Metodo Simplex. Programacion Lineal

7/23/2019 Metodo Simplex. Programacion Lineal

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Universidad de Los Andes

Facultad de Ingeniera

Escuela de Mecnica

Departamento de Tecnologa y Diseo

(Gerencia)

Produccin II

Mrida. Estado. Mrida

Mtodo Simplex.

ProgramacinLineal

Br.: Astrid Diaz

C.I.: 19.146.017

Prof. Sara Ypez


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Introduccin.

El Mtodo Simplex es un mtodo analtico de solucin de problemas de programacin

lineal capaz de resolver modelos ms complejos que los resueltos mediante el mtodo grfico sin

restriccin en el nmero de variables.

Es un mtodo iterativo que permite ir mejorando la solucin en cada paso. La razn

matemtica de esta mejora radica en que el mtodo consiste en caminar del vrtice de un

poliedro a un vrtice vecino de manera que aumente o disminuya (segn el contexto de la funcin

objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el nmero de vrtices que presenta un poliedro

solucin es finito siempre se hallar solucin.

Este famossimo mtodo fue creado en el ao de 1947 por el estadounidense George

Bernard Dantzig y el ruso Leonid Vitalievich Kantorovich, con el nimo de crear un algoritmo capaz

de solucionar problemas de m restricciones y n variables.

Existen algunas herramientas como el Excel que permiten resolver modelos deProgramacin Lineal utilizando el Mtodo Simplex. Este tipo de aplicaciones resultan de bastante

utilidad para los estudiantes de ingeniera que desean verificar si los resultados que obtienen en la

aplicacin manual del mtodo resultan ser correctos.

Algoritmo para resolver algn problema con el mtodo simplex.

Definir las ecuaciones.

Igualar la funcin objetiva igual a cero.

Introducir una variable holgura por cada una de las restricciones menores o iguales, para

convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales.

Cambiar las inecuaciones a ecuaciones.

Una mejor manera de entender esta introduccin es con un problema real:

La empresa el SAMN Ltda. Dedicada a la fabricacin de muebles, ha ampliado su produccin

en dos lneas ms. Por lo tanto actualmente fabrica mesas, sillas, camas y bibliotecas. Cada mesa

requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, y 2 piezas cuadradas de 4 pines. Cada silla requiere

de 1 pieza rectangular de 8 pines y 2 piezas cuadradas de 4 pines, cada cama requiere de 1 pieza

rectangular de 8 pines, 1 cuadrada de 4 pines y 2 bases trapezoidales de 2 pines y finalmente cada

biblioteca requiere de 2 piezas rectangulares de 8 pines, 2 bases trapezoidales de 2 pines y 4

piezas rectangulares de 2 pines. Cada mesa cuesta producirla $10000 y se vende en $ 30000, cadasilla cuesta producirla $ 8000 y se vende en $ 28000, cada cama cuesta producirla $ 20000 y se

vende en $ 40000, cada biblioteca cuesta producirla $ 40000 y se vende en $ 60000. El objetivo de

la fbrica es maximizar las utilidades.


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Imagen1. Tabla donde se encuentran todos los requerimientos de piezas por producto.

PASO 1: MODELACIN MEDIANTE PROGRAMACIN LINEAL

Las variables:

X1=Cantidad de mesas a producir (unidades).

X2=Cantidad de sillas a producir (unidades).

X3=Cantidad de camas a producir (unidades).

X4=Cantidad de bibliotecas a producir (unidades).

Las restricciones:

2X1+1X2+ 1X3+ 2X4


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2X1+2X2+ 1X3+0X4+0S1+ 1S2+0S3+0S4= 20

0X1+0X2+ 2X3+2X4+0S1+ 0S2+1S3+0S4=20

0X1+0X2+ 0X3+4X4+0S1+ 0S2+0S3+1S4=16

De esta manera podemos apreciar una matriz identidad (n = 4), formado por las variablesde holgura las cuales solo tienen coeficiente 1 en su respectivo recurso, por el ejemplo la variable

de holgura "S1" solo tiene coeficiente 1 en la restriccin correspondiente a el recurso 1.

La funcin objetivo no sufre variaciones:

ZMAX=20000X1+20000X2+20000X3+ 20000X4

PASO 3:DEFINIR LA SOLUCIN BSICA INICIALEl Mtodo Simplex parte de una solucin bsica inicial para realizar todas sus

iteraciones, esta solucin bsica inicial se forma con las variables de coeficiente diferente de cero

(0) en la matriz identidad.

1S1= 24

1S2 = 20

1S3=20

1S4 =16

PASO 4:DEFINIR LA TABLA SIMPLEX INICIAL

Imagen2. Tabla para definir la solucin en el mtodo simplex sacada del programa Excel.


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Solucin: (segundo trmino)= En esta fila se consigna el segundo trmino de la solucin,

es decir las variables, lo ms adecuado es que estas se consignen de manera ordenada, tal

cual como se escribieron en la definicin de restricciones.

Cj= La fila "Cj" hace referencia al coeficiente que tiene cada una de las variables de la fila

"solucin" en la funcin objetivo.

Variable Solucin= En esta columna se consigna la solucin bsica inicial, y a partir de

esta en cada iteracin se van incluyendo las variables que formarn parte de la solucin

final.

Cb= En esta fila se consigna el valor que tiene la variable que se encuentra a su derecha

"Variable solucin" en la funcin objetivo.

Zj= En esta fila se consigna la contribucin total, es decir la suma de los productos entre

trmino y Cb.

Cj - Zj= En esta fila se realiza la diferencia entre la fila Cj y la fila Zj, su significado es un

"Shadow price",es decir, la utilidad que se deja de recibir por cada unidad de la variable

correspondiente que no forme parte de la solucin.

Solucin inicial:

Imagen3. Llenado de tabla en Excel, segn todas las variables y valores que le corresponden a las

restricciones y la funcin objetivo.


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PASO 5:REALIZAR LAS ITERACIONES NECESARIAS

Este es el paso definitivo en la resolucin por medio del Mtodo Simplex, consiste en

realizar intentos mientras el modelo va de un vrtice del poliedro objetivo a otro.

El procedimiento a seguir es el siguiente:

1. Evaluar que variable entrar y cual saldr de la solucin ptima:

Imagen4. Concepto de cmo se llegara a la solucin mxima o mnima del problema.

Imagen5. Evaluando que variables entran y salen de la solucin ptima.

Para definir nuestra variable de Entrada, debemos buscar el valor mayor positivoque seencuentre en la columna X1, X2 y X3. En nuestro caso podemos observar que el mayor nmero

positivo es el 4 y se encuentra ubicado en la fila S4 y columna X4. En conclusin nuestra variable

de entrada ser el nmero 4.

NOTA:Si algn valor que este dentro de estas celdas es negativo, debemos llevarlo a valor

absoluto y si es mayor a los dems valores, ser nuestra variable de entrada.


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Entonces nuestra columna pivote ser la columna de X4.

Imagen6. Columna pivote.

Luego debemos definir nuestra variable de Salida. Debemos dividir cada uno de las

igualdades con las respectivas variables que les corresponde, es decir:

Imagen7. Seleccin de los valores de las igualdades en cada una de las ecuaciones y sus variables

correspondientes.

Como ya se explic anteriormente debemos dividir cada uno de los valores de las

igualdades con los su respectivo valor de la variable, es decir, en el caso de la fila S1 tenemos

como valor de igualdad 24 y su valor de variable correspondiente que se encuentra en la columna

de X4 tiene un valor de 2, sin ms rodeos se divide 24 entre 2 (24/2) y nos da como resultado 12. A

si sucesivamente hacemos con las celdas restantes.


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Imagen8. Clculo y seleccin de la variable de salida.

Para la seleccin de la variable de salida es elegir el valor menor de todos. En nuestro caso

sera el 4. Por lo tanto podemos escoger nuestra fila pivote.

Imagen9. Fila pivote.

2. Para empezar a realizar las iteraciones debemos transformar el valor de salida que tiene

como magnitud 4 a 1. Para realizar dicha trasformacin simplemente lo dividimos entre el

mismo, es decir 4/4. As mismo si modificamos el valor de salida automticamente se debe

modificar toda la fila pivote, cada uno de sus valores se divide entre 4.

Imagen10. Modificacin de la fila pivote.


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Luego que se modific la fila pivote, debemos modificar la columna pivote. Todas las

celdas que estn por encima del valor de salida debemos transformarlas en cero (0). Para eso

debemos realizar una operacin matemtica sencilla en Excel. Por ejemplo: para la fila S1 su valor

de celda en la columna pivote es de 2, para poder convertir ese 2 en 0, simplemente en Excel

realizamos la operacin =2-1*2. El valor 2 es la correspondiente a la columna pivote de la fila S1, el

valor 1 es el valor de la variable de salida que modificamos anteriormente y lo multiplicamos por el

mismo valor 2 para as darnos como resultado cero (0). Lo hemos restado ya que todos los valores

son positivos, si de alguna manera alguno es negativo simplemente en vez de restar se suma.

No solo debemos modificar esa celda, sino toda la fila S1. Sencillamente con realizar la

operacin matemtica en la celda que nos debe dar cero para la columna pivote que explicamos

anteriormente, en Excel solo arrastramos y seleccionamos todas las celdas de la fila en este caso

S1 y automticamente el programa realiza los clculos sin ningn problema.

Imagen11. Modificacin de la fila S1.

Se repite este procedimiento con las dos filas restantes, ahora se harn los clculos

correspondientes en el resto de las celdas.

Imagen12. Modificacin de todas las filas, incluyendo la columna pivote.


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3. Se realiza el llenado completo de las celdas con sus respectivas modificaciones.

Imagen13. Llenado completo de la primera iteracin.

De esta manera se culmina la primera iteracin, este paso se repetir cuantas veces seanecesario y solo se dar por terminado el mtodo segn los siguientes criterios.

Imagen14. Criterio para determinar la solucin ptima.

No solamente este criterio es vlido sino tambin todas las variables de la funcin objetivo

que para nuestro casi es X1, X2, X3 y X4; sus valores en cada uno de sus celdas deben tener una

variable de salida con valor a 1, y las dems celdas con valores a cero (0). As mismo nuestra

segunda iteracin ser como columna pivote la variable X2 y realizamos los pasos explicados

anteriormente.


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Imagen15. Segunda iteracin.

Todava no se cumple el criterio y la columna X1 y X3 todava no tiene como valor 1 la

variable de salida y las dems celdas con valores a cero (0), debemos realizar otra iteracin para

eso la siguiente ser como columna pivote X1 y se realiza los pasos anteriores.

Imagen16. Tercera iteracin.

Podemos observar que no se cumple el criterio y la columna X3 todava no tiene como

valor 1 la variable de salida y las dems celdas con valores a cero (0), debemos realizar otra

iteracin para eso la siguiente ser como columna pivote X3 y se realiza los pasos anteriores.


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Imagen17. Cuarta iteracin.

En esta ltima iteracin podemos observar que se cumple con la consigna Cj - Zj


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esquina que tiene potencial de mejorar el valor de la funcin objetivo. Es un mtodo en la cual sus

clculos son tediosos y voluminosos, lo que hace que la computadora sea una herramienta

esencial para resolver problemas de programacin lineal.

El mtodo Simplex es un mtodo secuencial de optimizacin, es un procedimiento iterativo

que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguirmejorando ms dicha solucin.

Deber tenerse en cuenta que este mtodo slo trabaja para restricciones que tengan un tipo

de desigualdad "=" y coeficientes independientes mayores o iguales a 0, y habr que estandarizar

las mismas para el algoritmo.

Bibliografa.

Investigacin de operaciones. Escrito por Hamdy A. Tah. Sptima Edicin. Editorial

PEARSON EDUCACION, Mxico, 2004.

El mtodo simplex. Simplex Primal. Yesid Ariza Osorio. Asesoramiento Empresarial yGestin Capacitacin y Entrenamiento. Diapositiva descargada de Slide Share.

Tutoriales Mtodo Simplex Usando Excel. Visto por Youtube.

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