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METODO DE SUPERFICIE DERESPUESTA

SEPTIEMBRE 2017

Indice general

1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. MODELOS DE PRIMER ORDEN Y DISENOS FACTORIALES . 33. DIRECCION DE MAXIMA PENDIENTE . . . . . . . . . . . . . . . 44. MODELO CUADRATICO Y DISENO

CENTRAL COMPUESTO (DCC). EJEMPLO . . . . . . . . . . . . 85. ANALISIS “RIDGE”. EJEMPLO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1. INTRODUCCION

El MSR es aplicable tanto a la mejora de los procesos que estan ya enproduccion como a los que se encuentran en fase de diseno.

Consideremos un proceso industrial en el que se desea optimizar el rendi-miento o alguna caracterıstica cualitativa del producto fabricado. A la varia-ble “y”a optimizar la denominaremos variable dependiente o variable derespuesta mientras que a las otras “k” variables “x1.x2. · · ·xk” con influen-cia significativa sobre la respuesta las denominaremos variables indepen-dientes o variables predictoras. Supondremos que, tanto la variable derespuesta como las variables predictoras son de tipo continuo ası como quees posible controlar los valores de las variables predictoras.

Si conocieramos la relacion funcional que expresara la dependencia de lavariable de respuesta respecto de las variables predictoras, podriamos ela-borar un modelo: y = f(x1.x2 · · · xk) + ε en el que ε serıa el termino deerror que engloba la accion de otras variables independientes desconocidasno consideradas en el modelo. A partir de este modelo, podrıamos estudiar lavariacion de la respuesta en la region de interes, y tambien, optimizar dicharespuesta. Sin embargo, la funcion “f” nos es desconocida, a menos que unaley de naturaleza fısica o quımica rija la relacion de dependencia.

La solucion ofrecida por el MSR consiste en ajustar por regresion unmodelo empırico a partir de los datos obtenidos aplicando un diseno expe-rimental adecuado. Estos modelos son expresiones polinomiales sencillasde primer y segundo orden obtenidas, respectivamente, por aplicacion de di-senos factoriales y del diseno central compuesto (DCC). La practica

2 Metodo de superficie de Respuesta (MSR)

de su utilizacion confirma que, para una region limitada del campo experi-mental, estos modelos constituyen una aproximacion efectiva a la relacionfuncional desconocida “f”.

Por otra parte, recordemos que la funcion“f”, si se conociera, admitirıa undesarrollo polinomial segun la formula de Taylor. La aproximacion serıa masexacta cuanto mayor fuese el orden del polinomio. Los modelos de primer ysegundo orden son, precisamente, los desarrollos polinomiales mas sencillos.

Entre las caracterısticas mas notables del MSR destacamos su naturalezasecuencial y la importancia de los procedimientos graficos, sobre todo, larepresentacion de las denominadas“lıneas de nivel”que permiten visualizarla variabilidad de la respuesta y facilitar su optimizacion. Respecto de lasecuencia a seguir, senalamos la conveniencia de seleccionar, en primer lugar,las variables independientes que, por su mayor influencia sobre la respuestaformaran parte del modelo. Esta seleccion se realiza mediante un diseno decribado que, generalmente, sera un diseno factorial o factorial fraccional ados niveles.

Dada la dificultad para que un modelo sencillo de primer o segundo ordendescriba la variabilidad de la respuesta en una region amplia del campo ex-perimental, el metodo procede por etapas de forma que la progresion desde elpunto inicial de operacion hasta la zona optima se realiza a traves de sucesivasaproximaciones ajustando modelos de primer orden mediante la utilizacionde disenos factoriales. Los centros de los sucesivos disenos siguen la di-reccion de maxima pendiente en la variacion de la respuesta. Cada disenosolo se extiende a una limitada region del campo experimental. Cuando sealcanza la zona optima, caracterizada por una mayor curvatura, se ajusta unmodelo de segundo orden que definira la posicion del punto optimo.

Destacamos la importancia dentro del MSR del diseno central com-puesto (DCC) como diseno basico a utilizar en la elaboracion del modelode segundo orden o modelo cuadratico. El DCC consta de un diseno fac-torial aumentado con la presencia de puntos centrales y axiales segun lo yadescrito en el punto 2.1 de nuestro artıculo Diseno de Procesos Robustos de11/02/15.

El Modelo cuadratico es muy flexible y se adapta bien a la variabilidadde la respuesta por ser capaz de adoptar, entre otras, formas de Maximo,Mınimo o el llamado Mini-Max.

A veces, la respuesta a optimizar es multiple y se requiere el uso de pro-

Metodo de superficie de Respuesta (MSR) 3

cedimientos de optimizacion especıficos como son la superposicion de variasfamilias de lıneas de nivel o el uso de la funcion de“deseabilidad”. Los modeloscuadraticos seran analizados con detalle mediante la utilizacion del AnalisisCanonico y del Analisis “Ridge”.

En los siguientes puntos incidiremos sobre los conceptos anticipados enesta introduccion presentando, tambien, varios ejemplos de aplicacion. Fi-nalmente, senalamos que el ajuste de los modelos se realiza aplicando elprocedimento de Regresion Multiple. Por ello, recomendamos la lectura denuestro artıculo sobre el particular de Junio 2011.

2. MODELOS DE PRIMER ORDEN Y DISENOS

FACTORIALES

El investigador que busca mejorar un proceso y/o optimizar una respuestaaplicando el MSR actua de forma secuencial. No se trata de describir y mode-lar la respuesta de manera exhaustiva para la totalidad del campo de variacionexperimental sino que, en cada etapa, se utiliza la informacion obtenida en laetapa anterior y se van explorando regiones limitadas dentro del campo ex-perimental de forma que se pueda alcanzar la zona optima de funcionamientocon la mayor rapidez y economıa posibles. En definitiva, no sera necesarioinvestigar la totalidad del campo de variacion.

Al comienzo de la experimentacion lo habitual sera que el punto de funcio-namiento inicial se situe alejado de la zona optima (por eso queremos mejorarel proceso). En esta situacion, la practica indica que el modelo de primer or-den, el mas sencillo de los existentes, puede mejorar con eficiencia la respuestaen el entorno del punto inicial. El diseno utilizado para sustentar este modeloes el diseno factorial a dos niveles con 2k puntos experimentales aumentadocon un punto central que coincide con el punto inicial de funcionamiento.Posteriormente, cuando el proceso se acerca a la zona optima la respuestapresenta curvatura y precisa, para el ajuste, un diseno mas complejo tal comoel Diseno Central Compuesto (DCC).

El modelo de primer orden para k variables predictoras es:

y = β0 + β1x1 + β2x2 + · · ·+ βkxk + ε


y su expresion simplificada:

y = β0 +∑i=k

i=1 βixi + ε.

El termino de error ε se supone conforme con una distribucion normalN(0.σ) que representa el efecto conjunto de todas las variables no conside-radas en el modelo. Cada coeficiente βi equivale a la variacion que experi-menta la respuesta “y” cuando la correspondiente variable xi se modifica enuna unidad y a las restantes variables se las asignan valores fijos.

3. DIRECCION DE MAXIMA PENDIENTE

Supongamos un proceso industrial en el que se desea maximizar la durezadel producto fabricado. Las variables predictoras seleccionadas son Tiempoy Temperatura. El punto de funcionamiento inicial es:

Tiempo = 16h y Temperatura = 1100C.

Con objeto de ajustar un modelo lineal en el entorno del punto inicial, seutiliza un diseno factorial 22 aumentado con un punto central que coincidecon el punto inicial del proceso (T=16;Temperatura=1100).

Las variables codificadas del diseno: x1, x2 estan relacionadas con las varia-bles originales Tiempo(horas) y Temperatura(ºC) mediante las expresiones:

x1 =Tiempo− 16

1; x2 =

Temperatura− 1100

40

siendo la escala para el Tiempo igual a la unidad y para la temperaturaigual a 40.

El diseno con los valores originales y codificados de las variables predicto-ras y las correspondientes respuestas, resulta:


Variables originales Variables codificadas

Tiempo Temperatura x1 x2 y (Respuesta)

15 1060 -1 -1 68.217 1060 1 -1 71.415 1140 -1 1 72.517 1140 1 1 74.316 1100 0 0 71.9

De acuerdo con los calculos efectuados con el programa estadısticoSTATGRAPHICS (pag 6) el modelo de regresion ajustado para la respuestaes y = 71.66 + 1.25x1 + 1.8x2

Las lineas de nivel correspondientes a la superficie de respuesta estanrepresentadas en la pag 7 por un conjunto de lineas rectas paralelas de pen-

diente m1 =−1.25

1.8= −0.694. La direccion de maxima pendiente es perpen-

dicular a las rectas de nivel y tiene por pendiente m2 = − 1

m1= 1.441.

En esta direccion, la variacion en sentido ascendente de la respues-tas sera maxima. Siguiendo la lınea de maxima pendiente desde el puntoinicial de funcionanmiento nos acercaremos a la zona de respuesta optima delproceso hasta que el valor real de la respuesta deje de crecer.

De la ejecucion de los correspondientes experimentos a lo largo de la rectade maxima pendiente resultan los valores observados para la respuesta quecomparamos con las estimaciones dadas por el modelo lineal.

A partir del punto central, se han ejecutado 6 experimentos adicionalescon un intervalo para x1 de 0.5.

x1 x2 Respuesta observada Respuesta estimada

0.0 0.0 71.9 71.660.5 0.72 73.8 73.581.0 1.44 78.0 75.501.5 2.16 82.8 77.422.0 2.88 85.0 79.342.5 3.6 82.5 81.263.0 4.32 77.0 83.19



Path of Steepest Ascent for Y

Predicted

X1 X2 Y---------- ---------- ------------0.0 0.0 71.660.5 0.72 73.5811.0 1.44 75.5021.5 2.16 77.4232.0 2.88 79.3442.5 3.6 81.2653.0 4.32 83.1863.5 5.04 85.1074.0 5.76 87.028

Contours of Estimated Response Surface

X1

Y68.069.070.071.072.073.074.075.076.077.0

68

69

70

71

7273 74 75 76

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

277

X2

1 2

3 4

5


Se ve que la respuesta observada deja de crecer a partir del punto x1 =2.0;x2 = 2.88 senalando, tambien, la presencia de curvatura y falta de ade-cuacion con la estimacion del modelo lineal cuyos valores siguen creciendo.

El nuevo modelo lo obtendremos a partir de un diseno central compuesto(DCC) con centro en x1 = 2.0; x2 = 2.88. En el punto 4 trataremos condetalle sobre el modelo cuadratico y el DCC que lo genera continuando conel presente ejemplo. (pag 22)

4. MODELO CUADRATICO Y DISENO

CENTRAL COMPUESTO (DCC). EJEMPLO

El modelo cuadratico para “k” variables independientes tiene la expresiongeneral y = β0 +

∑k1 βixi +

∑k1 βiix

2i +

∑k1

∑k1 βijxixj + ε. Si prescindimos

del termino de error (ε), la ecuacion del modelo ajustado con los coeficientesestimados para los correspondientes parametros es:

y = b0 +∑bixi +

∑biix

2 +∑∑

bijxixj

Por ejemplo, para k=2 tendrıamos:

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b11x21 + b22x

22 + b12x1x2

y para k=3

y = b0 +b1x1 +b2x2 +b3x3 +b11x21 +b22x

22 +b33x

23 +b12x1x2 +b13x1x3 +b23x2x3

Los coeficientes, en total N = 1 + 2k +k(k − 1)

2, se estiman por el

metodo de Regresion a partir de los datos obtenidos de un diseno expe-rimental. El diseno fundamental de aplicacion en este caso es el DisenoCentral Compuesto (DCC) que consta de un total de N’ puntos siendoN ′ = 2k︸︷︷︸

puntosfactoriales

+ 2k︸︷︷︸puntosaxiales

+ nc︸︷︷︸puntoscentrales


Es util, como veremos en el posterior desarrollo, el uso de la expresionmatricial del modelo segun:

y = b0 + [X ′][b] + [X ′][B][X]

donde [b] =

b1

b2...bk

; [B] =

b11b122 · · · b1k

2

b22 · · · b2k2

SIMETRICA bkk

; [X] =

x1

x2...xk

Observese que la matriz B asociada a una forma cuadratica es simetrica.

En un ejemplo numerico, para k=3, si la ecuacion del modelo ajustadoes y = 40 + 2x1 + 4x2 − 6x3 + 4x2

1 + 8x22 − 6x2

3 + 4x1x2 − 6x1x3 + 8x2x3

tendremos:

b0 = 40; [b] =

24−6

;B =

4 2 −32 8 4−3 4 −6

;X =

x1

x2

x3

siendo la expresion matricial:

y = 40 +[x1 x2 x3

]︸︷︷︸(1,3)

24−6

︸︷︷︸

(3,1)︸︷︷︸(1,1)

+[x1 x2 x3

]︸︷︷︸(1,3)

4 2 −32 8 4−3 4 −6

︸︷︷︸

(3,3)︸︷︷︸(1,3)

x1

x2

x3

︸︷︷︸

(3,1)

︸︷︷︸(1,1)

Como comprobacion, efectuaremos los productos de matrices arriba indi-cados para obtener de nuevo la expresion polinomial de la forma cuadratica.Entre parentesis, se indica el orden de cada matriz.

y = 40+2x1+4x2−6x3+[4x1 + 2x2 − 3x3 2x1 + 8x2 + 4x3 −3x1 + 4x2 − 6x3

]︸︷︷︸(1,3)

x1x2x3

︸︷︷︸(3,1)︸︷︷︸

(1,1)


y = 40+2x1 +4x2−6x3 +4x21 +2x1x2−3x1x3 +2x1x2 +8x22 +4x2x3−3x1x3 +4x2x3−6x23

y = 40 + 2x1 + 4x2 − 6x3 + 4x21 + 8x22 − 6x23 + 4x1x2 − 6x1x3 + 8x2x3

Valores y vectores propios de una matriz

Por su importancia en la caracterizacion y optimizacion de modelos cua-draticos exponemos a continuacion los conceptos de valores propios y vectorespropios de una matriz.

Valores propios

Sea [A] una matriz cuadrada de orden “n”.

El polinomio caracterıstico de [A] es el desarrollo del determinante |A−λI|donde I es la matriz identidad de orden n.

Las raices λ1.λ2 · · ·λn del polinomio caracterıstico calculadas de|A− λI| = 0 son los valores propios de la matriz [A].

Como ejemplo, consideremos la matriz cuadrada y simetricaA =

1 2 02 3 10 1 4

.

Sus valores propios seran las raices del polinomio:

∣∣∣∣∣∣1 2 0

2 3 10 1 4

− λ1 0 0

0 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣ = 0 −→

∣∣∣∣∣∣1− λ 2 0

2 3− λ 10 1 4− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0

λ3 − 8λ2 + 14λ+ 5 = 0 −→ raices: λ1 = −0.3028;λ2 = 3.3028;λ3 = 5

Observese que la traza [A] = 8 = λ1 +λ2 +λ3 y que |A| = −5 = λ1 ·λ2 ·λ3

Es decir, la traza de la matriz equivale a la suma de sus valores propiosy el valor del determinante de la matriz es igual al producto de los valorespropios.


Vectores propios

Se denominan vectores propios de una matriz cuadrada [A] de orden“n”alsistema de n vectores V1.V2 · · ·Vn que verifican [A]V = λV donde el escalarλ es, precisamente, un valor propio de la matriz [A].

Dada la matriz del ejemplo anterior, para λ3 = 5 tendremos:

1 2 02 3 10 1 4

x1

x2

x3

= 5

x1

x2

x3

⇒ 2x1 − x2 = 02x1 − 2x2 + x3 = 0x2 − x3 = 0

De las infinitas soluciones del sistema, seleccionaremos aquellas de las que

resulta un vector de modulo unidad.

V3 =

x32x3

x3

; (x32 )2 + x23 + x2

3 = 1 −→ x3 =2

3= 0.666667

En consecuencia, el vector propio correspondiente al valor propio λ3 = 5sera:

V3 =

0.3333330.6666670.666667

.

De la misma forma, se obtienen los vectores propiops V1 y V2 correspon-dientes a los valores propios λ1 = −0.3028 y λ2 = 3.3028.

V1 =

0.831251−0.5414670.125841

;V2 =

−0.444872−0.512220.734656

En conclusion, la matriz de vectores propios de la matriz [A] sera la matriz[V ] que tiene por columnas los vectores propios de [A].


[V ] =

0.831251 −0.444872 0.333333−0.541467 −0.51222 0.6666670.125841 0.734656 0.666667

Observese que los tres vectores propios son ortogonales entre si ya que susproductos escalares son nulos. Por ejemplo, para los vectores V1, V3 tenemos:

(0.83125)(0.333333) + (−0.541467)(0.666667) + (0.125841)(0.666667) = 0

Por otra parte, la matriz de vectores propios diagonaliza a la matriz [A]:

[V ′][A][V ] =

0.831251 −0.541467 0.125841

−0.444872 −0.51222 0.734656

0.333333 0.666667 0.666667

1 2 0

2 3 1

0 1 4

0.831251 −0.444872 0.333333

−0.541467 −0.51222 0.666667

0.125841 0.734656 0.666667

[V ′][A][V ] =

−0.3028 0 00 3.3028 00 0 5

que es la matriz diagonal Λ formada

por los valores propios λ1.λ2.λ3.


Calculo del punto estacionario y de la ecuacion canonica

La ecuacion del modelo respecto de los ejes X iniciales es:

y = b0 + [X ′]b+ [X ′]B[X]

Para dos variables predictoras, correspondientes a la figura de la presentepagina tenemos:

[X] =

[x1

x2

]; b =

[b1

b2

];B =

b11b12

2b12

2b22


En el punto estacionario [Xs] se cumple ∂y∂X = 0→ ∂y

∂X = b+ 2BX = 0

Xs = − b2B = −1

2B−1b

La respuesta ys sera:

ys = b0 +X ′sb+X ′sBXs = b0 +X ′s(b+BXs)

ys = b0 +X ′s(b−1

2BB−1b) = b0 +X ′s(b−

b

2) = b0 +

X ′sb

2

ys = b0 + 12X′sb

La ecuacion del modelo respecto de los ejes Z paralelos a los ejes X inicialesy que pasan por el punto estacionario se obtiene mediante una traslaciondada por X = Z +Xs

Ecuacion inicial: y = b0 +X ′b+X ′BX

Sustituyendo: X = Z +Xs en la ecuacion inicial

y = b0 + (Z +Xs)′b+ (Z +Xs)

′B(Z +Xs)

y = b0 + (Z ′ +X ′s)b+ (Z ′ +X ′s)B(Z +Xs)

y = b0 + Z ′b+X ′sb+ (Z ′B +X ′sB)(Z +Xs)

y = b0 + Z ′b+X ′sb+ Z ′BZ + Z ′BXs +X ′sBZ +X ′sBXs

Agrupando los terminos correspondientes a ys resulta:

y = b0 +X ′sb+X ′sBXs︸︷︷︸ys

+Z ′b+ Z ′BZ + Z ′BXs +X ′sBZ

y = ys + Z ′b+ Z ′BZ + Z ′BXs +X ′sBZ (1)


Partiendo de Xs = −B−1b2 y multiplicando ambos miembros por Z’B

Z ′BXs = −Z′BB−1b

2= −Z

′b

2(2)

X ′s = −(B−1b)′

2= −b

′(B−1)′

2= −b

′B−1

2

ya que B es simetrica, B−1 tambien es simetrica.

Entonces:

(B−1)′= B−1

A partir de X ′s = −b′B−1

2 , multiplicamos los dos miembros por BZ

X ′sBZ = −b′B−1BZ

2= −b

′Z

2(3)

Sustituyendo las expresiones (2) y (3) en la ecuacion (1) tenemos:

y = ys + Z ′b+ Z ′BZ − Z ′b

2− b′Z

2= ys + Z ′BZ +

Z ′b

2− b′Z

2

Dado que Z ′b = b′Z

[z1 z2 · · · zk

] b1

b2...bk

=[b1 b2 · · · bk

] z1

z2...zk

= b1z1 + b2z2 + · · ·+ bkzk

Tendremos: y = ys + Z ′BZ


Si V es una matriz ortogonal, sabemos que V ′ = V −1

Una matriz ortogonal V representa un giro en el espacio. Mediante dichogiro, un vector ~x al que se aplica una transformacion representada por lamatriz V se transforma en otro vector ~y del mismo modulo:

~y = V ~x⇒ |~y| = |~x|

Tambien, se cumple V ′BV = Λ siendo Λ la matriz diagonal formada porlos valores propios de B. Las columnas de la matriz V son los vectores propiosde B.

El giro para pasar de los ejes Z a los ejes W viene dado por la transforma-cion W = V ′Z. Si premultiplicamos ambos miembros por V : VW = V V ′Zy teniendo en cuenta que V ′ = V −1 resulta:

VW = V V −1︸︷︷︸[I]

Z ⇒ Z = VW

Z ′ = (VW )′ = W ′V ′ → Z ′ = W ′V ′

de la ecuacion y = ys + Z ′BZ, sustituyendo Z = VW y Z ′ = W ′V ′

pasamos a:

y = ys +W ′ V ′BV︸︷︷︸Λ

W puesto que se cumple V ′BV = Λ

Obtenemos:

y = ys +W ′ΛW equivalente a y = ys +∑k

1 λiW2i donde λi son los valores

propios de la matriz B.

En definitiva, de la ecuacion inicial respecto a los ejes X:

y = b0 +X ′b+X ′BX hemos pasado a la y = ys + Z ′BZ respecto de losejes Z que pasan por el punto estacionario y, finalmente, a la y = ys+W ′ΛWmediante un giro. A esta expresion y a su equivalente y = ys+λ1W

21 +λ2W

22 +

· · ·+ λkW2k se la denomina ecuacion canonica del modelo cuadratico.


Segun los signos de los valores propios λi, la representacion de la ecua-cion canonica dara lugar a diversos tipos de formas cuadraticas. En general,si todos los signos son negativos, la forma cuadratica adoptara forma deMaximo, si todos los signos son positivos la forma correspondera a un Mı-nimo. Cuando los signos sean positivos y negativos la respuesta correspon-dera a un Minimax.

Como ejemplo, consideremos el caso de dos variables (K = 2) y diferentessignos para los valores propios λi:

a) Maximo: La ecuacion y = 60−3x21−3x2

2 con los dos valores propiosnegativos se representa en la figura a) de la pagina 18

b) Mınimo: La ecuacion y = 60 + 3x21 + 3x2

2 con ambos valores propiospositivos se representa que la figura b) de la pagina 18

c) Minimax: La ecuacion y = 60 − 3x21 + 3x2

2 viene reprensentada enla figura c de la siguente pagina 18

Ademas, la forma cuadratica puede adoptar otras formas tıpicas. Por ejem-plo, cuando alguno de los valores propios es proximo a cero toma formas decrestas y valles estacionarios como las representadas en las paginas 19y 20. Observese que en la optimizacion de este tipo de forma cuadratica,existen muy diversos pares de valores (x1.x2) que dan lugar a valores de larespuesta proximos al optimo.

Finalmente, cuando el punto estacionario se situa en una zona alejada dela region experimental y uno de los valores propios es proximo a cero, tenemosel caso de cresta ascendente o descendente (pag 21).






Ejemplo modelo cuadratico

Como continuacion del ejemplo iniciado en el punto anterior desarrollamosun diseno central compuesto (DCC) que servira de base para la obtencion deun modelo cuadratico.

El punto central del nuevo diseno, con coordenadas (0,0), corresponde alpunto de coordenadas (2; 2.88) respecto al anterior sistema de coordenadasen el que la respuesta observada dejo de crecer. En valores originales, el nuevocentro es:

Tiempo = x1 + 16 = 2 + 16 = 18 horas

Temperatura = 1100º + 40x2 = 1100º + 40 ∗ 2.88 = 1215º C

Las nuevas coordendas codificadas seran:

x1 =Tiempo − 18

1⇒ Tiempo =18 + x1

x2 =Temperarura − 1215

40⇒ Temperatura =1215 + 40x2

El diseno (DCC) con las variables codificadas y originales, ası como conlas respuestas obtenidas tras la ejecucion de los experimentos resulta:

Variables codificadas Variables originales

x1 x2 Tiempo Temperatura y(Respuesta)

-1 -1 17 1175 79.11 -1 19 1175 85.0-1 1 17 1255 82.41 1 19 1255 79.5-1.41421 0 16.6 1215 81.81.41421 0 19.4 1215 83.40 -1.41421 18 1158 82.00 1.41421 18 1272 79.50 0 18 1215 85.0


Segun lo calculado con el programa estadıstico STATGRAPHICS (pags24/25) el modelo cuadratico de regresion ajustado para la respuesta es:

y = 85.0 + 0.658x1 − 0.717x2 − 1.244x21 − 2.169x2

2 − 2.2x1x2

Este modelo explica el 99.1 % de la variabilidad total.


Modelo cuadrático




Caracterizacion del modelo cuadratico

A fin de caracterizar el modelo lo expresaremos en forma matricial:

y = b0 + [X ′][b] + [X ′][B][X] + ε

donde b0 = 85; [b] =

[0.658−0.717

]; [B] =

[−1.244 −1−1.1 −2.169

]

[X] =

[X1

X2

]; [X ′] =

[X1 X2

]; ε: Termino error N(0.σ)

Los valores propios de [B] resultan de resolver la ecuacion:∣∣∣∣−1.244− λ −1.1−1.1 −2.169− λ

∣∣∣∣ = 0

(−1.244− λ)(−2.169− λ)− 1.21 = 0;λ2 + 3.413 + 1.488 = 0⇒ λ1 = −0.51;λ2 = −2.90

Las coordenadas (Xs.ys) del punto estacionario seran:

[Xs] = −12 [B]−1[b]; [B]−1 =

[−1.457 0.7390.739 −0.836

];

[Xs] = −12

[−1.457 0.7390.739 −0.836

] [0.658−0.717

]=

[0.744−0.543

]

ys = b0 + 12 [X ′s][b] = 85 + 1

2

[0.744 −0.543

] [ 0.658−0.717

]= 85.439

En este caso, con solo dos variables predictoras, hubiera sido tambien

sencillo obtener el punto estacionario a partir del sistema

∂y

∂x1= 0

∂y

∂x2= 0


Dado que y = 85 + 0.658x1 − 0.717x2 − 1.244x21 − 2.169x2

2 − 2.2x1x2

∂y

∂x1= 0→ 0.658− 2.488x1 − 2.2x2 = 0

∂y

∂x2= 0→ −0.717− 2.2x1 − 4.338x2 = 0

x1 = 0.744x2 = −0.543

Estos valores coinciden con las coordenadas ya calculadas del vector [Xs]

La ecuacion canonica de la forma cuadratica sera:

y = ys + λ1W21 + λ2W

22 → y = 85.439− 0.51W 2

1 − 2.90W 22

Dado que los coeficientes de W 21 y de W 2

2 son ambos negativos, la formacuadratica correspondera a un maximo.

El valor optimo para la respuesta, y = 85.439, se alcanza en el puntoestacionario de coordenadas codificadas x1 = 0.744, x2 = −0.543 y de coor-denadas en valores originales:

Tiempo =18 + x1 = 18.744h.

Temperatura =1215 + 40x2 = 1193ºC

Las ecuaciones del modelo respecto de los distintos sistemas de ejes son:

Ecuacion respecto a los ejes X1, X2 que se cortan en el centro del diseno:

y = 85 + 0.658x1 − 0.717x2 − 1.244x21 − 2.169x2

2 − 2.2x1x2

Ecuacion respecto de los ejes Z1.Z2 paralelos a los ejes X1.X2 que se cortanen el punto estacionario:

y = 85.439− 1.244z21 − 2.169z2

2 − 2.2z1z2


Ecuacion canonica respecto de los ejes W1.W2:

y = 85.439− 0.51W 21 − 2.90W 2

2

Finalmente, indicamos que el grafico de lineas de nivel de la pag 26 muestracon claridad la presencia del maximo en el punto estacionario.

5. ANALISIS “RIDGE”. EJEMPLO

El analisis “Ridge” (Cresta) presenta un notable interes en el estudio dealgunos casos de Superficie de Respuesta. Por ejemplo, en los supuestos enque el punto estacionario calculado (maximo o mınimo) se situe fuera de laregion de experimentacion o cuando se trate de un punto estacionario conMini-max, el analisis Ridge se hace especialmente util. Tambien, cuando elnumero de variables predictoras es elevado, la informacion obtenida a partirde la representacion de las lineas de nivel de la respuesta es menos evidentey el Analisis Ridge puede suponer una valiosa aportacion.

Partiendo del modelo cuadratico ajustado como superficie de respuesta, elAnalisis Ridge consiste en la obtencion de los maximos o mınimos absolutosde la respuesta sujetos a la restriccion de que se encuentren a una distanciadel centro del diseno igual a un valor R. En definitiva, de todos los puntossituados a una distancia R del centro, el Analisis “Ridge” nos proporcionaralas coordenadas del punto de optima respuesta (maximo o mınimo). Dada laexpresion matricial del modelo cuadratico ajustado segun:

y = b0 + [X ′][b] + [X ′][B][X]

La restriccion se expresa de acuerdo con la ecuacion [X ′][X] = R2 equi-valente a [X]′[X]−R2 = 0. La funcion “F” a optimizar, utilizando el metodode los multiplicadores de Lagrange (µ), sera la siguiente:

F = b0 + [X ′][b] + [X ′][B][X]− µ[[X ′][X]−R2]


El punto optimo para cada distancia R se obtiene igualando a cero la

derivada de F respecto del vector [X] =

x1

x2...xk

∂F

∂x= [b] + 2[B][X]− 2µ[X] = 0⇒ [B − µI][X] = −1

2[b]

Dado que se demuestra que [B − µI] = [Λ− µI] tenemos:λ1 − µ 0 · · · 0

0 λ2 − µ · · · 0...

......

0 0 · · · λk−µ

x1

x2...xk

= −1

2

b1

b2...bk

Se deduce que:(λ1 − µ)x1

(λ2 − µ)x2...

(λk − µ)xk

= −1

2

b1

b2...bk

Ambos miembros de la ecuacion son matrices de orden (k,1). De la igual-dad de los terminos correspondientes de cada matriz resulta:

(λ1 − µ)x1 = −12b1

(λ2 − µ)x2 = −12b2

...(λk − µ)xk = −1

2bk

Para el termino general tendremos xk =−bk

2(λk − µ)

Esta expresion es fundamental en el Analisis “Ridge”.


Ejemplo de Analisis Ridge

Consideremos un proceso industrial con dos variables predictoras: x1, x2

en el que se trata de optimizar el rendimiento del producto obtenido dadopor la variable de respuesta “y”.

A fin de ajustar un modelo cuadratico, se ha utilizado un diseno CentralCompuesto (DCC) con una distancia axial de α =

√2 = 1.41421 y cuatro

puntos centrales. El diseno en unidades codificadas y las correspondientesrespuestas han resultado:

x1 x2 y

-1 -1 85.7+1 -1 60.2-1 +1 89.1+1 +1 78.1-1.41421 0 95.6+1.41421 0 700 -1.41421 63.70 +1.41421 82.90 0 77.90 0 77.80 0 78.10 0 78

El modelo de regresion ajustado y la tabla de Analisis de la Varianzacorrespondiente se presentan en la pag 37 y han sido calculados utilizando elprograma estadıstico STATGRAPHICS. En las pags 38 y 39 se representanlas lıneas de nivel y la superficie de respuesta del modelo ajustado.

En definitiva, la ecuacion resultante es:

y = 77.95− 9.088 ∗ x1 + 6.057 ∗ x2 + 2.481 ∗ x21 − 2.269 ∗ x2

2 + 3.625 ∗ x1x2

El error estandar del modelo es σ = 0.860654

La expresion matricial de este modelo cuadratico resulta:

y = b0 + [X ′][b] + [X ′][B][X] + ε


b0 = 77.95; b =

[−9.0886.057

];B =

[2.481 1.81251.8125 −2.269

]; [X] =

[x1

x2

]

De acuerdo con lo indicado en la pag 30, el punto optimo para cada dis-

tancia R al centro del diseno se obtiene de la expresion xk =−bk

2(λk − µ)

Los valores propios de la matriz [B] se calculan de la ecuacion:∣∣∣∣2.481− λ 1.81251.8125 −2.269− λ

∣∣∣∣ = 0⇒ λ2 − 0.212λ− 8.914 = 0

λ1 = 3.093; λ2 = −2.881

Estos valores propios coinciden con los dados por STATGRAPHICS quetambien facilita los vectores propios correspondientes:

V1 =

[0.9470.320

]V2 =

[−0.3200.947

]

En consecuencia, la matriz [V] de vectores propios es [V ] =

[0.947 −0.3200.320 0.947

]

Puede comprobarse que [V ]′[B][V ] = Λ =

[λ1 00 λ2

][

0.947 0.320−0.320 0.947

] [2.481 1.81251.8125 −2.269

] [0.947 −0.3200.320 0.947

]=

[3.093 0

0 −2.881

]

Dado que los valores propios λ1 = 3.093 y λ2 = −2.881 son de distintosigno nos encontramos ante un Mini-Max. La ecuacion canonica del modelocuadratico sera:

y = ys + λ1W21 + λ2W

22

El punto estacionario tendra por coordenadas:

[Xs] = −1

2[B]−1[b]


ys = b0 +1

2[Xs]

′[b]

[B]−1 =

[0.255 0.2030.203 −0.278

]; b0 = 77.95; [b] =

[−9.0886.057

]

[Xs] = −1

2

[0.255 0.2030.203 −0.278

] [−9.0886.057

]=

[0.5411.766

]

ys = 77.95 +1

2

[0.541 1.766

] [−9.0886.057

]= 80.84

En definitiva, la ecuacion canonica sera:

y = 80.84 + 3.093w21 − 2.881w2

2

Calculo del punto optimo para cada distancia R

Partiremos de la expresion Xk = − bk2(λk − µ)

que en nuestro caso resulta:

x1 =4.544

3.093− µ

x2 =3.028

2.281 + µ

Las tablas de las paginas 40 a 46 muestran la evolucion de las coordenadasx1, x2 de los puntos optimos en funcion de los valores asignados al multipli-cador µ. Dichas tablas recogen, tambien, los valores de la distancia R de cadapunto optimo al centro del diseno: R =

√x2

1 + x22 ası como el valor “y” de la

respuesta.

Los graficos de las paginas 47 a 50 completan la informacion relativa a laevolucion de los valores indicados. En las tablas y grafico de las paginas 52 a54 se recoge, tambien, la evolucion del error estandar de la estima.


Discusion de Resultados

La optimizacion del proceso requiere obtener valores maximos para lavariable de respuesta y que expresa el rendimiento del producto obtenidoen el proceso. El grafico de la pagina 47 representa la evolucion de larespuesta en funcion de la distancia R al centro del diseno. La evolucionse limita al estudio dentro de la region experimental para la que ladistancia R es igual o inferior a

√2 = 1.4142, Fuera de esta region las

conclusiones no serıan fiables.

El grafico de la pag 47 muestra los valores maximos y los valores mınimosde “y” para cada valor de R. Logicamente, en nuestro caso, el interes secentro en los valores maximos localizados en la zona superior del grafico.En esta zona, el rendimiento es superior al 80 % y crece deforma monotona conforme aumenta R.

Los valores maximos corresponden a valores de µ > 3.093 dado que elvalor propio mayor es λ1 = 3.093 mientras que los mınimos correspon-dan a valores de µ < −2.881 ya que el valor propio menor es λ2 =−2.881, Los graficos de la pag 48 reflejan la posicion relativa de losmaximos y de los mınimos en funcion del multiplicador µ. El graficosuperior de la pagina esta limitado a la region experimental con R <1.4.

El grafico de la pag 49 se centra en la evolucion de los valores maximosde la respuesta “y”, de las coordenadas x1, x2 de dichos maximos y delradio R en funcion de µ. El grafico de la pagina 50 recoge, tan solo,la evolucion de la respuesta y del radio R mientras que el grafico de lapagina 51 senala las coordenadas del camino de maxima respuesta.

Observese que en todos los graficos los puntos estan limitados a valoresdel rendimiento y < 100,

La seleccion de un punto concreto de maxima respuesta, dado que, enprincipio, cualquier punto con y > 80 % se considera satisfactorio, de-pendera de los valores que en cada punto registre otra segunda variablede respuesta. Tambien, la obtencion de un error estandar de la estima(Sy) lo menor posible puede ser un criterio para la seleccion del puntoadecuado.


Dicho error estandar para un modelo cuadratico viene dado por:

Sy = σ

√√√√√√√√√√1 +[1 x1 x2 x2

1 x22 x1x2

][X ′X]−1

1x1

x2

x122

x2

x1x2

El valor Sy depende de la posicion del punto considerado, de la matrizde diseno [X] y de la desviacion tıpica σ del modelo ajustado, ennuestro ejemplo, σ = 0.865604,

El programa STATGRAPHICS calcula los valores del error estandar Sypara los diferentes puntos segun recogen las tablas de las paginas 52 y53.

El grafico de la pagina 54 recoge la evolucion conjunta de las dos respues-tas: Rendimiento y error estandar de la estima Sy, Podemos observarque aunque al aumentar R crece el rendimiento tambien aumenta elerror estandar Sy, Por ello, en la seleccion final del punto de funciona-miento se ha optado por situarlo en la proximidad de R = 0.6, Paradicho punto, de coordenadas x1 = −0.561; x2 = 0.225, el rendimientosera de y ' 85 % y el error estandar Sy ' 0.95,


AR0.SFX






SR1


SR1


SR2


SR2


SR2


SR2







AR00


AR00



BIBLIOGRAFIA

1. R.H. Myers y D.C.Montgomery. Response Surface Methodology, SecondEdition(2002). John Wiley & Sons.

2. D.C. Montgomery. Design and Analysis of Experiments. 5th Edition(2001). John Wiley & Sons.

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4. A. Fernandez de Troconiz (1987). Modelos Lineales. Universidad delPaıs Vasco.

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