Método de flexibilidad aplicado a celosías - Dadun: …dadun.unav.edu/bitstream/10171/19063/1/Metodo de... · 2012-01-14 · Matriz de coeficientes de flexibilidad f ... 21 Deformaciones

Método general de flexibilidad

Aplicación a celosías planas

1

Punto de partida

Energía complementaria. Propiedades uniformes:

2

*

2b

N LU T LN

E AT LL

EA

Teorema de Crotti- Engesser:

2º Teorema de Engesser

*

1,ii

Ui n

P

* *b

b

U U

*

0 jj

UN

N

Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas

2

1. Fase previa

1. Clasificar la celosía: hiperestática

b+r > 2n h=(b+r)-2n

2. Elegir h incógnitas hiperestáticas Xj Pueden ser:

Reacciones exteriores Xj = Ri

Esfuerzos interiores en las barras Xj =Ni

Punto crítico. Heurístico. No hay un método universal

No dependen del sistema de cargas exteriores


3

1. Fase previa. Ejemplo

1. Hallar h b=10 r=4 n=6 h=(10+4)-2*6=2

2. Elegir 2 incógnitas hiperestáticas X1 =RBY X2 =NBF

Vale cualquier esfuerzo de EFCB.

Valen las reacciones verticales. No valen NDE NDA

Todas las barras igual E A

P

L L

FED

AB C

L

FED

A B C

P

L=400 cm P=10000 kg

E=2 106 kg/cm2 A=10 cm2


2. Superposición de 1+ h casos isostáticos

1. Eliminar las h incógnitas hiperestáticas:

si Xj están bien elegidas se obtiene una celosía isostática

y estable

2. Superposición de 1+h casos, todos ellos isostáticos

Caso 0: sólo las fuerzas exteriores

Esfuerzos N0

Casos 1 a h: sólo valor unidad de la incógnita Xj

Esfuerzos Nj

Método general de flexibilidad aplicado a celosías planas4

0

1,

ji i j i

j h

N N X NEsfuerzo real

FED

A B C

0

0 00

P/2P/2

P/√

2

-P/√2

0

P P

FED

A B C

0

0 01

1/21/2

-1/√

2

-1/√2

0

1

0

5

Ejemplo. Esfuerzos en los 1+h casos isostáticos

Siempre es posible: son isostáticos.

Si no se puede: la incógnita X está mal elegida

Puede ser celosía simple, compuesta o compleja

FED

A B C

0

0 00

P/2P/2

P/√

2

-P/√2

0

P P

FED

A B C

0

0 01

1/21/2

-1/√

2

-1/√2

0

1

0 FED

A B C

0

0

1

1

-1/√2

-1/√

2

-1/√

2

-1/√2

1

0

0

0

1 2

0

1,

ji i j i

j h

N N X N


6

3. Condiciones de compatibilidad. Planteamiento

* *

0ii i

U U

X R

* *

0j j

U U

X N

Xj es una reacción en un punto fijo:

Xj es un esfuerzo interior:

*

0 1,j

Uj h

XSiempre es del tipo:

Nota: se estudiará más adelante el caso de que haya una

deformación conocida en la dirección de la reacción


7

3. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (I)

*

0i ii i i

i ij j j

U N NN

X X X

2

*

2

i i

i ii

NU N

0

1,

ji i j i

j h

N N X N

jii

j

NN

X

0j ji i i i i

i i

N N N Sustituyendo Ni

*

0 1,j

Uj h

Xh ecuaciones de

compatibilidad

No es útil así.


3. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (II)

8

0

1,

0 1,k j ji i k i i i i

i k h i

N X N N N j h

Reordenando S

0

1,

1,j k j jk i i i i i i i i

k h i i i

X N N N N N j h

1,

1,k jk jk h

X f D j h

Sistema de h ecuaciones con h incógnitas Xj


3. Condiciones de compatibilidad. Aplicación

9

Matriz de coeficientes de flexibilidad f

(h x h) simétrica

Definida positiva si las Xj están bien elegidas (linealmente independientes)

j kjk i i i

i

f N N

0 j jj i i i i i

i i

D N N N

Coeficiente de flexibilidad

cruzado entre Xj y Xk

Término de carga para Xj

1,k jk jk

X f D j h f X D


Significado físico de los coeficientes fjk (1)

10

j k

FED

A B C

Xj=1

Dk

Nj

j

FED

A B C

Xk=1

Djk

Nk

j j kk i i i kj

i

N N f

Real Virtual

Calculamos jk Planteamos un caso virtual

j Vk i i i

i

N N

Caso real: es el caso jjN N

V kN NCaso virtual: es el caso k


11


j k

FED

A B C

Xj=1

Nj

fjj

fkj

FED

A B C

Xk=1

fjk

Nk

fkk

jk kjf

fkj = Deformación en la dirección de Xk, en el caso j


12

Significado físico de los coeficientes Dj (1)

j

FED

A B C

Xj=1

Nj

0 0 j jj i i i i i j

i i

N N N D

Esfuerzos reales: los del caso 0

Planteamos un caso virtual

Real Virtual

0

0

0 00

P/2P/2

P/√

2

-P/√2

0

P P

Dj

0

0N NV jN N

Calculamos0j

0 V Vj i i i i i

i i

N N N

Esfuerzos virtuales: los del caso j


13


0 0 j jj i i i i i j

i i

N N N D

Dj = Deformación en dirección de Xj, en el caso 0, con signo (-)

0

0

0 00

P/2P/2

P/√

2

-P/√2

0

P P

-Dj


14

Significado físico de las ecuaciones de compatibilidad

Deformación total en la

dirección de Xj = 0.

Auténticas ecuaciones de

compatibilidad de

deformaciones

k jk jk

X f D kjk jf 0

j jD

0 0kk j j

k

X 0totalj

j k

FED

A B C

Xj=1

Nj

fjj

fkj

FED

A B C

Xk=1

fjk

Nk

fkk

FED

A B C

0

0 00

P/2P/2

P/√

2

-P/√2

0

P P

Dj

0


15

Resumen general

+=

+*

0 1,j

Uj h

X

jX

0

1,

ji i j i

j h

N N X N

1,j h

P

T

-Dj

Xj

P

T

1

fjj

fkj

Caso 0 Caso j

1,k jk jk

X f D j h


16

Unidades (Celosías)

Coeficientes de flexibilidad fjk

1j FN

F

Esfuerzos casos j=1,h. Adimensional

Esfuerzos caso 0: fuerza0N F

(1) (1)j kjk

L Lf N N

F F

Término de “carga” Dj : deformación

0 ( ) (1)jj

LD N N F L

F

1( ) (1)j jjD N TL N T T L L

Esfuerzos en las barras por cada unidad de

fuerza aplicada en la incógnita hiperestática


17

Ejemplo. Condiciones de compatibilidad (1)

1 1 411

1 2 412

2 2 422

2.9142 / 0.5820 10 cm/kg

2.0607 / 0.4121 10 cm/kg

4.8284 / 0.9657 10 cm/kg

i i ii

i i ii

i i ii

f N N L EA

f N N L EA

f N N L EA

FED

A B C

0

0 01

1/21/2

-1/√

2

-1/√2

0

1

0 FED

A B C

0

0

1

1

-1/√2

-1/√

2

-1/√

2

-1/√2

1

0

0

1 2

L=400 cm P=10000 kg E=2 106 kg/cm2 A=10 cm2


18


0 11

0 22

0.5 / 0.1cm

2.0607 / 0.4121cm

i i ii

i i ii

D N N PL EA

D N N PL EA

FED

A B C

0

0 01

1/21/2

-1/√

2

-1/√2

0

1

0FED

A B C

0

0

1

1

-1/√2

-1/√

2

-1/√

2

-1/√2

1

0

0

12

FED

A B C

0

0 00

P/2P/2

P/√

2

-P/√2

0

P P0


19

Ejemplo. Esfuerzos finales

1 21864.8 kg 5063.6 kgBY BFX R X N

0 1 21864.8 5063.6i i i iN N N N

0

0

-35

81

23525932

5752

-3326

5063

6419 10000

-17

16

1865

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

f X f X D

f X f X D


20

Ejemplo. Reacciones

1865 5932

10000

4067

10000

Cálculo por estática del conjunto.

RBY = 1865 ya conocida.


Deformaciones impuestas en los apoyos

PFED

AB C

DC=2 cm

Deformaciones en los apoyos en celosías. Método de flexibilidad 21

j jX R

N=0

DC=2 cm

Elegir como incógnita hiperestática X a la reacción

en la dirección de la deformación impuesta

• Siempre se puede si la reacción es hiperestática

• Si no se puede (la reacción es isostática): la deformación

impuesta en el apoyo no produce esfuerzos en la estructura


2

*

2

i i

i ii

NU N


*i i

i i i Cji ij j j

U N NN

X X Xjii

j

NN

X

* *

Cjj j

U U

X R

Ecuación de compatibilidad: deformación conocida en

el apoyo. Teorema de Crotti-Engesser:

Mismo desarrollo

que para apoyos

sin deformación



0

1,

k j ji i k i i i i Cj

i k h i

N X N N N

Reordenando S

0

1,

j k j jk i i i Cj i i i i i

k h i i i

X N N N N N

1,k jk Cj j

k h

X f DEcuación de

compatibilidad para la

deformación conocida

j ji i i i i Cj

i i

N N N

Método general de flexibilidad

Aplicación a pórticos planos

Punto de partida

Energía complementaria en una barra plana:

Teorema de Crotti- Engesser:

2º Teorema de F. Engesser:

*

1,ii

Ui n

P

* *b

b

U U

*

0 , ,j

j

UX N Q M

X

2 2*

2 2b m g

N MU dx dx N T dx M Tdx

1 1

EA EIToda la estructura:

Método de flexibilidad. Aplicación a pórticos1

1. Fase previa

1. Clasificar el pórtico: hiperestático

6b+r > 3n+3b+c h=(6b+r)-(3n+3b+c)

2. Elegir h incógnitas hiperestáticas Xj Pueden ser:

Reacciones exteriores (fuerzas o momentos)

Xj = Ri Xj =Mi

Esfuerzos interiores en las barras (fuerzas o momentos)

Xj =Ni Xj =Qi Xj =Mi

Punto crítico. Heurístico. No hay un método universal

Xj no dependen del sistema de cargas exteriores

El pórtico obtenido al eliminar las Xj debe ser isostático


Incógnitas hiperestáticas en pórticos

N

M

Q

N

M

Q


Fase previa. Ejemplo

1. Hallar h b=3 r=5 n=4 c=0

h=(6*3+5)-(3*3+3*4+0)=2

2. Elegir 2 incógnitas hiperestáticas

Varias posibilidades: X1 =RDX X2 =MB

Todas las barras HEB 400L=1000 cm H=500 cm q=4 kg/cm

E=2.1 106 kg/cm2 A=198 cm2 I=57680 cm4

q

A

B C

D

L

H

RDX

MB


2. Superposición de 1+ h casos isostáticos

1. Eliminar las h incógnitas hiperestáticas:

si Xj están bien elegidas se obtiene un pórtico isostático

y estable

2. Superposición de 1+h casos, todos ellos isostáticos

Caso 0: sólo las fuerzas exteriores

Esfuerzos

Casos 1 a h: sólo valor unidad de la incógnita Xj

Esfuerzos

Siempre se pueden calcular, si la X está bien elegida

0

1,

jj

j h

N N X N

Esfuerzos reales

0 0 0N Q M

j j jN Q M

0

1,

( ) ( ) ( )jj

j h

M x M x X M x


Valores unidad de las incógnitas X

1

1

1

1

1

1

q1

q2

D2

D1

1

11

M M

Q

Q

M

N N

M

N N

Q

Q

D1 D2

1

1


3. Esfuerzos en los 1+h casos isostáticos. Ejemplo

N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

A

B C

D

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1A

BC

D

N=0

1/L-1/L

11

1

1

X2=MB=1

A

B C

D

1 2

0


Ejemplo. Caso 0

N=0

-qL/2-qL/2

qL2/8

q

A

B C

D

qL/2qL/2

0 0

qL/2

-qL/2

-qL/2

0

0

0

0 /2BCDB DYM R qL

0 0BCDX XF B

0 /2BCDY YF B qL


Ejemplo. Caso 1

N=-1

H/L-H/L

H

H

H

1A

B C

D

H/L

11

H/L

H/L

-H/L

H

1

H/L

-H/L

1

-1-H/LH

1

0 1BCDB DYM R L H

0 1BCDX XF B

0BCDY Y DYF B R


Ejemplo. Caso 2

N=0

-1/L

1 A

B C

D

-1/L

0

0

1/L

1/L

1/L

0

-1/L

1/L

01

1/L

0

1/L

1

00

1

0

2

0 1 0BCDB DYM R L

0 1BCDX XF B

0 1/BCDY Y DYF B R L


4. Condiciones de compatibilidad. Planteamiento


* *

0ii i

U U

X R

*

0j

U

X

Xj es una reacción en un punto fijo:

Xj es un esfuerzo interior:

*

0 1,j

Uj h

XSiempre es del tipo:

Nota: más adelante se verá el caso de que haya una

deformación no nula en la dirección de la reacción

4. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (I)

j

j

NN

X

Sustituyendo N, M

*

0 1,j

Uj h

Xh ecuaciones de

compatibilidad

No nos sirve así

0m gj j j j

N M N MN dx M dx T dx T dx

X X X X

0j j j jm gN N dx M M dx T N dx TM dx

( )( )j

j

M xM x

X

Buscamos Xj

0 jjN N X N 0 j

jM M X M


4. Condiciones de compatibilidad. Desarrollo (II)

Reordenando S e

Sistema de h ecuaciones

con h incógnitas Xj

0 0

0

k j k jk k

k k

j jm g

N X N N dx M X M M dx

T N dx T M dx

0 0

j k j kk

k

j j j jm g

N N dx M M dx X

N N dx M M dx T N dx T M dx

1,jk k jk

f X D j h


4. Condiciones de compatibilidad. Aplicación

Coeficiente de flexibilidad

cruzado entre Xj y Xk

Término de carga para Xj

1,k jk jk

X f D j h

Matriz de coeficientes de flexibilidad f

(h x h) simétrica

Definida positiva si las Xj están bien elegidas (linealmente independientes)

f X D

0 0j j j jj m gD N N dx M M dx T N dx T M dx

j k j kjkf N N dx M M dx


5. Deformaciones impuestas en los apoyos (1)

Deformación impuesta conocida Dc :

Elegir como incógnita hiperestática Xj la reacción en la

dirección de la deformación impuesta

j CjX R

Siempre se puede elegir.

Si no se puede: la reacción es isostática,

y la deformación impuesta en su

dirección no produce esfuerzos.

DC X1

X2

DC

A C

0A CYM R


5. Deformaciones impuestas en los apoyos (2)

k jk j Ck

X f D

Condición de compatibilidad asociada a la deformación conocida

* *

Cj Cj

U U

X R

Mismo desarrollo. Se obtiene:


Resumen general

+=

+*

0 1,j

Uj h

X

jX

0

1,

jj

j h

N N X N

1,j h

Xj

P

T

q

Caso 0 Caso j

0

1,

( ) ( ) ( )jj

j h

M x M x X M x

P

T

q

-Dj Xj=1

fkj

1,k jk j

k

X f D j h


Unidades

Esfuerzos en los casos j=1,h.

, 1

11

j j

j j

j j

N M

F FLX N Q X F L

F FF FL

X M X FLFL L FL

Incógnitas hiperestáticas Xj:

,j jX N Q X F

j jX M X FL


Unidades. Coeficientes de flexibilidad fjk

,

11

1, 1

1 1 1

j kk k

jk

k kj kkjk

k

jj j jk jk

jj j jk jk

X N Q X Mf N N dxX F X FLL

f N NNF N

LL

X N Q X F N f fF F

X M X FL N f fL F FL

Cálculo a partir de N j k j kjkf N N dx M M dx


Unidades. Coeficientes de flexibilidad fjk

2

,

11

1,

1 11

j kk k

jk

k kj kk kjk

jj j jk jk

jj j jk jk

X N Q X Mf M M dxX F X FL

f M M LM L MFL

LX N Q X F M L f f

F F

X M X FL M f fF FL

Cálculo a partir de M j k j kjkf N N dx M M dx


Unidades. Coeficientes D

, 1

11

jj j j

jj j j

X N Q X F N D L

X M X FL N DL

Cálculo a partir de N

,

1 1

jj j j

jj j j

X N Q X F M L D L

X M X FL M D

Cálculo a partir de M

0 1j j jjD N N dx F N L N L

F

0

2

1j j jjD M M dx FL M L M

FL

0 0 ...j jjD N N dx M M dx

Cálculo a partir de los otros términos: idemMétodo de flexibilidad. Aplicación a pórticos21


j k

Esfuerzos reales en el caso j:

Esfuerzos virtuales en la dirección k.

Real Virtual

Calculamos jk

-1

H/L-H/L

H

H

H

Xj=1

Dk

j

0

1/L-1/L

1

1

V=1

V=1

0 0j V Vk N N dx M M dx

j jN N M M

0 0V k V kN N M M

j k j kkjN N dx M M dx f



j k

-1

H/L

-H/L

H

H

H

Xj=1

fkj

fjj

0

1/L-1/L

1

1

1

1fkk

fjk

Xk=1

j j k j kk kjN N dx M M dx f

fkj = Deformación en la dirección de Xk, en el caso j



j

Esfuerzos reales: caso 0

Esfuerzos virtuales: caso j

Real

Virtual0 -1

H/L

-H/L

H

H

H

V=1

Mj

Nj

0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

Dk

0

Dj

0

0 0 0 0 0V V V Vj m gN N dx M M dx T N dx TM dx

0 0N N M M

0 0V j V jN N M M

Calculamos 0j

0 0 0j j j jj m g jN N dx M M dx T N dx TM dx D



j

Virtual0 -1

H/L

-H/L

H

H

H

V=1

Mj

Nj

0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

-Dj

-Dk

0j

Dj = Deformación en dirección de Xj, en el caso 0, con signo (-)

0 0 0j j j jj m g jN N dx M M dx T N dx TM dx D

0j jD


Significado físico de las ecuaciones de compatibilidad

Deformación total en la

dirección de Xj = 0.

Auténticas ecuaciones de

compatibilidad de

deformaciones

k jk jk

X f Dk

jk jf

0j jD

0 0kk j j

k

X 0totalj

j k

0N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

-Dj

-Dk

-1

H/L

-H/L

H

H

H

Xj=1

fkj

fjj

0

1/L-1/L

1

1

1

1fkk

fjk

Xk=1



1 2

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1

N=0

1/L-1/L

11

1

1

3 2 3

11 2

2 2

3 3

L H LH Hf

EA EAL EI EI

311 1.379 10 cm/kgf

2 2

12 2

2

6 2

H HL Hf

EAL EI EI

22 2

2

3

H L Hf

EAL EI EI

j k j kjkf N N dx M M dx

922 6.8822 10 rad/cm kgf

612 0,3452 10 cm/cm kgf



1

2

0

3

1 0.6880cm24

qL HD

EI

N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

-D1

-D2

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1

N=0

1/L-1/L

11

1

1

33

2 1.376 10 rad24

qLD

EI

0 0j jjD N N dx M M dx


Ejemplo. Esfuerzos finales.

1

2

556 kg

227814 cm-kg

DX

B

X R

X M

0 1 2556 227814i i i iN N N N

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

f X f X D

f X f X D

0 1 2( ) ( ) 556 ( ) 227814 ( )M x M x M x M x

1 2 2

1 1

50154cm kg 227814cm kg

277968cm kg 277968cm kg

AB BA

CB CD

M HX X M X

M HX M HX

Momentos en las barras (positivo horario)

Momento en el centro del dintel (positivo tracciones abajo)

2

1 2

1 1247108cm kg

8 2 2E

qLM HX X


Ejemplo. Superposición de esfuerzos en los 1+h casos

N=0

-qL/2 -qL/2qL

2/8

q

A

B C

D

N=-1

H/L -H/L

H

H

H

1A

BC

D

N=0

1/L-1/L

11

1

1

X2=MB=1

A

B C

D

1 2

0

(x 556)

(x 227814)


Ejemplo. Resultados

N: -556

N:-1950 N: -2050

50154

227814

277968

2050

556

247108

277968227814

Energía acumulada (numéricamente)

Flexión: 202 cm-kg Axial: 5.2 cm-kg


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