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MEtodo computacional para pendulo
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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE
Escola Superior de Cincias Marinhas e Costeiras
Oceanografia
III nvel
MODELAO E SIMULAO DOS PROCESSOS OCEANICOS
Modelao de um pndulo simples
Discentes: Docente:
Edson da Conceio Matos Prof.Dr. Fialho Nehama
Quelimane, Agosto de 2013
Modelo de Pndulo Simples
UEM ESCMC
MODELAO E SIMULAO DOS PROCESSOS OCEANICOS
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Modelo de Pndulo Simples
UEM ESCMC
MODELAO E SIMULAO DOS PROCESSOS OCEANICOS
3
ndice pag
Introduo ......................................................................................................................................... 4
Objectivos Geral................................................................................................................................ 5
Especifico ...................................................................................................................................... 5
Mtodos Utilizados............................................................................................................................ 5
Clculo da E.D.O. de 2. Ordem do pndulo simples no Programa Matlab 7.0 ................................ 8
Resultados ....................................................................................................................................... 11
Discusso ........................................................................................................................................ 12
Concluso ....................................................................................................................................... 13
Referncia Bibliogrfica .................................................................................................................. 14
Modelo de Pndulo Simples
UEM ESCMC
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1. Introduo
Actual mente, a automao de sistemas de controles est se tornando cada vez mais associada com o
expressivo sector da informtica. Vrios tipos de controle so construdos, de maneira acelerada,
por sofisticados mtodos e recursos da computao. Abundantemente, podemos encontrar no campo
industrial, alguns desses sistemas de controles automticos: inovao espacial e blica, robtica,
transportes, sector de montagem automatizada, produo de equipamentos, controle de qualidade,
entre outros.
Desta forma, o controle torna-se indispensvel na vida moderna, de forma contnua e diversificada de
actuao, com abrangncia completa e ampla, em que o uso de sistemas automticos de controle tem
se difundido em larga escala, podendo mesmo ser considerados como alicerces para o
desenvolvimento tecnolgico. E entre os muitos desses sistemas existentes, podemos citar o pndulo
simples e o invertido.
A principal relevncia do pndulo simples a convenincia de possibilitar a determinao da
gravidade e tambm na verificao do movimento rotacional terrestre. E no caso especfico do
pndulo invertido, do ponto de vista tecnolgico, este sistema de extrema relevncia aos estudos e
pesquisas nesta rea, pois possibilita o esclarecimento dos problemas prticos integrados, que so
empregados no controle de sistemas na actualidade.
O pndulo simples constitudo por um corpo suspenso num fio leve e inextensvel. Quando
afastado da posio de equilbrio e solto, o pndulo oscila no plano vertical, em torno do
ponto de fixao do fio, por aco da gravidade. O seu movimento, rege-se pela lei de
Newton.
A originalidade do pndulo reside no fato de possuir liberdade de oscilao em qualquer
direco, ou seja, o plano pendular no fixo. A rotao deste se d com a rotao da Terra e
sua velocidade e direco de rotao permitem, igualmente, determinar a latitude do local da
experincia sem nenhuma observao astronmica exterior.
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2. Objectivos Geral
O objectivo geral do trabalho de modelar o movimento do pndulo, a variao da
velocidade e da elongao em funo do tempo para a soluo numrica e analtica.
2.1. Especifico
Analisar e modelar o movimento do pndulo especificamente a variao da velocidade e da
elongao versus tempo de no intervalo de zero a trs mil e seiscentos segundos para a
soluo numrica e analtica.
3. Mtodos Utilizados
A reviso bibliogrfica foi utilizada durante o desenvolvimento do trabalho, visando a
fundamentao terica dos assuntos referentes ao tema em questo, explorando
principalmente os aspectos de modelao, tanto de mbito fsico e matemtico. Para isto
foram consultadas pginas electrnicas, relatrios, e livros. usou-se o programa Matlab7.0
instalado no computador porttil INSYS StyleNote 2 CT49 Para se fazer correr o modelo do
pndulo simples Fig.1,
Fig.1 O pndulo simples e as forcas actuantes consideradas na modelagem simplificada
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Calculou-se Equaes Diferenciais Ordenarias (E.D.O) da segunda ordem
Usou-se equao diferencial ordinria que descreve o movimento angular do pndulo que obtida a partir das leis de Newton:
F = m.a (1)
(2)
(3)
Neste caso a condio inicial (condio de contorno) do problema q (0) =q0 (ngulo inicial
do pndulo).
Calculando a soluo da E.D.O de 2 ordem (3) atravs do Mtodo de Runge_Kutta de 2
ordem, de seguida converteu-se em um sistema de E.D.O de 1 ordem:
(4)
De modo a obter o sistema de E.D.O de 1 ordem:
(5)
Com condies iniciais (0) = 0 e P(0) = P0.
De seguida calculou-se a equao (5) de forma a resolver este sistema de equaes afim de
obter o valor da varivel p, e a equao (6) para obter a soluo em cada intervalo de
tempo.
A partir da aplicao de mtodo de Runge-Kutta nas equaes (5) e (6) resultou:
)
(6)
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K1 = Pi , K2 = Pi
Considerou-se os seguintes valores numricos: g = 9.8m/s2 , l = 0.5m , (0) = 60 e p(0) =
d/dt = 0 (velocidade inicial), usando o Mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem (h = t = 0,01
s), verifica se instabilidade das solues para os valores crescentes de tempo Fig2.
Fig. 2. 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-
10segundos.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
-5
0
5
10Elongao dum pndulo simples
T [s]
Elo
ngao [
m]
Soluo Numrica
Soluo Analtica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
-5
0
5
10Velocidade dum pndulo simples
Tempo [s]
Velo
cid
ade [
m/s
] Soluo Numrica
Soluo Analtica
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Usando o Mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem com (h = t = 0,001 s) com valores
numricos: g = 9.8m/s2 , l = 0.5m , (0) = 60 e p(0) = d/dt = 0 (velocidade inicial), as
solues so estveis e no apresenta instabilidade na resposta para tempos crescentes fig3.
Fig3 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-10
segundos.
4. Clculo da E.D.O. de 2. Ordem do pndulo simples no Programa Matlab 7.0
Usou-se o Mtodo de Runge - Kutta de 2 ordem com condies de contorno: p(0) = 0, q(0) =
60
clear;
% constantes para o clculo da elongao e velocidade:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5
0
5Elongao dum pndulo simples
T [s]
Elo
ngao [
m]
Soluo Numrica
Soluo Analtica
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-5
0
5Velocidade dum pndulo simples
Tempo [s]
Velo
cid
ade [
m/s
] Soluo Numrica
Soluo Analtica
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t(1) = 0; % tempo inicial
p(1) = 0; % velocidade angular
q(1) = 60; q(1) = q(1)*pi/180; % Converso de ngulo de graus para radianos
g = 9.81; % Acelerao da gravidade
L = 0.5; % Comprimento do pndulo
%Condies
h = input('Incremento h: '); % (h = t)
tf = input('Valor final de t: ');% tempo final
n = floor((tf - t(1)) / h + 1); % Nmero de intervalos
for i = 1:n-1
t(i+1) = t(i) + h;
% Mtodo de Runghe-Kutta de 2a ordem
% Calculo da p(t) para a soluo numrica
k11 = -g/L*sin(q(i));
k21 = -g/L*sin(q(i));
p(i+1) = p(i) + h/2*(k11 + k21);
% Calculo de q(t) para a soluo analtica
k12 = p(i);
k22 = p(i);
q(i+1) = q(i) + h/2*(k12 + k22);
end
% Grficos das solues analtica e numrica de p(t) e q(t)
% Graficos das solucoes de p(t) e q(t)
figure(2); clf;
subplot(2,1,1)
plot(t,p,'color','g');
subplot(2,1,2)
plot(t,p,'color','k');
figure(3);clf;
subplot(2,1,1)
plot(t,p,'.b')
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hold on
plot(t,q,'k')
title('Elongao dum pndulo simples','fontsize',14)
legend('Soluo Numrica','Soluo Analtica')
xlabel('T [s]')
ylabel('Elongao [m]')
grid
subplot(2,1,2)
plot(t,p,'.r')
hold on
plot(t,q,'color','k')
title('Velocidade dum pndulo simples','fontsize',14)
legend('Soluo Numrica',' Soluo Analtica')
xlabel('Tempo [s]')
ylabel('Velocidade [m/s]')
grid
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5. Resultados
No estudo feito resulto se na Fig.4 a ilustrao da variao da elongao e velocidade angular
p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de zero a trs mil e
seiscentos segundos, a elongao os valores da soluo numrica e analtica no
apresentaram variaes considervel nos primeiros segundos na condio de h = t = 0.001 s,
mais com o aumento do tempo verifica se uma instabilidade cresce provavelmente por terem
percorrido diferente espao e em unidade de tempo similares.
Fig. 4 o 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo.
0 20 40 60 80 100 120-10
-5
0
5
10Elongao dum pndulo simples
T [s]
Elo
ngao [
m]
Soluo Numrica
Soluo Analtica
0 20 40 60 80 100 120-10
-5
0
5
10Velocidade dum pndulo simples
Tempo [s]
Velo
cid
ade [
m/s
] Soluo Numrica
Soluo Analtica
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Na Fig.5 com a condio de h = t = 0.01 s no intervalo de 0-3600 segundos, verifica se a
instabilidade os valores das solues crescem na medida em que o tempo aumenta nota se um
aumento brusco nos primeiros segundos para a elongao tanto para a velocidade, a diferena
de pequena escala no espao da na soluo analtica Fig.2 e no mesmo tempo.
Fig. 5. 1 Grfico ilustra elongao na soluo numrica o 2 grfico ilustra a variao da
velocidade angular p = d/dt e do deslocamento angular versus tempo no intervalo de 0-
10segundos.
6. Discusso
Tendo usado o Mtodo de Runge-Kutta de 2 ordem para a modelagem de pndulos simples
com (h = t = 0,001s no intervalo de tempo(s) de 0-100 na Fig.4, e para h = t = 0,01 no
intervalo de 0-3600s na Fig.4) e valores numricos g = 9.8m/s2 , l = 0.5m , (0) = 60 e p(0)
= d/dt = 0 (velocidade inicial), o processamento de dados levou mais de 6 horas de tempo e
por fim o programa de para a o plote dos grficos, num computador com a Unidade de
Central de Processamento (CPU) de 1.86GHz e Memria de acesso aleatrio (RAM) de 2Gb,
com estas condies precisaremos de fazer uma diminuio do tempo caso for para analises
imediatas no intervalo de 0-10segundos ilustrado na Fig.2 e Fig.3.
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-50
0
50
100
150Elongao dum pndulo simples
T [s]
Elo
ngao [
m]
Soluo Numrica
Soluo Analtica
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-50
0
50
100
150Velocidade dum pndulo simples
Tempo [s]
Velo
cid
ade [
m/s
] Soluo Numrica
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7. Concluso
A pois feito o estudo pode-se concluir que a velocidade na soluo analtica ronda nos 1m/s
positivo e negativo e na soluo numrica varia de 5m/s, verificando se o mesmo para a
elongao do pndulo no intervalo de tempo de 0-10segundos sendo h = t = 0,001 s, para o
caso em que tivermos o intervalo de tempo variando de 0-100segundos verifica se a
intabilidade nas solues, isto deve se ao aumento de tempo, em quanto para a soluo a
velocidade e a elongao varia entre 0,5 positivo e negativo nos primeiros segundos, no
incremento de h = t = 0.01s para o intervalo de tempo de 0-3600 segundos, a elongao
aumenta e rondam entre 120 m e tendo se verificado o mesmo na velocidade.
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8. Referncia Bibliogrfica
RIBEIRO, R. Implementao de um Sistema de Controle de um Pndulo Invertido. Dissertao (Mestrado em Engenharia Eltrica) Programa em Ps-Graduao em Engenharia Eltrica. Itajub: UNIFEI, 2007. Disponvel em: Acesso em: 20
jan. 2012.
PET MATEMTICA UFSM; Noes Bsicas de Utilizao e Programao em MATLAB. Santa
Maria, 2008.
CHAPMAN, S.J.; Programao em MATLAB para engenheiros. Traduo tcnica: Flvio Soares
Correa da Silva, So Paulo, Thomson Learning, 2006.
LIMA, F. A. de; et al. Desenvolvimento de uma Plataforma Experimental para o Ensino de Controle de Processos. In: II Congresso de Pesquisa e Inovao da Rede Norte Nordeste de
Educao
Tecnolgica, 2007. CD-ROM.
http://www.demar.eel.usp.br/metodos/programas.html