MÉTODO GENERAL PARA LA DEMOSTRACIÓN DE … · algoritmo general para pensar demostraciones matemáticas; dicho método se basa en la metacognición de los procesos de comprensión

MÉTODO GENERAL PARA LA DEMOSTRACIÓN DE

PROPOSICIONES MATEMÁTICAS

Carlos Alberto Díez Fonnegra [email protected]

Trabajo de grado para optar por el título de matemático

Director: Ing. Pervys Rengifo Rengifo

Konrad Lorenz- Fundación Universitaria Facultad de Matemáticas e Ingenierías

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RESUMEN

Se ha desarrollado un método general para demostrar proposiciones matemáticas, que está basado en

estrategias metacognitivas. Para esto, se hace detallada descripción de las técnicas de demostración más

comunes y de los errores lógicos que se suelen cometer al demostrar. Tanto las primeras como los

segundos se integran en el método, dando así estructura al proceso demostrativo matemático.

ABSTRACT

General method to proof mathematical statements:

A general method based on metacognitive strategies has been developed to proof mathematical

statements. For this, there is a detailed description of the most common proof techniques and logical

mistakes that are usually commited when proving. The first ones as well as the second ones are

integrated in the method, giving structure to the mathematical proving process.

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ÍNDICE GENERAL

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 4

UN DIÁLOGO ILUSTRADOR........................................................................................................................... 7

1. PRELIMINARES ......................................................................................................................................... 9

1.1. ¿POR QUÉ UN MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR? ......................................................................................... 9

1.2. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE UNA PRUEBA QUE PRUEBE Y UNA QUE EXPLIQUE? ................................................... 10

1.3. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR UNA DEMOSTRACIÓN Y PENSAR UNA DEMOSTRACIÓN? ................................ 11

1.4. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA ENTRE ESCRIBIR BIEN LAS DEMOSTRACIONES Y SABER DEMOSTRAR? .................................... 11

2. CONCEPTOS DE BASE ............................................................................................................................. 12

2.1. ¿QUÉ ES DEMOSTRAR UNA PROPOSICIÓN MATEMÁTICA? ................................................................................... 12

2.2. ¿CUÁLES SON LOS PRELIMINARES LÓGICOS Y DE LENGUAJE MATEMÁTICO QUE SE NECESITAN PARA COMPRENDER EL

PROCESO DE DEMOSTRACIÓN? ............................................................................................................................. 13

3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN ............................................................................................................... 17

3.1. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO. ................................................................................................ 17

3.2. DEMOSTRACIÓN POR CONTRARRECÍPROCO. ..................................................................................................... 18

3.3. DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN. .................................................................................................................. 19

3.4. DEMOSTRACIÓN REGRESIVA- PROGRESIVA. ...................................................................................................... 20

3.5. DEMOSTRACIÓN POR DISTINCIÓN DE CASOS. .................................................................................................... 23

3.6. DEMOSTRACIÓN DE EXISTENCIA. .................................................................................................................... 24

3.7. DEMOSTRACIÓN DE UNICIDAD. ...................................................................................................................... 25

4. ERRORES LÓGICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES ................................................................. 27

4.1. USAR LA TESIS COMO HIPÓTESIS Y DEMOSTRAR LA HIPÓTESIS. .............................................................................. 27

4.2. DEMOSTRAR DANDO SALTOS DEMASIADO LARGOS ENTRE LAS PROPOSICIONES. ....................................................... 27

4.3. USAR PROPOSICIONES FALSAS COMO SOPORTE DE LA DEMOSTRACIÓN. .................................................................. 27

4.4. DEMOSTRACIÓN VERBAL. ............................................................................................................................. 27

4.5. USAR UNA LÓGICA INCORRECTA. ................................................................................................................... 28

4.6. HACER SUPOSICIONES INCORRECTAS. .............................................................................................................. 28

4.7. SOBRE LAS DEFINICIONES. ............................................................................................................................ 28

4.8. ASUMIR DEMASIADO. .................................................................................................................................. 28

5. CONTEXTOS DE USO DE LAS TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN ................................................................... 29

5.1. DEMOSTRACIÓN POR INDUCCIÓN ................................................................................................................... 29

5.2. DEMOSTRACIÓN POR REDUCCIÓN AL ABSURDO ................................................................................................. 30

5.3. DEMOSTRACIÓN POR CONTRARRECÍPROCO ...................................................................................................... 31

5.4. DEMOSTRACIÓN REGRESIVA-PROGRESIVA ........................................................................................................ 31

6. MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEMÁTICAS .............................................. 32

7. CONCLUSIONES ...................................................................................................................................... 39

8. RECOMENDACIONES .............................................................................................................................. 41

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INTRODUCCIÓN

La demostración matemática, concebida como proceso de pensamiento, da base a la construcción de la

teoría matemática. Sin embargo, no es posible concebirla de esta forma sin tener antes un dominio de

las técnicas, tanto algorítmicas como heurísticas, involucradas en ésta.

Esto es reconocido por numerosos escritos como los producidos por Solow [Sol93], Velleman [Vel94]

y otros más. Sin embargo, todos estos materiales hacen énfasis en los aspectos puramente matemáticos

de la demostración, sin profundizar en los aspectos lingüísticos y sin integrar las técnicas en una

estructura que permita la selección eficiente por medio de sus contextos de aplicación. Este es el aporte

de este trabajo al conocimiento de la técnica demostrativa matemática.

Este escrito se desarrolla en seis capítulos principales, a saber: el capítulo de los preliminares argumenta

la necesidad de un método general para demostrar proposiciones matemáticas y resalta la importancia

de comprender que la forma de pensar una prueba es diferente a la forma de escribirla.

El capítulo sobre los conceptos de base hace una descripción rápida pero completa de los conceptos

lógicos que son prerrequisitos para hacer y comprender las demostraciones matemáticas: los conceptos

estructurales de una teoría matemática, las operaciones lógicas y los cuantificadores, se explican allí.

Además se hace una caracterización de los tipos de lenguaje en los que están escritas las proposiciones

matemáticas y los diferentes niveles que los componen, para que sirva como herramienta de

comprensión metacognitiva de los teoremas a demostrar. No obstante esta herramienta no se usa

explícitamente en el método por considerarse que lo puede hacer bastante dispendioso, sí se convierte

en un excelente marco de pensamiento de la construcción de la demostración.

El capítulo sobre las técnicas de demostración presenta cada una de éstas con su procedimiento

explícito y ejemplos que ayudan a su comprensión. Es seguro que en él, un matemático formado y, más

aun, en formación encontrará elementos útiles para estructurar su conocimiento, que algunas veces (por

no decir la mayoría de las veces) es más que intuitivo.

En el capítulo posterior a las técnicas se presentan algunos errores lógicos que se cometen comúnmente

al hacer demostraciones. Este capítulo se escribe como un intento de advertir sobre estos errores, pero

lo más probable es que se pueda usar como lista de chequeo posterior a la escritura de la demostración.

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Antes de presentar el método, objetivo de este trabajo, se presenta un capítulo que describe los

contextos de uso de cada uno de las técnicas más comunes de demostración. Este es, al parecer del

autor, uno de los aportes más valiosos de este trabajo al conocimiento de la técnica demostrativa

matemática, pues provee un algoritmo para seleccionar eficientemente la técnica más propicia para cada

tipo de proposición, sin necesidad de hacer uso del método de ensayo y error.

El capítulo central del trabajo es el que se refiere al método, sin embargo, este capítulo no funcionaría

sin la integración con los mencionados anteriormente. Haber escogido esta forma de presentación

(dejar de último este capítulo) evidencia la lógica inductiva del trabajo. En este capítulo se da un

algoritmo general para pensar demostraciones matemáticas; dicho método se basa en la metacognición

de los procesos de comprensión de las proposiciones involucradas en los teoremas, y provee una

estructura para la selección eficiente de las técnicas de demostración.

Por último, es importante anotar que por la vocación pedagógica y educativa del autor, las

recomendaciones que se proponen al final de este trabajo se inclinan exclusivamente en este sentido,

con el fin de que este método sirva para apoyar la formación de futuros matemáticos en esta

competencia fundamental para su desempeño profesional.

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AGRADECIMIENTOS

Por ser excelentes ‘conejillos de indias’ y permitirme enseñarles el método que desarrollo en el trabajo, a María Paula Baquero y Germán Hernández.

Por oficiar como mis supervisores para lograr que reuniera suficiente de mi capacidad ejecutiva como para hacer este trabajo, a Ana Milena Matallana y María Luisa Ramirez.

Por ‘dejarme ser’, creer en mí y darme excelentes ideas,

no sólo para este trabajo, sino para la vida, a Pervys Rengifo.

Por haberme traído al mundo (en complicidad con Dios) y dejarme alguna herencia genética de su inteligencia, a mi mamá.

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UN DIÁLOGO ILUSTRADOR Alfa: He descubierto una nueva verdad matemática.

Beta: ¿De verdad? ¿Cuál es?

Alfa: Para cada entero x, si x es par, entonces x2 es par.

Beta: Hmm. . . ¿Estás seguro de que esto es cierto?

Alfa: Claro, ¿no es obvio?

Beta: No, no para mí.

Alfa: Bien. Dame un entero x, y yo te mostraré que lo que te digo es cierto.

Beta (con actitud suspicaz): Listo. Probemos con x = 17.

Alfa: Es fácil. 17 no es par, entonces la proposición ‘si 17 es par, entonces 172 es par’ es trivialmente

cierta. Dame uno más difícil.

Beta: Listo, probemos con x = 62.

Alfa: Dado que 62 es par, debo mostrarte que 622 es par.

Beta: Así es.

Alfa (contando con sus dedos): De acuerdo a mis cálculos, 622 = 3844, y 3844 es claramente un par…

Beta: Espera. No es tan claro para mí que 3844 es par. La definición dice que 3844 es par si existe un

entero y tal que 3844 = 2y. Si tú quieres ir por ahí diciendo que 3844 es par, tienes que producir un

entero y que funcione.

Alfa: ¿Qué tal y = 1922?

Beta: Sí, tú tienes un punto en eso. Entonces tú has mostrado que la proposición ‘si x es par, entonces

x2 es par’ es verdad cuando x = 17 y cuando x = 62. Pero x podría ser uno entre billones de enteros.

¿Cómo podrías saber que es cierta para cada uno de éstos?

Alfa: Sea x un entero.

Beta: ¿Cuál entero?

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Alfa: Cualquier entero de todos. No importa cuál sea. Voy a mostrarte que, usando sólo el hecho de

que x es un entero y nada más, si x es par, entonces x2 es par.

Beta: Perfecto… dale.

Alfa: Entonces supón que x es par.

Beta: Pero, ¿y si no lo es?

Alfa: Si x no es par, entonces la proposición ‘si x es par, entonces x2 es par’ es trivialmente cierta. El

único caso que hay que tener en cuenta es cuando x sea par.

Beta: Muy bien, ¿entonces qué se hace si x es par?

Alfa: Por la definición de ‘par’, nosotros sabemos que existe por lo menos un entero y tal que x = 2y.

Beta: Sólo uno, de hecho.

Alfa: Yo también pienso eso. De todos modos, sea y un entero tal que x = 2y. Elevando al cuadrado a

ambos lados de la ecuación, tenemos x2 = 4y2. Ahora para probar que x2 es par, tengo que mostrar un

entero que multiplicado por dos sea x2.

Beta: ¿y no funciona 2y2?

Alfa: Sí funciona. Entonces está hecho.

Beta: Y como tú no has dicho nada sobre lo que es x, excepto que es un entero, tú ya sabes que

funciona para cualquier entero.

Alfa: Correcto.

Beta: OK, ahora entiendo.

Alfa: Entonces, acá hay otra verdad matemática. Para cada entero x, si x es impar, entonces x2 es…

(Traducido de [Hut])

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1. PRELIMINARES

En esta sección se hacen algunas consideraciones necesarias antes de entrar de lleno en el aspecto

técnico de la demostración matemática.

1.1. ¿Por qué un método general para demostrar?

Se ha considerado la demostración matemática como una vía formal para expresar formas particulares

de razonamiento y justificación; se podría pensar que sólo se es capaz de entender las matemáticas si se

es capaz de razonar en términos de demostraciones.

Actualmente, el uso de la demostración en las matemáticas se ha limitado a la verificación. Pero la

demostración tiene un rol más amplio que la sola verificación matemática; este rol pasa por la creación

de nuevo conocimiento matemático, la educación de los procesos de pensamiento y la comprensión de

las ideas matemáticas ya existentes. Se podría pensar incluso que la demostración es más importante

que los mismos teoremas, porque ayuda a desarrollar y aprender estrategias, formas de pensamiento y

métodos que están incorporados en la verificación.

Y aunque hay variedad de textos que presentan técnicas para demostrar, no hay uno que presente un

método general para demostrar, que permita integrar cada técnica existente en un solo algoritmo

eficiente y comprensible.

Por eso, se hace necesario disponer de un método general de demostración que permita a los

matemáticos tener criterios claros de selección de las mejores estrategias para cada tipo de proposición.

Este algoritmo se constituye además en uno de los pilares de una tecnología automática de

demostración, pues permite sistematizar en alguna medida los heurísticos involucrados en el proceso

demostrativo.

Es necesario aclarar que el método que se presenta acá tiene un trasfondo pedagógico importante; en

esa medida, es un método diseñado para comprobar las verdades matemáticas ya probadas, con el fin

de generar comprensión de éstas por parte de quien las demuestra, pero no fue diseñado para refutar

proposiciones falsas (aunque en una versión más adelante se podría desarrollar esta parte), ni mucho

menos para determinar si una proposición es indecidible.

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1.2. ¿Cuál es la diferencia entre una prueba que pruebe y una que explique?

En numerosos trabajos sobre el aspecto didáctico de la demostración se hace énfasis en que uno de los

usos más productivos de ésta es generar comprensión sobre los objetos matemáticos. Por eso, al

enseñar a demostrar hay que hacer la diferencia entre probar y probar explicando porque de esto depende

que se le saque el mayor partido, pedagógicamente hablando, al proceso de razonamiento para la

demostración.

Para lograr esto hay que definir con claridad tres términos que se suelen confundir en el argot

matemático: explicación, prueba y demostración.

Llamamos explicación a un discurso que trata de hacer inteligible el carácter de verdad, adquirido por el

locutor, de una proposición o de un resultado. Las razones expuestas pueden ser discutidas, refutadas o

aceptadas.

Llamamos prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento dado. Esta

decisión puede ser objeto de un debate cuya significación es la exigencia de determinar un sistema de

validación común a los interlocutores.

En la comunidad matemática sólo pueden aceptarse como pruebas las explicaciones que toman una

forma particular. Son una secuencia de enunciados organizada según reglas determinadas: un enunciado

se reconoce como verdadero cuando es deducido a partir de los que lo preceden con ayuda de una regla

de deducción tomada en un conjunto de reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas.

Por otra parte, se reserva la palabra razonamiento para designar la actividad intelectual, en su mayoría no

explícita, de manipulación de informaciones para, a partir de datos, producir nuevas informaciones.

Cuando las informaciones proceden del ámbito matemático, se habla de razonamiento matemático.

Así pues, una demostración matemática, usada para propósitos didácticos, debe hacer explícito, en

primer lugar, su carácter de explicación, de modo que por vía de la comprensión cabal, el estudiante

acceda a su carácter de prueba. Esto es esencial como elemento programático de la enseñanza de la

demostración. No se puede permitir que lo que es común en todos los niveles y contextos: que los

estudiantes aprenden matemática que es nueva para ellos pero que consiste de resultados conocidos.

Saben que los resultados son verdaderos pero no entienden por qué son verdaderos.

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1.3. ¿Cuál es la diferencia entre escribir una demostración y pensar una demostración?

Una de las falacias más comunes que se le presentan al matemático aprendiz es creer que el orden en

que se escribe una demostración es el mismo orden en el que se piensa.

En el proceso de demostración matemática siempre se conocen (aunque no necesariamente se

comprendan cabalmente) el principio y el fin, sin embargo no se conoce el camino para ir de uno a

otro. Este camino no se descubre ‘caminándolo’. Es necesario planearlo antes de recorrerlo y esto es

una de las particularidades que hace difícil realizar una prueba: la necesidad de pensar recursivamente.

La dificultad del pensamiento recursivo radica en que es necesario proponer las causas o consecuencias

de una proposición, sin conocer a fondo aun de dónde vienen o hacia donde van, respectivamente.

Esto se puede comprender mediante la analogía de la construcción de un puente [Che04], proceso en el

cual siempre se cuenta con los dos terrenos a conectar, pero es necesario comenzar en ambos sentidos:

desde el inicio hacia el fin y desde el fin al inicio, con el objetivo de encontrarse en el medio con el

avance en las dos vías.

1.4. ¿Cuál es la diferencia entre escribir bien las demostraciones y saber demostrar?

En algunos entornos matemáticos se ha filtrado la idea de que hacer demostraciones es escribir con

rigor.

Es cierto que la escritura rigurosa es uno de los mayores pilares de las matemáticas, dado su carácter

deductivo y exacto; sin embargo, no quien sabe escribir rigurosamente, sabe demostrar proposiciones

matemáticas. No, el orden de causalidad no es ese.

Se propone, más bien, que el orden de causalidad se dé a partir de la comprensión de la prueba. Es

decir, la escritura rigurosa debe ser consecuencia de haber entendido la estructuración y elementos de

una demostración.

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2. CONCEPTOS DE BASE

2.1. ¿Qué es demostrar una proposición matemática? Demostrar una proposición matemática implica convencer a otras personas, mediante el recurso de la

argumentación, de la veracidad de dicha proposición [Hut]. Detrás de esta afirmación se puede ver el

carácter de construcción comunitaria que tiene la demostración. Es decir, demostrar es ‘crear’ verdades

que se constituyen como tal por la aceptación de una comunidad matemática o, de manera contraria,

una comunidad matemática se construye porque cree las mismas verdades demostradas bajo las mismas

reglas.

Lograr esta aceptación depende de algunos factores que son inherentes a la demostración.

En primer lugar, la persona que convence y las personas que se pretenden convencer deben hablar el

mismo idioma. Y esto está más allá de que sólo compartan el mismo lenguaje verbal, sino que ambas

partes deben compartir los mismos lenguajes lógico y conceptual, que les permita llevar la

argumentación sobre las mismas bases y por caminos conocidos y aceptados.

Es necesario ampliar lo formulado en el anterior párrafo para sentar las bases conceptuales de lo que es

una demostración, sobre las cuales se construirá el cuerpo de este trabajo.

Para que ocurra la demostración matemática debe suceder que se compartan tres tipos de lenguaje, a

saber:

- Lenguaje verbal: se trata del lenguaje en el que están escritas las palabras por medio de las

cuales se comunica la prueba.

- Lenguaje lógico: se trata de la estructura que subyace a la argumentación y que depende de la

teoría lógica usada para probar.

- Lenguaje conceptual: se trata de los significados de los términos (verbales y matemáticos) que

se usan para construir la prueba.

Más aun, cada uno de los anteriores lenguajes tiene tres niveles, que las dos partes deben compartir:

- Nivel sintáctico: se refiere a los signos, símbolos y señales de las que está constituido cada tipo

de lenguaje.

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- Nivel gramatical: se refiere a la forma de organizar los elementos del nivel sintáctico para dotar

de sentido las estructuras. Este nivel tiene asociada la característica del rigor, que facilita los

procesos en el siguiente nivel.

- Nivel semántico: se refiere a los significados de las diferentes estructuras construidas en el nivel

gramatical.

Entonces, compartir los tres tipos de lenguaje en sus tres niveles permite que se puedan construir y

comunicar argumentaciones matemáticas que se constituyan en demostraciones.

En términos procedimentales, una demostración matemática es una serie de proposiciones, cada una de

las cuales se sigue lógicamente de las anteriores; que empieza desde algunas proposiciones que se asume

(o se conoce) que son ciertas; y que termina con la proposición que contiene el hecho que se busca

probar [Che04]. De esto se puede deducir que una demostración matemática tiene tres partes

secuenciadas en su escritura: un inicio, un desarrollo y un cierre; sin embargo, estas partes no están

necesariamente secuenciadas así en el proceso de pensamiento para la construcción de la prueba.

2.2. ¿Cuáles son los preliminares lógicos y de lenguaje matemático que se necesitan para comprender el proceso de demostración?

Proposición: enunciado en el que se afirma algo. Este enunciado puede ser verdadero o falso. En

general, las proposiciones matemáticas son el sujeto de la demostración, que como ya se dijo, es un

proceso por el cual se determina la veracidad de una proposición, llamada tesis, a partir del

conocimiento de la veracidad de otras, llamadas hipótesis.

Axioma: es un principio básico que es asumido como verdadero sin recurrir a demostración alguna. En

esta medida son las proposiciones iniciales de una teoría deductiva, de las cuales pueden derivarse otras

proposiciones mediante demostraciones.

Teorema: es una forma de referirse a una proposición que es central en la construcción de una teoría.

Corolario: es una verdad que se deriva inmediatamente de la veracidad de un teorema, por lo tanto no

necesita una demostración particular.

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Lema: es un teorema que es necesario para la demostración de otro y que, por lo tanto, debe ser

demostrado con anterioridad. Regularmente los lemas no pertenecen a la línea central de la teoría.

Definición: en matemáticas, proposición o conjunto de proposiciones que describen tautológicamente

un término matemático; por lo tanto, una demostración no requiere demostración y puede ser usada en

ambos sentidos: desde el término hacia las proposiciones o del conjunto de proposiciones hacia el

término.

Una forma de representar gráficamente el sentido de los últimos cinco términos definidos es:

Figura 1. Representación de la relación entre axioma, teorema, lema, corolario y definición.

Proposición recíproca o recíproco: es una implicación cuyo consecuente es el antecedente de otra

(llamada implicación directa) y cuyo antecedente es el consecuente dicha implicación directa. El valor

de verdad de la proposición recíproca no necesariamente es el mismo de la proposición directa.

Proposición contrarrecíproca o contrarrecíproco: es una implicación cuyo antecedente es la

negación del consecuente de la implicación directa y cuyo consecuente es la negación del antecedente

de la implicación directa. El valor de verdad de la proposición contrarrecíproca necesariamente es el

mismo de la proposición directa.

Operadores lógicos:

Negación: sea una proposición p, entonces ‘no p’ o ‘negación de p’ se define como:

Verdadera, cuando p es falsa;

Falsa, cuando p es verdadera.

AXIOMA

TEOREMA

LEMA COROLARIO

D

E

F

I

N

I

C

I

Ó

N

TEOREMA

TEOREMA

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Conjunción: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p y q’ se define como:

Verdadera, cuando p y q son ambas verdaderas;

Falsa, cuando p es falsa o q es falsa o ambas son falsas.

Disyunción: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p o q’ se define como:

Verdadera, cuando p es verdadera o q es verdadera o ambas son verdaderas;

Falsa, cuando p y q son ambas falsas.

Implicación: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p entonces q’ se define

como:

Falsa, cuando q es verdadera y p es falsa;

Verdadera, en cualquier otro caso.

Si en las implicaciones p es falsa, se dice que su valor de verdad es trivialmente verdadero.

Equivalencia: sean p y q dos proposiciones, entonces la proposición compleja ‘p equivale a q’ se define

como:

Verdadera, cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambas falsas;

Falsa, en cualquier otro caso.

Cuantificadores: una proposición puede ser verdadera siempre o en algunas circunstancias

particulares. La forma lógica de poner en evidencia esta condición es mediante los cuantificadores.

Si una proposición es cierta bajo toda circunstancia de las variables en las que esté definida, se dice

justamente así: que para todo caso de la variable, la proposición es verdadera. En símbolos: sea ( )p x

una proposición cuya variable es x , que se cumple para todo valor de x , entonces se dice , ( )x p x∀ .

Si una proposición es cierta sólo bajo algunas circunstancias de las variables en las que esté definida, se

dice: que existe algunos casos de las variables para los cuales la proposición es verdadera. En símbolos:

sea ( )p x una proposición cuya variable es x , que se cumple para algunos valores de x , entonces se

dice , ( )x p x∃

Cuando se combinan cuantificadores hay que tener en cuenta que el orden en que afectan a la

proposición es muy importante. No necesariamente tiene el mismo valor de verdad ( )( ), ( )x y p x∀ ∃

que ( )( ), ( )y x p x∃ ∀ .

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Negación de cuantificadores: en algunas técnicas de demostración es necesario hacer negación de

proposiciones compuestas de cuantificadores, por eso se presenta acá la forma de hacerlo.

Para negar , ( )x p x∀ se dice , ( )x p x∃ � ; es decir que la negación de que si para todo x se cumple

( )p x , es que existe x que hace que se cumpla la negación de ( )p x .

De manera análoga, para negar , ( )x p x∃ se dice , ( )x p x∀ � ; es decir que la negación de que si existe

x que hace que ( )p x se cumpla, es que para todo x se cumple la negación de ( )p x .

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3. TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN

3.1. Demostración por reducción al absurdo. Según Daniel Solow [Sol93], la técnica de demostración por reducción al absurdo parte de la negación

de la tesis dada (siendo la tesis dada B y la negación NO B), y la inclusión de esta negación en la

hipótesis general A, de modo tal que se asumen A y NO B como verdaderos. A partir de entonces se

trabaja progresivamente desde la nueva hipótesis (que incluye a A y a NO B), hasta llegar a una

contradicción que permita asumir como verdadera a B.

Analogía de esta técnica:

Un hombre quiere probar a su esposa que desde que eran novios a él le gustaba el fútbol. Ella no le

cree porque no recuerda que él fuera así de apasionado por este deporte. Entonces él le dice que si a él

no le gustara tanto el fútbol, él no sabría quiénes juegan en todos los equipos del campeonato y no se

acordaría de los marcadores que ha obtenido su equipo preferido… e inmediatamente procede a decir

marcadores y alineaciones y a pedirle a ella que los confirme en internet, lo que hace que él demuestre

que tiene la razón.

Pasos para aplicar la técnica de demostración por reducción al absurdo:

1. Incluir como otra hipótesis la negación de B.

2. Proceder progresivamente hasta encontrar una contradicción. La contradicción se puede

encontrar al comparar una proposición derivada de la nueva hipótesis (que incluye a A y a NO

B), con A, con una proposición derivada en la demostración o con una verdad establecida.

Ejemplo:

Demostremos por reducción al absurdo que si n y m son enteros tales que

2 3 2n n n m m+ + = + ,

entonces n es par.

1. Incluir como otra hipótesis la negación de B: n es impar (n no es par).

2. Proceder progresivamente hasta encontrar una contradicción. La contradicción se puede

encontrar al comparar una proposición derivada de la nueva hipótesis (que incluye a A y a NO B),

con A, con una proposición derivada en la demostración o con una verdad establecida: como n es

impar, entonces 2n y 3n son ambos impares, de donde 2 3n n n+ + es impar (ya que es la suma de

tres impares). Entonces, como 2 2 3m m n n n+ = + + , se tiene que 2m m+ es impar. Sin embargo

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2m m+ es siempre par (ya que 2 ( 1)m m m m+ = + y necesariamente alguno de los números m o

1m+ es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que n es par, que es lo que

queríamos demostrar. En este caso tuvimos una contradicción con una verdad establecida: que al

multiplicar un número impar por un número par, el resultado es un número par.

3.2. Demostración por contrarrecíproco.

En esta técnica se empieza por negar la tesis (B), para convertirla en hipótesis y así cambiar la hipótesis

inicial A por NO B, así mismo se niega la hipótesis (A), para convertirla en tesis; entonces se trabaja

progresivamente únicamente desde NO B, con el fin de llegar a probar NO A. Esto es posible pues el

valor de verdad de A implica B es el mismo valor de verdad de NO B implica NO A.


Un joven le asegura a su madre que si llueve, él no saldrá con su novia en la noche. Su madre sale al

mercado y vuelve en la noche y no encuentra a su hijo en casa, es decir que supone que salió con su

novia, de lo que puede deducir que cerca de su casa no llovió en este día.

Pasos para aplicar la técnica de demostración por contrarrecíproco:

1. Cambiar la hipótesis A por la negación de B (NO B).

2. Cambiar la tesis B por la negación de A (NO A).

3. Proceder mediante la técnica de demostración regresiva-progresiva para demostrar NO A.

Ejemplo:

Demostremos por la técnica de demostración por contrarrecíproco que: si x y p son dos números

enteros donde x p+ es par, entonces xy p tienen la misma paridad.

1. Cambiar la hipótesis A por la negación de B: x y p son dos números con paridad opuesta.

2. Cambiar la tesis B por la negación de A: la suma de x y p debe dar como resultado un

número impar.

3. Proceder mediante la técnica de demostración regresiva-progresiva para demostrar NO A:

asumimos que x y p tienen paridad opuesta. Esto implica que uno de estos números enteros

es par y el otro impar, no perdemos la generalidad si suponemos que x es par y p es impar.

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Entonces hay números enteros k y m donde 2x k= y 2 1p m= + . Ahora, computamos la

suma 2 2 1 2( ) 1x p k m k m+ = + + = + + , resulta un número entero impar por la definición,

lo que demuestra NO A.

3.3. Demostración por inducción. “Existe una forma muy especial de B para la cual se ha desarrollado separadamente una técnica de

demostración conocida como inducción matemática, esta inducción debe considerarse cuando B tiene

la forma: Para todo entero 1n > , ‘algo sucede’, donde algo que sucede es algún enunciado que

depende del entero n . Cuando se considera la técnica por inducción, las palabras claves que deben

buscar son ‘entero’ y ‘ 1> ’” (Pág. 63, [Sol93]).

Pasos para aplicar la técnica de demostración por inducción:

1. Verificar que (1)P es verdadero.

2. Suponer que ( )P n es cierta.

3. Demostrar que ( 1)P n + es cierta.


(Esta técnica no es aplicable en sentido estricto en la vida diaria, puesto que depende de procesos

infinitos; sin embargo, se podría bosquejar una analogía en un proceso de larga duración)

Un día, sin más ni más, un aguacero cayó en la ciudad: “llegó el invierno”, pensó Fabiana, la mayor de

las Fernández, que había vivido suficiente para ‘oler’ este tipo de aguaceros y reconocerlos como

iniciadores del invierno, que en aquellas tierras era un suceso inolvidable.

En efecto, al siguiente día y más o menos a la misma hora, volvió a llover torrencialmente, y parece que

fue sólo para que Fabiana pensara: “Me estoy volviendo vieja, ya hasta puedo predecir con certeza los

fenómenos que no la tienen”.

De hecho, ella pudo suponer que como todos los años, en el desfile de la Virgen iba a llover y que

seguiría así por mucho, mucho tiempo…

Ejemplo:

Demostremos por la técnica de demostración por inducción que si 1 2, ... na a a son números reales y

1 2... 0na a a = , entonces 0ia = para algún i con 1 i n≤ ≤ .

20

1. Verificar que (1)P es verdadero es trivial porque sólo 1a podría ser cero.

2. Suponer que ( )P n es cierta: es lo mismo que decir que si 1 2... 0na a a = entonces 0ia = para

algún i con 1 i n≤ ≤ .

3. Demostrar que ( 1)P n + es cierta: para esto suponga que 1 2 1, ... ,n na a a a + son números reales

tales que 1 2 1... 0n na a a a + = . Dado que 1 2 1( ... ) 0n na a a a + = , se sigue que 1 2... 0na a a = o

1 0na + = .

Si 1 2... 0na a a = , entonces por P(n), 0ia = para algún i con 1 i n≤ ≤ ., y estaría probado, o

si no, 1 0na + = , lo que también probaría la proposición.

3.4. Demostración regresiva- progresiva. Es importante hacer acá una anotación acerca del sentido del nombre de esta técnica. El hecho de que

se haya invertido y se llame ahora regresiva-progresiva y no progresiva-regresiva es debido a que el

método general para demostrar proposiciones matemáticas tiene una lógica estratégica, es decir, una

lógica que piensa primero en los productos que hay que conseguir y luego piensa en los insumos que se

necesitan para hacerlo; esto permite hacer una selección más adecuada y precisa de los insumos con

relación a los productos.

Partiendo de la base de que A es todo aquello que se presupone como verdadero (la hipótesis) y que B

es todo lo que se está demostrando (la tesis), Solow [Sol93], explica que cuando se busca determinar

cómo llegar a la conclusión de que B es verdadero, se está realizando el proceso regresivo, y cuando se

hace uso específico de la información contenida en A, se está haciendo uso del proceso progresivo.


El pensamiento usado en esta técnica es muy usado en la planeación estratégica, en la que se comienza

haciendo una caracterización detallada del producto a conseguir, para luego pensar en el método

necesario para alcanzarlo; este método se piensa de adelante para atrás, con el fin de que todos los

pasos dispuestos sean suficientes y necesarios para alcanzar el producto.

Pasos para aplicar la técnica de demostración regresiva-progresiva:

21

1. Realizar la pregunta de abstracción: Iniciar con la pregunta: “¿cómo o cuándo puedo concluir

que la proposición B es verdadera?” (Pág. 24). Esta pregunta será nombrada pregunta de

abstracción, caracterizada por la ausencia de símbolos o notaciones del problema específico en

consideración.

2. Contestar correctamente la pregunta de abstracción

2.1 Dé una respuesta abstracta: explique lógica y verbalmente cómo podría demostrar que B es

verdadero sin hacer uso de símbolos, datos o notaciones matemáticas.

2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situación específica: responda la respuesta abstracta haciendo

uso de los datos, símbolos o notaciones que sean necesarios para obtener una respuesta

específica. Esta nueva respuesta proporciona una nueva proposición, B1, con la propiedad de

que si se pudiese demostrar que B1 es verdadero, entonces B sería verdadero.

2.3 Continúe dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera proposición derivada de

B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea posible.

3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algorítmicamente proposiciones de A que

permitan llegar a proposiciones de las que B se deriva.

3.1 Identifique la proposición A que se supone como verdadera.

3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integración de proposiciones

anteriores.

3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita ayudar a

comprobar B.

Ejemplo: Sea A: el triángulo XYZ de catetos de longitud x e hipotenusa de longitud z isósceles, y sea B: el

triángulo XYZ tiene por área 2

4

z.

1. Realizar la pregunta de abstracción: ¿cómo puedo concluir que el área de un triángulo isósceles

dado se obtiene al elevar la hipotenusa al cuadrado y dividirla entre cuatro.

2. Contestar correctamente la pregunta de abstracción:

2.1 Dé una respuesta abstracta: esto lo puedo demostrar si soy capaz de demostrar que multiplicar

la hipotenusa al cuadrado y dividirla entre cuatro es igual a usar la fórmula estándar para

obtener el área de cualquier triángulo.

2.2 Aplique la respuesta abstracta a la situación específica: 2

4 2

z xx=

22

2.3 Continúe dando respuesta a la pregunta abstracta a partir de la primera proposición derivada de

B que obtuvo (B1). Repita este ciclo hasta que sea posible: si abstraemos B1: 2

4 2

z xx=

obtenemos que B2: 2 22z x= , de modo que esta es otra respuesta algorítmica a la pregunta de

abstracción; sin embargo, no es posible seguir abstrayendo 2 22z x= , por lo que hay que

empezar a hacer uso del proceso progresivo.

3. Hacer uso del proceso progresivo para derivar algorítmicamente proposiciones de A que llegar

a 2 22z x= .

3.1 Identifique la proposición A. En este caso que A es el triángulo isósceles XYZ de catetos de

longitud x e hipotenusa de longitud z .

3.2 Obtenga proposiciones derivadas de A, partiendo de teoremas e integración de proposiciones

anteriores.

A1: De A podemos deducir el teorema de Pitágoras: 2 2 2x y z+ = , puesto que XYZ es un

triángulo rectángulo.

A2: Como XYZ es además un triángulo isósceles, tendríamos: 2 2 2x x z+ =

A3: la fórmula anterior simplificada quedaría: 2 22x z=

3.3 Escoja una de las proposiciones derivadas de A obtenidas (A1, A2, A3), que permita ayudar a

comprobar B: en este caso escogemos la proposición A3 que concuerda con B2.

La anterior demostración se puede representar de la siguiente manera: A: XYX triángulo rectángulo isósceles de hipotenusa z

Hipótesis

A1: 2 2 2x y z+ = Teorema de Pitágoras

A2: 2 2 2x x z+ = Por ser XYZ isósceles

A3=B2: 2 22x z= Reescritura algebraica

B1: 2 2

4 2

z x= Reescritura algebraica

B: 2

4

zA = Puesto que

2

2

xA =

23

3.5. Demostración por distinción de casos. De acuerdo con Balaguera [Bal04], “en muchas ocasiones la situación que propone una demostración

es tal que se puede clasificar en un número finito de casos posibles, o bien en un conjunto infinito de

clases de casos y cada uno de ellos se puede tratar mediante algún truco diferente para obtener la

conclusión a la que queremos llegar” (Pág. 36).


Se quiere demostrar que las personas que han afrontado pérdidas grandes se vuelven más tolerantes a la

frustración. Para esto, se piensa que las variables de género, edad y clases social pueden influenciar los

efectos, y por eso, se decide armar muestras de personas que se diferencien en estas variables.

Pasos para aplicar la técnica de demostración por distinción de casos: 1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta.

2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos.

Ejemplo:

Demuestre que para dos números naturales cualesquiera x e y es imposible que se verifique

2 23 1x y= +

1. Identificar casos en los cuales se cumpla la tesis propuesta: puesto que el primer término es

múltiplo de 3 es claro que y no lo puede ser. Por lo tanto y es de una de las dos formas

posibles:

Caso a: 3 1y h= +

Caso b: 3 1y h= −

2. Demostrar la tesis para cada uno de los casos:

Para el caso a: 2 2 2(3 1) 9 6 1 3(3 2 ) 1 3 1h h h h h k+ = + + = + + = +

Para el caso b: 2 2 2(3 1) 9 6 1 3(3 2 ) 1 3 1h h h h h k− = − + = − + = +

En cualquier caso 2y es de la forma 3 1x + que nunca puede ser igual a 23x .

24

3.6. Demostración de existencia. Solow [Sol93] explica que los problemas que tienen cuantificadores de tipo ‘existe’ que surgen de

manera natural en muchos postulados matemáticos, deben ser resueltos haciendo uso de la técnica de

demostración por existencia ya que su proposición tendrá la forma básica: existe un ‘objeto’ con una

‘cierta propiedad’ tal que ‘algo sucede’.


“Yo no creo que exista un político limpio”, dijo Camilo. “Pues creo que si lo hay, y estoy dispuesto a demostrártelo”, contestó Mariana, y se dedicó a buscarlo.

Pasos para aplicar la técnica de demostración de existencia:

1. Identificar el cuantificador ‘existe’ en la tesis; si éste no lo tiene explícito debe escribirse

nuevamente para que lo contenga explícitamente.

2. Identificar las características del elemento del cual se quiere demostrar su existencia.

3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposición.

*Nota: A veces es útil usar la técnica de reducción al absurdo o la técnica regresiva para hacer

demostraciones de existencia.

Ejemplo:

Si , , , , ,a b c d e f son números reales con la propiedad de que ( ) 0ad bc− ≠ , entonces las dos

ecuaciones lineales ( )ax by e+ = y ( )ex dy f+ = tiene solución para x e y .

1. Identificar el cuantificador ‘existe’ en la tesis; si éste no lo tiene explícito debe escribirse

nuevamente para que lo contenga: si , , , , ,a b c d e f son números reales con la propiedad de

que ( ) 0ad bc− ≠ , entonces existen x e y que son solución de las dos ecuaciones lineales

( )ax by e+ = y ( )ex dy f+ = .

2. Identificar las características del elemento del cual se quiere demostrar su existencia: x e y

deben cumplir simultáneamente las ecuaciones ( )ax by e+ = y ( )ex dy f+ = .

3. Crear un elemento que cumpla las condiciones de la proposición: hay dos formas posibles para

encontrar el elemento que cumpla las condiciones: la primera, que depende de la habilidad de

quien está demostrando, es la de intento y verificación. Esta forma es perfectamente válida

25

pero puede ser dispendiosa; la segunda se basa en la construcción de los elementos, ya sea por

vías algebraicas, geométricas, analíticas, etc.

Usando la segunda forma, se multiplica la ecuación ax by e+ = por d , y la ecuación

cx dy f+ = por b , y efectuando la diferencia entre las dos ecuaciones, obtiene

( ) ( )ad bc x de bf− = − . A partir de la hipótesis, ( ) 0ad bc− ≠ y, por tanto, dividiendo

entre ( )ad bc− se tiene ( )

( )

de bfx

ad bc

−=−

. Un argumento similar muestra que ( )

( )

af cey

ad bc

−=−

.

3.7. Demostración de unicidad. La técnica de demostración de unicidad está relacionada con la tesis o como se ha venido diciendo, con

la proposición B. En este caso no sólo se requiere demostrar la existencia de un objeto con cierta

propiedad tal que algo sucede, sino también que el objeto es único. Se sabe que hay que utilizar esta

técnica cuando la tesis contiene la palabra ‘único’ así como el cuantificador ‘existe’.


“¡Yo conocí a una persona que medía 2,65 metros!”, dijo uno. “Qué casualidad, yo también conocí una

persona de esa altura”, dijo dos. “Era calvo y se llamaba Antonio”, replicó uno. “Extraño, la persona de

la que habló también era calvo y también se llamaba Antonio; ¿acaso era profesor de matemáticas?”,

dijo dos. “Sí, de geometría analítica”, contesto uno. “Entonces era el mismo, porque con esas

características sólo puede haber uno”, terminó dos.

Pasos para aplicar la técnica de demostración de unicidad:

1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la técnica de demostración de existencia o por la

técnica de demostración por reducción al absurdo.

2. Demostrar la unicidad del elemento que existe; para esto hay dos formas comunes:

Forma 1:

Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad común.

Use esta propiedad y la información en A para demostrar que los dos elementos son iguales

entre sí.

Forma 2:

26

Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad común y para los

cuales algo sucede.

Llegue a una contradicción usando la información en A, la propiedad común y lo que sucede

para llegar a una contradicción.

*Nota: En la forma 1 usted puede hacer uso de la técnica regresiva-progresiva para demostrar que los

elementos son iguales.

Ejemplo:

Si r es un número real positivo entonces existe un único número real x tal que 3x r= .

1. Demostrar que el objeto existe haciendo uso la técnica de demostración de existencia o la

técnica de reducción al absurdo: se va a suponer que esta parte está demostrada, pues no es el

centro de esta técnica de demostración.

2. Demostrar la unicidad del elemento que existe: en este caso vamos a usar la forma 2.

Suponga que hay dos elementos diferentes que comparten cierta propiedad común y para los

cuales algo sucede: entonces se supone que existen x e y tales que 3x r= y 3y r= y

además r es positivo.

Llegue a una contradicción usando la información en A, la propiedad común y lo que sucede

para llegar a una contradicción: por consiguiente, 3 3x y= y entonces

3 3 2 20 ( )( )x y x y x xy y= − = − + + . Dado que x y≠ , entonces 2 2 0x xy y+ + = . De la

fórmula se deduce que: 2 2 2( 4 ) 3

2 2

y y y y yx

− ± − − ± −= = y puesto que x es un

número real, y debe ser cero, pero entonces 3 0r y= = contradiciendo así la hipótesis de

que r es positivo.

27

4. ERRORES LÓGICOS COMUNES AL HACER DEMOSTRACIONES

En esta sección se presentan algunos errores lógicos comunes al demostrar proposiciones matemáticas.

Estos errores se extrajeron y adaptaron del documento How to write proofs: a quick guide [Che04]. Esta lista

de errores se puede usar como una lista de chequeo para el paso final del método general para

demostrar proposiciones matemáticas.

4.1. Usar la tesis como hipótesis y demostrar la hipótesis.

Esto es un error porque la implicación p q⇒ no necesariamente tiene el mismo valor de verdad de la

implicación q p⇒ .

4.2. Demostrar dando saltos demasiado largos entre las proposiciones.

Esto incluye:

- No justificar una afirmación que no es obvia.

- No hacer explícitos demasiados pasos entre dos afirmaciones.

- Usar un teorema sin demostrarlo.

- Usar un teorema sin mencionarlo.

4.3. Usar proposiciones falsas como soporte de la demostración.

Cada una de las afirmaciones que se hagan al demostrar una proposición matemática debe tener

sustento en afirmaciones cuya veracidad ha sido demostrada, por eso es importante ir paso por paso

verificando que así sea.

4.4. Demostración verbal.

Aunque no es un error como tal, sí es una mala práctica escribir en palabras no matemáticas (o por lo

menos no ‘muy matemáticas’) afirmaciones sobre una demostración; esto es señal común de que se

tiene la idea sobre la demostración, pero hace falta depurarla aun más.

28

4.5. Usar una lógica incorrecta.

Este error es muy común y es grave. En esta categoría se incluye:

- Negar una afirmación incorrectamente.

- Probar el recíproco de una proposición en vez de la proposición.

4.6. Hacer suposiciones incorrectas.

Las suposiciones correctas aligeran el peso de una prueba y pueden ayudar a entender mejor el proceso

de demostración; sin embargo, las suposiciones incorrectas pueden aligerar este peso demasiado y hacer

que la demostración sea errónea.

4.7. Sobre las definiciones.

Es normal que se usen definiciones correctas, pero mal usadas; no obstante, es más normal que se usen

malas definiciones.

Pero este es un error muy evitable, pues sólo requiere de una cuidadosa lectura de las definiciones para

hacer una justa correspondencia con las circunstancias de la demostración que se está llevando a cabo.

4.8. Asumir demasiado.

En el caso de que no se sepa si usar algo o no porque no se ha confirmado que sea cierto, el consejo es

hacer uso de prudencia (que hace verdaderos sabios) y probarlo antes de usarlo.

29

5. CONTEXTOS DE USO DE LAS TÉCNICAS DE DEMOSTRACIÓN Antes de presentar el método general para demostrar proposiciones matemáticas, es necesario describir

los contextos de cada una de las técnicas de demostración que van a estar articuladas en éste.

Sobra decir que disponer de una buena cantidad de técnicas de demostración es absolutamente inútil si

no se dispone de una caracterización detallada de los contextos en que son aplicables, pues de lo

contrario la elección de dicha técnica demostración sería un juego de intento y error que, aparte de

causar frustración, se convertiría en una mecanización absurda que no implicaría ningún tipo de

pensamiento.

No obstante, de las siete técnicas de demostración que se presentan en este escrito, sólo cuatro merecen

una descripción detallada de su contexto de aplicación, puesto que en las tres restantes el contexto es

obvio, éstas son: demostración por distinción de casos, para la que el contexto se da cuando la tesis

tiene diferentes casos que componen una sola proposición; y las demostraciones de existencia y

unicidad, que se hacen en el caso de que sea explícitamente determinado en la proposición.

Los contextos de las cuatro técnicas restantes se presentan a continuación.

5.1. Demostración por inducción: esta técnica es muy poderosa, pues en realidad no sólo

permite demostrar la veracidad de una proposición, sino de infinitas. Sin embargo, como ya se vio, es

una técnica que encapsula otra demostración, y de esta manera, implica que se haga la selección y

aplicación de otra técnica de demostración.

Esta técnica se debe usar cuando se quiera demostrar una proposición que se cumple para un conjunto

de infinitos números enteros, que tiene mínimo.

Como ejemplos se pueden considerar los siguientes:

1. Para todo entero 1n ≥ , 1

( 1)

2

n

k

n nk

=

+=∑ ; nótese que existe una proposición cada vez que n

es un entero diferente, comenzando desde 1n = .

30

2. Para cada entero 4n ≥ , 2!n n> ; acá también hay una proposición cada vez que n es un

entero diferente, pero esta vez comenzando desde 4n = .

3. Existe un entero 0n ≥ tal que 22n n> ; esta no es una demostración que se pueda hacer por

inducción, puesto que la proposición no está dada para todos los enteros a partir de alguno,

sino que se trata de encontrar el entero que cumple la condición. Por eso, esta es una prueba de

existencia.

5.2. Demostración por reducción al absurdo: esta técnica se usa cuando la negación de la

tesis dé alguna información útil; o cuando la tesis sea dicotómica, es decir que la negación de la tesis usa

términos que son más significativos que la tesis en forma afirmativa; o cuando la tesis está expresada en

forma negativa, en este caso hay que tener cuidado con las negaciones implícitas; o cuando hay que

hacer pruebas de existencia en las que es difícil caracterizar el elemento que cumple las condiciones.

Como ejemplos se pueden considerar los siguientes:

1. 2 es irracional; esta proposición se demuestra clásicamente usando la técnica de reducción al

absurdo, pues la negación de la tesis provee información más útil que en la forma como es

expresada originalmente: 2 es racional, ya que así se podría expresar de la forma a

b con a

y b enteros y 0b ≠ .

2. Si n es un entero y 2n es par, entonces n es par; acá la negación de la tesis dice que n es

impar, de modo que es una tesis dicotómica que provee información útil al ser tomada como

hipótesis.

3. Ninguna cuerda de un círculo es mayor que un diámetro; en este caso, usar la técnica de

reducción al absurdo hace que se pueda incluir en la hipótesis la proposición: existe una cuerda

mayor que un diámetro.

31

4. Sea XYZ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en Z, entonces el área de XYZ de

puede dar por 2

4

z; en este caso, en cambio, no es prudente aplicar la técnica de reducción al

absurdo puesto que al negar la tesis tendríamos que 2

4

zA ≠ , lo que no nos dice exactamente a

qué equivaldría el área.

5.3. Demostración por contrarrecíproco: esta técnica se usa cuando tanto la hipótesis como

la tesis son fáciles de negar y expresadas de esta forma proveen información más útil para la

demostración.

Por ejemplo:

1. S es un subconjunto de un conjunto T de números reales. Si S es no acotado, entonces T es no

acotado; en este caso es mejor usar el concepto de conjunto acotado, y por esta razón es mejor

usar la técnica de demostración por contrarrecípoco para expresar la implicación así: si T es

acotado entonces S es acotado.

2. Si c es un entero impar, entonces la solución de la ecuación 2 0n n c+ − = , no es un entero

impar; en este caso la negación de ambas partes de la implicación produce proposiciones con

sentido que permiten aplicar la técnica de demostración por contrarrecíproco, quedando la

proposición compuesta expresada así: si la solución de la ecuación 2 0n n c+ − = es un entero

impar entonces c es un entero par.

5.4. Demostración regresiva-progresiva: a pesar de que en la mayoría de manuales sobre

demostración esta técnica se presenta en primer lugar, en aras de la determinación de su contexto de

uso es mejor pensar en ésta en último lugar. Así, se debe usar la demostración regresivo-progresiva

cuando no se ha podido usar ninguna de las técnicas anteriores.

Sin embargo, hay que advertir que la técnica de demostración regresiva-progresiva está incluida de

alguna manera en todos las técnicas anteriores, salvo en la demostración por reducción al absurdo.

32

6. MÉTODO GENERAL PARA DEMOSTRAR PROPOSICIONES MATEMÁTICAS El núcleo del presente escrito está expresado en esta sección. En ella se hace una articulación

metacognitiva de todos los elementos que se han presentado anteriormente en éste.

El método general para demostrar proposiciones matemáticas es:

1. Identifique la proposición de la que se compone la tesis (tenga en cuenta si dicha tesis tiene

diversos casos).

2. Identifique las proposiciones que componen la hipótesis.

3. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la tesis.

4. Asegúrese de comprender cada una de las proposiciones que componen la hipótesis.

5. Escoja la técnica de demostración más apropiada. Para esto, tenga como referencia la anterior

sección de este escrito y lleve el siguiente orden:

a. Demostración por casos (esta demostración puede incluir cualquiera de las técnicas

que van a continuación)

b. Demostración de existencia.

c. Demostración de unicidad.

d. Demostración por inducción.

e. Demostración por reducción al absurdo.

f. Demostración por contrarrecíproco.

g. Demostración regresiva-progresiva.

6. Aplique la técnica escogida.

7. Lea la demostración escrita para:

a. Revisar que no se hayan cometido errores lógicos o disciplinares.

b. Resumirla o resecuenciarla, si hay necesidad.

A continuación se hacen algunas anotaciones necesarias para la mejor comprensión del método.

Se puede notar que antes de analizar la hipótesis, se analiza la proposición que compone la tesis, esto se

debe a que, desde el punto de vista estratégico, la comprensión de la tesis permite tener posteriormente

33

una ‘comprensión dirigida’ de la hipótesis, es decir, permite leer la hipótesis con preguntas claras que le

dan mayor significado a las proposiciones que la componen.

La comprensión de las proposiciones que están incluidas en la tesis y la hipótesis requiere que se

entiendan los tres tipos de lenguaje en los que están escritas (verbal, lógico y conceptual) en los tres

niveles (sintáctico, gramatical y semántico). De esta comprensión dependen los tres mecanismos que se

presentan como indispensables para llegar a demostrar una proposición: escoger la técnica más

adecuada, derivar progresivamente y abstraer regresivamente, además de poder usar las estrategias

específicas de cada técnica.

Además, el conocimiento de que existen tres tipos de lenguaje con tres niveles cada uno que es

necesario comprender en cada proposición a demostrar ayuda a una persona a determinar en cuál de

ellos puede tener falencias, de modo que se las pueda solventar particularmente.

La re-lectura de la demostración es vital no sólo para la detección de errores, sino para profundizar en

su comprensión. Esta profundización en la comprensión se evidencia cuando la persona que está

demostrando la proposición es capaz de expresarse más claro y con menos palabras.

Los siguientes ejemplos ilustran el método usando diferentes técnicas de demostración; en ellos se

escriben de nuevo los pasos del método y se muestra cómo se aplicaron en la demostración.

Primer ejemplo

Proposición: Para todo entero x , ( 1)x x + es par.


diversos casos).

La tesis está compuesta de la proposición: ( 1)x x + es par. Esta proposición se puede probar para

cuando x es par o para cuando x es impar, por lo tanto hay dos casos que demostrar.


La hipótesis está compuesta de la proposición � ∈ � o mejor aun ∀�, � ∈ �

34


La comprensión de esta tesis pasa por implicar que 1x + es el siguiente de x , y que el hecho de que un

número sea par implica que sea divisible por 2 o que se pueda escribir como dos multiplicado por un

entero cualquiera. (Puede haber otras proposiciones que se pueden implicar de la tesis; mientras más se

encuentren, es mejor, sin embargo la profundidad de estas implicaciones depende del nivel de

compresión de cada persona)


Garantizar esta comprensión, como ya se dijo, pasa por hacer implicaciones, tales como que si� ∈ �

entonces x puede ser par o impar, o x puede ser un número positivo, negativo o cero. Esta última

implicación, no tiene relevancia a la luz de lo que ya se había comprendido de la tesis; esta es la utilidad

de comprender primero la tesis.


sección de este escrito.

Ya se determinó que esta demostración es por casos ( x es par o impar), sin embargo hay que

determinar con qué técnica se va a proceder para probar cada caso.

Esta proposición no determina que debamos probar existencia ni unicidad, por lo tanto se piensa si será

posible usar la técnica de demostración por inducción; sin embargo se nota que aunque se trata de

demostrar para un conjunto de números enteros (pues x es entero), éste no tiene mínimo, entonces no

se puede usar esta técnica.

Entonces se piensa en la posibilidad de usar la técnica de demostración por reducción al absurdo, lo

cual es posible pero no práctico pues la negación de la tesis no produce información útil para la

demostración. Por la misma razón, y por el hecho de que negar la hipótesis es muy difícil, se concluye

que no se debe usar la técnica de demostración por contrarrecíproco.

Entonces se nota que sólo queda la técnica de demostración regresiva-progresiva para ambos casos.


35

Caso 1: supóngase que x es par. Por lo tanto debe existir un número entero que al multiplicarse por

dos tenga por resultado x . Este entero se llamará k , de modo que 2x k= . Entonces remplazamos en

la expresión ( 1)x x + , así: ( 1) 2 (2 1)x x k k+ = + . Acá se puede notar que la expresión tiene una parte

que es factor de dos. Se llamará a esa parte y , así: (2 1)y k k= + ; así entonces y es un entero y

( 1) 2x x y+ = , y por lo tanto ( 1)x x + es par.

Caso 2: supóngase que x es impar. Por lo tanto debe existir un número entero que al multiplicarse por

dos y sumarle uno tenga por resultado x . Este entero se llamará k , de modo que 2 1x k= + .

Entonces remplazamos en la expresión ( 1)x x + , así: ( 1) (2 1)(2 2)x x k k+ = + + . Acá se puede notar

que la expresión tiene una parte que es factor de dos cuando factorizamos así: 2( 1)(2 1)k k+ + . Se

llamará a esa parte y , así: ( 1)(2 1)y k k= + + ; y entonces y es un entero y ( 1) 2x x y+ = , por lo

tanto ( 1)x x + es par.




La demostración resumida (nos damos cuenta de que no conviene unir los casos) queda así: Caso 1: supóngase que x es par. Escójase un entero k tal que 2x k= . ( 1) 2 (2 1)x x k k+ = + . Sea

(2 1)y k k= + ; entonces y es un entero y ( 1) 2x x y+ = , por lo tanto ( 1)x x + es par.

Caso 2: supóngase que x es impar. Escójase un entero k tal que 2 1x k= + .

( 1) (2 1)(2 2)x x k k+ = + + . Sea (2 1)( 1)y k k= + + ; entonces y es un entero y ( 1) 2x x y+ = , por

lo tanto ( 1)x x + es par.

Segundo ejemplo

Proposición: El elemento identidad e de un grupo es único.


diversos casos).

El elemento identidad, e , de un grupo es único.

36


e es el elemento identidad de un grupo.


Del hecho de que e sea el elemento identidad de un grupo se deduce que * *e a a e a= = para

cualquier elemento a del grupo. Además hay que comprender que no puede haber otro elemento

identidad porque e es único.


Acá no hay nada relevante que entender más allá de que estamos trabajando en una estructura de grupo

y que, por lo tanto, se aplican las propiedades que la definen: clausurativa, asociativa, elemento

identidad y elemento inverso.



No es una demostración por casos, ni de existencia, pero sí es una demostración de unicidad porque

hay que probar que un elemento es único.


La técnica de demostración de unicidad consiste en suponer que hay dos elementos identidad

diferentes, así 1 2e e≠ y llegar a la conclusión de que son el mismo.

Si ambos elementos 1e y 2e son elementos idénticos deben cumplir que pertenezcan al grupo y que:

1 1* *e a a e a= = y 2 2* *e a a e a= = para todo a del grupo. Entonces 1 2 2 1 1* *e e e e e= = pero

1 2 2 1 2* *e e e e e= = de modo que 2 1e e= así que sólo hay un elemento idéntico.



37


Al revisar la demostración se nota que para usar la transitividad de la última parte de la prueba no es

necesario decir que 1 2 2 1 1* *e e e e e= = y 1 2 2 1 2* *e e e e e= = , sino que sólo basta decir 1 2 1*e e e= y

que 1 2 2*e e e= , lo que acorta la demostración y la hace más clara.

Tercer ejemplo

Proposición: La suma de un número racional y un número irracional es irracional.


diversos casos).

� � � ∈ ℚ′


Para todo x , � ∈ ℚ; y para todo y , � ∈ ℚ′


De que x y+ sea irracional se deriva que x y+ no se puede escribir de la forma a

b con a y b

enteros.


Si x es racional, se puede escribir de la forma a

b con a y b enteros; pero como y es irracional, no

se puede escribir de esta forma.



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Esta proposición no involucra casos; ni hay que generar un elemento para mostrar su existencia; ni pide

demostrar que un elemento es único; tampoco es una prueba sobre números enteros, lo que hace que

no pueda seguirse una demostración por inducción; como la hipótesis es débil, sería provechoso

agregar la negación de la tesis a dicho conjunto de hipótesis, de modo que se proceda hasta llegar a una

contradicción, esto es usar la técnica de demostración por reducción al absurdo.


Lo primero es negar la tesis e incluirla como una hipótesis más:

Existe un número racional x y un número irracional y tal que x y+ es racional.

Luego se procede progresivamente hasta encontrar una hipótesis:

Se puede ver que ( )y x y x= + − , y como se asumió que x y+ y x son racionales, y como la

diferencia de dos números racionales es un número racional, entonces y debe ser racional, pero eso

contradice la hipótesis, y eso demuestra la tesis.



Al re-leer la demostración se puede pensar que se usó demasiado de prisa el hecho de que la diferencia

de dos números racionales es un número racional. Por lo tanto, conviene dejar en claro que esto es

cierto, así:

a c ad bc

b d bd

−− = que es un racional pues �� ∈ � y �d ∈ � y �d � 0 puesto que tanto b

como d son diferentes de cero.


Después de haber hecho la precisión anterior, la demostración queda suficientemente clara.

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7. CONCLUSIONES

1. Es innegable que la demostración es pilar de la construcción matemática, de hecho esto se

puede ver en los diversos usos que tiene. Demostrar proposiciones, incluso aquellas cuya

veracidad ya está determinada, es tal vez la forma más eficiente de ganar profunda

comprensión sobre éstas; a través de la demostración, los matemáticos en formación

desarrollan los procesos de pensamiento matemático que les permitirán desenvolverse en su

profesión; y, como es obvio, la demostración es la forma como las matemáticas ‘de punta’ se

desarrollan, conjeturando y probando cada vez más y más útiles proposiciones que hacen

avanzar no sólo a esta área del conocimiento, sino a todas aquellas que se nutren con su

verdades.

2. Demostrar implica compartir cultura. El hecho de que una demostración de una proposición

sea comprendida por varias personas, las involucra en una misma comunidad cultural que

comparte códigos y significados.

3. La utilidad de las otras técnicas de demostración diferentes a la regresiva-progresiva se hace

evidente en este escrito: no siempre es sencillo obtener una demostración directa de una

proposición tal como está propuesto. No obstante hay corrientes matemáticas que desprecian

las otras técnicas (sobre todo la reducción al absurdo), el matemático se privaría de poderosas

herramientas si, por un purismo estéril, decidiera no utilizar más que la técnica regresiva-

progresiva.

4. Aunque las demostraciones matemáticas se escriben desde el inicio hasta el final, no

necesariamente se piensan en ese mismo orden. Las diversas técnicas expuestas en este escrito

hacen evidente que gestar una demostración implica una lógica diferente a la que se explicita

comúnmente en su escritura. Esto trae una derivada pedagógica: en la enseñanza de las

matemáticas (que pocas veces es realmente enseñanza de la lógica demostrativa) los profesores

‘relatan’ las demostraciones tal como están escritas, enseñando pasivamente la falacia de que tal

como se escribe es como se piensa para demostrar.

5. Para demostrar una proposición es necesario comprender los tres tipos de lenguaje en los que

está expresada: verbal, lógico y conceptual, cada uno en sus tres niveles: sintáctico, gramático y

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semántico, pues sólo esto garantiza la posibilidad de generar implicaciones valiosas y

pertinentes que conduzcan a la demostración de la tesis.

6. Los tres tipos de lenguaje son importantes para la demostración de proposiciones matemáticas,

sin embargo, el lenguaje lógico es el que le da el armazón a la prueba, por eso es esencial. Allí

radica la importancia de comprender la forma de funcionamiento de los principios lógico

matemáticos (operadores lógicos, cuantificadores) para tener éxito en la formulación de

demostraciones.

7. El método general para demostrar proposiciones matemáticas resalta la importancia de los

lenguajes como vigas estructurales que sostienen la comprensión de las ideas; también explicita

los contextos de uso de cada técnica de demostración y los ordena para facilitar su selección;

por último, reúne todas las técnicas de demostración usuales y las articula en un solo algoritmo,

lo que hace que su comprensión y uso se faciliten. Por estas razones se justifica la valía de este

método como desarrollo de conocimiento matemático.

8. No obstante este texto presenta un método general de demostración que hace visibles todas las

‘cartas’ que permiten comprender e integrar las técnicas para probar proposiciones

matemáticas, la destreza en este proceso sólo se adquiere con la práctica, que además de

automatizar la habilidad, se conjuga con la metacognición para generar técnicas particulares y

personalmente efectivas.

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8. RECOMENDACIONES

El método general para demostrar proposiciones matemáticas, tal como está expuesto en este escrito,

se convierte en la enseñanza nuclear de un curso para aprender a probar matemáticamente. Por eso,

recomiendo a quien quiera basarse en éste que integre esta enseñanza con las de la lógica para fortalecer

la formación inicial de los matemáticos.

El proceso demostrativo matemático requiere de altas dosis de creatividad, pero contrario a lo que

podría pensarse, dicha creatividad no surge espontáneamente, sino que es fruto de una profunda

comprensión (en los tres tipos de lenguaje y sus tres niveles) de las proposiciones que componen un

teorema. Por esto, sugiero a quien vaya a usar este método de manera pedagógica que enseñe la forma

de identificar en una proposición cada uno de los tipos de lenguaje y sus niveles, de manera que sirvan

para hacer metacognición sobre la forma de pensar al formular la demostración.

Con base en el método estructurado en este escrito, sería posible hacer una investigación sobre las

mayores dificultades que tienen las personas al demostrar proposiciones matemáticas. Esto podría

ayudar a crear metodologías de intervención para ayudar a los matemáticos en formación, e incluso

formados, a mejorar su comprensión de las matemáticas y del proceso demostrativo.

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BIBLIOGRAFÍA

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http://zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html

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http://math.berkeley.edu/~hutching/teach/113/proofs.pdf

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http://www.uaq.mx/matematicas/redm/ (2002).

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demostración matemática: Tesis doctoral (1999)

[Mon07] V. Montoro, Concepciones de estudiantes de profesorado acerca del aprendizaje de la demostración:

Revista Electrónica de Investigación en Educación en Ciencias (2007).

[Nap02] J. Nápoles Valdés, La enseñanza de la demostración matemática: Tesis doctoral (2002)

[Sol93] D. Solow, Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas, México: Ed. Limusa (1993)

[Vel94] D. Velleman, How to Prove It: A Structured Approach, EE.UU.: Cambridge University

Press (1994)

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MÉTODO GENERAL PARA LA DEMOSTRACIÓN DE … · algoritmo general para pensar demostraciones matemáticas; dicho método se basa en la metacognición de los procesos de comprensión