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Método Simplex
Profa. Úrsula Lisbôa Fernandes Ribeiro
28 de agosto de 2008
Problema de PLUm empreendedor decidiu comerciar barcos.
Depois de empregar alguns trabalhadores e de descobrir os preços aos quais venderia os modelos, chegou às seguintes observações: cada modelo comum rende um lucro de R$ 520,00, e cada modelo rápido rende um lucro de R$ 450,00. Um modelo comum requer 40 horas para ser construído e 24 horas para o acabamento. Cada modelo rápido requer 25 horas para a construção e 30 horas para o acabamento. Este empreendedor dispõe de 400 horas de trabalho por mês para a construção e 360 horas para o acabamento. Quanto deve produzir de cada um dos modelos de maneira a maximizar o lucro?
Montagem do Modelo
–Variáveis de decisão
• x1: quantidade de barcos a produzir do Modelo Comum
• x2: quantidade de barcos a produzir do Modelo Rápido
–Função-objetivo
• Qual o objetivo?
Maximizar o lucro. 21 x450x520L
– Conjunto de restrições
• Tempo para construção
• Tempo para acabamento
utilização de recurso disponibilidade do recurso
1 240x 25x 400
1 224x 30x 360
Modelo
1 2
1 2
1 2
1 2
Maximizar L = 520x 450x
40x 25x 400
sujeito a: 24x 30x 360
x 0, x 0
Restrições de não-negatividade
Procedimento do Método Simplex
Passo 1: Introduzir as variáveis de folga.
1 2 3 4
1 2 3
1 2 4
1 2 3 4
Maximizar L = 520x 450x 0x 0x
40x 25x x 400
sujeito a: 24x 30x x 360
x 0, x 0, x 0, x 0
1ª Iteração
Passo 2: Montagem do quadro de cálculos.
0x450x520L 21
BASE x1 x2 x3 x4 b
x3
x4
L
40 25 1 0 400
24 30 0 1 360
-520 -450 0 0 0
Passo 3: Escolha da solução básica viável inicial.
– Variáveis não-básicas:
– Variáveis básicas:
– Função objetivo:
0xx 21
360x
400x
4
3
0L
Passo 4: Variável que deve entrar na base.
– Qual é o produto que mais contribui para o lucro?
1x
Passo 5: Variável que deve sair da base.
Divisões:
1ª linha:
2ª linha:
O menor quociente ocorreu na 1ª linha. Logo, a variável que deve sair é .3x
1040/400 1524/360
BASE x1 x2 x3 x4 b
x3 40 25 1 0 400
x4 24 30 0 1 360
L -520 -450 0 0 0
Pivô
Passo 6: Transformação da matriz.
Deverão ser realizadas as operações com as linhas da matriz, de forma que a coluna de venha a se tornar um vetor identidade, com o elemento 1 na 1ª linha.
1x
1ª operação: Dividir a 1ª linha por 40.
BASE x1 x2 x3 x4 b
x3
x4
L
1 0,625 0,025 0 10
24 30 0 1 360
-520 -450 0 0 0
2ª operação: Substituir a 2ª linha pela soma dela mesma com a 1ª linha multiplicada por (-24).
3ª operação: Substituir a 3ª linha pela soma dela mesma com a 1ª linha multiplicada por 520.
122 L24LL
133 L520LL
Assim, obtemos o seguinte quadro:
BASE x1 x2 x3 x4 b
x1
x4
L
1 0,625 0,025 0 100 15 -0,6 1 120
0 -125 13 0 5200
Nova solução:
– Variáveis não-básicas:
– Variáveis básicas:
– Função objetivo:
Passo 7: Voltar ao passo 4.
0xx 32
120x
10x
4
1
5200L
BASE x1 x2 x3 x4 b
x1 1 0,625 0,025 0 10
x4 0 15 -0,6 1 120
L 0 -125 13 0 5200
Pivô
Passo 4: Variável que deve entrar na base:
Passo 5: Variável que deve sair da base:
Divisões:1ª linha:2ª linha:
O menor quociente ocorreu na 2ª linha. Logo, a variável que deve sair é .
2ª Iteração
2x
4x
16625,0/10 815/120
Passo 6: Transformação da matriz.
Encontrar o vetor identidade para a variável com o elemento 1 na 2ª linha.2x
1ª operação: Dividir a 2ª linha por 15.
BASE x1 x2 x3 x4 b
x1
x4
L
1 0,625 0,025 0 10
0 1 -0,04 1/15 8
0 -125 13 0 5200
2ª operação: Substituir a 1ª linha pela soma dela mesma com a 2ª linha multiplicada por (-0,625).
3ª operação: Substituir a 3ª linha pela soma dela mesma com a 2ª linha multiplicada por 125.
211 L625,0LL
233 L125LL
BASE x1 x2 x3 x4 b
x1
x2
L
Assim, obtemos o seguinte quadro:
1 0 0,05 -0,042 50 1 -0,04 1/15 8
0 0 8 125/15 6200
Nova solução:
– Variáveis não-básicas:
– Variáveis básicas:
– Função objetivo:
Passo 7: Voltar ao passo 4.
0xx 43
8x
5x
2
1
6200L
Passo 4: Ao procurarmos a próxima variável que deve entrar na base, verificamos que todos os coeficientes da 3ª linha são positivos ou nulos, o que significa que qualquer aumento no valor das variáveis não-básicas faria diminuir o valor de L. Logo, concluímos que a solução encontrada é ótima.
3ª Iteração
Resposta (Solução ótima)
5 barcos modelo comum
8 barcos modelo rápido
Lucro = 6200 reais