INTRODUCCIN

El presente trabajo de investigacin tiene por objetivo hacer conocer el mtodo o Afijacin Neyman y se pretende tener un material didctico que sirva de apoyo en el desarrollo el curso de Teora de muestreo de la carrera de Administracin.En ste trabajo se encuentra el muestreo aleatorio, la afijacin Neyman , su historia, as como el clculo del tamao de estratos, las ventajas y desventajas de hallar ste mtodo, las formulas y ejercicios propuestos que darn mayor entendimiento al tema.

MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADOUn muestreo aleatorio estratificado es aquel en el que se divide la poblacin de N individuos, en k subpoblaciones o estratos, atendiendo a criterios que puedan ser importantes en el estudio (sexo, grupo de edad, nivel de estudios, lugar geogrfico, tamao del municipio, etc), de tamaos respectivos N1, ..., Nk, y realizando en cada una de estas subpoblaciones muestreos aleatorios simples de tamao ni. AFIJACIN NEYMANEn el ao 1934, DersyNeyman investigo matemticamente el problema de cal podra ser la distribucin de la muestra en los estratos que diera el menor error de muestra posible. Encontr que la respuesta consista en dejar que la tasa de muestreo en cada estrato variara con la cantidad de variabilidad de cada estrato, en otras palabras hacer la tasa de muestreo en un estrato dado proporcional a la desviacin estndar en ese estrato. En esa forma el nmero de elementos a extraer para la muestra en cada estrato dependera no solo del nmero total de elementos total del estrado sino tambin de la desviacin estndar de la caracterstica que se va a medir.Para esta afijacin ptima el nmero de elementos que se selecciona en un estrato est dado por la frmula:

Con una afijacin ptima el error estndar de la media se reduce a:

Para aplicar este tipo de afijacin, es necesario conocer los valores de en el universo.

MTODO DE NEYMANPara realizar un muestreo estratificado por primera vez, lo ms prctico es disear un muestreo preliminar exploratorio que permita conocer el valor de los estimadores de la poblacin y las varianzas de cada estrato. Este primer muestreo debe de planearse en tamao de acuerdo a la situacin real de la poblacin (varianzas estimadas) para que no sea necesario incrementar el nmero de observaciones una vez que se conocen los datos. En el primer muestreo se debe calcular el valor n, que es el tamao de la muestra necesaria para tener los lmites de error preestablecidos. Si n es mayor que la muestra inicial, entonces es necesario recolectar nuevas observaciones y el mtodo de Neyman va a ayudar para determinar de qu tamao debe ser la muestra de cada estrato. El Mtodo Neyman tiene la ventaja de que incorpora el factor costo, ya que uno de los objetivos del muestreo es recolectar la mayor cantidad de informacin, con mayor precisin y al menor costo. Levantar una encuesta va telefnica es evidentemente ms barato que levantar una encuesta en un poblado lejano donde es difcil establecer un medio de comunicacin. Mtodo de Neyman para el clculo del tamao de estratos.FRMULA: Siendo: Notacin.El subndice h indica el estrato, h=1,2,..., L=/N peso del estrato h-simo = Varianza para cada estrato = Estimador para el error= nmero de elementos en el estrato h de la poblacin. =nmero de elementos del estrato h en la muestra.N= tamao de la poblacin N h Nn tamao de la muestra n h n= Valor obtenido en la i-sima unidad del h-simo estrato. =/fraccin de muestreo en el estrato h-siMTODO DE NEYMAN PARA EL CLCULO DEL TAMAO DE ESTRATOS

En el mtodo Neyman es necesario conocer para cada estrato: El tamao total (o su estimador), la desviacin estndar (que se obtiene de informacin previa o de la muestra exploratoria) y el costo de recolectar una encuesta en cada estrato.

Notacin: =Tamao del estrato

=tamao de la muestra del estrato i

El subndice i denota la unidad dentro del estrato.n= tamao de la muestra= Varianza muestral del estrato i = Coste de una observacin del estrato = peso del estrato L= nmero de estratosN=Tamao de la poblacin = media poblacional del estrato=total poblacional del estrato i =varianza poblacional del estrato i= media muestral del estrato i=proporcin muestral del estrato i

VENTAJAS: Es econmico. Es rpido y controlable. Se obtiene una observacin rpida y exacta con un mayor control. Sus resultados pueden ser precisos o amplios por utilizar personal especializado.

DEVENTAJAS: Requiere de personal altamente calificado. No se permite hacer proyecciones sobre reas muy pequeas de la poblacin o sobre poblaciones sujetas a muchos cambios en un lapso corto de tiempo. Los resultados estn sujetos a los errores del muestreo. Se debe tener en cuenta siempre la poblacin.

MTODO DE NEYMAN PARA EL CLCULO DEL TAMAO DE ESTRATOS

En el mtodo Neyman es necesario conocer para cada estrato: El tamao total (o su estimador), la desviacin estndar (que se obtiene de informacin previa o de la muestra exploratoria) y el costo de recolectar una encuesta en cada estrato. Los datos se pueden concentrar en una tabla.

El siguiente paso es calcular la ecuacin que se muestra para cada estrato en una columna extra.

NisiCiNisi/ci

Estrato 111708.2 3.005539.10

Estrato 29808.0 2.804685.30

Estrato 39208.2 3.004355.53

Estrato 412107.63.305062.23

19642.16

Para continuar con los clculos es necesario sumar la columna recin calculad

Para cada estrato se calcula el valor wiNisiciNisi/ciwi

Estrato 111708.2 3.005539.100.282

Estrato 29808.0 2.804685.300.239

Estrato 39208.2 3.004355.530.222

Estrato 412107.63.305062.230.258

19642.16

El ltimo paso es multiplicar cada valor wi por n (tamao de la muestra total) y se tendr el tamao de la muestra de cada estrato.NiSiCiNisi/ciWiSi n=65ni

Estrato 111708.2 3.005539.100.28218.33

Estrato 29808.0 2.804685.300.23915.50

Estrato 39208.2 3.004355.530.22214.41

Estrato 412107.63.305062.230.25816.75

19642.16

Pgina 6

ERCICIOS PROPUESTOSEn una poblacin cuyas caractersticas son conocidas:EstratoWS

I0,454

II0,355

III0,206

E1= 0,8 E2= 1,02 E3= 2Z= 1,96 N= 200Determinar el tamao de la muestra, de acuerdo al Mtodo de Asignacin de Neyman.DESARROLLO:Para ello debemos tener en cuenta la siguiente frmula:

Pgina 22

Para el I ESTRATO:

1. Hallar

=43, 218

2. Hallar= 200 (0,45) = 903. Hallar el tamao de muestra corregido

Para el II ESTRATO:1. Hallar

32, 31

Para el III ESTRATO:1. Hallar

6, 91

2. Hallar = 200 (0,35) = 703. Hallar el tamao de muestra corregido

22

2. Hallar = 200 (0,20) = 403. Hallar el tamao de muestra corregido

6

MUESTREO ESTRATIFICADO CON ASIGNACIN DE NEYMANCuando existen marcadas diferencias en la variabilidad de las observaciones dentro de los estratos, es recomendable utilizar la asignacin de Neyman, ya que adems de tener en cuenta el tamao de los estratos se tiene en cuenta la dispersin de los datos dentro de cada estrato. De esta manera se obtendr una muestra ms grande de aquellos estratos que sean ms heterogneos.Tamao de muestra para estimar la media con asignacin de Neyman

Para repartir la muestra entre los estratos se utiliza la siguiente expresin: EJEMPLO: Se desea hacer un estudio sobre produccin media de madera aserrada en los EE.UU.Todos los aserradores han sido agrupados en estratos, de acuerdo con la produccin. Hace 5 aos se hizo un estudio similar en donde se estim la desviacin estndar de la produccin (en miles de pies de tabla). Por lo tanto, se dispone de la siguiente informacin:EstratoProduccin anualN aserraderosDesviacin Estndar

15,000 Y +5389,000

21,000-4,9994,7561,200

3Menos de 1,00030,964300

Determine el tamao de muestra necesario para estimar la produccin media de madera con un error mximo de 25,000 pies de tabla y una confiabilidad del 95%

Solucin: N= 36,258 k=1.96

El error mximo es de 25,000 pies, pero se debe tener en cuenta que la produccin est dada en miles, por lo tanto se divide por 1.000, es decir que Considerando la diferencia en el tamao de los estratos y en las desviaciones estndar se trabaja con muestreo estratificado con la asignacin de Neyman. Para determinar el tamao de la muestra se utiliza la ecuacin 6.30 y para repartir la muestra en los estratos se usa la ecuacin 6.31Se debe tomar una muestra de 1,473 aserraderos, repartidos as: 360 en el estrato uno, 424 en el estrato dos y 690 en el estrato tres.

Tamao de muestra para estimar el total con asignacin de Neyman

La muestra se reparte entre los estratos utilizando la expresin 6.31Ejemplo: La fbrica de tapas, desea determinar el tamao de muestra necesario para estimar la produccin total, con un error mximo de 90,000 tapas y una confiabilidad del 95% Solucin:Se considera que la informacin suministrada en el ejemplo 6.7 corresponde a una muestra piloto, de la cual se utilizan las varianzas obtenidas que son :

Teniendo en cuenta la gran diferencia presentada en las varianzas de los tres estratos y la diferencia en el tamao de dichos estratos, el tipo de muestreo adecuado es el estratificado con asignacin de Neyman.La formula para calcular el tamao de la muestra es la 6.32 y para reapartirla en los estratos, se utiliza la ecuacin 6.31N= 400 k=1.96

Por lo tanto, estimar la produccin total con un error mximo de 90,000 tapas y una confiabilidad del 95%, se debe seleccionar una muestra de 69 mquinas, repartirlas asi: 15 manuales, 24 semiautomticas y 30 automticas Tamao de muestra para estimar la proporcin con asignacin de Neyman

Para estimar la muestra entre los estratos se utiliza la expresin: Muestreo estratificado con asignacin ptima: Cuando adems de tener marcadas diferencias en la dispersin o variabilidad dentro de los estratos, el costo para obtener la informacin de un estrato a otro vara, se recomienda utilizar la asignacin ptima. Con sta asignacin se tiene en cuenta el tamao de los estratos, la dispersin o variabilidad dentro de ellos y el costo para recopilar la informacin. Tamao de muestra para obtener la media con asignacin ptima

Dnde: ch = costo de hacer una observacin individual en el estrato h.Una vez obtenido el tamao de la muestra, se reparte entre los estratos utilizando la siguiente expresin

Tamao de muestra para obtener el total con asignacin ptima

Una vez obtenido el tamao de la muestra, se reparte entre los estratos utilizando la siguiente expresin

Tamao de muestra para estimar la proporcin con asignacin ptima

Dnde: ch = costo de hacer una observacin individual en el estrato h. La muestra se reparte entre los distintos estratos, utilizando la expresin

TEOREMA[Asignacin de Neyman] Sea E una poblacin con N elementos, dividida en k estratos, con Ni elementos cada uno de ellos,i=1,,k

Sea n el nmero total de elementos al realizar el muestreo, y que se dividen en cada estrato como

Sea X la v.a. que representa el carcter que intentamos estudiar. Sobre cada estrato puede definirse entonces la v.a.

Como el valor medio de X obtenida en una muestra de tamao ni en el estrato Ei. Sea Var[Xi] la varianza de dicha v.a.; Entonces

Se minimiza cuando

Donde

ESTIMACIN DE PROMEDIOS Y TOTALESEstimador del promedio y del total de ingresos por familia.Las Medias aritmticas y Varianzas del Ingreso (en miles soles) por familia son:x1= 1.041,18 x2= 2.011,54 x3= 3.181,67 s12 = 26.611,03s22= 40.430,77s32= 195.256,67n1 = 17n2 = 13 n3 = 6N=355 N1=162 N2=132 N3=61 Estrato I

Estrato II

Estrato III

La estimacin puntual:Xst=WhXh=0,46(1.041,18)+0,37(2.011,54)+0,17(3.181,67) =1.764,10El estimador de la varianza para el clculo del de estimacin:

Vxst= =1.545,76

Sxst= = 39,32Los lmites del 95% para el promedio:Xstsi= XsttSxst1.844,12Xstsi= 1.764,10 2,035 (39,32) 1.684,08V= n1+n2+n3-3=17+13+6-3=33Siendo: =0,05, se tendr que el valor de t=2,035Para el total estimado:Xstsi= NXsttNSxst654.662,60Xstsi= (355)1.764,10 2,035(355) (39,32)597.848,40

EJERCICIOS PROPUESTOSEn una poblacin cuyas caractersticas son las siguientes:EstratoWP

I0,460.43

II0,370.80

III0,170.33

E1= 0.1 E2= 0.1 E3= 0.1Z= 1,96 N= 352Determinar el tamao de la muestra, por medio de la estimacin de una proporcin.DESARROLLO:Para ello debemos tener en cuenta la siguiente frmula:

Para el I ESTRATO:1. Hallar

=43, 31

2. Hallar= 352 (0,46) = 1623. Hallar el tamao de muestra corregido

Para el II ESTRATO:1. Hallar

22,74

2. Hallar = 352(0,37) = 1303. Hallar el tamao de muestra corregido

19

Para el III ESTRATO:1. Hallar

14,44

2. Hallar = 352 (0,17) = 603. Hallar el tamao de muestra corregido

12

n= 34+19+12n=65

CONCLUSIN

Proporcionar conocimientos bsicos de inferencia estadstica, regresin, series de tiempo y muestreo, necesarios para el desarrollo de una investigacin o en el desempeo profesional.

RECOMENDACIONES Cuando existen marcadas diferencias en la variabilidad de las observaciones dentro de los estratos, es recomendable utilizar la asignacin de Neyman, ya que adems de tener en cuenta el tamao de los estratos se tiene en cuenta la dispersin de los datos dentro de cada estrato. De sta manera se obtendr una muestra ms grande de aquellos estratos que sean ms heterogneos.

BIBLIOGRAFAMartnez Bencardino, CiroEstadstica y muestreo / Ciro Martnez Bencardino. -- 13. ed. -- Bogot :EcoeEdiciones, 2012.900 p. (Ciencias exactas. Matemticas)Pag. 763

http://www.angelfire.com/sc/matasc/EyD/bioesta/muestreo.htm

Hoja1n de ordeningresos mensuales (miles soles)

113502124031010479051130685078908126091060109501110801295013108014860151260169501799017700

Hoja1n de ordeningresos mensuales (miles soles)

12350218303218042020516506192072150819609200010226011176012214013193026150

Hoja1n de ordeningresos mensuales (miles soles)

13210229603346043870526006299019090