LLAA DDEECCIISSIIOONN CCOONN AAPPOOYYOO CCUUAANNTTIITTAATTIIVVOO

MTODO ELECTRE

El mtodo ELECTRE (en francs: ELimination Et Choix Traduisant la REalit,

en ingles: ELimination and Choice Expressing the Reality), bsicamente,

consiste en un procedimiento para reducir el tamao del conjunto de soluciones

eficientes.

Tal reduccin se realiza por medio de una particin del conjunto eficiente en un

subconjunto de alternativas ms favorables para el centro decisor (el ncleo) y

en otro subconjunto de alternativas menos favorables. Para abordar tal tarea,

se introduce el concepto de relacin de sobreclasificacin (outranking

relationship) que es consustancial al ELECTRE en todas sus variantes:

Una eleccin o alternativa Ai sobreclasifica (outranks - S representa la relacin

de sobreclasificacin) a otra alternativa Ak cuando para los atributos

considerados, el enunciado la alternativa Ai es al menos tan buena como la

alternativa Ak es vlido. Considerando dos alternativas cualesquiera, pueden

presentarse las siguientes cuatro situaciones:

Ai S Ak y Ak No S Ai, entonces Ai es estrictamente preferida a Ak (Ai P Ak)

Ak S Ai y Ai No S Ak, entonces Ak es estrictamente preferida a Ai (Ak P Ai)

Ai S Ak y Ak S Ai, entonces Ai es indiferente a Ak (Ai I Ak)

Ai No S Ak y Ak No S Ai, entonces Ai es incomparable a Ak (Ai R Ak)

La sobreclasificacin se establece en base a dos conceptos: concordancia y

discordancia.

La concordancia cuantifica hasta qu punto para un elevado nmero de

atributos Ai es preferida a Ak.

Por otra parte, la discordancia cuantifica hasta qu punto no existe

ningn atributo para el que Ak es mucho mejor que Ai.

Para que la alternativa Ai sobreclasifique a la alternativa Ak y, por tanto, forme

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parte del ncleo o subconjunto de alternativas ms favorables, es necesario

que la concordancia entre Ai y Ak supere un umbral mnimo establecido y

que, asimismo, la discordancia entre Ai y Ak no supere otro umbral

tambin establecido de antemano.

Cuando esto sucede, puede decirse que la alternativa Ai es preferida a la

alternativa Ak desde casi cualquier punto de vista, aunque ello no implique que

Ai domine, desde un punto de vista paretiano, a Ak.

La principal ventaja de la relacin de sobreclasificacin es que en ella no

subyace necesariamente el supuesto de transitividad de preferencias o de

comparabilidad, que s subyace a cualquier enfoque basado en funciones de

utilidad. As, si A1 S A2 y A2 S A3 esto no implica necesariamente que A1 S A3.

As el ELECTRE reconoce con acierto que las razones que llevan al centro

decisor a preferir A1 a A2 y aquellas que le llevan a preferir A2 a A3 pueden ser

muy diferentes y no conducir, por tanto, a que A1 sea preferida a A3.

En cuanto a la comparabilidad en muchos contextos decisionales,

frecuentemente, el centro decisor no puede o no desea comparar alternativas

debido, entre otras posibles razones, a falta de informacin, insuficiente

precisin en las mediciones, inconmensurabilidad de los criterios, etc.

La relacin de sobreclasificacin se utiliza para formar un grafo en el que cada

vrtice del mismo representa una de las alternativas o elecciones no

dominadas. A partir de este grafo, se establece un subgrafo, que constituye el

ncleo del conjunto de alternativas favorables.

Los vrtices del ncleo representan las alternativas o elecciones que son

preferidas segn la relacin de sobreclasificacin establecida en base a los

ndices de concordancia y discordancia. Los vrtices (alternativas) que no

forman parte del ncleo se eliminan del anlisis.

Estructura Algortmica del Mtodo ELECTRE

Paso 1. Se parte de un conjunto de m alternativas A={Ai} y un conjunto de n

criterios C={Cj}, as como de un vector de pesos W.

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Paso 2. A partir de la matriz decisional (rij= Cj(Ai)) y del vector de pesos W se

calcula la matriz de ndices de concordancia de la siguiente manera:

El ndice de concordancia c(i,k) entre las alternativas Ai y Ak se obtiene

sumando los pesos asociados a los criterios en los que la alternativa i es mejor

que la alternativa k; en caso de empate se asigna la mitad del peso a cada una

de las alternativas.

aalternativ otra 0;w2

1w)k,i(c

)A(C)A(C;j

j

)A(C)A(C;j

j

kjijkjij

Paso 3. Se procede a normalizar los elementos de la matriz decisional inicial.

La matriz normalizada puede calcularse de diferentes modos (Ver Anexo:

Cuadro de Procedimientos de Normalizacin).

Paso 4. A partir de la matriz decisional normalizada, multiplicando cada

columna de la misma por el peso preferencial correspondiente se obtiene la

matriz decisional normalizada y ponderada.

Paso 5. De la matriz decisional normalizada y ponderada se deducen los

ndices de discordancia de la siguiente manera. El ndice de discordancia d(i,k)

entre las alternativas Ai y Ak se calcula como la diferencia mayor entre los

criterios para los que la alternativa i est dominada por la k, dividiendo

seguidamente dicha cantidad por la mayor diferencia en valor absoluto entre

los resultados alcanzados por la alternativa i y la k. A partir de los ndices de

discordancia se construye la matriz de ndices de discordancia.

)A(C)A(Cmax

)A(C)A(Cmax

)k,i(dkjij

j

kjij)A(C)A(C;j kjij

Paso 6. Se fija un umbral mnimo c - para el ndice de concordancia, as como

un umbral mximo d - para el ndice de discordancia. Habitualmente como

valores iniciales se utilizan tanto para c como para d, los valores medios.

Paso 7. Se calcula la matriz de dominancia concordante de la siguiente

manera. Cuando un elemento de la matriz de ndices de concordancia (paso 2)

es mayor que el valor umbral c - (paso 6) en la matriz de dominancia

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concordante se escribe un uno, en caso contrario, se escribe un cero.

Denominando Vc= cikv a la matriz de dominancia concordante cada uno de

sus elementos se obtiene siguiendo la siguiente regla:

Si 1vc)k,i(c cik , si 0vc)k,i(cc

ik

Paso 8. Se calcula la matriz de dominancia discordante de la siguiente manera.

Cuando un elemento de la matriz de ndices de discordancia (paso 5) es menor

que el valor umbral d - (paso 6) en la matriz de dominancia discordante se

escribe un uno, en caso contrario, se escribe un cero.

Denominando Vd= dikv a la matriz de dominancia concordante cada uno de

sus elementos se obtiene siguiendo la siguiente regla:

Si 1vd)k,i(d dik , si 0vd)k,i(dd

ik

Paso 9. Se calcula la matriz de dominancia agregada (concordante-

discordante) multiplicando los trminos homlogos de las matrices de

dominancia concordante y de dominancia discordante calculados en los pasos

7 y 8 del algoritmo. La interpretacin analtica de los elementos de esta matriz

es muy intuitiva. As, si el elemento ik toma el valor uno, esto significa que la

alternativa i-sima es mejor que la k-sima para un nmero importante de

criterios (concordancia) y no es claramente peor para ningn criterio

(discordancia). Consecuentemente la alternativa i-sima sobreclasifica a la k-

sima. Por el contrario, si el elemento ik toma el valor cero, esto significa que la

alternativa i-sima no es mejor que la k-sima para un nmero importante de

criterio y/o es claramente peor para algn criterio. Consecuentemente la

alternativa i-sima no sobreclasifica a la k-sima.

Paso 10. Se determina el grafo ELECTRE. Para ello operamos de la siguiente

manera. Cada alternativa representa un vrtice del grafo. Del vrtice i al vrtice

k se traza un arco, si y slo si el correspondiente elemento de la matriz de

dominancia agregada es uno. Operando de tal forma obtenemos el grafo

ELECTRE. Dicho grafo constituye una representacin grfica de la ordenacin

parcial de preferencias de las alternativas consideradas. El ncleo del grafo

ELECTRE est formado por aquellas alternativas que no se dominan

(sobreclasifican) entre s (esto es, no existen arcos de llegada en los

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correspondientes vrtices), quedando adems las restantes alternativas

dominadas (sobreclasificadas) por alguna alternativa del ncleo (esto es, existe

al menos algn vrtice del ncleo del que sale un arco a los vrtices que no

forman parte del ncleo).

Consecuentemente con el anlisis efectuado, las alternativas que no forman

parte del ncleo se eliminan del proceso de eleccin.

Un Ejemplo Sencillo

Sea el problema de elegir el trazado de una carretera con cinco posibles

alternativas A, B, C, D y E, evaluadas por su costo (C1), impacto medio

ambiental (C2) y tiempo de ejecucin (C3), con los siguientes valores:

C1 C2 C3

A 1,000 8,000 1,000

B 2,000 6,000 2,000

C 2,500 7,000 1,500

D 3,000 4,000 2,000

E 4,000 2,000 2,500

Pesos 0,588 0,294 0,118

Aplicacin del Mtodo ELECTRE:

Paso 2: Construccin de la Matriz de ndices de Concordancia.

Tabla 1: Matriz de ndices de Concordancia

A B C D E

A 0,706 0,706 0,706 0,706

B 0,294 0,882 0,647 0,706

C 0,294 0,118 0,706 0,706

D 0,294 0,353 0,294 0,706

E 0,294 0,294 0,294 0,294

Paso 3: Normalizacin de la Matriz de Decisin.

En este caso el procedimiento aplicado es el siguiente:

j

ij

j

ij

j

ijij

ijNorm

rminrmax

rminr

r

6

Tabla 2: Matriz de Decisin Normalizada

C1 C2 C3

A 0,000 1,000 0,000

B 0,333 0,667 0,667

C 0,500 0,833 0,333

D 0,667 0,333 0,667

E 1,000 0,000 1,000

Paso 4: Construccin de la Matriz de Decisin Normalizada y Ponderada.

Tabla 3: Matriz de Decisin Normalizada y Ponderada

C1 C2 C3

A 0,000 0,294 0,000

B 0,196 0,196 0,079

C 0,294 0,245 0,039

D 0,392 0,098 0,079

E 0,588 0,000 0,118

Paso 5: Construccin de la Matriz de ndices de Discordancia.

Tabla 4: Matriz de ndices de Discordancia

A B C D E

A 0,500 0,167 0,500 0,500

B 1,000 0,401 0,500 0,500

C 1,000 1,000 1,000 0,833

D 1,000 1,000 0,667 0,500

E 1,000 1,000 1,000 1,000

Paso 6: Determinacin de los umbrales de Concordancia y discordancia:

En este caso se fija como umbral de concordancia y discordancia las medias

de los respectivos ndices: c = 0,50 y d = 0,7534.

Paso 7: Construccin de la Matriz de Dominancia Concordante.

Tabla 5: Matriz de Dominancia Concordante

A B C D E

A 1 1 1 1

B 0 1 1 1

C 0 0 1 1

D 0 0 0 1

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A B C D E

E 0 0 0 0

Paso 8: Construccin de la Matriz de Dominancia Discordante.

Tabla 6: Matriz de Dominancia Discordante

A B C D E

A 1 1 1 1

B 0 1 1 1

C 0 0 0 0

D 0 0 1 1

E 0 0 0 0

Paso 9: Construccin de la Matriz de Dominancia Agregada.

Tabla 7: Matriz de Dominancia Agregada

A B C D E

A 1 1 1 1

B 0 1 1 1

C 0 0 0 0

D 0 0 0 1

E 0 0 0 0

Paso 10: Construccin del Grafo ELECTRE

A D

C

E

Ncleo

B

De acuerdo a los resultados de la Matriz de Dominancia Agregada que se

representan en el grafo, A sobreclasifica a todas las alternativas y no es

sobreclasificada por alternativa alguna, por tanto, es la nica integrante del

ncleo y es la mejor alternativa.

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Bibliografa.

Mousseau, V. y Roy, B (2005): Electre Methods, en Figueira, J., Greco, S. y

Ehrogott, M, editores, Multiple Criteria Decision Analysis: State of the Art

Surveys, International Series in Operations Research and Management

Science. Springer.

Romero, C. (1993): Teora de la Decisin Multicriterio: Conceptos, tcnicas y

aplicaciones. Alianza.

Vitoriano, B. (2007): Teora de la decisin: Decisin con Incertidumbre,

Decisin Multicriterio y Teora de Juegos. Universidad Complutense de Madrid.