representadas, se pueden hacer acotamientos de características
necesarias de conceptos o de condiciones suficientes de propiedades que son objeto de estudio.
Todos los elementos señalados justifican que necesariamente el PEAGE con empleo de medios
tecnológicos debe estructurarse en la práctica, mediante el desarrollo de tres etapas fundamentales,
una etapa inicial o propedéutica, interactiva y evaluativa.
La etapa inicial o propedéutica debe contribuir primeramente a la reactivación de los contenidos
geométricos que constituyen condiciones previas específicas para enfrentar el contenido geométrico
espacial. Para un empleo adecuado de los diferentes medios tecnológicos en el PEAGE se debe
preparar al profesional en formación para el manejo adecuado de estos medios, para ello en esta etapa
se deben desarrollar lecciones de presentación y uso de los SGD, a partir de explicar los comandos
básicos de los asistentes GeoGebra y Cabri, las interfaces de aplicación: zona de trabajo, ventana
algebraica, menús desplegables, barra de herramientas y líneas de comandos. Así como otras
66
preguntas que lleven al estudiante a explorar e interactuar con mayor facilidad con los programas de
geometría dinámica.
Luego de que el profesional en formación esté en condiciones para enfrentar el tratamiento de cada
situación típica con empleo de medios tecnológicos, se entra en la etapa interactiva, donde las acciones
están dirigidas al desarrollo del PEAGE con empleo de medios tecnológicos en el tratamiento de los
conceptos, teoremas, resolución de problemas y construcciones geométricas. Se deben proponer
actividades que requieran necesariamente del empleo de los diferentes medios, para que el profesional
en formación logre una mejor visualización de los objetos tridimensionales y una manipulación directa
de las figuras y cuerpos. Finalmente el PEAGE con empleo de medios tecnológicos cierra
necesariamente con la evaluación del cumplimiento del objetivo trazado, que se revierte en el
perfeccionamiento de las acciones realizadas.
Conclusiones del capítulo II
Como conclusiones puede plantearse que, las bases teóricas asumidos en la investigación desde las
diferentes Ciencias de la Educación permiten fundamentar el PEAGE con un empleo adecuado de
medios tecnológicos, en la carrera Licenciatura en Educación Matemática, de la UPR.
PEAGE con empleo de medios tecnológicos se debe caracterizar por: el dinamismo (expresado en la
posibilidad de movimiento de las figuras y cuerpos geométricos y las transformaciones que se producen
en ellas), la presentación del contenido como situaciones de aprendizaje a partir del tratamiento de las
diferentes situaciones típicas en la enseñanza de la matemática, la utilización de medios de enseñanza
que propicien la movilidad de las figuras y cuerpos, el empleo de métodos y procedimientos que
promuevan la búsqueda y la exploración, y las formas de organización donde predomine la colaboración
intercambio y la socialización del contenido.
CAPÍTULO III
“METODOLOGÍA PARA EL PROCESO DE ENSEÑANZA-
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO CON EL
EMPLEO DE MEDIOS TECNOLÓGICOS EN LA CARRERA
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA
UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RÍO”
67
CAPÍTULO III. “METODOLOGÍA PARA EL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
GEOMETRÍA DEL ESPACIO CON EL EMPLEO DE MEDIOS TECNOLÓGICOS EN LA CARRERA
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN LA UNIVERSIDAD DE PINAR DEL RÍO”
El capítulo presenta la metodología para el PEAGE con el empleo de medios tecnológicos en la carrera
Licenciatura en Educación Matemática en la Universidad de Pinar del Río. Se estructura en dos
componentes: el aparato cognitivo instructivo con la fundamentación y el aparato instrumental con los
procedimientos para la aplicación práctica.
La metodología como resultado científico-pedagógico es considerada por Valle (2012) como una propuesta
de cómo proceder para desarrollar una actividad por medio del establecimiento de vías, métodos y
procedimientos para lograr un fin (p.187).
Por su parte, De Armas et al. (2008) declaran que la metodología como resultado científico puede ser
usada para “dirigir el proceso de apropiación por el educando de los contenidos de la educación, al hacer
más eficiente el proceso de dirección de la educación, en correspondencia con el sistema de circunstancias
y condicionantes concretas que entran en juego en dicho proceso” (p. 52-53)
Sobre la base de las ideas de Valle (2012) y De Armas et al. (2008), la autora de esta investigación
considera que la metodología como resultado científico-pedagógico constituye una propuesta de cómo
proceder para potenciar el PEAGE con el empleo de medios tecnológicos en la carrera Licenciatura en
Educación Matemática.
La elaboración de esta metodología para el PEAGE presupone el uso de medios tecnológicos para la
transformación de la actividad de estudio. Ello es posible cuando el docente es capaz de recrear los
contenidos de los programas con los software de la geometría dinámica.
68
3.1 Estructura de la metodología para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Geometría del
Espacio con el empleo de medios tecnológicos en la carrera Licenciatura en Educación Matemática
en la Universidad de Pinar del Río
A partir de las formas de estructuración de la metodología, que resultan muy diversas, se decide
estructurarla en: componente teórico que contiene el objetivo general y los fundamentos y un componente
instrumental conformado por tres etapas que responden al análisis realizado en el Capítulo II de esta tesis,
y que le dan el carácter de proceso.
La representación gráfica de la metodología
A continuación se muestra la representación gráfica de la metodología para potenciar el PEAGE con
empleo de medios tecnológicos (Ver figura 1).
69
Figura 1. La metodología para potenciar el PEAGE con empleo de medios tecnológicos, en la
carrera Licenciatura en Educación Matemática.
3.1.1 Componente teórico de la metodología
El objetivo general: es perfeccionar el PEAGE, con el uso de medios tecnológicos en la carrera de
Matemática.
A partir del ideal de Profesor de Matemática que se espera formar y atendiendo al plan de estudio “E”, se
requiere de un profesional de la educación bien preparado en lo político, pedagógico y didáctico, con
dominio del contenido de enseñanza y aprendizaje, capaz de una labor educativa flexible e innovadora que
vincule los objetivos generales en la formación de los estudiantes, con las singularidades de cada uno,
incluyendo las particularidades de la escuela y de su entorno. Un profesional que logre la incorporación de
los diversos recursos tecnológicos en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática y
la necesidad de su utilización en función de la formación de la personalidad de los educandos.
Teniendo como fundamento principal de la educación cubana el materialismo dialéctico, se procede a
explicar los principales fundamentos del PEAGE con el empleo de medios tecnológicos en la carrera
Matemática.
La metodología está sustentada en los presupuestos teóricos de la Ciencia de la Educación anteriormente
descritos, que con un enfoque filosófico explican el PEAGE, que se presenta atendiendo a su forma,
estructura y contenido siguiendo las propias leyes y categorías posibilitando ampliar los conocimientos de
los estudiantes lo cual contribuye al razonamiento de un pensamiento de lo abstracto a lo concreto. Se
establece la interrelación entre el medio tecnológico y el sujeto que participa en el proceso de enseñanza –
aprendizaje, por lo que se produce una relación entre estudiante-estudiante; estudiante-profesor;
estudiante-medio-profesor.
70
Es decir, es el momento donde se evidencia que el aprendizaje no se produce en el vacío, tal y como lo
planteo Cabero (1998) sino en la interacción de un contexto determinado y las posibilidades de construir
medios diferenciados para un aprendizaje.
En el PEAGE con empleo de medios tecnológicos participan un grupo de agencias, como las instituciones
donde los estudiantes realizan la práctica laboral y la propia UPR, y agentes de socialización; estudiantes,
profesores, tutores de la práctica, así como profesores del departamento de Matemática que permiten que
su impacto en el PEA sea eficiente. Estas relaciones permiten que los contenidos que se reflejan con el
uso de los medios tecnológicos estén en correspondencia con la profesión.
Se alude a la idea de que los medios tecnológicos se usen en los contenidos geométricos espaciales que
luego el profesional impartirá en la escuela, dando repuesta a problemáticas propias de la realidad escolar,
que en la confección de los mismos puedan estar inmiscuidos estudiantes, profesores, directivos y hasta
familiares, de manera que pueda cumplirse con el principio sociológico, de que la educación ha de preparar
al hombre para la vida, entendida en todas las esferas de la sociedad.
Desde el punto de vista psicológico se asumen los fundamentos del enfoque Histórico-Cultural, en el que a
partir de la teoría del conocimiento, se reconoce el papel de lo social y la interiorización del aprendizaje sin
desconocer su carácter personal, subjetivo, único e intransferible y en la teoría de la actividad. La teoría
desarrollada por L.S. Vigotsky acerca del condicionamiento histórico social de la psiquis humana destaca
que su estructura y desarrollo puede entenderse sólo en relación con el análisis del medio social. De lo que
puede inferirse que en un sentido filogenético las funciones psíquicas cambian, se transforman en los
distintos períodos de la historia de la sociedad.
Este proceso de transformación según el propio autor se da a través y como resultado del proceso de
mediatización del hombre con los instrumentos creados por él mismo sobre la base del trabajo como son:
el habla, los signos matemáticos, los recursos mnemotécnicos, y yendo un poco más hacia estos tiempos
71
podrían agregarse también los medios que han surgido del trabajo del hombre en el contexto tecnológico
actual.
Un fundamento importante para el aprendizaje lo constituye la categoría la Zona de Desarrollo Próximo
planteada por Vigotsky para fundamentar la relación entre el aprendizaje y el desarrollo, entendida esta
como, el espacio de interacción entre los sujetos que como parte del desarrollo de una actividad, le permite
al maestro operar con lo potencial en el alumno, en el plano de acciones externas, sociales, de
comunicación, que se convierten en las condiciones mediadoras culturalmente que favorecen el paso de
las acciones internas individuales (paso de lo interpsíquico a un nivel intrapsíquico ) (Rico, 2003).
Se reconoce el papel que tienen la percepción, la representación, la imaginación, las operaciones lógicas
del pensamiento, los procesos mentales (procesamiento visual e interpretación de información figurativa); o
sea, el rol de las funciones psíquicas superiores dadas por su naturaleza social y cultural; para potenciar el
desarrollo de la vista geométrica no solo en lo referido a la percepción de la figura y sus propiedades sino a
la percepción de su invariancia al moverlas.
La propuesta propicia la identificación de los instrumentos o herramientas informáticas para expresar un
fenómeno que puede ayudar a transformar la realidad, en la que se diseñan medios tecnológicos con
niveles de complejidad y donde el sujeto (alumno) se apropia del conocimiento con un papel activo en el
proceso convirtiéndose en gestor de su propia formación. El profesor por su parte aporta los conocimientos
y experiencias para la producción, uso y gestión de los medios tecnológicos lo que se traduce en una
interacción social de forma general en la que incluye actividades con elementos interactivos, accesibles en
la navegación que permiten facilitar el proceso de apropiación y el seguimiento del progreso de cada
alumno.
Ello conlleva al aprendizaje del estudiante con un enfoque desarrollador desde el propio proceso de
enseñanza –aprendizaje de la Geometría, adquiriendo un pensamiento crítico e innovador y donde el
72
profesor en su rol de facilitador de las interacciones sujeto-objeto y sujeto-sujeto mantiene una
comunicación o diálogo didáctico mediado por los medios tecnológicos. De ahí, el carácter pedagógico
como finalidad en el proceso de enseñanza- aprendizaje, lo que permite que se establezca una relación
dialéctica entre objetivos, contenidos métodos, medios y formas de organización de la enseñanza.
Se pretende mejorar al aprendizaje del estudiante que sea capaz de explorar libremente, en ocasiones
repetir temas hasta lograr un dominio (aprendizaje personalizado), apropiarse de un conocimiento con
ayuda de un medio tecnológico como un asistente de geometría dinámica, la guía del docente para
resolver un problema específico. A su vez, se inserta en los programas curriculares es utilizado y
reutilizado en otros temas en un costo económico mínimo, ahorro de tiempo y de relevancia social.
La metodología en su propuesta pone de manifiesto características que involucran premisas desde la
tecnología educativa, es por eso que tal y como se describía anteriormente actúa como recurso didáctico
por ser un medio de enseñanza en el proceso de impartir la Geometría. De ahí, las referencia que se hacen
a lo estipulado por Castro (1990) cuando plantea que los medios aumentan la motivación por la enseñanza
al presentar estímulos que facilitan la auto actividad del estudiante, la seguridad en el proceso de
aprendizaje y el cambio de actividad. De igual forma, expresa que los métodos y los medios constituyen
una unidad dialéctica en dos sentidos:
• El desarrollo científico-técnico proporciona crecientes posibilidades de crear nuevos medios, lo que a
su vez permite la modificación de los métodos existentes, e inclusive la creación de otros nuevos.
En la práctica diaria los métodos y procedimientos elegidos determinan los medios que se deben usar para
llevarlos a cabo, pero a su vez, la selección de procedimientos está influida por las posibilidades reales de
obtener o preparar los medios.
• Los medios no solo son usados por los profesores, sino que deben resultar de verdadera utilidad a
los estudiantes.
73
La metodología tiene gran significación desde lo postulados de Salomón (Martínez, 2018) pues los medios
tecnológicos elaborados por la inteligencia humana permeados por un sistema de símbolos, un mensaje y
la tecnología que lo soporta para representar, almacenar socializar; es decir que se alude a la identificación
de software para el diseño del recurso; la realización del proceso de catalogación o codificación y luego
pueda ser accesibles en entornos virtuales. Todo ello propicia y desarrolla habilidades cognitivas
específicas en el proceso de enseñanza- aprendizaje.
3.1.2 El componente instrumental de la metodología
Etapa 1: Etapa inicial o propedéutica
Etapa de preparación para el uso eficiente de los medios tecnológicos en el estudio de la geometría del
espacio.
La etapa tiene como objetivos:
• Preparar al estudiante en los contenidos de la geometría del espacio que se estudian en la
asignatura.
• Preparar al estudiante para el manejo de los medios tecnológicos que se pueden emplear en el
estudio de la geometría del espacio.
Las siguientes acciones se tendrán en cuenta para la instrumentación de los objetivos propuestos en la
etapa propedéutica:
1. Diseño de actividades que permitan asegurar el nivel de partida para enfrentar los contenidos
geométricos espaciales.
2. Resolución y discusión de las actividades diseñadas como parte del aseguramiento del nivel de
partida.
3. Familiarización con los asistentes que se utilizarán para el estudio de la geometría del espacio:
• Presentar los asistentes Cabri 3D y GeoGebra 3D.
74
• Explicar las interfaces de aplicación zona de trabajo, ventana algebraica, menús desplegables, barra
de herramientas y líneas de comandos.
• Usar los comandos básicos de Cabri 3D y GeoGebra 3D
• Construir los conceptos que forman parte de los conocimientos previos específicos (punto, rectas,
planos, rectas paralelas, rectas que se cortan, planos paralelos, planos que se cortan)
Etapa 2: Etapa interactiva
Etapa de puesta en práctica de los medios tecnológicos en función de la geometría del espacio.
La etapa tiene como objetivo:
• Emplear los medios tecnológicos en función de los contenidos geométricos espaciales.
Las siguientes acciones se tendrán en cuenta para la instrumentación de los objetivos propuestos en la
etapa de ejecución:
1. Interactuar con los asistentes de geometría de manera que se traten los contenidos geométricos
espaciales de la asignatura.
Tratamiento de conceptos y sus definiciones
Acciones para la formación de conceptos:
1. Construir con el SGD cuerpos que se definen genéticamente
2. Construir con el SGD figuras y /o cuerpos mediante los cuales se descubre el contenido y la
extensión del concepto
3. Construir con el SGD figuras y / o cuerpos representantes o no del concepto
4. Establecer un sistema de características necesarias y suficientes en los representantes construidos
Acciones para la fijación de un concepto:
1. Análisis del sistema de características del concepto.
2. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que comparten las características esenciales del concepto.
75
3. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que pertenecen a la extensión del concepto.
4. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que comparten algunas características esenciales.
5. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que tienen extensiones disjuntas.
6. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que tienen extensiones no disjuntas.
7. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que pertenecen a la extensión de conceptos supra,
subordinados y colaterales al dado.
8. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos que limiten el concepto.
9. Construir con el SGD figuras y/o cuerpo que generalicen el concepto.
10. Construir con el SGD figuras y/o cuerpos contra ejemplos del concepto
11. Análisis de las consecuencias de la definición.
Ejemplo: Fijar el concepto ángulo de inclinación de una oblicua respecto a un plano (ver Figura 2).
Definición: Llamamos ángulo entre una oblicua 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y un palo𝛼, al ángulo 𝛾formado por la oblicua y su
proyección sobre 𝛼.
• Enuncie la definición de ángulo de inclinación de una oblicua respecto a un plano.
• Construye una recta perpendicular a un plano 𝛼, bajadas desde un punto P
• Construye varias rectas oblicuas al plano 𝛼 bajadas desde el punto P.
• Señala el ángulo de inclinación de cada oblicua con el plano 𝛼.
• Determina la amplitud de cada ángulo indicado.
Se puede además orientar la construcción de otros ángulos que no sean representantes del concepto.
76
Figura 2. Representación de ángulos para la fijación del concepto de ángulo de inclinación
Tratamiento de los teoremas y sus demostraciones
Acciones para la obtención del teorema:
1. Construir con el SGD figura y/o cuerpo según las condiciones dadas.
2. Relacionar las condiciones dadas con las buscadas mediante la aplicación de la medición,
comparación de magnitudes, transformaciones geométricas.
3. Variar con ayuda del SGD las condiciones geométricas iníciales mediante la aplicación de recursos
heurísticos como la movilidad, diferenciación de casos, trazar líneas auxiliares, sustituir conceptos
por su definición.
4. Análisis de las condiciones geométricas invariantes: longitud de lados, amplitud de ángulos, razón
entre segmentos, paralelismo entre rectas, perpendicularidad entre rectas, etc.
5. Formular la conjetura o suposición.
Acciones para la fijación del teorema:
1. Análisis de la estructura lógica del teorema.
2. Precisión de la premisa y la tesis.
3. Construir con el SGD figura y/o cuerpo como condición necesaria para la premisa.
4. Construir con el SGD figura y/o cuerpo como condición suficiente para la conclusión.
5. Construir con el SGD figura y/o cuerpo como condición necesaria y suficiente para la premisa y la
tesis.
6. Transformar con el SGD condiciones de las figuras y/o cuerpos de la premisa y analizar la existencia
de cambios en la tesis.
7. Construir con el SGD figura y/o cuerpo como caso particular del teorema
77
8. Movilidad de condiciones con el SGD que permitan el análisis del recíproco y contrarecíproco del
teorema.
Ejemplo: Tratamiento del teorema de las tres perpendiculares (ver Figura 3)
Teorema: Si una recta de un plano que pasa por el pie de una oblicua al plano es perpendicular a la
proyección de la oblicua, entonces es perpendicular a la oblicua.
• Análisis de la estructura lógica del teorema.
• Construye un plano ∝.
• Construye una recta AC perpendicular al plano∝.
• Construye una recta AB oblicua al plano∝.
• Traza la recta que contiene a la proyección de AB sobre∝.
• Construye una recta r contenida en el plano ∝ y que pase por el punto B.
a) Mueve la recta r hasta que forme un ángulo de 90o con la recta BC, ¿qué amplitud tiene el ángulo
que forman AB y la recta r?
b) Mueve la recta r y compara ahora las amplitudes de estos ángulos.
c) ¿De qué teorema estamos hablando?
d) Enuncie el teorema.
e) Enuncie el recíproco.
f) ¿Qué elementos de la construcción hay que mover para visualizar el recíproco del teorema?
78
Figura 3. Tratamiento del teorema de las tres perpendiculares.
Tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con texto (resolución de problemas)
Acciones para el tratamiento de problemas:
1. Planteamiento del problema.
2. Análisis para determinar datos dados y buscados.
3. Construir en el SGD las figuras y/o cuerpos que reflejan los conceptos y teoremas que forman parte
de los datos dados.
4. Análisis de las relaciones y dependencias entre las magnitudes.
5. Construir en el SGD las nuevas relaciones encontradas.
6. Reflexión sobre los métodos para determinar la vía principal de solución.
7. Elaborar el plan de solución.
8. Mover, reducir, ampliar, colorear etc. conceptos y relaciones en el SGD para una mejor visualización
de la situación.
9. Perfeccionar el plan de solución.
10. Ejecución del plan de solución.
11. Comprobar con el SGD las magnitudes y resultados posibles.
79
Ejemplo: Un queso viene en un envase que tiene la forma de pirámide regular de bases cuadradas, cuyas
aristas de las bases miden 4 cm y 6 cm, y cuya arista lateral mide 5 cm. Hallar el área de papel empleada
en la envoltura.
• Determinar los datos dados y buscados.
• Construir una pirámide (Anexo 8) con las condiciones dadas.
• Análisis de la relación a utilizar para solucionar el problema (determinar la fórmula correspondiente)
Calcular el área de la base de la pirámide.
Se utiliza la caja de herramientas medida de área del Cabri 3D tal como muestra la Figura 4.
Calcular el área de las caras laterales de la pirámide. Para ello se crea un polígono en cada una de las
caras de la pirámide, usando la caja de herramientas polígono convexo. Luego, se calcula el área de cada
cara utilizando la caja de herramientas medida de área. Hallar el área total de la pirámide de acuerdo a la
siguiente relación: AT= AL + AB donde AL es el área lateral y es AB el área de la base, utilizando la
calculadora del Cabri 3D.
Calcular el área total de la pirámide utilizando la caja de herramientas medida de área del Cabri3D y
verificar este resultado con el anterior.
• Dar respuesta al problema propuesto.
Figura 4. Herramienta para el cálculo de área.
80
Etapa 3: Evaluación- Análisis de los resultados de la práctica educativa para la enseñanza-
aprendizaje de la Geometría del Espacio.
La etapa tiene como objetivos:
• Comprobar la efectividad del proceso de enseñanza de la geometría del espacio con el empleo de
medios tecnológicos.
• Perfeccionar la propuesta metodológica con el fin de desplegar en distintas carreras de la
Universidad.
Las siguientes acciones se tendrán en cuenta para la instrumentación de los objetivos propuestos en la
evaluación:
1. Aplicación de la técnica positivo, negativo e interesante (PNI) al concluir cada acción.
2. Aplicación de entrevistas a los profesores y estudiantes que están implicados en el PEAGE en la
carrera de Matemática.
3. Aplicación de una prueba pedagógica que evalúe el PEAGE en la carrera de Matemática.
En la evaluación de la metodología se valorará la preparación del profesor, la calidad del PEAGE cuando
se emplean medios tecnológicos, y en qué medida es efectiva la apropiación de los contenidos
geométricos espaciales desde una mirada tecnológica.
3.2 Valoración de la validez de la metodología para el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
Geometría del Espacio con empleo de medios tecnológicos
La finalidad de esta fase es “(…) constatar el grado de viabilidad, entendido como acercamiento a la
comprobación práctica o teórica de una solución propuesta (…)” (Añorga, Válcarcel, & Che, 2008, p. 27).
En este caso se busca obtener las consideraciones que constate si el uso de la metodología es apropiado
en las condiciones actuales del proceso para el cual fue elaborada, con lo cual también se estaría
evaluando la viabilidad de la propuesta (Mesa, Guardo, & Vidaurreta, 2012).
81
Para desarrollar dicho estudio con el alcance pretendido se seleccionó la consulta a especialistas. Se
considera como tal a los profesionales relacionados con el ejercicio de la profesión en relación con el
objeto de estudio de la investigación, partiendo del criterio de que sus experiencias profesionales y su
formación teórico práctica son muy cercanas a lo que esta metodología espera transformar en la práctica
educativa, por lo que podrán valorarla en su junta medida.
Siguiendo los criterios de Mesa et al. (2012), se tuvo en cuenta que los especialistas seleccionados deben
distinguirse por su experiencia en el objeto concreto-pensado propuesto por la investigadora y
caracterizarse por ser críticos, con disposición para cooperar, entre otras características deseables.
A partir de esta idea se aprovechó la experiencia acumulada por un conjunto de profesores del
departamento carrera Matemática de la Universidad de Pinar del Río que cumplieran con los requisitos
siguientes:
• Ser graduado de perfiles profesionales relacionados con la Educación Matemática.
• Poseer las categorías docente de profesor auxiliar o titular.
• Poseer experiencia acumulada por más de cinco años en las disciplinas de la carrera de
Matemática.
Bajo estas condiciones se identificaron 13 posibles candidatos de los cuales se tomaron 11 para la
aplicación de los instrumentos. Con los especialistas seleccionados se desarrolló un taller inicial donde se
les expuso las necesidades que dieron origen a la metodología propuesta, además una breve presentación
de la misma. Posteriormente se les entregó un resumen con los componentes de la metodología.
Después de conocer los detalles de la propuesta a través del intercambio directo y de dar una síntesis de la
misma los especialistas opinaron en términos de aspectos positivos, negativos y de duda y/o
cuestionamiento sobre las posibilidades de implementación de la propuesta. Además realizaron una
valoración de la misma en una escala de uno a cinco puntos, dando respuesta a un cuestionario (Anexo 9)
82
como síntesis de los aspectos analizados a partir de los criterios siguientes de (Bravo, 2018): pertinencia
(adecuación con la política de formación y al contexto de formación), actualización (adecuación a las
necesidades reales), aplicabilidad (posibilidad de puesta en práctica), suficiencia (grado en que se
satisfacen las necesidades detectadas), relevancia (grado de importancia para cubrir las necesidades que
originaron la metodología), coherencia (grado de adecuación entre sí de los distintos componentes del
proceso), costo (grado en que se logra un uso moderado de la cantidad de esfuerzo y recursos para su
implementación).
Para procesar los resultados se calculó el coeficiente de aceptación por los especialistas, ajustándose a la
presente investigación. A través de la fórmula donde K es el Coeficiente de aceptación; PA son los puntos
acumulados; TPA es el total de puntos a acumular; N es el máximo de puntos por pregunta (N=5).
Los resultados de las valoraciones emitidas por los especialistas (Anexo10 ), muestran que la metodología
en general alcanzó un Índice General de aceptación de 4,22, lo que se puede considerar una valoración
favorable, si se tiene en cuenta la complejidad del PEAGE.
Dentro de los indicadores evaluados el menos favorecido por los especialistas es la coherencia que
alcanzó un índice de 3,91, este resultado aunque no está distante del índice general permitió hacer las
correcciones precisas para lograr la coherencia necesaria, las que estuvieron relacionadas con la
estructura de la metodología y las relaciones entre sus componentes, las recomendaciones de los
especialista estuvieron en el orden de:
• Fundamentar metodológicamente el papel de los medios tecnológicos en cada una de las fases del
programa heurístico general.
• Estructurar las acciones del componente instrumental en correspondencia con el tratamiento teórico-
metodológico realizado para las situaciones típicas en la enseñanza de la matemática.
También los especialistas arrojaron la siguiente valoración sobre la metodología:
83
Novedosa y pertinente para la carrera de Matemática.
• Permite un aprendizaje de la geometría del espacio de manera dinámica garantizando un amplio
desarrollo de la visualización.
• Permite la obtención de conocimientos geométricos espaciales a partir de la movilidad de las figuras
y/o cuerpos en otro sentido al que se ha estado haciendo.
Estructurada y diseñada de manera adecuada.
• El objetivo de la metodología transforma el problema científico y da respuesta al objetivo de la
investigación.
• Responde a las exigencias de la educación actual.
• Aplicable a todos los contenidos de la geometría del espacio.
• Alta posibilidad de aplicación siempre que se cuente con los SGD que se sugieren.
Conclusiones del capítulo III
A modo de conclusión en este capítulo puede plantearse, que la metodología como resultado científico-
pedagógico potencia el PEAGE con empleo de medios tecnológicos en la carrera de Matemática de la
UPR.
La metodología articula lo teórico-metodológico con lo instrumental, que en su integración perfeccionan el
PEAGE con empleo de medios tecnológicos favoreciendo el desarrollo de la visualización geométrica
espacial.
La consulta a especialistas utilizada para la valoración de la viabilidad de la metodología propuesta permitió
enriquecerla y proponer su puesta en práctica en el contexto de la carrera de Matemática en la UPR.
CONCLUSIONES GENERALES
84
CONCLUSIONES GENERALES
1. El estudio teórico acerca del desarrollo y evolución del PEAGE a lo largo de la historia y en el
contexto en que se desarrolla esta investigación permitió determinar como una tendencia actual para
el tratamiento de este contenido, el enfoque dinámico, que tiene su base en el surgimiento y empleo
de nuevas tecnologías, en particular en los software de geometría dinámica para aprender
geometría.
2. La caracterización del estado actual del PEAGE en la carrera Licenciatura en Educación Matemática
de la UPR permitió detectar insuficiencias en la apropiación de los contenidos geométricos
espaciales (conocimientos, habilidades y valores), en el empleo de los medios tecnológicos en la
dirección del proceso, lo que se evidencia en el limitado desarrollo de la visualización y el
pensamiento geométrico espacial.
3. Las bases teóricas asumidas fundamentan la metodología para el PEAGE, sistematizan posiciones
para una nueva perspectiva de este proceso con el empleo de medios tecnológicos, en torno al
desarrollo de la visualización y el pensamiento geométrico espacial en la carrera Licenciatura en
educación Matemática de la UPR.
4. La propuesta de una metodología orienta el perfeccionamiento del PEAGE en la carrera Matemática,
de la UPR, a través del empleo de los medios tecnológicos para el tratamiento de las situaciones
típicas inherentes a la Geometría del Espacio, desde la puesta en práctica de tres etapas para la
instrumentación de este proceso, inicial, interactiva y evaluativa.
5. La determinación de la viabilidad teórica de la Metodología para el PEAGE en la carrera Matemática,
de la Universidad, mediante la consulta a especialistas, corroboró la estructura de esta, destacando
sus componentes y su necesidad de aplicación, por resultar viable en la solución del problema de
investigación planteado.
RECOMENDACIONES
85
RECOMENDACIONES
1. Implementar la metodología para el perfeccionamiento del PEAGE, en la formación inicial de los
estudiantes de la carrera Matemática, de la UPR.
2. Valorar la pertinencia de su introducción, para todas las carreras de la Universidad de Pinar del Río y
otros centros de Educación Superior, en dependencia de las particularidades y objetivos.
3. Proponer al MINED e instancias responsables, el análisis del Programa de capacitación a profesores
sobre la Geometría del Espacio, para su posible introducción en los cursos de superación,
relacionados con la temática.
4. Profundizar en otros estudios sobre una metodología para la implementación de medios tecnológicos
en el tratamiento de otros contenidos de la carrera, por ejemplo para el tratamiento de la geometría
plana.
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86
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92
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ANEXOS
93
ANEXOS
Anexo 1: Guía para el análisis del plan de clases.
Objetivo: Evaluar Actividad metodológica desarrollada por el profesor para lograr la estructuración
coherente de la clase en correspondencia con los objetivos y fines de la formación del profesional de
educación Matemática.
Clase#: Tipo de clase:
Indicadores a evaluar: 3 2 1 0
Dimensión: Concepción de la clase
1. Determinación del contenido a partir del objetivo
2. Determinación de las formas organizativas a partir del objetivo
3. Selección de las actividades de la clase en correspondencia con el objetivo y el
contenido
4. Selección de los métodos para el desarrollo de las actividades en
correspondencia con el objetivo y el contenido
5. Selección de los medios a partir de los métodos
6. Papel asignado a los medios tecnológicos
7. Diseño de las actividades de control de los resultados, en correspondencia con
el objetivo y el contenido
Parámetros para la evaluación:
Se considerará: Muy adecuado (3) si cumple con los requisitos señalados para el indicador. Adecuado
(2) Si cumple con los requisitos señalados pero existen posibilidades de hacerlo mejor. Poco adecuado
(1) si se cumple parcialmente con los requisitos señalados para el indicador. No adecuado (0) Si no se
cumple con los requisitos señalados para cada indicador.
Tabla : Requisitos para cada indicador de la subdimensión concepción de la clase.
Indicadores de la Subdimensión1.1 Requisitos del Indicador
1. Determinación del contenido a El contenido responde a los objetivos seguidos, se
94
partir del objetivo seleccionan las habilidades profesionales específicas
adecuadas y los valores específicos para el profesional
que se forma
2. Determinación de las formas
organizativas a partir del objetivo
La forma organizativa que se selecciona para cada
clase responde a los métodos previstos para la clase y
la tipo de contenido a desarrollar.
3. Selección de las actividades de la
clase en correspondencia con el
objetivo y el contenido
Las actividades responden a los objetivos trazados, dan
salida al contenido que se trabajará en la clase, y se
estructuran en correspondencia con el nivel de dificultad
que pueda presentar el estudiante en su realización.
4. Selección de los métodos para el
desarrollo de las actividades en
correspondencia con el objetivo y el
contenido
Los métodos responden a los objetivos trazados,
permiten identificar claramente las actividades que
durante el proceso serán realizadas por el docente y
cuáles por el profesional en formación.
5. Selección de los medios a partir de
los métodos
Los medios constituyen el soporte material de los
métodos seleccionados, intervienen en el proceso de
interacción del estudiante con el contenido geométrico
para el logro de los objetivos planteados.
6. Papel asignado a los medios
tecnológicos
Se utilizan medios tecnológicos para el tratamiento de
los contenidos, en función del desarrollo de las
habilidades específicas de la geometría del espacio.
7. Diseño de las actividades de
control de los resultados, en
correspondencia con el objetivo y el
contenido
Se diseñan actividades que permiten la evaluación del
proceso y su resultado, en correspondencia con los
objetivos a alcanzar.
Anexo 2: Guía para la observación de clases.
Objetivo: Evaluar el sistema de acciones desarrolladas por el profesor para la puesta en práctica de la
clase planificada en correspondencia con los objetivos y fines de la formación del profesional de
educación Matemática.
95
Clase#: Tipo de clase:
Indicadores a evaluar: 3 2 1 0
Dimensión: Ejecución de la clase
1. Aseguramiento de condiciones para el desarrollo de la clase
2. Aseguramiento de las condiciones previas específicas ANP
3. Motivación hacia el estudio de los contenidos geométricos espaciales
4. Orientación hacia el objetivo
5. Desarrollo de actividades geométricas espaciales
6. Integración de métodos y medios en el desarrollo de las actividades
geométricas espaciales para el cumplimiento de los objetivos
7. Manejo adecuado de medios tecnológicos para el tratamiento de los
contenidos geométricos espaciales
8. Control sistemático del aprendizaje en correspondencia con los objetivos
Parámetros para la evaluación: Ídem Anexo 1
Tabla : Requisitos para cada indicador de la subdimensión ejecución de la clase.
Indicadores de la Subdimensión 1.2 Requisitos del indicador
1. Aseguramiento de condiciones para el
desarrollo de la clase
Aseguramiento de las condiciones
materiales necesarias para el tratamiento
de los contenidos geométricos espaciales
según los requerimientos en la formación
del profesional.
2. Aseguramiento de las condiciones previas
específicas ANP
Aseguramiento del nivel de partida
mediante la comprobación de los
conocimientos, habilidades y experiencias
precedentes con relación a los contenidos
geométricos espaciales. Establecimiento de
los nexos entre lo conocido y lo nuevo por
96
conocer en relación con los contenidos
geométricos espaciales.
3. Motivación hacia el estudio de los
contenidos geométricos espaciales
Lograr motivación y disposición hacia el
aprendizaje, de modo que los contenidos
geométricos adquieran significado y sentido
personal para el profesional en formación.
4. Orientación hacia el objetivo Orientación hacia los objetivos mediante
acciones reflexivas y valorativas de los
profesionales en formación teniendo en cuenta
para qué, qué, cómo y en qué condiciones van a
aprender.
5. Desarrollo de actividades geométricas
espaciales
Se realizan tareas de aprendizaje variadas e
integradoras que exigen niveles crecientes de
apropiación, en correspondencia con los
objetivos relacionados con los contenidos
geométricos espaciales.
6. Integración de métodos y medios en el
desarrollo de las actividades geométricas
espaciales para el cumplimiento de los
objetivos
Se utilizan métodos y procedimientos que
promueven la búsqueda reflexiva, valorativa e
independiente del conocimiento, se emplean
medios de enseñanza que favorezcan el
aprendizaje de métodos generales de trabajo
con el contenido geométrico espacial.
7. Manejo adecuado de medios tecnológicos
para el tratamiento de los contenidos
geométricos espaciales
Se utilizan los diferentes medios tecnológicos,
para el desarrollo de las habilidades específicas
de la geometría del espacio, en función del
desarrollo de la visualización y del pensamiento
geométrico espacial.
8. Control sistemático del aprendizaje en
correspondencia con los objetivos
Se utilizan formas ( individual y colectivas) de
control, valoración y evaluación del proceso.
97
Anexo 3: Prueba pedagógica
Estimado estudiante nos encontramos enfrascados en una investigación sobre el PEA de la geometría
del espacio, y necesitamos su colaboración en la misma, por ello es necesario que responda las
siguientes preguntas, sus respuestas serán tratadas con alto grado de confidencialidad y no afectarán
su evaluación.
1. A continuación se listan una serie de conceptos que has estudiado en la asignatura Geometría II.
a) Elabore un esquema que refleje las relaciones que se establecen entre los conceptos de la lista.
Prisma, Prisma recto, Cilindro, Cono, Pirámide, Cubo, Cuerpo geométrico, Pirámide recta, Prisma
oblicuo, Esfera, Pirámide oblicua, Cuerpo de revolución, Ortoedro.
2. La figura representa una pieza maciza en forma de cono circular recto en la que se ha excavado
una pirámide. De ella se conoce que:
La pirámide recta ABCDS tiene como base el cuadrado ABCD inscrito en la base del cono y su
altura es 𝑆𝑇.̅̅ ̅̅
T es punto donde se intersecan 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ , diagonales del cuadrado ABCD.
P es punto medio de 𝐴𝐵.̅̅ ̅̅ ̅
2.1 Completa los espacios en blanco:
En la figura:
a) Las rectas ___ y___ son paralelas
b) La rectas ___ y ___ son perpendiculares
c) Las rectas ___ y ___ son alabeadas
d) La recta ___ y el plano _____ se cortan
e) La recta ___ y el plano _____ son perpendiculares
f) La recta ___ y el plano _____ son paralelos
g) La recta ____ está contenida en el plano ____
h) Los planos _____ y _____ son perpendiculares
3. Valore la importancia que tiene el estudio del contenido de
geometría del espacio en su formación profesional.
Anexo 4: Entrevista al docente que imparte las clases de Geometría observadas.
Objetivo: Explicar los resultados arrojados durante el análisis de la concepción de las clases y la
observación de estas.
98
Estimado docente para lograr explicar los resultados obtenidos en los instrumentos que previamente se
aplicaron, necesitamos responda una serie de interrogantes todas dirigidas a las clases que le fueron
analizadas y observadas.
1. ¿Cómo selecciona el objetivo de las clases?
2. ¿Cómo selecciona el contenido de cada clase?
3. ¿Cómo selecciona la forma de organización a utilizar en cada clase?
4. ¿Cómo selecciona el método que predominará en la clase? ¿Qué acciones realiza para la puesta
en práctica de estos métodos?
5. ¿Qué acciones le permiten lograr la relación objetivo-contenido-método?
6. ¿Qué requisitos tiene en cuenta para la selección de los medios?
7. ¿Qué papel le atribuye al uso de medios tecnológicos en las clases?
8. Conoce otros medios que se puedan utilizar. ¿Cuáles?
9. ¿Qué elementos tiene en cuenta para la puesta en práctica del sistema de evaluación?
Anexo 5: Entrevista grupal a estudiantes del primer año de la carrera: Licenciatura en Educación
Matemática
Objetivo: Explicar los resultados obtenidos en la prueba pedagógica.
Estimado estudiante como parte de la investigación que se está realizando sobre el PEA de la
geometría del espacio se les aplicó recientemente una prueba pedagógica relacionada con los
contenidos geométricos espaciales. Les pedimos entonces nos respondan una serie de preguntas para
poder explicar los resultados obtenidos en la prueba.
1. Cómo consideran su preparación en los contenidos geométricos espaciales.
2. Las principales dificultades estuvieron dadas en la identificación de relaciones que se cumplen en
la geometría espacial, qué elementos considera que influyen en estas dificultades.
3. Las respuestas dadas reflejan limitaciones en la visualización espacial, a qué atribuye el poco
desarrollo de la capacidad de visualización.
4. Que medios se utilizan en clases para la comprensión del contenido geométrico espacial y el
desarrollo de la visualización espacial
5. Se usan medios tecnológicos en la clase de geometría del espacio.
6. ¿Cuáles? con qué fin.
7. Los ejercicios propuestos son contenidos de la enseñanza media fundamentalmente, qué
importancia le atribuyes al dominio de estos contenidos.
99
Anexo 6: Procesamiento de datos que arrojó el análisis del plan de clase y la observación de
clase.
Resultados de dimensión 1
Se realizará un análisis cualitativo a partir de la guía para el análisis y observación de las clases
.Se calculará un índice de calidad general de cada indicador para cada uno de los tipos de clases
observadas.
Para calcular el índice de calidad ponderan las categorías de la siguiente forma: Muy Adecuado (MA)
por 3; Adecuado(A) por 2; Poco Adecuado (PA) por 1 y No Adecuado (NA) por 0.
IÍ𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙 = 3(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑀𝐴)+ 2(𝑐𝑎𝑛𝑡𝐴)+𝑐𝑎𝑛𝑡𝑃𝐴+0(𝑐𝑎𝑛𝑡𝑁𝐴)
3(𝑇.𝑀+𝐶.𝐼)
T.M es el total de la muestra.
C.I es la cantidad de indicadores.
3 es el valor máximo otorgado.
Intervalos para la evaluación de los indicadores.
Los índices generales son valores que oscilan entre 0 y 1, el que representará una mejor calificación en
la medida en que se aproxime a 1 y peor en tanto se acerque a 0. Luego, para la traducción del valor
numérico del Índice general de cada dimensión se empleará la siguiente escala empírica.
Tabla Resultados de la Subdimensión 1.1
Clases 1.1a 1.1b 1.1c 1.1d 1.1e 1.1f 1.1g
1 3 3 2 2 2 1 3
2 3 2 2 2 2 2 3
NA PA A MA
0 0,40 0,60 0,80
1
100
3 3 3 2 2 2 2 3
4 3 2 2 2 2 2 3
5 3 3 2 3 1 0 3
6 3 2 2 2 1 0 3
7 3 3 2 3 0 0 3
8 3 2 2 2 1 0 3
9 3 2 2 2 1 0 3
10 3 2 3 2 2 1 3
11 3 2 3 3 2 2 3
12 3 2 3 3 2 0 3
13 2 2 3 2 1 1 2
14 3 2 3 2 1 0 3
15 3 2 2 3 2 0 3
16 2 3 3 2 0 2 2
17 3 2 2 1 2 2 2
18 3 2 3 2 1 1 3
19 3 2 2 2 2 0 2
Suma 55 43 45 42 27 16 53
Índice 0,71 0,55 0,57 0,53 0,35 0,2 0,67
Categoría A PA PA PA NA NA A
Tabla Resultados de la Subdimensión 1.2
Clases 1.2a 1.2b 1.2c 1.2d 1.2e 1.2f 1.2g 1.2h
1 3 3 3 3 2 2 1 3
2 2 3 2 3 2 2 2 3
3 3 3 3 3 2 2 2 3
4 2 3 2 3 2 2 2 3
5 3 3 3 3 2 3 0 3
6 3 3 2 3 2 3 0 3
7 3 2 2 3 2 3 0 3
101
8 2 3 1 2 2 2 0 3
9 3 3 3 2 3 2 0 3
10 2 3 2 2 3 2 1 3
11 2 3 3 3 3 2 2 3
12 2 3 2 2 3 3 0 3
13 3 2 3 3 1 3 0 2
14 2 3 2 3 2 2 0 3
15 3 3 1 3 1 3 1 3
16 2 3 2 3 1 3 1 2
17 2 3 3 3 1 3 1 2
18 3 2 2 3 2 2 0 3
19 2 3 3 3 1 3 0 2
Suma 47 54 44 53 37 47 13 53
Índice 0,59 0,66 0,54 0,65 0,45 0,58 0,16 0,65
Categoría PA A PA A PA PA NA A
Anexo 7: Resultados de la Prueba Pedagógica
A cada indicador se le otorgó una puntuación de 0 a 5 puntos, atendiendo al criterio de que las 19
respuestas que se obtienen en cada pregunta:
Se otorga 0 si no se supera el 60% de respuestas correctas
1 punto si son respondidos correctamente más del 60% y menos que el 70%
2 puntos si son respondidos correctamente más del 70% y menos que el 80%
3 puntos si son respondidos correctamente más del 80% y menos que el 90%
4 puntos si son respondidos correctamente más del 90% y menos que el 95 %
5 puntos si son respondidos correctamente más del 95 %
Indicador de la Puntos %
102
dimensión 2
2.1 1 20
2.2 2 40
2.3 1 20
2.4 5 100
Total 9 36
Anexo 8: Indicaciones para construir una pirámide con Cabri.
Construir primero un polígono con otra herramienta (herramienta Polígono, Triángulo, etc.) o utilizar un
polígono antes construido, que será la base, con la herramienta Pirámide seleccionar un polígono, luego
construir el vértice presionando la tecla (o seleccionar un punto situado en un plano distinto al del
polígono).
Anexo 9: Encuesta utilizada en la consulta a especialistas.
Cuestionario
Como parte del proceso de comprobación de la viabilidad de la metodología para el PEAGE con empleo
de medios tecnológicos en la carrera de Matemática, al que usted ha accedido a participar se le solicita
proceda hacer las valoraciones pertinentes sobre dicha metodología a partir los criterios que se dan a
continuación.
Para cada criterio usted puede dar un puntaje de uno (1) a cinco (5) como se indica en la tabla
siguiente:
103
Criterios 1 2 3 4 5
1-Pertinencia (adecuación con la política de formación y al contexto de
formación).
2-Actualización (adecuación a las necesidades reales).
3-Aplicabilidad (posibilidad de puesta en práctica de las acciones
propuestas).
4-Suficiencia (grado en que se satisfacen las necesidades detectadas).
5-Relevancia (grado de importancia para cubrir las necesidades que
originaron la metodología).
6-Coherencia (grado de adecuación entre sí de distintos componentes del
proceso).
7-Costo (grado en que se logra un uso moderado de la cantidad de esfuerzo
y recursos para su implementación).
Realice las valoraciones que considere necesarias para enriquecer la metodología.
Anexo 10: Tabla Resultados de la aplicación de la encuesta a especialistas.
Tabla 1 Indicadores evaluados
Suma por especialista Especialistas I II III IV V VI VII
1 5 4 4 4 4 3 4 28
2 5 4 3 4 4 3 4 27
3 5 4 3 4 5 4 4 29
4 5 5 4 4 4 5 4 31
5 5 4 5 4 4 4 4 30
6 5 4 5 4 4 3 4 29
7 5 4 4 4 5 4 4 30
8 5 4 5 5 4 4 4 31
9 5 5 5 5 4 5 4 33
104
K es el Coeficiente de aceptación; PA son los puntos acumulados; TPA es el total de puntos a acumular; N es
el máximo de puntos por pregunta (N=5); E es la suma de puntos.
10 5 3 4 5 4 3 4 28
11 5 5 5 5 4 5 4 33
PA 55 46 47 48 46 43 44 329
K 5 4,18 4,27 4,36 4,18 3,91 4 4,22
105
